高二导数求参数范围练习题
最新利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例利用导数求参数范围举例例1.已知«Skip Record If...»(1)求ａ、ｂ的值及函数«Skip Record If...»的单调区间．(2)若对«Skip Record If...»恒成立，求ｃ的取值范围．解：(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2.已知函数«Skip Record If...»处取得极值(1)求函数«Skip Record If...»的解析式.(2)若过点«Skip Record If...»可作曲线y=«Skip Record If...»的三条切线,求实数m的取值范围.解:(1)求得«Skip Record If...»(2)设切点为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例3．已知«Skip Record If...»且«Skip Record If...»。
（1）设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的解析式。
（2）设«Skip Record If...»，试问：是否存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»在（«Skip Record If...»）上是单调递减函数，且在（«Skip Record If...»）上是单调递增函数；若存在，求出«Skip Record If...»的值；若不存在，说明理由。
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数321()33f x x x ax =-+(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.2．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 3．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <4．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e xaxf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.8．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值． 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题 1．(1)23(2)单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间. (1)由321()33f x x x ax =-+，可得2()23f x x x a '=-+，故由()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π得(1)1f '=， 即21231,3a a -+==； (2)1a =-时，321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=--，令2()230f x x x '=-->，则1x <- 或3x > ， 令2()230f x x x '=--<，则13x ，故()f x 的单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- .2．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<-所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα->所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->3．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥， 设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞ (2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ， 不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 4．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x xx x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去，列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =， 所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0xx x g x x -++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.8．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】 【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==.(2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.(1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-.(2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22e f =-+=-， 所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调递增区间为(-∞，)+∞；单调递减区间为( (2)55a -<+【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．(1)由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=， 解得12x =-，12x =， 所以当2x >或2x <-时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，； 单调递减区间为(22)-，.(2)由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，又(2542f -=-2542f =+所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a =有三个不等实根.。
高考数学提分：利用导数解决单调性中求参数问题(选填)含答案
利用导数解决单调性中求参数问题(选填)热点题型归纳 1题型一：已知函数y =f (x )在区间D 上单调 1题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间 6题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调 8题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D 11题型五：已知函数f x 有三个单调区间 13最新模考题组练 16热点题型归纳题型一：已知函数y =f (x )在区间D 上单调【典型例题】例题1.(2022·重庆市第七中学校高二阶段练习)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(1,+∞)D.(-∞,-2]例题2.(2022·全国·高二课时练习)若函数f (x )=x 2-ax +a e x 在区间(-1,0)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]例题3.(2022·陕西咸阳中学高三阶段练习(理))已知函数f x =ax 2+2x -e x ，若对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n <2成立，则a 的取值范围是( )A.-∞,12B.-∞,1C.-∞,e2D.-∞,e 【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上单调①已知f x 在区间D 上单调递增⇔∀x ∈D ，f x ≥0恒成立.②已知f x 在区间D 上单调递减⇔∀x ∈D ，f x ≤0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.【变式演练】1.(2021·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习(文))若f (x )=-12x 2+(a +2)x +ln x 在(1,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C.[-2,+∞)D.-∞,-22.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.0,12B.12,+∞C.(0,1]D.[1,+∞)3.(2022·陕西省宝鸡市长岭中学高二期中(理))若函数h x =2x -kx在1,+∞ 上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A.-2,+∞B.2,+∞C.-∞,-2D.-∞,24.(2022·山西临汾·高三期中)设函数f (x )=ln x +mx ，若对任意b >a >1，f (b )-f (a )b -a <1恒成立，则m 的取值范围是( )A.0,+∞B.0,+∞C.14,+∞D.14,+∞题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间【典型例题】例题1.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(文))若函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A.3,+∞B.3,+∞C.-∞,3D.-∞,3例题2.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=12ax 2+x ln x -x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A.-1e,1 B.-1e,+∞ C.-1,+∞D.-∞,1e【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上存在单调区间①已知f x 在区间D 上存在单调增区间⇔∃x ∈D ，f (x )>0有解.②已知f x 在区间D 上存在单调减区间⇔∃x ∈D ，f (x )<0有解.【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.72,+∞D.72,+∞2.(2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习)若函数f (x )=x 2-4ex -ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为__________．题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调【典型例题】例题1.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))已知函数f x =1-x ln x +ax 在1,+∞ 上不单调，则a 的取值范围是( )A.0,+∞B.-∞,0C.0,+∞D.-∞,0例题2.(2022·广西河池·高二阶段练习(理))若函数f x =2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间k -1,k +1上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-12,32B.32,2C.1,2D.1,32【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上不单调⇔∃x 0∈D ，使得f x 0 =0(其中x 0为变号零点)【变式演练】1.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤42.(2022·四川省资阳中学高二期中(理))已知函数f (x )=ln x -ax -2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.12,1B.12,1C.13,12D.12,233.(2022·江西·金溪一中高二阶段练习(理))已知函数f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.2,18B.2,18C.-∞,2 ∪18,+∞D.2,184.(2022·上海大学市北附属中学高一期中)若函数y =2x 2-kx +8在区间2,5 上不是单调函数，则实数k 的取值范围________.题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D【典型例题】例题1.(2021·四川省成都市玉林中学高二期中(文))已知函数f (x )=x 2-ax -1 e x -1在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，则函数f (x )在[-2,2]的值域是( )A.[-1,e ]B.[-e ,e 2]C.[e -1,5e -2]D.[5e -2,e 2]例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-1B.-53,-54C.-53,1D.-53,-54【变式演练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f (x )=13ax 3+12bx 2+cx +d (a ,b ,c ,d ∈R )的单调递增区间是(-3,1)，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b2.(2022·福建漳州·高二期末)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的单调递减区间是[-4,-2]，则关于x 的不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集是__________.题型五：已知函数f x 有三个单调区间【典型例题】例题1.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2例题2.(2019·江苏盐城·一模)已知函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________.【提分秘籍】已知函数f x 有三个单调区间⇔f (x )=0有两个不同的实数根.【变式演练】1.(2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末(文))若函数y =-43x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________________．2.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(文))若函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，则a 的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.-∞,0D.0，+∞3.(2016·黑龙江双鸭山·高二阶段练习)若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.(-3,+∞)B.-3，+∞C.(-3,0)⋃(0,+∞)D.(-∞,0)⋃(0,3)4.(2020·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________．最新模考题组练一、单选题1.(2019·四川自贡·高二期末(理))函数f x =ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )A.-∞,115B.0,115C.-∞,0 ∪0,115D.-∞,02.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-23.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文))若函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，则k 的取值范围为( )A.12,+∞B.2,+∞C.14,+∞D.4,+∞4.(2021·江苏·张家港高级中学高三期中)若函数f x =ln x +ax 2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A.-2,+∞B.-18,+∞ C.-18,-2D.-2,+∞5.(2023·全国·高三专题练习)若函数f (x )=x 2+x -ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-32,34B.12,3C.-32,3 D.12,346.(2022·福建福州·高三期中)已知函数f x =ae x +4x ，对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞)，且x 1≠x 2，不等式f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞B.2e 3,+∞ C.2e,+∞D.2e 3,+∞7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 4+x -1 e x 在区间1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.-e 4,-e 216B.-e 4,-e 216C.-e 336,-e 216D.-e 4,-e 3168.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4二、填空题9.(2016·山东济宁·高二阶段练习(文))若函数f (x )=x 3+bx 2+x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为___________．10.(2015·江苏宿迁·高二期中)若函数y =-43x 3+bx 2-2x +5有三个单调区间，则实数b 的取值范围为______．11.(2022·福建·莆田第三中学高三阶段练习)已知函数f x =3ln x -kx +kx，若f x 在定义域内为单调递减函数，则实数k 的最小值为__________________．12.(2022·上海·上外附中高三阶段练习)f x =-13x 3+12x 2+2ax ，若f x 在23,+∞ 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______13.(2022·全国·模拟预测)若函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，则实数a 的取值范围是______.14.(2021·江苏·高二专题练习)已知函数f(x)=x3-ax2在[2,4]上不是单调函数，则实数a的取值范围是_________．利用导数解决单调性中求参数问题(选填)热点题型归纳 1题型一：已知函数y=f(x)在区间D上单调 1题型二：已知函数f x 在区间D上存在单调区间 6题型三：已知函数f x 在区间D上不单调 8题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D 11题型五：已知函数f x 有三个单调区间 13最新模考题组练 16热点题型归纳题型一：已知函数y=f(x)在区间D上单调【典型例题】例题1.(2022·重庆市第七中学校高二阶段练习)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(1,+∞)D.(-∞,-2]【答案】A【详解】由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)，f (x)=k-1 x，因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f (x)≥0在(1，+∞)上恒成立，即k≥1x，又函数y=1x在(1，+∞)上单调递减，所以k≥1.故选：A例题2.(2022·全国·高二课时练习)若函数f(x)=x2-ax+ae x在区间(-1,0)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]【答案】D【详解】由f(x)=x2-ax+ae x得f x =e x x2+2-ax=xe x x+2-a，由于函数f(x)=x2-ax+ae x在区间(-1,0)内单调递减，即f x ≤0在(-1,0)上恒成立，即x+2-a≥0，即得a≤x+2在(-1,0)恒成立，所以a≤1，故选：D.例题3.(2022·陕西咸阳中学高三阶段练习(理))已知函数f x =ax 2+2x -e x ，若对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n <2成立，则a 的取值范围是( )A.-∞,12B.-∞,1C.-∞,e 2D.-∞,e 【答案】C【详解】因为对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n<2成立，所以对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -2m <f n -2n .设g x =f x -2x =ax 2-e x ，则g x 在0,+∞ 为减函数.g x =2ax -e x ，等价于x ∈0,+∞ ，2ax -e x ≤0恒成立，即x ∈0,+∞ ，2a ≤e xx恒成立.设h x =e x x ，h x =e x x -e xx 2=e x x -1 x 2，所以x ∈0,1 ，h x <0，h x 为减函数，x ∈1,+∞ ，h x >0，h x 为增函数，所以h x min =h 1 =e ，所以2a ≤e ，即a ≤e2.故选：C【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上单调①已知f x 在区间D 上单调递增⇔∀x ∈D ，f x ≥0恒成立.②已知f x 在区间D 上单调递减⇔∀x ∈D ，f x ≤0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.【变式演练】1.(2021·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习(文))若f (x )=-12x 2+(a +2)x +ln x 在(1,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.[-2,+∞)D.-∞,-2【答案】D【详解】由题意可得：当x >1时，f x =-x +a +2 +1x ≤0，即a ≤x -1x-2.因为y =x 和y =-1x 在(1,+∞)上单增，所以y =x -1x-2在(1,+∞)上单增，所以y >-2，所以a ≤-2.故选：D2.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.0,12B.12,+∞C.(0,1]D.[1,+∞)【答案】B【详解】解：∵函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，∴当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )=1-2ax 2x ≤0，∴a ≥12x 2在x ∈(1,+∞)时恒成立，即a ≥12x 2 max ，x ∈(1,+∞)，又∵y =12x 2在1,+∞ 单调递减，故y max =12×12=12，故a ∈12,+∞ ．故选：B ．3.(2022·陕西省宝鸡市长岭中学高二期中(理))若函数h x =2x -kx在1,+∞ 上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A.-2,+∞ B.2,+∞C.-∞,-2D.-∞,2【答案】A【详解】h x =2+k x 2=2x 2+kx 2，因为h x 在1,+∞ 上是增函数，所以h x ≥0对x ∈1,+∞ 恒成立，则2x 2+k x 2≥0对x ∈1,+∞ 恒成立，所以k ≥-2x 2对x ∈1,+∞ 恒成立，则k ≥-2，即k ∈[-2,+∞).故选：A .4.(2022·山西临汾·高三期中)设函数f (x )=ln x +m x ，若对任意b >a >1，f (b )-f (a )b -a<1恒成立，则m 的取值范围是( )A.0,+∞ B.0,+∞C.14,+∞D.14,+∞【答案】A【详解】由题设f (b )-b <f (a )-a ，且b >a >1，令g (x )=f (x )-x =ln x +mx-x 且x >1，则g (b )<g (a )，故g (x )在x ∈(1,+∞)上递减，所以g(x )=1x -m x 2-1=-x 2-x +m x2≤0恒成立，即m ≥x -x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，而y =x -x 2=-x -12 2+14在x ∈(1,+∞)上值域为(-∞,0)，所以m ≥0.故选：A题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间【典型例题】例题1.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(文))若函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A.3,+∞ B.3,+∞C.-∞,3D.-∞,3【答案】B【详解】函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 的定义域为0,+∞ ，且其导数为g x =1x+x -(b -1)．由g x 存在单调递减区间知g x <0在0,+∞ 上有解，即1x+x -(b -1)有解．因为函数g x 的定义域为0,+∞ ，所以x +1x ≥2．要使1x +x -(b -1)有解，只需要1x+x 的最小值小于b -1，所以2<b-1，即b >3，所以实数b 的取值范围是3,+∞ ．故选:B ．例题2.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=12ax 2+x ln x -x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A.-1e ,1 B.-1e,+∞ C.-1,+∞D.-∞,1e【答案】B【详解】f (x )=ax +ln x ，∴f (x )>0在x ∈0，+∞ 上有解，即ax +ln x >0在x ∈0，+∞ 上有解，即a >-ln x x 在x ∈0，+∞ 上有解．令g (x )=-ln x x ，则g ′(x )=-1-ln x x 2，∴g (x )=-ln xx 在(0，e )上单调递减，在(e ，+∞)上单调递增，∴g (x )=-ln x x 的最小值为g (e )=-1e ，∴a >-1e．故选：B ．【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上存在单调区间①已知f x 在区间D 上存在单调增区间⇔∃x ∈D ，f (x )>0有解.②已知f x 在区间D 上存在单调减区间⇔∃x ∈D ，f (x )<0有解.【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是A.[3,+∞) B.(3,+∞)C.72,+∞D.72,+∞【答案】B【详解】因为函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，故f x <0在区间12,2上有解.即1x +x -b -1 <0在区间12,2 有解.即存在x ∈12,2 ，使得b -1>x +1x ，又y =x +1x 在12,1 单调递减，在1,2 单调递增.且x =12时，y =52；x =1时y =2；x =2时，y =52，故要满足题意，只需b -1>2即可，解得b >3.故选：B .2.(2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习)若函数f (x )=x 2-4ex -ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为__________．【答案】-∞,-2-2ln2【详解】因为f (x )=x 2-4ex -ax ，所以f ′(x )=2x -4ex -a .由题意，f ′(x )=2x -4ex -a >0，即a <2x -4ex 有解．令g (x )=2x -4ex ，则g ′(x )=2-4ex .令g ′(x )=0，解得x =-ln2.当x ∈(-∞，-ln2)时，函数g (x )=2x -4ex 单调递增；当x ∈(-ln2，+∞)时，函数g (x )=2x -4ex 单调递减．所以当x =-ln2时，g (x )=2x -4ex 取得最大值-2-2ln2，所以a <-2-2ln2.题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调【典型例题】例题1.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))已知函数f x =1-x ln x +ax 在1,+∞ 上不单调，则a 的取值范围是( )A.0,+∞ B.-∞,0C.0,+∞D.-∞,0【答案】A【详解】依题意f ′x =-ln x +1x +a -1，故f ′(x )在1,+∞ 上有零点，令g (x )=-ln x +1x+a -1，令g (x )=0，得a =ln x -1x +1，令z (x )=ln x -1x+1，则z ′(x )=1x +1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )单调递增，又由z (1)=0，得z (x )>0，故a =z (x )>0，所以，a 的取值范围0,+∞ 故选：A例题2.(2022·广西河池·高二阶段练习(理))若函数f x =2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间k -1,k +1上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-12,32B.32,2C.1,2D.1,32【答案】D【详解】由题意得，函数定义域为0,+∞f x =4x -1x ，令f x =0，解得在定义域内x =12，当x <12时，f x <0，f x 单调递减，当x >12时，f x >0，f x 单调递增，函数在区间k -1,k +1 内不单调，所以k -1<12<k +1，解得-12<k <32，又因为k -1≥0，得k ≥1，综上k ∈1,32 ，故选：D ．【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上不单调⇔∃x 0∈D ，使得f x 0 =0(其中x 0为变号零点)【变式演练】1.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4 B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4【答案】A【详解】由题意，函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1，可得f (x )=3x 2+4-2a x +a 3，因为函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，即f (x )=3x 2+4-2a x +a3=0有变号零点，结合二次函数的性质，可得Δ=(4-2a )2-4a >0，即a 2-5a +4>0，解得a <1或a >4，所以实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).故选：A .2.(2022·四川省资阳中学高二期中(理))已知函数f (x )=ln x -ax -2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.12,1 B.12,1C.13,12D.12,23【答案】B 【详解】由f (x )=1x -a =1-axx，①当a ≤0时函数f (x )单调递增，不合题意；②当a >0时，函数f (x )的极值点为x =1a ，若函数f (x )在区间(1,2)不单调，必有1<1a <2，解得12<a<1.故选：B ．3.(2022·江西·金溪一中高二阶段练习(理))已知函数f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.2,18B.2,18C.-∞,2 ∪18,+∞D.2,18【答案】A【详解】∵f 'x =2x -a x，f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，故2x -ax=0在1,3 存在变号零点，即a =2x 2在1,3 存在零点，∴2<a <18.故选：A .4.(2022·上海大学市北附属中学高一期中)若函数y =2x 2-kx +8在区间2,5 上不是单调函数，则实数k 的取值范围________.【答案】8,20【详解】解：因为y =2x 2-kx +8，所以函数的对称轴为x =k4，因为函数在区间2,5 上不是单调函数，所以2<k4<5，解得8<k <20，即实数k 的取值范围为8,20 .故答案为：8,20题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D【典型例题】例题1.(2021·四川省成都市玉林中学高二期中(文))已知函数f (x )=x 2-ax -1 e x -1在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，则函数f (x )在[-2,2]的值域是( )A.[-1,e ] B.[-e ,e 2]C.[e -1,5e -2]D.[5e -2,e 2]【答案】A【详解】解：f ′(x )=(2x -a )e x -1+(x 2-ax -1)e x -1=(x 2-ax +2x -a -1)e x -1，∵f (x )在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，∴f ′(-2)=0，即(4+2a -4-a -1)e -3=0，∴a =1，∴f (x )=(x 2-x -1)e x -1，f ′(x )=(x +2)(x -1)e x -1，当2>x >1，x <-2时，f ′(x )>0，当-2<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在[-2，1)上单调递减，在[1，2]，-∞,-2 上单调递增，∴a =1符合题意，又f (-2)=5e -3，f (1)=-1，f (2)=e ，∴函数f (x )在[-2，2]的值域是[-1，e ]．故选：A ．例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-1 B.-53,-54C.-53,1D.-53,-54【答案】B【详解】因为f x =13x 3+ax 2+x +1，则f x =x 2+2ax +1，由题意可知，f x 有两个不等的零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，因为函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则x 1∈0,1 、x 2∈2,3 ，所以，f 0 =1>0f1 =2+2a ≤0f2 =4a +5≤0f3 =6a +10≥0 ，解得-53≤a ≤-54.故选：B .【变式演练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f (x )=13ax 3+12bx 2+cx +d (a ,b ,c ,d ∈R )的单调递增区间是(-3,1)，则( )A.a <b <c B.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b【答案】C【详解】解：由题可得f (x )=ax 2+bx +c ，则f (x )>0的解集为(-3,1)，即f (x )=a (x +3)(x -1)=0，a <0，可得b =2a ,c =-3a ，∴b <a <c ，故选:C ．2.(2022·福建漳州·高二期末)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的单调递减区间是[-4,-2]，则关于x 的不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集是__________.【答案】[-5,-1]【详解】f x =3x 2+2ax +b ，f (x )的单调递减区间是[-4,-2]，则不等式f x ≤0的解集为[-4,-2]，所以-4，-2是f (x )=0的两根，故a =9，b =24，所以f (x )=x 3+9x 2+24x +c ，f (-2)=c -20，f (-4)=c -16.令f (x )≤f (-4)，得x 3+9x 2+24x +16≤0，即(x +4)(x 2+5x +4)=(x +4)2(x +1)≤0，得x ≤-1；令f (-2)≤f (x )，得x 3+9x 2+24x +20≥0，即(x +2)(x 2+7x +10)=(x +2)2(x +5)≥0，得x ≥-5；所以不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集为[-5,-1].故答案为：[-5,-1]题型五：已知函数f x 有三个单调区间【典型例题】例题1.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2 B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2【答案】D【详解】因为函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，所以f (x )=4x 2-4ax -(a -2)有两个不等零点，则Δ=16a 2+16(a -2)=16(a -1)(a +2)>0，解得a>1或a <-2.故选D .例题2.(2019·江苏盐城·一模)已知函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________.【答案】-1e 2,0【详解】f 'x =ln x +1x x -a =ln x +1-ax 函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间即f 'x =0有两个不等实根，即a =x ln x +1 有两个不等实根，转化为y =a 与y =x ln x +1 的图像有两个不同的交点y '=ln x +2令ln x +2=0，即x =1e 2，即y =x ln x +1 在0，1e 2 上单调递减，在1e2，+∞ 上单调递增．y min =-1e 2，当x ∈0，1e 2 时，y <0，所以a 的范围为-1e 2,0 【提分秘籍】已知函数f x 有三个单调区间⇔f (x )=0有两个不同的实数根.【变式演练】1.(2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末(文))若函数y =-43x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________________．【答案】b >0【详解】试题分析：由已知可得y '=-4x 2+b =0在R 上有不等实根⇒b >0．2.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(文))若函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，则a的取值范围是( )A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.-∞,0D.0，+∞【答案】A【详解】因为函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域R 上有两个不同的零点，由f (x )=3ax 2+1可得3ax 2+1=0，即x 2=-13a，所以只需a <0，方程3ax 2+1=0在R 上有两个不同的实数根.故选：A .3.(2016·黑龙江双鸭山·高二阶段练习)若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.(-3,+∞) B.-3，+∞C.(-3,0)⋃(0,+∞)D.(-∞,0)⋃(0,3)【答案】D【详解】试题分析：由题意得，函数f (x )的导数为f (x )=3ax 2+6x -1，因为函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，所以a ≠0且f (x )=0有两个根，即Δ=62+4×3a >0，解得a <3且a ≠0，故选D .4.(2020·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________．【答案】a <-1或a >2【详解】分析：求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a 的取值范围．详解：∵函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1，∴f ′(x )=3x 2+6ax +3a +2 ，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，∴3x 2+6ax +3a +2 =0满足：△=36a 2-36a +2 >0，解得a <-1或a >2，故答案为：a <-1或a >2．最新模考题组练一、单选题1.(2019·四川自贡·高二期末(理))函数f x =ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )A.-∞,115B.0,115C.-∞,0 ∪0,115D.-∞,0【答案】A【详解】解：由f (x )=ax 3+x 2+5x -1，得f ′(x )=3ax 2+2x +5，当a =0时，由f ′(x )=0，解得x =-52，函数f (x )有两个单调区间；当a >0时，由Δ=4-60a >0，解得a <115，即0<a <115，此时函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间；当a <0时，Δ=4-60a >0，解得a <115，即a <0，此时函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间．∴综上所述a ∈-∞,0 ∪0,115是函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a ∈-∞,115是其必要不充分条件．故选：A ．2.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2 B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2【答案】D【详解】因为函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，所以f (x )=4x 2-4ax -(a -2)有两个不等零点，则Δ=16a 2+16(a -2)=16(a -1)(a +2)>0，解得a>1或a <-2.故选D .3.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文))若函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，则k 的取值范围为( )A.12,+∞B.2,+∞C.14,+∞D.4,+∞【答案】B【详解】f (x )=k -1x ,因为函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，所以f (x )=k -1x≥0在12,+∞ 上恒成立，即k ≥1x 在12,+∞ 上恒成立.因为y =1x 在12,+∞ 上单调递减，所以当x ∈12,+∞ 时，y <2，所以k ≥2，则k 的取值范围为2,+∞ .故选：B4.(2021·江苏·张家港高级中学高三期中)若函数f x =ln x +ax 2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A.-2,+∞ B.-18,+∞ C.-18,-2D.-2,+∞【答案】D【详解】∵f (x )=ln x +ax 2-2，∴f (x )=1x+2ax ，若f x 在区间12,2 内存在单调递增区间，则f (x )>0,x ∈12,2 有解，故a >-12x2，令g (x )=-12x 2，则g (x )=-12x2在12,2 单调递增，∴g (x )>g 12=-2，故 a >-2.故选：D .5.(2023·全国·高三专题练习)若函数f (x )=x 2+x -ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-32,34B.12,3 C.-32,3 D.12,34【答案】D【详解】因为函数f (x )的定义域为(0,+∞)，所以2k -1≥0，即k ≥12，f (x )=2x +1-1x =2x 2+x -1x =(x +1)(2x -1)x ，令f (x )=0，得x =12或x =-1(舍去)，因为f (x )在定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，所以2k -1<12<2k +1，得-14<k <34，综上，12≤k <34，故选：D6.(2022·福建福州·高三期中)已知函数f x =ae x +4x ，对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞)，且x 1≠x 2，不等式f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞B.2e 3,+∞C.2e ,+∞D.2e 3,+∞【答案】B【详解】不妨设x 1>x 2，由f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2，得f x 1 -f x 2 >x 21-x 22，即f x 1 -x 21>f x 2 -x 22，令g (x )=f (x )-x 2，所以对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞),x 1>x 2时，都有g x 1 >g x 2 ，即g (x )在(-∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=ae x -2x +4≥0在x ∈(-∞,+∞)上恒成立，即a ≥2x -4e x．在x ∈(-∞,+∞)上恒成立．令h (x )=2x -4e x．则h (x )=6-2xe x，令h (x )>0，解得x <3，令h (x )<0，解得x >3，所以h (x )在(-∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，所以h (x )max =h (3)=2e 3，所以a ≥2e 3，即实数a 的取值范围是2e 3,+∞ ．故选：B ．7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 4+x -1 e x 在区间1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.-e 4,-e 216 B.-e 4,-e 216C.-e 336,-e 216D.-e 4,-e 316【答案】A【详解】因为f x =ax 4+(a -1)e x 在区间1,3 上不是单调函数，所以f x =4ax 3+xe x =0在区间1,3 上有解，即-4a =e xx2在区间1,3 上有解．令g x =e xx 2，则g 'x =x -2 e xx 3．当x ∈1,2 时，g 'x <0；当x ∈2,3 时，g 'x >0．故g x 在1,2 上单调递减，在2,3 上单调递增．又因为g 1 =e ,g 2 =e 24,g 3 =e 39<e ，且当a =-e 216时，f x =-e 24x 3+xe x =x 3e xx2-e 24 ≥0,所以f x 在区间1,3 上单调递增，所以e 24<-4a <e ，解得-4e <a <-e 216.故选：A8.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4 B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4【答案】A【详解】由题意，函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1，可得f (x )=3x 2+4-2a x +a 3，因为函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，即f (x )=3x 2+4-2a x +a3=0有变号零点，结合二次函数的性质，可得Δ=(4-2a )2-4a >0，即a 2-5a +4>0，解得a <1或a >4，所以实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).故选：A .二、填空题9.(2016·山东济宁·高二阶段练习(文))若函数f (x )=x 3+bx 2+x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为___________．【答案】b <-3或b >3【详解】试题分析：由f (x )=x 3+bx 2+x ， 求导：f (x )=3x 2+2bx +1，恰有三个单调区间则有两个极值， 即令；Δ=4b 2-12>0,b >3或b <-3．10.(2015·江苏宿迁·高二期中)若函数y =-43x 3+bx 2-2x +5有三个单调区间，则实数b 的取值范围为______．【答案】-∞,-22 ∪22,+∞ 【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，y =-4x 2+2bx -2,Δ=4b 2-32>0∴b ∈-∞,-22 ∪22,+∞11.(2022·福建·莆田第三中学高三阶段练习)已知函数f x =3ln x -kx +kx，若f x 在定义域内为单调递减函数，则实数k 的最小值为__________________．【答案】32##1.5【详解】由题意知f x =3ln x -kx +k x ,(x >0)，则 f (x )=3x -k -kx2，f x 在定义域内为单调递减函数，则f (x )≤0当x >0时恒成立，则可得： k ≥3x +1xmax， 因为x >0，x +1x ≥2 当且仅当x =1时等号成立，则 3x +1x≤32 ，故 k ≥32 ，即实数k 的最小值为32，故答案为：3212.(2022·上海·上外附中高三阶段练习)f x =-13x 3+12x 2+2ax ，若f x 在23,+∞ 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】-19,+∞【详解】因为f x =-13x 3+12x 2+2ax ，则f x =-x 2+x +2a ，有已知条件可得：∃x ∈23,+∞ ，使得f x >0，即a >12x 2-x ，当y =12x 2-x >1223 2-23 =-19，所以a >-19.故答案为：-19,+∞ .13.(2022·全国·模拟预测)若函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，则实数a 的取值范围是______.【答案】0,+∞【详解】y =a 3x 2-1 ，令y =0，得x =±33，由函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，得导函数y =a 3x 2-1 的图象是开口向上的抛物线，所以a >0.故答案为：0,+∞14.(2021·江苏·高二专题练习)已知函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(3,6)【详解】因为f (x )=x 3-ax 2，则f (x )=3x 2-2ax ，若函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上是单调递增的函数，则f (x )=3x 2-2ax ≥0在[2,4]上恒成立，即a ≤32x 在[2,4]上恒成立，因此a ≤3；若函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上是单调递减的函数，则f (x )=3x 2-2ax ≤0在[2,4]上恒成立，即a ≥32x 在[2,4]上恒成立，因此a ≥6；因为函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上个是单调函数，所以3<a <6故答案为：(3,6)。
高二数学利用导数求最值和极值试题
高二数学利用导数求最值和极值试题1.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.2.已知是实数，函数.（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程.（2）求在上的最大值.【答案】（1），；（2）．【解析】解题思路：（1）先求导，进而求得值，利用导数的几何意义求切线方程；（2）求导，讨论的根与区间的关系，进而求得极值.规律总结：导数的几何意义求切线方程：；利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1），因为又当时所以曲线在处的切线方程为（2）令，解得，当即时，在上单调递增，从而.当即时，在上单调递减，从而当即时，在上单调递减，在单调递增，从而综上所述.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.3.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．4.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则x－22＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.5.若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A．＜1B．0＜＜1C．b＞0D．b＜【答案】B【解析】由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.【考点】导数与函数的极值.6.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积为最大，则高为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设圆锥的高为，所以底面半径．所以圆锥的体积表达式为．即，所以由体积对高求导可得，由，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，所以，故选D．【考点】1．圆锥的体积公式．2．最值的求法．3．实际问题考虑定义域．7.某商品一件的成本为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，当每件商品的定价为元时，利润最大【答案】115【解析】利润为由得，这时利润达到最大．【考点】函数的最值与导数的关系8.方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】令，则，令得或。
高考热点利用导数求函数参数的范围问题
难点一 利用导数探求参数的范围问题1. 与函数零点有关的参数范围问题函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 例1（2020·全国高三专题练习）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.()f x ()0f x =()f x xx因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数在点处的导数就是相应曲线在点处切线的斜率，即，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量的函数，通过求值域，从而得到切线斜率的取值范围，或者切斜角范围问题．例2. （2020·全国高三专题练习（理））已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ）A．B．2CD．4-【答案】A 【解析】2()2,f x x ax =+Q ∴ ()22f x x a '=+，∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x =-Q ，∴21()g x x'=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-，因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB , 1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，4118x a x =-， 令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， ()y f x =0x x ='0()f x 00(,())x f x '0()k f x =0x k令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x单调递增，x ∴=时，()min h x，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A . 3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 3.1 参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则． 例3．【河南省实验中学2019届模拟三】已知函数f （x ）=e x −x −1（e 是自然对数的底数）． （1）求证：e x ≥x +1；（2）若不等式f （x ）＞ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，求正数a 的取值范围．思路分析：（1）要证e x ≥x +1，只需证f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，求导得f ′（x ）＝e x ﹣1，利用导数性质能证明e x ≥x +1．（2）不等式f （x ）＞ax ﹣1在x ∈[12，2]上恒成立，即a ＜e x −x x在x ∈[12，2]上恒成立，令g （x ）=e x −x x，x ∈[12，2]，利用导数性质求g （x ）=e x −x x在x ∈[12，2]上的最小值，由此能求出正数a 的取值范围．【详解】（1）由题意知，要证e x ≥x +1，只需证f (x )=e x −x −1≥0，求导得f ′(x )=e x −1，当x ∈(0，+∞)时，f ′(x )=e x −1>0，当x ∈(−∞,0)时，f ′(x )=e x −1<0，∴f （x ）在x ∈(0，+∞)是增函数，在x ∈(−∞,0)时是减函数，即f (x )在x =0时取最小值f (0)=0，∴f (x )≥f (0)=0，即f (x )=e x −x −1≥0，∴e x ≥x +1．（2）不等式f (x )>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，即e x −x −1>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，亦即a <e x −x x在x ∈[12，2]上恒成立，令g （x ）=e x −x x，x ∈[12,2]，以下求g (x )=e x −x x 在x ∈[12,2]上的最小值，g ′(x )=e x (x−1)x 2,当x ∈[12,1]时，g ′(x )≤0，当x ∈[1,2]]时，g ′(x )≥0，∴当x ∈[12,1]]时，g (x )单调递减，当x ∈[1,2]]时，g (x )单调递增，∴g (x )在x =1处取得最小值为g (1)=e −1，∴正数a 的取值范围是(0,e −1)．()()f x g x >()y f x =()y g x =()()()F x f x g x =-min ()0F x >()a h x >()a h x <()h x3.2 构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．例4．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e 是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e=-+；无极大值 （2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，函数()g x 是递增函数，所以函数()g x 的最大值为： max 1111()()ln ln 1g x g a a a a a==-⋅=-， 因为10a e <<，所以11ln 1e a a>⇒>，因此有max ()0g x >， 因为1e a >，所以(1)0g a =-<，因此当10x a<<时，函数()g x 有唯一零点；因为10a e <<，所以211a a >，22211111()ln 0g a a a a a =-<-<，故函数()g x 在1x a>时，必有唯一的零点，因此函数()g x 有2个不同的零点；（3）设()()()ln ln h x f x g x x x a x ax =+=++-，(1)0h =，'1()ln 1h x x a x =++-，因为211()0h x x x''=->，所以函数()h x '在1x >时单调递增，即'((2)1)h h a x '>=-当20a -≥时，即2a ≤，1x >时，'()0h x >，函数()h x 在1x >时单调递增，因此有()(1)0h x h >=，即当1x >时，()()0f x g x +>恒成立；当2a >时，''1(1)20,()10,aa h a h e e=-<=+>所以存在0(1,)a x e ∈，使得'0()0h x =，即当0(1,)x x ∈时，函数()h x 单调递减，所以此时0()()(1)0h x h x h <<=，显然对于当1x >时，()()0f x g x +>不恒成立，综上所述，2a ≤，所以实数a 的最大值为2. 4.与函数单调区间有关的参数范围问题若函数在某一个区间可导，函数在区间单调递增；函数在区间单调递减.若函数在某一个区间可导，且函数在区间单调递增恒成立；函数在区间单调递减恒成立.4.1 参数在函数解析式中转化为恒成立和恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理 例5. （2020·陕西高三月考）已知函数()sin ln f x a x b x x =+-. （1）当0,1a b ==时，证明：()1f x -„. （2）当6b π=时，若()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，求a 的取值范围. （1）证明：当0,1a b ==时，()ln f x x x =-，所以1()xf x x-'=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >. 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max ()(1)1f x f ==-， 故()1f x -„. （2）解：当6b π=时，()cos 16f x a x xπ'=+-，由题可知()0f x '≥ 所以cos 106a x xπ+-…在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即66cos x a x x π-…在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.令6(),0,6cos 3x h x x x x ππ-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，显然当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <； ()f x D '()0f x >⇒()f x D '()0f x <⇒()f x D ()f x D ()f x D ⇒'()0f x ≥()f x D ⇒'()0f x ≤'()0f x ≥'()0f x ≤当,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x >. 而当,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，22cos (6)sin ()06cos x x x x h x x x ππ+-'=>， 所以()h x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()13h x h π⎛⎫<=⎪⎝⎭， 所以1a …，即a 的取值范围是[1,)+∞. 点评：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 4.2 参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中. 例6.已知函数ln ()a x f x x +=，曲线ln ()a x f x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直.注：e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1x >时，1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->+++. 思路分析：(1)求函数ln ()a x f x x +=的导数()f x '，由曲线ln ()a xf x x +=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直可得21()f e e '=-，可求出a 的值，这时2ln '()(0)xf x x x=->，讨论导数的符号知函数()f x 仅当1x =时，取得极值，由1(,1)m m ∈+即可求实数m 的取值范围；（2）当1x >时，1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->⇔+++11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++>++g 令(1)(ln 1)()x x g x x++=，令12()1x x e h x xe -=+，由max min()()1g x h x e ⎛⎫>⎪+⎝⎭证之即可.试题解析： （1）因为ln ()a x f x x +=，所以21ln '()a x f x x --=.又据题意，得21'()f e e =-，所以221a e e -=-，所以1a =.所以1ln ()x f x x +=.所以2ln '()(0)xf x x x=->.当(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 为减函数.所以函数()f x 仅当1x =时，取得极值.又函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，所以11m m <<+，所以01m <<.故实数m 的取值范围是(0,1).（2）当1x >时，1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++，即为11(1)(ln 1)211x xx x e e x xe -++>++g .令(1)(ln 1)()x x g x x++=，则22[(1)(ln 1)]'(1)(ln 1)ln '()x x x x x x x g x x x ++-++-==.再令()ln x x x ϕ=-，则11'()1x x x xϕ-=-=. 又因为1x >，所以'()0x ϕ>.所以()x ϕ在(1,)+∞上是增函数.又因为(1)1ϕ=，所以当1x >时，'()0g x >. 所以()g x 在区间(1,)+∞上是增函数.所以当1x >时，()(1)g x g >，又(1)2g =，故()211g x e e >++.令12()1x x e h x xe -=+，则11122(1)(1)'2(1)'()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---+-+-==++g .因为1x >，所以122(1)0(1)x x x e e xe --<+.所以当1x >时，'()0h x <，故函数()h x 在区间(1,)+∞上是减函数.又2(1)1h e =+， 所以当1x >时，2()1h x e <+，所以()()1g x h x e >+，即1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++. 点评：本题考查了利用导数判断函数单调性等基础知识，理解单调性的概念是解题关键. 5.与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.例7.已知函数()()22 01 0x x ax e x f x x x b⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，在2x =处的切线斜率为272e .（1）求实数a 的值；（2）若0x >时，()y f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围. （3）设()()ln x g x b f x =+-，若对于130 2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，，总有()21 2.71828x e e e ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，…，使得()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围.思路分析：（1）根据导数几何意义得()27'22e f =，所以求导数()()2'222x f x e x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦列出等量关系，求解得34a =（2）利用导数研究函数()()22xf x x ax e =-单调变化趋势：在()0 1，单调递减，在()1 +∞，单调递增，再考虑端点值：()300,()2f f f ⎛⎫==+∞→+∞ ⎪⎝⎭，所以要有两个零点，需 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，（3）不等式恒成立问题，一般方法为转化为对应函数最值：()()min f x g x ≥，由前面讨论可知()()min 12ef x f ==-，所以()()ln ln 12x x e g x b b f x x ⎛⎫=+=-≤- ⎪-⎝⎭在1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有解，即1ln 21e b x x ≤-⋅-的最大值，先求ln 1x y x =-，1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，最大值，而=利用导数易得1x e =时ln 1x y x =-取最大值1e +，即()21e b e ≤-+ 试题解析：（1）0x >时，()()()()222 '222x x f x x ax e f x e x a x a ⎡⎤=-=+--⎣⎦，，由条件知()27'22e f =，∴34a =. （2）0x >时，()()22xf x x ax e =-，∴()()()1'1232x f x e x x =-+，()f x 在()0 1，单调递减，在()1 +∞，单调递增，()3002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()min 12e f f ==-，∴ 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()y f x m =-有两个零点. （3）由题意，即要()()min min f x g x ≥ （*）当0x >时，()232xf x x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（2）知()()min 12e f x f ==-，当0x >时，0x -<，∴()()ln ln 1x x g x b b f x x ⎛⎫=+=- ⎪-⎝⎭，()2ln 1'x g x b x -=⋅，∵21 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2ln 10x x -≤.①若0b >，()g x 在1 e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，()()min 11g x g e b e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∵()()min min f x g x <，∴（*）不成立.②若0b <，()g x 在1 e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，()()min 11g x g b e e ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.要使()()min min f x g x ≥，只要()12e b e -≥+，则()21e b e ≤-+. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.。
高二数学利用导数求最值和极值试题
高二数学利用导数求最值和极值试题1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．6.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.7.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.8.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.9.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值10.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．11.若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A．＜1B．0＜＜1C．b＞0D．b＜【答案】B【解析】由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.【考点】导数与函数的极值.12.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是。
专题8 导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例1：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x .列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f .（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .例2、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。
导数题中求参问题的常见解法
导数题中求参问题的常见解法方法一：函数最值法例一：设函数f(x)=e2x+ae x a∈R。
（1）当a=-4时，求f(x)的单调区间；（2）若对任意的x∈R,f(x)≥a2x 恒成立，求实数a的取值范围。
+2lnx 。
练习：设函数f(x)=1x（1）讨论函数f(x)的单调性。
（2）如果对所有x≥1 ，都有f(x)≤ax，求a的取值范围。
方法二：分离参数法例二：已知f(x)＝ln x－x3＋2e x2－ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)在x＝e处的切线的斜率为e2，求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．练习：已知函数f(x)=e x−asinx−1 (a∈R)。
（1）若a=1，求f(x)在x=0处的切线方程；（2）若f(x)≥0对一切x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。
方法三：变换后构造新函数法（重点在变换）例三：已知函数f(x)=ax2−ax,g(x)=xlnx ，若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的值。
练习：已知函数f(x)=alnx−2ax+1,对任意x≥1,f(x)≥−e x−1恒成立。
求实数a的取值范围。
（本题的重点在处理方法）方法四切线法例四：已知(1−x2)e x≤ax+1,对x≥0恒成立，求a的取值范围。
练习：1、已知函数f (x )=(x +1)lnx −a(x −1)。
（1） 当a=4时，求曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程；（2） 若当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a 的取值范围。
2、若函数f (x )=lnx −e x −2mx +n ,f(x)≤0对任意x ∈(0,+∞)都成立，求n m 的最大值。
法五：：不等式法例题五：已知函数f (x )=x (e 2x −a )−lnx ，若f(x)≥1在(0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、 (−∞，e −1]B 、 (−∞,e −1)C 、 (−∞,2]D 、(−∞,2)解：因为f (x )≥1在(0,+∞)恒成立，所以a ≤xe 2x −lnx−1x 令h (x )=e lnx e 2x −lnx−1x =e lnx+2x −lnx−1x ≥lnx+2x+1−lnx−1x =2练习：1已知函数f (x )=axe x (a ∈R,e 为自然对数的底数)，g (x )=lnx +kx +1(k ∈R).(1) 若k=-1，求函数g(x)的单调区间。
2022届高中数学导数通关练习专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)
6．函数 f x 1 x3 ax2 2x 1 在 x 1, 2 内不单调，则（ ）
3
A． 1 a 1
2
2
B． 1 a 1
2
2
C． a 1 或 a 1
2
2
D． a 1 或 a 1
2
2
【解析】由题设， f (x) x2 2ax 2 ，∴ f (1) 2a 1 ， f (2) 2 4a ，∵在 x 1, 2 内不单调，
x
a
1
ln
x
，若对任意
x1
,
x2
(0,
2]
，且
x1
x2 ，都有
f
x2 f x1
x2 x1
1，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A．
,
27 4
B． (, 2]
C．
,
27 2
D． ,8
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二、多选题
9．若函数 f (x) 1 x 2 9 ln x ，在区间m 1,m 1 上单调，则实数 m 的取值范围可以是（
20．已知函数 f (x) 1 x 4 x 3 9 x 2 cx 1 有三个极值点.
4
2
（1）求 c 的取值范围；
（2）若存在 c 27 ，使函数 f (x) 在区间[a, a 2]上单调递减，求 a 的取值范围.
21．已知函数 f x 2ln x 1 ax2 2a 1 x
2
（1）若 f x 在 2, 上单调，求 a 的取值范围； （2）若 f x 在 2, 上有极小值 g a ，求证： g a 4 ln 2 4 ．
f (x) 1 1
1 x
(x
a 1)2
利用导数求单调区间的一些大题（含答案）
例1.1.已知函数已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值处有极值. . （1） 求函数()f x 的单调区间；的单调区间；（2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。
的取值范围。
例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，k x x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+¥上为增函数．函数．（1）、求实数k 的取值范围；的取值范围； （2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．的取值范围．解：解：(1) (1) (1) 由由321()3f x x ax b =-+，得22'()32f x x ax a =--令222a '()320,=-,(0)3f x x ax a x a a =--==>1得x当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表：x (,)3a -¥-3a- (,)3a a - a(,)a +¥()f x+_ 0 +'()f x极大值极大值极小值极小值由上述表格可知，32235()=()()()()11333327a a a a f x f a a a -=-----+=+极大值3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值(2)(2)由（由（由（11）可知()(,)(,)3a f x a -¥-+¥在和上单调递增，在-a（,a ,a））3上单调递减，上单调递减， 当33501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327a a f x f a f x <£-=+>³极大值极小值a()-y f x \=¥在（,+）3上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得时取得又()y f x =在(,)3a -¥-上单调递增，且2(1)(1)0f a a a a -=-=-£()--y f x \=¥a在（，）3上最多有一个实数根上最多有一个实数根 于是，当01a <£时，函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数根。
高二导数基本练习题及答案
高二导数基本练习题及答案1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数f'(x)。
解析：对于多项式函数，直接应用幂函数的求导法则即可。
根据幂函数的求导法则，指数减1并乘以原指数的系数。
因此，对于f(x) = 2x^3 -3x^2 + 4x - 5，其导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 求函数g(x) = 3sin(2x)的导数g'(x)。
解析：对于三角函数的求导，需要运用复合函数的求导法则。
根据复合函数求导法则，首先对外层函数求导，然后乘以内层函数的导数。
对于g(x) = 3sin(2x)，外层函数为sin(2x)，内层函数为2x。
因此，g'(x) = 3 * cos(2x) * 2 = 6cos(2x)。
3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数h'(x)。
解析：对于对数函数的求导，需要运用链式法则。
根据链式法则，对于复合函数h(x) = ln(x^2 + 1)，其中外层函数为ln(u)，内层函数为u = x^2 + 1。
因此，h'(x) = 1/(x^2 + 1) * 2x = 2x/(x^2 + 1)。
4. 求函数y(x) = e^(3x+2)的导数y'(x)。
解析：对于指数函数的求导，也需要运用链式法则。
根据链式法则，对于复合函数y(x) = e^(3x+2)，其中外层函数为e^u，内层函数为u = 3x + 2。
因此，y'(x) = e^(3x+2) * 3 = 3e^(3x+2)。
5. 求函数z(x) = sqrt(x^3 + 2x)的导数z'(x)。
解析：对于根号函数的求导，同样需要运用链式法则。
根据链式法则，对于复合函数z(x) = sqrt(x^3 + 2x)，其中外层函数为sqrt(u)，内层函数为u = x^3 + 2x。
因此，z'(x) = (1/2)(x^3 + 2x)^(-1/2) * (3x^2 + 2) = (3x^2 + 2)/(2sqrt(x^3 + 2x))。
高二数学导数应用2023练习题及答案
高二数学导数应用2023练习题及答案一、函数极值与最值问题1. 求函数f(x) = 3x^4 - 4x^3在闭区间[-2, 3]上的极值及最值。
解析：首先求出函数的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)的零点，即f'(x) = 0的解。
根据求得的导数零点，将闭区间[-2, 3]分为了若干个子区间，分别对每个子区间进行讨论，确定极值点以及正、负号区间，最后比较得出极值和最值。
步骤如下：1) 求导：f'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)。
2) 导数的零点：12x^2(x - 1) = 0，解得x = 0或x = 1。
3) 分析子区间：a) 当x < -2时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
b) 当-2 < x < 0时，f'(x) = 12x^2(x - 1) > 0，函数递增。
c) 当0 < x < 1时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
d) 当1 < x < 3时，f'(x) = 12x^2(x - 1) > 0，函数递增。
e) 当x > 3时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
4) 确定极值点：当x = -2时，f(-2) = 3(-2)^4 - 4(-2)^3 = 48，当x = 0时，f(0) = 0，当x = 3时，f(3) = 3(3)^4 - 4(3)^3 = 189。
5) 比较得出极值和最值：函数在x = -2处取得极大值48，函数在x = 0处取得极小值0，函数在x = 3处取得极大值189。
答案：极大值48，极小值0，最大值189。
二、函数图像与导数的关系问题2. 已知函数g(x)在区间[-∞,+∞]上可导，且g(-1) = 2，求证：在区间[-∞, +∞]上，一定存在点c，使得g'(c) = 0。
高考数学二轮复习 专题整合 14 利用导数求参数的取值
第4讲 利用导数求参数的取值范围一、选择题1．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( )．A ．[－1,1]B ．[－1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x.令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x＝1，即x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.答案 C2．(2014·广州调研)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )．A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减．所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0,1)内有最小值． 答案 D3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0.∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.答案 A4．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4a 2－12＞0， 解得：a ＞3或a ＜－ 3. 答案 D 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．解析 依题意知，x ＞0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x.令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m 4≤0时，g (0)＝1＞0恒成立，∴m ≥0成立；当－m4＞0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m ＜0.综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.答案 [－22，＋∞)6．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)7．(2014·浙江考试院抽测)已知m ∈R ，若函数f (x )＝x 3－3(m ＋1)x 2＋12mx ＋1在[0,3]上无极值点，则m 的值为________．解析 f ′(x )＝3x 2－6(m ＋1)x ＋12m ＝3(x －2)(x －2m )．由于f (x )在[0,3]上无极值点，则2m ＝2，所以m ＝1. 答案 18．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______．解析 由于f ′(x )＝1＋1x ＋12>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，为求实数a 的值； (2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax.由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x.由函数g (x )为[1,2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h (x )＝1x－x 2，在[1,2]上h ′(x )＝－1x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ＜0，所以h (x )在[1,2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72.所以a ≤－72.10．(2014·北京西城区一模)已知函数f (x )＝ln x －a x，其中a ∈R .(1)当a ＝2时，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)如果对于任意x ∈(1，＋∞)，都有f (x )＞－x ＋2，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝ln x －2x ，得f ′(x )＝1x ＋2x2，所以f ′(1)＝3.又因为f (1)＝－2，所以函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －5＝0. (2)由f (x )＞－x ＋2，得ln x －a x＞－x ＋2， 即a ＜x ln x ＋x 2－2x . 设函数g (x )＝x ln x ＋x 2－2x ， 则g ′(x )＝ln x ＋2x －1. 因为x ∈(1，＋∞)， 所以ln x ＞0,2x －1＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝ln x ＋2x －1＞0， 故函数g (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞g (1)＝－1.因为对于任意x ∈(1，＋∞)，都有f (x )＞－x ＋2成立， 即对于任意x ∈(1，＋∞)，都有a ＜g (x )成立， 所以a ≤－1.11．(2014·山西临汾四校联考)已知函数f (x )＝x ln x －1x －2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝x 2＋2x ＋3，证明：对任意x 1∈(1,2)∪(2，＋∞)，总存在x 2∈R ，使得f (x 1)＞g (x 2)．(1)解 f ′(x )＝[x ln x －1]′x －2－x ln x －1x －22＝－2ln x －1＋x －1－1x －1x －22， 设h (x )＝－2ln(x －1)＋x －1－1x －1， 则h ′(x )＝x －12－2x －1＋1x －12＝x －22x －12≥0，∴h (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，又h (2)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )＜0，则f ′(x )＜0，f (x )是单调递减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，h (x )＞0，则f ′(x )＞0，f (x )是单调递增函数． 综上知：f (x )在(1,2)上是单调递减函数； 在(2，＋∞)上是单调递增函数．(2)证明 对任意x 1∈(1,2)∪(2，＋∞)，总存在x 2∈R ，使得f (x 1)＞g (x 2)恒成立等价于f (x )＞g (x )min 恒成立，而g (x )min ＝2，即证f (x )＞2恒成立，即证x ln x －1x －2－2＞0恒成立， 也就是证x x －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x －1＋4x －2＞0， 设G (x )＝ln(x －1)＋4x －2，G ′(x )＝1x －1－4x2＝x －22x －1x 2≥0，∴G (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，又G (2)＝0， ∴当x ∈(1,2)时，G (x )＜0，则 x x －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x －1＋4x －2＞0， 当x ∈(2，＋∞)时，G (x )＞0，则 x x －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x －1＋4x －2＞0， 综上可得：对任意x 1∈(1,2)∪(2，＋∞)，总存在x 2∈R ，使得f(x1)＞g(x2)．。
高中数学导数练习题附答案
高中数学导数练习题附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 4．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 5．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 6．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，(2) 2.f '= (1)求a 的值;(2)求函数()f x 的极小值.7．已知函数()()2231ln 2f x x a a x a a x =-+-+. (1)若1a =，求()f x 在[]1,2上的值域； (2)若20a a -≠，讨论()f x 的单调性. 8．已知函数()1ln xf x x +=.(1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 9．已知函数e ()(1)1xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，且()10f =，由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦， 令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x x x x --'=-=--， 当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<； 当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 所以a 的取值范围为[)1,+∞. 4．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0(2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.5．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 6．(1)1- (2)极小值32【解析】 【分析】（1）求导函数，结合(2)2f '=解方程即可；（2）令()0f x '=进而分析单调性，即可求出极值． (1)由题意可得()1a f x x a x '-=-+，故()12222a f a -'=-+=， 1.a ∴=- (2)由（1）得21()2ln 2f x x x x =+-，所以()()210f x x x x'=+->，令()210f x x x'=+-=，解得1x =，因为 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()y f x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值()312f =．7．(1)5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)代入a ＝1，求f (x )导数，根据导数判断f (x )在[1，2]上的单调性即可求其值域；(2)根据a 的范围，分类讨论f (x )导数的正负即可求f (x )的单调性. (1)a ＝1，则()2121ln ,02f x x x x x =--+>，()22121(1)20x x x f x x x x x-+-=-+='=，∴()f x 在()0,∞+单调递增，∴f (x )在[]1,2单调递增，∴()()()51,2,3ln 22f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=--+⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 即f (x )在[1，2]上值域为5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)()()()()()223232,0x a a x ax a x a a f x x a a x x x x'-++--=-++==>，()10f x x a '=⇒=，22x a =， 200a a a -≠⇒≠且1a ≠，①当1a >时，21a a >>，0x a <<或2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当01a <<时，201a a <<<，20x a <<或x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当0a <时，20a a >>，20x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x a >，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a <时，f (x )在()20,a 单调递减，在()2,a +∞单调递增；当01a <<时，f (x )在()20,a ，(),a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减；当1a >时，f (x )在()0,a ，()2,a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减.8．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；(2)当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x++=，则()2eln x xg x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee1x h x xx-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.9．(1)25y x =+(2)0b =【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()'g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值.(1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-， 即25y x =+．(2)当1a =时，令函数()()()2e 11x g x f x b x =-=+--， 则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立．又()e 1,x g x b '=+-．当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意； 当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得()ln 1x b >-，所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增， 所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值．又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点．所以ln(1)0b -=，解得0b =．10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x xb x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10bh x x'=+≥恒成立. 所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈−，[],y b b ∈−② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b−=>为例），则(],x a ∈−∞−（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为3，且经过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1AQ 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）3c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A − 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==− Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=−2221123A Qy k k x ∴⋅==−− 213A Q k k∴=−11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴−∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB −<t 的取值范围 解：（1）2c e a ==::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩ 联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =−⎧⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=−+−>，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+−=−=−+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件25PA PB −<可得：25AB <123AB x ∴=−<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++−<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k −+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫−+−⋅<⇒−+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎫⎛⎫∴∈−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=−+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=−=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b −∴== b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=−=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =−线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF −=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
高考数学导数专项练习之参数的值或范围问题
专题11：参数的值或范围问题1．已知函数()f x x lnx =-，2()g x x ax =-．（1）求函数()f x 在区间[t ，1](0)t t +>上的最小值()m t ；（2）令()()()h x g x f x =-，1(A x ，1())h x ，2(B x ，212())()h x x x ≠是函数()h x 图象上任意两点，且满足1212()()1h x h x x x ->-，求实数a 的取值范围；求实数a 的最大值．（3）若(0x ∃∈，1]，使成立，【解析】（1）1()1f x x'=-，令()0f x '=，则1x =，当1t 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递增，()f x 的最小值为()f t t lnt =-；⋯（1分）当01t <<时，()f x 在区间(,1)t 上为减函数，在区间(1,1)t +上为增函数，()f x 的最小值为f （1）1=．综上，当01t <<时，()1m t =；当1t 时，()m t t lnt =-．⋯（3分） （2）2()(1)h x x a x lnx =-++，对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，不妨取12x x <，则120x x -<，则由1212()()1h x h x x x ->-，可得1212()()h x h x x x -<-，变形得1122()()h x x h x x -<-恒成立，⋯（5分） 令2()()(2)F x h x x x a x lnx =-=-++，则2()(2)F x x a x lnx =-++在(0,)+∞上单调递增， 故1()2(2)0F x x a x'=-++在(0,)+∞恒成立，⋯（7分）∴12(2)x a x++在(0,)+∞恒成立． 1222x x+，当且仅当22x =时取“=”， ∴222a -；⋯（10分）2．已知函数()f x xlnx =，2()3g x x ax =-+-． （Ⅰ）求()f x 在[t ，2](0)t t +>上的最小值；（Ⅰ）若存在1[x e∈，](e e 是常数， 2.71828)e =⋯使不等式2f （x ）≥g （x ）成立，求实数a 的取值范围； （Ⅰ）证明对一切(0,)x ∈+∞都有12x lnx e ex>-成立． 【解析】3．已知函数()f x xlnx =，2()2g x x ax =-+- （Ⅰ）求函数()f x 在[t ，2](0)t t +>上的最小值；（Ⅰ）若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1x ，212()x x x <且212x x ln ->，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由()10f x lnx '=+=，可得1x e=，∴Ⅰ10t e <<，时，函数()f x 在1(,)t e 上单调递减，在1(e，2)t +上单调递增，∴函数()f x 在[t ，2](0)t t +>上的最小值为11()f ee=-， Ⅰ当1te时，()f x 在[t ，2]t +上单调递增， ()()min f x f t tlnt∴==，11,0()1,mint e e f x tlnt te ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩；（Ⅰ）2()()2y f x g x xlnx x ax =+=-+-，则21y lnx x a '=-++题意即为210ylnx x a '=-++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <，即21a lnx x =-+-有两个不同的实根1x ，212()x x x <，等价于直线y a =与函数()21G x lnx x =-+-的图象有两个不同的交点1()2G x x '=-+，()G x ∴在1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当1()())22min a G x G ln >==时，1x ，2x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大而当212x x ln -=时，由题意1122210210lnx x a lnx x a -++=⎧⎨-++=⎩，两式相减可得11222()22x ln x x ln x =-=-214x x ∴=代入上述方程可得214423x x ln ==，此时222()133ln a ln ln =--，所以，实数a 的取值范围为222()133ln a ln ln >--；4．已知函数()f x lnx =，21()1(2g x x bx b =-+为常数）．（1）函数()f x 的图象在点(1，f （1）)处的切线与函数()g x 的图象相切，求实数b 的值；（2）若0b =，()()()h x f x g x =-，1x ∃、2[1x ，2]使得12()()h x h x M-成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）当2b 时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求b 的取值范围．【解析】（1）()f x lnx =，1()f x x∴'=，f '（1）1=， ∴函数()f x 的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为1y x =-，----------------（2分）直线1y x =-与函数()g x 的图象相切，由21112y x y x bx =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 消去y 得22(1)40x b x -++=，则Ⅰ24(1)160b =+-=，解得1b =或3---------------------------------------（4分）（2）当0b =时，21()()()12h x f x g x lnx x =-=--([1,2])x ∈，1(1)(1)()x x h x x x x-+∴'=-=，----------------------------------------------（5分）当(1x ∈，2]时，()0h x '<，∴在[1，2]上单调递减，()max h x h=（1）32=-，()min h x h=（2）23ln =-，-----------------------------------（7分）则123[()()]()()22max max min h x h x h x h x ln -=-=-，3212Mln ∴-<，故满足条件的最大整数是0M =．------------------------------（9分）（3）不妨设12x x >，函数()f x lnx =在区间[1，2]上是增函数，12()()f x f x ∴>，函数()g x 图象的对称轴为x b =，且2b ，∴函数()g x 在区间[1，2]上是减函数，12()()g x g x ∴<，------------------------------------------------------（10分）1212|()()||()()|f x f x g x g x ∴->-等价于1221()()()()f x f x g x g x ->-，即1122()()()()f xg x f x g x +>+，----------------------------------（11分）等价于21()()()12x f x g x lnx x bx ϕ=+=+-+ 在区间[1，2]上是增函数，等价于1()0x x b xϕ'=++在区间[1，2]上恒成立，---------------------------（12分）等价于1bx x+在区间[1，2]上恒成立， 2b ∴，又2b ，2b ∴=．------------------------------------------------（14分）5．设函数2()f x ax a lnx =--，1()xe g x xe =-，其中a R ∈， 2.718e ⋯=为自然对数的底数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当1x >时，()0g x >；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立． 【解析】（Ⅰ）由2()f x ax a lnx =--，得2121()2(0)ax f x ax x x x-'=-=>，当0a时，()0f x '<在(0,)+∞成立，则()f x 为(0,)+∞上的减函数；当0a >时，由()0f x '=，得x =∴当x ∈时，()0f x '<，当x ∈)+∞时，()0f x '>，则()f x 在上为减函数，在，)+∞上为增函数；综上，当0a时，()f x 为(0,)+∞上的减函数，当0a >时，()f x 在上为减函数，在)+∞上为增函数；（Ⅰ）证明：要证()0(1)g x x >>，即10x exe->， 即证1xe x e>，也就是证xe e x >，令()xe h x x=，则2(1)()x e x h x x -'=，()h x ∴在(1,)+∞上单调递增，则()min h x h =（1）e =，即当1x >时，()h x e >，∴当1x >时，()0g x >； （Ⅰ）由 （Ⅰ） 知，当1x > 时，()0g x >， 当0a，1x >时，2()(1)0f x a x lnx =--<，故当()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立时，必有0a >， 当102a << 时1>， 由 （Ⅰ）有(1)0f f <=，而0>，∴此时()()f x g x > 在区间(1,)+∞ 内不恒成立；当12a时，令()()()(1)h x f x g x x=-，当1x > 时1211,()2x h x ax e x x-'=-+- 3222211121210x x x x x x x x x x -+-+>-+-=>>，因此()h x 在区间(1,)+∞上单调递增， 又h （1）0=，∴当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x > 恒成立， 综上1,[,)2a ∈+∞．6．已知函数()f x x alnx =+在1x =处的切线与直线20x y +=垂直． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅰ）函数21()()2g x f x x bx =+-，若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（Ⅰ）设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b，求12()()g x g x -的最小值．【解析】（Ⅰ）根据题意，()f x x alnx =+，则()1a f x x'=+，又由切线与直线20x y +=垂直，则有k f '=（1）12a =+=，即1a =，（Ⅰ）根据题意，21()()2g x f x x bx =+-，则21()(1)2g x lnx x b x =+--，∴21(1)1()(1)x b x g x x b x x--+'=+--=，由题知()0g x '<在(0,)+∞上有解，0x >∴设2()(1)1x x b x φ=--+，而(0)10φ=>，所以要使()0g x '<在(0,)+∞上有解，则只需212(1)40b b -⎧>⎪⎨⎪=-->⎩， 即131b b b >⎧⎨><-⎩或，所以b 的取值范围为(3,)+∞．（Ⅰ）21(1)1()(1)x b x g x x b x x--+'=+--=， 令()0g x '=，得2(1)10x b x --+=，1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，则1x ，212()x x x <是2(1)10x b x --+=的两个根，121x x b ∴+=-，121x x =，221211122211()()[(1)][(1)]22g x g x lnx x b x lnx x b x -=+---+--22221112112122212221111()()()222x x x x x x x ln x x ln ln x x x x x x x -=--=-=--， 令12x t x =，则1211()()()()2g x g x h t lnt t t-==--，120x x <<∴12(0,1)x t x =∈， 又72b ，所以512b -，所以222121212()125(1)()24x x b x x t x x t +-=+==++， 整理有241740t t -+，解得1144t-， ∴1(0,]4t ∈，而222111(1)()(1)022t h t t t t -'=-+=-<，所以()h t 在1(0,]4单调递减，则有115()()2248h t h ln =-；故12()()g x g x -的最小值是15228ln -．7．已知函数21()12a f x alnx x +=++（1）当12a =时，求()f x 在区间1[,]e e上的最值（2）讨论函数()f x 的单调性（3）当10a -<<时，有2()1()f x ln a a>+-恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）当12a =-时，21()124x f x lnx =-++，∴211()222x x f x x x --'=+=． ()f x 的定义域为(0,)+∞，∴由()0f x '=得1x =．()f x ∴在区间1[,]e e上的最值只可能在1(1),(),()f f f e e 取到，而2251311(1),(),()42424e f f f e e e ==+=+，215()(),()(1)244maxmin e f x f e f x f ==+==．（2）2(1)(),(0,)a x af x x x++'=∈+∞．Ⅰ当10a +，即1a -时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)+∞单调递减；Ⅰ当0a时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞单调递增；Ⅰ当10a -<<时，由()0f x '>得21ax a ->+，∴x >x <()f x ∴在)+∞单调递增，在上单调递减； 综上，当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当10a -<<时，()f x 在)+∞单调递增，在上单调递减． 当1a-时，()f x 在(0,)+∞单调递减；（3）由（2）知，当10a -<<时，()min f x f =即原不等式等价于1()2af ln a >+-，即111()212a a aln a a +-++>+-+整理得(1)1ln a +>- ∴11a e>-， 又10a -<<，a ∴的取值范围为1(1,0)e-．8．已知函数()f x ax xlnx =+的图象在点(x e e =为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅰ）若2()f x kx 对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（Ⅰ）当*1(,)n m m n N >>∈m n>．【解析】（Ⅰ）求导数，得()1f x a lnx '=++． 由已知，得f '（e ）3=，即13a lne ++=1a ∴=．（Ⅰ）由（Ⅰ），知()f x x xlnx =+，2()f x kx ∴对任意0x >成立1lnxkx+⇔对任意0x >成立， 令1()lnx g x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值．求导数，得()2lnx g x x '=-，令()0g x '=，解得1x =．当01x <<时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上是增函数； 当1x >时，()0g x '<，()g x ∴在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值g （1）1=．1k ∴即为所求．（Ⅰ）证明：令()1xlnx h x x =-，则1()(1)2x lnx h x x --'=-．由（Ⅰ），知1(0)x lnx x +>，()0h x ∴'，()h x ∴是(1,)+∞上的增函数．1n m >>，()()h n h m ∴>，即11nlnn mlnmn m >--， mnlnn nlnn mnlnm mlnm ∴->-，即mnlnn mlnm mnlnm nlnn +>+， 即mn m mn n lnn lnm lnm lnn +>+， 即()()n m m n ln mn ln nm >，()()n m m n mn nm ∴>，∴m n>． 9．已知函数()()f x x ln x a =-+的最小值为0，其中0a >．设()m g x lnx x=+，（1）求a 的值；（2）对任意120x x >>，1212()()1g x g x x x -<-恒成立，求实数m 的取值范围；（3）讨论方程()()(1)g x f x ln x =++在[1，)+∞上根的个数． 【解析】（1）()f x 的定义域为(,)a -+∞．11()1x a f x x a x a+-'=-=++． 由()0f x '=，解得1x a a =->-．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因此，()f x 在1x a =-处取得最小值，故由题意(1)10f a a -=-=，所以1a =．⋯（4分） （2）由1212()()1g x g x x x -<-知1122()()g x x g x x -<-对120x x >>恒成立即()()m h x g x x lnx x x=-=-+是(0,)+∞上的减函数．21()10mh x x x'=--对(0,)+∞恒成立，2m x x -对(0,)x ∈+∞恒成立， 21()4max x x -=，14m ⋯（8分）（3）由题意知m lnx x x+=，(1)m x lnx xx=-由图象知1m 时有一个根，1m <时无根．⋯（12分） 或2m x xlnx =-，2()21x xlnx x lnx '-=--，1x ，又可求得1x 时(21)10min x lnx --=>，2x xlnx ∴-在1x 时单调递增．1x 时，21x xlnx -，1m 时有一个根，1m <时无根．10．设函数()(1)f x lnx a x =+-． （Ⅰ）讨论：()f x 的单调性；（Ⅰ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）()(1)f x lnx a x =+-的定义域为(0,)+∞，11()axf x a x x-∴'=-=， 若0a ，则()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a >，则当1(0,)x a∈时，()0f x '>，当1(x a∈，)+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，)+∞上单调递减，（Ⅰ），由（Ⅰ）知，当0a时，()f x 在(0,)+∞上无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为1()1f lna a a=-+-，1()22f a a>-， 10lna a ∴+-<，令g （a ）1lna a =+-，g （a ）在(0,)+∞单调递增，g （1）0=，∴当01a <<时，g （a ）0<，当1a >时，g （a ）0>，a ∴的取值范围为(0,1)．。
专题2.14 利用导数求参数范围(解析版)
第十四讲利用导数求参数范围【修炼套路】考向一利用单调性求参数【例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．【答案】a≤0【解析】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.【举一反三】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．【答案】a≤3【解析】因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.2.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a≥3时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数．3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．【答案】3【解析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3a3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【答案】（0,3）【解析】∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
导数求参数的取值范围习题
一． 已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.基础训练：.)().2(;)().1(1,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=类型2．参数放在区间边界上例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.(1) 求)(x f 的表达式(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围..,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.基础训练：__________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.（１） 求)(x f 的解析式.（２） 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围..___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.基础训练：轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f ax x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=四. 开放型的问题，求参数的取值范围。
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高二导数求参数范围练习题
在高二数学中，导数是一个重要的概念。
它不仅在微积分中有着重
要的作用，而且在实际问题中也有广泛的应用。
导数可以帮助我们研
究函数的变化规律和性质。
在求参数范围的问题中，导数也扮演着重
要的角色。
本文将通过几个练习题来演示如何使用导数求解参数的取
值范围。
练习题一：
已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a，b，c 是实数。
如果函数图像
的顶点位于 x 轴上方，则参数 a 的取值范围是多少？
解答：
根据函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的二次函数性质，当参数 a 大于零时，函数的图像开口向上，顶点位于 x 轴上方；当参数 a 小于零时，函数
的图像开口向下，顶点位于 x 轴下方。
因此，要使函数图像的顶点位于 x 轴上方，参数 a 必须大于零。
即：a > 0。
练习题二：
已知函数 g(x) = |x - a| + b，其中 a，b 是实数。
若函数图像在点 (1, 3) 处有一个拐点，则参数 b 的取值范围是多少？
解答：
根据函数 g(x) = |x - a| + b 的绝对值函数性质，在点 (1, 3) 处有一个拐点意味着函数图像在该点两侧的斜率不相等。
求解此题需要分别考虑拐点在 (1, 3) 左侧和右侧的情况。
首先考虑拐点在 (1, 3) 左侧的情况，即 x < 1。
当 x < 1 时，函数 g(x) = |x - a| + b 可以化简为 g(x) = -(x - a) + b = -x + a + b。
此时，函数图像的斜率为 -1。
根据斜率与函数的图像关系，当参数b 大于 3 - a 时，函数图像在 (1, 3) 左侧有一个拐点。
接下来考虑拐点在 (1, 3) 右侧的情况，即 x > 1。
当 x > 1 时，函数 g(x) = |x - a| + b 可以化简为 g(x) = x - a + b。
此时，函数图像的斜率为 1。
根据斜率与函数的图像关系，当参数b 小于 3 - a 时，函数图像在 (1, 3) 右侧有一个拐点。
综上所述，参数 b 的取值范围为：b < 3 - a 或 b > 3 - a。
练习题三：
已知函数 h(x) = a^x + b，其中 a，b 是实数。
若函数图像在点 (0, 5) 处存在水平切线，则参数 a 的取值范围是多少？
解答：
要使函数图像在点 (0, 5) 处存在水平切线，意味着函数在该点的导数为零。
求解此题需要对函数 h(x) = a^x + b 求导。
函数 h(x) 的导数为 h'(x) = a^x * ln(a)。
令导数 h'(x) = 0，得到方程 a^x * ln(a) = 0。
由于 ln(a) 不等于零，所
以必须有 a^x = 0。
当且仅当 a = 0 时，方程成立。
因此，参数 a 的取值范围为 a = 0。
通过上述练习题，我们可以看到在求解参数范围的问题中，导数的
作用不可忽视。
导数可以帮助我们分析函数图像的变化趋势，从而得
到参数的取值范围。
在实际问题中，我们可以通过求导来解决更复杂
的参数范围问题，从而更好地理解函数的性质与特点。
以上为导数求参数范围练习题的解答，希望能对你的学习有所帮助。
在学习数学的过程中，我们要不断思考，善于运用数学知识解决实际
问题。
加油！。