高考理科数学尖子生讲义重点生特训“2+1+2”压轴满分练(五)
2021-2022年高三数学下学期尖子生专题训练试题(二)文
2021-2022年高三数学下学期尖子生专题训练试题（二）文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2. 设（是虚数单位），则（）A. B. C. D.03. cos160sin10sin20cos10-=（）A. B. C. D.4. 函数在点处的切线斜率为（）A.0B.C. 1D.5. 已知函数，则在上的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.46. 按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（）A. B. C. D.7. 设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.8. 正项等比数列中的是函数的极值点，则（）A. B. 1 C. D. 29. 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的体积为（）A. B. C. D.10.已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（）A.2B.3C.5D.8二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是_______.14.若不等式所表示的平面区域为，不等式组26x yx yy x-≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为________.15.7tan 12π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ________. 16.已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量，若，则的最大值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列满足：，前4项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取理200人进行调查，当不处罚时，由80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：（Ⅰ）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其它市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？19.（本小题满分12分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.20.（本小题满分12分）已知点，，曲线上任意一点到点的距离均是到点的距离的倍.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）已知，设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点.当的斜率为时，求直线的方程.21.（本小题满分12分）E FD CA B M设函数，，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，讨论函数与图象的交点个数.请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，的平分线与和的外接圆分别相交于和，延长交过的三点的圆于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的动点到曲线的距离的最大值.AB E FCD24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）当时，函数的最小值总大于函数，试求实数的取值范围.xx 下期高三年级尖子生专题训练（二）文科数学参考答案一、选择题：A C C C CBC B A CD D二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.解：⑴由已知条件: 21415,43428,2=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩a a d S a d ………………………2分………………………4分()114 3.n a a n d n ∴=+-⨯=-………………………6分⑵由⑴可得()(1)(1)43n n n n b a n =-=--………………………8分()21591317......8344.n T n n n =-+-+-++-=⨯=………………………12分18.解：⑴设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件，……2分则………………………4分∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低.……………6分⑵由题可知类市民和类市民各有40人，故分别从类市民和类市民各抽出两人，设从类市民抽出的两人分别为、，设从类市民抽出的两人分别为、.设从“类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，………………………8分则事件中首先抽出的事件有：，，，，共6种.同理首先抽出、、的事件也各有6种.故事件共有种.………………………10分设从“抽取4人中前两位均为类市民”为事件，则事件有，，，.∴抽取4人中前两位均为类市民的概率是.………………………12分19. ⑴证明：设与交于点，连结，在矩形中，点为中点，因为为中点，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面. ……………………4分⑵解：取中点为，连结，平面平面，平面平面，平面，，所以平面，同理平面，……………………7分所以，的长即为四棱锥的高，……………………8分在梯形中1,//2AB CD DG AB DG ==， 所以四边形是平行四边形，，所以平面，又因为平面，所以，又，，所以平面，.……………………10分注意到，所以，，所以13E ABCD ABCD V S ED -=⋅=……………………12分20. ⑴解：设曲线上任意一点坐标为，由题意，=， ……………………2分 整理得，即为所求.……………………4分⑵解：由题知 ，且两条直线均恒过点，……………………6分设曲线的圆心为，则，线段的中点为，则直线：,设直线：，由 ，解得点， ……………………8分由圆的几何性质，1||||2NP CD == ……………………9分 而22222||(1)()22t t NP +-=-+，，， 解之得，或， ……………………10分所以直线的方程为，或. ……………………12分21. ⑴解：函数的定义域为，(()x x f x x-'=，…………2分 当时，，函数的单调递减，当时，，函数的单调递增.综上：函数的单调增区间是，减区间是.……………………5分 ⑵解：令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数的零点个数，……………………6分，当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；………………8分当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以有唯一零点； ……………………11分综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ……………12分22. ⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， 平分，所以，所以. ……………………4分⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，，所以， ……………………6分即， 由⑴知，，所以， …………8分所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=. ……………………10分23.2分 即()22cos sin ρρθρθ=+，可得，故的直角坐标方程为.…………………………………………5分 （Ⅱ）的直角坐标方程为，由（Ⅰ）知曲线是以为圆心的圆，且圆心到直线的距离， ………………………8分 所以动点到曲线的距离的最大值为.………………………10分24.解：（Ⅰ）①当时，原不等式可化为，此时不成立；②当时，原不等式可化为，即，③当时，原不等式可化为,即， ……3分∴原不等式的解集是． ………………………5分（Ⅱ）因为1()11g x ax x=+-≥，当且仅当时“=”成立， 所以，-----7分，所以，-----9分∴,即为所求． -----10分y33341 823D 舽33426 8292 芒u 38699 972B 霫-• 23156 5A74 婴c40655 9ECF 黏 .27537 6B91 殑。
高考数学冲刺(理科)重点生特训“2+1+2”压轴满分练(一)
单调.下列说法正确的是 ()13= 2 B .函数f(x )的图象关于点3n ，0中心对称 解析：选C 由题意得函数f(x)的最小正周期2+ 1 + 2”压轴满分练(一)1.过抛物线y = 2x 2的焦点F 的直线交抛物线于 A , 4 B 两点，点C 在直线y =- 1上,若厶ABC 为正三角形，则其边长为 ( )B . 12C . 13D . 14 解析：选B 由题意可知，焦点 F(0,1)，易知过焦点 F 的直线的斜率存在且不为零，设为k(k z 0),则该直线方程为 y = kx + 1(k z 0),联立方程得 •'x 2= 4(kx + 1),即y = kx + 1,x 2- 4kx -4 = 0,设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2),/x 1 + X 2= 4k , X 1X 2=— 4,设线段 AB 的中点为 M ,则 M(2k , 2k 2+ 1), |AB|= 1 + k 2 [X 1+ X 2 2— 4x 1x 2] = ' 1+ k 2 2 2 21+ k 16k + 16 = 4(1 + k ),设 k 2+ 2 C(m , - 1),连接MC ,T J ABC 为等边三角形，• k MC = — 2k — m 1 3 k , m = 2k 3+ 4k ,点 C(m , k —1)到直线 y = kx + 1 的距离 |MC| = ^+ 2| = ^|AB|，•严+2| =严 X 4(1 + k 2), • 寸 1+ k 2 寸 1+ k 2 2k 4 + 4k ?+ 2 ____ ― =2帀(1 + k 2)，•/1+k 2 ^/3, Ak= ±2 ,.・|AB|= 4(1 + k 2) = 12. 1+ k 2.已知函数 f(x)= 2sin (3x+ 妨(3>0,0<(j )v n, f,f0，且 f(x)在 (0, n 上函数f(x)在一n,n上单调递增因为f (x )在(°,冗上单调，所以T =37得0< 1.，f n= 0 ,所以f(x)在(0, n 上单调递减，又 0< gn, 0<1,因为f所以f(x)= 2sin 令+ •选项A 显然不正确./ n 2 n 2 n 7 n V6 + V2因为 f — 8 = 2sin — n+ -3- = 2sini2=2—，所以 B 不正确.因为当一nW x < —步寸，O W 2x +严三n ，所以函数f(x)在一n —扌上单调递增，故 C 正确.因为f 出=2sing x ¥+ 2n ；= 2sin 7n^ 0,所以点 曽，0 '不是函数f(x)图象的对称中心，故D 不正确.2x — x + 1 in x3.已知函数f(x)=, g(x)=二一，若函数y = f(g(x)) + a 有三个不同的零点x i ,x — 1 xX 2, X 3(其中 X 1VX 2VX 3),贝U 2g(x i )+ g(X 2) + g(X 3)的取值范围为 _________ .in x 1 — in x解析：：g(x)= —, /g z (x)= ~x .当 0<x<e 时，g' (x)>0, g(x)单调递增；当x>e 时，g ' (x)<0, g(x)单调递减.作出函数g(x) 的大致图象如图所示,-t — t + 12令 g(x)= t,由 f(t) + a =+ a = 0,得关于 t 的一元二次方程 t + (a — 1)t + 1 — a = 0,t — 1又f(g(x)) + a = 0有三个根X 1 , X 2, X 3,且X 1VX 2VX 3,「.结合g(x )的图象可知关于 t 的一元 1 1 1次方程有两个不等实根，不妨设为t 1, t 2,且t 1<t 2，则0vt 1<e , t 2 = ；或加05<；, t 1+ t 2= 11 1—a ，由 △= (a — 1)2— 4(1 — a)>0 ,得 1— a<0 或 1 — a>4.当 0vt 1<— , t 2=—时，0<t 1 +12<4,不 ee 1符合题意，舍去.••• t 1V0vt 2ve ,.・g(X 1) = t 1, g(x 2)= g(x 3)= t 2,「2g(X 1)+ g(x 2)+ g(x 3) = 2t 1+ 2t 2所以co n I 3 n + (p=—, 8屮4'解得o= 3，o n~2 + 0= ne=2(t1+ t2) = 2(1 —a).令X= 1 —a,现t) = t + (a —1)t+ 1 —a = t —入+ 入1由 t1vovt2<e 可知,(1)求椭圆C 的方程;(2)已知A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长点B , D ,设直线BD 的斜率为k 1，直线OA 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，求证：k 1 k 2为定 值.解: (1)设|MF i |= r i , |MF 2|= r 2,e = C =孑,r 1 +「2= 2a ,由题意，得2 2.2n+ r 2= 4c ,「a = 2, c = 1，贝U b 2= a 2— c = 1,2•••椭圆C 的方程为X ； + y 2= 1.⑵证明：易知直线 AF 1, AF 2的斜率均不为0.设B(X 1, y 1), D(X 2, y 2),当直线AF 1的斜率不存在时，不妨令 A — 1,今，贝U B — 1,—兮，又F 1( — 1,0),F 2(1,0),$0 VO ,?V0,$ e>0,即厂x 1+40,1解得 ^v X0.e — e综上，2g(xj + g(X 2)+ g(X 3)的取值范围为亠,0 e — e4•已知椭圆C : 2 2[+ b- 1(a >b>0)的左、右焦点分别为F i ,F 2,且离心率为-2, M 为 椭圆上任意一点，当/ F i MF 2= 90°寸，△ F i MF 2 的面积为 1.AF i , AF 2，分别与椭圆交于•直线AF 2的方程为 (X — 1)，将其代入2；+ y 2= 1，整理可得 7 X2 = 5,_210 ,答案:0 4y 2=—務贝u D•直线BD 的斜率y o + y o_=2x o — 3 2x o + 3= 4x o y o = x o y o k1 3x o — 4 3x o + 4 12x o— 24 3x o — 6， 2x o — 3 2x o + 3•••直线OA 的斜率k 2= yo ,x o-2 -— 1o I•直线BD 的斜率k 1=一7 ------------------i - 1 5 直线OA 的斜率k 2=—号,•- k 1 k 2= ¥ x-孑 一 1.当直线AF 2的斜率不存在时，同理可得, 1 k ik2_ 1- 当直线 AF 1,AF 的0 时，设 A(X ,则直线 AF 1 的方程为 y = xo + *x + 1),联立，得 I X |2 虫2+y =1,y oy= x o + 1x + 1，2消去y 可得,[(x o + 1)2+ 2y ()]x 2 + 4y o x + 2y o ~ 2(x °+ 1)2= 0,2又x o + £=1 ,• 2y o= 2— xo ,•- (3 + 2x °)x 2+ 2(2 — x 2)x - 3x o — 4x °= 0,—3x o — 4x °—3x ° — 4 x1= 3+ 2x o ，则 y 1=x ；13+ 2x o••• B3x o + 4y o 2x o + 3 丿 直线AF 2的方程为y oy=x o -1(x —1)，3x o - 4y o同理可得 D2x o - 3, 2x o -3,2 X 021 —亏y o _ y o _______ 2 x o 3x o — 6 3x 0— 61综上，&k 2为定值，且定值为—T.65.已知函数 f(x)= (x + b)(e x — a)(b>0)的图象在点(一1, f( — 1))处的切线方程为(e — 1)x + ey + e — 1 = 0.(1)求 a , b ;解：⑴由题意得 f(— 1)= 0,所以 f(— 1) = (— 1+ b)£— a \= 0，所以 a = ^或 b = 1. _ X又 f ' (x)= (x + b + 1)e — a , b 1所以 f ' (— 1) = b — a =— 1+ -,e e1若 a = 一，贝U b = 2— e<0,与 b>0 矛盾，故 a = 1, b = 1.e (2)证明：由(1)可知 f(x)= (x + 1)(e x — 1), f(0) = 0, f(— 1) = 0, 设曲线y = f(x)在点(—1,0)处的切线方程为 y = h(x), 则 h(x)= e — 1 (x +1), 令 F(x)= f(x)— h(x),则 F(x)= (x + 1)(e x — 1) — e — 1 (x + 1), ,X 1F ' (x) = (x + 2)e —；,x 11当 x w — 2 时，F ' (x)= (x + 2)e x— -< — -<0,e eX1 x当 x> — 2 时，设 G(x)= F ' (x) = (x + 2)e — 一，则 G ' (x)= (x + 3)e >0 , e故函数F ' (x)在(—2 ,+s )上单调递增，又 F ' (— 1)= 0, 所以当 x€(—a,— 1)时，F ' (x)<0，当 x€(— 1,+)时，F ' (x)>0 ,所以函数F(x)在区间(一a,— 1) 上单调递减，在区间(一1,+ )上单调递增, 故 F(x)> F (— 1) = 0,所以 f(x) > h(x), 所以 f(x 1)> h(x 1).1 6.⑵若方程f(x)= m 有两个实数根X 1, X 2,且X 1VX 2，证明:X 2 — X 1 w 1+m 1 — 2e ~1 — e .又函数 h(x)单调递减，且 h(x i ' )= f(x i )> h(x i ),所以 x i 'w x i , 设曲线y = f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y = t(x)，易得t(x)= x , 令 T(x)= f(x)— t(x) = (x + i)(e x — i) — x , T ' (x)= (x + 2)e x — 2, 当 x < — 2 时，T ' (x)= (x + 2)e x — 2< — 2<0,当 x> — 2 时，设 H(x)= T ' (x) = (x + 2)e x — 2,则 H ' (x)= (x + 3)e x >0 , 故函数T ' (x)在(—2,+s )上单调递增，又 T ' (0) = 0,所以当 x€(—a, 0)时，T ' (x)< 0,当 x€(0 ,+s )时，T ' (x)>0,所以函数T(x)在区间(一a, 0)上单调递减，在区间(0, + a )上单调递增, 所以 T(x)> T(0) = 0,所以 f(x) >t(x), 所以 f(X 2)》t(X 2).设 t(x) = m 的根为 X 2‘ ，贝V X 2' = m , 又函数t(x)单调递增，且 心2‘)= f(X 2) > t(X 2), 所以X 2‘》X 2. 又 X i 'W X i ,所以 x 2— x i < X 2' — x i ' = m —设 h(x)= m 的根为 X i '，贝U X i ' =- 1 +me 1— e:1-2e)i — e。
20届高三北清华五精准培优专练数学(理)
A． f 0 f (6.5) f (1)
B． f (6.5) f 0 f (1)
C． f (1) f (6.5) f 0
D． f (1) f 0 f (6.5)
11．对任意的实数 x 都有 f (x 2) f x 2 f 1 ，若 y f (x 1) 的图象关于 x 1 对称，且 f 0 2 ，
函数 g x f x ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
ln 3 3
,
1 e
3．零点的性质
B．
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
例
3：已知定义在 R
上的函数
D．
1 2
,
2 3
５．轴对称
例５：已知定义域为 R 的函数 y f x 在 0,7 上只有 1 和 3 两个零点，且 y f x 2 与 y f x 7
都是偶函数，则函数 y f x 在 0, 2013 上的零点个数为（ ）
D． 2 2, 2 2
二、填空题
1
13．设函数 f x 0
1
x0
x 0 ， g x x2 f (x 1) ，则函数 g x 的递减区间是_______．
x0
14．若函数
f
x
(x R) 是周期为 4 的奇函数，且在[0, 2] 上的解析式为
f
x
满足：
f
x
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析
（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨配方法求最值 新人教A 版1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。
以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
纵观近年高考，从题型分布来看，大多数一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右，它在高考中占有比较重要的地位。
分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1．函数（含三角函数）的最值；2．学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等； 3．字母（函数）的取值范围；4．不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如： ()0f x ≥对x R ∈恒成立()f x ⇔的最小值≥0成立，()0f x ≤对x R ∈恒成立()f x ⇔的最大值≤0成立，等等； 5．实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。
结合中学数学的知识，高考中最值问题的求解方式一般有以下几种：1．应用配方法求最值；2．应用不等式（含基本不等式）求最值； 3．应用导数求最值； 4．应用单调性等性质求最值； 5．应用函数的值域求最值； 6．应用三角函数求最值；7．应用几何、向量知识求最值； 8．应用线性规划求最值。
我们从以上八方面探讨最值问题的求解。
一、应用配方法求最值： 典型例题：例1.若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则34x y +的最小值是【 】 A.245 B. 285C.5D.6 【答案】C 。
【考点】基本不等式或配方法的应用。
【解析】∵x +3y =5xy ，∴135y x+=，11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
高考理科数学压轴小题特训72题(选择52题填空20题)---含答案与解析
f
x
1
cos
x 2
,1
x
3
x2 , 1 x 1,
，则 g x f x lg x 的零点个数是
室
作 A.9
B.10
C.18
D.20
24．函数 y f (x) 为定义在 R 上的减函数，函数 y f (x 1) 的图像关于点（1,0）对称， x, y
满足不等式 f (x2 2x) f (2 y y 2 ) 0 ， M (1, 2), N (x, y) ， O 为坐标原点，则当1 x 4 时，
工 OM ON 的取值范围为 （ ）
A． 12,
B． 0,3 C．3,12
D． 0,12
25．已知函数
周末班、寒暑假班、全日制、冲刺班 小班教学、一对一教学，名师团队
书上有路勤为径 有径都在为学溪
11.已知函数
f
(x)
2x2 3x(x
a ex
(x
0),
0),
的图象上存在两点关于
y
轴对称，则实数 a
的取值范围
是（ ）
A．[-3,1] B．(-3,1) C．[ e, 9e3 ]
D．
2
D． e2 2,
9.如图，在
OMN
中，
A,
B
分别是 OM
, ON
的中点，若
OP
xOA
yOB
x,
y
R
，且点
工 y1
P 落在四边形 ABNM 内（含边界），则 x y 2 的取值范围是（ ）
高三尖子生物理冲刺压轴题个性化辅导讲义
高三尖子生物理冲刺压轴题个性化辅导讲义1（20分）图中y轴AB两点的纵坐标分别为d和-d。
在0《y《d的区域中，存在沿y轴向上的非均匀电场，场强E的大小与y成正比，即E=ky；在y》d的区域中，存在沿y轴向上的匀强电场，电场强度F=kd(k属未知量)。
X轴下方空间各点电场分布与x轴上方空间中的分布对称，只是场强的方向都沿y轴向下。
现有一带电量为q质量为m的微粒甲正好在O、B两点之问作简谐运动。
某时刻将一带电蕾为2q、质量为m的微粒乙从y轴上的c点处由静止释放，乙运动到0点和甲相碰并结为一体(忽略两微粒之间的库仑力)。
在以后的运动中，它们所能达到的最高点和最低点分别为A点和D点，且经过P点时速度达到最大值(重力加速度为g)。
(1)求匀强电场E；(2)求出AB间的电势差U AB及OB间的电势差U OB；(3)分别求出P、C、D三点到0点的距离。
2(20分) 如图14所示。
地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。
地球的轨道半径为R，运转周期为T。
地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。
已知该行星的最大视角为 ，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。
若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？3（18分）如图所示，为某一装置的俯视图，PQ、MN为竖直放置的很长的平行金属板，两板间有匀强磁场，其大小为B，方向竖直向下．金属棒ＡＢ搁置在两板上缘，并与两板垂直良好接触．现有质量为m，带电量大小为q，其重力不计的粒子，以初速v0水平射入两板间，问：（1）金属棒AB应朝什么方向，以多大速度运动，可以使带电粒子做匀速运动？（2）若金属棒的运动突然停止，带电粒子在磁场中继续运动，从这刻开始位移第一次达到mv0/qB时的时间间隔是多少？（磁场足够大）4有一倾角为θ的斜面，其底端固定一挡板M，另有三个木块A、B和C，它们的质量分别为m A =m B =m ，m C =3 m ，它们与斜面间的动摩擦因数都相同.其中木块A 连接一轻弹簧放于斜面上，并通过轻弹簧与挡板M 相连，如图所示.开始时，木块A 静止在P 处，弹簧处于自然伸长状态.木块B 在Q 点以初速度v 0向下运动，P 、Q间的距离为L.已知木块B 在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A 相碰后立刻一起向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块B 向上运动恰好能回到Q 点.若木块A 静止于P 点，木块C 从Q 点开始以初速度032v 向下运动，经历同样过程，最后木块C 停在斜面上的R 点，求P 、R 间的距离L ′的大小。
高中数学必修一尖子生讲义(附带答案)
1.已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,2)(2x ax x x x x f ，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0<a B. 0≤a C. 3<a D. 30<<a2.若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+++=0,20,2)()(2x x x b a x x f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3 D. 43.已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在[1,1]-上表达式为21[1,0]()1(0,1]x x f x x x - ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 84.已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 A.3443,,4532⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B. 3443,,4532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.1253,,2342⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 1253,,2342⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个 6.若定义运算f （a *b ）=,(),,().b a b a a b ≥⎧⎨<⎩则函数f （3x *3-x ）的值域是 （ ）A ．（0，1）B ．[1，+∞]C ．（0．＋∞）D ．（-∞，+∞）7.函数)1(log )(22+-=ax ax x f 的定义域是R,则实数a 的范围是（ ） （A ）)4,0( （B ） )4,0[（C ）),4()0,(+∞⋃-∞ （D ）),4[]0,(∞⋃-∞8.已知定义在R 上的函数()x f y =满足以下三个条件：①对于任意的R x ∈，都有()4+x f ＝()x f ；②对于任意的R x ,x ∈21，且2021≤<≤x x ，都有()()21x f x f <；③函数(+=x f y )2的图象关于y 轴对称．则下列结论正确的是．A ．()()()56754.f f .f <<B ．()()()56547.f .f f <<C ．()()()54567.f .f f <<D ．()()()75654f .f .f <<9.已知)(x f 是定义于R 上的奇函数，当0≥x 时，)0()(＞a a a x x f --=，且对任意R x ∈,恒有)()1(x f x f ≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]40，B. (]20，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛410，10.给出幂函数①f（x ）=x ；②f（x ）=x 2；③f（x ）=x 3；④f（x ）=；⑤f（x ）=．其中满足条件f ＞（x 1＞x 2＞0）的函数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A ．①，②y=x2，③，④y=x ﹣1B ．①y=x3，②y=x2，③，④y=x ﹣1C ．①y=x2，②y=x3，③，④y=x ﹣1D ． ①，②，③y=x2，④y=x ﹣112.有四个幂函数：①;)(1-=x x f ②;)(2-=x x f ③;)(3x x f =④31)(x x f =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是}0,|{≠∈y R y y 且；（3）在)0,(-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）A ．① B. ② C. ③ D. ④13.函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ）A ．(]2,14B 。
2021-2022年高三数学下学期尖子生专题训练试题 理
2021-2022年高三数学下学期尖子生专题训练试题 理试卷满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．)1.为了得到函数图象，只需把函数图象上所有点 A.向右平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度2．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称．则的解析式为 A ． B ． C ． D ． 3．已知,,则的面积为A. B. C. D.4、若先将函数3sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A ． B ． C ． D ．5、在中，，，分别为角，，的对边，且满足()274cos cos 2C 22A -B +=，若，则的面积的最大值是A.1B.C.2D.6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 A. B.C.D.7.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A. . . .8. 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为 A.B. C. D.9. 已知四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)， (0,0,1)，⎝ ⎛－13,－13,⎭⎪⎫－13，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是A. OD ⊥平面ABCB.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45°D.二面角D －OB －A 为45°10、沿边长为1的正方形的对角线进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形，则它所构成的四面体内切球的半径为 A 、 B 、 C 、 D 、1122111.在平行四边形中，, ,若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为 A ． B. C. D.12、三棱锥A －BCD 的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且△ABC、△BCD 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A －BCD 的体积是 A 、 B 、 C 、 D 、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 13、如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为14．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面,则球体毛坯体积的最小值应为 ．15已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是__________.16.的三个内角为，若3cos sin 7tan 123sin cos A AA A π+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则的最大值为________.三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分10分)设的内角所对的边长分别为,且C a A c b cos 3cos )32(=-． （1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积．18．(本小题满分12分) 已知()33cos 22sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈ 求f(x)的最小正周期及对称轴方程；已知锐角的内角的对边分别为,且 ,,求边上的高的最大值.19. （本小题满分12分） 已知向量()()23cos ,1,sin ,cos m x n x x =-=，函数.（1）若，求的值；（2）在中，角A,B,C 对边分别是，且满足，求的取值范围.20. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC ，是边长为2的等边三角形，和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在的平分线上. （1）求证：DE//平面ABC ； （2）求二面角的余弦值。
高考数学-下期高三尖子生专题训练(二).docx
2015-2016学年下期高三尖子生专题训练（二）（理科）数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；)1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 （ ）A ．1y x=-B. 33xx y -=-C ．()2ln 1y x x=++D ．3131x x y +=-2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定3.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）4.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞c ＞b B.a ＞b ＞c C.c ＞a ＞b D.b ＞c ＞a 5.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D.③④6.已知函数()|lg |f x x =.若a b <且，()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 A.(22,)+∞ B.[22,)+∞ C. (3,)+∞ D. [3,)+∞7.E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A. 1627B. 23C. 3D. 348．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是俯视图正视图侧视图yxB C AO α （A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3（C ）2243cm 3 （D ）1603cm 39.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A ．16 B.13 C.23 D.5610.用表示a ，b 两数中的最小值。
高考数学冲刺(理科)重点生特训“2+1+2”压轴满分练(五)
2+ 1 + 2”压轴满分练（五）3X+n （3> 0）的图象在［0,1］上恰有两个极大值点，贝U 3的取值范围C .1 1 .1 1 、 1 S/PEM = Q % 1 X QX 2S/PEM 1 S ^OAB 23.在四面体 ABCD 中，AD = DB = AC = CB = 1,则当四面体的体积最大时，它的外接 球半径R = ______________ .解析：当平面ADC 与平面BCD 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，因为AD = AC = 1, 所以可设等腰三角形 ACD 的底边CD = 2x ,高为h ，则x 2+ h 2= 1,1 1 1 1yf~3此时四面体的体积 V = 3 X 'X 2x X h 2= §x(1 — X 2),则 V =1— X 2,令 V ' = 0,得 x =2, 从而h = -36, A . [2 n 4 n] C. 25 n V D. 2 n 25 n V 解析：选C 法一：由函数 f （x ）在［0,1］上恰有两个极大值点, 及正弦函数的图象可知 3 n~ n n 13 n 一 + 3^ 2 n+ 2 , 4n+ ? j,贝V 仝 7t 25 n 3< T. 法二：取 3= 2 n,贝U f(x)= 2sin 2 nc+ n ，n n 1由 2n x + 3 = + 2k n k ®，得 x =乜+ k , k^Z ,1则在［0,1］上只有x = 12 ,不满足题意，排除 A 、B 、D ,故选 C.2.过点P(2, —1）作抛物线X 1 2= 4y 的两条切线，切点分别为 A , B , PA , PB 分别交 x 轴于E , M 两点, O 为坐标原点，则△ PEM 与厶OAB 的面积的比值为（）B^解析: 设 A(x i , y i ), B(X 2, y 2),不妨令 x i < X 2,则y i = 2 X 1 4, y2= X 2 由 =1 2得 ，4 ,由 y = 4X 得 y1 2x ,1.函数 f(x)= 2sin D .3贝U CD = AB= 晋，故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为a, b, c的长方体中，如图，2 2a2+ b2= 1,2 2 2 1贝U b+ c= 1, 解得a2= c2= 3, b2= 3则长方体的体对角线即四面体ABCD的外2 2 4a + c = 3,接球直径，(2R)2= a2+ b2+ c2= 5, R= .3 6答案：卡52 24.已知椭圆r：x+y = 1，过点P(1,1)作斜率互为相反数的两条不同直线h, 12，设h4 2与椭圆r交于A, B两点，-与椭圆r交于C, D两点.(1) 若P(1,1)为AB的中点，求直线11的方程；(2) 记入 =弟，求入的取值范围.l CD l解：(1)易知直线h的斜率存在且不为0,设直线AB的斜率为k,则其方程为y— 1 = k(x —1），代入x2+ 2y2= 4 中,得 x 2+ 2[kx — (k — 1)]2— 4= 0,2 2 2 ••(1 + 2k 2)x 2— 4k(k — 1)x + 2(k — 1)2— 4 = 0.判别式 △= [4( k — 1)k]2-4(2k 2 + 1)[2( k — 1)2 — 4]2 =8(3k 2+ 2k + 1)> 0.x = 4k(k — 1 )2k 2+ 1 2 2 k — 1 — 4 X 1X 2 = 2k 十1 ••AB 的中点为P(1,1),2 ， 2k 十1 设A(x i ,y i ),1•直线11的方程为y — 1 = — 2(x — 1),即 x 十2y — 3= 0.⑵由(1)知 |AB|=1 十 k 2|x 1 — X 2| =','1 +1十 k 2 '8 3k 2+ 2k 十 1= 2 ・2k 十1由题可得直线12的方程为y — 1 = — k(x — 1)(k 丰0),8 3k 2— 2k 十 14 1宀 3k 十 1— 21令t = 3k 十「， k 则 g(t) = 1十丄,t€(—a,— 2 3 ] L[2 3,+^). t — 2•■1(X 1 + X 2)= 2k k — 1 2 2k 十1 JAB J |CD| 3k 2+ 2k 十 1 3k 2— 2k 十 1 (k 丰 0), 同理可得|CD| = 4k 2 3k 2+ 1 — 2k易知g(t)在(―a,—2 3 ], [2.3,+^)上单调递减,••2 —3< g(t)v 1 或1v g(t)w 2 + 3,故 2 —.3W 1 或1V 匕 2 + 3,即",1 U1，于.5.已知函数f(x)= xe x—a(ln x+ x), a€ R.(1)当a= e时，判断f(x)的单调性；⑵若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0,+^),x1 + x xe —e当a = e时,令f' (x)= 0，得x= 1 ,•■f(x)在(0,1)上为减函数；在(1 , + a )上为增函数.⑵记t= In x + X,贝y t= In x+ x在(0, + a)上单调递增，且t^R.•'f(x)= xe x—a(ln x+ x) = e t—at,令g(t) = e t—at.••f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)= e t—at在t€R上有两个零点.①当a= 0时，g(t) = e t，在R上单调递增，且g(t)> 0,故g(t)无零点；②当a< 0 时，g' (t) = e t—a> 0, g(t)在R 上单调递增，又g(0) = 1>0,g = e a—1< 0,故g(t)在R上只有一个零点；③当a>0时，由g' (t)= e t— a = 0可知g(t)在t= In a时有唯一的一个极小值g(ln a)= a(1 —In a).若0<a< e, g(t)极小值=a(1 —In a)>0, g(t)无零点；若a = e, g(t)极小值=0, g(t)只有一个零点；若a>e, g(t)极小值=a(1 —In a)< 0,而g(0) = 1>0,In x由y= 在x > e时为减函数，可知当 a >e 时，e a> a e> a2,从而g(a) = e a—a2> 0,••g(x)在(0, In a)和(In a, + )上各有一个零点.综上，当a>e时，f(x)有两个零点，即实数a的取值范围是(e,+ ).1则直线PA的方程为y—y1= ?X1（x —x°,即y—X =如仕一X1),则 E 2X1 , 0将P(2,—1)代入得x i —y i +1= 0,同理可得直线PB的方程为X2—y2+ 1= 0, M•••直线AB的方程为x—y+ 1= 0,则AB过定点F(0,1),1 1 S/AOB = qQF |(X2- X1 )= 2(X2- X1),。
高考数学冲刺(理科)重点生特训“2+1+2”压轴满分练(二)
2+ 1 + 2”压轴满分练（二）1.已知A, B, C, D四点均在以点O i为球心的球面上，且AB= AC= AD = 2 5, BC=BD = 4 2, CD = 8.若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为（）A. 1B. 2解析：选D 由题意，得BC2+ BD2= CD2,所以BCdBD ,所以△BCD为等腰直角三角形.如图，设CD的中点为O,则O为ABCD的外心且外接圆半径r= 4.连接AO , BO,因为AC= AD= 2 . 5,所以AO1CD, AO = 2,又BO = 4,所以AO2+ BO2= AB2,所以AO JBO , 所以AO丄平面BCD，所以球心O i在直线AO上.设球O i的半径为R,则有r2+ OO2= R2,即16+ （R —2）2= R2,解得R = 5.当球O2直径最大时，球O2与平面BCD相切，且与球O i内切，此时A, O, O1, O2四点共线，所以球O2直径的最大值为R+ OO1= 8.2.已知函数f(x)= (x—a)3—3x+ a(a>0)在［—1 , b］上的值域为［—2 —2a,0］，贝V b 的取值范围是()A. ［0,3］B. ［0,2］C. ［2,3］D. (—1,3］解析：选A 由题意，得f' (x)= 3(x —a)2—3 = 3(x —a+ 1)(x—a—1).由f' (x)= 0,得x= a + 1 或x = a—1,所以当a—1<x<a+ 1 时，f' (x)<0 ,当x<a —1 或x>a + 1 时，f' (x)>0 , 所以函数f(x)在(a —1, a+1)上单调递减，在(一g, a —1), (a + 1,+ ^)上单调递增.又f(a +1) = —2a —2, f( a—1) = —2a+ 2.若f( —1) = —2a—2，即(一1 —a) + 3 + a= —2a —2，贝V a=1，此时f(x) = (x —1)3—3x+ 1，且f(x) =— 4 时，x =—1 或x= 2;由f(x) = 0,解得x = 0 或x= 3.因为函数f(x)在［—1 , b］上的值域为［—4,0］，所以0W b w 3.若f( —1)> —2a —2,因为a>0，所以a—1> —1,要使函数f(x)在［—1 , b］上的值域为［—2 —2a,0］，需a + K b,此f(— 1 >—2a —2,时a—1 €［—1 , b］，所以f(a —1戶0,I 一1 一a | + 3+ a> —2a —2,即无解.综上所述，b的取值范围是［0,3］.—2a + 2< 0,3.在平面四边形ABCD中，AB = 1, AC = 5, BD丄BC , BD = 2BC,贝U AD的最小值为 ________ .解析：设/BAC = a, /ABD =春q O , n ))贝ABC = 3+扌.在△ABC 中，由余弦定理,sin 0= 2申,cos 0= ,所以当 sin( a+ 0= 1，即 sin a=^5, cos a= 时，AD 2取得最5555小值5,所以AD 的最小值为.5.答案：,52 24.椭圆E : a 2+器=1(a>b>0)的右顶点为 A ,右焦点为F ，上、下顶点分别是 B , C , |AB|= .7,直线 CF 交线段 AB 于点 D ,且 |BD|= 2|DA|.(1)求E 的标准方程；⑵是否存在直线I ,使得I 交椭圆于M , N 两点，且F 恰是△ BMN 的垂心？若存在， 求I 的方程；若不存在，说明理由.解：(1)法一：由题意知 F(c,0), A(a,0), B(0, b), C(0,— b), 所以直线AB 的方程为x +y = 1,a b 直线CF 的方程为夕-y = 1,c bx+ y = 1, a b 由 2ac 得，X D = .x y = 1 cba + c ----- 、 -因为 |BD|= 2|DA|,所以 BD = 2 DA ,—> 2 —> 2ac 2所以 BD = 3| BA |，得 =3a ,3 a + c 3 解得 a = 2c ,所以 b = - a 2 — c 2= 3c. 因为 |AB|= .7，即-'a 2+ b 2= .7，所以，7c =7,得 BC 2= AB 2 + AC 2— 2AB AC cos a= 6-2<5cos a,由正弦定理,AC得sBC r 弋n ，即BCsin J 3+ 25sin a 亠=盂貢在MBD 中,由余弦定理,2 2 2 2 得 AD = AB + DB — 2AB DBcos 3= 1 + 4BC — 4BCcos 3= 1 + 4(6 — 2>/5cos %) — 4 • 5sin acos 3 cos 3= 25 — 8叮5cos a — 4,5sin a= 25— 20sin( a+ 0)(其中所以c= 1, a= 2, b='：：；3,2 2所以椭圆E的标准方程为X-+ y = 1.4 3法二：如图，设椭圆E的左焦点为G,连接BG,由椭圆的对称性得BG /CF ,即|GF|= 2|FA|,由题意知F(c,O)，则|GF|= 2c,|FA|= a—c,所以2c= 2(a —c),得a= 2c,所以b= a2—c2= 3c.因为|AB|= .7，即-a2+ b2= .7，即7c= 7,所以c= 1, a= 2, b =：：：；3,2 2所以椭圆E的标准方程为7 + y= 1.4 3⑵假设存在直线l,使得F 是△BMN的垂心，连接BF ,长，连接MF，并延长，如图，贝U BF _LMN , MF _LBN.由(1)知，B(0, 3), F(1,0),所以直线BF的斜率k BF = —3,易知I的斜率存在，设为k，则k BF k =—1,所以k= ~3 ,■\[3设I 的方程为y=-^x+ m, M(x i, y i), N(x2, y2),3丄y= 3 x+ m,由232消去y得13x2+ 8 3mx+ 12(m2—3) = 0,i x-+ y-= 14十3 ,由△= (8 3m)2—4X 13X 12(m2—3)>0 得,39 39亍m<〒.- > -- >因为 MF _LBN ，所以 MF BN = 0,-- > ------------------- >因为 MF = (1 — X 1,— y 1), BN =(X 2, y 2— 3), 所以(1 — X i )x 2 — y i (y 2 — \； 3) = 0,X 1+ X 2) — 4X 1X 2 — m 2+ 3m = 0,整理得 21m 2— 5 3m — 48= 0, 解得 m = • 3或 m =— 16^3.当m = 3时，M 或N 与B 重合，不符合题意，舍去； 当m —晋时，满足-于<m<于.所以存在直线I ,使得F 是ABMN 的垂心，l 的方程为yp-^x - 1^1 3. 5.已知函数 f(x)= (ax 2+ 2ax + 1)e X — 2. (1)讨论f(x)的单调区间；1⑵若a< — 7 求证：当x > 0时，f(x)<0. 解：(1)因为 f(x) = (ax 2 + 2ax + 1)e x — 2, 所以 f ' (x)= (ax 2+ 4ax + 2a + 1)e x ,2令 u(x)= ax + 4ax + 2a + 1,①当a = 0时，u(x)>0, f ' (x)>0，所以f(x)的单调递增区间为 ②当 a>0 时，△= (4a)2— 4a(2a + 1) = 4a(2a — 1), 1- 2a - 2a — a(i )当 a>2时，40,令 u(x) = 0,得 X 1=a, X 2=所以当 X€(—s, X 1) L(X 2,+ s )时，u(x)>0 , f ' (x)>0,X 1 + X 2= — 8 3m13 ， X 1X 2 = 212 m — 3 13 .即(1 — X 1)X 2 — ~33X 1+ m ~3^2+ m + 3 -3 X 1+ m =0,所以2Vm •-鲁-4 曽-m+ 3m = 0,整理得1—于m—2a + 2a 2— a,且 X 1 <X 2.当 x q x i , X 2)时，u(x)<0, f ' (x)<0.所以f(x)的单调递增区间为- 2a-yj —a - - 2a +寸2’ — a 单调<，a) < a ，丿递减区间为 -羽-A/2* - a - 2a +Q- a . la ，a丿(ii )当 0<a < 1 时，A< 0,所以 u(x)>0, f ' (x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为(-8,+^).—2a -\/2a 2-a— 2a +、/2a 2- a③当 a <0 时，少0，令 u(x)= o,得x 尸 a‘3a ，且 x2<x1,所以当 X €(X 2, x i )时，u(x)>0 , f ' (x)>0,当 x q-O, X 2)L(X 1,+ O )时,u(x)<0 , f ' (x)<0 ,—2a — 2a 2— a---------- ' -------- ,+O -10 w a <彳时，f(x)的单调递增区间为(-O ,+O )；⑵证明：f(x)= (ax 2+ 2ax + 1)e x - 2 = ae x (x 2 + 2x)+ e x- 2, 令(f )(a) = ae x (x 2+ 2x) + e x - 2, 显然当 x > 0 时，e x (x 2 + 2x) > 0,所以f(x)的单调递增区间为-2a + 2a 2- a、 a―2a ―寸 2a 2- aJ ，单调递减区间为一1 a> a2 时‘ f(x)的单调递增-2a - ^2a 2—a——OO ----- $ -------—2a + 2a 2— a 、 a+ OO ,+丿 ，单调递减区间为—2a — 2a 2— a a—2a +' 2a 2 — a ；-2a + 2a 2- aa-2a —2a 2- a，单调递减区间a<0时，f(x)的单调递增区间为当 为1 f 1\e x(x2+ 2x)所以当a<-7时，奴a)< 0—1=- 7 + e x-2.所以要证当x> 0时，f(x)vo，只需证当x> 0时，x 2 .e x + 2x x- 7 '+ e x—2W 0,即证当x> 0 时，e x(x2+ 2x—7) + 14》0.令g(x)= e x(x2+ 2x —7) + 14,则g' (x)= e x(x2+ 4x —5) = (x—1)(x+ 5)e x,所以当x€(0,1)时,g' (x)<0, g(x)在(0,1)上单调递减，当x q i,+^)时，g' (x)>0, g(x)在(1, + )上单调递增, 所以当x> 0 时，g(x)>g(1) = 14—4e>0,从而当x> 0时，f(x)<0.。
2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版：重点生特训“2+1+2”压轴满分练(一) Word版含解析
“2＋1＋2”压轴满分练(一)1．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若△ABC 为正三角形，则其边长为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，设为k (k ≠0)，则该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，∴x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，设线段AB 的中点为M ，则M (2k ，2k 2＋1)，|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(16k 2＋16)＝4(1＋k 2)，设C (m ，－1)，连接MC ，∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |，∴|km ＋2|1＋k2＝32×4(1＋k 2)，∴2k 4＋4k 2＋21＋k2＝23(1＋k 2)，∴1＋k 2＝3，∴k ＝±2，∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12. 2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( )A ．ω＝12B ．f ⎝⎛⎭⎫－π8＝6－22C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，－π2上单调递增 D ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称解析：选C 由题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω，因为f (x )在(0，π)上单调，所以T 2＝πω≥π，得0<ω≤1.因为f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，所以f (x )在(0，π)上单调递减，又0<φ<π，0<ω≤1， 所以⎩⎨⎧ωπ8＋φ＝3π4，ωπ2＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝23，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋2π3.选项A 显然不正确．因为f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2sin －23×π8＋2π3＝2sin 7π12＝6＋22，所以B 不正确． 因为当－π≤x ≤－π2时，0≤23x ＋2π3≤π3，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，－π2上单调递增，故C 正确．因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫23×3π4＋2π3＝2sin 7π6≠0，所以点⎝⎛⎭⎫3π4，0不是函数f (x )图象的对称中心，故D 不正确．3．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1，g (x )＝ln xx ，若函数y ＝f (g (x ))＋a 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为__________．解析：∵g (x )＝ln xx ，∴g ′(x )＝1－ln x x 2.当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．作出函数g (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝t ，由f (t )＋a ＝t 2－t ＋1t －1＋a ＝0，得关于t 的一元二次方程t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝0，又f (g (x ))＋a ＝0有三个根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，∴结合g (x )的图象可知关于t 的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为t 1，t 2，且t 1<t 2，则0<t 1<1e ，t 2＝1e 或t 1<0<t 2<1e ，t 1＋t 2＝1－a ，由Δ＝(a －1)2－4(1－a )>0，得1－a <0或1－a >4.当0<t 1<1e ，t 2＝1e 时，0<t 1＋t 2<4，不符合题意，舍去．∴t 1<0<t 2<1e ，∴g (x 1)＝t 1，g (x 2)＝g (x 3)＝t 2，∴2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)＝2t 1＋2t 2＝2(t 1＋t 2)＝2(1－a )．令λ＝1－a ，φ(t )＝t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝t 2－λt ＋λ， 由t 1<0<t 2<1e可知，⎩⎪⎨⎪⎧ φ(0)<0，φ⎝⎛⎭⎫1e >0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<0，1e 2－λ×1e ＋λ>0，解得1e －e 2<λ<0. 综上，2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为⎝⎛⎭⎫2e －e 2，0.答案：⎝⎛⎭⎫2e －e 2，04．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，M 为椭圆上任意一点，当∠F 1MF 2＝90°时，△F 1MF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长AF 1，AF 2，分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为k 1，直线OA 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，求证：k 1·k 2为定值．解：(1)设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，12r 1·r 2＝1，∴a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：易知直线AF 1，AF 2的斜率均不为0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 当直线AF 1的斜率不存在时，不妨令A ⎝⎛⎭⎫－1，22，则B ⎝⎛⎭⎫－1，－22，又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴直线AF 2的方程为y ＝－24(x －1)，将其代入x 22＋y 2＝1，整理可得5x 2－2x －7＝0，∴x 2＝75，y 2＝－210，则D ⎝⎛⎭⎫75，－210，∴直线BD 的斜率k 1＝－210－⎝⎛⎭⎫－2275－(－1)＝26，直线OA 的斜率k 2＝－22， ∴k 1·k 2＝26×⎝⎛⎭⎫－22＝－16. 当直线AF 2的斜率不存在时，同理可得k 1·k 2＝－16.当直线AF 1，AF 2的斜率都存在且不为0时，设A (x 0，y 0)，则x 0y 0≠0， 则直线AF 1的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，联立，得⎩⎨⎧y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，x22＋y 2＝1，消去y 可得，[(x 0＋1)2＋2y 20]x 2＋4y 20x ＋2y 20－2(x 0＋1)2＝0， 又x 202＋y 20＝1，∴2y 20＝2－x 20， ∴(3＋2x 0)x 2＋2(2－x 20)x －3x 20－4x 0＝0，∴x 1·x 0＝－3x 20－4x 03＋2x 0，∴x 1＝－3x 0－43＋2x 0，则y 1＝y 0x 0＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 0－43＋2x 0＋1＝－y03＋2x 0， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 0＋42x 0＋3，－y 02x 0＋3. 直线AF 2的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)， 同理可得D 3x 0－42x 0－3，y 02x 0－3，∴直线BD 的斜率k 1＝y 02x 0－3＋y 02x 0＋33x 0－42x 0－3＋3x 0＋42x 0＋3＝4x 0y 012x 20－24＝x 0y 03x 20－6，∵直线OA 的斜率k 2＝y 0x 0，∴k 1·k 2＝x 0y 03x 20－6·y 0x 0＝y 203x 20－6＝1－x 2023x 20－6＝－16.综上，k 1·k 2为定值，且定值为－16.5.已知函数f (x )＝(x ＋b )(e x －a )(b >0)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求a ，b ；(2)若方程f (x )＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m (1－2e )1－e .解：(1)由题意得f (－1)＝0，所以f (－1)＝(－1＋b )⎝⎛⎭⎫1e －a ＝0，所以a ＝1e 或b ＝1. 又f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x －a ，所以f ′(－1)＝b e －a ＝－1＋1e，若a ＝1e ，则b ＝2－e<0，与b >0矛盾，故a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)可知f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，f (0)＝0，f (－1)＝0， 设曲线y ＝f (x )在点(－1,0)处的切线方程为y ＝h (x )， 则h (x )＝⎝⎛⎭⎫1e －1(x ＋1)， 令F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x )＝(x ＋1)(e x －1)－⎝⎛⎭⎫1e －1(x ＋1)， F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e，当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ≤－1e<0，当x >－2时，设G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ，则G ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0， 所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增， 故F (x )≥F (－1)＝0，所以f (x )≥h (x )， 所以f (x 1)≥h (x 1)．设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e1－e， 又函数h (x )单调递减，且h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，所以x 1′≤x 1， 设曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝t (x )，易得t (x )＝x ， 令T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2， 当x ≤－2时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当x >－2时，设H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，则H ′(x )＝(x ＋3)e x >0， 故函数T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又T ′(0)＝0，所以当x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0， 所以函数T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以T (x )≥T (0)＝0，所以f (x )≥t (x )， 所以f (x 2)≥t (x 2)．设t (x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ， 又函数t (x )单调递增，且t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)， 所以x 2′≥x 2.又x 1′≤x 1，所以x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m －⎝⎛⎭⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m (1－2e )1－e .。
高三数学下册 尖子生辅导卷五 试题
第一中学高三数学下册 尖子生辅导卷〔五〕 沪教版制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日2．(本大题满分是14分〕设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，假设对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，务实数a 的取值范围．3． ( 本小题满分是15分)1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，〔I 〕求m 与n 的关系式； 〔II 〕求()f x 的单调区间；〔III 〕当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.4．〔此题满分是14分〕 21x x 、是函数)0(23)(223>-+=a x a xb x a x f 的两个极值点，且2||||21=+x x 〔1〕求a 、b 关系式并指出a 的取值范围； 〔2〕务实数b 的取值范围；5．设函数()()3213f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点()()()()1,1,,A f B m f m 处的切线的斜率分别为0，-a. 〔1〕求证：01;ba≤< 〔2〕假设函数f 〔x 〕的递增区间为[s ，t]，求|s-t|的取值范围； 〔3〕假设当()(),0,k .x k f x a '≥+<时k 是与a,b,c 无关的常数恒有试求的最小值6．〔12分〕函数3222)(a b x a ax x f -++=。
(Ⅰ)当b a x f x x f x 、，求时，，；当时，，0)()6()2(0)()62(<∞+--∞∈>-∈ 的值及)(x f 的表达式。
〔Ⅱ〕设)()16(2)1(4)(4)(x F k k x k x f kx F 取何值时，函数，-+++-=的值恒为负值？7．〔本小题满分是14分〕曲线1y x=和2y x =它们交于点P,过P 点 的两条切线与x 轴分别交于A ，B 两点。
高考理科数学尖子生讲义重点生特训“2+1+2”压轴满分练(三)
“2＋1＋2”压轴满分练(三)1．已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B ． ⎝⎛⎦⎤－∞，e 2 C ．(0,2]D ．[2，＋∞) 解析：选A 由题意可得f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋k (2－x )x ＝(x －2)(e x －kx 2)x 3，x >0， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x >0)，由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x >0)恒成立或e x ≤kx 2(x >0)恒成立，由y ＝e x (x >0)和y ＝kx 2(x >0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x >0)恒成立．法一：由x >0知，e x ≥kx 2，则k ≤e xx 2， 设g (x )＝e xx 2，则k ≤g (x )min . 由g ′(x )＝e x (x －2)x 3，得当x >2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当0<x <2，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24. 法二：e x ≥kx 2(x >0)恒成立，则y ＝e x (x >0)的图象在y ＝kx 2(x >0)的图象的上方(含相切)， ①若k ≤0，易知满足题意；②若k >0，设y ＝e x (x >0)与y ＝kx 2(x >0)的图象在点(x 0，y 0)处有相同的切线，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝e x 0，y 0＝kx 20，e x 0＝2kx 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，y 0＝e 2，k ＝e 24，数形结合可知，0<k ≤e 24.综上，k 的取值范围是(－∞，0]∪⎝⎛⎦⎤0，e 24＝⎝⎛⎦⎤－∞，e 24. 2．定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，a t <a t ＋1，且∃s ∈N *，a s >a s ＋1.已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }(i ＝1,2,3,4)，且x <y <z ，则数列{a n }共有( )A ．64个B ．57个C ．56个D ．54个解析：选D 法一：不妨设x ＝1，y ＝2，z ＝3，则a i ∈{1,2,3}(i ＝1,2,3,4)，所以a i ＝1或2或3.考虑反面，即数列{a n }不是“有增有减”数列，此时有三种情况：常数数列、不增数列(a1≥a2≥a3≥a4，且等号不同时成立)及不减数列(a1≤a2≤a3≤a4，且等号不同时成立)．①常数数列，有1,1,1,1；2,2,2,2；3,3,3,3，共3个．②不减数列，含1,2,3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有C23＝3种情况，以含有1,2为例，不减数列有1,1,1,2；1,1,2,2；1,2,2,2，共3个，所以含两个数的不减数列共有3×3＝9个．若含三个数，则不减数列有1,1,2,3；1,2,3,3；1,2,2,3，共3个．所以不减数列共有9＋3＝12个．③不增数列，同理②，共有12个．综上，数列{a n}不是“有增有减”数列共有3＋12×2＝27个．所以，数列{a n}是“有增有减”数列共有34－27＝54个．法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列{a n}共有两类．第一类：数列{a n}的4项只含有x，y，z中的两个，则有C23＝3种情况，以只含x，y 为例，满足条件的数列{a n}有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8个，所以此类共有3×8＝24个．第二类：数列{a n}的4项含有x，y，z中的三个，必有两项是同一个，有C13＝3种情况，以两项是x，另两项分别为y，z为例，满足条件的数列{a n}有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10个，所以此类共有3×10＝30个．综上，数列{a n}共有24＋30＝54个．3．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，∴PA＝PB＝2 2.∵C，D分别为PA，AB的中点，∴PC＝CD＝2且PC⊥CD.连接PG，P′G，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ， ∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12， ∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102. 又P ′H ＝⎝⎛⎭⎫1022－HG 2，∴0＜P ′H ≤32. 答案：⎝⎛⎦⎤0，32 4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°.(1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．解：(1)连接AF ，EF ，由题意及抛物线的定义，得|AF |＝|EF |＝|AE |＝4，即△AEF 是边长为4的正三角形，所以∠FAE ＝60°，设准线l 与x 轴交于点D ，在Rt △ADF 中，∠FAD＝30°，所以p ＝|DF |＝12|AF |＝12×4＝2. (2)由题意知直线QR 的斜率不为0，设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4t ＝0， 则Δ＝16m 2＋16t >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又点P ，Q 在抛物线C 上，所以k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1， 同理可得k PR ＝4y 2－1.因为k PQ ＋k PR ＝－1， 所以4y 1－1＋4y 2－1＝4(y 1＋y 2)－8y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1， 则t ＝3m －74. 由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m ×(－1)＋3m －74，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－72∪⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)， 所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74， 则直线QR 过定点⎝⎛⎭⎫－74，－3. 5．已知函数f (x )＝e 2x (x 3＋ax ＋4x cos x ＋1)，g (x )＝e x －m (x ＋1)．(1)当m ≥1时，求函数g (x )的极值；(2)若a ≥－72，证明：当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1. 解：(1)由题意可知g ′(x )＝e x －m ，当m ≥1时，由g ′(x )＝0得x ＝ln m ，由x >ln m 得g ′(x )>0，g (x )单调递增；由x <ln m 得g ′(x )<0，g (x )单调递减． 所以函数g (x )只有极小值，且极小值为g (ln m )＝m －m (ln m ＋1)＝－m ln m .(2)证明：当x ∈(0,1)时，要证f (x )>x ＋1，即证x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e2x . 由(1)得，当m ＝1时，g (x )＝e x －(x ＋1)≥0，即e x ≥x ＋1，所以e 2x ≥(x ＋1)2，所以x ＋1e 2x <1x ＋1，x ∈(0,1)， x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－x ＋1e 2x >x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－1x ＋1＝x 3＋ax ＋4x cos x ＋x x ＋1＝x ，⎝⎛⎭⎫x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1 令h (x )＝x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1，则h ′(x )＝2x －4sin x －1(x ＋1)2，令I (x )＝2x －4sin x ，则I ′(x )＝2－4cos x ＝2(1－2cos x )，当x ∈(0,1)时，cos x >cos 1>cos π3＝12， 所以1－2cos x <0，所以I ′(x )<0，所以I (x )在(0,1)上为减函数， 所以当x ∈(0,1)时，I (x )<I (0)＝0，h ′(x )<0， 所以h (x )在(0,1)上为减函数，因此，当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝a ＋32＋4cos 1， 因为4cos 1>4cos π3＝2，而a ≥－72， 所以a ＋32＋4cos 1>0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0， 所以x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e2x 成立， 所以当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1成立．。
高考总复习课程--(新课标)高考数学尖子生拔高课程(理)课后练习第5讲函数、导数与不等式(上)
x第5讲函数、导数与不等式(上)题一：已知函数 y =二二，x ・R 满足f x f x ，则f 1与ef 0的大小关系是 e ( )A. f 1 : ef 0B. f 1 ef 0C. f 1 =ef 0D •不能确定题二： 设f x ,g x 是定义在R 上的可导函数，且f x g x f x g x :: 0，则当 题三：已知函数 f(x)=x 3-ax 2-1(a 丰0).(I ) 求函数f(x)的单调区间；(n )当a>0时，若过原点(0, 0)与函数f(x)的图象相切的直线恰有三条，求实数 a 的取值范围.1 3 a2 题四：设函数 f (x) =—x x bx c ,其中a >0,曲线y = ((x )在点P (0, ((0))3 2处的切线方程为y=1(I)确定b 、c 的值(n)设曲线y = f(x )在点(乂仆f(xj )及(x 2,fCxj )处的切线都过点(0,2)证明：当 Xj =x 2 时，f '(xj = f'(x 2)(川)若过点(0,2)可作曲线y = f(x)的三条不同切线，求 a 的取值范围。
题五：已知函数 f(x)=x 3 3ax 2(3-6a)x 12a-4(a R)(I )证明：曲线y 二f(x )在x=0的切线过点(2,2);(n)若f (x)在x =x 。
处取得极小值，(1,3),求a 的取值范围。
a ::: x :: b时有( A. f xg(x)B. f x g(a)f (a)g(x)D. f x g(x) f (a)g(a)2 2题六：已知函数f(x)= x + + a In x(x > 0), f (x)的导函数是f'(x).对任意两个不相等的正数X i、X2，证明：(I )当a £0时，f(X i)+ f(X2)> f(X1l^)；2 2(Il )当a £4时，|f'(xj- f '(x2) > x1- x2.第5讲函数、导数与不等式(上)题四：见详解题一：选B.x详解：设函数y = g (x )= f)求导得g(x)=f "戶f (xp exH*f ⑴ f (0 \因为 fx .fx ，则 g x 0. g 1g 0f 1 ef 0e1题二：选A o详解:设F X ju f x g x ，由已知有F x：： O F x 在定义R 上是减函数，:x ：：： b 则F x F b ，即 fxgx fbgb 。
广东2019高三数学下册 尖子生辅导卷(五) 沪教版 (10)
广东省湛江第一中学高三数学下册 尖子生辅导卷（四） 沪教版3．. （本小题满分14分）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东方向，相距6km ，C 在B 的北偏东30°，相距4km ，P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s 。
（I ）求A 、C 两个救援中心的距离； （II ）求在A 处发现P 的方向角；（III ）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。
4．（15分）移动公司开设了两种通迅业务:“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话一分钟，再付电话费4.0元；“神州行”不缴月基础费，每通话一分钟，付话费6.0元（这里均指市内通话），若一个月内通话x 分钟，两种通迅方式的费用分别为1y 元和2y 元。
①写出1y ，2y 与x 之间的函数关系式②一个月内通话多少分钟，两种通迅方式的费用相同？③若某人预计一个月内使用话费200元，则应该选择哪种通迅方式比较合算？5．（本小题满分12分）某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上市销售40天内全部售完。
该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）。
（Ⅰ）分别写出国外市场的日销售量()f t 、国内市场的日销售量()g t 与第一批产品A 的上市时间t 的关系式；（Ⅱ）第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？6．某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本3361200)(x x x C +=（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？7.(本题满分14分)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元． （Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由． 8、（本题满分14分）某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。
2019高三数学下册 尖子生辅导卷(五) 沪教版 (1)
广东省湛江第一中学高三数学下册 尖子生辅导卷（五） 沪教版2．(本大题满分14分）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．3． ( 本小题满分15分)已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围. 4．（本题满分14分）已知21x x 、是函数)0(23)(223>-+=a x a x b x a x f 的两个极值点，且2||||21=+x x （1）求a 、b 关系式并指出a 的取值范围； （2）求实数b 的取值范围；5．设函数()()3213f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点()()()()1,1,,A f B m f m 处的切线的斜率分别为0，-a. （1）求证：01;ba≤< （2）若函数f （x ）的递增区间为[s ，t]，求|s-t|的取值范围；（3）若当()(),0,k .x k f x a '≥+<时k 是与a,b,c 无关的常数恒有试求的最小值6．（12分）已知函数3222)(a b x a ax x f -++=。
(Ⅰ)当b a x f x x f x 、，求时，，；当时，，0)()6()2(0)()62(<∞+--∞∈>-∈ 的值及)(x f 的表达式。
（Ⅱ）设)()16(2)1(4)(4)(x F k k x k x f kx F 取何值时，函数，-+++-=的值恒为负值？7．（本小题满分14分）已知曲线1y x=和2y x =它们交于点P,过P 点 的两条切线与x 轴分别交于A ，B 两点。
2019高三数学下册 尖子生辅导卷(五) 沪教版 (3)
广东省湛江第一中学高三数学下册 尖子生辅导 专题二 函数与不等式试题沪教版2．（安徽卷）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（全国卷I ）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则（ ）A ．()22()xf x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>4．（全国II ）函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为（ ）(A )f (x )＝1log 2x (x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0)(C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0)5．（湖北卷）有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①AB =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；②A B ⊆的充要条件是()()card A card B ≤； ③A B Ú的充要条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中真命题的序号是（ ）A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③6．（上海春）若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( )（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.7．（湖北卷）集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝（ ）A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝ 8．（湖南卷）“a=1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9．（全国II ）如果函数()y f x =的图像与函数32y x '=-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ）（A ）23y x =- （B ）23y x =+ （C ）23y x =-+ （D ）23y x =--10.（山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为（ ）(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)211.（山东卷）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 12.(陕西卷)函数f(x)=11+x2 (x ∈R)的值域是( )A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1] 13．（安徽卷）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞14．（江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 15．（江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a16．（山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为（ ） (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）17．(陕西卷)已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8 18．(上海卷)如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） （A ）11a b< （B<（C ）22a b < （D ）||||a b >19．（浙江卷）“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 20．（浙江卷）“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件21．(重庆卷)若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（ ）（A ） （B ）3 （C ）2 （D22．（上海春）若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c bc a .（D ）||||c b c a >.二 填空题23、==--++=)2( ,10)2( ,8)(35f f bx ax x x f 则24. （2006年上海春卷）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则（结论用数学式子表示）. 25．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =______ 吨．26.（上海春）不等式0121>+-x x的解集是 . 27.（上海春）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .28．（江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 29．(上海卷)三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．三、解答题30.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()-污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a ++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.31.（广东卷）A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.(I)设(2)[2,4]x x ϕ=∈ ，证明：()x A ϕ∈(II)设()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的； (III) 设()x A ϕ∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ϕ-=，1,2,n =，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，成立不等式121||||1k k p k L x x x x L-+-≤--32.（江苏卷）设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
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“2＋1＋2”压轴满分练(五)
1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
3(ω＞0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为( )
A ．[2π，4π] B.⎣⎡⎭⎫2π，9π
2 C.⎣⎡⎭⎫
13π6，25π6
D.⎣
⎡⎭⎫2π，25π6 解析：选C 法一：由函数f (x )在[0,1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋π3∈⎣⎡⎭⎫2π＋π2，4π＋π2，则13π6≤ω＜25π
6
. 法二：取ω＝2π，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π
3， 由2πx ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，得x ＝1
12
＋k ，k ∈Z ，
则在[0,1]上只有x ＝1
12
，不满足题意，排除A 、B 、D ，故选C.
2．过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，M 两点，O 为坐标原点，则△PEM 与△OAB 的面积的比值为( )
A.32
B.33
C.12
D.34
解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1＜x 2， 则y 1＝x 214，y 2＝x 22
4，由y ＝14x 2得y ′＝12x ，
则直线PA 的方程为y －y 1＝1
2x 1(x －x 1)，
即y －x 21
4＝12x 1(x －x 1)，则E ⎝⎛⎭⎫12x 1，0， 将P (2，－1)代入得x 1－y 1＋1＝0，
同理可得直线PB 的方程为x 2－y 2＋1＝0，M ⎝⎛⎭⎫1
2x 2，0， ∴直线AB 的方程为x －y ＋1＝0， 则AB 过定点F (0,1)，
S △AOB ＝12|OF |(x 2－x 1)＝1
2(x 2－x 1)，
S △PEM ＝12×1×⎝⎛⎭⎫12x 2－12x 1＝1
4(x 2－x 1)， ∴
S △PEM S △OAB ＝1
2
.
3．在四面体ABCD 中，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R ＝________.
解析：当平面ADC 与平面BCD 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，因为AD ＝AC ＝1， 所以可设等腰三角形ACD 的底边CD ＝2x ，高为h ，则x 2＋h 2＝1，
此时四面体的体积V ＝13×12×2x ×h 2＝13x (1－x 2)，则V ′＝13－x 2，令V ′＝0，得x ＝33，
从而h ＝
6
3
， 则CD ＝AB ＝23
3
，故可将四面体ABCD 放入长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，如图，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＋
b 2＝1，
b 2
＋c 2＝1，a 2
＋c 2
＝4
3
，解得a 2＝c 2＝23，b 2＝1
3
，则长方体的体对角线即四面体ABCD 的外
接球直径，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝53，R ＝15
6
.
答案：
15
6
4．已知椭圆Γ∶x 24＋y 2
2＝1，过点P (1,1)作斜率互为相反数的两条不同直线l 1，l 2，设l 1
与椭圆Γ交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．
(1)若P (1,1)为AB 的中点，求直线l 1的方程； (2)记λ＝|AB |
|CD |
，求λ的取值范围．
解：(1)易知直线l 1的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，
得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0，
∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0. 判别式Δ＝[4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4] ＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝4k (k －1)
2k 2
＋1
，x 1x 2
＝2(k －1)2
－4
2k 2
＋1
.
∵AB 的中点为P (1,1)，
∴12(x 1＋x 2)＝2k (k －1)2k 2＋1＝1，则k ＝－1
2. ∴直线l 1的方程为y －1＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －3＝0.
(2)由(1)知|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·8(3k 2＋2k ＋1)2k 2＋1
.
由题可得直线l 2的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)， 同理可得|CD |＝1＋k 2·8(3k 2－2k ＋1)
2k 2＋1，
∴λ＝|AB ||CD |
＝
3k 2＋2k ＋1
3k 2－2k ＋1
(k ≠0)，
∴λ2＝1＋4k
3k 2＋1－2k ＝1＋
4
3k ＋1k －2
. 令t ＝3k ＋1
k ， 则g (t )＝1＋
4
t －2
，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)． 易知g (t )在(－∞，－2 3 ]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋3， 故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋3， 即λ∈⎣⎢
⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝
⎛
⎦⎥⎤1，
6＋22. 5．已知函数f (x )＝x e x －a (ln x ＋x )，a ∈R . (1)当a ＝e 时，判断f (x )的单调性；
(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝e 时，f ′(x )＝(1＋x )(x e x －e )
x
，
令f ′(x )＝0，得x ＝1，
∴f (x )在(0,1)上为减函数；在(1，＋∞)上为增函数．
(2)记t ＝ln x ＋x ，则t ＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增，且t ∈R . ∴f (x )＝x e x －a (ln x ＋x )＝e t －at ，令g (t )＝e t －at .
∴f (x )在x ＞0上有两个零点等价于g (t )＝e t －at 在t ∈R 上有两个零点． ①当a ＝0时，g (t )＝e t ，在R 上单调递增，且g (t )＞0，故g (t )无零点； ②当a ＜0时，g ′(t )＝e t －a ＞0，g (t )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， g ⎝⎛⎭⎫1a ＝e 1
a －1＜0，故g (t )在R 上只有一个零点；
③当a ＞0时，由g ′(t )＝e t －a ＝0可知g (t )在t ＝ln a 时有唯一的一个极小值g (ln a )＝a (1－ln a )．
若0＜a ＜e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )＞0，g (t )无零点； 若a ＝e ，g (t )极小值＝0，g (t )只有一个零点； 若a ＞e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )＜0，而g (0)＝1＞0， 由y ＝ln x
x 在x ＞e 时为减函数，可知
当a ＞e 时，e a ＞a e ＞a 2，从而g (a )＝e a －a 2＞0， ∴g (x )在(0，ln a )和(ln a ，＋∞)上各有一个零点．
综上，当a ＞e 时，f (x )有两个零点，即实数a 的取值范围是(e ，＋∞)．。