2018届高三数学第74练随机事件的频率与概率练习

随机事件的频率与概率

随机事件的频率与概率1.随机事件的频率随机事件的频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n n A f A n )(为事件A 出现的频率． 2.随机事件的概率一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作P(A)．3.频率与概率的区别和联系(1) 频率本身是随机的，在试验前不能确定。

做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。

(2) 概率是一个确定的数，与每次试验无关。

是用来度量事件发生可能性大小的量。

(3) 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。

例1.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率是多少分析：(1)分清m ，n 的值，用公式nm 计算； (2)观察各频率是否与某一常数接近，且在它附近摆动．解：(1)(2)从上表可以看出，这名运动员击中10环的频率在附近波动，且射击次数越多，频率越接近，故可以估计，这名运动员射击一次，击中10环的概率约为.点评：在相同条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们就可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性的大小，而将频率作为其近似值．从中要进一步体会频率与概率的定义及它们的区别与联系．如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm . 例2.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．分析：用样本估计总体．解：设水库中鱼的尾数为n,n 是未知的，现在要估计n 的值，将n 的估计值记作nˆ. 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾鱼，设事件A 为“带有记号的鱼”，易知P(A)＝n2000．第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数n A =40，由概率的统计定义知50040)(≈A P . 所以500402000≈n ．解得n≈25 000，即nˆ＝25 000.故可以估计水库中约有鱼25000尾．点评:随着试验次数的变化，事件发生的频率也可能发生变化，但总体来看频率趋于一个稳定值，所以我们也可借助于频率来对一些实际问题作出估计．例3.某校举办2021年元旦联欢晚会，为了吸引广大同学积极参加活动，特举办一次摸奖活动．凡是参加晚会者，进门时均可参加摸奖，摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质地完全相同．另有一只密封良好且不透光的立方体木箱（木箱的上方可容一只手伸入）.拟按中奖率为101设大奖，其余109则为小奖，大奖奖品的价值为40元，小奖奖品的价值为2元．请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求．分析：借助于现有的乒乓球，使一种情况产生的可能性为101即可,并将其定为大奖的条件．解：方案一：在箱子里放10个乒乓球，其中1个黄色的，9个白色的．摸到黄球时为大奖，摸到白球时为小奖．方案二：在箱子里放5个乒乓球，3个白色的，2个黄色的．每位参加者在箱子里摸两次，每次摸一个乒乓球，并且第一次摸出后不放回．当摸到2个黄色乒乓球时为大奖，其他情况视为小奖．点评：概率知识来源于生活、生产实残，由实际问题可以总结出发生某一事件的可能性的大小，在实际生活中设计某一活动的实施方案，一般可以以希望得到的统计数据为依据，还要注意与实际相结合．。

2018年高考数学命题角度3.2随机事件的频率与概率大题狂练文

命题角度3.2 随机事件的频率与概率1.随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点时的车速（km/h ），现将其分成六段： [)60,65， [)65,70，[)70,75， [)75,80， [)80,85， [)85,90，后得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）现有某汽车途经该点，则其速度低于80km/h 的概率约是多少？（Ⅱ）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度约是多少？（Ⅲ）在抽取的40辆且速度在[)60,70（km/h ）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在[)65,70（km/h ）内的概率.【答案】（I ）0.65；（II ）77（km/h ）；（III ）25.试题解析：（Ⅰ）速度低于80km/h 的概率约为： ()50.0100.0200.0400.0600.65⨯+++=. （Ⅱ）这40辆小型车辆的平均车速为：262.5467.5872.51277.51082.5487.57740⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（km/h ），（Ⅲ）车速在[)60,65内的有2辆，记为,A B 车速在[)65,70内的有4辆，记为,,,a b c d ，从中抽2辆，抽法为,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15种，其中车速都在[)65,70内的有6种，故所求概率62155P ==. 2.一汽车厂生产A B C ，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．（I ）求z 的值；（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（III ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x 的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数()18i x i i N ≤≤∈，，设样本平均数为x ，求0.5i x x -≤的概率．【答案】（I ）400；（II ）710；（III ）34．试题解析：（I ）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得5010100300n =+，所以2000n =．则z =2000－（100＋300）－（150＋450）－600＝400．（II ）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意40010005a=，得2a =．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用12A A ，表示2辆舒适型轿车，用123B B B ，，表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： ()12A A ，， ()11A B ，， ()12A B ，， ()13A B ，， ()21A B ，， ()22A B ，， ()23A B ，， ()12B B ，， ()13B B ，， ()23B B ，，共10个．事件E 的基本事件有： ()12A A ，， ()11A B ，， ()12A B ，， ()13A B ，， ()21A B ，， ()22A B ，， ()23A B ，，共7个．故()710P E =，即所求概率为710．3.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生人，成绩分为（优秀），（良好），（及格）三个等次，设分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为等级的共有（人），数学成绩为等级且地理成绩为等级的共有8人.已知与均为等级的概率是.（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是，求的值；（2）已知，，求数学成绩为等级的人数比等级的人数多的概率.【答案】（1）（2）试题解析：（1），∴，故而所以（2）且由得则的所有可能结果为，，...共有18种，可能结果为，...共有8种，则所求.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4.某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[]175,185这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差为80；（Ⅲ）45.试题解析：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为15081602017016180650x ⨯+⨯+⨯+⨯=164=.所以估计这50名学生身高的方差为2s =()()()()222281501642016016416170164618016450-+-+-+-80=.所以估计这50名学生身高的方差为80.（Ⅱ）记身高在[]175,185的4名男生为a ， b ， c ， d ，2名女生为A ， B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： {},,a b c ， {},,a b d ， {},,a c d ， {},,b c d ，{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有： {},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅲ）记身高在[]175,185的4名男生为a ， b ， c ， d ，2名女生为A ， B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： {},,a b c ， {},,a b d ， {},,a c d ， {},,b c d ，{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有： {},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为164205=. 5.如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率. 【答案】（1）514（2）815(2) 记3月7日至3月12日中重度污染的2天为,E F ，另外4天记为,,,a b c d ，则6天中选2天到达的基本事件如下：()()()()()()()()()()()() ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d c E c F，()()(),,,,,d E d F E F共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含()()()()()()()() ,,,,,,,,,,,,,,,a E a Fb E b Fc E c Fd E d F这8个基本事件，故所求事件的概率为8 15.6.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的22⨯列联表（单位：人）（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；【答案】（1）见解析；（2）18.7.某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过()*n n N ∈关者奖励12n -件小奖品（奖品都一样）．下图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．【答案】 (Ⅰ) 4 (Ⅱ) 0.4； (Ⅲ)12试题解析：小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为()112234281161410⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为2110.410++=； (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为81162=． 8.某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500。

北师大版高中数学必修三随机事件的概率频率与概率同步练习(3)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）随机事件的概率频率与概率同步练习1．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水粉画，从这些画中任选1幅布置房间，求所选的不是国画的概率．2．任取一个三位正整数N ，求对数N 2log 是一个正整数的概率．3．有四个阄，其中一个代表奖品，四个人按顺序依次抓，最后一个抓到奖品的概率是多少？4．掷两颗均匀的骰子，出现“点数和为3”的概率是（）A 、61B 、361C 、31D 、181 5．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N ：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是（）A 、31)(=M p ，21)(=N P B 、21)(=M p ，21)(=N P C 、31)(=M p ，43)(=N P D 、21)(=M p ，43)(=N P 6．同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为（）A 、0.5B 、0.25C 、0.125D 、0.3757．一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1、2、3、4、5、6，求：（1）将这个玩具先后抛掷两次，朝上的一面数之和是6的概率；（2）将这个玩具先后抛掷两次，朝上的一面数之和小于5的概率。

利用图表等，结合列举法解某些概率问题直观、明了。

请解决第8题。

8．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数1、2、3、4、5、6，将空上玩具先后抛掷两次，计算。

（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？9．随意安排甲、乙、丙、丁四人在四天值班，甲在乙之前值班的概率是多少？10．随机事件A 发生的概率的范围是（）A 、P （A ）>0B 、P （A ）<1C 、0<P （A ）<1D 、1)(0≤≤A P11．盒中装有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球。

求：（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？12．已知集合A={-9，-7，-5，-3，-1，0，2，4，6，8}，在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的坐标满足y x A y A x ≠∈∈且,,，计算：（1）点（x ，y ）不在x 轴上的概率；（2）点（x ，y ）正好在第二象限的概率。

高考数学随机事件的概率专题复习训练(含答案)

高考数学随机事件的概率专题复习训练（含答案）概率是对随机事情发作的能够性的度量，下面是随机事情的概率专题温习训练，请考生练习。

一、选择题
1.以下说法中一定正确的选项是()
A.一名篮球运发动，号称百发百中，假定罚球三次，不会出现三投都不中的状况
B.一粒骰子掷一次失掉2点的概率是，那么掷6次一定会出现一次2点
C.假定买彩票中奖的概率为万分之一，那么买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事情发作的概率与实验次数有关
[答案] D
[解析] A错误，会有三投都不中的状况发作;B错误，能够6次都不出现2点C错误，概率是预测值，而该随机事情不一定会出现.
2.以下说法正确的选项是()
A.任何事情的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的，与实验次数有关
C.随着实验次数的添加，频率普通会越来越接近概率
D.概率是随机的，在实验前不能确定
[答案] C
[解析] 频率是n次实验中，事情A发作的次数m与实验总次数n的比值，随着实验次数的增多，频率会越来越接近概率.
3.给出以下四个命题：
集合{x||x|0}为空集是肯定事情;
y=f(x)是奇函数，那么f(0)=0是随机事情;
假定loga(x-1)0，那么x1是肯定事情;
对顶角不相等是不能够事情.
其中正确命题的个数是()
A.4
B.1
C.2
D.3
[答案] D
[解析] |x|0恒成立，正确;
奇函数y=f(x)只要在x=0有意义时才有f(0)=0，
正确;
由loga(x-1)0知，当a1时，x-11即x
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第六章频率与概率练习题及答案全套

一、你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗试举例说明.二、将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中，硬币两次落地后可能出现几种情况（2）做20次实验，根据实验结果，填写下表.结果正正正反反反频数频率（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图.（4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，60次，80次，100次的实验结果，将相应数据填入下表。

次数40次60次80次100次“正反”的频数“正反”的频率（7）依上表，绘制相应的折线统计图.（8）计算“正反”出现的概率.（9）经过以上多次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近.小知识：在篮球比赛和足球比赛中，人们往往用抛硬币的方法决定由谁先来开球.那么抛硬币后，正面向上和反面向上的几率有多大呢相等吗下面我们来想办法解决这个问题.首先想到的是实验方法.投掷硬币500次记总抛出次数正面向上次正面向上频率§6.1.1频率与概率（次）数（次）（…%）500225我们得到的是硬币正面向上的频率的百分比.即硬币正面向上的频率.其次我们又想到硬币的正、反面都没有什么特殊性，所以在落下时正面向上和反面向上的可能性相等.所以正面向上与反面向上都有21的可能性，也就是说正面向上的概率是___________.生活中常见一些概率问题的应用，例如彩票.20选5第2003178期中奖号码 05、12、15、16、17 一等奖 6注 18678元二等奖 1214注 50元三等奖 19202注5元本期销售额 548538元出球顺序05、15、12、16、17一、掷一枚硬币，落地后，国徽朝上、朝下的概率各是多少二、质地均匀的骰子被抛起后自由落在桌面上，点数为“1”或“3”的概率是多少三、掷两枚硬币，规定落地后，国徽朝上为正，国徽朝下为“反”，则会出现以下三种情况.“正正”“反反”“正反”分别求出每种情况的概率.（1）小刚做法：通过列表可知，每种情况都出现一次，因此各种情况发生的概率均占31. 可能出现正正正反反反§6.1.2频率与概率的情况概率31 31 31 小敏的做法：第一枚硬币的可能情况第二枚硬币的可能情况正反正正正反正反正反反反通过以上列表，小敏得出：“正正”的情况发生概率为41.“正反”的情况发生的概率为21，“反反”的情况发生的概率为41. （1）以上三种做法，你同意哪种，说明你的理由.（2）用列表法求概率时要注意哪些一、如图（1）是不是所有的随机事件的概率都可以用画树形图或列表的方法来求，试举例说明你的理由.二、图（2）钉落地实验，将图钉抛在地上. （1）观察图钉落地后出现几种状态.（2）猜想哪种情况发生的概率大（3）连续抛掷50次，将实验结果填在下表. 落地状态钉尖朝上钉尖着地频数频率§6.2.1频率与概率（4）实验结果中各种情况发生的概率与你猜想的概率是否相符呢（5）如果班里有50位同学，每人做50次实验共做了2500次实验，请将实验数据汇总，再进一步计算各种情况发生的频率.（6）现在你能估计钉尖着地的概率了吗（7）以上做法是：利用大量的实验数据计算出某一情况发生的频率，再利用此频率来估计这一情况发生的概率，你还能举出生活中利用这一原理求概率的实例吗三、（如下图所示）把一小球从箭头处自由释放，落入一个内有阻碍物的容器中，小球一种情况是落入A槽，一种是落入B槽，你能通过列表法分别算出它们的概率吗一、填空题1.口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，用实验的方法估计摸到白球的概率为_________.2.把一对骰子掷一次，共有_________种不同的结果.3.任意掷三枚均匀硬币，如果把掷出正面朝上记为“上”，掷出正面朝下记为“下”，所有的结果为_________.4.必然事件的概率为_________，不可能事件的概率为_________，不确定事件的概率范围是_________.5.频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：（1）频数和频率间的关系是_________.（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________. （3）每个实验结果出现的频率之和等于_________..上学方式步行骑车乘车 “正”字法记录正正正频数 9 频率40%抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 6000次 9999次出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率20%62%45%51%%%%（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________. （2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_________次正面，正面出现的频率是_________.那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________. 二、选择题8.给出以下结论，错误的有（）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生. ②如果一件事发生的机会达到%，那么它就必然发生. ③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生. ④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生. 个个个个9.一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占§6.2.2频率与概率50%”他的说法（）A.正确B.不正确C.有时正确，有时不正确D.应由气候等条件确定10.某位同学一次掷出三个骰子三个全是“6”的事件是（）A.不可能事件B.必然事件C.不确定事件可能性较大D.不确定事件可能性较小三、解答题11.请制作一个方案说明你在你们班的同学中花“零花钱”属于多的还是少的12.走近你家附近的商店，统计几类主要产品的月销量，制出相应的条形统计图.13.与他人合作掷骰子100次，要求（2）制出条形统计图.（3）计算出各点的概率.（4）有可能再现7点吗它的概率为多少一、有400位同学，其中一定有至少两人生日相同吗若有367位同学呢说说你的理由.二、通过本节实验，你发现50位同学中有至少两位同学出生月日相同的频率占多少，估计这个情况的概率是多少三、通过本节学习，我们发现有些实验估计起来既费时，又费力，可以用摸球实验或其他模拟实验.（1）请再回顾一下我们是怎样将复杂的调查转化成模球实验的（2）请熟悉你的计算器产生随机数字的操作程序.四、取出一副扑克中的红桃A至红桃K共13张牌，牌面朝下放在桌面上，每次摸取一张看后放回，共摸取4次，试用计算器产生的随机数进行摸拟实验.小知识：小威和小丽在同一天过生日，他们班共有50名同学.想一想：这样能说50个人中2个人生日相同的概率为1吗为什么在§这一节我们将来研究怎样调查50个人中2个人生日相同的概率.下面我们来考虑几个类似的问题：1.估计六个人中同属相的概率.2.估计六个人中同星座的概率.§频率与概率在研究这种问题中，要想使估算的概率准确，就必须尽可能多的增加调查对象，这样既费时又费力，想一想有什么方法可以替代做调查来估算概率呢预习下节课的内容。

2018年高考数学命题角度3.2 随机事件的频率与概率大题狂练文

命题角度3.2 随机事件的频率与概率1.随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点时的车速（km/h ），现将其分成六段： [)60,65， [)65,70，[)70,75， [)75,80， [)80,85， [)85,90，后得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）现有某汽车途经该点，则其速度低于80km/h 的概率约是多少？（Ⅱ）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度约是多少？（Ⅲ）在抽取的40辆且速度在[)60,70（km/h ）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在[)65,70（km/h ）内的概率.【答案】（I ）0.65；（II ）77（km/h ）；（III ）25.试题解析：（Ⅰ）速度低于80km/h 的概率约为： ()50.0100.0200.0400.0600.65⨯+++=. （Ⅱ）这40辆小型车辆的平均车速为：262.5467.5872.51277.51082.5487.57740⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（km/h ），（Ⅲ）车速在[)60,65内的有2辆，记为,A B 车速在[)65,70内的有4辆，记为,,,a b c d ，从中抽2辆，抽法为,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15种，其中车速都在[)65,70内的有6种，故所求概率62155P ==. 2.一汽车厂生产A B C ，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．（I ）求z 的值；（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（III ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x 的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数()18i x i i N ≤≤∈，，设样本平均数为x ，求0.5i x x -≤的概率．【答案】（I ）400；（II ）710；（III ）34．试题解析：（I ）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得5010100300n =+，所以2000n =．则z =2000－（100＋300）－（150＋450）－600＝400．（II ）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意40010005a=，得2a =．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用12A A ，表示2辆舒适型轿车，用123B B B ，，表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： ()12A A ，， ()11A B ，， ()12A B ，， ()13A B ，， ()21A B ，， ()22A B ，， ()23A B ，， ()12B B ，， ()13B B ，， ()23B B ，，共10个．事件E 的基本事件有： ()12A A ，， ()11A B ，， ()12A B ，， ()13A B ，， ()21A B ，， ()22A B ，， ()23A B ，，共7个．故()710P E =，即所求概率为710．3.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生人，成绩分为（优秀），（良好），（及格）三个等次，设分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为等级的共有（人），数学成绩为等级且地理成绩为等级的共有8人.已知与均为等级的概率是.（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是，求的值；（2）已知，，求数学成绩为等级的人数比等级的人数多的概率.【答案】（1）（2）试题解析：（1），∴，故而所以（2）且由得则的所有可能结果为，，...共有18种，可能结果为，...共有8种，则所求.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4.某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[]175,185这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差为80；（Ⅲ）45.试题解析：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为15081602017016180650x ⨯+⨯+⨯+⨯=164=.所以估计这50名学生身高的方差为2s =()()()()222281501642016016416170164618016450-+-+-+-80=.所以估计这50名学生身高的方差为80.（Ⅱ）记身高在[]175,185的4名男生为a ， b ， c ， d ，2名女生为A ， B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： {},,a b c ， {},,a b d ， {},,a c d ， {},,b c d ，{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有： {},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅲ）记身高在[]175,185的4名男生为a ， b ， c ， d ，2名女生为A ， B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： {},,a b c ， {},,a b d ， {},,a c d ， {},,b c d ，{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有： {},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为164205=. 5.如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率. 【答案】（1）514（2）815(2) 记3月7日至3月12日中重度污染的2天为,E F ，另外4天记为,,,a b c d ，则6天中选2天到达的基本事件如下：()()()()()()()()()()()() ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d c E c F，()()(),,,,,d E d F E F共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含()()()()()()()() ,,,,,,,,,,,,,,,a E a Fb E b Fc E c Fd E d F这8个基本事件，故所求事件的概率为8 15.6.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的22⨯列联表（单位：人）（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；【答案】（1）见解析；（2）18.7.某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过()*n n N ∈关者奖励12n -件小奖品（奖品都一样）．下图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．【答案】 (Ⅰ) 4 (Ⅱ) 0.4； (Ⅲ)12试题解析：小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为()112234281161410⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为2110.410++=； (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为81162=． 8.某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500。

2018版高中数学第三章概率 3.1.3 频率与概率学业分层测评新人教B版必修3

3.1.3 频率与概率(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C 表示抽到次品这一事件，则对C 的说法正确的是( )A.概率为110B.频率为110C.概率接近110D.每抽10台电视机，必有1台次品【解析】事件C 发生的频率为110，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近110的结论.【答案】 B2.高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话( )A.正确B.错误C.不一定D.无法解释【解析】把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14说明了对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确.【答案】 B3.某篮球运动员投篮命中率为98%，估算该运动员投篮1 000次命中的次数为( )【导学号：00732079】A.98B.980C.20D.998【解析】 1 000次命中的次数为98%×1 000＝980. 【答案】 B4.从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )A.抽出的6件产品必有5件正品，1件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品C.抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品D.抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品【解析】从12件产品中抽到正品的概率为1012＝56，抽到次品的概率为212＝16，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品.【答案】 B5.一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( ) A.59 B.49 C.45D.1【解析】因为这是一个必然事件，所以其概率为1. 【答案】 D 二、填空题6.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________.【解析】由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”，故有100－49＝51(次)“正面朝下”. 【答案】 517.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：大约需抽查________件产品.【解析】由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n 件产品，则950n＝0.95，所以n ≈1 000.【答案】 1 0008.下列说法正确的有________.(填序号)(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小. (2)做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n就是事件A 的概率.(3)频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是确定性的不依赖于试验次数的理论值.(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.【解析】由频率、概率的意义及二者的关系可知(1)、(3)、(4)正确.【答案】(1)(3)(4)三、解答题9.在一次试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个有圆形细胞的豚鼠被感染，50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染，有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果，估计下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率有：(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率.【导学号：00732080】【解】(1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，由题意知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.(2)记：“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，由题意知P(B)＝50250＝15＝0.2.(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，由题意知事件C为必然事件，所以P(C)＝1.10.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？【解】(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得之后的频率依次是0.792,0.820,0.820,0.793,0.806,0.807.(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.[能力提升]1.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是 ( )A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜【解析】对于A 、C 、D 甲胜，乙胜的概率都是12，游戏是公平的；对于B ，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.【答案】 B2.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________.【导学号：00732081】【解析】将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1. 【答案】 3∶13.鱼池中共有N 条鱼，从中捕出n 条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M 条，其中有记号的有m 条，则估计鱼池中共有鱼N ＝________条.【解析】由题意得n N ≈mM ，∴N ≈nM m. 【答案】nM m4.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位) 【解】 (1)这种鱼卵的孵化概率P ＝8 51310 000＝0.851 3.(2)30 000个鱼卵大约能孵化 30 000×8 51310 000＝25 539(尾)鱼苗.(3)设大概需备x 个鱼卵，由题意知5 000x ＝8 51310 000，所以x ＝5 000×10 0008 513≈5 900(个)，所以大概需备5 900个鱼卵.。

【高中数学】随机事件的概率专题讲义(附练习题及答案)强烈推荐!

概率-随机事件的概率关键词：概率频率随机事件互斥事件对立事件学习目标：理解概率的意义，掌握概率的一些基本概念，会求古典概型。

知识点讲解1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。

（2）交事件（积事件）若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件。

5．古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ；一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1。

2018高三数学随机事件的概率练习题

6 1236 12《随机事件的概率》1.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥但不对立的两个事件是()A. 至少有 1 个白球，都是白球B. 至少有 1 个白球，至少有 1 个红球C. 恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D. 至少有 1 个白球，都是红球解析：A ，B 选项中的两个事件不互斥，当然也不对立；C 选项中的两个事件互斥，但不对立；D 选项中的两个事件不但互斥，而且对立，所以正确答案应为 C.答案：C2.抽查 10 件产品，设事件 A 为“至少有 2 件次品”，则事件 A 的对立事件为()A. 至多有 2 件次品C. 至多有 2 件正品B. 至多有 1 件次品D. 至少有 2 件正品解析：∵“至少有 n 个”的反面是“至多有 n －1 个”，又∵事件 A “至少有 2件次品”，∴事件 A 的对立事件为“至多有 1 件次品”．答案：B3.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m 、n 作为点 P 的横、纵坐标，则点P(m ，n)落在直线 x ＋y ＝4 下方的概率为()1 A.B.1 4C.1D.1 9解析：试验是连续掷两次骰子．故共包含 6×6＝36 个基本事件．事件“点3P(m ，n)落在 x ＋y ＝4 下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)共 3 个基本事件，故 P ＝1＝ .答案：C2 3 ＝1－－＝；件，所以 P(A)＝＋＝ (或设事件 A 为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，所3 3 10 1 14.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是()A. 甲获胜的概率是C. 乙输了的概率是1623B. 甲不输的概率是D. 乙不输的概率是1212解析：“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是 P1 1 12 3 6设事件 A 为“甲不输”，则 A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事1 1 26 2 31 2以 P(A)＝1－＝ .答案：A5.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是________．解析：任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 种，其中和为 5 的有 2 种，所以所求2概率为＝0.2.答案：0.2欢迎访问“高中试卷网”——。

高中数学频率与概率检测试题(附答案)

高中数学频率与概率检测试题（附答案）高中数学频率与概率检测试题（附答案）随机事件的概率频率与概率同步练习(一)1．下面的事件：○1在标准的气压下，水加热到90℃时沸腾；○2在常温下，铁熔化；○3掷一枚硬币，出现正面；○4实数的绝对值不小于0．其中不可能事件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列事件是随机时间的个数是（）○1在常温下，焊锡熔化；○2明天下雨；○3函数在定义域内为增函数；○4自由下落物体是匀加速直线运动A．0 B．1 C．2 D．33．下面说法中正确的是（）A．任一事件的概率总在（0，1）之间B．必然事件的概率一定是1C．不可能事件的概率不一定是0D．概率就是频率4．有下面事件：○1如果a，b R，那ab＝ba；○2某人买彩票中奖；○33 + 510．其中必然事件有A．○2 B．○3 C．○1 D．○2○35．掷两个均匀的子，它落地时向上的点数和为7的概率是_____________．6．某人抛掷一枚硬币100次，结果正成朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频数为，事件A出现的频率为。

7．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 500击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455击中靶心频率（1）计算表中击中靶心的各个频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？8．下面的表中列出10次实验抛掷硬币的试验结果，n为每次实验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数。

计算每次实验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率。

实验序号抛掷的次数n 正面向上的次数m “正面向上”出现的频率1 500 2512 500 2493 500 2564 500 2535 500 2516 500 2467 500 2448 500 2589 500 26210 500 247对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数P（A）上，称P（A）为事件A 的概率。

随机事件与概率练习题

随机事件与概率一、选择题1. 下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2. （2015•徐州）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4.（2016•开平区二模）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（）A．60个B．50个C．40个D．30个5.下列说法正确的是( )A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二. 填空题7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩____________（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．8. 判断下列事件的类型：(必然事件，随机事件，不可能事件)(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________(3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________(4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．__________(7)度量五边形外角和，结果是720度．________________9. （2015•潍坊模拟）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个．10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．11. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．12. 下面4个说法中，正确的个数为_______．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．三.综合题13. 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.14.（2015春•雅安期末）如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．（1）求转得正数的概率．（2）求转得偶数的概率．（3）求转得绝对值小于6的数的概率．15.（2016春•苏州期末）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251摸到黑球的频率0.23 0.21 0.30 0.26 0.253（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是；（精确到0.01）（2）估算袋中白球的个数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D.2.【答案】A.【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：4，∵白球有10个，∴红球有4×10=40（个）．故选C．5．【答案】B.6．【答案】A.【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.二、填空题7. 【答案】可能.【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩不能确定，是随机事件．8．【答案】必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；随机事件；随机事件；不可能事件. 9.【答案】12.【解析】设白球个数为：x 个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．10.【答案】0.8；【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近. 11.【答案】；0. 12.【答案】0.【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误； (2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是； (3) 概率的取值范围是．(4) 应该是取出一只红球的可能性不存在．三、解答题13.【解析】① 4；80%；② 5006；50.1%；4993；49.9%； ③ . 14. 【解析】161312解：（1）P（转得正数）==；（2）P（转得偶数）==；（3）P（转得绝对值小于6的数）==．15.【解析】解：（1）251÷1000=0.251；∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；（2）设袋中白球为x个，=0.25，x=3．答：估计袋中有3个白球.。

随机事件的频率与概率

排列数 A52，即 n = A52
A 中所含样本点的个数m为
m = C21A31A21
P( A)
=
C21 A31A21 A52
=
3 5
例5 从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取三个数字，试求“三个数字完全不同”这一事件的概率。
解:所求概率为
A53 53
=
12 25
例6（分赌注问题）甲乙两人赌技相同，各出赌注500元，约定：谁先胜三局,谁就拿走全部赌本1000元.现已赌了3局,甲两胜一负,因故要中止赌博，问:这1000元要如何分配才算公平？
P( A) =
r n
=
A中包含的样本点个数样本点总数
例3 取一颗骰子,将它抛掷一次,朝上的那一面为奇数的概率是多少?将它连掷两次,两次掷得的点数之和为8是多少?
解:抛掷一次的情形
Ω1 ={1,L,6}, A1表示“掷得奇数点”，则
A1 ={1，3，5}
则P（A1）=
3 6
=
1 2
抛掷二次的情形
为
P(
A)
=
G的测度 Ω 的测度
作业
n 习题1 7、9、11、15、17、18
Ω2 = {(i, j),i = 1,L,6; j = 1,L,6}
A2表示“两次掷得点数之和为8”，则
A2 =（{ 2，6）, (6,2)，(3,5), (5,3), (4,4)}
故P(
A2
)
=
5 36
例4 (抽球问题）：设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。
有两人生日相同的概率
二、几何概型
例9 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，

2018届高三数学(文)教师用书：第九章-概率(含答案)

第九章⎪⎪⎪概率第一节随机事件的概率1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率．3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[小题体验]1．(教材习题改编)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.答案：0.9 0.22．(教材习题改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是1 4，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________．答案：123．(教材习题改编)给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：01．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[小题纠偏]1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．2．在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝310.考点一随机事件的关系基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶解析：选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案：A与B，A与C，B与C，B与D B与D[谨记通法]判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的频率与概率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51100＝0.51.2．(2015·北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． [谨记通法]1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法．考点三互斥事件与对立事件的概率重点保分型考点——师生共研[典例引领]某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解：(1)设中靶为事件A，则不中靶为A.则由对立事件的概率公式可得，P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.即不中靶的概率为0.05.(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.记至少命中8环为事件E，则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.故至少命中8环的概率为0.72.记至少命中9环为事件F，则不够9环为F，则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.则P(F)＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.即不够9环的概率为0.52.[由题悟法]求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．[即时应用](2017·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(1)(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B ，C ，D ，E ，F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P(G)＝P(A ∪B ∪C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则 H ＝D ∪E ∪F ，所以P(H)＝P(D ∪E ∪F) ＝P(D)＋P(E)＋P(F) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56 B.23 C.12D.13解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56.2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：选D 红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．3．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，所以P(B )＝1－P(B)＝1－23＝13，因为B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P(A ＋B )＝P(A)＋P(B )＝13＋13＝23. 4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm 的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为________．解析：由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3. 答案：0.35．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍，则事件A 发生的概率为________．解析：设P(A)＝x ，P(B)＝3x ， ∴P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝x ＋3x ＝0.64. ∴P(A)＝x ＝0.16. 答案：0.16二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为( ) A ．恰有1个白球和全是白球； B ．至少有1个白球和全是黑球； C ．至少有1个白球和至少有2个白球； D ．至少有1个白球和至少有1个黑球．解析：选A 由题意可知，事件C 、D 均不是互斥事件；A 、B 为互斥事件，但B 又是对立事件，满足题意只有A ，故选A.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 4．抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则P(A ∪B)＝( )A.13 B.23 C.12D.56解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点，所以P(A)＝12.事件B 为掷出向上为3点，所以P(B)＝16，又事件A ，B 是互斥事件，事件(A ∪B)为事件A ，B 有一个发生的事件，所以P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝23. 5．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件．6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．解析：“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，∴所求概率为1－P(A)＝0.35.答案：0.357．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________(填序号)．解析：至少有1个红球和全是白球不同时发生，且一定有一个发生，所以②中两事件是对立事件．答案：②8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝14 15.答案：81514 159．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值．(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.(2)记A ：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟． A 1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟． A 2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．将频率视为概率，可得P(A)＝P(A 1)＋P(A 2)＝20100＋10100＝0.3.所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a ，P(B)＝3a －4，则实数a 的取值范围为____________．解析：因为随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a ，P(B)＝3a －4，所以⎩⎪⎨⎪⎧，，＋，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a<1，0<3a －4<1，2a －2≤1.解得43<a≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，322．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.第二节古_典_概_型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型(1)(2)概率计算公式：P(A)＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题体验]1．(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.答案：252．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．∴所求概率P ＝210＝15.答案：151．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A ，B 互斥时，P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.[小题纠偏]1．(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为(白，红)、(白，黄1)、(白，黄2)、(红，黄1)、(红，黄2)、(黄1，黄2)，共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为56.答案：562．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K”，事件B 为“抽到黑桃”，则P(A ∪B)＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P(A)＝152，P(B)＝1352，∴P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝152＋1352＝1452＝726.答案：726考点一古典概型的简单问题基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B.18 C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.2.(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825D.925解析：选B 设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P ＝410＝25.3．(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.[谨记通法]1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； (3)利用公式P(A)＝mn ，求出事件A 的概率．2．基本事件个数的确定方法考点二古典概型的交汇命题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．常见的命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与统计相结合． [题点全练]角度一：古典概型与平面向量相结合1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b)与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________．解析：由题意可知m ＝(a ，b)所有基本事件有4×3＝12种情况，m ⊥n ，即m·n＝0. 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况，所以所求概率为16.答案：16角度二：古典概型与直线、圆相结合2．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2a a 2＋b2≤ 2，即a≤b，则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a ＝2时，b ＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a ＝3时，有4种，a ＝4时，有3种，a ＝5时，有2种，a ＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712角度三：古典概型与统计相结合3．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.[通法在握]解决古典概型交汇命题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[演练冲关]1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e>32的概率是________．解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b 时，e ＝1－b 2a 2>32⇒ba<12⇒a>2b ，符合a>2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况．总共有6种情况，则概率是636＝16.同理当a<b 时，e>32的概率也为16. 综上可知e>32的概率为13.答案：132．(2017·河北省“五校联盟”质量检测)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4，4.5，4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为 4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·山西省第二次四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A ∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A)，(A ，B)，(A ，C)，(B ，A)，(B ，B)，(B ，C)，(C ，A)，(C ，B)，(C ，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A ，A)，(B ，B)，(C ，C)，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为39＝13.2．(2016·河北省三市第二次联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )A.34 B.710C.45D.35解析：选D 设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b)，(a ，A)，(a ，B)，(a ，C)，(b ，A)，(b ，B)，(b ，C)，(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.3．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712解析：选A 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A.4．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则(a ，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16.答案：165．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)(n －mi)为实数的概率为________．解析：因为(m ＋ni)(n －mi)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，所以要使其为实数，须n 2＝m 2，即m ＝n.由已知得，事件的总数为36，m ＝n ，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求的概率为P ＝636＝16.。

2018北师大版文科数学高考总复习练习：10-4随机事件的

第4讲随机事件的概率基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对解析由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．答案 A2．(2017·合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为() A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率为710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为7 10.答案 A4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A.15 B.16 C.56 D.3536解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同结果，满足a＝b的基本事件共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－636＝5 6.答案 C5．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为()A.13 B.12 C.23 D.56解析掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，∴P(B)＝1－P(B)＝1－23＝13，∵B表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.答案 C 二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案 07．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．解析 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝520＝14. 答案 148．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35. 答案 35 三、解答题9．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.10．(2015·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f ＝1416＝78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ＋B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ＋B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．答案 B12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.910 解析设被污损的数字为x ，则 x 甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90， x 乙＝15(83＋83＋87＋99＋90＋x )，若x 甲＝x 乙，则x ＝8.若x 甲＞x 乙，则x 可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P＝810＝45.答案 C13．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________.解析将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”．则C，D互斥，且P(C)＝13，P(D)＝13，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝2 3.答案2 314．(2017·宝鸡调研)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额24为4 000元的频率为100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。

北师大版高中数学必修三随机事件的概率频率与概率同步练习(2)

频率与概率同步练习思路导引1.下列说法中，正确的是 A.随机事件没有结果B.随机事件的频率与概率一定不相等C.在条件不变的情况下，随机事件的概率不变D.在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的解析：A 选项错误，结果事先不确定，不等于没有结果；B 选项错误，有时会相等；D 选项错误，试验已结束，频率可算出，不会再变化.答案：C2.下列5个事件中，随机事件的个数是①如果a >b ，则a －b >0 ②对高一学生进行体检，每个学生的体重都超过100 kg ③某次考试的及格率是95% ④从100个灯泡中，取出5个，5个都是次品（这100个灯泡中有95个正品，5个次品） ⑤昨天下雨了A.0B.1C.2D.3解析：①③⑤是必然事件，②是不可能事件，④是随机事件. 答案：B3.下列说法一定正确的是A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一个骰子掷一次得到2的概率是61，则掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关解析：A 错误，会有意外；B 错误，可能6次都不是2；C 错误，概率是预测，不一定一定出现.答案：D4.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则共有“正面朝下”的次数为A.0.49B.49C.0.51D.51 解析：由100×0.49=49知，有49次“正面朝上”，有100－49=51（次）“正面朝下”.答案：D5.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶.在这次练习中，这个人中靶的频率是_______，中靶9环的频率是_______.解析：打靶10次，9次中靶，1次脱靶. 答案：0.9 0.36.某校高一（1）班共有46人，其中男生13人，从中任意抽取1人，是女生的概率为_________.←随机事件结果的不确定，并不意味着没有结果.←区别随机事件、必然事件和不可能事件.←随机事件发生的频率具有稳定性，但它是变化的.←根据随机事件发生的频率的定义.←根据频率的计算方法：发生次数除以全部次数.。

2018届高三数学第74练随机事件的频率与概率练习

一、选择题
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
那么依照样本数据估量落在区间[10,40)的概率为()
A．0.35B．0.45
C．0.55D．0.65
2．(2016·山西四校联考)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个，那么掏出的两个数之和为偶数的概率是()
A. B.
C. D.
3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()
A．甲是乙的充分没必要要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．掷一颗质地均匀的骰子，观看所得的点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，那么以下结论正确的选项是()
4．A[事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件，显然A与C不是互斥事件，更不是对立事件．]
5．A[从口袋内一次掏出2个球，那么那个实验所有可能发生的大体事件为(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，共6个大体事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不必然发生，②不必然发生，故非对立事件，而A发生时，③能够发生，故不是互斥事件．]
A. B.
C. D.
7．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N
：至少一次正面朝上，那么以下结果正确的选项是()
A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝

【基础练习】《频率与概率》(数学北师大必修3).doc

《频率与概率》基础练习1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）频率就是概率B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定2.下列现象中，是随机事件的有（）①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a+1为整数；③发射一颗炮弹，命中li标；④检查流水线上一件产品是合格品还是次品A.1个B.2个C.3个D.4个3.12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个,不可能事件是（）A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品4.下列事件中,不可能事件为（）A.钝角三角形两个小角之和小于90°B.三角形中大边对大角，大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边5.下列结论正确的是（）A.事件A的概率P（A）的值满足0<P（A）<lB.如P（A）=0.999,则A为必然事件C.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个，取到合格品的对能性为99%D.如P（A）=0.001,则A为不可能事件6.从一批计算机中随机抽出100台进行质检,其中有10台次品，下列说法正确的是（）A.次品率小于10%B.次品率大于10%C.次品率接近10%D.次胡率等于10%7.在抛掷一枚硬币的试验中共抛掷100次,“正面朝上叩勺频率为0.49,则“正面朝下叩勺次数是（）A.0.49B.49C.0.51D.518.从存放号码分别为1,2, ...,10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片,并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是（）A.0.53B.0.5C.0.47D.0.379.下列事件：①如果a>b,那么a-b>0.②任取一实数a（a>0且畔1）,函数y=lo&x是增函数.③某人射击一次，命中靶心.④从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球.其中是随机事件的为（）A.①②B.③④C.①④D.②③10.给11!下列三个命题，其中正确命题的个数是（）①设有一大批产品，已知其次品率为0.1,则从中任取100件，必有10件是次品;②进行7次抛硬币的试验，结杲3次出现止面，因此，出现正面的概率是亍③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.A.0个B」个 C.2个 D.3个11.100件产品中,95件正品,5件次品，从中抽取6件:至少有2件正品;至少有3件次品;6件都是次品;有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是（）A.3B.4C.2D.112.在20支同型号钢笔中，有3支钢笔是次品，从中任意抽取4支钢笔，则以下事件是必然事件的是（）A.4支均为正品B.3支为正品,1支为次品C.3支为次品,1支为正品D.至少有1支为正品13.在1,2,3,…,10这10个数字屮，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于护这一事件是（）A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确14.先从一副扑克牌中抽取5张红桃,4张梅花,3张黑桃，再从抽取的12张牌中随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这种事情（）A.可能发生B.不可能发生C.必然发生D.无法判断15.一袋屮装有10个红球,8个白球,7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________ .答案和解析1.【答案】C解：rti频率与概率的关系可知.2.【答案】C解：当a为整数时,a+1 —定为整数，是必然现象，其余3个均为随机事件3.【答案】C解：A,B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件.4.【答案】C解：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90。

随机事件的频率与概率

随机事件的频率与概率概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科，因随机现象具有普遍性特点，概率论和数理统计也因此具有广泛的应用环境。

而在研究概率之前，我们必须先要清楚随机试验中关于随机事件发生可能性大小的度量问题，这就涉及随机事件的概率和频率。

首先必须明确随机事件的概念，即，在条件一定时，测验或观察研究对象，每进行一次条件组称为一次性试验，得到的结果为事件，在一次试验中对无法准确判断发生结果的事件为随机事件。

接着我们来分别了解频率及概率：一、频率的概念及性质举例引入：一个盒子中有10个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球。

在该实验中，未将球取出来前，我们无法对实验结果进行判断，即取出的球是黑是白是未知的，但是实践经验告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球，会获得这样一种结果：当实验次数足够多，即n足够大时，黑、白两球出现次数几乎是相等的，即，黑、白球出现次数的比值趋于1。

条件相同时，如试验次数为n，那么这n次试验中事件A共发生的次数为nA，nA为事件A的发生频数。

而事件A的发生频率用nA/n这一比值表示，记作fn（A），即，不同对象出现的次数和总次数间的比值。

当试验次数n不断增大时，频率逐渐趋向于稳定，并与某常数接近，这一常数就是所说的时间A的概率，而频率稳定性即为统计规律性（统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律），但频率与概率并不相同，由伯努利大数理论可知，当n为无穷大时，在一定意义下频率fn（A）和概率P（A）较为接近。

其中频率的值即为频数与总体数量的比值。

在n次试验中随机事件发生m次的相对频率为m/n。

而在物理学中频率用于衡量每秒物体振动次数的多少是确定的。

二、概率的概念及性质概率用于衡量事件发生的可能性大小，而随机事件A发生概率表示为P（A），取值范围在0和1之间。

在一定条件下，当P （A）=1时表示事件A一定发生；当P（A）=0时，表示事件A 没有发生的可能。

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第4讲随机事件的概率最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2。

了解两个互斥事件的概率加法公式．知识梳理1．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n 次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A）＝n An为事件A出现的频率．（2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．2．事件的关系与运算定义符号表示3（1)概率的取值范围：0≤P（A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1。

(3）不可能事件的概率P（F)＝0.(4）互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P(A)＋P（B）．②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示（1）事件发生的频率与概率是相同的．（)(2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（)(3）若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A）≤1。

（)（4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．（）答案（1）×(2)√(3)√(4)×2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为（）A．①B．②C．③D．④解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．答案B3．（2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是错误!，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ）A.错误!B.错误!C。

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高考数学随机事件的概率专题复习训练（含答案）
[答案] C
[解析] 频率是n次试验中，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，随着试验次数的增多，频率会越来越接近概率.
3.给出下列四个命题：
集合{x||x|0}为空集是必然事件;
y=f(x)是奇函数，则f(0)=0是随机事件;
若loga(x-1)0，则x1是必然事件;
对顶角不相等是不可能事件.
其中正确命题的个数是()
A.4
B.1
C.2
D.3
[答案] D
[解析] |x|0恒成立，正确;
奇函数y=f(x)只有在x=0有意义时才有f(0)=0，
正确;
由loga(x-1)0知，当a1时，x-11即x
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