抽屉原理典型习题

抽屉原理
规律：用物体数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1；
若除数为零，则“答案”为商
抽屉原则一：把n个以上的物体放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。

抽屉原则二：把多于m x n 个物体放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。

一、基础训练。

1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，
它里面至少有______个苹果。

2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面
至少有_______只鸽子。

3、从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从
它里面至少拿出______个苹果。

4、从______个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它
当中至少拿出7个苹果。

二、拓展训练。

1、六（1）班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86
分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。

王老师说的对吗？为什么2、从1、2、3……，100这100个数中任意挑出51个数来，证明这51个数中，一定有
（1）2个数互质（2）有两个数的差是50
100个中，有50个奇数，50个偶数，而奇数和偶数必定互质，所以51个数字中，比有一对奇偶数是互质的。

3、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0、1、2……、1999（每一点只标一个数，不同
的点标上不同的数），求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个数和这点上所标的三个数之和不小于2999.
4、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号
中至少有四个信号完全相同。

解：四种颜色的小旗取出三面共可组成4×4×4=64种信号(注三面可以是同色的)，则将200看作苹果，64种信号看作64个抽屉，由抽屉原则知至少有4个苹果在同一抽屉中，即至少有4个信号完全相同。

5、在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的，那么总可以找到两个红筹码，
在他们之间刚好有19个筹码，为什么？
6、试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试，结果对于其中任何
三人都有一道题目的答案互不相同，问：参加考试的学生最多有多少人？
7、一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980
分，至少有几分得分相同?
8、某校六年级学生有31人是四月份出生的，请证明：至少有两人在同一天出生。

9、袋子里有四种不同颜色的小球，每次摸出2个，要保证10次所摸得的结果是一样的，
至少要摸多少次？
10、一副扑克牌共有54张，从中取出多少张，才能保证其中必有3种花色。

11、图书角剩下科技书和文艺书各4本，现在有4个学生来借阅，每人从中借2本，请你
证明，必有两名学生借阅的图书完全相同。

12、在一条长100米的小路一旁种上101棵小树，不管怎么种，至少有两棵树苗之间的距
离不超过1米。

13、六年级有男生57人，证明：至少有两名男生在同一个星期过生日。

14、19朵鲜花插入4个花瓶里，证明：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。

14、某旅行团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地，至少要有多少人游览的地方完全相
同？
小升初“抽屉原理”讲解
例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。

现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？
解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：
第1组：从20.000克到20.005克；
第2组：从20.005克到20.010克；
……
第20组：从20.095克到20.100克。

这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。

例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。

那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？
分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。

解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，…，100。

然后依照以下规律将100个筹码分为20组：
（1，21，41，61，81）；
（2，22，42，62，82）；
……
（20，40，60，80，100）。

将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2×20＋1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明），即有2个红色筹码之间有19个筹码。

下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。

这种情况一般可以表述为：
第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。

例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。

分析：将这个问题加以转化：
如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。

解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。

例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。

首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。

问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？
解：不能。

如右图将12条棱分成四组：
第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，
第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，
第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，
第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。

无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。

下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。

我们知道n个数a1，a2，…，an的和与n的商是a1，a2，…，an这n个数的平均值。

平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。

例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，…，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。

求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，…，a2000，则其和
a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考虑一切相邻三数组之和：
（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）
=3（a1＋a2＋…＋a2000）
＝3×1999000。

这2000组和中必至少有一组和大于或等于
但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。

例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？
解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来。

另一方面，990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90把钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间。

最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。

例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。

试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。

证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。

这有两种可能：
（1）这三行中，至少有一行，其前面10个小方格中，至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。

（2）这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。

我们先考虑这个3×7的长方形的第一行。

根据抽屉原理，至少有4个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第1至4列。

再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：
（1）这4格中，至少有2格被涂上蓝色，那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色。

（2）这4格中，至多有1格被涂上蓝色，那么，至少有3格被涂上黄色。

不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格。

下面继续考虑第三行前面3格的情况。

用蓝、黄两色涂3个小方格，由抽屉原理知，至少有2个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形。

总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形。