苏州苏州国际外语学校数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]
2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．24．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x =>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠= ．26．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为 ．27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点()0,2A −，()1,0B ，将线段AB 平移得到线段DC ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是 ．28．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，53AC BD =．线段AB 与A B ''关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点B '在线段OC 上，A B ''交CD 于点E ，则B CE '与四边形OB ED '的面积比为29．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．三、解答题30．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 31．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）32．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π） 34．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．35．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 36．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线y =且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm【答案】A【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，由此解答即可．【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，∴阴影图形的周长是：480280220440cm⨯+⨯−⨯=，故选：A．6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒ 由对称的性质得OAB ODC ≌，由全等三角形的性质即可判断；OH ，可得 GOD ∠=，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．A.OE OF ⊥，90︒，点的中点，OAB 与ODC 都是等腰三角形，由对称得OAB ODC ≌，F 分别是底边AB ，，结论正确，故不符合题意；O 作GM OH ⊥，90GOD DOH ∴∠+∠=︒，90BOH DOH ∠+∠=︒，GOD BOH ∴∠=∠，由对称得GOD COH ∴∠=∠，同理可证AOD ∠∴故选：B 17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照16Q 的反向运动理解去分类讨论：①16Q 先向右1个单位，不符合题意；②16Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1．【详解】解：由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到()42,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到()41,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ，故矛盾，不成立；②16Q 先向下1个单位得到()151,8Q −，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到16Q ，故符合题意，那么点16Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()17,98−+−，即()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1，故选：D ．二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．【答案】()3,4【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ， ∴点B 的坐标为()12,13++，即()3,4．故答案为：()3,4．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．【答案】()1,4【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出()1,4D ．【详解】解：∵点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，∴AD BC =，AC BD =，∴可画图形如下，由图可知点C 、D 关于线段AB 的垂直平分线2x =对称，则()1,4D ．故答案为：()1,4．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设CE x =，则8AE BE x ==−，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由折叠的性质，得AE BE =，设CE x =，则8AE BE x ==−，由勾股定理，得222BC CE BE +=，∴()22248x x +=−，解得3x =.故答案为：3．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．出A EF A B C ''''∽，根据对应边上的中线比等于相似比，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，30ABC ∠=︒，AD 为中线，AD BC ⊥，BD CD =，∵将ABC 沿其底边中线,C BC B '∥∴A EF A B C ''''∽，EF A D B C A G'='''， 13AA AD '=，3223DA AD A G '='=2EF A D '22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．∵4AB =，30ABC ∠=︒，在ABCD Y ∴122AH AB ==，AD BC ∥，∴24AA AH '==，AA AD '⊥，∵5AD =，23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，。
苏州苏州外国语学校数学轴对称填空选择单元测试卷(解析版)
苏州苏州外国语学校数学轴对称填空选择单元测试卷（解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN 分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝14BC2．其中正确结论是_____（填序号）．【答案】①②【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.详解：∵∠B=45°，AB=AC∴点D为BC的中点，∴AD=CD=BD故①正确；由AD⊥BC，∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（ASA）故②正确；∴DE=DF，AE=CF，∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF＞EF故③不正确；由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S四边形AEDF=S△ACD=12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC2，故④不正确.故答案为①②.点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.3．如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C 的度数是______度．【答案】24【解析】【分析】在DC上取DE=DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD=ED，AD=AD．证明△ABD≌△AED即可求解．【详解】如图，在DC上取DE=DB，连接AE．在Rt△ABD和Rt△AED中，BD EDADB ADEAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB=AE，∠B=∠AED．又∵CD=AB+BD，CD=DE+EC∴EC=AB∴EC=AE，∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AED=2∠C又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°∴∠C=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC＝20cm，则点D到AB的距离是_____cm．【答案】8【解析】【分析】根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD．∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，∴CD＝20×25＝8（cm）．故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．5．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6−2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.综上所述：∠ABC的度数为45°或135°.故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.7．如图，在ABC中，ACB90,CA CB∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为______．【答案】25 2【解析】【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=12×5×5=252.故答案为：252【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.8．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
苏州苏州国际外语学校数学代数式中考真题汇编[解析版]
![苏州苏州国际外语学校数学代数式中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0b04eaabff00bed5b8f31d95.png)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．双11购物节期间，某运动户外专营店推出满500送50元券，满800送100元券活动，先领券，再购物。
某校准备到此专营店购买羽毛球拍和羽毛球若干．已知羽毛球拍60元1个，羽毛球3元一个，买一个羽毛球拍送3个羽毛球．（1）如果要购买羽毛球拍8个，羽毛球50个，要付多少钱？（2）如果购买羽毛球拍x个（不超过16个），羽毛球50个，要付多少钱？用含x的代数式表示．（3）该校买了羽毛球50个若干个羽毛球拍，共花费712元，请问他们买了几个羽毛球拍．【答案】（1）解：60×8+（50-8×3）×3-50=508（元）（2）解：x≤6时，60x+(50-3x)×3=150+51x; 7≤x≤12时，60x+(50-3x)×3-50=100+51x; 13≤x≤16时，60x+(50-3x)×3-100=50+51x（3）解：设共买了x个羽毛球拍，根据题意得，60x+(50-3x)×3-50=712，解得，x=12. 答：共买了12个羽毛球拍.【解析】【分析】（1）根据题意直接列式计算。
（2）根据满500送50元券，满800送100元券活动，分三种情况讨论：x≤6时；7≤x≤12时；13≤x≤16时，分别用含x的代数式表示出要付的费用。
（3）根据一共花费712元，列方程求解即可。
2．用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C 型钢板和3块D型钢板.现购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板.设购买A型钢板x块（x为整数）（1）可制成C型钢板块（用含x的代数式表示）；可制成D型钢板块[用含x的代数式表示）.（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元.若将C、D型钢板全部出售，通过计算说明此时获得的总利润.（3）在（2）的条件下，若20≤x≤25，请你设计购买方案使此时获得的总利润最大，并求出最大的总利润.【答案】（1）解：设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据题意得：可制成C型钢板2x+（100﹣x）＝（x+100）块，可制成D型钢板x+3（100﹣x）＝（﹣2x+300）块.故答案为：x+100；﹣2x+300（2）解：设获得的总利润为w元，根据题意得：w＝100（x+100）+120（﹣2x+300）＝﹣140x+46000（3）解：∵k＝﹣140＜0，∴w值随x值的增大而减小，又∵20≤x≤25，∴当x＝20时，w取最大值，最大值为43200，∴购买A型钢板20块、B型钢板80块时，可获得的总利润最大，最大的总利润为43200元.【解析】【分析】（1）设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据“ 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板”从而用含x的代数式表示出可制成C型钢板及D型钢板的数量.（2）设获得的总利润为w元，根据总利润=100×制成C型钢板的数量+120×制成D型钢板的数量，从而得出结论.（3）利用一次函数的性质求出最大利润及购买方案即可.3．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.【答案】（1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），∴该整式为PQR类整式.【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.（2）根据"PQ类整式"定义，由x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.（3）由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.4．从2022年4月1日起龙岩市实行新的自来水收费阶梯水价，收费标准如下表所示：（2）某用户8月份用水量为24吨，求该用户8月份应缴水费是多少元．（3）若某用户某月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户该月所缴水费．【答案】（1）解：2.2×10=22元，答：该用户4月份应缴水费是22元，（2）解：15×2.2+（24﹣15）×3.3=62.7元，答：该用户8月份应缴水费是 62.7元（3）解：①当m≤15时，需交水费2.2m元；②当15＜m≤25时，需交水费，2.2×15+（m﹣15）×3.3=（3.3m﹣16.5）元，③当m＞25时，需交水费2.2×15+10×3.3+（m﹣25）×4.4=（4.4m﹣44）元．【解析】【分析】（1）先根据月用水量确定出收费标准,再进行计算即可；（2） 8月份应缴水费为：不超过15吨的水费+超出的9吨的水费；（3）分①m≤15吨,②15<m≤25吨,③m>25吨三种情况,根据收费标准列式进行计算即可得解。
苏州苏州外国语学校八年级数学上册第十三章《轴对称》基础练习(答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 6．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④ 7．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．38．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 10．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒11．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 12．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．913．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 14．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ） A ．30 B ．60︒ C ．40︒或50︒ D ．30或60︒ 15．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．17．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．18．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 19．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．20．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝________21．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．22．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．23．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________ 24．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．25．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．26．已知等边三角形ABC ．如图，（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；（3）分别以点A ，C 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；（6）连接OA ，OB ，OC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．三、解答题27．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．（1）证明：BM CN =；（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．28．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．29．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．30．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．。
七年级上册苏州苏州国际外语学校数学期末试卷中考真题汇编[解析版]
![七年级上册苏州苏州国际外语学校数学期末试卷中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/72fcaead59eef8c75ebfb354.png)
七年级上册苏州苏州国际外语学校数学期末试卷中考真题汇编[解析版]一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．如图，线段AB=20cm．（1）点P沿线段AB自A点向B点以2cm/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/秒运动，几秒后，点P、Q两点相遇？（2）如图，AO=PO=2cm，∠POQ=60°，现点P绕着点O以30°/秒的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若P、Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．【答案】（1）解：设x秒点P、Q两点相遇根据题意得：2x+3x=20，解得x=4答：4秒后，点P、Q两点相遇。
（2）解：①当点P.Q在OB与圆的交点处相遇时：P点运动所用的时间为：① （秒），P点的运动速度为：（20-4）÷2=8cm/秒②当点P,Q在A点处相遇时：P点运动所用的时间为：②（60+180）÷30=8（秒），P点运动的速度为：20÷8-2.5cm/秒【解析】【分析】（1）此题是一道相遇问题，根据相遇的时候，P点所走的路程+Q点运动的路程等于AB两地之间的距离，列出方程，求解即可；（2）分①当点P.Q在OB与圆的交点处相遇时，②当点P,Q在A点处相遇时两类讨论，分别根据路程除以速度等于时间算出P点运动的时间，即Q点运动的时间，再根据路程除以时间等于速度即可算出Q点的运动速度。
2．已知：，点，分别在，上，点为，之间的一点，连接， .（1）如图1，求证：；（2）如图2，，，，分别为，，，的角平分线，求证与互补；【答案】（1）证明：过C点作CG∥MN，∵，∴，∴∠MAC=∠ACG,∠PBC=∠GCB，∵∠ACB=∠ACG+∠GCB，∴∠ACB=∠MAC+∠PBC（2）证明：由（1）同理可知，∵，，，分别为，，，的角平分线，∴∠DAE=∠DBE= =90°，∴∠D+∠E=360°-（∠DAE+∠DBE）=180°，∴与互补.【解析】【分析】（1）过C点作CG∥MN，再根据两直线平行，内错角相等即可证明；（2）由（1）可知，，再根据角平分线的性质与平角的性质知∠DAE=∠DBE=90°，即可证得 + =180°.3．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.【答案】（1）75（2）解：如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；∵∠BEC=140°，∴∠BE1C=70°；（3）【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；故答案为：75；（ 3 ）如图2，∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；…以此类推，∠E n= ∠BEC，∴当∠BEC=α度时，∠BE n C等于 °.故答案为： .【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C= ∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠E n= ∠BEC，最后求得∠BE n C的度数.4．以直线上点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处.（1）若直角的边在射线上（图①），求的度数；（2）将直角绕点按逆时针方向转动，使得所在射线平分（图②），说明所在射线是的平分线；（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得（图③），求的度数.【答案】（1）解：∵，又∵，∴ .（2）解：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴所在直线是的平分线.（3）解：设，则，∵，，①若∠COD在∠BOC的外部，∴，解得x=10，∴∠COD=10°，∴∠BOD=60°+10°=70°；②若∠COD在∠BOC的内部，，解得x=30，∴∠COD=30°，∴∠BOD=60°-30°=30°；即或，∴或 .【解析】【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）要分情况讨论，一种是∠COD在∠BOC的内部，另一种是∠COD在∠BOC的外部，再根据平角等于180°可通过列方程求出即可．5．已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°)（1）如图1，求∠MON的度数；（2）若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒①当时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系；②当且时，若，则t=________.【答案】（1）解：设又 OM平分，ON平分（2）解：①由题意将t分为以下两段：当时，此时有当时，此时有综上，所求的与的数量关系为：② 或或 .【解析】【解答】（2）②根据图中的角均小于，需作以下几方面的讨论：当OC恰好转到OA的位置时，；当OC与OD恰好转到共线的位置时，，即；当OC与OD转到使OM与ON恰好共线的位置时，，即；当OC与OD恰好重合时，，即，下面据此将t的取值范围逐一分段：1）当时，代入得：解得2）当时，代入得：解得（舍）3）当时，代入得：解得（舍）或4）当时，代入得：解得（舍）5）当时，代入得：解得综上，所求的t的值为：或或 .【分析】（1）设，则可得和，根据角平分线的定义得和，再根据即可得；（2）①当时，由题意可得，可以发现当时，大于，因此需要将t分成和两段，分别计算，以保证其符合题意小于，从而确定在两段内和的数量关系；②根据图中的角均小于，首先要分OC是否转过OA；再分OC与OD是否转到共线的位置；然后分角平分线OM与ON是否共线，即是否大于；最后分OC与OD是否重合；计算各个情形的下和，代入即可计算出t的值.6．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转。
苏州苏州外国语学校数学全等三角形单元测试卷(解析版)
苏州苏州外国语学校数学全等三角形单元测试卷（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．【答案】53 【解析】试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =2233142312⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．2．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5，M ，N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.3．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBCBE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCB EB CBMBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD，∴MN//AB，故②正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得△ANP≌△AMP ，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数，再由AD 是∠BAC 的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°；③根据∠1=∠B 可知AD =BD ，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD =12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】 ①连接NP ，MP ．在△ANP 与△AMP 中，∵AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△AMP ，则∠CAD =∠BAD ，故AD 是∠BAC 的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC =60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt △ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确． 故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．5．如图，在第一个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一D ，延长CA 2到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2B 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第三个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度．【答案】1752n - 【解析】【分析】先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝1752n ． 【详解】∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1C ＝1802B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°； 同理可得，∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝1752n ． 故答案为1752n -． 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.6．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE ，CG=CD 可得∠E=∠DFE ，∠CDG=∠CGD ，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E ，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G ，进而可得∠ACB=4∠E ，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF ＝DE ，CG ＝CD ，∴∠E ＝∠DFE ，∠CDG ＝∠CGD ，∵GDC ＝∠E +∠DFE ，∠ACB ＝∠CDG +∠CGD ，∴GDC ＝2∠E ，∠ACB ＝2∠CDG ，∴∠ACB ＝4∠E ，∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∴∠ACB ＝40°，∴∠E ＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.8．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】 本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，将△ABC 绕点B 旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC 和边A′C′相交于点P ，边AC 和边BC′相交于Q.当△BPQ 为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 作BE ⊥A'C'于E ，根据旋转可得△ABC ≌△A'BC'，则BD=BE ，进而得到BP 平分∠A'PC ，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 作BE ⊥A'C'于E ，由旋转可得，△ABC ≌△A'BC'，则BD=BE ，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，即90°-12θ=30°+θ，解得θ=40°；③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ，又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．10．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】12【解析】 过点Q 作AD 的延长线的垂线于点F.因为△ABC 是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF ，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE ，所以DE=12AC=12. 故答案为12.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
苏州苏州国际外语学校八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°或20° 2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC ∆中，DE 垂直平分BC 交AB 于点,D 交BC 于点E ．若10,8AB cm AC cm ==，则ACD ∆的周长是（ ）A ．12cmB ．18cmC ．16cmD ．14cm 4．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（ ）A ．90°B ．68°C ．78°D ．88° 5．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ）A ．(3，－2)B ．(－3，－2)C ．(－3，2)D ．(－2，3)6．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒7．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°8．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 9．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，连接AD ，若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长（ ）A ．16B ．19C ．20D ．2410．下列图案是轴对称图形的是有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③11．如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ，那么它的周长（ ）A ．8cmB ．20cmC ．16cm 或20cmD ．16cm12．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠ D ．AB 垂直平分CD二、填空题13．如图，点CD 在线段AB 的同侧，CA =6，AB =14，BD =12，M 为AB 中点，∠CMD =120°．则CD 的最大值为____．14．在平面直角坐标系中，将点(3,2)P -向右平移4个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为________．15．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．16．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．17．如图①，点D 为一等腰直角三角形纸片的斜边AB 的中点，E 是BC 边上的一点，将这张纸片沿DE 翻折成如图②，使BE 与AC 边相交于点F ，若图①中AB ＝2，则图②中△CEF 的周长为______________．18．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．19．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________． 20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．三、解答题21．如图，已知：射线AM 是△ABC 的外角∠NAC 的平分线．（1）作BC 的垂直平分线PF ，交射线AM 于点P ，交边BC 于点F ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）过点P 作PD ⊥BA ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，请补全图形并证明BD ＝CE ．22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A B C ，，的坐标分别为()()()4,5,2,1,1,3--- （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C ∆'''，并写出点'B 的坐标（2）点P 是x 轴上的动点，当A BP ∆'周长最小时，找出点P ，并直接写出点P 的坐标23．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．24．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；（2）求ABC 的面积：（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________． 25．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．26．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设两内角的度数为x、4x，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x、4x，当等腰三角形的顶角为x时，x＋4x＋4x＝180°，x＝20°；当等腰三角形的顶角为4x时，4x＋x＋x＝180°，x＝30°，4x＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC与△CDE为等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD，在△BCD与△ACE中，∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，即①正确；在△BCF与△ACG中，由①可知∠CBF=∠CAG，又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF，即②正确；在△DFC与△EGC中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．B解析：B【分析】由题意可知BD=CD ，因此ACD ∆的周长= AB+AC ，据此可解．【详解】解：∵DE 垂直平分BC ，∴BD=CD ，∴ACD ∆的周长=AD+CD+AC= AD+BD+AC= AB+AC=10+8=18(cm)，故选：B ．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BD=CD ．4．C解析：C【分析】由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．【详解】∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，∴DB=DC ，∴∠DCB=34B ∠=︒，∵CD 是BCA ∠的平分线，∴∠ACB=2∠DCB=68°，∴∠A=180°-34°-68°=78°，故选C ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．【详解】解：点A （3，2）关于y 轴对称点的坐标为B （−3，2）．故选：C ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．A解析：A【分析】由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．【详解】在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，()11802ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，AD BD ∴=，52ABD BAC ∴∠=∠=︒，12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．B【分析】根据题中作图知：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，∵DM 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，∴∠A=32︒，故选：B ．【点睛】此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC 是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 9．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的长，即可求出答案．DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,.∴ AC=2AE=6cm，AD = DC ,△ ABD 的周长为13cm，∴ AB + BD +AD=13cm，∴AB + BD + DC = AB +BC=13cm∴△ ABC 的周长为 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm，故选 B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．10．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．B解析：B【分析】解决本题要注意分为两种情况4cm为底或8cm为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．【详解】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm和8cm，∴此题有两种情况：①4cm为底边，那么8cm就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，②8底边，那么4cm是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．∴该等腰三角形的周长为20cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．12．D解析：D根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】=，∵AC AD=，BC BD∴AB垂直平分CD，故D正确，A、B错误，OC不平分∠ACB，故C错误，故选：D．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．二、填空题13．25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明△AMB为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=解析：25【分析】作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠CMD=120°，∴∠2+∠3=60°，即∠A’MB’=120°-60°=60°，又M为AB的中点，∴AM=MA’=MB’=MB，∴△A’MB’为等边三角形，∴A’B’=AM=7，由两点之间线段最短可知：CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．14．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P（3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x轴的对称点解析：(7,2)【分析】先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．【详解】解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，∴点P'的坐标是（7，-2），∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．故答案为：（7， 2）【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．15．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EAAF＝FC根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线∴EB＝EA∵FG是AC边的垂直平分线∴AF＝FC∴△AEF的周长解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，∴EB＝EA，∵FG是AC边的垂直平分线，∴AF＝FC，∴△AEF的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．【分析】如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N 连接DF 首先证明△DFB ≌△DFC 推出CF=BF 可得再利用勾股定理求解即可得到答案【详解】解：如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N【分析】如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．首先证明△DFB ≌△DFC ，推出CF=BF ，可得()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=，再利用勾股定理求解B C '即可得到答案．【详解】解：如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．∵,90CA CB ACB ''=∠=︒，AD B D '=，∴CD DB AD DB '===，45DCB DCA '∠=∠=︒，45B B '∠=∠=︒．∴DH DM =，,B DE BDE '≌,DH DN ∴=,DH DM DN ∴==∴DFM DFN ∠=∠，∵∠BFM=∠EFC ，∴∠DFB=∠DFC ，在△DFB 和△DFC 中，B DCF DFB DFC DF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFB ≌△DFC ，∴CF=BF ，∵()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=， ∵2AB '=，∴224B C AC '+=，,B C AC '=2.B C '∴= （负根舍去）2.CEF C ∴= 2.【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．19．7【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数列方程求解即可【详解】解：∵点A（a-13）与点B（2-2b-1）关于x轴对称∴a-1=2-2b-1=-3解得a=3b=1∴=2×3+1=7故解析：7【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．【详解】解：∵点A（a-1，3）与点B（2，-2b-1）关于x轴对称，∴a-1=2，-2b-1=-3，解得a=3，b=1，∴2a b+=2×3+1=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．20．【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P解析：【分析】根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．【详解】AC=22+=，2222如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，则AP+PC=AP+PC′=AC′，此时AP+PC取得最小值，最小值为22+=，26210+，所以△PAC周长的最小值为21022+．故答案为：21022【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；（2）先根据几何语言画出对应几何图形，再连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得PD＝PE，则可判断Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得到BD＝CE．【详解】解：（1）如图，PF为所作；（2）证明：如图，连接PB 、PC ，如图，∵PF 垂直平分BC ，∴PB ＝PC ，∵AM 是△ABC 的外角∠NAC 的平分线，PD ⊥BA ，PE ⊥AC ，∴PD ＝PE ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，PB PC PD PE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），∴BD ＝CE ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．22．（1）见解析，()'2,1B ；（2）见解析，()1,0P -【分析】（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案．（2）作点B 关于x 轴的对称点B″，连接A′B″交x 轴于P ，点P 即为所求．【详解】解：()1如图'''A B C ∆即为所求，由图可知，()'2,1B ；()2如图所示，点()1,0P -即为所求点．【点睛】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝【分析】（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．【详解】解：（1）证明：如图1，∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．∴∠FBA=∠FCE ．∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC ．∵AB=AC ，∴△FAB ≌△DAC ．∴FA=DA ．∴AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°∴∠FBA=∠FCE ，∵∠FAB=180°-∠DAC=90°∴∠FAB=∠DAC在△FAB 和△DAC 中，FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴FA=DA ，∴AF=AD=BD+AB ．如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，∵∠AFB=∠EFC ，∴∠FBA=∠FCE ，在△FAB 和△DAC 中，90FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴AF=AD ，∴BD=AB+AD=AB+AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．24．（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）利用分割法求解即可．（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．故答案为：（−2，1）；（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12×2×5＝8.5． （3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，∴Q (),2a a -，∵6PQ =，∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，∴P （5，3）或（−1，−3）．故答案为：（5，3）或（−1，−3）．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB ，DBC ；DBC ；等角对等边．【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．【详解】解：（1）补全的图形如下：（2）证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC ＝DB ．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴∠DCB ＝∠DBC ．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°−∠DCB ，∠A ＝90°−∠DBC ．∴∠ACD ＝∠A ．∴DC ＝DA ．（等角对等边）∴△DCB 和△DCA 都是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB ，DBC ；DBC ；等角对等边．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．26．（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS)∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM =∴AP AH PH AN PM =+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。
苏州苏州国际外语学校数学轴对称填空选择中考真题汇编[解析版]
![苏州苏州国际外语学校数学轴对称填空选择中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/7b6438f569eae009591bec1e.png)
苏州苏州国际外语学校数学轴对称填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF =BE +CF ；②∠BOC =90°+12∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD =m ，AE +AF =n ，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是____．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m ，AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ，④错误. 【详解】在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=90°，故②∠BOC =90°+12∠A 正确； 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ，∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ，∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF ，即①EF =BE +CF 正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于点N ，连接AO ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON=OD=OM=m ，即③点O 到△ABC 各边的距离相等正确；∴S △AEF=S △AOE+ S △AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·（AE+AF ）=12mn ，故④错误； 故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.2．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.①ABD ACE ∆≅∆②45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④180EAB DBC ∠+∠=︒【答案】①②③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即：∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AE=AD ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD ⊥CE ，故③正确；∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴∠BAE+∠DAC=180°，∵∠ADB=∠E=45°，∴DAC DBC ∠=∠，∴180EAB DBC ∠+∠=︒，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 分对边BD ，DC 的长度比为3：2，且BC ＝20cm ，则点D 到AB 的距离是_____cm ．【答案】8【解析】【分析】根据题意画出图形，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可知DE ＝CD ，根据角平分线AD 分对边BC 为BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm 即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ．∵BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm ，∴CD ＝20×25＝8（cm ）． 故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题4．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．【答案】116 64 26 在【解析】【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；∠BCP= 12∠BCE= 12（∠A+∠ABC ），∠PBC= 12∠CBF= 12（∠A+∠ACB ），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC ，据此可求∠BPC 的度数；作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥AC 于H ，PK ⊥BC 于K ，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH ，于是可证得AP 平分∠BAC ，据此可求∠PAB 的度数；同理可证OA 平分∠BAC ，故点O 在直线AP 上．【详解】解：∵O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ） = 12（180°-∠A ） =90°- 12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ） =180°-90°+12∠A =90°+ 12∠A =90°+26°=116°；∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP= 12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC= 12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°- 12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°- 12（∠A+180°）=90°- 12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．【答案】4【解析】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.【详解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=12BE•DG，S△BED=12AE•CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC=1222⨯⨯=2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E 从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB和△EBD都是Rt△，∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，又∵点E每秒钟移动3cm，∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.7．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，∠DEC=30°，HF=32，则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．【详解】如图，延长AF交CE于P，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，∴∠ABH=∠PAC，∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，∴∠HEK=∠FAH，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF，∴∠AHB=∠APC，在△ABH与△APC中，ABE PACAB ACAHB APC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABH≌△APC（ASA），∴AH=CP，在△AHF与△EPF中，90AHF EPFAFH EFPAF EF∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHF≌△EPF（AAS），∴AH=EP，∠CED=∠HAF，∴EC=2AH，∵∠DEC=30°，∴∠HAF=30°，∴AH=2FH=2×32=3，∴EC=2AH=6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．8．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC 的平分线上，与A 相距1cm 的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm 处．【详解】工厂的位置应在∠BAC 的平分线上，与A 相距1cm 的地方；理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．9．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．【答案】AC 中点或点P 与点C 重合【解析】分析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP=BC=5cm ，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP=AC ，P 、C 重合．详解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP BC =的，∵90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt QPA 中，AP BC PQ AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，即5AP BC ==，即P 运动到AC 的中点．②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，AP AC PQ AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），即AP=AC=10cm ，∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．10．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.【答案】169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知，∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DAF CBD ∠=∠，④正确．故选D.12．如图, AB=AC ，AD=AE ， BE 、CD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）A ．五对B ．四对C ．三对D ．二对【答案】A【解析】 如图，由已知条件可证：①△ABE ≌△ACD ；②△DBC ≌△ECB ；③△BDO ≌△ECO ；④△ABO ≌△ACO ；⑤△ADO ≌△AEO ；∴图中共有5对全等三角形.故选A.13．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，AC 与BD 相交于点E ，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加的一个条件是（ ）A ．AC=BDB ．AC=BC C ．BE=CED ．AE=DE【答案】A【解析】 由AB=DC ，BC 是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS ，即再增加AC=DB 即可. 故选A.点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL ，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.14．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3 个D ．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确； ∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=(2222+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+45210+，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE 221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102BC =52AB ．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．15．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCOC．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.16．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【解析】已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，在△AB D和△EB C 中，BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误；已知BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再由∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得∠DCE=∠DAE，所以AE=EC；再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC，所以AD=AE=EC，即③正确；由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确.故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．17．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．10D．15【答案】A【解析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=12×BC×DE=7.5，故选：A．18．如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正确；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E为△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴2CD，故④错误；⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF ≌△CEG （AAS ），∴GE=MF ，∴CF=CM+MF=2CD+GE ，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A ．①，②都正确B ．①，②都错误C ．①错误，②正确D ．①正确，②错误 【答案】A【解析】【分析】根据SSS 即可推出△111A B C ≅△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C ，△222A B C 的周长相等，1122A B A B =，1122AC A C =，1122B C B C ∴=，∴△111A B C ≅△222()A B C SSS ，∴①正确；②如图，延长11A B 到1D ，使1111B D B C =，，延长22A B 到2D ，使2222B D B C =，∴111111A D A B B C =+，222222A D A B B C =+，∵111122,A B C A B C △△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D =，在△111A B D和△222A B D中1122121122==A D A DA AA C A C=⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B D≅△222A B D（SAS）∴12=D D∠∠，∵1111B D B C=，2222B D B C=∴1111=D D C B∠∠，2222=D D C B∠∠，又∵1111111=A B C D D C B∠∠+∠，2222222=A B C D D C B∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D∠∠∠，在△111A B C和△222A B C中111222121122===A B C A B CA AA C A C∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B C≅△222A B C（AAS），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．20．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．1+22C．2D2-1【答案】B【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为12；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为22，腰长为12，所以周长为112212222++=+. 故答案为B.21．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．22．如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，下面四个结论：①AS =AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP ；④AP 垂直平分RS ．其中正确结论的序号是（ ）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）A ．AB CD =B ．AD BC = C ．//AD BC D ．A C ∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.24．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF ⊥AD 交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA ；③PH=PD ；④连接CP ，CP 平分∠ACB ，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．详解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选D．点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．25．下列两个三角形中,一定全等的是( )A．两个等边三角形B．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】解：A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．26．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF ，AP=PF ；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH ；④根据PF ⊥AD ，∠ACB=90°，可得AG ⊥DH ，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF ，然后求出DG=GH+AF ，有直角三角形斜边大于直角边，AF ＞AP ，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC ， ∠CAP=12（90°+∠ABC ）=45°+12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP ，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC ）-12∠ABC ， =180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC ， =45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP=∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF=AH ，∵BD=DF+BF ，∴BD=AH+AB ，∴BD-AH=AB ，故③小题正确；④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，∴AG ⊥DH ，∵AP=PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG ，∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG=AG ，GH=GF ，∴DG=GH+AF ，∵AF ＞AP ，∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.27．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC,∴EF⊥BF，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD是ABC的角平分线，BC平分ABF∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒，∴∠ADB=90︒，即AD BC⊥，③正确；∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD=AD,∴△ADC≌△ADB,∴DB=DC，②正确；又∵∠CDE=∠BDF，∠CED=∠F，∴△CDE≌△BDF,∴DE=DF，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.28．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，AF AEBAF CAEAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．29．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【解析】【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【详解】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL ．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG 是正确解决本题的关键．30．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，AP APPR PS =⎧⎨=⎩，∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确；，在Rt BRP和Rt CSP中，只有PR PS不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.。
苏州北外附属苏州湾外国语学校八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试卷(答案解析)
一、选择题1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128C解析：C【分析】 根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．【详解】如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，∵∠MON=30°，∴∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1= A 1A 2=1，∵△A 2B 2A 3是等边三角形，同理可得：OA 2=B 2A 2=2，同理；OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，OA 5=B 5A 5=4216=，…，以此类推：所以OA 7=B 7A 7=6264=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．2．下列命题中，假命题是（ ）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A 、B ，根据对顶角的定义判断C ，根据等边三角形的判定判断D ．【详解】解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B ．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL 可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．3．已知点A 是直线l 外的一个点，点B ，C ，D ，E 是直线l 上不重合的四个点，再添加①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3D解析：D【分析】写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．【详解】解：根据题意吧，如图：由等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理，易证△ABD ≌△ACE ；命题1：若AB=AC ，AD=AE ，则BD=CE ，此命题为真命题；命题2：若AB=AC ，BD=CE ，则AD=AE ，此命题为真命题；命题3：若AD=AE ，BD=CE ，则AB=AC ，此命题为真命题．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的判断命题的真假．4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒B 解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）A ．100°B ．120°C ．132°D ．140°C【分析】根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．【详解】解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，∴PA PB PC ==，∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．6．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =100°，AD 是BC 边上的中线，CE 平分BCA ∠交AB 于点E ，AD 、CE 相交于点F ，则∠CFA 的度数是（ ）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质得BCA ∠的度数，再根据角平分线算出ACF ∠的度数，再由“三线合一”的性质得CAD ∠的度数，即可求出结果．解： ∵AB AC =， ∴180100402BCA ︒-︒∠==︒， ∵CE 平分BCA ∠， ∴1202ACF BCA ∠=∠=︒， ∵AB AC =，AD 是BC 上的中线，∴1502CAD BAC ∠=∠=︒， ∴180110CFA CAD ACF ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C ．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．7．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤D解析：D【分析】 ①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE ≌△BCE ，可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题； ③证明△AEF ≌△BED 即可；④AE≠DE ，故④不正确；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．下列图案是轴对称图形的是有（）A．①②B．①③C．①④D．②③C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A．125B．95C．85D．75A解析：A【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝225AB AC+=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．10．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（）A．6 B．3 C．12 D．4．5C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．二、填空题11．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD 根据全等三角形的解析：①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形，但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD ，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE 和BD 边上的高相等，即CH=CG ，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC ，故可判断④．【详解】解：①∵∠ACD=∠BCE ，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE ，∴∠ACE=∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中CA CD ACE DCB CE CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=DG ，故①正确；②∵AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =60°，∴△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴AD=AC =DC ，BE=BC=EC ，但AC 不一定等于BC ，故AD 不一定等于BE ，所以②错误；③∵∠APB 是△APD 的外角，∴∠APD=∠ADP+∠DAP由①得△ACE ≌△DCB∴∠CAE=∠CDB∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故③正确；④如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，∴∠APC=∠BPC，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．12．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．10【分析】使△AOP为等腰三角形只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰当OA是底边时有2个点；当OA是腰时有8个点即可得出答案【详解】∵A（80）∴OA=8设△AOP的边OA上的高是h则×8×h解析：10【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合， ②以O 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合， ③作AO 的垂直平分线分别交直线a 、b 于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A ⊥OB1于A 过A2作A2B ⊥A1B2于B 过A3作A3C ⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A1B2//x轴，∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=12A1B2=1，即A2的横坐标为12+1=2212-，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=12A2B3=2，即A 3的横坐标为12+1+2=3212-， 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-， 由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-， 故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．14．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE 所以点C 和点B关于直线DE 对称所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值再结合题目的已知条件求出AB 的长即可【详解】解：如图∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一解析：18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE ，所以点C 和点B 关于直线DE 对称，所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB 的长即可．【详解】解：如图，∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP 的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 15．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题解析：【分析】根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．【详解】ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，则E 与C 关于直线AD 对称，5AE AC ==，∴1358BE AB AE =-=-=，如图,连接PC ，由题意得PC PE =，∴12PB PE PB PC BC ，当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．故答案为:20．【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．16．若点P(x-y，y)与点Q(-1，-5)关于x轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．解得x＝4，y＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图，在△ACB中，∠ACB＝∠90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，∠DBC＝30°，DC＝4cm，则D到AB的距离为________cm．4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA则有∠A=∠ABD而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt△BED中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE解析：4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC=30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∴∠A=∠ABD，∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm，∴BD=8cm ，∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，∴∠ABD=30︒，在Rt △BED 中，∠EBD=30︒，BD=8cm ，∴DE=142BD =cm ， 即D 到AB 的距离为4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．18．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒，∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠， 即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠， 解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．19．如图，已知点D 、点E 分别是边长为2a 的等边三角形ABC 的边BC AB 、的中点，连接,AD 点F 为AD 上的一个动点，连接,EF BF 、若,AD b =则BEF 的周长的最小值是__________．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E 交AD 于F 连接BF 则BF+EF 最小证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b 即BF+EF=b 再根据等边三角形的性质可得BE=a 从而可得结论【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E 交AD解析：+a b【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b ，即BF+EF=b ，再根据等边三角形的性质可得BE=a ，从而可得结论．【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，∵△ABC 是等边三角形，∴BE=12AB a = ∵等边△ABC 中，BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一），∴C 和B 关于直线AD 对称，∴CF=BF ，即BF+EF=CF+EF=CE ，∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB 和△CEB 中，∵ADB CEB ABD CBE AB CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADB ≌△CEB （AAS ），∴CE=AD=b ，即BF+EF=b ，∴BEF 的周长的最小值为BE+CF=a+b ，故答案为：a+b ．【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．20．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则DAE =∠__________°．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD ∠C=∠CAE 则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE 的度数【详解】解：∵在△A解析：40︒【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE 的度数．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，∴AD=BD ，AE=CE ，∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．三、解答题21．如图，以△ABC的两边AB和AC为腰在△ABC外部作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）连接BE、CD交于点F，如图①，求证：BE＝CD，BE⊥CD；（2）连接DE，AM⊥BC于点M，直线AM交DE于点N，如图②，求证：DN＝EN．解析：（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）只要证明△ABE≌△ADC即可解决问题；△≌△，再证（2）延长AN到G，使AG=BC，连接GE，先证AEG CAB△≌△即可解决问题．GEADN N【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ADC，∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，又∵∠DOF=∠AOB ，∠BOA+∠ABE=90°，∴∠ABE+∠DOF=90°∴∠ADC+∠DOF=90，即BE ⊥DC ．（2）延长AN 到G 使AG=BC ，连接GE ，AM BC ⊥，AC 90MAC M ∴∠+∠=︒，90NAE MAC ∠+∠=︒，ACM=NAE ∴∠∠，同理可证：ABC DAN ∠=∠ AC=AE ，∴()AEG CAB SAS △≌△，GE AB AD ∴==，ABC G ∠=∠，DAN G ∴∠=∠，又NA=GNE D ∠∠，∴GE ADN N △≌△，DN=EN ∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键．22．如图，网格中小正方形的边长为1，（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1（其中A 1、B 1、C 1分别为A 、B 、C 的对应点）； （2）△ABC 的面积为 ；点B 到边AC 的距离为 ；（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小，若存在，请直接写出MA ＋MB 的最小值；若不存在，请说明原因解析：（1）见解析；（2）112，113434；（3）存在，17 【分析】 （1）根据对称点的坐标规律，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，找出对称点，顺次连接即可；（2）利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积，计算后即可得出答案，点B 到边AC 的距离即为△ABC 的AC 边上的高，利用勾股定理求得AC 的长，再根据已求得的△ABC 的面积从而求解结果；（3）根据两点之间线段最短，利用轴对称的性质先作点A 关于x 轴的对称点A ＇，连接A ＇B 与x 轴相交于点M ，此时MA ＋MB 最小，且最小值为线段A ＇B 的长度，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）S △ABC ＝11111451235342222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 设点B 到边AC 的距离为h ，∵网格中小正方形的边长为1， ∴AC 223534+=∵11122ABC S h AC ==，即1113422h =， 解得113434h =． 故答案为：112，113434． （3）如图，在x 轴上存在一点M ，使得MA ＋MB 最小，作点A 关于x 轴的对称点A ＇，连接A ＇B 与x 轴相交于一点，此交点即为点M ，由两点之间线段最短可得，此时MA ＋MB 最小．根据轴对称的性质可得：MA ＝MA ＇，∴22'4117MA MB A B +==+【点睛】此题考查了轴对称变换、三角形面积的计算等知识，掌握轴对称与坐标变换并根据题意得出对应点位置是解题关键．23．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；（2）求ABC 的面积：（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________． 解析：（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）利用分割法求解即可．（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．故答案为：（−2，1）；（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12×2×5＝8.5． （3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，∴Q (),2a a -，∵6PQ =，∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，∴P （5，3）或（−1，−3）．故答案为：（5，3）或（−1，−3）．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．24．如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，连接BD 并延长，交AC 于点F ，连接CD 并延长，交AB 于点G ，连接CE ．（1）求证：ABD ACE △≌△；（2）若ADG CED ∠=∠，求证：AG CF =．解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据等边三角形的性质得,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠，CAD ∠为公共角得出BAD CAE ∠=∠，根据SAS 可证全等.（2）根据全等三角形的性质,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠联立题目条件ADG CED ∠=∠可得60BDG AED ==∠∠，根据三角形外角的性质得到AGD BFC ∠=∠证明()AGC BFC AAS ≅，即可证AG CF =.【详解】（1）∵ABC 和ADE 均为等边三角形，∴,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠， ∵CAD ∠为公共角，∴BAD CAE ∠=∠∴()ABD ACE SAS ≅△△（2）∵ABD ACE ≅,∴,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠ ∵ADG CED ∠=∠，∴60BDG AED ==∠∠，∴GBD GDB GBD BAF +=+∠∠∠∠，即AGD BFC ∠=∠，在AGC 与BFC △中AGD BFC GAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AGC BFC AAS ≅∴AG CF =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点；解题的关键是熟练掌握以上知识点.25．如图，在ABC 中，50B C ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接DE ，且ADE AED ∠=∠，当60BAD ∠=︒时，求CDE ∠的度数．解析：30∠=︒CDE .【分析】根据等腰三角形的性质，求得DAE ∠，利用ADE AED ∠=∠，确定AED ∠的度数，在三角形DEC 中，利用三角形外角性质计算即可.【详解】∵50B C ∠=∠=︒，∴18080BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵60BAD ∠=︒，∴20DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒， ∴18020802ADE AED ︒-︒∠=∠==︒． ∵AED CDE C ∠=∠+∠，∴805030CDE AED C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的顶角计算，底角的计算，熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是解题的关键.26．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）求FAE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．27．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点A '，B '，C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置关系？解析：（1）图见解析，3；（2）ABC 与A B C '''关于x 轴对称【分析】（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC ，利用割补法求面积；（2）根据点A 、B 、C 纵坐标都乘以1-，得到对应的点A '，B '，C '的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．【详解】（1）如图，ABC 即为所求，111451245(15)23222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)A B C -，∴A '（0，-1），B '（2,0），C '（4,4），∴ABC 与A B C '''关于x 轴对称．．【点睛】此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．28．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，BC 的垂直平分线DG 交AD 于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．求证：（1）BE CF =．（2）2AB AC CF -=．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF ，再证明△BDE ≌△CDF 就可以得出结论；（2）由条件可以得出△DAE ≌△DAF 就可以得出AE=AF ，进而就可以求出结论．【详解】（1）连接DB 、DC ，如图所示，DG 垂直平分BC ，DB DC ∴=，又AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF ∴=，90DEB DFG ∠=∠=︒，DAE DAF ∠=∠， 在Rt BDE 和Rt CDF 中，DB DC DE DF =⎧⎨=⎩， ()HL Rt BDE Rt CDF ∴≅，BE CF ∴=．（2）在Rt DAE 和Rt DAF △中，DA DA DE DF =⎧⎨=⎩， ()Rt DAE Rt DAF HL ∴≅，AE AF ∴=，AB AE BE -=，AB AF CF ∴-=，()AB AC CF CF -+=，AB AC CF CF --=，2AB AC CF -=．【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。
苏州外国语血虚爱八年级数学上册第三单元《轴对称》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°2．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠，2AE BF =．下列四个结论中：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥；④3AB BF =．其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．114．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大 5．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒6．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④7．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ） A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- 9．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()a b +的值（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．310．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．2202011．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（ ）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒二、填空题13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．14．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．15．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．16．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．17．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．18．如图，等腰ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最小值为_____cm ．19．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．20．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）； （2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．三、解答题21．如图，△ABC 是边长为12cm 的等边三角形，动点M 、N 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．（1）若点M 的运动速度是2cm/s ，点N 的运动速度是4cm/s ，当N 到达点C 时，M 、N 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当t=2时，判断△BMN 的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是2cm/s ，当点M 到达点B 时，M 、N 两点停止运动，设点M 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△MBN 是直角三角形？22．如图，BD 是ABC 的角平分线，点E 在边AB 上，且//DE BC ，AE BE =． （1）若5BE =，求DE 的长； （2）求证：AB BC =．23．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系． 24．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；（2）如图2，若2BD AE =，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．25．如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．（1）依题意补全图形； （2）若ADF α∠=．①求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由． 26．如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．（1）直接写出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点1A 、1B 、1C 的坐标；1A （______，_______）、1B （______，_______）、1C （______，_______） （2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形222A B C △． （3）求ABC 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解． 【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°； 因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABC=∠C ，得到AC=AB ，根据等腰三角形的性质得到DB=DC ，AD ⊥BC ，证明△CDE ≌△BDF ，根据全等三角形的性质证明得到答案． 【详解】解：∵BC 平分∠ABF ， ∴∠ABC=∠FBC ， ∵BF ∥AC ， ∴∠C=∠FBC ， ∴∠ABC=∠C ， ∴AC=AB ，∵AC=AB ，AD 是△ABC 的角平分线， ∴DB=DC ，AD ⊥BC ，故②、③说法正确； 在△CDE 和△BDF 中，C DBF CD DBCDE BDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ）， ∴DE=DF ，故①说法正确； ∵△CDE ≌△BDF ， ∴BF=CE ， ∵AE=2BF ，∴AB=AC=3BF ，故④说法正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．B解析：B 【分析】根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值． 【详解】解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线， ∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8； 故选：B ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．4．D解析：D 【分析】先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，从而可得120EBD DCF ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得BAD E CDF ∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE CD =，从而可得BED 周长为BE BD DE BC AD ++=+，最后根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】ABC 是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 120EBD DCF ∴∠=∠=︒， DF AD =， CAD F ∴∠=∠，又6060BAD CAD BAC CDF F ACB ∠+∠=∠=︒⎧⎨∠+∠=∠=︒⎩， BAD CDF ∴∠=∠， DE AD =， BAD E ∴∠=∠， E CDF ∴∠=∠，在BDE 和CFD △中，EBD DCF E CDF DE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CFD AAS ∴≅，BE CD ∴=，则BED 周长为BE BD DE CD BD AD BC AD ++=++=+，在点D 从B 运动到C 的过程中，BC 长不变，AD 长先变小后变大，其中当点D 运动到BC 的中点位置时，AD 最小，∴在点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．5．B解析：B 【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案． 【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°， 当∠B 是顶角时，则∠A 是底角， ∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角， ∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°． 观察各选项可知∠B 不可能是60°． 故选B ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．6．C解析：C 【分析】根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°． 【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ， ∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠CEF ， ∴∠AEF ＝∠AFE ， ∴AE ＝AF ，故①正确， 在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AFAB AG=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确， ∵CE ＝AE ，AE ＝AF ， ∴CE ＝AF ，故③正确； ∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴∠AEF 不一定为60°，故④错误； 故选C ． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．A解析：A【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．【详解】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A ．【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．8．C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．9．C解析：C【分析】根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．【详解】∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称∴2a =，3b =-∴()()20182018231a b +=-=【点睛】,x y关于本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标的变化规律，点()x轴对称的点的坐标为()，，熟记规律即可得到正确答案．-x y10．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=2，a3=4a1=22，a4=8a1=32，a5=16a1=42，，以此类推：a2019=22018．故选：B．此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16…进而发现规律是解题关键．11．D解析：D【分析】由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．【详解】解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．【详解】在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，∴AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，故选：C ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二、填空题13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．14．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EAAF ＝FC 根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线∴EB ＝EA ∵FG 是AC 边的垂直平分线∴AF ＝FC ∴△AEF 的周长解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA 、AF ＝FC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EB ＝EA ，∵FG 是AC 边的垂直平分线，∴AF ＝FC ，∴△AEF 的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可解析：5【分析】连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．【详解】解：连接CE ，∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，即∠BAD ＝∠EAC ，在△BAD 与△EAC 中，AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△EAC （SAS ），∴BD ＝EC ；∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．16．72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB＝BP1时②当AB＝AP3时③当AB＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt△ABC中∠C＝9解析：72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB＝BP1时，②当AB＝AP3时，③当AB＝AP2时，④当AP4＝BP4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝36°，当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝12∠BAC＝12×36°＝18°，当AB＝AP4时，∠ABP4＝∠AP4B＝12×（180°−36°）＝72°，当AP2＝BP2时，∠BAP2＝∠ABP2，∴∠AP2B＝180°−36°×2＝108°，∴∠APB的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．17．9【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．解得x＝4，y＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．18．8【分析】连接AD由题意易得AD⊥BC则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD若使△BDM的周长为最小值则需满足BM+MD为最小值根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值故问题可解【详解】解解析：8【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD，若使△BDM的周长为最小值，则需满足BM+MD为最小值，根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值，故问题可解．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8cm．故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．19．【分析】连接BP过点E作EF⊥BC根据可得PQ+PR=EF结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP过点E作EF⊥BC∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF∴PQ解析：2【分析】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，根据BCE BPE BPC S S S =+，BE BC =，可得PQ+PR=EF ，结合等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．【详解】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，∵BE BC =，∴BCE BPE BPC SS S =+ =12BC×PQ+12BE×PR =12BC×(PQ+PR) =12BC×EF ， ∴PQ+PR=EF ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∴EFB △是等腰直角三角形，且BE=BC=2， ∴222，∴PQ PR +2，2 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键．20．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时当点D 在线段CM 的延长线上时分别画出图形利用全 解析：30 90︒ 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM平分ACB∠，∠ACB=30，∴∠ACM=12故答案为：30；∠，（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB∴CM⊥AB，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①当点D在线段CM上时，当△BDM≌△BEF时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM≌△EBF时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D在线段CM的延长线上时，当△BDM≌△BEF时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM≌△EBF时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴CF==故答案为： 2或6或23．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）△BMN 是等边三角形，见解析；（2）当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．【分析】（1）先由等边三角形的性质解得，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN ，再根据等边三角形的判定解题即可；（2）若△MBN 是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据直角三角形含30°角的性质列方程解题即可．【详解】解：（1）△BMN 是等边三角形当t=2时，AM =4，BN=8，∵△ABC 是等边三角形且边长是12∴BM=12-4=8，∠B=60°∴BM=BN∴△BMN 是等边三角形；（2）△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30°∴12BN BM = ∴12(122)2t t =-∴t=2②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30°∴12BM BN =∴112222t t -=⨯ ∴t=4 综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、几何动点与一元一次方程等知识，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．（1）DE=5；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质可得∠ABD=∠EDB ，从而可得DE= BE=5；（2）根据等边对等角得出∠A=∠ADE ，根据平行线的性质可得∠C=∠ADE ，从而可得∠A=∠C ，根据等角对等边可证得结论．【详解】解：（1）∵BD 是ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵DE//BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠ABD=∠EDB ，∴BE=DE ，∵BE=5,∴DE=5；（2）∵AE=BE ，BE=DE ，∴AE=DE ，∴∠A=∠ADE ，∵DE//BC ，∴∠C=∠ADE ，∴∠A=∠C ，∴AB=BC ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质．解决此题的关键是借助等腰三角形的性质和判定完成边相等与角相等之间的互相转化．23．（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝【分析】（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．【详解】解：（1）证明：如图1，∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．∴∠FBA=∠FCE ．∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC ．∵AB=AC ，∴△FAB ≌△DAC ．∴FA=DA ．∴AB=AD+BD=FA+BD ．（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°∴∠FBA=∠FCE ，∵∠FAB=180°-∠DAC=90°∴∠FAB=∠DAC在△FAB 和△DAC 中，FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴FA=DA ，∴AF=AD=BD+AB ．如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，∵∠AFB=∠EFC ，∴∠FBA=∠FCE ，在△FAB 和△DAC 中，90FAB DAC AB ACFBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），∴AF=AD ，∴BD=AB+AD=AB+AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 24．（1）见解析；（2）不变，理由见解析．【分析】（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF∵∠DEF=60°，∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°∵∠C=60°∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°∴∠DEA EFC =∠在△ADE 和△CEF 中，A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CEF ≌；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a∵22BD AE x ==∴2AD EH a x ==-∵△ABC 是等边三角形∴∠60A =︒∴∠120ADE DEA +∠=︒∵△DEF 是等边三角形∴∠60,DEF DE EF =︒=∴∠120AED FEC +∠=︒∴∠ADE FEC =∠∴△()ADE HEF SAS ≅∆∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==∴FH CH =∴∠FCH HFC =∠∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒∴260FCH ∠=︒∴∠30FCH =︒即∠30ECF =︒【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．25．（1）补图见解析；（2）①90EDG α∠=︒-；②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据题意画出图形解答即可；(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．【详解】解：（1）补全图形，如图所示，（2）①∵ADF α∠=，∴180BDF α∠=︒-，由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，∵DF DE ⊥，∴90EDF ∠=︒，∴1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，如图,连接,GF GE ，由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，∵D 是AB 的中点，∴AD BD =，∵GD BD =，∴AD GD =，∵90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，∴GDE ADE ≌，∴,EGD EAD AE GE ∠=∠=，∵90EAD B ∠=︒+∠，∴90EGD B ∠=︒+∠，∴9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒， ∴以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，∴以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．26．（1）3，−3，1，−1，4，1；（2）见详解；（3）5【分析】（1）由关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得到答案；（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（3）利用割补法求解可得．【详解】（1）∵点A（3，3），B（1，1），C（4，−1）．∴点A关于x轴的对称点A1（3，−3），B关于x轴的对称点B1（1，−1），C关于x轴的对称点C1（4，1），故答案为：3，−3，1，−1，4，1；（2）如图所示，即为所求；（3）△ABC的面积为：3×4−12×2×2−12×2×3−12×1×4＝5．【点睛】本题主要考查作图−轴对称变换和点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积．。
苏州吴江存志外国语学校数学轴对称解答题易错题(Word版 含答案)
苏州吴江存志外国语学校数学轴对称解答题易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∵BD是△ABC的一条特异线，∴△ABD与△BCD为等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EAC为等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；当CD为特异线时，不符合题意；综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x2，可得2x＝180?-x2，解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）如图4所示：①当AD ＝AE 时，∵2x +x ＝30°+30°，∴x ＝20°；②当AD ＝DE 时，∵30°+30°+2x +x ＝180°，∴x ＝40°；综上所述，∠C 为20°或40°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．已知：等边ABC ∆中．（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN BN的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32． 【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形，点M 是BC 的中点∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=︒∴30BAM ∠=︒，90AMB ∠=︒∵60AMN ∠=︒∴90AMN BAM ∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM ∠=︒∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠∴在Rt BNM ∆中，2BM BN =在Rt ABM ∆中，2AB BM =∴24AB AN BN BM BN =+==∴3AN BN =即3AN BN=． （2）如下图：过点M 作ME ∥BC 交AC 于E∴∠CME=∠MCB ，∠AEM=∠ACB∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB ∠=∠=︒，120MBN =︒∠∴120CEM MBN ∠==︒∠，60AEM A ∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB，MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=（3）如下图：过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=，180120EMP AMP=︒-=︒∠∠，180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形，120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS∆∆≌∴ME FC=∴13 22BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=∴3322BCBF BEBC BC-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）32.【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴AB ＝2OA ＝6，∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°，∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°，∴DB ＝DC ，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ），∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ），∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，∴∠ABC ＝∠DBQ ，在△CBA 和△QBD 中，BA BD ABC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA ≌△QBD （SAS ），∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD ＝2DO ＝6， ∵PD ＝23DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，∴点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．由（2）得，△AEP ≌△ADB ，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝12OF ＝32则OP 的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n ，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n . ∴∠AEC=90°+12n ︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2xx-=-，∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.8．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t ＝127； ③当M 、N 都在BC 上，∠ANM ＝90°时，如图CN ＝3t ﹣24＝6解得t ＝10；④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图此时2t ＝12+6解得t ＝9；综上所述，点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.9．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.（1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC中，∠A=100°，∴∠A为顶角，∠B为底角，∴∠B=1801002-=40°；变式2: ∵等腰三角形ABC中，∠A= 45°，∴当AB=BC 时，∠B =90°，当AB=AC 时，∠B =67.5°，当BC=AC时∠B =45°；（2）等腰三角形ABC中，设A x∠=，当90°≤x＜180°，∠A为顶角，此时，B只有一个度数，当x=60°时，三角形ABC是等边三角形，此时，B只有一个度数，综上所述：90°≤x＜180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.10．（阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系.解题思路：延长DC到点E，使CE＝B D．连接AE，根据∠BAC＋∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE,易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是___________（拓展延伸）（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝A C．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由;（知识应用）（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ的长为________cm.【答案】（1）DA DB DC =+；（2）2DA DB DC =+，理由见详解；（3）72762+. 【解析】【分析】（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=，结合120BDC ︒∠=知180ABD ACD ︒∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论； （2） 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.【详解】解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，ABC 是等边三角形,60AB AC BAC ︒∴=∠=120BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠60BAC ︒∠=60BAD DAC ︒∴∠+∠=60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠=ADE ∴是等边三角形DA DE DC CE DC DB ∴==+=+（2）2DA DB DC =+延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，90BAC ︒∠=，90BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠,AB AC CE BD ==()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠90DAE BAC ︒∴∠=∠=222DA AE DE ∴+=222()DA DB DC ∴=+ 2DA DB DC ∴=+（3）连接PQ ，14,30MN QMN ︒=∠=172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-==由（22PQ QN QM =+737276222PQ ∴=== 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.。
苏州苏州国际外语学校八年级数学上册第十三章《轴对称》基础卷(答案解析)
一、选择题1．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm B解析：B【分析】 过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．【详解】解：过P 作PC ⊥MN ，∵PM=PN ，∴C 为MN 中点，即MC=NC=12MN=1， 在Rt △OPC 中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC= 12OP=4， 则OM=OC-MC=4-1=3cm ，故选：B ．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．2．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- D 解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+32132⨯=+，横坐标为2 ∴C(2，13+)由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，31--)，即(1，13--)，第2次变换后点C 的坐标变为(2-2，31+)，即(0，13+)第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，31--)，即(-1，13--)第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，31--)(n 为奇数)或(2-n ，13+)(n 为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，13--)， 故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．3．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.5C解析：C【分析】 延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD ，∴∠EBC=∠BEC ，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE ，∵BE ⊥CD ，∴2BD=BE ，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．4．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S ．A．1 B．2 C．3 D．4D解析：D【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；∵∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝12AD，∴BC＝CD+BD＝12AD+AD＝32AD，S△DAC＝12AC•CD＝14AC•AD．∴S△ABC＝12AC•BC＝12AC•32AD＝34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC＝14AC•AD：34AC•AD＝1：3，∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．5．如图，ABC中，AC AD BD==，80CAD︒∠=，则B等于（）A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒A 解析：A【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD1252ADC==∠︒．【详解】∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∵80CAD︒∠=，∴∠ADC=∠C=50︒，∵AD=AB，∴∠B=∠BAD1252ADC==∠︒，故选：A．【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．C解析：C【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝12BF；④AE＝BG．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④C解析：C【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．又由（2），知BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF；故③正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故④错误．∴正确的选项有①②③；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．8．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A．125B．95C．85D．75A解析：A【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝225AB AC+=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．9．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（）A．6 B．3 C．12 D．4．5C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．10．已知等边△ABC的边长为6，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4D解析：D【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF、CF、CD、AE、AD，然后根据AD+BD=AB列方程即可求出x的值．【详解】解：如图，设BD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB ，∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，∴BF=2x ，∴CF=6-2x ，∴CE=2CF=12-4x ，∴AE=6-CE=4x-6，∴AD=2AE=8x-12，∵AD+BD=AB ，∴8x-12+x=6，∴x=2，∴AD=8x-12=16-12=4．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题11．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．12．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP ＝∠CBP 根据线段的垂直平分线性质得出BP ＝CP 根据等腰三角形的性质得到∠CBP ＝∠BCP 根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°解方解析：32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP ＝∠CBP ，根据线段的垂直平分线性质得出BP ＝CP ，根据等腰三角形的性质得到∠CBP ＝∠BCP ，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP +24°+60°＝180°，解方程得到答案．【详解】解：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠CBP ，∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，∴BP ＝CP ，∴∠CBP ＝∠BCP ，∴∠ABP ＝∠CBP ＝∠BCP ，∵∠A +∠ACB +∠ABC ＝180°，∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，∴3∠ABP +24°+60°＝180°，解得：∠ABP ＝32°，故答案为：32．【点睛】本题考查角平分线的定义和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和垂直平分线的性质．13．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA ，则2021a =____．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2即：a1=1a2=2a3解析：20202【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2，即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，，进而得出答案．【详解】∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2=2，A 3B 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，， 以此类推：a n =2n-1．∴2021a =20202，故答案是：20202．．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．14．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征解析：都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB=OB，∠A=60°，则点A到y轴的距离为______．1【分析】过A作AC⊥OB首先证明△AOB是等边三角形再求出OC的长即可【详解】解过A作AC⊥OB于点C∵AB=OB∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB是等边三角形∵点B的坐标为（20）∴OB=解析：1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB ∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】 此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键． 16．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm 为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时解析：10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当5cm 为底时，其它两边都为10cm ，5cm 、10cm 、10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时，其它两边为5cm 和10cm ，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是5cm 、10cm 、10cm ，所以第三边是10cm ．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 17．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ， ∴912x x -=，即：x=6， ∴AD =6．故答案是：6【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.【分析】如图，延长BE ，交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】解：如图，延长BE ，交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==，1 4.2BE BG ∴== 故答案为：4.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE 的度数是______．10°【分析】设∠B ＝∠C ＝x ∠CDE ＝y 分别表示出∠DAE 构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B ＝∠C ＝x ∠EDC ＝y ∵AD ＝AE ∴∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ∵∠DAE ＝180°−2（x ＋y ）＝解析：10°【分析】设∠B ＝∠C ＝x ，∠CDE ＝y ，分别表示出∠DAE ，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B ＝∠C ＝x ，∠EDC ＝y ，∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ，∵∠DAE ＝180 °−2（x ＋y ）＝180 °−20 °−2x ，∴2y ＝20 °，∴y ＝10 °，∴∠CDE ＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．20．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．120°【分析】设∠ABC=根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论【详解】设∠ABC=∴∵∴∴∴∴∴∴故答案为：120°【点睛】本题考查了三角形内角和定理等腰三角形的性质等知识解题的 解析：120°【分析】设∠ABC=x ，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】设∠ABC=x ，∴180A C x ∠+∠=︒-．∵AFE AEF ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，∴2180A AFE ∠+∠=︒，2180C CFD ∠+∠=︒，∴()()22360A C AFE CFD ∠+∠+∠+∠=︒，∴22180AFE CFD x ∠+∠=︒+， ∴1902AFE CFD x ∠+∠=︒+， ∴118090302EFD x ⎛⎫∠=︒-︒+=︒ ⎪⎝⎭， ∴120x =︒，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题21．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中∵BF CE AB CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），∴∠AFB ＝∠DEC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．22．如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，连接BD 并延长，交AC 于点F ，连接CD 并延长，交AB 于点G ，连接CE ．（1）求证：ABD ACE △≌△；（2）若ADG CED ∠=∠，求证：AG CF =．解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据等边三角形的性质得,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠，CAD ∠为公共角得出BAD CAE ∠=∠，根据SAS 可证全等.（2）根据全等三角形的性质,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠联立题目条件ADG CED ∠=∠可得60BDG AED ==∠∠，根据三角形外角的性质得到AGD BFC ∠=∠证明()AGC BFC AAS ≅，即可证AG CF =.【详解】（1）∵ABC 和ADE 均为等边三角形，∴,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠， ∵CAD ∠为公共角，∴BAD CAE ∠=∠∴()ABD ACE SAS ≅△△（2）∵ABD ACE ≅,∴,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠ ∵ADG CED ∠=∠，∴60BDG AED ==∠∠，∴GBD GDB GBD BAF +=+∠∠∠∠，即AGD BFC ∠=∠，在AGC 与BFC △中AGD BFC GAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AGC BFC AAS ≅∴AG CF =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点；解题的关键是熟练掌握以上知识点.23．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．解析：15°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，∴60ACB ∠=︒，BD CD =，∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上∴BE CE =．∵45EBC ∠=︒，∴45ECB EBC ∠=∠=︒，∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．24．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．解析：（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析 【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD 是等三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =， 60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF ∠=∠．在BDE 和ADF 中，60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠，(ASA)BDE ADF ∴△≌△，BE AF ∴=，AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．25．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若10AC =，求四边形ABCD 的面积；（3）求FAE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）50；（3）135°【分析】（1）由题意先求出∠BAC=∠EAD ，然后根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ；（2）根据题意即可推出四边形ABCD 的面积=△ACE 的面积，进而分析计算即可得出答案；（3）根据题意可推出∠CAF=45°，再根据∠EAF ＝∠FAC ＋∠CAE 即可求出∠FAE 的度数．【详解】（1）证明：90BAD CAE ∠=∠=︒，90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABC ADE ∴△≌△．解:（2）ABC ADE △≌△，ABC ADE S S ∴=△△，ABC ACD ADE ACD ACE ABCD S SS S S S ∴=+=+=四边形，10AC =， 1010250ACE ABCD S S ∴==⨯÷=四边形．（3）90CAE ∠=︒，AC AE =，45E ∴∠=︒，BAC DAE △≌△，45BCA E ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，45CAF ∴∠=︒，4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．26．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，0）．（1）点C 关于x 对称的点的坐标（ ， ）；（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A′B′C′；（3）△ABC 的面积为 ．解析：（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据轴对称的性质解答；（2）根据轴对称的性质作图；（3）利用割补法求解．【详解】（1）根据坐标系知点C 坐标为（-2,5），∴点C 关于x 对称的点的坐标（-2，-5），故答案为：-2，-5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）1117537225510222ABC S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为：10．【点睛】 此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．解析：（1）作图见解析；（2）（4，4）【分析】（1）作AB 的垂轴平分线和∠xOy 的角平分线，它们的交点即为P 点；（2）由于点P 在AB 的垂轴平分线上，则P 点的纵坐标为4，再利用点P 在第一象限的角平分线上，则点P 的横纵坐标相同，从而得到P 点坐标．【详解】（1）如图，点P 为所作；（2）P 点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．28．在如图所示的平面直角坐标系中，完成下列任务．（1）描出点(1,1)A ，(3,1)B ，(3,2)C -，(1,2)D -，并依次连接A ，B ，C ，D ； （2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的四边形1111D C B A ，并写出顶点1A ，1C 的坐标． 解析：（1）见解析；（2）见解析，1(1,1)A -，1(3,2)C --【分析】（1）直接利用已知点坐标在坐标系中描出各点得出答案；（2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的对称点，顺次连接对称点即可得到四边形1111D C B A ，再写出顶点1A ，1C 的坐标即可．【详解】解：（1）四边形ABCD 即为所求作的图形．（2）四边形1111D C B A 即为所求作的图形．此时1(1,1)A -，1(3,2)C --【点睛】本题考查了作图中的轴对称变换，熟练掌握对称的作图方法是解题的关键．。
苏州苏州国际外语学校初中数学九年级下期中基础卷(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11131]若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）都在反比例函数1y x =-的图象上，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 1＜y 3＜y 2 D ．y 3＜y 1＜y 22．(0分)[ID ：11130]如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ） A ． B ． C ． D ．3．(0分)[ID ：11126]已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2x 的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是( )A ．x ＞2B ．－1＜x ＜0C ．x ＞2，－1＜x ＜0D ．x ＜2，x ＞04．(0分)[ID ：11121]如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ）A ．√33 B ．12 C ．√22 D ．√325．(0分)[ID ：11110]如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.56．(0分)[ID ：11103]如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x=-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A．4B．3C．2D．17．(0分)[ID：11101]下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似8．(0分)[ID：11094]如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③AE DEAB BC=，④AD AEAC AB=，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤9．(0分)[ID：11064]如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．12a-B．1(1)2a-+C．1(1)2a--D．1(3)2a-+10．(0分)[ID：11061]如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A15B．5C．15D．811．(0分)[ID：11054]如图,在平行四边形ABCD中，点E在边CD上, AC与BE相交于点F,且DE:CE =1:2,则△CEF 与△ABF 的周长之比为（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．4 : 912．(0分)[ID ：11043]如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影子长DE ＝1.8m ，窗户下沿到地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ ）A ．1.5mB ．1.6mC ．1.86mD ．2.16m13．(0分)[ID ：11041]在平面直角坐标系中，点E （﹣4，2），点F （﹣1，﹣1），以点O 为位似中心，按比例1：2把△EFO 缩小，则点E 的对应点E 的坐标为（ ） A ．（2，﹣1）或（﹣2，1）B ．（8，﹣4）或（﹣8，4）C ．（2，﹣1） D ．（8，﹣4） 14．(0分)[ID ：11033]给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y=3x ；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ）A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③ 15．(0分)[ID ：11059]如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为A ．423B ．22C ．823D ．32二、填空题16．(0分)[ID ：11232]如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.17．(0分)[ID ：11186]如图，CAB BCD ∠=∠，2AD =，4BD =，则BC =______.18．(0分)[ID ：11172]如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为________．19．(0分)[ID ：11170]利用标杆CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E ．若标杆CD 的高为1.5米，测得DE ＝2米，BD ＝16米，则建筑物的高AB 为_____米．20．(0分)[ID ：11137]已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝____.21．(0分)[ID ：11136]如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形，则∠1+∠2= ．22．(0分)[ID ：11223]如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面23米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．23．(0分)[ID ：11192]如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2EC BE =，联结AE 交BD 于点F ，若BFE ∆的面积为2，则AFD ∆的面积为______.24．(0分)[ID ：11180]若函数y ＝(k －2)2k5x -是反比例函数，则k ＝______. 25．(0分)[ID ：11208]已知线段AB 的长为10米，P 是AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则AP 的长_____米．（精确到0.01米） 三、解答题26．(0分)[ID ：11323]等腰Rt PAB 中，90PAB ∠=，点C 是AB 上一点(与A B 、不重合)，连接PC ,将线段PC 绕点C 顺时针旋转90，得到线段DC .连接, PD BD . 探究PBD ∠的度数，以及线段AB 与BD BC 、的数量关系.(1)尝试探究:如图(1)PBD ∠= ；AB BC AC =+= ；(2)类比探索:如图(2)，点C 在直线AB 上，且在点B 右侧，还能得出与(1)中同样的结论么?请写出你得到的结论并证明:27．(0分)[ID ：11305]如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53︒的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得6BE =米，塔高9DE =米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到0.1，参考数据：sin530.7986︒≈，cos530.6018︒≈，tan53 1.3270︒≈）．28．(0分)[ID ：11284]如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4m ．如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度．29．(0分)[ID：11271]如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．∽．（1）证明：ACD ABE（2）若将D，E连接起来，则AED与ABC能相似吗？说说你的理由．30．(0分)[ID：11239]如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．B5．B6．D7．B8．A9．D10．C11．C12．A13．A14．B15．C二、填空题16．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为17．【解析】【分析】角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD再根据相似三角形的性质可解【详解】解：∵∠B=∠B∠CAB=∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD=AB：BC∴BC：BD=（AD18．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=419．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题20．【解析】∵AB∥CD解得AO=4故答案是：4【点睛】运用了平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题的关键21．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG的长度（用a表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF∽△GCA问题即可解决【详解】设正方形的边长为a则AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF∴△ACF∽△22．【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分再加起来即可先在直角三角形ABC中用正切和正弦分别求出BC和AC（即梯子的长度）然后再在直角三角形DCE中用∠DCE的余弦求出DC然后把BC和DC加23．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE再由平行四边形得到AD∥BC判定△ADF∽△EBF再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD24．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k的值即可【详解】解：若函数y＝(k－2)是反比例函数则解得k＝﹣2故答案为﹣225．18【解析】【分析】根据黄金分割定义：列方程即可求解【详解】解：设AP为x米根据题意得整理得x2+10x﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈618x2＝﹣5﹣5（不符合题意舍去）经检验x＝5﹣5是原方程的三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=﹣1x中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．C解析：C【解析】【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【详解】正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故A不符合题意;锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似图形判定，解决本题的关键是要注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．3．C解析：C【解析】【分析】因为一次函数和反比例函数交于A、B两点，可知x-1=2x，解得x=-1或x=2，进而可得A、B两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y1>y2．【详解】解方程x−1=2x，得x =−1或x =2，那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)，如右图，当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题4．B解析：B【解析】【分析】根据作图可以证明△AOB 是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．【详解】连接AB ，由图可知：OA=0B ，AO=AB∴OA=AB=OB ，即三角形OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos ∠AOB=cos60°=12． 故选B ．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC 是等边三角形是解题的关键．5．B解析：B【解析】【分析】由直线a ∥b ∥c ，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BD CE DF =，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF 的长，则可求得答案．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF=， ∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF=， 解得：DF=92， ∴937.52BF BD DF =+=+=． 故选B ．考点：平行线分线段成比例．6．D解析：D【解析】 因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 7．B解析：B【解析】【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．8．A解析：A【解析】①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB ∽，成立．②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB ∽，成立．③AE DE AB BC =，但AED 比一定与B 相等，故ADE 与ACD 不一定相似． ④AD AE AC AB=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB ∽，成立．⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC=无法确定出ADE ， 故不能证明：ADE 与ABC 相似．故答案为A ．点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.9．D解析：D【解析】【分析】设点B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、B′C 的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的长度为﹣1﹣x ，B′、C 间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△A′B′C ，∴2（﹣1﹣x ）＝a+1，解得x ＝﹣12（a+3）， 故选：D ．【点睛】 本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】作OH ⊥CD 于H ，连结OC ，如图，根据垂径定理由OH ⊥CD 得到HC=HD ，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA －AP=2，接着在Rt △OPH 中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt △OHC 中利用勾股定理计算出作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22=15OC OH∴15故选C．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键11．C解析：C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD=AB．∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=1：2，∴EC：DC=CE：AB=2：3，∴C△CEF：C△ABF=2：3．故选C．12．A【解析】∵BE∥AD，∴△BCE∽△ACD，∴CB CEAC CD=，即CB CEAB BC DE EC=++，∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2∴1 1.21 1.8 1.2 AB=++∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故选A．13．A解析：A【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．14．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．15．C解析：C【分析】由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得，在Rt △ABD 中，由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒=3，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可【详解】∵AD ⊥BC ，∴△ADC 是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC ，∵AC=8，∴，在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=tan 60AD ︒， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，∴，∴AE=AD-DE=33=， 故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.二、填空题16．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为解析：【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．【详解】解：∵坡度为1：2=6米，∴株距：坡面距离=2∴坡面距离=株距×2=【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．17．【解析】【分析】角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD再根据相似三角形的性质可解【详解】解：∵∠B=∠B∠CAB=∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD=AB：BC∴BC：BD=（AD解析：【解析】【分析】角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质可解．【详解】解：∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，∴△ABC∽△CBD，∴BC：BD=AB：BC，∴BC：BD=（AD+BD）：BC，即BC：4=（2+4）：BC，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.18．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=4解析：【解析】已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CDBC AC=，即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得.19．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题解析：5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴△EBA ∽△ECD ， ∴CD ED AB EB =，即1.52216AB =+， ∴AB ＝13.5（米）．故答案为：13.5【点睛】 此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.20．【解析】∵AB ∥CD 解得AO=4故答案是：4【点睛】运用了平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题的关键解析：【解析】∵AB ∥CD ，223103AO BO AO OD OC AO ∴===-，即， 解得，AO=4，故答案是：4．【点睛】运用了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 21．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG 的长度（用a 表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF∽△GCA 问题即可解决【详解】设正方形的边长为a 则AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF∴△ACF∽△解析：45°．【解析】【分析】首先求出线段AC 、AF 、AG 的长度（用a 表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF ∽△GCA ，问题即可解决．【详解】设正方形的边长为a ，则=，∵ACCF a ==CG AC == ∴AC CG CF AC=， ∵∠ACF=∠ACF ，∴△ACF ∽△GCA ，∴∠1=∠CAF ，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．点睛：该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．22．【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分再加起来即可先在直角三角形ABC中用正切和正弦分别求出BC和AC（即梯子的长度）然后再在直角三角形DCE中用∠DCE的余弦求出DC然后把BC和DC加解析：222【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC中，用正切和正弦，分别求出BC和AC（即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE中，用∠DCE 的余弦求出DC，然后把BC和DC加起来即为巷子的宽度．【详解】解：如图所示：3米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE.则在直角三角形ABC中,ABBC＝tan∠ACB＝tan60°3AB AC ＝sin∠ACB＝sin60°3∴BC3233＝2，AC32332＝4，∴直角三角形DCE中，CE=AC=4，∴CDCE＝cos45°＝22，∴CD＝CE×22＝4×22＝2，∴BD＝2,故答案为：【点睛】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．23．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE 再由平行四边形得到AD∥BC 判定△ADF∽△EBF 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD解析：18【解析】【分析】根据2EC BE =求得BC=3BE,再由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果.【详解】∵2EC BE =,∴BC=3BE,∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC,AD=BC,∴△ADF ∽△EBF,∴AD=3BE,∴AFD ∆的面积=9S △EBF =18，【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF 是解题的关键，再求得对应边的关系AD=3BE,即可求得AFD ∆的面积.24．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k 的值即可【详解】解：若函数y ＝(k －2)是反比例函数则解得k ＝﹣2故答案为﹣2解析：-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩，解出k 的值即可． 【详解】解：若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，则2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩ 解得k ＝﹣2，故答案为﹣2．25．18【解析】【分析】根据黄金分割定义：列方程即可求解【详解】解：设AP 为x 米根据题意得整理得x2+10x ﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈618x2＝﹣5﹣5（不符合题意舍去）经检验x ＝5﹣5是原方程的解析：18【解析】【分析】 根据黄金分割定义：AP BP AB AP=列方程即可求解． 【详解】解：设AP 为x 米，根据题意，得 x 1010x x-= 整理，得x 2+10x ﹣100＝0解得x 1＝﹣5≈6.18，x 2＝﹣5（不符合题意，舍去）经检验x ＝5是原方程的根，∴AP 的长为6.18米．故答案为6.18．【点睛】本题考查了黄金分割的概念,熟练掌握黄金比是解答本题的关键.三、解答题26．（1）90，2BC BD +；（2）结论：90PBD ∠=︒， 2AB BD BC =-，理由详见解析【解析】【分析】（1）由题意得：△PCD 为等腰直角三角形，且∠PCD=90°则∠CPD=45°=∠APB ，证明△PAC ∽△PBD ，得出∠PBD=∠PAC=90°，2AC BD =，因此2AC BD =，即可得出结论；（2）由题意得：△PCD 为等腰直角三角形，且∠PCD=90°则∠CPD=45°=∠APB ，证明△PAC ∽△PBD ，得出∠PBD=∠PAC=90°，2AC BD =，因此2AC BD =，即可得出结论.【详解】 解：（1）PCD 为等腰直角三角形，且90PCD ∠=︒，45CPD APB ∴∠=︒=∠，CPD BPC APB BPC ∴∠+∠=∠+∠，即BPD APC ∠=∠，又12PA PB =，~PAC PBD ∴∆∆2=，AC BD ∴=，∴2AC BD =，∴2AB BC AC BC BD =+=+，故答案为90，2BC BD +，（2）结论：90PBD ∠=︒； 2AB BD BC =-；理由如下： PCD 为等腰直角三角形，且90PCD ∠=︒，45CPD APB ∴∠=︒=∠，CPD BPC APB BPC ∴∠+∠=∠+∠，即BPD APC ∠=∠， 又12PA PC PB PD==，PAC PBD ∴∽2=，90PBD PAC ∴∠=∠=︒，AC BD =，AC BD ∴=，2AB AC BC BD BC ∴=-=-. 【点睛】 本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．27．9.6米．【解析】试题分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB 和AC 的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB 和AC 的长度，即可得到结论．试题解析：解：∵AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =90°，AB ∥DE ，∴△F AB ∽△FDE ，∴AB FB DE FE = ，∵FB =4米，BE =6米，DE =9米，∴4946AB =+，得AB =3.6米，∵∠ABC =90°，∠BAC =53°，cos ∠BAC =AB AC ，∴AC =cos AB BAC ∠ =3.60.6=6米，∴AB +AC =3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．28．路灯杆AB 的高度是6m ．【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD ∥EF ∥AB ，∴可以得到△CDF ∽△ABF ，△ABG ∽△EFG ，∴,CD DF FE FG AB BF AB BG==， 又∵CD ＝EF ， ∴DF FG BF BG=， ∵DF ＝3m ，FG ＝4m ，BF ＝BD +DF ＝BD +3，BG ＝BD +DF +FG ＝BD +7，∴3437DB BD =++， ∴BD ＝9，BF ＝9+3＝12， ∴1.5312AB =， 解得AB ＝6． 答：路灯杆AB 的高度是6m ．【点睛】考查了相似三角形的应用和中心投影．只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．29．（1）见解析；（2）能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【详解】()1证明：ACD ABE ∽．证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴90ADC AEB ∠=∠=．∵A A ∠=∠，∴ACD ABE ∽．()2若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．∵ACD ABE ∽，∴::AD AE AC AB =．∴AD:AC=AE:AB∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽．【点睛】 考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.30．证明见解析.【解析】【分析】由∠BAE=∠CAD 知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC ，即∠BAC=∠EAD ，再根据线段的长得出65AB AC AE AD ==，据此即可得证． 【详解】 ∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE+∠EAC ＝∠CAD+∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD ，∵AB ＝18，AC ＝48，AE ＝15，AD ＝40， ∴65AB AC AE AD ==， ∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．。
苏州工业园区外国语学校八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习题(答案解析)
一、选择题1．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．82．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）A ．13B ．32C ．40D ．20 3．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③ 4．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°或20° 5．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）A ．20192B ．20202C ．20212D ．202226．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大 7．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ） A ．(3，－2) B ．(－3，－2) C ．(－3，2) D ．(－2，3) 9．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（ ）A ．1:2B ．2:3C ．3D ．1:310．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．45︒D ．30︒11．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．2202012．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．914．以下说法正确的是（ ）A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 15．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或80°D ．50°或80°二、填空题16．如图，∠C=90°，CB=CO ，且点B 坐标为（-2，0），则点C 坐标为_________．17．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．18．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．19．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．20．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，O 是网格线交点，那么AOB ∠___________COD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．22．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO ＝PD ，那么AP 的长是________．23．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．24．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．25．已知等边三角形ABC ．如图，（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；（3）分别以点A ，C 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；（6）连接OA ，OB ，OC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．26．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________．三、解答题27．如图，△ABC 是边长为12cm 的等边三角形，动点M 、N 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．（1）若点M 的运动速度是2cm/s ，点N 的运动速度是4cm/s ，当N 到达点C 时，M 、N 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当t=2时，判断△BMN 的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是2cm/s ，当点M 到达点B 时，M 、N 两点停止运动，设点M 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△MBN 是直角三角形？28．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．29．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．30．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．。
苏州苏州国际外语学校八年级数学上册第十三章《轴对称》基础卷(答案解析)
一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③ 2．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ）A ．8B ．8或10C ．12D ．103．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．104．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（ ）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒ 6．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．2021- 7．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 10．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法比较1S 、2S 的大小关系 11．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 12．如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ，那么它的周长（ ） A ．8cm B ．20cm C ．16cm 或20cm D ．16cm 13．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 14．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（ ）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒15．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（ ）A ．125B ．95C ．85D ．75二、填空题16．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．17．如图，等腰ABC 的周长为36，底边上的高12AD =，则ABD △的周长为________．18．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．19．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．20．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．21．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．22．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，O 是网格线交点，那么AOB ∠___________COD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．23．如图，已知点D 、点E 分别是边长为2a 的等边三角形ABC 的边BC AB 、的中点，连接,AD 点F 为AD 上的一个动点，连接,EF BF 、若,AD b =则BEF 的周长的最小值是__________．24．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．25．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．26．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．三、解答题27．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上．（1）连接BE ，CE ，求证：BE CE =；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF AC ⊥，45BAC ∠=︒，原题设其他条件不变．求证：AB BF EF =+．28．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．29．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．30．在如图所示的平面直角坐标系中，完成下列任务．（1）描出点(1,1)A ，(3,1)B ，(3,2)C -，(1,2)D -，并依次连接A ，B ，C ，D ； （2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的四边形1111D C B A ，并写出顶点1A ，1C 的坐标．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
苏州苏州国际外语学校数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.2．如图，在等腰直角ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是ABC △ 内一点，连接 AD ，AE AD ⊥ 且 AE AD =，连接 BD 、CE 交于点 F .（1）如图 1，求BFC ∠的度数；（2）如图 2，连接ED 交 BC 于点 G ，连接 AG ，若 AG 平分BAD ∠，求证：2EAC EDF ∠=∠；（3）如图 3，在（2）的条件下，BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ，DH AM ⊥，连接 HN ，若ADN ∆的面积与DHN 的面积差为 6，6DF =，求四边形 AMFE 的面积.【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形.【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形.【详解】（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以CAE CGE ∠=∠，由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=， 在AB 上截取AK AD =，连接KG ，因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以45ABN α∠=︒-，因为2BAD α∠=，所以45ADN α∠=︒+，因为902DAN α∠=︒-，所以45AND ADN α∠=︒+=∠，所以AD AN =，因为AD AE =，所以AE AN =， 过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，因为45ACE ABD α∠=∠=︒-，2CAE α∠=，所以45AET ANR α∠=︒+=∠， 因为AE AN =，所以ANR AET ≌，所以AR AT =，所以FA 平分BFT ∠， 所以45AFN AFE ∠=∠=︒，因为45AMN ∠=︒，所以AFM AMF ∠=∠，所以AF AM =，所以FR MR =，因为DR RN =，所以DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ， 因为45AMN ∠=︒，90DHM ∠=︒，所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒，所以HP PM DP ==，设DP x =，所以2DM FN x ==，设DR y =，所以2DN y =，所以2MR x y =+，因为45MAR ∠=︒，所以2AR MR x y ==+，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，因为226DF x y =+=，所以3x y +=，所以2y =，1x =，因为AF AF =，ANF AEF ∠=∠，所以AEF ANF ≌，所以FN EF =，因为AR AT =，所以AEF ANF ADM S S S ∆∆∆==，因为142ADM S DM AR ∆=⋅⋅=， 所以20ADM ADN ANF AEF AMFE S S S S S ∆∆∆∆=+++=四边形.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.3．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．4．再读教材:宽与长的比是 5-1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（1）5；(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22+=22AC BC+=5．12故答案为5．（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD =5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1．∵BC =2，∴CD BC =512-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =215+=512-，∴矩形MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．长GH =5﹣1，宽HE =3﹣5．点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．5．已知如图1，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G .（1）求证：AE CG =.（2）如图2，直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，求证：BE CM =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ．【详解】（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ．又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°．又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．在△AEC 和△CGB 中，∵CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE =CG ；（2）∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，∴∠CMA =∠BEC ．在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAM （AAS ），∴BE =CM ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．6．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒． 【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =- 解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB ∠=∠，∵AB BC AC ==，∴ACB ∆是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACM ∆和ABN ∆中，∵AC AB C B AMC ANB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），∴CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形， ∴10CM y =-，302NB y =-，CM NB =，10302y y -=-解得：403y=，故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN∆，此时M、N运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.7．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M 、N 都在BC 上，∠ANM ＝90°时，如图CN ＝3t ﹣24＝6解得t ＝10；④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图此时2t ＝12+6解得t ＝9；综上所述，点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.8．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．【详解】（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．故答案为：25，115；（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．9．探究题：如图，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，且BC ＝5cm ，AB ＝1cm ，点P 是线段BC （不与点B 、C 重合）上的动点，过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连结AD ．（1）如图1，若BP ＝4cm ，则CD ＝ ；（2）如图2，若DP 平分∠ADC ，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC 是等腰三角形，则CD ＝ cm ．（请直接写出答案）【答案】（1）4cm ；（2）PB ＝PC ，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）根据AAS 定理证明△ABP ≌△PCD ，可得BP ＝CD ；（2）延长线段AP 、DC 交于点E ，分别证明△DPA ≌△DPE 、△APB ≌△EPC ，根据全等三角形的性质解答；（3）根据等腰直角三角形的性质计算．【详解】解：（1）∵BC ＝5cm ，BP ＝4cm ，∴PC ＝1cm ，∴AB ＝PC ，∵DP ⊥AP ，∴∠APD ＝90°，∴∠APB +∠CPD ＝90°，∵∠APB +∠CPD ＝90°，∠APB +∠BAP ＝90°，∴∠BAP ＝∠CPD ，在△ABP 和△PCD 中，B C BAP CPD AB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△PCD ，∴BP ＝CD ＝4cm ；（2）PB ＝PC ，理由：如图2，延长线段AP 、DC 交于点E ，∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP ＝∠EDP ．∵DP ⊥AP ，∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°，在△DPA 和△DPE 中，ADP EDP DP DPDPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ），∴PA ＝PE ．∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ，∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠．在△APB 和△EPC 中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△EPC （AAS ），∴PB ＝PC ；（3）∵△PDC 是等腰三角形，∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，又∵DP ⊥AP ，∴∠APB ＝45°，∴BP ＝AB ＝1cm ，∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，∴CD ＝CP ＝4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.10．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.（1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°，∴∠A 为顶角，∠B 为底角，∴∠B =1801002-=40°； 变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，∴当AB=BC 时，∠B =90° ，当AB=AC 时， ∠B =67.5° ，当BC=AC 时 ∠B =45° ；（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数，综上所述：90°≤x ＜180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.。