三角恒等变换教案

教学过程

一、课堂导入

思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.

思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

二、复习预习

复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。

απαsin )2sin(=+k ， απαcos )2cos(=+k ， απαtan )2tan(=+k （公式一） sin(

)sin ， cos()

cos ， tan(

)

tan （公式二） sin(

)

sin ， cos(

)cos ， tan(

)

tan （公式三）

ααπsin sin(=-）

， ααπ-cos cos(=-）， ααπtan tan(-=-） （公式四）

sin(

)cos 2 （公式五）

sin(

)cos 2 （公式六）

cos()sin

2

cos(

)

sin

2

三、知识讲解

考点1两角和的正弦、余弦、正切公式

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

⑴sin22sin cos ααα=．2

2

2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2sin

2cos 1,2cos

2cos 12

2

α

αα

α=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，21cos 2sin 2αα-=． ⑶2

2tan tan 21tan ααα

=

-．

2

tan

12tan 1 cos ;2

tan

12tan 2 sin :

222αααααα万能公式+-=+=

考点3 辅助角公式

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A

．

四、例题精析

考点一 两角和的正弦、余弦、正切公式 例1已知α∈(4

π，4

3π)，β∈(0，4

π),cos (α－

4

π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．

【规范解答】

∵α－4

π＋4

3π＋β＝α＋β＋2

π

，

α∈(4

3,4

ππ) β∈(0,1sin 3

11≤-≤

-x )

∴α－

4π∈(0,2π) β＋43π∈(4

3π

,π)∴sin(α－4π)＝54 cos(βπ+43)＝－1312 ∴sin(α＋β)＝－cos[2

π＋(α＋β)]＝－cos[(α－

4π)＋(βπ+4

3)]＝6556

【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。

例2计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为()．

A．－

2

2D．1

【规范解答】原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝2

2. 【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。

考点二二倍角公式的应用

例3化简

42

2

1 2cos2cos

2

2tan()sin()

44

x x

x x

ππ

-+

-+