利用导数求参数范围举例

利用导数求参数范围举例

例1.已知时都取得极值与在13

2

)(2

3

=-

=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．

(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,2

1

-=-

=b a 2

122)2(]2,1[)(,2)2(,2

1

)1(2

3

)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f c

f c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由

例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.

(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=

(2)设切点为33)(),3,(2'03

00-=-x x f x x x M 因为

200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**

=++---=----=-则设有三个不同的实数根

的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)

2,3(2

30

)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(1

00)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。

（1）设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式。

（2）设)()()(x f x g x λϕ-=，试问：是否存在R ∈λ，使)(x ϕ在（1,-∞-）上是单调递减函数，且在（0,1-）上

是单调递增函数；若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 解：（1）易求c=1,22)(24++=x x x g

（2）)()()(x f x g x λϕ-=＝)2()2(24λλ-+-+x x ，∴)]2(2[2)(2λϕ-+='x x x

由题意)(x ϕ在（1,-∞-）上是单调递减函数，且在（0,1-）上是单调递增函数知，0)1(=-ϕ是极小值，∴由

0)1(=-'ϕ得4=λ

当4=λ，)0,1(-∈x 时，,0)(>'x ϕ∴)(x ϕ是单调递增函数；

)1,(--∞∈x 时，,0)(<'x ϕ∴)(x ϕ是单调递减函数。所以存在4=λ，使原命题成立。

例4.已知a 是实数，函数()()f x x x a =

-

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。

解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，()()'

3330222a x x a x a f x x x x x x

⎛

⎫- ⎪

--⎝⎭=+==>，由'()0f x =得3a x =。

考虑

3

a 是否落在导函数'

()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。 （1） 当0a ≤时，则'

()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'

()0f x >，得3a x >

；由'

()0f x <，得03

a x <<。 因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3

a

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

。

（Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1） 当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()00g a f ==。 （2） 当0a >时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

上单调递增，所以：

① 当

()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23a ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增，

所以()2333a a a g a f ⎛⎫

==- ⎪⎝⎭

932a a -=。 ② 当

[)2,3

a

∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()()()222g a f a ==-。 综上所述，()()0,02,06

33

22,~6a a a

g a a a a ⎧≤⎪

⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎩

（ii ）令()62g a -≤≤-。 ①若0a ≤，无解； ②若06a <<，由26233

a a

-≤-≤-解得36a ≤<； ③ 若6a ≥，由()6222a -≤

-≤-解得6232a ≤≤+。

综上所述，a 的取值范围为3232a ≤≤+。

例5.已知函数()()22

21

1

ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()()()()()

2

2

'

2222

122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛

⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。 由()'

0f

x =，得121

,x x a a =-=。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的

取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1） 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-

⎪⎝

⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭

为增函数。故函数()f x 在11x a =-

处取得极小值2

1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。