2014年秋季学期新版新人教版八年级数学上册11.2《与三角形有关的角》课件
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人教版八年级数学上册11.2《与三角形有关的角》课件
辅助线通常画成虚线.
思路 添加平行线 （转化法） （辅助线）
利用平行线的 性质，转移角
① 依据平角定义，得到180°； ② 两直线平行，同旁内角互补．
知识点二 运用三角形内角和定理
将正确答案填到相应的横线上。
① 在△ABC中，∠A＝30°，∠B ＝ 65°，则∠C ＝___8_5_°__ ② 在△ABC中，∠C＝ 42°，∠A ＝ ∠B，则∠B ＝ ___6_9_°__ ③ 在△ABC中，∠A＝∠B ＝∠C，则∠A ＝ ___6_0_°__ ④ 在△ABC中，∠C＝ 36°，∠A：∠B ＝ 1：2，则∠B ＝ ___9_6_°__
23 14
课堂小结
1 本节课学习了哪些主要内容？ 2 为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180”？ 3 是如何找到三角形内角和定理的证明思路的？
三角形的内 角和
三角形内角 和定理
三角形三个内角的和等于180°
命题证明步骤
1.写出已知求证（画出图形） 2.写出证明过程
数学方法
辅助线（虚线）
B
C
有两个直角三角形，它们有一组锐角对应相等，另一组锐角的 数量关系是什么？ 两个直角三角形可以组合成哪些图形？
D A
B
C
E
F
F (C)
C
B A
D
E
D (C)
A B(E)
垂直模型
B
F
D (A)
E
F
E B
E
D (A) B
C
F
F (A)
CD
例3 如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）.
思路 添加平行线 （转化法） （辅助线）
利用平行线的 性质，转移角
① 依据平角定义，得到180°； ② 两直线平行，同旁内角互补．
知识点二 运用三角形内角和定理
将正确答案填到相应的横线上。
① 在△ABC中，∠A＝30°，∠B ＝ 65°，则∠C ＝___8_5_°__ ② 在△ABC中，∠C＝ 42°，∠A ＝ ∠B，则∠B ＝ ___6_9_°__ ③ 在△ABC中，∠A＝∠B ＝∠C，则∠A ＝ ___6_0_°__ ④ 在△ABC中，∠C＝ 36°，∠A：∠B ＝ 1：2，则∠B ＝ ___9_6_°__
23 14
课堂小结
1 本节课学习了哪些主要内容？ 2 为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180”？ 3 是如何找到三角形内角和定理的证明思路的？
三角形的内 角和
三角形内角 和定理
三角形三个内角的和等于180°
命题证明步骤
1.写出已知求证（画出图形） 2.写出证明过程
数学方法
辅助线（虚线）
B
C
有两个直角三角形，它们有一组锐角对应相等，另一组锐角的 数量关系是什么？ 两个直角三角形可以组合成哪些图形？
D A
B
C
E
F
F (C)
C
B A
D
E
D (C)
A B(E)
垂直模型
B
F
D (A)
E
F
E B
E
D (A) B
C
F
F (A)
CD
例3 如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
∴∠1+∠2+ ∠3=180°（等量代换）.
(精品)人教版数学八上11.2与三角形有关的角课件(27张ppt).ppt
∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 ° ∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD Excellent courseware = 6 0 °- 45 °
教材知识点精讲
2. 三角形外角
A 三角形的一边与
另一边的反向延长 线组成的角．
B
C
D
三角形同一顶点有几个外角? 它们有什么关系?
教材知识点精讲
2. 三角形外角
4
A 1
B 2
D
3 解：过A作AD平行于BC
C
∴ ∠3＝ ∠4
∴ ∠2＝ ∠BAD
两直线平行， 同位角相等
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°
Excellent courseware
知识点及时练
C
利用三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形．
Excellent courseware
知识点及时练
1 如图，在⊿ABC中，∠BAC=40 ° ，∠B=75 ° ，AD是⊿ ABC的角平分线，求∠ADB的度
C
数。
D
解：∵AD是⊿ ABC的角平分线,
∠BAC=40 ° (已知)
∴∠1= ∠12BAC=20°
Excellent courseware
教材知识点精讲
1. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和是180°
想办法验证
Excellent courseware
量
600
锐角三角形
480
720
60°＋48°＋72°＝180°
Excellent courseware
量
380 260 钝角三1角1形60
116°＋26°＋38°＝180°
人教版初中八年级数学上册11.2_与三角形有关的角——三角形的角ppt课件
因为∠B C A +∠A C E +∠E C D =180°﹙平角定义﹚
所以∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法二
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A E
证明：延长B C至点D ，过点C 作C E∥BA.
B
C
D
则∠ A =∠A C E ﹙两直线平行，内错角相等﹚
∴ ∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
E 证明：在△A B C的外部以C A 为边 作∠A C E =∠A. 延长BC至点D 。
B
C
D
则 C E∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚
所以∠D C E =∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
人教版八年级数学上册课件：11.2 与三角形有关的角
八年级数学·上
新课标 [人]
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理的应用
例1
已知△ABC中，∠A= 1 ∠B，∠B= 1 ∠C，求
2
△ABC的各个内角的度数.
3
〔解析〕 由于∠A和∠C都与∠B有关,因此可设出∠B的度 数,然后根据三角形的内角和定理列出方程,求出△ABC的各个 内角的度数,从而判断出三角形的形状.
故∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°.根据BE平分∠ABC得
出∠ABC的度数. 根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∠C=60°，即可求解.
解:∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°.
【解题归纳】 本题是三
, 角形的内角和定理和角平
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°,∠BED=70° 分解.
解:∵∠ADB=100°，∠C=80°，
【解题归纳】 本题考查
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°，
∵∠BAD= ∴∠BAD=
1 2
1
∠DAC， ×20°=10°,
2
在△ABD中,∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD
了三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的 和的性质,三角形的内角 和定理,角平分线的定义, 熟记性质与定理并准确识 图,理清图中各角度之间
直角三角形性质与判定的综合应用
例2 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，
点E是AB上一点，CE交AD于点M，且 ∠DCM=∠MAE，求证△ACE是直角三角形.
〔解析〕要证明△ACE是直角三角形，
只要证明∠CEA=90°即可.
证明:∵AD是BC边上的高， ∴∠DMC+∠DCM=90°，
新课标 [人]
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理的应用
例1
已知△ABC中，∠A= 1 ∠B，∠B= 1 ∠C，求
2
△ABC的各个内角的度数.
3
〔解析〕 由于∠A和∠C都与∠B有关,因此可设出∠B的度 数,然后根据三角形的内角和定理列出方程,求出△ABC的各个 内角的度数,从而判断出三角形的形状.
故∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°.根据BE平分∠ABC得
出∠ABC的度数. 根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∠C=60°，即可求解.
解:∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°.
【解题归纳】 本题是三
, 角形的内角和定理和角平
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°,∠BED=70° 分解.
解:∵∠ADB=100°，∠C=80°，
【解题归纳】 本题考查
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°，
∵∠BAD= ∴∠BAD=
1 2
1
∠DAC， ×20°=10°,
2
在△ABD中,∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD
了三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的 和的性质,三角形的内角 和定理,角平分线的定义, 熟记性质与定理并准确识 图,理清图中各角度之间
直角三角形性质与判定的综合应用
例2 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，
点E是AB上一点，CE交AD于点M，且 ∠DCM=∠MAE，求证△ACE是直角三角形.
〔解析〕要证明△ACE是直角三角形，
只要证明∠CEA=90°即可.
证明:∵AD是BC边上的高， ∴∠DMC+∠DCM=90°，
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2 三角形的外角教学课件
∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34°
B
DC
＝110°.
巩固练习
11.1 与三角形有关的线段/
4. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ∠2 ；
1
∠3 = 2 ∠ABC ；
∠ACB = 2∠4.
A
1
2
12 E F
3
B
3
D
44
C
探究新知
三角形的 重要线段
解得x=4.
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
知识点 2 三角形中线的概念
我们学习了三角形的高，我们已经知道了三 角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画 一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三 角形吗？
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的中线的定义
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做 三角形的中线．
巩固练习
11.1 与三角形有关的线段/
2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3， AB=6时，求AB边上的高的长度.
解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，
△AED，△AEC，△ADC.
(2)设AB边上的高为x，
∵S△ABC=
1
2 BC·AE=
1
2AB·x
∴BC·AE=AB·x，8×3=6x
3条高，锐角三角 形：形内；钝角 三角形：形外； 直角三角形：直 角顶点
∵ AD是△ABC的BC上
的中线. ∴ BD=CD= 12BC.
3条，交点叫作三 角形的重心.形内
∵AD是△ABC的∠BAC
的平分线 ∴ ∠1=∠2= 12∠BAC
数学人教版八年级上册11.2 与三角形有关的角(2).2 与三角形有关的角(第2课时)课件 (新版)新人教版
1
B
6
4
C
结论：三角形的外 角和等于360°
练一练
1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
70°
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
80°
B
D
C
练一练
2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
B A
∵∠A+∠B=∠1， ∠C+∠D=∠2， ∠E+∠F=∠3 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+
B
C
D
位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。 数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间 有何关系？ A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A A
C
P
1
N
3
F
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
2
M
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
D
E
∠E+∠F= 360°
课堂小结
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角. (二)三角形的外角与内角的关系： 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和；
A D
B
6
4
C
结论：三角形的外 角和等于360°
练一练
1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
70°
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
80°
B
D
C
练一练
2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
B A
∵∠A+∠B=∠1， ∠C+∠D=∠2， ∠E+∠F=∠3 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+
B
C
D
位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。 数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间 有何关系？ A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A A
C
P
1
N
3
F
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
2
M
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
D
E
∠E+∠F= 360°
课堂小结
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角. (二)三角形的外角与内角的关系： 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和；
A D
八年级数学上册 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.2 三角形的外角课件
关闭
C
第六页，共十三页。
解析解(j析iě xī)
答答案案(dá
àn)
1
2
3
4
5
6
7
2.若三角形的一个外角(wài jiǎo)小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
关闭
C
第七页，共十三页。
答答à案n案)(dá
1
2
3
4
5
6
7
3.如图,已知AB∥CD,∠EBA=45°,则∠E+∠D的度数(dùshu)为 ( ). A.30° B.60°
11.2.2 三角形的外角(wài jiǎo)
第一页，共十三页。
学前温故
(wēn ɡù)
新课早知
1.三角形三个内角的和等于 180°. 2.在两条直线相交所构成的四个角中,相邻(xiānɡ lín)的两个角的度数和
为 180° .
第二页，共十三页。
学前温故
(wēn ɡù)
新课早知
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的
第十三页，共十三页。
2.三角形内角、外角的不等关系 【例2】 如图,点D是△ABC外角∠ACE的平分线 与BA的延长线的交点(jiāodiǎn).求证:∠BAC>∠B. 分析∠BAC,∠DCE分别是△ACD,△BCD的一个外角,根据三角形的外角大于 任何一个和它不相邻的内角进行证明. 证明∵∠BAC是△ACD的一个外角, ∴∠BAC>∠ACD. ∵∠DCE是△BCD的一个外角, ∴∠DCE>∠B. 又CD平分∠ACE,∴∠ACD=∠DCE, ∴∠BAC>∠ACD=∠DCE>∠B,即∠BAC>∠B.
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2三角形的内角教学课件
解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)
＝130°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分
∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则
∠ADE的大小是( C )
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
1
∴∠ACE＝ 2 ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
5.完成下列各题.
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= 102°
.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
变 式 题 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，
∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
1
2
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB= × 78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°．
课堂检测
11.2 与三角形有关的角/
基 础 巩 固 题
1.求出下列各图中的x值．
70
40
x
x°
x=70
＝130°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分
∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则
∠ADE的大小是( C )
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
1
∴∠ACE＝ 2 ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
5.完成下列各题.
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= 102°
.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
变 式 题 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，
∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
1
2
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB= × 78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°．
课堂检测
11.2 与三角形有关的角/
基 础 巩 固 题
1.求出下列各图中的x值．
70
40
x
x°
x=70
11.2 与三角形有关的角人教版八年级数学上册课件
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习
我是最棒的
直角三角形的两锐角之和是多少度?
等边三角形的一个内角是多少度?
请说明你的结论.
A A
C
B
B
C
结论: 直角三角形的两个锐角互余. 以后可以直接运用.
动脑筋：
1 三角形中最大的角是 70 ，那么这个三角形
是锐角三角形。（ √ ） 2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（√ ） 3 一个等腰三角形一定是锐角三角形。（ × ） 4 一个三角形最少有一个角不大于 60 。（ √ ）
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
A
E
1
2
B
CD
三角形的内角和等于1800.
证法3：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
三角形内角和定理的证明
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平 时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老 二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
你还能想起是怎样得到的吗？
C
A
B
尽力想一想， 你能想出多 少种拼法?
提出问题
11.2与三角形有关的角 课件 人教版数学八年级上册
感悟新知
另解一：如图11. 2-10，连接AC 并延长.
知3－练
∵∠ 1 是△ ACD 的一个外角，
∠ 2 是△ ACB 的一个外角，
∴∠ 1= ∠ D＋ ∠ DAC，∠ 2= ∠ B＋ ∠ BAC.
∴ ∠ BCD= ∠ 1＋ ∠ 2= ∠ D＋ ∠ B＋ ∠ BAC＋
∠ DAC=∠ D＋ ∠ B＋ ∠ BAD=3 0 °＋2 0 °＋
知3－练
感悟新知
知3－练
5-1. 如图，∠ ACD 是△ ABC 的一个外角，CE平分∠ ACD， 若∠ A=60 °，∠ B=40 °，求∠ ECD 的度数．
感悟新知
知3－练
解：∵∠ACD 是△ ABC 的一个外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠B＝60°＋40°＝100°. ∵CE 平分∠ACD，∴∠ECD＝12∠ACD＝50°.
感悟新知
知2－练
3-1.下列条件中： ①∠ A＋∠ B=∠ C；②∠ A∶∠ B∶∠C=1∶1∶2； ③∠ A=∠ B=∠ C；④∠ A=90°－∠ B. 能确定△ ABC 是直角三角形的有( B ) A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④
感悟新知
知2－练
例4 如图11.2-4，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ ACD= ∠ B. 求证：CD ⊥ AB.
感悟新知
知2－练
例2 如图11.2-2，AB，CD 相交于点O，AC ⊥ CD 于点C， 若∠ BOD=35°，则∠ A=___5_5_°_ .
感悟新知
知2－练
解题秘方：根据直角三角形中两锐角互余求角 的度数. 解：∵∠ BOD=35°，∴∠ AOC=35°. ∵ AC ⊥ CD，∴∠ ACD=90°. ∴ ∠ A=90°－∠ AOC=90°－35°= 55°.
人教版八年级数学上册教学课件 11.2 与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角
【综合运用】 19．(12分)如图所示，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与 ∠C的数量关系．
解：∵∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋ ∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝360°－360°＋2∠C＝2∠C.即∠1＋∠2＝2∠C
三、解答题(共40分) 16．(8分)(教材P17T7变式)如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东 20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB的度数．
解：由题意，得∠2＝∠1＝60°，∠3＝20°， ∴∠ABC＝90°－∠2＝90°－60°＝30°，∠BAC＝∠1＋∠3＝60°＋20°＝80°.∵ ∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠ACB＝180°－30°－80°＝70°.
18．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且 ∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝180°2－∠A＝70°.又∵∠1＝ ∠2，∴∠BCP＝∠ABP.∴∠2＋∠BCP＝70°， ∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝110°
第十一章 三角形
11．2 与三角形有关的角
第1课时 三角形的内角
八年级上册·数学·人教版
三角形的内角和定理：__三角形三个内角的和等于180°__．
三角形的内角和定理 1．(3分)(南宁中考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( B ) A．100° B．80° C．60° D．40°
5．(3分)(长春中考)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交 AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( C ) A．44° B．40° C．39° D．38°
人教版数学八年级上册11.2.1.2 直角三角形的两个锐角互余课件(共19张PPT)
D
1 E
C
2B
∴△ADE是直角三角形.
随堂练习
1.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝
1 2
∠B＝
1 3
∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝2∠B＝3∠C
2.如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：
∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°= __1_8_0_°_ . ∴∠1+∠2= __9_0_°__ . ∴∠E= __9_0_°__ . ∴△AEC是___直__角__三__角__形__ .
在 Rt△BDE 中，
A
B
∠DBE = 90° -∠BED，
∵ ∠AEC =∠BED，
∴ ∠CAE =∠DBE.
例2 如图，小唯唯在一个Rt△ABC中，∠C=90 °， 测量得到∠1= ∠2，
他想知道△ADE是直角三角形吗？为什么？请你证明.
A
解：在Rt△ABC中，∠C=90 ° ∴∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2， ∴∠1 + ∠A=90 °.
老大的度数为 90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于 90°，而三角形的内角和为 180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我 是永远的老大.
那老大和老二是 什么关系呢？
新知学习
探究
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，你能求出∠A+∠B 的度数吗？
在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，
A
由三角形内角和定理，得
∠A +∠B +∠C = 180°，
人教版八年级数学上册 第11章 第2节 与三角形有关的角 课件(共50张PPT)
北 D
50°
C
1
E
2 40°
B F
你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗？
A
解： 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 ° 例题讲解3
1.如图,从A处观测C处时仰角 ∠CAD＝30°,从B处观测C处时 仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、 A B两处时视角∠ACB是多少? 解：在△ACD中
思考与探索
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30+60+90=180
45+45+90=180
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
三角形的三个内角和是多少?
你有什么办法可以验证呢?
180° 实践操作
把三个角拼在一起试试看？
从刚才拼角的过程你能 想出证明的办法吗?
证法一
E C
1
北
N 2 40 °
解：过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N
50°
B
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50° ∴∠1=180 °-90°-50° =40°
A
∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50° ∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2 =180 °-40°-50° =90°例题讲解3
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 于是CE∥BA ∴∠B=∠2 (内错角相等，两直线平行).
新人教八年级数学上册教学课件：11.2 与三角形有关的角 (共61张PPT)
例3 如图11-2-1，BD是△ABC的高，AE是角平分线，
∠BAE=26°，求∠BFE的度数.
图11-2-1
解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°， ∴∠FAD=∠BAE=26°. ∵BD是△ABC的高，∴∠AFD=90°-∠FAD=90°26°=64°. ∴∠BFE=∠AFD=64°.
(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直
1 2 1 2
∴ PEF BEF，PFE DFE ，
1 ∴ PEF PFE BEF DFE 90 . 2
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°,∴∠P=90°. ∴△EFP是直角三角形.
三角形的外角及三角形内角和定理的推论 文字叙述 几何语言
三角形
的外角 三角形 内角和
问题，还要注意，可将其与内角和定理的推论综合运用.
混淆方位角 例6 如图11-2-4，A点在B处的北偏东40°方向，C 点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方 向，求∠BAC及∠BCA的度数.
图11-2-4
解：由题意，得∠DBA=40°，∠DBC=85°，
BD∥CE，
∴∠ECB=180°-∠DBC=180°-85°=95°， ∠ABC=∠DBC-∠DBA=85°-40°=45°. ∵∠ECA=45°，∴∠BCA=∠ECB-∠ECA=95°45°=50°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°45°=85°.
例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为
2∶3∶4，则该三角形最大角的度数是________. 80° 解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为2x，
3x,4x.由三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°，解得
人教版初中八年级数学上册11.2与三角形有关的角(第二课时)ppt课件
A
推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
B
C
课堂练习
练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D， ∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
C 相等．
同角的余角相等．
A 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是 △ACB 的高吗？为什么？
是．
C
有两个角互余的三角形
是直角三角形．
A
B
D
课堂练习
变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角 三角形吗？为什么？
是．
C
有两个角互余的三角形
是直角三角形．
A
B
D
课堂练习
变式3 如图，若∠C =90°，∠AED =∠B，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．
八年级 上册
11.2 与三角形有关的角 （第2课时）
课件说明
• 在学习了三角形的内角和的基础上，本节课进一步 研究直角三角形的性质与判定，以及运用性质与判 定解决问题．
课件说明
• 学习目标： 1．探索并掌握直角三角形的两个锐角互余． 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．
• 学习重点： 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°，
A
C D
E
B
例题讲解
例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
八年级数学上册 11.2 与三角形有关的角(第1课时)课件 (新版)新人教版
解：∠ACB＝70°
第十五页，共19页。
20．如图，在△ABC中，边BC不动，点A竖直向上运 动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减少α 度，∠B增加(zēngjiā)β度，∠C增加(zēngjiā)γ度，则α， β，γ三者之间的等量关系是∠α＝∠β＋∠γ ．
第十六页，共19页。
22．(12分)如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB
的平分线相交(xiāngjiāo)于点O，若∠BOC＝140°，
求∠A的度数． 解：∠A＝100°.在△BOC中，
∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180° 所以(suǒyǐ)∠OBC＋∠OCB＝
180°－∠BOC＝180°－140°＝ 40°.又因为OB，OC分别平分 ∠ABC，∠ACB，
所以(suǒyǐ)∠ABC＋∠ACB＝ 2(∠OCB＋∠OCB)＝2×40°＝ 80°.
三角形的内角(nèi jiǎo)和
1．(3分)若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝
；65°
2．(3分)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝
，30∠°B
＝
，60∠°C＝
．9பைடு நூலகம்°
3．(3分)如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 2. 80°
第四页，共19页。
直角三角形的性质(xìngzhì)与判定
7．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B
＝
．42°
8．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A
＝
． 75°
9．(3分)在一个三角形中，有一个角等于另外两个(liǎnɡ
ɡè)角的和，则这个三角形一定是B( ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
第十五页，共19页。
20．如图，在△ABC中，边BC不动，点A竖直向上运 动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减少α 度，∠B增加(zēngjiā)β度，∠C增加(zēngjiā)γ度，则α， β，γ三者之间的等量关系是∠α＝∠β＋∠γ ．
第十六页，共19页。
22．(12分)如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB
的平分线相交(xiāngjiāo)于点O，若∠BOC＝140°，
求∠A的度数． 解：∠A＝100°.在△BOC中，
∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180° 所以(suǒyǐ)∠OBC＋∠OCB＝
180°－∠BOC＝180°－140°＝ 40°.又因为OB，OC分别平分 ∠ABC，∠ACB，
所以(suǒyǐ)∠ABC＋∠ACB＝ 2(∠OCB＋∠OCB)＝2×40°＝ 80°.
三角形的内角(nèi jiǎo)和
1．(3分)若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝
；65°
2．(3分)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝
，30∠°B
＝
，60∠°C＝
．9பைடு நூலகம்°
3．(3分)如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 2. 80°
第四页，共19页。
直角三角形的性质(xìngzhì)与判定
7．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B
＝
．42°
8．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A
＝
． 75°
9．(3分)在一个三角形中，有一个角等于另外两个(liǎnɡ
ɡè)角的和，则这个三角形一定是B( ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
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解：在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80° ∴∠B+∠C=100° ∵∠B=∠C ∴∠B=∠C=50°
B C
A
练一练
3.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内
角的度数。 解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x. 列出方程 x+3x+5x=180° x=20° 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
E A F
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） 同理∠C=∠1 因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线
CE. 方 法 二 A E C D
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE, 过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE. ∴∠BAF=∠ABD ∠ECA=∠FAC AE (两条直线平行,内错角相等.) D ∴ ⊿ABC的三个内角
方 法 四
B
∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ ∠FAC= =∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于 180 ° 2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理， 并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需 转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
作 业
这节课我们学习到这里，再见！
11.2 与三角形有关的角
旧知回顾
我们已经知道,任意一个三角形的内角 和等于180°.怎么证明这个结论呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角 和为180°.
验证：三角形的三个内角和是180°
A
B C A
A
B
图 1 B
C
B
B
图2
C
A
B
图3
C
结论：三角形的内角和等于1800.
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) B ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
方 法 三 A E
C
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
例题讲解 例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛 在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB是多少度?
练一练
1.求出下列图中x的值:
x =450
x x
2x ┐ x
x =300
x x x
x =600
练一练
2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
F C
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的 方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补, 或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思 想是数学中的常用方法.
讨论 一个三角形中能有两个直角吗？ 一个三角形中能有两个钝角吗？ 三个内角都能小于600吗？
例题讲解
例1.已知: 在△ ABC中，∠BAC=40°， ∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB 的度数。
练一练
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理） ∠C= 90゜（已知） B ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质） 即∠A+∠B=90゜ A
C
课堂小结
B C
A
练一练
3.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内
角的度数。 解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x. 列出方程 x+3x+5x=180° x=20° 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
E A F
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） 同理∠C=∠1 因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线
CE. 方 法 二 A E C D
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE, 过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE. ∴∠BAF=∠ABD ∠ECA=∠FAC AE (两条直线平行,内错角相等.) D ∴ ⊿ABC的三个内角
方 法 四
B
∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ ∠FAC= =∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于 180 ° 2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理， 并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需 转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
作 业
这节课我们学习到这里，再见！
11.2 与三角形有关的角
旧知回顾
我们已经知道,任意一个三角形的内角 和等于180°.怎么证明这个结论呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角 和为180°.
验证：三角形的三个内角和是180°
A
B C A
A
B
图 1 B
C
B
B
图2
C
A
B
图3
C
结论：三角形的内角和等于1800.
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) B ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
方 法 三 A E
C
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
例题讲解 例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛 在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB是多少度?
练一练
1.求出下列图中x的值:
x =450
x x
2x ┐ x
x =300
x x x
x =600
练一练
2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
F C
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的 方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补, 或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思 想是数学中的常用方法.
讨论 一个三角形中能有两个直角吗？ 一个三角形中能有两个钝角吗？ 三个内角都能小于600吗？
例题讲解
例1.已知: 在△ ABC中，∠BAC=40°， ∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB 的度数。
练一练
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理） ∠C= 90゜（已知） B ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质） 即∠A+∠B=90゜ A
C
课堂小结