高考热点利用导数求函数参数的范围问题

难点一 利用导数探求参数的范围问题

1. 与函数零点有关的参数范围问题

函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 例1（2020·全国高三专题练习）函数()()

2

3x

f x x e =-，关于x 的方程()()2

10f

x mf x -+=恰有四个不

同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞

C ．3360,6e e ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

D ．336,6e e ⎛⎫

++∞ ⎪⎝⎭

【答案】D 【解析】

()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，

当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()36

3f e

-=

，极小值()12f e =-，作出大致图象：

令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,

e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

内，

或者两个根都在()2,0e -内.

()f x ()0f x =()f x x

x

因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.

令()2

1g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3

366

e m e >+，

即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫

++∞ ⎪⎝⎭

.

故选：D

2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题

函数在点处的导数就是相应曲线在点处切线的斜率，即，此

类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量的函数，通过求值域，从而得到切线斜率的取值范围，或者切斜角范围问题．

例2. （2020·全国高三专题练习（理））已知函数21()2,()f x x ax g x x

=+=-，若存在点

()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =

和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，

12x x +=（ ）

A

．B

．2

C

D

．4

-

【答案】A 【解析】

2()2,f x x ax =+Q ∴ ()22f x x a '

=+，∴()1122f x x a '=+，又()2

1112f x x ax =+，

过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x =-Q ，∴21()g x x

'

=，即()2221g x x '=，

又()221g x x =-

，因此过B 点的切线方程为：222

12

y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB , 1

222121222x a x x x ⎧

+=⎪⎪⎨

⎪-=-⎪⎩

，4

118x a x =-， 令4()8

x h x x =-，332()122x x h x '-=-=

， ()y f x =0x x ='0()f x 00(,())x f x '

0()k f x =0x k

令()0h x '=

，x =

(,0)x ∈-∞

和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，

恒成立，)x ∈+∞时，()h x

单调递增，x ∴=时，()min h x

，1x ∴=，

则221

2

x x

=

=

12x x ∴+=故选：A . 3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题

含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；

②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，

或，进而转化为求函数的最值. 3.1 参变分离法

将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则． 例3．【河南省实验中学2019届模拟三】已知函数f （x ）=e x −x −1（e 是自然对数的底数）． （1）求证：e x ≥x +1；

（2）若不等式f （x ）＞ax −1在x ∈[1

2,2]上恒成立，求正数a 的取值范围．

思路分析：（1）要证e x ≥x +1，只需证f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，求导得f ′（x ）＝e x ﹣1，利用导数性质能证明e x ≥x +1．（2）不等式f （x ）＞ax ﹣1在x ∈[1

2，2]上恒成立，即a ＜e x −x x

在x ∈[1

2，2]上恒成立，令g （x ）=

e x −x x

，x ∈[1

2，2]，

利用导数性质求g （x ）=

e x −x x

在x ∈[1

2，2]上的最小值，由此能求出正数a 的取值范围．

【详解】（1）由题意知，要证e x ≥x +1，只需证f (x )=e x −x −1≥0，求导得f ′(x )=e x −1，当x ∈(0，+∞)时，f ′(x )=e x −1>0，当x ∈(−∞,0)时，f ′(x )=e x −1<0，∴f （x ）在x ∈(0，+∞)是增函数，在x ∈(−∞,0)时是减函数，即f (x )在x =0时取最小值f (0)=0，∴f (x )≥f (0)=0，即f (x )=e x −x −1≥0，∴e x ≥x +1．

（2）不等式f (x )>ax −1在x ∈[1

2

,2]上恒成立，即e x −x −1>ax −1在x ∈[1

2

,2]上恒成立，亦即a <

e x −x x

在x ∈[1

2，2]上恒成立，令g （x ）=

e x −x x

，x ∈[1

2,2]，以下求g (x )=

e x −x x 在x ∈[1

2,2]上的最小值，g ′(x )=

e x (x−1)x 2

,

当x ∈[1

2,1]时，g ′(x )≤0，当x ∈[1,2]]时，g ′(x )≥0，∴当x ∈[1

2,1]]时，g (x )单调递减，当x ∈[1,2]]时，g (x )单调递增，∴g (x )在x =1处取得最小值为g (1)=e −1，∴正数a 的取值范围是(0,e −1)．

()()f x g x >()y f x =()y g x =()()()F x f x g x =-min ()0F x >()a h x >()a h x <()h x