7、一元二次方程
一元二次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。
一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
1方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2)且未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
(两边都是整式）要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。
其中是根的判别式。
也可以用其他特殊方法求根。
2方程形式2.1一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式2.2十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）3解法3.1分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x1= x2=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0 或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2= 23.2十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+2b+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全
1. 一元二次方程的一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）。
2. 一元二次方程的根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
3.一元二次方程的顶点公式：x=-b/2a，y=c-b²/4a。
4.一元二次方程的轴对称式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。
5. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac；当Δ>0时，有两个不
相等的实根；当Δ=0时，有一个重根；当Δ<0时，无实根。
6.一元二次方程的解的性质公式：两根之和=-b/a，两根之积=c/a。
7. 一元二次方程的因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂为方程的两个实根。
8. 一元二次方程的求导公式：y'=2ax+b，其中a、b为方程系数。
9. 一元二次方程的求和差公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，(x-y)²=x²-
2xy+y²。
10. 一元二次方程的配方法公式：根据(a±b)²=a²±2ab+b²，将一元
二次方程化为完全平方形式。
一元二次方程概念
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --= ）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b -， 两根之积是ac，易求出两根之和是2。
第7课 一元二次方程
要点梳理
5．二元二次方程组的概念及解法： (1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元 二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组 成的方程组叫做二元二次方程组； (2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通 过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解， 或“降次”利用因式分解转化为二元一次方程组或 一元一次方程来解．
解 ∵x＝a，∴a2－2009a＋1＝0，
∴a2－2008a＝a－1，a2＋1＝2009a，∴a220＋091＝22000099a＝1a.
1 a2－a＋1 （a2＋1）－a 2009a－a
∴原式＝a－1＋a＝ a ＝
a
＝a
＝20a08a＝2008.
探究提高
(1)利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再 解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值； (2)采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定 义及分式加减运算的法则可得上题(2)中代数式的值．
知能迁移 1 用指定的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9；(用直接开平方法) (2)x2＋3x－4＝0；(用配方法) (解3)x2－x2＋2x3－x－8＝4＝00；，(x用2＋因3x式＝分4，解法) (x42)＋x(3xx＋＋941＝)＋4＋2(94x，－x1＋)＝3202.＝(用245，公式法)
注意：(1)根的判别式“b2－4ac”只有在确认方程为一 元二次方程时才能使用；
(2)使用时，必须将一元二次方程转化一般式 ax2＋bx＋ c＝0，以便确定 a、b、c 的值．
助学微博
一个防范
正确理解“方程有实根”的含义．如有一个实数根则原 方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次 方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”、“有两个实 数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键 字的“陷阱”．
中考数学总复习第7课 一元二次方程
5．(2013·浙江衢州)如图 7－1，在长和宽分别是 a，b 的矩形纸片的四个 角都剪去一个边长为 x 的正方形． (1)用含 a，b，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当 a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方 形的边长．
图 7－1 【解析】 (1)面积＝ab－4x2. (2)根据题意，得 ab－4x2＝4x2(或 4x2＝1ab龙江牡丹江)若关于 x 的一元二次方
程为 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是 x＝1，则 2013－a－b 的
值是
()
A．2018
B．2008
C ．2014
D．2012
点评：(1)本题主要考查一元二次方程的解的概念，难度较小．
(2)解题的关键是把已知方程的解直接代入方程得到待定系数
3．解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同 的式子，因为这个式子可能为 0，如果约去，会造成漏 解．
【精选考题 2】 (2013·江苏无锡)解方程：x2－3x＋2＝0.
点评：(1)本题考查一元二次方程的解法，难度较小． (2)求解本题的关键是根据题目特征选择最适合的方法(因 式分解法)求解． 解析：x 2－3x ＋2＝0，(x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2.
3．配方法：解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再在方程两边同时 加上某一常数，使得左边刚好能配成一个完全平方式，即将方程化为(x＋a)2＝b 的形式， 如果 b≥0，就可以用直接开平方法来求出它的解，这种解一元二次方程的方法叫做配 方法．
4．公式法：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝－b± b2－4ac(b2－4ac≥0)． 2a
拓展提高
1．(2012·山东泰安)方程 2x2＋5x－3＝0 的解是
方程的七种类型
方程的七种类型方程是数学中的重要概念，它描述了数学对象之间的关系。
在代数学中，方程可分为七种类型，分别是一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程、二元一次方程、二元二次方程和二元三次方程。
本文将分别介绍这七种类型的方程。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程类型，它的形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的关键在于找到x 的值使得等式成立。
通过移项、合并同类项和化简等步骤，可以求解出x的值。
例如，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的方法有多种，常用的方法是配方法和求根公式。
配方法通过将方程变形为完全平方式，进而求解出x的值。
求根公式是通过使用二次根式来求解方程。
例如，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x = 2或x = 3。
三、一元三次方程一元三次方程是形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知常数，x是未知数。
解一元三次方程的方法有多种，常用的方法是巴斯卡法和牛顿迭代法。
巴斯卡法通过将方程进行化简，然后使用求根公式求解出x的值。
牛顿迭代法是通过逐次逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。
例如，方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0的解为x = 1。
四、一元四次方程一元四次方程是形如ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的方程，其中a、b、c、d、e为已知常数，x是未知数。
解一元四次方程的方法有多种，常用的方法是费拉里法和求根公式。
费拉里法通过将方程进行变形，进而转化为两个二次方程的形式，然后使用求根公式求解出x的值。
求根公式是通过使用四次根式来求解方程。
例如，方程x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = 0的解为x = 1或x = 2或x = 3或x = 4。
一元2次方程4种解法
一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。
本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。
这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。
第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。
通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
这种解法适用于无理数根的情况。
第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。
该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。
这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。
第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。
根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。
这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。
结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。
无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。
掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。
一元2次方程公式解法
一元2次方程公式解法一元二次方程可是数学里的一个重要知识点哟！咱们一起来瞧瞧它的公式解法到底是咋回事。
我还记得之前给学生们讲一元二次方程的时候，有个小同学特别有意思。
那是一个阳光明媚的上午，我在黑板上写下了一个一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），然后就开始讲解怎么用公式法来求解。
这时候，那个小同学瞪着大眼睛，一脸疑惑地看着我，举起手说：“老师，这看起来好复杂呀，怎么能解出来呢？”我笑着对他说：“别着急，咱们一步步来。
”一元二次方程的公式解法，其实就是依靠那个著名的求根公式：$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
首先呢，咱们得确定方程中的系数 $a$、$b$、$c$。
这就好比是给方程“画像”，先把它的轮廓勾勒清楚。
比如说方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ，这里的 $a = 2$，$b = 5$，$c = -3$ 。
接下来，关键的一步就是计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 。
这个判别式可重要啦！它能告诉我们方程根的情况。
如果 $\Delta > 0$ ，方程就有两个不相等的实数根；如果 $\Delta = 0$ ，方程就有两个相等的实数根；要是 $\Delta < 0$ ，方程就没有实数根，只有两个共轭的复数根。
还是拿刚才那个方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 来说，$\Delta = 5^2 -4×2×(-3) = 25 + 24 = 49$ ，因为 $49 > 0$ ，所以这个方程有两个不相等的实数根。
然后，咱们就把 $a$、$b$、$\Delta$ 的值代入求根公式。
对于这个方程，$x = \frac{-5 ± \sqrt{49}}{2×2} = \frac{-5 ± 7}{4}$ ，所以 $x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ ，$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$ 。
一元2次方程的公式
一元2次方程的公式一元二次方程的公式在数学的世界里，一元二次方程是一个非常重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在物理、工程等领域也发挥着关键作用。
今天，咱们就来好好聊聊一元二次方程的公式。
一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。
对于这个方程，我们有一个神奇的求解公式，那就是：＼x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼这个公式看起来可能有点复杂，但只要我们把它拆解开来，逐步理解，就会发现其实并没有那么难。
先来说说这个公式中的各个部分。
＄a$是二次项系数，它决定了方程的“形状”和“弯曲程度”。
＄b$是一次项系数，它在方程中也有着重要的作用。
＄c$是常数项，它是方程中的一个固定值。
那这个求解公式是怎么来的呢？这就得从配方法说起。
我们先将方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$变形为$x^2 ＋＼frac{b}｛a}x＝＼frac{c}｛a}＄。
然后在等式两边加上$＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2$，得到：＼x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＝＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＼frac{c}｛a}＼左边可以写成完全平方式：＼（＼left(x ＋＼frac{b}｛2a}＼right)＾2\），右边经过化简得到：＼（＼frac{b^2 4ac}｛4a^2}＼）然后开平方，就得到了我们前面提到的求解公式。
有了这个公式，我们就可以求解任意一个一元二次方程的根。
但在使用这个公式的时候，要先计算$b^2 4ac$的值，这个值被称为判别式，通常用$＼Delta$表示。
当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时 一元二次方程及其应用
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时一元二次方程及其应用命题点1 解一元二次方程（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查3次，2013 年考查3次）1. （2015徐州20（1）题5分）解方程：x2-2x-3=0.2. （2014徐州20（1）题5分）解方程：x2+4x-1=0.3. （2014泰州17（2）题6分）解方程：2x2-4x-1=0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（近3年39套卷，2015年考查6次，2014年考查6次，2013年考查5次）1. （2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0C. (x-1)(x+2)=0D. (x-1)2+1=02. （2015连云港6题3分）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k<13B.k>-13C. k<13且k≠0 D. k>-13且k≠03. （2013镇江8题2分）写一个你喜欢的实数m的值_______，使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.4. （2015南通12题3分）已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于_______.5. （2015南京12题2分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是________.6. （2015镇江9题2分）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________.7. （2015徐州13题3分）已知关于x的方程x2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为_________.8. （2014扬州17题3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为.9. （2015泰州18题8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值.命题点3 一元二次方程的应用（近3年39套卷，2015年考查2次，2014年考查1次， 2013年考查3次）1. （2013南京14题2分）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：__________.第1题图2. （2014南京22题8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本．．．．为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.3. （2013连云港23题10分）小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能．．．等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由.4. （2015淮安26题10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售. （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售是_______斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】命题点1 解一元二次方程 1. 解：因式分解得：(x +1)(x -3)=0，…………………………………………………………（3分）即x +1=0或x -3=0，…………………………………………………………………………（4分）解得：x 1=-1 ,x 2=3.……………………………………………………………………………（5分）2. 解：原式可化为（x 2+4x +4-4）-1=0，即（x +2）2=5，…………………………………（3分）两边开方得，x +2=4分）解得x 1x 2.…………………………………………………………………（5分）3. 解：这里a =2，b =-4，c =-1，……………………………………………………………（2分）∵b 2-4ac =16+8=24，…………………………………………………………………………（4分）∴x =424b a -±±=.即x 1,x 2=22-.…………………………………………………………………（6分）命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. C 【解析】A .b 2-4ac =(-1)2-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B .b 2-4ac =12-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C .x -1=0或x +2=0，则x 1=1,x 2=-2,所以C 选项正确；D .(x -1)2+1=0，方程左边为正数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误.2. A 【解析】∵方程x 2-2x +3k =0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac >0，即（-2）2-4×3k >0,解得k <13. 3. 0（答案不唯一）【解析】根据题意得：b 2-4ac =1-4m ＞0，解得：m ＜14，则m 可以为0，答案不唯一. 4. -2【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，∵a ＝2，b ＝4，c ＝-3，∴x 1+x 2＝ba＝-2. 5. 3，-4【解析】由题意及一元二次方程根与系数的关系知x 1x 2=3，得另一根为3，再由x 1＋x 2=-m ，得m =-4.6. a >0【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题中的判别式b 2-4ac =-4a ，∵方程没有实数根，则-4a <0，∴a >0.7. -3【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由于方程有两个相等的实数根，则)2-4×1×(-k )=0，解得k =-3.8. 23【解析】∵a ，b 是方程x 2-x -3=0的两个根，∴a 2-a -3=0，b 2-b -3=0，即a 2=a +3，b 2=b +3，∴2a 3+b 2+3a 2-11a -b +5=2a （a +3）+b +3+3（a +3）-11a -b +5=2a 2-2a +17=2（a +3）-2a +17=2a +6- 2a +17=23. 9. 解：（1）∵a =1,b =2m ,c =m 2-1,……………………………………………………………（1分）∴b 2-4ac =(2m )2-4×1×(m 2-1)=4＞0，………………………………………………………（3分）∴方程x 2+2mx +m 2-1=0有两个不相等的实数根;…………………………………………（4分）（2）∵x 2+2mx +m 2-1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2-1=0,…………………………………………………………………………（6分）解得，m =-4或m =-2.…………………………………………………………………………（8分）命题点3 一元二次方程的应用1. (x +1)2=25(本题答案不唯一)【解析】解法一：分割法，如解图①，将图形分割成两个长方形，由题意，x (x +1)+x ×1=24即x 2+2x =24，∴x 2+2x -24=0.解法二：补图法，如解图②，将图形补成一个正方形，由题意，(x +1)2-1=24,∴(x +1)2=25.第1题解图2.4分）（2）【思路分析】由题意，等量关系为第三年养殖成本4+2.6(1+x )2万元等于7.146万元，可解方程得结论.解：根据题意，得4+2.6(1+x )2=7.146.解方程，得x 1=0.1,x 2=-2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率是10％.……………………………………………（8分）3. （1）【思路分析】设剪成的较短的一段为x cm ，较长的一段就为（40-x ）cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可.解：设剪成的较短的一段为xcm ，较长的一段则为（40-x ） cm ，由题意，得：(4x ）2+(404x -)2=58, ………………………………………………………………………………………………（2分）解得：x 1=12，x 2=28，当x =12时，较长的为40-12=28 cm ，………………………………………………………（3分）当x =28时，较长的为40-28=12＜28（舍去），…………………………………………（4分）∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .……………………………………………（5分）（2）【思路分析】设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确.解：设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm ，由题意，得： (4m ）2+(404m -)2=48，……………………………………………………………………（7分）变形为：m 2-40m +416=0， ∵b 2-4ac =（-40）2-4×416=-64＜0， ∴原方程无实数根，…………………………………………………………………………（9分）∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.……………………（10分）4. （1）【思路分析】因为售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，售价降低x 元，每天可多售出20×0.1x 斤，每天销售量为100+20×0.1x =（200x +100）（斤）. 解：200x +100；………………………………………………………………………………（2分）（2）【思路分析】根据：每天销售利润=（原销售价-成本价-销售价降低部分）×每天销售量，建立方程求解.解：根据题意，得（200x+100）（4-2-x）=300，………………………………………………………………（4分）整理，得2x2-3x+1=0，………………………………………………………………………（6分）(x-1)(2x-1)=0,解得x1=1,x2=0.5，…………………………………………………………………………（8分）当x=0.5时，每天销售量为200×0.5+100=200<260，不合题意，舍去.………………（9分）答：销售这种水果要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤销售价降低1元.……（10分）2019-2020年中考数学复习考点精练：第8课时分式方程及其应用命题点1 解分式方程（近3年39套卷，2015年考查5次，2014年考查7次，2013年考查9次）解分式方程考查的题型有选择题、填空题和解答题，其中以解答题为主，所给的分式方程有3种形式：①等号两边均为分式；②等号左边为分式，等号右边为常数项或分式与常数项的和或差；③等号左边为两个分式或常数项与分式，等号右边为常数项.1. （2015淮安9题3分）方程1x-3=0的解是__________.2. （2015宿迁12题3分）方程3x-22x-=0的解为________.3. （2015镇江19（1）题5分）解方程：3+4xx-=12.4. （2015南通19（2）题5分）解方程12x=1+5x.5. （2014苏州22题6分）解分式方程：2311xx x+=--.6. （2014连云港19题6分）解方程21322x x x-+=--.7. （2013泰州18题8分）解方程：22 222222x x xx x x x++--=--.命题点2 分式方程的应用（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查2次，2013年考查2次）1. （2015苏州22题6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？2. （2015扬州24题10分）扬州建城2500年之际，为了加速美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20％，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？3. （2013扬州24题10分）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况.（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人.”（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20％.”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数.4. （2015连云港23题10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.【答案】命题点1 解分式方程1. x=13【解析】去分母得1-3x=0，移项得-3x=-1，系数化成1得x=13，因为x=13≠0，所以x =13是方程1x-3=0的解. 2. x =6【解析】给分式方程两边同时乘以x (x -2)，得3（x -2）-2x =0，解得x =6，经检验x =6是原分式方程的根.3. 解：去分母，得6+2x =4-x ，……………………………………………………………（2分）解得x =-23,……………………………………………………………………………………（4分） 经检验，x =-23是原方程的解.所以，原方程的解为x =-23.………………………………………………………………（5分）4. 解：方程两边同时乘以2x （x +5）,得x +5=6x ，………………………………………（2分） 解得x =1，……………………………………………………………………………………（3分） 检验：当x =1时，2x (x +5)≠0，……………………………………………………………（4分） 所以，原分式方程的解为x =1.………………………………………………………………（5分）5. 解：去分母得：x -2=3x -3, ………………………………………………………………（2分）解得：x =12，…………………………………………………………………………………（4分） 经检验x =12是分式方程的解.∴原分式方程的解为x =21. ………………………………………………………………（6分）6. 【思路分析】按照解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化为1求解.在去分母时，不要漏掉乘常数项，最后检验.解：去分母，得 2+3（x -2）=-(1-x )，……………………………………………………（2分） 去括号，得2+3x -6=-1+x ， 移项，得3x -x ＝-1+6-2， 合并同类项，得2x =3，系数化为1，得x =32.………………………………………………………………………（4分） 检验：将x =32代入公分母x -2中，得x -2＝32-2＝-12≠0，……………………………（5分）∴原分式方程的解为x =32.…………………………………………………………………（6分）7. 解：方程两边同时乘以x （x -2）得：（2x +2）（x -2）-x （x +2）=x 2-2，……………（2分） 化简得：-4x =2，解得：x＝-12，………………………………………………………………………………（4分）检验：把x＝-12代入x（x-2）＝54≠0，…………………………………………………（6分）故方程的解是：x＝-12 .……………………………………………………………………（8分）命题点2 分式方程的应用1. 【思路分析】根据相等关系“甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等”列出方程求解，注意不能忘记检验.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，…………………………（1分）根据题意，得6050x+=50x，………………………………………………………………（3分）解方程，得x=25，…………………………………………………………………………（4分）经检验，x=25是分式方程的解，∴x+5=30.……………………………………………………………………………………（5分）答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗.……………………………………（6分）2. 【思路分析】本题基本的关系是工作量除以工作效率即为工作的时间，关键的等量关系就是实际比原计划提前两天完成，理顺这两个关系即可，但注意解出分式方程的根后要进行验根.解：设原计划每天栽树x棵.………………………………………………………………（1分）根据题意，得1200x-(1120)20%x+=2，……………………………………………………（5分）解得x=100，………………………………………………………………………………（7分）经检验，x=100是原方程的解，…………………………………………………………（9分）答：原计划每天栽树100棵.………………………………………………………………（10分）3. 【思路分析】首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据九（1）班人数比九（2）班多8人，即可得方程：1200x-(1120)20%x+=8，解此方程即可求得答案.解：设九（1）班人均捐款数为x元，则九（2）班人均捐款数为（1+20%）x元，…（1分）由题意，得1200x-(1120)20%x+=8，………………………………………………………（5分）解得x =25，…………………………………………………………………………………（7分） 经检验，x =25是原分式方程的解，………………………………………………………（8分） 九（2）班的人均捐款数为：（1+20%）x =30.……………………………………………（9分） 答：九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元.………………………（10分）4.（1）【信息梳理】设每张门票的原定票价为x 元，解：设每张门票的原定票价为x 元.……………………………………………………（1分） 由题意得：6000480080x x =-, 解得：x=400，经检验，x =400是原方程的解.答：每张门票的原定票价为400元.………………………………………………………（5分）（2）【信息梳理】设平均每次降价的百分率为y ，由（1）知原定票价为400元.解：设平均每次降价的百分率为y .由题意得：400（1-y ）2＝324，解得：y 1＝0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价10％.……………………………………………………………………（10分）。
一元二次方程 公式
一元二次方程公式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
一元二次方程的求解公式，也称为根的公式，给出了方程的两个
解x1和x2的计算公式：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式成立的前提是方程的判别式 D = b^2 - 4ac大于等于零。
当D大于零时，方程有两个不相等的实根；当D等于零时，方程有两
个相等的实根；当D小于零时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
拓展部分：
1.方程的判别式D有着重要的几何意义，它等于二次曲线所对应
的抛物线与x轴交点的个数。
当D大于零时，抛物线与x轴有两个交点；当D等于零时，抛物线与x轴相切于一个交点；当D小于零时，
抛物线与x轴没有交点。
2.一元二次方程的解还可以用完全平方的形式表示。
将方程写成(x + p)^2 = q的形式，其中p和q分别为常数，可以通过展开完全平方得到一元二次方程的标准形式。
3.当一元二次方程的系数为实数时，如果方程有两个不相等的实根，那么这两个实根一定是互为相反数。
也就是说，如果x1和x2是方程的两个实根，那么必须有x1 = -x2。
4.一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域中具有重要的应用。
例如，二次函数可以描述物体的运动轨迹、电路中的电流电压关系以及成本函数与收益函数之间的关系等。
求解一元二次方程可以帮助我们预测、优化和解决实际问题。
一元二次方程应用题七大题型
一元二次方程应用题七大题型
1. 求解物体运动距离
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体运动的距离。
公式：距离 = (1/2) 加速度时间²
2. 求解物体最终速度
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体最终速度。
公式：最终速度 = 加速度时间
3. 求解物体运动时间
题型：一个物体从静止开始运动，最终速度为 v，加速度为 a。
求物体运动的时间。
公式：时间 = 最终速度 / 加速度
4. 求解物体加速度
题型：一个物体从静止开始运动，运动时间为 t，最终速度为v。
求物体加速度。
公式：加速度 = 最终速度 / 时间
5. 求解运动物体速度
题型：一个物体从静止开始运动，在 t1 时刻速度为 v1，在
t2 时刻速度为 v2。
求物体在 t3 时刻的速度。
公式：速度 = (最终速度 - 初始速度) / (最终时间 - 初始
时间)
6. 求解运动物体加速度变化率
题型：一个物体的加速度从 a1 变化到 a2，时间间隔为Δt。
求加速度的变化率。
公式：加速度变化率 = (最终加速度 - 初始加速度) / 时间间隔
7. 求解运动物体速度变化率
题型：一个物体的速度从 v1 变化到 v2，时间间隔为Δt。
求速度的变化率。
公式：速度变化率 = (最终速度 - 初始速度) / 时间间隔。
初中复习方略数学第七讲 一元二次方程
1．一元二次方程二次项系数不为 0. 2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．
解一元二次方程
解法
形式
直接
x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝
开平方法
p(p≥0，m≠0)Fra bibliotek配方法
(x－m)2＝n(n≥0)
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－ 4ac≥0)
因式分解法
(x－x1)(x－x2)＝0
D．有两个不相等的实数根
2．(2021·广安中考)关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0 有实数根，
则 a 的取值范围是( A )
A．a≤14 且 a≠－2
B．a≤41
C．a＜14 且 a≠－2
D．a＜41
3．(2021·济宁中考)已知 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，
【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的
每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销
售量的四组对应值如下表所示：
销售单价 x(元/千克)
55 60 65 70
销售量 y(千克)
70 60 50 40
(1)求 y(千克)与 x(元/千克)之间的函数表达式．
第七讲 一元二次方程
知识清单·熟掌握
一元二次方程的有关概念 1．定义的三要素： (1)只含有___一___个未知数． (2)所含未知数的最高次数是___2___ ． (3)必须是__整__式__方程． 2．一般形式：y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值．
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
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豪迈职校数学导学案
2.1 一元二次方程
班级：
命题人：张淑慧审核人：孙海森
学习目标
姓名：
1．理解什么是“一元二次方程” ；
2．会用配方法解一元二次方程；
一、回顾旧知：
1、同学们，你们知道什么是一元二次方程吗？你以前见过吗？判断下面几个例子是否为一元二次方程？并说明理由。
（1）
x 2
3x80
（）
3x
2
20
2
（3）7x 6 0（4）8x29
2、根据上面的一元二次方程，你知道什么是一次项，什么是二次项，什么是常数项吗？你能说出一次项系数，二次项系数是什么吗？写写吧：
一元二次方程二次项二次项系数一次项一次项系数常数项（1）x23x 80
（2）3x220
（3）7x60
（4）8x29
二、探究新知：（预习课本 20-21 页，回答下列问题。
）
1、一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 ,b24ac
（1）根的情况
000
2、你会用配方法解方程吗？观察课本21 页的四个例题的求解过程，试着自己总结一下用配方法解方程的一般步骤：
（1）
（2）
（3）
3、仿照课本 21 页例题的第 1 题，你会解下面的方程吗？（用你会的方法解一下吧）
（ 1）x26x 7 0（2）x26x 70
三、课堂检测
1、说出下列一元二次方程的根
（1）x24
（2）( x 1)( x 2) 0
（3）x(x 3) 0
（4） ( x 1)2 0
（5）x2 1 0
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（6）2（）2（）2 ( x 3)2
x 6x 7 0
783x 2x 1 0 2、用配方法解下列一元二次方程。
（1）x22x 8 0（2）x27 x 80
2
（4）t 2
3、已知关于 x 的方程x2ax a0 有两个相等的实数根，求实数 a 的值。
（3）2 x +3=7 x t 1 0
（5）x26x 9 0（6）x23x 30
四、我的收获：
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