导数求参数范围典型题

合集下载

最新利用导数求参数范围举例

最新利用导数求参数范围举例

利用导数求参数范围举例利用导数求参数范围举例例1.已知«Skip Record If...»(1)求a、b的值及函数«Skip Record If...»的单调区间.(2)若对«Skip Record If...»恒成立,求c的取值范围.解:(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2.已知函数«Skip Record If...»处取得极值(1)求函数«Skip Record If...»的解析式.(2)若过点«Skip Record If...»可作曲线y=«Skip Record If...»的三条切线,求实数m的取值范围.解:(1)求得«Skip Record If...»(2)设切点为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例3.已知«Skip Record If...»且«Skip Record If...»。

(1)设«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»的解析式。

(2)设«Skip Record If...»,试问:是否存在«Skip Record If...»,使«Skip Record If...»在(«Skip Record If...»)上是单调递减函数,且在(«Skip Record If...»)上是单调递增函数;若存在,求出«Skip Record If...»的值;若不存在,说明理由。

利用导数求参数范围举例

利用导数求参数范围举例

利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求a、b的值及函数)(x f 的单调区间.(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立,求c的取值范围. 解:(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ,c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3.已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。

导数的应用——利用单调性求参数的取值范围

导数的应用——利用单调性求参数的取值范围

导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中,我们首先要确定参数的取值范围是有限的,也就是参数不能无限制地取值。

然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围,从而找到参数的合理取值范围。

为了更好地理解这个方法,我们来看一个具体的例子:问题:已知函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a > 0。

如果函数f(x)在定义域内是递增函数,求参数b的取值范围。

解答:首先,我们要明确函数f(x)是递增函数的定义:对于任意的x1<x2,有f(x1)<f(x2)。

我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。

在本例中,函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。

由于函数f(x)为递增函数,所以f'(x)应该大于0。

即对于任意的x,有f'(x)>0。

我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。

这个一次函数的解为x < -b/2a。

也就是说,对于任意的x<-b/2a,有f'(x)>0。

这样一来,我们就可以得出结论,函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。

但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。

因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。

为了求出参数b的取值范围,我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。

对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说,它的定义域是所有实数集合R。

因此,对于任意实数x,函数f(x)都有定义。

由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数,所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。

如果我们假设b/2a为一个实数k,那么我们可以得出-x>k。

即对于任意的x>-k,函数f(x)是递增的。

然而,x的取值范围是所有实数,所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。

高考热点利用导数求函数参数的范围问题

高考热点利用导数求函数参数的范围问题

难点一 利用导数探求参数的范围问题1. 与函数零点有关的参数范围问题函数的零点,即的根,亦即函数的图象与轴交点横坐标,与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题),进而确定参数的取值范围. 例1(2020·全国高三专题练习)函数()()23xf x x e =-,关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根,则正数m 的取值范围为( ) A .()0,2 B .()2,+∞C .3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-',令()0f x '=,得3x =-或1x =,当3x <-时,()0f x '>,函数()f x 在(),3-∞-上单调递增,且()0f x >; 当31x -<<时,()0f x '<,函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时,()0f x '>,函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=,极小值()12f e =-,作出大致图象:令()f x t =,则方程210t mt -+=有两个不同的实数根, 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内,或者两个根都在()2,0e -内.()f x ()0f x =()f x xx因为两根之和m 为正数,所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+,因为()010g =>,所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即6336610m e e -+<,得3366e m e >+,即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选:D2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数在点处的导数就是相应曲线在点处切线的斜率,即,此类试题能与切斜角的范围,切线斜率范围,以及与其他知识综合,往往先求导数,然后转化为关于自变量的函数,通过求值域,从而得到切线斜率的取值范围,或者切斜角范围问题.例2. (2020·全国高三专题练习(理))已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-,若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ,使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切,当实数a 取最小值时,12x x +=( )A.B.2CD.4-【答案】A 【解析】2()2,f x x ax =+Q ∴ ()22f x x a '=+,∴()1122f x x a '=+,又()21112f x x ax =+,过A 点切线方程为:()21122y x a x x =+-,①又1()g x x =-Q ,∴21()g x x'=,即()2221g x x '=,又()221g x x =-,因此过B 点的切线方程为:22212y x x x =-,② 由题意知①②都为直线AB , 1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,4118x a x =-, 令4()8x h x x =-,332()122x x h x '-=-=, ()y f x =0x x ='0()f x 00(,())x f x '0()k f x =0x k令()0h x '=,x =(,0)x ∈-∞和时,()h x 单调递减,且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=,恒成立,)x ∈+∞时,()h x单调递增,x ∴=时,()min h x,1x ∴=,则2212x x==12x x ∴+=故选:A . 3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式恒成立的处理方法:①的图象永远落在图象的上方;②构造函数法,一般构造,;③参变分离法,将不等式等价变形为,或,进而转化为求函数的最值. 3.1 参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开,转化为一个已知函数的最值问题处理,关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数,一般遵循“知道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数”的原则. 例3.【河南省实验中学2019届模拟三】已知函数f (x )=e x −x −1(e 是自然对数的底数). (1)求证:e x ≥x +1;(2)若不等式f (x )>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立,求正数a 的取值范围.思路分析:(1)要证e x ≥x +1,只需证f (x )=e x ﹣x ﹣1≥0,求导得f ′(x )=e x ﹣1,利用导数性质能证明e x ≥x +1.(2)不等式f (x )>ax ﹣1在x ∈[12,2]上恒成立,即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立,令g (x )=e x −x x,x ∈[12,2],利用导数性质求g (x )=e x −x x在x ∈[12,2]上的最小值,由此能求出正数a 的取值范围.【详解】(1)由题意知,要证e x ≥x +1,只需证f (x )=e x −x −1≥0,求导得f ′(x )=e x −1,当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )=e x −1>0,当x ∈(−∞,0)时,f ′(x )=e x −1<0,∴f (x )在x ∈(0,+∞)是增函数,在x ∈(−∞,0)时是减函数,即f (x )在x =0时取最小值f (0)=0,∴f (x )≥f (0)=0,即f (x )=e x −x −1≥0,∴e x ≥x +1.(2)不等式f (x )>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立,即e x −x −1>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立,亦即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立,令g (x )=e x −x x,x ∈[12,2],以下求g (x )=e x −x x 在x ∈[12,2]上的最小值,g ′(x )=e x (x−1)x 2,当x ∈[12,1]时,g ′(x )≤0,当x ∈[1,2]]时,g ′(x )≥0,∴当x ∈[12,1]]时,g (x )单调递减,当x ∈[1,2]]时,g (x )单调递增,∴g (x )在x =1处取得最小值为g (1)=e −1,∴正数a 的取值范围是(0,e −1).()()f x g x >()y f x =()y g x =()()()F x f x g x =-min ()0F x >()a h x >()a h x <()h x3.2 构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题,但是有些函数解析式复杂,利用导数知识无法完成,或者是不易参变分离,故可利用构造函数法.例4.(2020·四川三台中学实验学校高三开学考试)已知函数()ln f x x x a =+,()ln ,g x x ax a =-∈R . (1)求函数()f x 的极值; (2)若10a e<<,其中e 为自然对数的底数,求证:函数()g x 有2个不同的零点; (3)若对任意的1x >,()()0f x g x +>恒成立,求实数a 的最大值.(1)函数()f x 的定义域为0x >,因为()ln f x x x a =+,所以()ln 1f x x =+‘,当1x e >时,()0f x >‘,所以函数()f x 单调递增;当10x e<<时,()0f x <‘,所以函数()f x 单调递减,因此1e 是函数()f x 的极小值,故函数()f x 的极值为极小值,值为11()f a e e=-+;无极大值 (2)函数()g x 的定义域为0x >,因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-,因为10a e <<,所以当1x a >时,'()0g x <,因此函数()g x 是递减函数,当10x a<<时,'()0g x >,函数()g x 是递增函数,所以函数()g x 的最大值为: max 1111()()ln ln 1g x g a a a a a==-⋅=-, 因为10a e <<,所以11ln 1e a a>⇒>,因此有max ()0g x >, 因为1e a >,所以(1)0g a =-<,因此当10x a<<时,函数()g x 有唯一零点;因为10a e <<,所以211a a >,22211111()ln 0g a a a a a =-<-<,故函数()g x 在1x a>时,必有唯一的零点,因此函数()g x 有2个不同的零点;(3)设()()()ln ln h x f x g x x x a x ax =+=++-,(1)0h =,'1()ln 1h x x a x =++-,因为211()0h x x x''=->,所以函数()h x '在1x >时单调递增,即'((2)1)h h a x '>=-当20a -≥时,即2a ≤,1x >时,'()0h x >,函数()h x 在1x >时单调递增,因此有()(1)0h x h >=,即当1x >时,()()0f x g x +>恒成立;当2a >时,''1(1)20,()10,aa h a h e e=-<=+>所以存在0(1,)a x e ∈,使得'0()0h x =,即当0(1,)x x ∈时,函数()h x 单调递减,所以此时0()()(1)0h x h x h <<=,显然对于当1x >时,()()0f x g x +>不恒成立,综上所述,2a ≤,所以实数a 的最大值为2. 4.与函数单调区间有关的参数范围问题若函数在某一个区间可导,函数在区间单调递增;函数在区间单调递减.若函数在某一个区间可导,且函数在区间单调递增恒成立;函数在区间单调递减恒成立.4.1 参数在函数解析式中转化为恒成立和恒成立问题后,利用恒成立问题的解题方法处理 例5. (2020·陕西高三月考)已知函数()sin ln f x a x b x x =+-. (1)当0,1a b ==时,证明:()1f x -„. (2)当6b π=时,若()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,求a 的取值范围. (1)证明:当0,1a b ==时,()ln f x x x =-,所以1()xf x x-'=. 令()0f x '>,得01x <<;令()0f x '<,得1x >. 所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减, 所以max ()(1)1f x f ==-, 故()1f x -„. (2)解:当6b π=时,()cos 16f x a x xπ'=+-,由题可知()0f x '≥ 所以cos 106a x xπ+-…在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即66cos x a x x π-…在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.令6(),0,6cos 3x h x x x x ππ-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,显然当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x <; ()f x D '()0f x >⇒()f x D '()0f x <⇒()f x D ()f x D ()f x D ⇒'()0f x ≥()f x D ⇒'()0f x ≤'()0f x ≥'()0f x ≤当,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0h x >. 而当,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,22cos (6)sin ()06cos x x x x h x x x ππ+-'=>, 所以()h x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 所以()13h x h π⎛⎫<=⎪⎝⎭, 所以1a …,即a 的取值范围是[1,)+∞. 点评:导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数y =f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则y =f(x)在该区间为增函数;如果f′(x)<0,则y =f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法. 4.2 参数在定义域中函数解析式确定,故可先确定其单调区间,然后让所给定义域区间包含在单调区间中. 例6.已知函数ln ()a x f x x +=,曲线ln ()a x f x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直.注:e 为自然对数的底数.(1)若函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值,求实数m 的取值范围;(2)求证:当1x >时,1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->+++. 思路分析:(1)求函数ln ()a x f x x +=的导数()f x ',由曲线ln ()a xf x x +=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直可得21()f e e '=-,可求出a 的值,这时2ln '()(0)xf x x x=->,讨论导数的符号知函数()f x 仅当1x =时,取得极值,由1(,1)m m ∈+即可求实数m 的取值范围;(2)当1x >时,1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->⇔+++11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++>++g 令(1)(ln 1)()x x g x x++=,令12()1x x e h x xe -=+,由max min()()1g x h x e ⎛⎫>⎪+⎝⎭证之即可.试题解析: (1)因为ln ()a x f x x +=,所以21ln '()a x f x x --=.又据题意,得21'()f e e =-,所以221a e e -=-,所以1a =.所以1ln ()x f x x +=.所以2ln '()(0)xf x x x=->.当(0,1)x ∈时,'()0f x >,()f x 为增函数;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x <,()f x 为减函数.所以函数()f x 仅当1x =时,取得极值.又函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值,所以11m m <<+,所以01m <<.故实数m 的取值范围是(0,1).(2)当1x >时,1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++,即为11(1)(ln 1)211x xx x e e x xe -++>++g .令(1)(ln 1)()x x g x x++=,则22[(1)(ln 1)]'(1)(ln 1)ln '()x x x x x x x g x x x ++-++-==.再令()ln x x x ϕ=-,则11'()1x x x xϕ-=-=. 又因为1x >,所以'()0x ϕ>.所以()x ϕ在(1,)+∞上是增函数.又因为(1)1ϕ=,所以当1x >时,'()0g x >. 所以()g x 在区间(1,)+∞上是增函数.所以当1x >时,()(1)g x g >,又(1)2g =,故()211g x e e >++.令12()1x x e h x xe -=+,则11122(1)(1)'2(1)'()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---+-+-==++g .因为1x >,所以122(1)0(1)x x x e e xe --<+.所以当1x >时,'()0h x <,故函数()h x 在区间(1,)+∞上是减函数.又2(1)1h e =+, 所以当1x >时,2()1h x e <+,所以()()1g x h x e >+,即1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++. 点评:本题考查了利用导数判断函数单调性等基础知识,理解单调性的概念是解题关键. 5.与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点,并且在考试卷中屡屡出现,使得恒成立问题花样推陈出新,别有一番风味,解决的关键是弄懂量词的特定含义.例7.已知函数()()22 01 0x x ax e x f x x x b⎧->⎪=⎨≤⎪⎩,,在2x =处的切线斜率为272e .(1)求实数a 的值;(2)若0x >时,()y f x m =-有两个零点,求实数m 的取值范围. (3)设()()ln x g x b f x =+-,若对于130 2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦,,总有()21 2.71828x e e e ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,…,使得()()12f x g x ≥,求实数b 的取值范围.思路分析:(1)根据导数几何意义得()27'22e f =,所以求导数()()2'222x f x e x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦列出等量关系,求解得34a =(2)利用导数研究函数()()22xf x x ax e =-单调变化趋势:在()0 1,单调递减,在()1 +∞,单调递增,再考虑端点值:()300,()2f f f ⎛⎫==+∞→+∞ ⎪⎝⎭,所以要有两个零点,需 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,(3)不等式恒成立问题,一般方法为转化为对应函数最值:()()min f x g x ≥,由前面讨论可知()()min 12ef x f ==-,所以()()ln ln 12x x e g x b b f x x ⎛⎫=+=-≤- ⎪-⎝⎭在1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有解,即1ln 21e b x x ≤-⋅-的最大值,先求ln 1x y x =-,1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,最大值,而=利用导数易得1x e =时ln 1x y x =-取最大值1e +,即()21e b e ≤-+ 试题解析:(1)0x >时,()()()()222 '222x x f x x ax e f x e x a x a ⎡⎤=-=+--⎣⎦,,由条件知()27'22e f =,∴34a =. (2)0x >时,()()22xf x x ax e =-,∴()()()1'1232x f x e x x =-+,()f x 在()0 1,单调递减,在()1 +∞,单调递增,()3002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,则()min 12e f f ==-,∴ 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,时,()y f x m =-有两个零点. (3)由题意,即要()()min min f x g x ≥ (*)当0x >时,()232xf x x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由(2)知()()min 12e f x f ==-,当0x >时,0x -<,∴()()ln ln 1x x g x b b f x x ⎛⎫=+=- ⎪-⎝⎭,()2ln 1'x g x b x -=⋅,∵21 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,∴2ln 10x x -≤.①若0b >,()g x 在1 e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,()()min 11g x g e b e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∵()()min min f x g x <,∴(*)不成立.②若0b <,()g x 在1 e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数,()()min 11g x g b e e ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.要使()()min min f x g x ≥,只要()12e b e -≥+,则()21e b e ≤-+. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 综合上述五种类型,利用导数求解含参问题时,首先具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等),其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧,比如参变分离法,分类讨论思想和数形结合思想等,涉及极值和最值问题时,一般情况下先求导函数,然后观察能否分解因式,若能则比较根的大小,并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数大致图像;若不能分解因式,则考虑二次求导,研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕,关键在于通过解题不断摸索解题思路,形成一种解题格式和套路.。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0),求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=(a 〉0)求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。

(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。

解:(Ⅰ)当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ)由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ,由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内,但不知它们之间 的大小。

因此,需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

(1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,(),a +∞内为减函数,在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

例说高考题中的利用导数求参数范围

例说高考题中的利用导数求参数范围

例说高考题中的利用导数求参数范围导数,作为解决与高次函数有关问题的一种工具,有着无可比拟的优越性。

一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略:利用“要使a x f >)(成立,只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可;要使a x f <)(成立,只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1(05湖北理)已知向量a =(2x ,1+x ),a =(x -1,t ),若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.解析:由向量的数量积定义,)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x-+2x +tx +t∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数,则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上,max)(x g =)1(-g =5,故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立,只需t ≥)1(-g 即可,即t ≥5.即t 的取值范围是[5,∞).点评:本题除了用导数反映单调性,还借助了二次函数的性质求出最值,且要注意边界值的取舍。

例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立,求实数a 的取值范围. 解析:注意到不等式的次数较高,应想到构造函数,求导.令)(x f =4x -22x ,则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x ),令)(x f '=0,解得,x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下:因为)(x f 在R 上的极值只有一个,故此极小值即为最小值,即m in)(x f =)1(f = -1,∴m in)(x f = -1>a -2,即a >3.点评:本题是利用导数求得函数的最值,进而求出参数范围的。

导数题中求参问题的常见解法

导数题中求参问题的常见解法

导数题中求参问题的常见解法方法一:函数最值法例一:设函数f(x)=e2x+ae x a∈R。

(1)当a=-4时,求f(x)的单调区间;(2)若对任意的x∈R,f(x)≥a2x 恒成立,求实数a的取值范围。

+2lnx 。

练习:设函数f(x)=1x(1)讨论函数f(x)的单调性。

(2)如果对所有x≥1 ,都有f(x)≤ax,求a的取值范围。

方法二:分离参数法例二:已知f(x)=ln x-x3+2e x2-ax,a∈R,其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)在x=e处的切线的斜率为e2,求a;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.练习:已知函数f(x)=e x−asinx−1 (a∈R)。

(1)若a=1,求f(x)在x=0处的切线方程;(2)若f(x)≥0对一切x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围。

方法三:变换后构造新函数法(重点在变换)例三:已知函数f(x)=ax2−ax,g(x)=xlnx ,若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的值。

练习:已知函数f(x)=alnx−2ax+1,对任意x≥1,f(x)≥−e x−1恒成立。

求实数a的取值范围。

(本题的重点在处理方法)方法四切线法例四:已知(1−x2)e x≤ax+1,对x≥0恒成立,求a的取值范围。

练习:1、已知函数f (x )=(x +1)lnx −a(x −1)。

(1) 当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2) 若当x ∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a 的取值范围。

2、若函数f (x )=lnx −e x −2mx +n ,f(x)≤0对任意x ∈(0,+∞)都成立,求n m 的最大值。

法五::不等式法例题五:已知函数f (x )=x (e 2x −a )−lnx ,若f(x)≥1在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A 、 (−∞,e −1]B 、 (−∞,e −1)C 、 (−∞,2]D 、(−∞,2)解:因为f (x )≥1在(0,+∞)恒成立,所以a ≤xe 2x −lnx−1x 令h (x )=e lnx e 2x −lnx−1x =e lnx+2x −lnx−1x ≥lnx+2x+1−lnx−1x =2练习:1已知函数f (x )=axe x (a ∈R,e 为自然对数的底数),g (x )=lnx +kx +1(k ∈R).(1) 若k=-1,求函数g(x)的单调区间。

导数含全参数问题经典

导数含全参数问题经典

导数含参数问题类型一:没有其他未知字母情况下,求单调性,极值,最值例1:设函数32()91(0).f x x ax x a=+--若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线12x +y =6平行,求:(Ⅰ)a 的值;(Ⅱ)函数f (x )的单调区间.解:(Ⅰ) 3,0, 3.a a a =±<=-由题设所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知323,()391,a f x x x x =-=---因此 212()3693(3(1)()0,1, 3.(,1)()0,()(1(1,3)()0,()13()0,()3.()(,13f x x x x x f x x x x f x f x x f x f x f x f x f x '=--=-+'==-='∈-∞->-∞-'∈-<-'∈∞>+∞-∞-+∞令解得:当时,故在,)上为增函数;当时,故在(,)上为减函数;当x (3,+)时,故在(,)上为增函数由此可见,函数的单调递增区间为)和(,);单调递减区13.-间为(,) 变式训练1:设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ,其中a b ∈R ,. (Ⅰ)当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;(Ⅰ)解:322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++. 当103a =-时,2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--.令()0f x '=,解得10x =,212x =,32x =.()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭,,(2)+,∞是增函数,在(0)-∞,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭,内是减函数. (Ⅱ)解:2()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程24340x ax ++=的根. 为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24340x ax ++≥恒成立,即有29640a ∆=-≤. 解此不等式,得8833a -≤≤.这时,(0)f b =是唯一极值. a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,. 类型二:结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题例2:设a 为实数,函数32()f x x x x a =--+。

2022届高中数学导数通关练习专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)

2022届高中数学导数通关练习专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)

6.函数 f x 1 x3 ax2 2x 1 在 x 1, 2 内不单调,则( )
3
A. 1 a 1
2
2
B. 1 a 1
2
2
C. a 1 或 a 1
2
2
D. a 1 或 a 1
2
2
【解析】由题设, f (x) x2 2ax 2 ,∴ f (1) 2a 1 , f (2) 2 4a ,∵在 x 1, 2 内不单调,
x
a
1
ln
x
,若对任意
x1
,
x2
(0,
2]
,且
x1
x2 ,都有
f
x2 f x1
x2 x1
1,则实数 a 的取
值范围是( )
A.
,
27 4
B. (, 2]
C.
,
27 2
D. ,8
学科 网(北 京)股 份有限 公司
二、多选题
9.若函数 f (x) 1 x 2 9 ln x ,在区间m 1,m 1 上单调,则实数 m 的取值范围可以是(
20.已知函数 f (x) 1 x 4 x 3 9 x 2 cx 1 有三个极值点.
4
2
(1)求 c 的取值范围;
(2)若存在 c 27 ,使函数 f (x) 在区间[a, a 2]上单调递减,求 a 的取值范围.
21.已知函数 f x 2ln x 1 ax2 2a 1 x
2
(1)若 f x 在 2, 上单调,求 a 的取值范围; (2)若 f x 在 2, 上有极小值 g a ,求证: g a 4 ln 2 4 .
f (x) 1 1
1 x
(x
a 1)2

例说高考题中的利用导数求参数范围

例说高考题中的利用导数求参数范围

例说高考题中的利用导数求参数范围导数,作为解决与高次函数有关问题的一种工具,有着无可比拟的优越性。

也越来越受到高考命题专家的“青睐”。

其中,利用导数求参数的取值范围,更是成为近年来高考的热点。

在04年高考中,湖北、辽宁等地考查了这点;在05年的高考中,湖北、辽宁、湖南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点,甚至很多都安排在倒数第一、二题的位置上!现以04和05年的几道高考题为例,探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。

一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略:利用“要使a x f >)(成立,只需使函数的最小值a x f >m in)(恒成立即可;要使a x f <)(成立,只需使函数的最大值a x f <m ax)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1(05湖北理)已知向量a =(2x ,1+x ),a =(x -1,t ),若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.解析:由向量的数量积定义,)(x f =2x (x -1)+(1+x)t =3x-+2x +tx +t∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数,则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上,max)(x g =)1(-g =5,故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立,只需t ≥)1(-g 即可,即t ≥5.即t 的取值范围是[5,∞).点评:本题除了用导数反映单调性,还借助了二次函数的性质求出最值,且要注意边界值的取舍。

例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立,求实数a 的取值范围. 解析:注意到不等式的次数较高,应想到构造函数,求导.令)(x f =4x -22x ,则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于min)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x ),令)(x f '=0,解得,x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下:x(-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) )(x f ' - 0 - 0 + )(x f↘无极值↘极小值↗因为)(x f 在R 上的极值只有一个,故此极小值即为最小值,即min)(x f =)1(f = -1,∴min)(x f = -1>a -2,即a >3.点评:本题是利用导数求得函数的最值,进而求出参数范围的。

利用导数求参数的取值范围

利用导数求参数的取值范围
⇔f(x)min≥g(x)max;
(3)∃x1∈[a , b] , ∃ x2∈[c , d] , 有 f(x1)≥g(x2) 成 立
⇔f(x)max≥g(x)min;
(4)∃x1∈[a , b] , ∀ x2∈[c , d] , 有 f(x1)≥g(x2) 成 立
⇔f(x)max≥g(x)max.
热点聚焦 ·题型突破
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
规律方法 极值点的个数,一般是使 f′(x)=0 方程根的个数, 一般情况下导函数若可以化成二次函数,我们可以利用判别式 研究,若不是,我们可以借助导函数的性质及图象研究.
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
[微题型 2] 与逻辑联结词有关的求参数范围问题 【例 2-2】 (2014·湖北八市联考改编)定义在 R 上的函数 g(x) 及二次函数 h(x)满足: g(x)+2g(-x)=ex+e2x-9,h(-2)=h(0)=1 且 h(-3)=-2. (1)求 g(x)和 h(x)的解析式; (2)对于∀x1,x2∈[-1,1]均有 h(x1)+ax1+5≥g(x2)-x2g(x2)成 立,求 a 的取值范围.
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
(2)设 φ(x)=h(x)+ax+5=-x2+(a-2)x+6,
F(x)=g(x)-xg(x)=ex-3-x(ex-3)=(1-x)ex+3x-3.
依题意知:当 x∈[-1,1]时,φ(x)min≥F(x)max. ∵F′(x)=-ex+(1-x)ex+3=-xex+3,易知 F′(x)在[-1,1]
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
科目1考试网 / 科目1考试 科目1考试网 /shiti/a/ 科目一考试C1试题 科目1考试网 /shiti/d/ 科目一考试B2试题 科目一考试网 / 科目一模拟考试2016题库 科目一考试网 /c1/ 科目一模拟考试C1 科目一考试网 /c2/ 科目一模拟考试C2 科目一考试网 /a2/ 科目一模拟考试A2 科目一考试网 /b2/ 科目一模拟考试B2 科目一考试网 /a1/ 科目一模拟考试A1 科目一考试网 /a3/ 科目一模拟考试A3

导数中参数范围的求法

导数中参数范围的求法

导数中的参数范围的求法一、 与单调性有关的参数问题此时参数可以位于函数中也可以位于区间内,常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调,研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系,这里需要注意的一个问题:若函数单调,则恒为非正或非负,函数()f x '()f x 的极值点并不等同于导函数的零点,极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。

例1.已知函数在区间上单调递减,求的取值范围。

32()39f x x x x =--(,21)a a -a 解析:先根据函数单调性作出函数的趋势图像,再安排存在参数的区间位置即可。

'2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+-令,则或;令,则,作出趋势图像如下:'()0f x >3x >1x <-'()0f x <13x -<<函数在区间上单调递减,需满足(,21)a a -12131221a a a a a ≥-⎧⎪-≤⇒<≤⎨⎪->⎩例2.已知函数在上是减函数,求实数的取值范围。

22()ln f x x a x x=++[1,4]a 解析:转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可, '22()2a f x x x x=+-在上是减函数,即在上恒成立 [1,4]'22()02f x a x x≤⇒≤-+[1,4]令,因为在上递减,则 22()2g x x x =-+()g x [1,4]min 63()(4)2g x g ==-所以 632a ≤-例3.已知函数,若函数在区间(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈()2()()xf x G x ag x a x=++上为单调函数,求的取值范围。

[1,)+∞a 解析:题目只是说明函数是单调函数,并未说明是单增还是单减,因此需要分两种情况讨论,将单调性转化为参数恒成立问题即可。

利用导数求单调区间的一些大题(含答案)

利用导数求单调区间的一些大题(含答案)

例1.1.已知函数已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值处有极值. . (1) 求函数()f x 的单调区间;的单调区间;(2) 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点,求b 的取值范围。

的取值范围。

例2.已知函数232)1(31)(x k x x f +-=,k x x g -=31)(,且)(x f 在区间),2(+¥上为增函数.函数.(1)、求实数k 的取值范围;的取值范围; (2)、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.的取值范围.解:解:(1) (1) (1) 由由321()3f x x ax b =-+,得22'()32f x x ax a =--令222a '()320,=-,(0)3f x x ax a x a a =--==>1得x当(),'()x f x f x 变化时,的变化情况如下表:x (,)3a -¥-3a- (,)3a a - a(,)a +¥()f x+_ 0 +'()f x极大值极大值极小值极小值由上述表格可知,32235()=()()()()11333327a a a a f x f a a a -=-----+=+极大值3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值(2)(2)由(由(由(11)可知()(,)(,)3a f x a -¥-+¥在和上单调递增,在-a(,a ,a))3上单调递减,上单调递减, 当33501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327a a f x f a f x <£-=+>³极大值极小值a()-y f x \=¥在(,+)3上最多只有一个实数根,且此零点仅在1a =时取得时取得又()y f x =在(,)3a -¥-上单调递增,且2(1)(1)0f a a a a -=-=-£()--y f x \=¥a在(,)3上最多有一个实数根上最多有一个实数根 于是,当01a <£时,函数()y f x =有1个或2个零点,即函数()y f x =至多有两个实数根。

利用导数解决已知单调区间求参数范围问题

利用导数解决已知单调区间求参数范围问题

利用导数解决已知单调区间求参数范围问题1..若函数f(x)=ln(ax+1)+1−x1+x(x≥0,a>0)在区间[1,+∞)单调递增,则a的取值集合为解析:2.f(x)=−13x3+12x2+2ax,若f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间,则a的取值范围是解析:3.若函数f(x)=x3−3ax2−2x+5在(0,1)内单调递减,则实数a 的取值范围是解析:4.已知函数f(x)=(x2+bx+b)√1−2x(bϵR),若f(x)在区间(0,1)上单调递增,求b的取值范围3解析:5. 已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.若f(x)在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围.解析:6.已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R).若函数f(x)在区间[1,∞]上是减函数,求实数a的取值范围.解析:7.设f(x)=e x/(1+ax2),其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.解析:8.若函数f(x)=log a(x 3−ax)(a>0,且a≠1)在区间(−12,0)内单调递增,则a 的取值范围是9.函数f(x)=2x2−lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是解析:10. 设函数f(x)=1/3 x3-a/2 x2+bx+c,曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.设函数g(x)= f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.练习题:1.已知函数f(x)=x3−ax2−3x+1在R上不是单调函数,求a的取值范围。

2. 已知函数f (x )=x −ax 2−lnx (a>0)是单调函数,求a 的取值范围3.已知函数32()31f x x ax x =-++在R 上不是单调函数,求参数a 的取值范围;4.已知函数()ln 23f x x x =-++,若函数32'1()()3g x x x f x m =++(其中为的导 数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数的取值范围. )(x f ')(x f m。

导数求参数范围典型题

导数求参数范围典型题

类型1.参数放在函数表达式上例1.设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23.的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=基础训练:.)().2(;)().1(1,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=类型2.参数放在区间边界上例2.已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点p(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.(1) 求)(x f 的表达式(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.基础训练:.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=二.已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求a、b的值及函数)(x f 的单调区间.(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立,求c的取值范围.总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.基础训练:__________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=类型2.参数放在区间上例4.已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.(1) 求)(x f 的解析式.(2) 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.基础训练:.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ,x a x x -≥-三.知函数图象的交点情况,求参数的取值范围.例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.基础训练:轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f ax x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=四. 开放型的问题,求参数的取值范围。

利用导数求参数的取值范围

利用导数求参数的取值范围

高考题中的利用导数求参数范围一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略:利用“要使a x f >)(成立,只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可;要使a x f <)(成立,只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查与应用最多的一种.例1已知向量a =(2x ,1+x ),a =(x -1,t ),若b a x f •=)(在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.解析:由向量的数量积定义,)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x -+2x +tx +t若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数,则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上,max)(x g =)1(-g =5,故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立,只需t ≥)1(-g 即可,即t ≥5. 即t 的取值范围是[5,∞).点评:本题除了用导数反映单调性,还借助了二次函数的性质求出最值,且要注意边界值的取舍。

例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立,求实数a 的取值范围. 解析:注意到不等式的次数较高,应想到构造函数,求导.令)(x f =4x -22x ,则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x ),令)(x f '=0,解得,x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下:)(x f m in)(x f =)1(f = -1,∴m in)(x f = -1>a -2,即a >3.点评:本题是利用导数求得函数的最值,进而求出参数范围的。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

类型1.参数放在函数表达式上
例1.设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23.
的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.
,3)()1(-∞=
基础训练:
.)().2(;
)().1(1
,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=
类型2.参数放在区间边界上
例2.已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点p(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.
(1) 求)(x f 的表达式
(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.
总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.
基础训练:
.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=
二.已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围
类型1.参数放在不等式上
例3.已知时都取得极值与在13
2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求a、b的值及函数)(x f 的单调区间.
(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立,求c的取值范围.
总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.
基础训练:
__________)(]2,1[,522)(.32
3
的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=
类型2.参数放在区间上
例4.已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.
(1) 求)(x f 的解析式.
(2) 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.
基础训练:
.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ,x a x x -≥-
三.知函数图象的交点情况,求参数的取值范围.
例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值
(1) 求函数)(x f 的解析式.
(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.
总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.
基础训练:
轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f a
x x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=
四. 开放型的问题,求参数的取值范围。

例6.已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。

(1)设)]([)(x f f x g =,求)(x g 的解析式。

(2)设)()()(x f x g x λϕ-=,试问:是否存在R ∈λ,使)(x ϕ在(1,-∞-)上是单调递减函数,且在(0,1-)上是单调递增函数;若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由。

相关文档
最新文档