第二章 控制系统的数学模型习题及答案
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第二章 控制系统的数学模型习题及答案
2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压)(t u r 和位移)(t x 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t y 为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为
常数。 解：
（a ）应用复数阻抗概念可写出
)()(11
)(11
s U s I cs
R cs R s U c r ++
= （1） 2
)
()(R s Uc s I =
（2） 联立式（1）、（2），可解得：
Cs
R R R R Cs R R s U s U r c 212112)
1()()(+++=
微分方程为:
r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 1
21211
+=++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。对A 点有 )()(111dt
dy
dt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dt
dy
dt dx f 21)(
=- （2） 联立式（1）、（2）可得：
dt
dx k k k y k k f k k dt dy
2112121)(+=
++ 2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
解：
(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，
如图解所示。对A 点有
)()()(1122y y f y x
f y x k -=-+- (1) 对B 点有
1111)(y k y y
f =- (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得
)()(s X s Y = 2121212122
1212212121
()1()1f f f f
s s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++2
1221221221211221221k k s )k f k f k f (s f f k k s )k f k f (s f f +++++++= (b) 由图可写出
s
C R s U c 221)
(+
= s
C R s C R s
C R s U r 111112111
)(+
⋅
+
+
整理得
)()(s U s U r c = 1
)(1
)(2122112
2121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-3 求下图所示各有源网络的传递函数
)
()
(s U s U r c 。
解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出
1
2)()(R R
s U s U r c -=
(b) s C R )s C R 1)(s C R 1(s
C 1R s C 1R s C 1
R )s (U )s (U 212211111122r c ++-
=+
⋅
+
-=
(c) )
1(11)()(212122Cs R R R R Cs R Cs R s U s U r c +-=+
⋅
-=
2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 t t e e t c --+-=221)(，试求系统的单位脉冲响应和传递函数。 解
t 2t e 4e dt
)
t (dc )t (k ---==
)
2s )(1s (23s 1s 12s 4)]t (k [L )s (+++=+-+=
=Φ
2-5 系统传递函数
2
s 3s 2
)s (R )s (C 2++=，试求初始条件为1)0(c -=、0)0(c
= 时系统在输入)t (1)t (r =作用下的输出)t (c 。
解： 得时，由)t (2r )t (2c )t (c 3)t (c 0)0(c
,1)0(c =++=-= )s (2R )s (2C )0(3c )s (3sC )0(c
)0(sc )s (C s 2
=+-+-- 代入初始条件得：2
s 2
1s 4s 1)2s )(1s (s 3s s 2)s (C 2++
+-=++--= 2t t
2e 4e
1)t (c --+-=
2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数)s (Q )s (Q r c 。
解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数
68
.0s )K 42.018.1(s )K 7.09.0(s )
6.0s (
7.0)s (Q )s (Q 23
r c ++++++= 2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数
)
s (R )
s (C 。
解： 系统结构图如下：
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为
8
4321743215436324321G G G G G G G G G G G G G G G G 1G G G G )s (R )
s (C -+++=
2-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数
)
s (R )
s (C 。 解： （a ）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)
()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X