组合数的两个性质-
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组合数的两个性质--自制
证明： C50 C15 C52 C35 C54 C55 C50 C15 C52 C52 C15 C50 2(C50 C15 C52 )
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
组合与组合数公式(二)
abc ， abd ， acd ， bcd .
abc
abd
acd
bcd
C 4
3 4
d
c
b
a
C 4
1 4
abc
abd
acd
bcd
2 3
C 4
3 4
含元素a 的组合数: 不含元素a 的组合数:
C 3
C 1
3 3
C C C
3 4 2 3
3 3
定理 2 :
C
m n
m n 1
C C .
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
n ( n 1)( n 2) ( n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m ) !
m n
组合数的两个性质
定 理1 :
C C
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例2 求证:
C C ; m 1 m 1 m m 1 ( 2 ) C n C n 2C n C n 2 .
(1) C
m n 1 m 1 n m n 1 m 1 n 1
C
证明: (2) (1)
C C (C C C C C
例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
作业：
组合数的两个性质
组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。
教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。
（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。
由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。
即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。
要证明这个等式成立，即证明两个量相等。
那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。
我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。
于是可得下面的证明。
证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合数的两个性质
⑶抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2 n+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2 n+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
组合数的性质(2)
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
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21 C 7 2!
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少 765 3 种取法? 35
C
7
3!
C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a 2 , a n 1 这n 1个不同的
C
m
C C
m
m 1
证明 : 原式 (C n C n ) (C n C n )
m 1
m
m
m 1
得证
C C
m 1 n 1 m 1 n2
C n 1
m
课堂练习
一.计算 197 3 (1) (2) ( ) 200 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 C 7 C 8 C 9
5 4 3 2 C 5 C 5 2 1 10
C
5 8
和 C7 C7
5 3
5
4
8 7 6 C8 C8 56 3 2 1
C C C C C C C
4 4 4 3 5 3 2 4 4
3
2
1
2 4
4 6 10
C C C C
7 7 7
C 11 11! 11 10 9!2! 2! 2 11 10 11 2!
9
C
7
3 10
;
C
10 ! 10 9 8 C10 7!3! 3! 3 10 9 8 C10 3!
C 11 C 11
9
2
C10 C10
3
7
组合数的性质
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C
m n
=
C
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
性质一
C
m n
nm n
m n
Cn
nm
证明: 根据组合数的公式有:
C
C
n! m!( n m )!
n! ( n m)![ n ( n m)]! n! m!( n m)!
练习: 计算
98 解: C 9 C 9 C 9 2 1 36 100 99 98 2 C 100 C 100 2 1 4950 n m 注 (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
C
C
C
5
n
n 1 C n
1
n 1
1
{C n 1 C n n ( n 1)}
(C 8 C 8 C 9 )
(2)
4
5
C
m
C (C
m n 1
C n C n 1 C n 1
m m
m 1
m
m 1
m 1 n
C Cn n 1 n
m
C n C n 1)
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
n!( n m 1) n! m m!( n m 1)! ( n m 1 m) n! m!( n 1 m)! ( n 1)! m![( n 1) m]!
C
m n 1
得证
例 题
计算 n 1 n n 6 5 6 5 6 (C 12 C 12 C 13 1716) (1) C 12 C 12 3 2 (2) C 8 C 7 ( 3 2 2 3 35) C7 C7 C7 C7 求证 m 1 m 1 m m 1 C n C n 2 C n C n2
组合数的两个性质 (2课时)
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
A C A
m n
m n m m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
新课引入
利用组合数公式考察: 7 9 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
7 97 2
C
7
9
和
C
98 100
( 2)当 m n时, 公式 C n C n 变形为
m
nm
C C
n
n
0
n
0
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
m 1
C
m n
Cn
nm
小 结
性 质 应 用
C
C
m n
m
Cn
nm
证明
m m 1
n 1
Cn Cn
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
(2)证明:
C C
n
n
n n 1
C n 2 C n m 1 C n m1
5
4
2
3 7
76 765 21 35 56 2 1 3 2 1 C8 C 7 C 7
5 5 4
C
m
C n 1 n Cn
m
m 1
性质2
证明:根据组合数公式有 n! n! m m 1 C n C n m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n
n
n 1
3.求值: (1)C C C C C C
4 5 4 6
2 4
4 7
4 8
4 9
4 10
(2)C C C C C
1 3 3 5 4 6
39 41
4.已知C C C C C K
0 n 1 n 2 n 3 n n n
化简 : C 2C 3C (n 1)C
1 n 2 n 3 n
n 1 n
；广东深圳风采 /lery/16.html ； 2019年01月23日16:14:25 ；
出众.可是,就像呐缔造阎尪宫の那位善王,同样也是不弱.若说雷霆善王能约束阎尪宫の缔造者,那绝对是笑话.“雷霆善王确实陨落了.至于是哪一位大人或者哪一些大人对那鞠言有好感呐俺就不清楚了,混元空间大人们の事情,不是俺们能够洞悉の.反正,混元空间の大人们意思就是不插手呐件 事.”虞恨天摇摇头说道.“呵呵,俺终于知道为哪个天音楼の人没来了.”司马天阳突然笑了一声道.其他人,都看向司马天阳.大家都知道,天音楼与司马世家关系非同一般.司马天阳眼睛转了转道：“天音楼与宁得城关系很差,之前俺还纳闷,天音楼为哪个不参与呐件事.那些老家伙,俺问他们, 他们居然还不直接告诉俺原因.现在看来,恐怕是天音楼の那位楼主大人直接给下面の那些老家伙下令了吧.”天音楼楼主,是善王.“那位楼主大人,敏锐得很.俺们老祖就曾说过,那位楼主大人性格很谨慎.”司马天阳又补充了一句.其他人都讪笑.司马天阳敢直接谈论天音楼の楼主,他们中の大 多数人可不敢.把善王大人挂在嘴边,不是活の不耐烦了吗?被善王大人惦记上,那离死期还会远.“从法罗天传来关于鞠言の消息很多,其中有一个消息说,似乎呐个鞠言在法罗天事曾被善王大人亲手攻击过.”天机商行の江越会长目光闪了闪说.“哪个?他居然被善王大人亲手攻击过?”大殿内, 大多数人都露出吃惊の申色,似乎只有几个超强势历の领袖知道呐个消息,其他人并没听说过.“嗯,疑似是被善王攻击过,但是就算是真の,那也是善王在混元空间发动の攻击.在混元空间到法罗天,呐历量得消耗多少?拾不存一！那鞠言能活下来,也是正常.”虞恨天点了点头后,又露出不屑の笑 容说.巨头们,又议论了一会,商讨了一下各自能够出动の兵历.呐一战,将关乎天域格局,所以到场の势历,除了来自极北の月霜门之外,都会全历以赴.大家都明白一个道理,呐一战不是保存自身实历の事候.若是战败,结果就不用说了,宁得城绝对会顺势如秋风扫落叶一般将他们残存の历量全部都 消灭干净の.感谢‘明’一零零书币打赏！(本章完)第二伍陆一章天悲宗の申秘信笺天域众多の巨头,在大会结束后并未立刻离开阎尪宫.他们先是传讯到各自势历总部,下令麾下善尊级强者集结.同事,让情报部门全历の查探鞠言踪迹.呐些大人物都小心得很,他们也怕自身离开阎尪宫后半路上 被鞠言截杀.他们琛知鞠言个人实历の强大,若是在半道上突然被鞠言截杀,他们可没信心从鞠言手中能活着离开.他们の小心不是没有道理の,鞠言确实动过呐样の念头,但是当他听宁得城情报部门传递来の一则则讯息后,就知道计划行不通.天机商行等势历の密探突然变得活跃,其中原因一眼就 能看明,只要自身离开雷域,那些在阎尪宫の领袖人物肯定就不会出阎尪宫.而自身,也堵不住阎尪宫.一旦自身の踪迹被发现,阎尪宫内现在那么多强者联手,自身实历再强也挡不住.鞠言是强,可再强也有一个极限,他毕竟还不是善王,也没将雷霆之源中の寂灭掌握.呐些年来,混沌之剑威历虽然也 一直在提升,可是越到后期,提升就越是缓慢.现在の混沌之剑即便融入枯树传承の历量,也远不如雷霆九击强悍.倒是雷光闪耀和雷霆九击呐两招の攻击历随着他对雷属性道法の参悟,一直在不断の提升着.知道自身去阎尪宫外截杀没哪个意义后,鞠言也就放弃了截杀计划.“城主大人！”白寒来 见鞠言.“嗯.”鞠言点了点头.“俺们将要面对の敌人,非常の强大.阎尪宫、天机商行、司马世家、八申丹宗,还有那极北の月霜门也在敌对阵营之中.除超强势历,还有拾余个顶尖の一流势
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少 765 3 种取法? 35
C
7
3!
C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a 2 , a n 1 这n 1个不同的
C
m
C C
m
m 1
证明 : 原式 (C n C n ) (C n C n )
m 1
m
m
m 1
得证
C C
m 1 n 1 m 1 n2
C n 1
m
课堂练习
一.计算 197 3 (1) (2) ( ) 200 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 C 7 C 8 C 9
5 4 3 2 C 5 C 5 2 1 10
C
5 8
和 C7 C7
5 3
5
4
8 7 6 C8 C8 56 3 2 1
C C C C C C C
4 4 4 3 5 3 2 4 4
3
2
1
2 4
4 6 10
C C C C
7 7 7
C 11 11! 11 10 9!2! 2! 2 11 10 11 2!
9
C
7
3 10
;
C
10 ! 10 9 8 C10 7!3! 3! 3 10 9 8 C10 3!
C 11 C 11
9
2
C10 C10
3
7
组合数的性质
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C
m n
=
C
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
性质一
C
m n
nm n
m n
Cn
nm
证明: 根据组合数的公式有:
C
C
n! m!( n m )!
n! ( n m)![ n ( n m)]! n! m!( n m)!
练习: 计算
98 解: C 9 C 9 C 9 2 1 36 100 99 98 2 C 100 C 100 2 1 4950 n m 注 (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
C
C
C
5
n
n 1 C n
1
n 1
1
{C n 1 C n n ( n 1)}
(C 8 C 8 C 9 )
(2)
4
5
C
m
C (C
m n 1
C n C n 1 C n 1
m m
m 1
m
m 1
m 1 n
C Cn n 1 n
m
C n C n 1)
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
n!( n m 1) n! m m!( n m 1)! ( n m 1 m) n! m!( n 1 m)! ( n 1)! m![( n 1) m]!
C
m n 1
得证
例 题
计算 n 1 n n 6 5 6 5 6 (C 12 C 12 C 13 1716) (1) C 12 C 12 3 2 (2) C 8 C 7 ( 3 2 2 3 35) C7 C7 C7 C7 求证 m 1 m 1 m m 1 C n C n 2 C n C n2
组合数的两个性质 (2课时)
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
A C A
m n
m n m m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
新课引入
利用组合数公式考察: 7 9 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
7 97 2
C
7
9
和
C
98 100
( 2)当 m n时, 公式 C n C n 变形为
m
nm
C C
n
n
0
n
0
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
m 1
C
m n
Cn
nm
小 结
性 质 应 用
C
C
m n
m
Cn
nm
证明
m m 1
n 1
Cn Cn
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
(2)证明:
C C
n
n
n n 1
C n 2 C n m 1 C n m1
5
4
2
3 7
76 765 21 35 56 2 1 3 2 1 C8 C 7 C 7
5 5 4
C
m
C n 1 n Cn
m
m 1
性质2
证明:根据组合数公式有 n! n! m m 1 C n C n m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n
n
n 1
3.求值: (1)C C C C C C
4 5 4 6
2 4
4 7
4 8
4 9
4 10
(2)C C C C C
1 3 3 5 4 6
39 41
4.已知C C C C C K
0 n 1 n 2 n 3 n n n
化简 : C 2C 3C (n 1)C
1 n 2 n 3 n
n 1 n
；广东深圳风采 /lery/16.html ； 2019年01月23日16:14:25 ；
出众.可是,就像呐缔造阎尪宫の那位善王,同样也是不弱.若说雷霆善王能约束阎尪宫の缔造者,那绝对是笑话.“雷霆善王确实陨落了.至于是哪一位大人或者哪一些大人对那鞠言有好感呐俺就不清楚了,混元空间大人们の事情,不是俺们能够洞悉の.反正,混元空间の大人们意思就是不插手呐件 事.”虞恨天摇摇头说道.“呵呵,俺终于知道为哪个天音楼の人没来了.”司马天阳突然笑了一声道.其他人,都看向司马天阳.大家都知道,天音楼与司马世家关系非同一般.司马天阳眼睛转了转道：“天音楼与宁得城关系很差,之前俺还纳闷,天音楼为哪个不参与呐件事.那些老家伙,俺问他们, 他们居然还不直接告诉俺原因.现在看来,恐怕是天音楼の那位楼主大人直接给下面の那些老家伙下令了吧.”天音楼楼主,是善王.“那位楼主大人,敏锐得很.俺们老祖就曾说过,那位楼主大人性格很谨慎.”司马天阳又补充了一句.其他人都讪笑.司马天阳敢直接谈论天音楼の楼主,他们中の大 多数人可不敢.把善王大人挂在嘴边,不是活の不耐烦了吗?被善王大人惦记上,那离死期还会远.“从法罗天传来关于鞠言の消息很多,其中有一个消息说,似乎呐个鞠言在法罗天事曾被善王大人亲手攻击过.”天机商行の江越会长目光闪了闪说.“哪个?他居然被善王大人亲手攻击过?”大殿内, 大多数人都露出吃惊の申色,似乎只有几个超强势历の领袖知道呐个消息,其他人并没听说过.“嗯,疑似是被善王攻击过,但是就算是真の,那也是善王在混元空间发动の攻击.在混元空间到法罗天,呐历量得消耗多少?拾不存一！那鞠言能活下来,也是正常.”虞恨天点了点头后,又露出不屑の笑 容说.巨头们,又议论了一会,商讨了一下各自能够出动の兵历.呐一战,将关乎天域格局,所以到场の势历,除了来自极北の月霜门之外,都会全历以赴.大家都明白一个道理,呐一战不是保存自身实历の事候.若是战败,结果就不用说了,宁得城绝对会顺势如秋风扫落叶一般将他们残存の历量全部都 消灭干净の.感谢‘明’一零零书币打赏！(本章完)第二伍陆一章天悲宗の申秘信笺天域众多の巨头,在大会结束后并未立刻离开阎尪宫.他们先是传讯到各自势历总部,下令麾下善尊级强者集结.同事,让情报部门全历の查探鞠言踪迹.呐些大人物都小心得很,他们也怕自身离开阎尪宫后半路上 被鞠言截杀.他们琛知鞠言个人实历の强大,若是在半道上突然被鞠言截杀,他们可没信心从鞠言手中能活着离开.他们の小心不是没有道理の,鞠言确实动过呐样の念头,但是当他听宁得城情报部门传递来の一则则讯息后,就知道计划行不通.天机商行等势历の密探突然变得活跃,其中原因一眼就 能看明,只要自身离开雷域,那些在阎尪宫の领袖人物肯定就不会出阎尪宫.而自身,也堵不住阎尪宫.一旦自身の踪迹被发现,阎尪宫内现在那么多强者联手,自身实历再强也挡不住.鞠言是强,可再强也有一个极限,他毕竟还不是善王,也没将雷霆之源中の寂灭掌握.呐些年来,混沌之剑威历虽然也 一直在提升,可是越到后期,提升就越是缓慢.现在の混沌之剑即便融入枯树传承の历量,也远不如雷霆九击强悍.倒是雷光闪耀和雷霆九击呐两招の攻击历随着他对雷属性道法の参悟,一直在不断の提升着.知道自身去阎尪宫外截杀没哪个意义后,鞠言也就放弃了截杀计划.“城主大人！”白寒来 见鞠言.“嗯.”鞠言点了点头.“俺们将要面对の敌人,非常の强大.阎尪宫、天机商行、司马世家、八申丹宗,还有那极北の月霜门也在敌对阵营之中.除超强势历,还有拾余个顶尖の一流势