人教版八年级数学18.2.2 第2课时 菱形的判定 (2)

第2课时菱形的判定

1．掌握菱形的判定方法；(重点)

2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)

一、情境导入

我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？

菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

1．两条对角线互相垂直平分；

2．四条边都相等；

3．每条对角线平分一组对角．

这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？

二、合作探究

探究点一：菱形的判定

【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.

求证：四边形BCFE是菱形．

解析：由题意易得，EF与BC 平行且相等，∴四边形BCFE是平

行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．

证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC 的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．

方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．

【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形

如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：

(1)AC⊥BD；

(2)四边形ABCD是菱形．

解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．

证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA ＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝

∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；

(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，

∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝

∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝

CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．

方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条

件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．

【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于

1

2

AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC 于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.

(1)求证：△AED≌△CFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形．

解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据

CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，

∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF 为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．

证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝

∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED

与△CFD中，

⎩⎪

⎨

⎪⎧∠EAC＝∠FCA，

∠AED＝∠CFD，

AD＝CD，

∴△AED≌△CFD(AAS)；

(2)∵△AED≌△CFD，∴AE ＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝

EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．

方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．

探究点二：菱形的判定的应用

【类型一】菱形判定中的开放性问题

如图，平行四边形ABCD 中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．

解析：∵AD∥BC，∴∠FAD ＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF ＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.

方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【类型二】菱形的性质和判定的综合应用

如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.

(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

(2)若AB∥CD，试证明四边

形ABCD 是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，

并说明理由．

解析：(1)首先利用“SSS”

证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC

＝∠DAC.再证明△ABF≌△ADF，

可得∠AFD＝∠AFB，进而得到

∠AFD＝∠CFE；(2)首先证明

∠CAD＝∠ACD，再根据“等角对

等边”，可得AD ＝CD.再由条件

AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝

CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱

形；(3)首先证明△BCF≌△DCF，

可得∠CBF＝∠CDF，再根据

BE⊥CD 可得∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD.

(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，

∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF 和

△ADF 中，⎩⎪⎨⎪

⎧AB ＝AD ，∠BAF＝∠DAF，

AF ＝AF ，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD

＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，

∴∠AFD＝∠CFE；

(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC

＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，

∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB

＝AD ，CB ＝CD ，∴AB＝CB ＝CD ＝

AD ，∴四边形ABCD 是菱形；

(3)解：当EB⊥CD 于E 时，

∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四边

形ABCD 为菱形，∴BC＝CD ，∠BCF

＝∠DCF.在△BCF 和△DCF 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧BC ＝CD ，∠BCF＝∠DCF，CF ＝CF ，

∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，则∠BCD

＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF＝90°，