离散数学 第二章 谓词逻辑1PPT课件

解： (1) 设 P(x): x是动物, x∈{动物}，b: 熊猫，b 是个体常元, 则命题可符号化为P(b)或P(熊猫)。 (2) P(x, y, z): x位于y与z之间。a: 上海, b: 南京, c: 杭州, 则命题可符号化为P(a, b, c)或 符号化为P(上海, 南京, 杭州)。 (3) P(x): x是偶数, Q(x): x是素数, a: 2, 则命 题可符号化为P(a)∧Q(a) 或 P(2)∧Q(2)。
（2）对于存在量词(x)，刻划其对应个体域的 特性谓词作为合取式之合取项加入。
特性谓词的例子
为什么要这样规定特性谓词加入的原则呢？若 不遵循会出现什么样的问题？
例如，符号化“所有的老虎都要吃人”这个命题 若P(x)：x会吃人 U(x)：x是老虎
则若符符号号化化的为正(确x形)(式U(应x)该∧是P(x))
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简 单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构 符号化为(p∧q)→r。由于上式不是重言式，所以 不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命 题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到 表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是 本章所研究的内容。
n元谓词：含有n个变元。
例如： F(x): x是人。 G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。
一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。 (3) 2是偶数且是素数。
设：H(x):x是人 M(x):x是要死的
则前提：H(x)→M(x) H(Socrates)
结论：M(Socrates) 需证: (H(x)→M(x))∧H(Socrates)M(Socrates)
有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准 确的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之 间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量 关系的词为量词。 全称(universal)量词:
本章内容
1 谓词逻辑中的基本概念
2 命题函数与量词
3 谓词公式与翻译
4
变元的约束
5 谓词演算的等价式
6 谓词的标准型-范式 7 谓词演算的推理理论
2-1 谓词的概念与表示
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析， 一个陈述句由主语和谓语两部分组成。 设 Ｐ：是计算机系的学生 则： P(陈华)表示“陈华是计算机系的学生”；
若论述域不是全人类： 则:人总是要死的 可译为 (x)(M(x)D(x)) 有些人不怕死 可译为 (x)(M(x) F(x)）
谓词逻辑符号化的两条规则
若个体域为全总个体域，而对每一个句子中个 体变量的变化范围必须用一元特性谓词刻划之。这 种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原 则：
（1）对于全称量词(x)，刻划其对应个体域的 特性谓词作为蕴涵式之前件加入的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性，甚至无 法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理:
凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题， 但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
P(张强)表示“张强是计算机系的学生”
定义
谓词(predicate)：用来刻划一个个体的性质或多 个个体之间关系的词，相当于句子中的谓语。常用 大写字母P, Q, R…来表示。 客体：可以独立存在的事物称为客体。 客体的取值范围称为个体域(或论域)，常用D表示。 宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称 为全总个体域(Universal Individual Field)。
“ 所 有 的 ” ,“ 全 部 的 ” ,“ 任 意 的 ” ,“ 每 一 个”,… 存在(existential)量词:
“ 有 一 些 的 ” ,“ 某 些 的 ” ,“ 至 少 有 一 个”,“存在”,…
例：F(x)：x是不怕死的 D(x)：x是要死的 M(x)：x是人
若论述域是全人类： 则:人总是要死的 可译为 （x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （x）F(x)
一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的
命题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n 元谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。
a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
2-2 命题函数与量词
将下面表示（Socrates 三段论）符号化： 所有的人总是要死的。 Socrates是人。 所以Socrates是要死的。
它的含(义x是)(：U(“x)对→P于(x任))意的x,x是老虎，并且 x会它吃的人含”义，是与：原“命对于题任“意所的有x的,如老果虎x都是要老吃虎人，”则的x会 吃逻人辑”含，义符不合符原。命题的逻辑含义。
特性谓词举例
例：每一个被2整除的整数都是偶数，并且至少有 一个整数不是偶数。
解：设 I(x):x是整数 Q(x,y):x整除y O(x):x是偶数
(x)(I(x)∧Q(2,x)→O(x))∧(x)(I(x)∧O(x))
2-3 谓词公式与翻译
谓词公式中的符号约定： （1）常量符号：用带或不带下标的小写英文字母a, b, c, …, a1, b1, c1, …来表示。当个体域名称集 合D给出时，它可以是D中的某个元素； （2）变量符号：用带或不带下标的小写英文字母x, y, z, ..., x1, y1, z1,...来表示。当个体域名称 集合D给出时，它可以是D中的任意元素； （3）谓词符号：用带或不带下标的大写英文字母P, Q, R,..., P1, Q1, R1...来表示。
谓词公式的定义
原子公式：形如 A(x1,x2,…,xn)的公式 定义2-3.1满足下列条件的表达式，称为合式公式 (Wff)，简称公式(Formulae)。 （1）原子公式是合式公式； （2）若G，H是合式公式，则 (┐G)、(┐H)、(G∨H)、(G∧H)、(G→H)、(GH) 也是合式公式； （3）若G是合式公式，x是个体变量，则