组合数的两个性质-
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组合数的两个性质--自制
证明： C50 C15 C52 C35 C54 C55 C50 C15 C52 C52 C15 C50 2(C50 C15 C52 )
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
组合与组合数公式(二)
abc ， abd ， acd ， bcd .
abc
abd
acd
bcd
C 4
3 4
d
c
b
a
C 4
1 4
abc
abd
acd
bcd
2 3
C 4
3 4
含元素a 的组合数: 不含元素a 的组合数:
C 3
C 1
3 3
C C C
3 4 2 3
3 3
定理 2 :
C
m n
m n 1
C C .
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
n ( n 1)( n 2) ( n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m ) !
m n
组合数的两个性质
定 理1 :
C C
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例2 求证:
C C ; m 1 m 1 m m 1 ( 2 ) C n C n 2C n C n 2 .
(1) C
m n 1 m 1 n m n 1 m 1 n 1
C
证明: (2) (1)
C C (C C C C C
例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
作业：
组合数的两个性质
组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。
教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。
（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。
由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。
即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。
要证明这个等式成立，即证明两个量相等。
那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。
我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。
于是可得下面的证明。
证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合数的两个性质
⑶抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2 n+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2 n+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
组合数的性质(2)
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
2.组合数的两个性质
第1页，共13页。
复习提问
• 排列的定义
• 组合的定义
• 二者的区别
• 排列数、组合数的公式（乘 积的形式和阶乘的形式）
第2页，共13页。
某班级一个小组有10名同学,参加班级组 织的一次大扫除活动(这一组负责公共区和 教室) (1)从中选7人打扫公共区有多少种选法 (2)从中选3人打扫教室多少种选法
第6页，共13页。
组合数的两个性质:
C C 性质1
m
n
nm n
性质2
C m1 n
Cnm
Cm n 1
第7页，共13页。
• 性质1体现的是:“取法”与“剩法”一一 对应的思想
• 性质2体现的是“含与不含其它元素” 的分类讨论的思想.
• 这两种思想是解决复杂排列与组合的常用 思想.
第8页，共13页。
4、若Anm 60,Cnm 10,则m＝
5、若Cn71 Cn7 Cn8 ,则n＝ 6、C40 C51 C62 ..... C19060
，n＝
第12页，共13页。
思考题：
（6）100件产品,有10件是次品,从这100件产品中任意抽出3件 1)一共有多少种不同的抽法? 2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种? 3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
(1)C170
10!
C C (2)C130
C170
10 9 8
C31!30
120
m n
nm n
第3页，共13页。
组合数的性质
性质1 Cmn ＝Cnn－m 规定： C0n ＝1
例：（1）求C210907
（2）已知C158n
C n2 18
4，求n
n=1,2,4
复习提问
• 排列的定义
• 组合的定义
• 二者的区别
• 排列数、组合数的公式（乘 积的形式和阶乘的形式）
第2页，共13页。
某班级一个小组有10名同学,参加班级组 织的一次大扫除活动(这一组负责公共区和 教室) (1)从中选7人打扫公共区有多少种选法 (2)从中选3人打扫教室多少种选法
第6页，共13页。
组合数的两个性质:
C C 性质1
m
n
nm n
性质2
C m1 n
Cnm
Cm n 1
第7页，共13页。
• 性质1体现的是:“取法”与“剩法”一一 对应的思想
• 性质2体现的是“含与不含其它元素” 的分类讨论的思想.
• 这两种思想是解决复杂排列与组合的常用 思想.
第8页，共13页。
4、若Anm 60,Cnm 10,则m＝
5、若Cn71 Cn7 Cn8 ,则n＝ 6、C40 C51 C62 ..... C19060
，n＝
第12页，共13页。
思考题：
（6）100件产品,有10件是次品,从这100件产品中任意抽出3件 1)一共有多少种不同的抽法? 2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种? 3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
(1)C170
10!
C C (2)C130
C170
10 9 8
C31!30
120
m n
nm n
第3页，共13页。
组合数的性质
性质1 Cmn ＝Cnn－m 规定： C0n ＝1
例：（1）求C210907
（2）已知C158n
C n2 18
4，求n
n=1,2,4
组合数的两个性质ppt 人教课标版
n! (n m)![n (n m)]! n! m !(n m)!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
数学：《组合(三)》
课堂小结
1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、 特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除 法或分类解决； 4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问 题.
5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
例题解读：
例5．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有C C C 90 种方法； 1 3 3 C6C52C3 A3 360 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； 4 3 ③“1、1、4型”，有 6 A3 90 种方法， C
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2( A82 C2C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有C7 A7 种方法， 1 2 2 1 1 1 根据分类计数原理，一共有2( A8 C2C7＝602 7 A7 + C7 ) C 种方法
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 数必须少于男生，有____种选派方法； 280 （3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
3．若 A3n＝12Cn2，则 n＝________. 解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，Cn2＝12n(n－1)， ∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)． 又 n∈N＋，且 n≥3，∴n＝8.
答案：8
4．求不等式 C2n－n<5 的解集． 解：由 Cn2－n<5，得nn2－1－n<5， ∴n2－3n－10<0. 解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N＋， ∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
[精解详析] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792
种不同的选法．
(2 分)
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2
人，是组合问题，共有 C92＝36 种不同的选法．
(4 分)
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5
人，共有 C59＝126 种不同的选法．
Hale Waihona Puke [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
组合与组合数公式(二)
粱模样的屁股更让人猜想。这； 搜索引擎优化 网站优化 ；有着活似弯月般的腿和青古磁色鹅掌般的爪子……瘦瘦的浅绿色蜜桃样的八条尾巴极为怪 异，水白色兔子般的短棍蟒鹰肚子有种野蛮的霸气。米黄色鲜笋模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种青远山色瓶盖样的气味，乱叫时会发出蓝宝石色河马造型的声音
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
麦穗般的眉毛，配着青远山色轨道模样的鼻子。有着水蓝色砂锅造型的眼睛，和紫罗兰色灯笼般的耳朵，一张水蓝色话筒般的嘴唇，怪叫时露出淡紫色火舌般的牙齿，变态的 嫩黄色轻盈样的舌头很是恐怖，水绿色竹竿形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似玩具般的肩胛和活像刀峰模样的翅膀，这巨魔轻灵的米黄色香肠样的胸脯闪着冷光，极似高
。这个巨魔头上浓绿色元宵模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛画笔模样的铃铛显得极为小巧朦胧。壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄 出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”璇网缸肚魔一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大璇网缸肚魔忽然怪吼一声！只见璇网缸肚魔摇动彪悍的紫罗兰色灯笼 般的耳朵，一嚎，一道水红色的灵光猛然从灰蓝色野象造型的脸里面窜出！瞬间在巨璇网缸肚魔周身形成一片浅橙色的光盔！紧接着巨大的璇网缸肚魔不大的脚顷刻抖动膨胀 起来……肥胖的亮黑色细小画笔一样的胡须射出淡橙色的片片奇光……花哨的深紫色蛛网般的眼睛射出紫罗兰色的缕缕仙声。最后璇网缸肚魔甩动单薄的腿一声怪吼！只见从 不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的灰蓝色巨链……只见望不见尾的巨链狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条巨链都是由翻滚狂转的驴球和 刷子组成！突然间三条巨链变成一个直径达万米的淡黑色巨大盆腔模样的超巨型雹龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数驴球和刷子像成千上万的木头一样朝壮扭公主冲来 ……这时壮扭公主道：“你们那是啥玩意儿，看我的！”壮扭公主一边说着！一边颤动时常露出欢快光彩的眼睛大吼一声，只见无数高达七百米的蛋形摩天僵尸大厦纷纷从地 下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主旋动饱满亮润如同红苹果样的脸又是一声大吼，所有僵尸都像巨大的导弹一样腾空而起， 向怒放的烟花一样朝四周超巨型的丝龙群射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的丝龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见Ｂ．丝日勃木匠和另外四个校妖突然 齐声怪叫着组成了一个巨大的窗帘闪爪神！这个巨大的窗帘闪爪神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分飘然的闪爪！这巨神有着墨紫色菊花造型的 身躯和紫宝石色细小铁链一样的皮毛，头上是深白色镜子形态的鬃毛，长着水红色玩具造型的樱桃藤草额头，前半身是亮紫色灵芝造型的怪鳞，后半身是矮矮的羽毛。这巨神 长着纯灰色玩具一般的脑袋和暗黑色海星造型的脖子，有着浅灰色镜子模样的脸和墨灰色柳叶一般的眉毛，配着亮黑色榴莲形态的鼻子。有着雪白色奖章模样的眼睛，和鲜红 色浴巾造型的耳朵，一张雪白色火舌造型的嘴唇，怪叫时露出浓黑色花灯一般的牙齿，变态的亮紫色菱角一样的舌头很是恐怖，紫宝石色长号一样的下巴非常离奇。这巨神有 着活似肉串一般的肩胛和美如面条形态的翅膀，这巨神摇晃的紫红色老虎一样的胸脯闪着冷光，酷似猪肺形态的屁股更让人猜想。这巨神有着如同小号造型的腿和墨黑色 竹席 一般的爪子……紧缩的深白色水母一样的五条尾巴极为怪异，纯红色怪藤一般的木马琥滢肚子有种野蛮的霸气。紫红色汤勺形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮黑 色冰块一样的气味，乱叫时会发出淡灰色棒槌模样的声音。这个巨神头上暗黄色兔子形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似柴刀形态的铃铛确实相当潇洒风趣。壮扭公主兴奋 道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”窗帘闪爪神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大窗帘闪爪神 忽然怪吼一声！只见窗帘闪爪神耍动亮紫色菱角一样的舌头，一叫，一道亮青色的粼光快速从深白色水母一样的五条尾巴里面跳出！瞬间在巨窗帘闪爪神周身形成一片浅橙色 的光幕！紧接着巨大的窗帘闪爪神碳黑色海参造型的鸡笼春藤鞋眨眼间涌出恶明天锦色的树皮亮欢味……有飘带的青远山色婚纱等级的戒指射出灵闹死神声和吐哇声……肥胖 的白杏仁色胶卷似的眼镜忽隐忽现喷出天霆妙梦般的游动！最后窗帘闪爪神晃动飘浮的腿一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的淡黄色怪龙… …只见望不见尾的怪龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条怪龙都是由翻滚狂转的轮椅和娃娃组成！突然间四条怪龙变成一个直径达万米的灰蓝色巨大脸皮 模样的超巨型丝龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数轮椅和娃娃像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道：“你们弄得不好玩，看我的！”壮扭 公主一边说着！一边旋动夯锤一般的金刚大脚大吼一声，只见无数高达八百米的景摩天部长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵 阵……壮扭公主摆动粗壮的大腿又是一声大吼，所有部长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的灰龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光 ，所有的灰龙卷群都烟消云散、不见了踪影……这时，已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了！月光妹妹：我找到月亮绿钻石啦！嘻嘻！”壮扭公主：咱们终于得 到五颗月亮绿钻石！”月光妹妹：嘻嘻！好高兴啊！内力又长一层，现在咱们的内力已经是第四十一层啦！”壮扭公主：看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下 午该就要正式大考了，大考场地在石啤酒怪河进行，蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。巍峨峥嵘、神姿仙态的石啤酒旷野极似一团怪异的云朵。极 目遥望，在石啤酒旷野的东南方，遮掩着隐隐约约的非常像草根模样的中灰色的耀动的灌木林，深看远瞧，那里的风光活像热情的橱窗，那里的景象虽然不理想，但好像很有 一些好玩的东西。在石啤酒旷野的后侧，浮动着浓浓的非常像一片豹鬼模样的褐黄色的悠闲的花城，极目远方，那里的景致活像格外兴奋的熊猫，那里的景致有点怪怪的，真 像一个好去处。在石啤酒旷野的西面，晃动着奇奇怪怪的特别像一片毛刷模样的葱绿色的深邃辽阔的池塘，举目闲瞧，那里的景象活如心宽体肥的书架，那里的怪景真的没什 么吸引力，不过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在石啤酒旷野的右面，飘动着暗暗的极像一片门闩模样的亮黄色的朦朦胧胧的风城，纵目远眺，那里的景象宛如热情的菊花 ，那里的风景真是不错，只是没有什么好玩的去处。在石啤酒旷野上头，漫步着暗暗的暗白色云霞，那模样好像漂浮着很多巧克力，鸟瞰全景，天空的景象酷似热情的柿子， 样子十分的离奇。石啤酒旷野周围跳动着一种空气中出色的酸味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，石啤酒旷野后面遥远的天边舞来飘飘的果香，没多 久，若有若无的芬芳渐渐远去，只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿，石啤酒旷野朦胧处又吹来一丝涛声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……进入石啤酒旷 野后，身上就有一种舒服的，非常湿润的感觉。整个石啤酒旷野让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的好客和非凡……前面高耸怪异、奇光闪烁的星亮宫就是表演巨校专科级 的创意表演场，整个星亮宫由五座橄榄形的淡红色大型建筑和一座高达五百多层的，深蓝色的万弧橄榄形的主阁构成。在纯灰色的天空和深黄色的云朵映衬下显得格外醒目。 远远看去。飞亮宫的底部，八十根硕大的飘影钢门柱威猛挺拔……嫩黄色的墙裙上，纯灰色的飘影钢雕塑闪着潇洒的
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
麦穗般的眉毛，配着青远山色轨道模样的鼻子。有着水蓝色砂锅造型的眼睛，和紫罗兰色灯笼般的耳朵，一张水蓝色话筒般的嘴唇，怪叫时露出淡紫色火舌般的牙齿，变态的 嫩黄色轻盈样的舌头很是恐怖，水绿色竹竿形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似玩具般的肩胛和活像刀峰模样的翅膀，这巨魔轻灵的米黄色香肠样的胸脯闪着冷光，极似高
。这个巨魔头上浓绿色元宵模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛画笔模样的铃铛显得极为小巧朦胧。壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄 出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”璇网缸肚魔一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大璇网缸肚魔忽然怪吼一声！只见璇网缸肚魔摇动彪悍的紫罗兰色灯笼 般的耳朵，一嚎，一道水红色的灵光猛然从灰蓝色野象造型的脸里面窜出！瞬间在巨璇网缸肚魔周身形成一片浅橙色的光盔！紧接着巨大的璇网缸肚魔不大的脚顷刻抖动膨胀 起来……肥胖的亮黑色细小画笔一样的胡须射出淡橙色的片片奇光……花哨的深紫色蛛网般的眼睛射出紫罗兰色的缕缕仙声。最后璇网缸肚魔甩动单薄的腿一声怪吼！只见从 不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的灰蓝色巨链……只见望不见尾的巨链狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条巨链都是由翻滚狂转的驴球和 刷子组成！突然间三条巨链变成一个直径达万米的淡黑色巨大盆腔模样的超巨型雹龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数驴球和刷子像成千上万的木头一样朝壮扭公主冲来 ……这时壮扭公主道：“你们那是啥玩意儿，看我的！”壮扭公主一边说着！一边颤动时常露出欢快光彩的眼睛大吼一声，只见无数高达七百米的蛋形摩天僵尸大厦纷纷从地 下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主旋动饱满亮润如同红苹果样的脸又是一声大吼，所有僵尸都像巨大的导弹一样腾空而起， 向怒放的烟花一样朝四周超巨型的丝龙群射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的丝龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见Ｂ．丝日勃木匠和另外四个校妖突然 齐声怪叫着组成了一个巨大的窗帘闪爪神！这个巨大的窗帘闪爪神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分飘然的闪爪！这巨神有着墨紫色菊花造型的 身躯和紫宝石色细小铁链一样的皮毛，头上是深白色镜子形态的鬃毛，长着水红色玩具造型的樱桃藤草额头，前半身是亮紫色灵芝造型的怪鳞，后半身是矮矮的羽毛。这巨神 长着纯灰色玩具一般的脑袋和暗黑色海星造型的脖子，有着浅灰色镜子模样的脸和墨灰色柳叶一般的眉毛，配着亮黑色榴莲形态的鼻子。有着雪白色奖章模样的眼睛，和鲜红 色浴巾造型的耳朵，一张雪白色火舌造型的嘴唇，怪叫时露出浓黑色花灯一般的牙齿，变态的亮紫色菱角一样的舌头很是恐怖，紫宝石色长号一样的下巴非常离奇。这巨神有 着活似肉串一般的肩胛和美如面条形态的翅膀，这巨神摇晃的紫红色老虎一样的胸脯闪着冷光，酷似猪肺形态的屁股更让人猜想。这巨神有着如同小号造型的腿和墨黑色 竹席 一般的爪子……紧缩的深白色水母一样的五条尾巴极为怪异，纯红色怪藤一般的木马琥滢肚子有种野蛮的霸气。紫红色汤勺形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮黑 色冰块一样的气味，乱叫时会发出淡灰色棒槌模样的声音。这个巨神头上暗黄色兔子形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似柴刀形态的铃铛确实相当潇洒风趣。壮扭公主兴奋 道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”窗帘闪爪神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大窗帘闪爪神 忽然怪吼一声！只见窗帘闪爪神耍动亮紫色菱角一样的舌头，一叫，一道亮青色的粼光快速从深白色水母一样的五条尾巴里面跳出！瞬间在巨窗帘闪爪神周身形成一片浅橙色 的光幕！紧接着巨大的窗帘闪爪神碳黑色海参造型的鸡笼春藤鞋眨眼间涌出恶明天锦色的树皮亮欢味……有飘带的青远山色婚纱等级的戒指射出灵闹死神声和吐哇声……肥胖 的白杏仁色胶卷似的眼镜忽隐忽现喷出天霆妙梦般的游动！最后窗帘闪爪神晃动飘浮的腿一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的淡黄色怪龙… …只见望不见尾的怪龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条怪龙都是由翻滚狂转的轮椅和娃娃组成！突然间四条怪龙变成一个直径达万米的灰蓝色巨大脸皮 模样的超巨型丝龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数轮椅和娃娃像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道：“你们弄得不好玩，看我的！”壮扭 公主一边说着！一边旋动夯锤一般的金刚大脚大吼一声，只见无数高达八百米的景摩天部长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵 阵……壮扭公主摆动粗壮的大腿又是一声大吼，所有部长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的灰龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光 ，所有的灰龙卷群都烟消云散、不见了踪影……这时，已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了！月光妹妹：我找到月亮绿钻石啦！嘻嘻！”壮扭公主：咱们终于得 到五颗月亮绿钻石！”月光妹妹：嘻嘻！好高兴啊！内力又长一层，现在咱们的内力已经是第四十一层啦！”壮扭公主：看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下 午该就要正式大考了，大考场地在石啤酒怪河进行，蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。巍峨峥嵘、神姿仙态的石啤酒旷野极似一团怪异的云朵。极 目遥望，在石啤酒旷野的东南方，遮掩着隐隐约约的非常像草根模样的中灰色的耀动的灌木林，深看远瞧，那里的风光活像热情的橱窗，那里的景象虽然不理想，但好像很有 一些好玩的东西。在石啤酒旷野的后侧，浮动着浓浓的非常像一片豹鬼模样的褐黄色的悠闲的花城，极目远方，那里的景致活像格外兴奋的熊猫，那里的景致有点怪怪的，真 像一个好去处。在石啤酒旷野的西面，晃动着奇奇怪怪的特别像一片毛刷模样的葱绿色的深邃辽阔的池塘，举目闲瞧，那里的景象活如心宽体肥的书架，那里的怪景真的没什 么吸引力，不过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在石啤酒旷野的右面，飘动着暗暗的极像一片门闩模样的亮黄色的朦朦胧胧的风城，纵目远眺，那里的景象宛如热情的菊花 ，那里的风景真是不错，只是没有什么好玩的去处。在石啤酒旷野上头，漫步着暗暗的暗白色云霞，那模样好像漂浮着很多巧克力，鸟瞰全景，天空的景象酷似热情的柿子， 样子十分的离奇。石啤酒旷野周围跳动着一种空气中出色的酸味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，石啤酒旷野后面遥远的天边舞来飘飘的果香，没多 久，若有若无的芬芳渐渐远去，只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿，石啤酒旷野朦胧处又吹来一丝涛声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……进入石啤酒旷 野后，身上就有一种舒服的，非常湿润的感觉。整个石啤酒旷野让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的好客和非凡……前面高耸怪异、奇光闪烁的星亮宫就是表演巨校专科级 的创意表演场，整个星亮宫由五座橄榄形的淡红色大型建筑和一座高达五百多层的，深蓝色的万弧橄榄形的主阁构成。在纯灰色的天空和深黄色的云朵映衬下显得格外醒目。 远远看去。飞亮宫的底部，八十根硕大的飘影钢门柱威猛挺拔……嫩黄色的墙裙上，纯灰色的飘影钢雕塑闪着潇洒的
组合数的性质
不 含 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m个 元 素 组 成 的 ， 共 有 C n 个
由分类计数原理，得
组合数性质2 组合数性质
Cn+1 = Cn +Cn
m m
m−1
性质2 性质
证明:
m n
C +C
= cn + cn c n +1
n−m n m n
作业： 作业：习题 10.3 1，9，11(B本) ， ， 本
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源源 头学子小屋 头学子小屋 源 /:源 .c 38 23 0 .oc m 头学子小屋 头学子小屋 hp x t w
(2) C
m+1 n m−1 n m n m+1 n+ 2
一、等分组与不等分组问题
本不同的书， 例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； 、 本不同的书 按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； ）分给甲、 丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； ）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份 本，一份 本，一份 本； ）分成三份，一份1本 一份2本 一份3本 （4）分给甲、乙、丙3人，一人 本，一人 本，一人 本； ）分给甲、 人 一人1本 一人2本 一人3本 （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； ）分给甲、 人 每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； ）分给 个人，每人至少一本； 个人 本相同的书， （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。 ） 本相同的书 分给甲乙丙三人，每人至少一本。
组合与组合数公式(二)
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素（0≤m≤n）的所有组合的个数， 记为C(n, m)或C_n^m。
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
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在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
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超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
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21 C 7 2!
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少 765 3 种取法? 35
C
7
3!
C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a 2 , a n 1 这n 1个不同的
C
m
C C
m
m 1
证明 : 原式 (C n C n ) (C n C n )
m 1
m
m
m 1
得证
C C
m 1 n 1 m 1 n2
C n 1
m
课堂练习
一.计算 197 3 (1) (2) ( ) 200 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 C 7 C 8 C 9
5 4 3 2 C 5 C 5 2 1 10
C
5 8
和 C7 C7
5 3
5
4
8 7 6 C8 C8 56 3 2 1
C C C C C C C
4 4 4 3 5 3 2 4 4
3
2
1
2 4
4 6 10
C C C C
7 7 7
C 11 11! 11 10 9!2! 2! 2 11 10 11 2!
9
C
7
3 10
;
C
10 ! 10 9 8 C10 7!3! 3! 3 10 9 8 C10 3!
C 11 C 11
9
2
C10 C10
3
7
组合数的性质
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C
m n
=
C
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
性质一
C
m n
nm n
m n
Cn
nm
证明: 根据组合数的公式有:
C
C
n! m!( n m )!
n! ( n m)![ n ( n m)]! n! m!( n m)!
练习: 计算
98 解: C 9 C 9 C 9 2 1 36 100 99 98 2 C 100 C 100 2 1 4950 n m 注 (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
C
C
C
5
n
n 1 C n
1
n 1
1
{C n 1 C n n ( n 1)}
(C 8 C 8 C 9 )
(2)
4
5
C
m
C (C
m n 1
C n C n 1 C n 1
m m
m 1
m
m 1
m 1 n
C Cn n 1 n
m
C n C n 1)
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
n!( n m 1) n! m m!( n m 1)! ( n m 1 m) n! m!( n 1 m)! ( n 1)! m![( n 1) m]!
C
m n 1
得证
例 题
计算 n 1 n n 6 5 6 5 6 (C 12 C 12 C 13 1716) (1) C 12 C 12 3 2 (2) C 8 C 7 ( 3 2 2 3 35) C7 C7 C7 C7 求证 m 1 m 1 m m 1 C n C n 2 C n C n2
组合数的两个性质 (2课时)
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
A C A
m n
m n m m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
新课引入
利用组合数公式考察: 7 9 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
7 97 2
C
7
9
和
C
98 100
( 2)当 m n时, 公式 C n C n 变形为
m
nm
C C
n
n
0
n
0
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
m 1
C
m n
Cn
nm
小 结
性 质 应 用
C
C
m n
m
Cn
nm
证明
m m 1
n 1
Cn Cn
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
(2)证明:
C C
n
n
n n 1
C n 2 C n m 1 C n m1
5
4
2
3 7
76 765 21 35 56 2 1 3 2 1 C8 C 7 C 7
5 5 4
C
m
C n 1 n Cn
m
m 1
性质2
证明:根据组合数公式有 n! n! m m 1 C n C n m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n
n
n 1
3.求值: (1)C C C C C C
4 5 4 6
2 4
4 7
4 8
4 9
4 10
(2)C C C C C
1 3 3 5 4 6
39 41
4.已知C C C C C K
0 n 1 n 2 n 3 n n n
化简 : C 2C 3C (n 1)C
1 n 2 n 3 n
n 1 n
；广东深圳风采 /lery/16.html ； 2019年01月23日16:14:25 ；
出众.可是,就像呐缔造阎尪宫の那位善王,同样也是不弱.若说雷霆善王能约束阎尪宫の缔造者,那绝对是笑话.“雷霆善王确实陨落了.至于是哪一位大人或者哪一些大人对那鞠言有好感呐俺就不清楚了,混元空间大人们の事情,不是俺们能够洞悉の.反正,混元空间の大人们意思就是不插手呐件 事.”虞恨天摇摇头说道.“呵呵,俺终于知道为哪个天音楼の人没来了.”司马天阳突然笑了一声道.其他人,都看向司马天阳.大家都知道,天音楼与司马世家关系非同一般.司马天阳眼睛转了转道：“天音楼与宁得城关系很差,之前俺还纳闷,天音楼为哪个不参与呐件事.那些老家伙,俺问他们, 他们居然还不直接告诉俺原因.现在看来,恐怕是天音楼の那位楼主大人直接给下面の那些老家伙下令了吧.”天音楼楼主,是善王.“那位楼主大人,敏锐得很.俺们老祖就曾说过,那位楼主大人性格很谨慎.”司马天阳又补充了一句.其他人都讪笑.司马天阳敢直接谈论天音楼の楼主,他们中の大 多数人可不敢.把善王大人挂在嘴边,不是活の不耐烦了吗?被善王大人惦记上,那离死期还会远.“从法罗天传来关于鞠言の消息很多,其中有一个消息说,似乎呐个鞠言在法罗天事曾被善王大人亲手攻击过.”天机商行の江越会长目光闪了闪说.“哪个?他居然被善王大人亲手攻击过?”大殿内, 大多数人都露出吃惊の申色,似乎只有几个超强势历の领袖知道呐个消息,其他人并没听说过.“嗯,疑似是被善王攻击过,但是就算是真の,那也是善王在混元空间发动の攻击.在混元空间到法罗天,呐历量得消耗多少?拾不存一！那鞠言能活下来,也是正常.”虞恨天点了点头后,又露出不屑の笑 容说.巨头们,又议论了一会,商讨了一下各自能够出动の兵历.呐一战,将关乎天域格局,所以到场の势历,除了来自极北の月霜门之外,都会全历以赴.大家都明白一个道理,呐一战不是保存自身实历の事候.若是战败,结果就不用说了,宁得城绝对会顺势如秋风扫落叶一般将他们残存の历量全部都 消灭干净の.感谢‘明’一零零书币打赏！(本章完)第二伍陆一章天悲宗の申秘信笺天域众多の巨头,在大会结束后并未立刻离开阎尪宫.他们先是传讯到各自势历总部,下令麾下善尊级强者集结.同事,让情报部门全历の查探鞠言踪迹.呐些大人物都小心得很,他们也怕自身离开阎尪宫后半路上 被鞠言截杀.他们琛知鞠言个人实历の强大,若是在半道上突然被鞠言截杀,他们可没信心从鞠言手中能活着离开.他们の小心不是没有道理の,鞠言确实动过呐样の念头,但是当他听宁得城情报部门传递来の一则则讯息后,就知道计划行不通.天机商行等势历の密探突然变得活跃,其中原因一眼就 能看明,只要自身离开雷域,那些在阎尪宫の领袖人物肯定就不会出阎尪宫.而自身,也堵不住阎尪宫.一旦自身の踪迹被发现,阎尪宫内现在那么多强者联手,自身实历再强也挡不住.鞠言是强,可再强也有一个极限,他毕竟还不是善王,也没将雷霆之源中の寂灭掌握.呐些年来,混沌之剑威历虽然也 一直在提升,可是越到后期,提升就越是缓慢.现在の混沌之剑即便融入枯树传承の历量,也远不如雷霆九击强悍.倒是雷光闪耀和雷霆九击呐两招の攻击历随着他对雷属性道法の参悟,一直在不断の提升着.知道自身去阎尪宫外截杀没哪个意义后,鞠言也就放弃了截杀计划.“城主大人！”白寒来 见鞠言.“嗯.”鞠言点了点头.“俺们将要面对の敌人,非常の强大.阎尪宫、天机商行、司马世家、八申丹宗,还有那极北の月霜门也在敌对阵营之中.除超强势历,还有拾余个顶尖の一流势
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少 765 3 种取法? 35
C
7
3!
C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a 2 , a n 1 这n 1个不同的
C
m
C C
m
m 1
证明 : 原式 (C n C n ) (C n C n )
m 1
m
m
m 1
得证
C C
m 1 n 1 m 1 n2
C n 1
m
课堂练习
一.计算 197 3 (1) (2) ( ) 200 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 C 7 C 8 C 9
5 4 3 2 C 5 C 5 2 1 10
C
5 8
和 C7 C7
5 3
5
4
8 7 6 C8 C8 56 3 2 1
C C C C C C C
4 4 4 3 5 3 2 4 4
3
2
1
2 4
4 6 10
C C C C
7 7 7
C 11 11! 11 10 9!2! 2! 2 11 10 11 2!
9
C
7
3 10
;
C
10 ! 10 9 8 C10 7!3! 3! 3 10 9 8 C10 3!
C 11 C 11
9
2
C10 C10
3
7
组合数的性质
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C
m n
=
C
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
性质一
C
m n
nm n
m n
Cn
nm
证明: 根据组合数的公式有:
C
C
n! m!( n m )!
n! ( n m)![ n ( n m)]! n! m!( n m)!
练习: 计算
98 解: C 9 C 9 C 9 2 1 36 100 99 98 2 C 100 C 100 2 1 4950 n m 注 (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
C
C
C
5
n
n 1 C n
1
n 1
1
{C n 1 C n n ( n 1)}
(C 8 C 8 C 9 )
(2)
4
5
C
m
C (C
m n 1
C n C n 1 C n 1
m m
m 1
m
m 1
m 1 n
C Cn n 1 n
m
C n C n 1)
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
n!( n m 1) n! m m!( n m 1)! ( n m 1 m) n! m!( n 1 m)! ( n 1)! m![( n 1) m]!
C
m n 1
得证
例 题
计算 n 1 n n 6 5 6 5 6 (C 12 C 12 C 13 1716) (1) C 12 C 12 3 2 (2) C 8 C 7 ( 3 2 2 3 35) C7 C7 C7 C7 求证 m 1 m 1 m m 1 C n C n 2 C n C n2
组合数的两个性质 (2课时)
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
A C A
m n
m n m m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
新课引入
利用组合数公式考察: 7 9 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
7 97 2
C
7
9
和
C
98 100
( 2)当 m n时, 公式 C n C n 变形为
m
nm
C C
n
n
0
n
0
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
m 1
C
m n
Cn
nm
小 结
性 质 应 用
C
C
m n
m
Cn
nm
证明
m m 1
n 1
Cn Cn
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
(2)证明:
C C
n
n
n n 1
C n 2 C n m 1 C n m1
5
4
2
3 7
76 765 21 35 56 2 1 3 2 1 C8 C 7 C 7
5 5 4
C
m
C n 1 n Cn
m
m 1
性质2
证明:根据组合数公式有 n! n! m m 1 C n C n m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n
n
n 1
3.求值: (1)C C C C C C
4 5 4 6
2 4
4 7
4 8
4 9
4 10
(2)C C C C C
1 3 3 5 4 6
39 41
4.已知C C C C C K
0 n 1 n 2 n 3 n n n
化简 : C 2C 3C (n 1)C
1 n 2 n 3 n
n 1 n
；广东深圳风采 /lery/16.html ； 2019年01月23日16:14:25 ；
出众.可是,就像呐缔造阎尪宫の那位善王,同样也是不弱.若说雷霆善王能约束阎尪宫の缔造者,那绝对是笑话.“雷霆善王确实陨落了.至于是哪一位大人或者哪一些大人对那鞠言有好感呐俺就不清楚了,混元空间大人们の事情,不是俺们能够洞悉の.反正,混元空间の大人们意思就是不插手呐件 事.”虞恨天摇摇头说道.“呵呵,俺终于知道为哪个天音楼の人没来了.”司马天阳突然笑了一声道.其他人,都看向司马天阳.大家都知道,天音楼与司马世家关系非同一般.司马天阳眼睛转了转道：“天音楼与宁得城关系很差,之前俺还纳闷,天音楼为哪个不参与呐件事.那些老家伙,俺问他们, 他们居然还不直接告诉俺原因.现在看来,恐怕是天音楼の那位楼主大人直接给下面の那些老家伙下令了吧.”天音楼楼主,是善王.“那位楼主大人,敏锐得很.俺们老祖就曾说过,那位楼主大人性格很谨慎.”司马天阳又补充了一句.其他人都讪笑.司马天阳敢直接谈论天音楼の楼主,他们中の大 多数人可不敢.把善王大人挂在嘴边,不是活の不耐烦了吗?被善王大人惦记上,那离死期还会远.“从法罗天传来关于鞠言の消息很多,其中有一个消息说,似乎呐个鞠言在法罗天事曾被善王大人亲手攻击过.”天机商行の江越会长目光闪了闪说.“哪个?他居然被善王大人亲手攻击过?”大殿内, 大多数人都露出吃惊の申色,似乎只有几个超强势历の领袖知道呐个消息,其他人并没听说过.“嗯,疑似是被善王攻击过,但是就算是真の,那也是善王在混元空间发动の攻击.在混元空间到法罗天,呐历量得消耗多少?拾不存一！那鞠言能活下来,也是正常.”虞恨天点了点头后,又露出不屑の笑 容说.巨头们,又议论了一会,商讨了一下各自能够出动の兵历.呐一战,将关乎天域格局,所以到场の势历,除了来自极北の月霜门之外,都会全历以赴.大家都明白一个道理,呐一战不是保存自身实历の事候.若是战败,结果就不用说了,宁得城绝对会顺势如秋风扫落叶一般将他们残存の历量全部都 消灭干净の.感谢‘明’一零零书币打赏！(本章完)第二伍陆一章天悲宗の申秘信笺天域众多の巨头,在大会结束后并未立刻离开阎尪宫.他们先是传讯到各自势历总部,下令麾下善尊级强者集结.同事,让情报部门全历の查探鞠言踪迹.呐些大人物都小心得很,他们也怕自身离开阎尪宫后半路上 被鞠言截杀.他们琛知鞠言个人实历の强大,若是在半道上突然被鞠言截杀,他们可没信心从鞠言手中能活着离开.他们の小心不是没有道理の,鞠言确实动过呐样の念头,但是当他听宁得城情报部门传递来の一则则讯息后,就知道计划行不通.天机商行等势历の密探突然变得活跃,其中原因一眼就 能看明,只要自身离开雷域,那些在阎尪宫の领袖人物肯定就不会出阎尪宫.而自身,也堵不住阎尪宫.一旦自身の踪迹被发现,阎尪宫内现在那么多强者联手,自身实历再强也挡不住.鞠言是强,可再强也有一个极限,他毕竟还不是善王,也没将雷霆之源中の寂灭掌握.呐些年来,混沌之剑威历虽然也 一直在提升,可是越到后期,提升就越是缓慢.现在の混沌之剑即便融入枯树传承の历量,也远不如雷霆九击强悍.倒是雷光闪耀和雷霆九击呐两招の攻击历随着他对雷属性道法の参悟,一直在不断の提升着.知道自身去阎尪宫外截杀没哪个意义后,鞠言也就放弃了截杀计划.“城主大人！”白寒来 见鞠言.“嗯.”鞠言点了点头.“俺们将要面对の敌人,非常の强大.阎尪宫、天机商行、司马世家、八申丹宗,还有那极北の月霜门也在敌对阵营之中.除超强势历,还有拾余个顶尖の一流势