11集合-集合的概念
集合的概念与表示方法
一、集合的概念 一般地, 一定范围内某 些确定的,不同的对象的全 体构成一个集合. 集合中每个对象称为这 个集合的元素.
一、集合的概念
1.集合：用大写字母表示,如A,B 2.元素：用小写字母表示,如a,b 3.元素与集合关系：
…
…
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
（2）平行四边形，四边形；
（3）直角三角形，等边三角形； （4）-3, 2，6，|3|，-6 ；
（5）（2,3），（3,2），（-2,3）；
3)无序性：集合中的元素是无先后 顺序的．集合中的任何两个元素都 可以交换位置．
5.集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
(六）课堂小结： 1.集合的概念：一定范围内某些确定的、不同对象的 全体构成一个集合.集合通常用大写字母A.B.C……… 表示,如集合A.B集合中的对象称为元素,元素用小写 字母a.b.c表示。元素与集合的关系:从属关系 aA bA 2.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性 3.集合的表示方法 ：描述法、列举法、文恩图法 4.集合的分类：有限集、无限集、空集 5.特殊集合的表示：自然数集：Ｎ 整数集：Ｚ 有 理数集：Ｑ 实数集：Ｒ
例3.已知集合A={ a+2,(a+1)2 ,a2+3a+3}, 若1∈A,求实数a的值.
解：①a+2=1时即a=-1时 Ａ=｛１,０,１｝不满足元素的互异性 ②1=(a+1)2时即a=0或a=-2经检 验a=0符合条件 ③1=a2+3a+3时即a=-1或a=-2 经检验都不符合条件 综上：a=0
11集合(复习课)(共4张PPT)
本 区分元素与集合、集合与集合之间的关系
能区够分找 元出素一与个集集合合、的集子合集与和集真合子之集间的关系 元区素分与 元集素合与的集概合念、及集关合系与集合之间的关系
关 元素与集合的概念及关系
元能素够与 找集出合一的个概集念合及的关子系集和真子集 能区够分找 元出素一与个集集合合、的集子合集与和集真合子之集间的关系
间 区分元素与集合、集合与集合之间的关系
元区素分与 元集素合与的集概合念、及集关合系与集合之间的关系 能够找出一个集合的子集和真子集
的 区能分够元 找素出与一集个合集、合集的合子与集集和合真之子间集的关系
区分元素与集合、集合与集合之间的关系 能够找出一个集合的子集和真子集
基 区元分素元 与素集与合集的合概、念集及合关与系集合之间的关系
集合的含义与表示 集合间的基本关系 集合的基本运算
集
元素与集合的概念及关系
合
的 含
集合中元素的特征
义
与 表
常见数集的记法
示
集合的表示方法
集 合 能 区够分找元出 素一 与个 集集 合合 、的 集子 合集与和 集真 合子 之集 间的关系
区元分素元 与素集与合集的合概、念集及合关与系集合之间的关系 区能分够元 找素出与一集个合集、合集的合子与集集和合真之子间集的关系
系 区分元素与集合、集合与集合之间的关系
判断两个集合的关系
区分元素与集合、集合与集合之 间的关系
能够找出一个集合的子集和真 子集
运用韦恩图表达集合间的关系
集
并集的含义及性质
合
间 的
交集的含义及性质基本来自运补集的含义及性质
算
集合的概念集合的定义是什么
集合的概念集合的定义是什么集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。
集合的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于集合的定义，欢迎大家前来阅读!集合的定义集合(简称集)是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。
最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。
集合里的“东西”，叫作元素。
由一个或多个元素所构成的叫做集合。
若x是集合A的元素，则记作x∈A。
集合中的元素有三个特征：1.确定性(集合中的元素必须是确定的)2.互异性(集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1)3.无序性(集合中的元素没有先后之分。
) 集合的概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。
我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。
若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。
若y不是集合S的元素，则称y不属于S,记为y∉S。
一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
集合中不同元素的数目称为集合的基数，记作card( )。
当其为有限大时，集合称为有限集，反之则为无限集。
有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如，我们称之为空集，记为∅。
设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即，其中符号称为包含，即表示由左边的命题可以推出右边的命题，则称S是T的子集，记为。
显然，对任何集合S ，都有。
如果S是T的一个子集，即，但在T中存在一个元素x不属于S ，即，则称S是T的一个真子集。
如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T 。
中职数学课件11集合的概念数集
01
集合与数集概述
集合定义及表示方法
集合定义
集合是具有某种特定性质的事物 的总体，事物称为元素。
表示方法
集合通常用大写字母A、B、C等 表示，元素用小写字母a、b、c等 表示。如果a是集合A的元素，则 记作a∈A。
谢谢聆听
集合的基本概念
集合是由具有某种共同特征的对象所组成的 整体，这些对象称为集合的元素。
集合的表示方法
列举法、描述法和图像法。
集合间的关系
包含关系、相等关系和互异关系。
02
01
集合的运算
并集、交集、补集和差集。
03 04
拓展延伸相关知识点
数集的概念
数集是按照某种规则或标准将 数字分类形成的集合，如自然 数集、整数集、有理数集和无
3 < x < 5 }$，$A cup B = { x | x in mathbb{R} }$。
03
数轴与实数集
数轴定义及性质
定义：数轴是一条直线，其上每 一个点都与一个实数对应，且满
足以下性质
在数轴上选取一点作为原点，用 0表示；
在原点的右侧标出正方向，用箭 头表示；
数轴定义及性质
• 选取一个单位长度，作为数轴上每一点到原点的距 离。
举例2
函数$y=frac{1}{x}$的定义域和值域 分析。
定义域
由于分母不能为0，因此函数的定义 域为$(-infty,0)cup(0,+infty)$。
值域
由于函数在定义域内可以取到任意 非零实数，因此函数的值域为$(infty,0)cup(0,+infty)$。
集合的概念 定理
集合的概念定理集合的概念和定理集合是数学中一个基本的概念，它指的是具有某种特定性质的对象的总体。
这些对象可以是任何东西，比如数字、字母、几何图形等等。
集合论是数学的一个重要分支，它研究集合及集合之间的关系和运算。
1. 集合的定义集合可以用描述法或列举法来定义。
描述法是指通过一定的条件来描述集合中的元素。
例如，{x x是自然数，1≤x≤4}表示的就是自然数中小于等于4的子集。
列举法是指直接列举集合中的元素。
例如，{1, 2, 3, 4}表示的也是自然数中小于等于4的子集。
集合的基本符号有三种：1）属于符号（∈），用于表示某个元素属于某个集合。
例如，a∈A表示a是集合A的一个元素；2）不属于符号（∉），用于表示某个元素不属于某个集合。
例如，b∉A表示b不是集合A的一个元素；3）等于符号（=），用于表示两个集合完全相等。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}，则A=B。
2. 集合的运算集合之间可以进行的基本运算有并集、交集、差集和补集等。
并集运算：设A和B是两个集合，它们的并集（A∪B）定义为包含所有属于A 或属于B或同时属于A和B的元素的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
交集运算：设A和B是两个集合，它们的交集（A∩B）定义为包含所有既属于A又属于B的元素的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
差集运算：设A和B是两个集合，它们的差集（A-B或A\B）定义为包含所有属于A但不属于B的元素的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
补集运算：设U是一个给定的全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U，A的补集（A'）定义为包含所有属于全集U但不属于A的元素的集合。
例如，如果全集U是自然数的集合，集合A是正整数的集合，那么A'就是非正整数的集合。
集合的概念
一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A ＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A⊆A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A∪B。
复习课件11集合的概念及其基本运算
变式训练 2 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0}， (1)若 B⊆A，求 a 的值； (2)若 A⊆B，求 a 的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
Hale Waihona Puke 变式训练 3 (2010·重庆)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2 ＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝__－__3____.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3 是方程 x2＋mx ＝0 的两根，∴m＝－3.
易错警示 1．忽略空集致误
试题：(5 分)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}， 若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____． 学生答案展示
正确答案 {－1,0,1}
批阅笔记 本题考查的重点是集合的关系以及集合元素
的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易 忽略集合 B 为∅的情况；二是忽视对 B 中的元素－1a的值 为 1 或－1 的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分 类讨论，避免误解．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
则实数 a 的取值范围是_a_≤__0__．
题型分类 深度剖析
题型一 集合的基本概念 例 1 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，
y∈B}，设集合 A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合 A⊙B 的 所有元素之和为________． 思维启迪 集合 A⊙B 的元素：z＝xy(x＋y)．求出 z 的 所有值，再求其和．
高一数学上册集合的概念
高一数学上册集合的概念高一数学上册集合的概念概念1.集合的定义：集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
2.元素与集合的关系：一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
3.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
4.集合的基本运算：包括并集、交集、补集和差集等运算。
5.集合的关系：集合之间可以有包含关系、相等关系和不相交关系等。
6.子集和真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称该集合为另一个集合的子集；如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称该集合为另一个集合的真子集。
相关内容1.集合的运算法则：并集运算满足交换律和结合律；交集运算满足交换律和结合律；补集运算满足对偶律和恒等律；差集运算满足补集定律和恒等律。
2.集合的属性：空集是任意集合的子集；任意集合是自身的子集；全集是包含所有元素的集合；两个集合相等当且仅当它们的元素完全相同。
3.集合的应用：集合的概念在数学中具有广泛的应用，例如概率论、离散数学、集合论等领域。
总结集合是数学中的基本概念之一，它描述了确定的对象所组成的一个整体。
通过集合的定义和基本运算，我们可以进行集合的操作和研究集合之间的关系。
集合的概念在数学的各个领域都有应用，是数学学习的重要基础。
继续介绍集合相关的内容：集合的定义集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母A、B、C等表示，元素可以用小写字母a、b、c等表示。
元素与集合的关系一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
如果元素a属于集合A，我们可以用符号a ∈ A表示；如果元素a不属于集合A，我们可以用符号a ∉ A表示。
集合的表示方法常用的表示方法有列举法和描述法： - 列举法：将集合的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。
例如，集合A = {1, 2, 3}。
- 描述法：通过描述元素的性质或特点来表示集合。
例如，集合B是所有大于0且小于10的整数的集合，可以表示为B = {x | 0 < x < 10, x ∈ Z}。
集合的概念
有理数集：全体有理数的集合，记作Q; 实数集：全体实数的集合，记作R.
元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
元素表示方法：小写拉丁字母
-5≤x-500≤5
各加上500，得
495 500 505
495≤x≤505
所以，原不等式的解集是
{x|495
≤x ≤
505}
练习：
解下列不等式：
(1)|x|<5;
(3)|3x|<12;
(2) 2|x|≤8;
(4) |x+4|>9;
(5)|x-2/3|<1/3;
(6)|x/2+1|≥2.
Answer: (1){x|-5<x<5}
A B(或BA)
B
A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时， 则记作 AB(或B A)
空集是任何集合的子集。也就是说，对于任何一个 集合，有A
真子集：对于两个集合A和B，如果AB，并且AB， 就说集合A是集合B的真子集，记作
A 刭B(或B A)
B
A
空集是任何非空集合的真子集。
表示为
{-1，1} 注：集合的元素有2个。 含有有限个元素的集合叫做有限集。
例：由所有大于0且小于10的奇数组成的集合，可
以表示为{1，3，5，7，9}
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这
个集合的方法。
例
不等式x-3>2的解集可以表示为
{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}
高中数学《集合的概念》教案11 新人教B版必修1
第一课时集合－集合的概念教学目的：〔1〕使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法〔2〕使学生初步了解“属于〞关系的意义〔3〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数已证明的一个结果可以说明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家X维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于X维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集〞这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔〔德国数学家〕〔见附录〕；4．“物以类聚〞，“人以群分〞；5．教材中例子〔P4〕二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：〔1〕有那些概念？是如何定义的？〔2〕有那些符号？是如何表示的？〔3〕集合中元素的特性是什么？〔一〕集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念〔1〕集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合〔简称集〕〔2〕元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素〔3〕元素对于集合的隶属关系〔4〕集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……“∈〞的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写不在时称，不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕2、集合的表示方法：〔1〕列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。
高一数学必修一《11集合的概念》ppt课件
01集合的基本概念Chapter集合的定义与表示方法定义表示方法确定性互异性无序性030201集合中元素的性质集合的分类根据元素性质分类01根据元素个数分类02根据集合间的关系分类0302集合间的基本关系Chapter真子集定义如果集合A 是集合B 的子集，且A 不等于B ，那么集合A 称为集合B 的真子集。
子集定义对于两个集合A 和B ，如果集合A的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集。
符号表示A ⊆B 表示A 是B 的子集，A ⊊B 表示A 是B 的真子集。
子集与真子集相等集合与空集相等集合定义如果集合A和集合B的元素完全相同，那么称集合A与集合B相等。
空集定义不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
符号表示A=B表示A和B是相等集合，∅表示空集。
集合的包含关系包含关系定义对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么称集合A被集合B包含，或称集合B包含集合A。
符号表示A⊆B或B⊇A表示A被B包含或B包含A。
03集合的运算Chapter01020304交集的定义交集的符号表示交集的运算性质交集的应用举例并集的定义并集的符号表示并集的运算性质并集的应用举例补集的定义补集的符号表示对于一个集合A，由全集U中所有不∁UA。
属于A的元素组成的集合称为A的补集。
补集的运算性质补集的应用举例满足德摩根定律、对偶律等。
求解不属于某个集合的元素。
04集合的应用举例Chapter表示点的位置表示数的范围在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x∈R,y∈R}表示平面内所有点的集合。
表示图形的构成求解不等式求解方程逻辑推理集合在现实生活中的应用数据分类在统计学和数据分析中，经常需要将数据按照某些特征进行分类，形成不同的数据集合。
决策分析在决策论中，将各种可能的结果表示为集合，便于分析和比较不同决策方案的优劣。
编程中的数据结构在计算机科学中，集合是一种基本的数据结构，用于存储和操作一组数据元素。
集合的基本概念
集合的基本概念在数学中，集合是一个基本的概念，它是由确定的对象所组成的整体。
集合的概念是数学中非常重要的基础，它被广泛应用于各个数学分支中，如代数、几何、概率论等等。
本文将详细介绍集合的基本概念，帮助读者更好地理解和运用集合论。
1. 集合的定义集合可以看作是一个确定的对象的组成整体。
例如，我们可以定义一个集合A，其中包含元素a、b、c，记作A={a，b，c}。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他集合，每个元素在集合中是唯一的，即不同的元素不能重复出现在同一个集合中。
2. 集合的表示方法除了用花括号{}表示集合外，还可以用其他符号表示集合。
常用的表示方法有列表法、描述法和区间表示法。
例如，集合B={1,2,3,4,5}可以用列表法表示；集合C={x|x是整数，0<x<10}可以用描述法表示；集合D=[1,5]可以用区间表示法表示。
3. 子集和真子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集。
如果一个集合是另一个集合的子集且两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。
例如，集合E={1,2}是集合B的子集，但不是真子集。
4. 并集、交集和差集两个集合的并集是包含两个集合所有元素的集合，交集是两个集合共有元素的集合，差集是一个集合减去另一个集合后的结果。
例如，集合F={1,2,3}，集合G={3,4,5}，则F∪G={1,2,3,4,5}，F∩G={3}，F-G={1,2}。
5. 幂集一个集合的幂集是由这个集合所有子集所构成的集合。
例如，集合H={a,b}，那么它的幂集是{∅，{a}，{b}，{a,b}}。
6. 无限集合除了有限集合外，还有无限集合。
无限集合可以分为可数无限集合和不可数无限集合。
可数无限集合的元素可以一一对应自然数集，如整数集合；不可数无限集合的元素不能一一对应自然数集，如实数集。
通过以上对集合的基本概念的介绍，相信读者对集合的概念有了更深入的了解。
集合的的概念
集合的的概念集合是由一组特定元素组成的对象。
在数学中，集合是元素的一个无序的集合。
集合可以包含任何类型的元素，包括数字、字母、符号、词语、形状等。
集合可以用大写字母来表示，如A、B、C等。
集合中的元素可以用小写字母来表示，如a、b、c等。
当一个元素a属于集合A时，可以用a∈A表示。
如果一个元素b不属于集合A，可以用b∉A表示。
在描述集合时，可以使用以下两种方法：1. 列举法：把集合中的所有元素一一列举出来。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是由元素1、2、3、4、5组成的集合。
2. 描述法：通过描述集合的特定属性或性质来定义集合。
例如，集合A={x x是正整数且x<6}表示A是由小于6的正整数组成的集合。
在描述法中，用竖线“”来表示“属于”的关系。
集合的基本运算包括交集、并集、补集和差集。
1. 交集：交集是指两个集合共同拥有的元素所组成的集合。
例如，设集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，则A与B的交集记为A∩B={2,3}。
可以发现，A∩B中的元素同时属于集合A和集合B。
2. 并集：并集是指两个集合中所有元素的组合。
例如，设集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，则A与B的并集记为A∪B={1,2,3,4}。
可以发现，A∪B中的元素要么属于集合A，要么属于集合B。
3. 补集：补集是指关于某个全集的所有不属于该集合的元素所组成的集合。
例如，设全集为U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，则A的补集记为A'={4,5}。
可以发现，A'中的元素不属于集合A。
4. 差集：差集是指一个集合减去另一个集合中共同拥有的元素所组成的集合。
例如，设集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，则A与B的差集记为A-B={1}。
可以发现，A-B中的元素属于集合A，但不属于集合B。
在集合的基本运算之外，还有其他一些重要的概念和性质。
1. 空集：空集是指不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
中职数学11集合的概念
元素的无序性
无序性描述
集合中的元素没有固定的顺序。
无序性例子
考虑一个班级的学生集合，学生之间的顺序并不重要，重要的是每个学生都是这 个班级的学生。
CHAPTER 04
集合的表示方法与性质
列举法
01
02
03
定义
将集合中的所有元素一一 列举出来，用大括号{}括 起来，并写上花括号表示 集合的方法。
03
决策和规划
在决策和规划中，集合可以用来表示不同的选项或方案，以及确定它们
之间的关系和影响。
集合在科学中的应用
物理学
在物理学中，集合可以用来描述微观粒子、原子、分子等 微观客体的状态和性质。量子力学中的波函数也是一种集 合的表现形式。
化学
化学是研究物质的组成、结构、性质和变化的科学。在化 学中，分子、原子、离子等都可以看作是具有特定性质的 集合。
6}）。
CHAPTER 03
集合的元素特性
元素的确定性
确定性描述
一个元素是否属于某个集合是确定的 ，要么属于，要么不属于。
确定性例子
例如，考虑一个班级的学生集合，每 个学生要么是这个班级的学生，要么 不是。
元素的互异性
互异性描述
集合中的元素互不相同，没有重复。
互异性例子
考虑一个班级的学生集合，每个学生都是独特的，没有重复的学生。
。
CHAPTER 02
集合的运算
集合的交集
定义
由两个或两个以上的集合中的共同元素组成的集 合称为交集。
符号表示
记作 A ∩ B。
例子
如果 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}，则 A ∩ B = {2, 3}。
11集合的概念及特征(精讲)(原卷版)
1.1集合的概念及特征（精讲）一．元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三个特性：(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．4.元素与集合的关系6.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法1.列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.2.描述法(1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用说明①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.三．集合的分类1、有限集：集合的元素有限个2、无限集：集合的元素无限个一．集合概念的理解判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。
二．判断元素和集合关系的两种方法1.直接法：集合中的元素是直接给出的.2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 三．元素的互异性求参数1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.四．集合的表示方法1.用列举法表示集合(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.（3）使用列举法表示集合时的注意事项①元素间用逗号隔开；②元素不能重复(互异性)；③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{ }”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．2.利用描述法表示集合(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z 也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.考点一集合概念的理解【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个B．3个C．4个D．5个【一隅三反】1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；x+>的x的取值．⑤满足不等式103．（2023·上海）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；，的距离等于1的所有点；②在平面直角坐标系中，到定点(00)③影响力比较大的中国数学家；④不等式3100x-<的所有正整数解.考点二 元素与集合的关系【例2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①12R ；R ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【一隅三反】1．（2023春·四川内江）已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（ ） A ．0M ∈ B ．1M ∉ C ．1M -∈ D ．0M ∉2．（2023春·福建龙岩）给出下列6个关系：R ，Z ，③0N *∉，N ，⑤Q π∉，⑥2Z -∉.其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．53．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合A =｛0，1，2｝，则（ ） A ．0∈A B ．1∉ AC ．2=AD ．∅∈A考点三 元素互异性及应用【例31】（2023·北京朝阳）设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ） A ．0 B ．1- C ．0或1- D ．0或1【例32】（2023·安徽）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例33】（2023·河南）已知{}210A xx ax =-+<∣，若2A ∈，且3A ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．510,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．510,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【例34】（2023·云南）已知集合{}2=-3+2=0A x ax x 的元素只有一个，则实数a 的值为（ ）A ．98B ．0C ．98或0D ．无解【一隅三反】1．（2023·福建）若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-2．（2023春·河南）若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则a 2020+b 2020的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．1或﹣13．（2023春·山东日照）已知集合{}2|1A x x =<，且a A ∈，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．14．（2023·广东）设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A ∈，则a 的值为（ ）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，25．（2023·陕西西安）已知集合{}2310A x ax x =-+=，其中a 为常数，且R a ∈.若A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为___________.考点四 集合的表示方法【例4】（2023·陕西安康）表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用适当方法表示出来： （1）{2,4,6,8,10}； （2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =∈≤≤；（5）{}2|320C x x x =-+=.2．（2023山东）用适当的方法表示下列集合： （1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．3．（2023湖北）选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合.考法五 集合相等【例51】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣D ．{2,3}M =，{(2,3)}N =【例52】（2023·全国·高一专题练习）已知集合{}4,,2A x y =，{}22,,1B x y =--，若A B =，则实数x 的取值集合为（ ） A ．{1,0,2}- B ．{2,2}-C ．{}1,0,2-D ．{2,1,2}-【一隅三反】1．（2023北京）集合{}2|0,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．（2022·高一单元测试）已知集合{}()(){}3,4,30,M N xx x a a ==-+=∈R ∣， 若M N ， 则=a （ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-3．（2022秋·海南海口·高一校考阶段练习）含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.。
集合的基本概念(2)-
• 13描述法：把集合中的元素的公共属性
描述出来，写在大括号内表示集合的方 法。
• 14描述法有两种表述形式：1、数式形式
如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}； 由直线y=x+1
上所有的点的坐标组成的集合，可表示
为
{（x，y）│ y=x+1 }。2、
语言形式 如由所有直角三角形组成的集
那么集合A叫做集合B的子集。
记（为BA包 含BA（）或.如BN AZ） 读作Q“，AR包 含Z于，B”
R Q，Q N.
• (1) 当A不是B的子集时，可以记作
A B（或B A）.
• (2)任何一个集合是它本身的子集.
即 A A • (3)空集是任何集合A的子集.即φ A
2.真子集：如果A是B的子集，并且 B中至少有一个元素不属于A，那么
• 7单元素集：仅含有一个元素的集合。
• 8点集：集合中的元素全部由点组成。
• 9数集：集合中的元素全部由数组成。
• 10解集：由方程或方程组、不等式或不 等式组的解作为元素构成的集合。
• 11列举法：把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合的方法。
• 12列举法有三种形式：1、是有限集而元 素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合 可表示为{0，2，-3，5}；2、是有限集但 元素个数较多，如由从50到100的所有整 数组成的集合可表示为{50，51，52， 53，…，98，99，100}；3、是无限集且 元素离散，如由所有的正偶数组成的集合 可表示为{2，4，6，8，……}
集合的基本概念（2）
（王新敞）
• 1集合的定义：由一些确定的、 互异的对象构成的一个整体 就叫做集合。简称集。
集合的概念
1.集合的概念
1. 集合的概念
我们看到的、听到的、闻到 的、触摸到的、想到的各种各样的 事物或一些抽象的符号，都被称作 对象
例如,把自然数0,1,2,3,4,…,10,….中的 各个数都看作一个对象,把所有这些对象 汇集在一起构成一个整体,称作自然数集.
1.集合的概念
一般地,把一些能确定的对 象看成一个整体,我们就说,这个 整体是由这些对象的全体构成的 集合(或集).
练一练
判断下列各组对象能否描述为集合，若 不能，请说明理由。 （1）大于-6而小于6的偶数； （2）很小的有理数； （3）实验中学的所有学生； （4）常青林场的所有大树； （5）全体自然数； （6）所有单项式。
元素与集合的从属关系
属于
不属于 例3 如果a是集合Ａ中的元素，说a属于Ａ， 记作a∈Ａ 如果a不是集合Ａ中的元素，说a不属于 Ａ，记作a∈Ａ
2
(5) 0 N (6) 1 N (i),(ii),(iii),(iv) 其中正确的是_____。
小结
1、集合——某些指定的对象集在一起 元素——集合中的每一个对象 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的 集合。记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作 N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R
3, B为所有花组成的集合,下列哪些是属于 B的? a为白菜,b为牡丹花,c为杜鹃花,d为草 莓,e为君子兰, f为冬瓜,g为茶花,h为栀 子花,i为豆腐
aB
b B
cB d B
b,c,e,g,h
e B iB
f B gB
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1.1集合－集合的概念
（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示
一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是
因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念
集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？
（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
（5）实数集：全体实数的集合记作R
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
三、练习题：
1、教材P5练习1、2
2、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数（不确定）
（2）好心的人（不确定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
4、由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（ A ）
（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素
5、设集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z, b∈Z）的数，求证：
(1) 当x∈N时, x∈G;
(2) 若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G
证明(1)：在a＋b（a∈Z, b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,
则x= x＋0*= a＋b∈G,即x∈G
证明(2)：∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b（a∈Z, b∈Z）,y= c＋d（c∈Z, d∈Z）
∴x+y=( a＋b )+( c＋d )=(a+c)+(b+d)
∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z
∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z
∴x+y =(a+c)+(b+d) ∈G，
又∵＝
且不一定都是整数，
∴＝不一定属于集合G
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性3．常用数集的定义及记法
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：。