反比例函数知识点及经典例题
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反比例函数
一、基础知识
1. 定义:一般地,形如x
k
y =
(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。 (自变量x 的取值: o x ≠) 2. 反比例函数的等价形式:
① x
k
y = ( o k ≠) ②kx y =1-(o k ≠) ③xy=k(o k ≠)
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法
① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像:
①反比例函数的图像是双曲线,由两条曲线组成。 ②双曲线永远不与坐标轴相交,但无限靠近坐标轴。 ③反比例函数的图像是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=),也是中心对称图形(原点)。
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5. 反比例函数解析式的确定:①利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k )②k 的几何意义。
6.反比例函数x k y =(0≠k )中比例系数k 的几何意义是:过双曲线x k
y =
(0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。
7. 反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数2
22
-+=k k kx y 的图像是双曲线,且在第二,四象限,那么的值是
多少?
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x
k y =
,(0≠k )即kx y =1-(0≠k )又在第二,四象限,则0 ⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<= -=0211k k k 或 1-=∴k 1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x y 1 -= 【例2】在反比例函数x y 1 -=的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。 若3210x x x >>>则下列各式正确的是( ) A .213y y y >> B .123y y y >> C .321y y y >> D .231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一:由题意得111x y - =,2 21x y -=,331x y -= 3210x x x >>> ,213y y y >>∴所以选A 解法二:用图像法,在直角坐标系中作出x y 1 -=的图像 描出三个点,满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三:用特殊值法 213321321321,1,1,2 1 1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令 【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点(22 1,),那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 【解析】 ⎩⎨ ⎧==⎪⎩ ⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132 212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得,,相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=+==+=∴2 211 11121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为 ()11--∴,另一个点为 【例4】 如图,在AOB Rt ∆中,点A 是直线m x y +=与双曲线x m y =在第一象限的交点,且2=∆AOB S ,则m 的值是_____. 图 解:因为直线m x y +=与双曲线x m y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A A A A x m y m x y = +=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2 1 2121==•= ∆.而已知2=∆AOB S . 所以4=m . 三、练习题 1.反比例函数x y 2 -=的图像位于( ) A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第二、三象限 D .第二、四象限 2.若y 与x 成反比例,x 与z 成正比例,则y 是z 的( ) A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定 A B C D 3.如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为( ) 4.某气球充满了一定质量的气体,当温度不变时, 气球气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球气压大于120 kPa 时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( ) A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于 45 m 3 5.如图 ,A 、C 是函数x y 1 =的图象上的任意两点,过A 作x 轴的垂线,垂足为B ,过C 作y 轴的垂线,垂足为D ,记Rt ΔAOB 的面积为S 1,Rt ΔCOD 的面积为S 2则 ( ) A . S 1 >S 2 B . S 1 C . S 1=S 2 D . S 1与S 2的大小关系不能确定 6.关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1 n x +的图象都经过点A (-2,1). 求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)两函数图象的另一个交点B 的坐标; (3)△AOB 的面积. 7. 如图所示,一次函数y =ax +b 的图象与反比例函数y =k x 的图象交于A 、B