人教版高中数学选修2-3：第一章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质含解析
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《“杨辉三角”与二项式系数的性质》
第一章 计数原理§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质班级：高二（ ）班 学号： 姓名：学习目标： 1．掌握杨辉三角的特点；2．根据杨辉三角理解二项式定理展开式中二项式系数的关系；学习重点：根据杨辉三角理解二项式定理展开式中二项式系数的关系学习难点：杨辉三角的应用学习过程：预习﹒交流﹒评价1．由“杨辉三角”可以看出，二项式定理具有下面的性质：（1）表中每行的两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
（2）与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ，即m n C ＝ 。
（3）若n 是偶数时，则其展开式中间一项 的二项式系数最大；若n 是奇数时，则其展开式中间两项 的二项式系数相等且最大。
（4）二项展开式的各二项式系数的和等于 ，即 。
新知﹒巩固﹒展示例1. 证明在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
变式一：（1）求1351111111111C C C C ++++ （2）=++++++++++++n n n n n n n n n n C C C C C C C C 1211101210 例2． 已知()21n x -展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含6x 的项。
变式二：（1）求()111x -的展开式中二项式系数最大的项。
（2）已知1na ⎫⎪⎭的展开式中的第3项含有2a ，求n 的值； （3）已知()1nx +的展开式中，第4项和第6项的系数相等，求这两项的系数。
例3．用二项式定理证明：（1）()11nn +-能被2n 整除； （2）10991-能被100整除．训练﹒拓展﹒提高（A 组）：1．填空：（1）已知591515,,C a C b ==那么1016C ＝ ；（2）当n 为偶数时，()n a b +展开式中，二项式系数最大项是第 项； 当n 为奇数时，()na b +展开式中，二项式系数最大项是第 项； （3）在(92展开式中，二项式系数最大项是 ．2．（1）求（1-2x ）15的展开式中前4项； （2）求（2a 3-3b 2）10的展开式中第8项；（3）求10112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含51x 项的系数； （4）求1032122x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项； （5）求63⎛⎫- ⎝的展开式的中间一项； （6）求(9的展开式的中间两项。
选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。
【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。
【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2…………………………………………………1 2 1(a+b)3………………………………………………1 3 3 1(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1…………………………… 爱国教育，杨辉三角 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。
杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)
个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
yn nCn1
zn
n(n1) 2
Cn21
4 知能检测
例1、在 (1 2 x)n 的展开式中，只有
第五项的二项式系数最大，则 n 8
若
变式:若 (1 2 x)n 的展开式中的第4项 与第5项的系数相等，求展开式中二项式 系数最大的项。
思考题2:若 (1 2 x)n 的展开式中的第4项 与第5项的二项式系数相等，求展开式中 系数最大的项。
敬请指导
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。
【课件】人教版高中数学选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-课件(共91张PPT)
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
【数学课件】选修2-3第一章1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质人教A版
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
（4） a7 a6 a1 a0 .
思考
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
赋值法
课堂练习
题型二 求展开式的各项系数和
例2 设 (3x 1)7 a7 x7 a6 x6 a1x a0 ，求 （1） a7 a6 a1 ； （2） a7 a5 a3 a1 ； （3） a6 a4 a2 a0 ；
高中数学(人教A版)选修2-3之 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)
0 2 3 即 0 Cn Cn C1 C n n , 0 n 2 Cn 1 n 3 Cn
所以 C
0 n
1 n
C
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二 项式系数有什么特点？
二项式系数
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 0 1 (a b) C C 1 1 1 1
n
(a b) 3 (a b) (a b) (a b)
……
5
2
1
1 3 1 4 1 5
2
6 10
1
3 10 1 4 1 5
0 5
C CC
0 2
1 2
2 2
0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
0 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 C4
4
1 C CC C C C
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
……
n
0 n 1 n 2 n
……
(a b)
C C C ...C ...C
r n
n 1 n
C
n n
二项式系数的特点
( a + b ) … … … … … … … … …1
研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的 项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大 项的方法或步骤。
小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
人教版高中数学选修2-3《1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质》
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
四、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质
2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
悄悄的我走了，
正如我悄悄的来；
我翻一翻课本，
让我收获点什么 。
C
r r 2
C
r n 1
C
r 1 n
(n>r)
?
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
r r r r r 1 C C C C C 即 r r 1 r 2 n 1 n (n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
杨辉三角与二项式系数的性质
杨辉三角中的一些“秘密”
杨 辉 三 角
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行
1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 4 4 1 6 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 r
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C C C C n 1 n 1 … n 1 第n-1行 1 C n 1 n 1 r n 1 2 1 … … Cn Cn 第 n行 1 C n C n …… … …
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 4 1 20=10+10 6 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
选修2-3.1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质
2019/4/10
v:pzyandong
19
知识点
二项式系数的性质
[问题] (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成
如下形式：
2019/4/10
v:pzyandong
20
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系
数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩 上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
2019/4/10 v:pzyandong 5
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九 章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还 说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉 指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11
13
知识对接测查2 1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 二项式系数最大的项是第 3 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 ， ；
C
6 11
.
2. 在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
C 462
5 11
6 最大的系数呢？ C11
462
2019/4/10
2019/4/10
n1
倒序相加法
v:pzyandong
18
0 1 n ( a b ) C , C , C 一般地， 展开式的二项式系数 n n n 有如下性质：
n
（ 1） C C
高中数学人教A版选修2-3课件1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
∴Tr+1=C10
2
2
2x
10-5
r
=C10
2 2
r -2r
(0≤r≤10,且 r∈N),
10-5
要求该展开式中的有理项,只需令
2
∴r=0,2,4,6,8,10.∴有理项的个数为 6.
∈Z.
探究一
探究二
探究三
规范解答
(2)设第 Tr+1 项的系数最大,
-1
C10
2 ≥ C10 2-1 ,
+1
2
.
时,二项式系数是逐渐增大的,由对称
性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数
-1
2
+1
2
时,中间的一项取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项C 和C
相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和.
C0 + C1 + C2 +…+C =2n.
思路分析:由数列的项在杨辉三角中的位置,将项还原为二项式
系数,结合组合数的性质求和.
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
解:由杨辉三角可知,数列中的首项是C22 ,第 2 项是C12 ,第 3 项是C32 ,
2
1
2
第 4 项是C13 ,…,第 17 项是C10
,第 18 项是C10
,第 19 项是C11
.
1
2
2
故 S19=(C12 + C22 )+(C13 + C32 )+(C14 + C42 )+…+(C10
人教版高中数学选修2-3课件：第一章1-3-1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
（2＋9）×8 10×9×8 ＋ ＝164. 2 3×2×1
答案：C
归纳升华 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是： 先通过观 察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来， 使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、 隔行看、从多角度观察．
C1 9.
2 1 2 1 2 1 1 所以 S16＝C1 ＋ C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＋ C ＝ (C ＋ C 2 2 3 3 9 9 2 3 2 2 2 3 ＋ … ＋ C1 ) ＋ (C ＋ C ＋ … ＋ C ) ＝ (2 ＋ 3 ＋ … ＋ 9) ＋ C 9 2 3 9 10 ＝
)
C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系 数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为 偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误； D 也是正确的， 因为展开式中第 6 项的系数是负数， 所以是系数中最小的． 答案：C
m n m C ＝ C 数相等，它反映了组合数性质_________ n n ．
－
n＋1 (2)增减性与最大值．当 k＜ 时，二项式系数是逐 2 渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减少的，且在 中间取得最大值．当 n 为偶数时，中间一项的二项式系 n 数 C2n 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项
＋…＋Cn n.(
)
解析：(1)对，由杨辉三角观察可知结论正确． (2)错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的 两个概念，所以最大项也不相同．
1 2 (3)错，二项展开式的二项式系数和为 C0 ＋ C ＋ C n n n r ＋…＋Cn ＋…＋Cn n.
2020-2021学年人教A版数学选修2-3教师用书：第1章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二
姓名，年级：时间：1.3。
2 “杨辉三角"与二项式系数的性质学习目标核心素养1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点）2。
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点）3。
理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。
2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.1．杨辉三角的特点（1)在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等．(2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上"两个数的和，即C错误!＝C错误!＋C错误!.2．二项式系数的性质（1)对称性：在(a＋b）n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C错误!＝C错误!,C错误!＝C错误!，…，C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值:当k＜错误!时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n;(2)C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－1。
1．(1－2x）15的展开式中的各项系数和是( )A．1 B．－1C．215D．315B［令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1。
］2．在（a＋b）10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ）A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．在（a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在（a＋b)9的展开式中,二项式系数最大的项为________________．70a4b4126a5b4与126a4b5［因为（a＋b）8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大，该项为C错误!a4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C错误!a5b4＝126a5b4，C错误!a4b5＝126a4b5。
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第一章计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
A级基础巩固
一、选择题
1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.
答案：C
2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋a n＝30，则n等于( )
A．5 B．3 C．4 D．7
解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋a n＝2＋22＋…＋2n＝30，解得n＝4.
答案：C
3．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项B．第5项
C．第5、第6项D．第6、第7项
解析：因为C 3n ＝C 7n ，所以n ＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项． 答案：A
4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n
的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63 D ．31
解析：由已知(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝
12×26＝32.
答案：B
5．设⎝
⎛⎭⎪⎪⎫5x －1x n 的展开式中各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )
A ．－150
B ．150
C ．300
D ．－300
解析：令x ＝1，得M ＝4n ，又N ＝2n ，故4n －2n ＝240，解得n ＝4.展开式中
的通项为T r ＋1＝C r 4(5x)4－r ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x4－32r ，令4－32r ＝1得r ＝2，所以当r ＝2时，展开式中x 的系数为(－1)2·C 24·52＝150.
答案：B
二、填空题
6．(a ＋
a)n 的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T 8＝________．
解析：C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a)7
＝120a 132.
答案：120a 132
7．(1＋
x)n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8＜C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＜32，即8＜2n ＜32.所以n ＝
4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(
x)2＝6x. 答案：6x
8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________． 1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
解析：由于每行的第1个数1，3，5，7，9，…成等差数列，由等差数列的知识可知，a n ＝2n －1.
答案：2n －1
三、解答题
9．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求：
(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；
(2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.
解：(1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，。