三角函数对称性问题
三角函数的对称性、中心对称
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
解析：函数
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2
2
2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------
3
2w
3
得w .
2
2w
...........-2
2w
融会贯通：
函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于
π
三角函数对称性习题
k (k Z)，则 x -，所以函数y Acos()的图象的对称轴方程习题:最大负值是n8、f (x ) =sin2x+acos2x 关于 x= 对称，求 a 的值 8、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形y Asin( x )对称轴方程的求法是：令 sin( x ) 1，得k i (k Z)，则x (2k 2 2 ，所以函数 Asin( x )的图象的 (2k 1) 2 对称轴方程为x2y Acos( x)对称轴方程的求法是：令 cos( x ) 1，得1、 函数 y 3si n(2xR 图象的对称轴方程为 2、 函数5 y=s in (2x+q n) 图象的对称轴方程为3、 函数4、 函数 1 f (x) cos(3x 2 ny=cos(2x-—) 3)的图象的对称轴方程是 的图象的对称轴方程是 5、 n y=sin(2x+ )的一条对称轴为( 4n n nA.x=-B.x= ■C.x=- 4 8 8D.x=6、 n y=cos(2x-—)的一条对称轴为n 5 n nx=§ B.x= 了C.x= 12 71 7、 y =sin(2x+ $ )的一条对称轴为n x=- y ,贝打= ，y 的最小正值是、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形y Asin( x )的对称中心求法是：令sin( x ) 0,得x k (k Z), nt k k则x (k Z)，所以函数y Asin( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；y Acos( x )对称中心的求法是：令cos( x ) 0，得(2k 1) 2x k -(k Z) ，则x ---------------------------- 扌------ (k Z)，所以函数y Acos( x )的图象关于点(__ ,0) (k Z)成中心对称；2习题：1、函数y 4sin(2x -)的图象的一个对称中心是_____________________________612、函数y 2cos(—x —)的图象的对称中心是____________________________2 8n3、y=sin(2x+ —)的一个对称中心为( )n 5 n n nA.( — ,0)B.( 石,0)C.( 12 ,0)D.( ,0)n4、y=2cos(2x- ■—)的一个对称中心为( )3n n nA. (n ,0 )B. (,0 )C. ( — ,0 )D.(乜,0)n5、y=cos(2x+ $ )的对称中心为(■— ,0) 则$ = ___________ , y的最小正值是___________ , y的最大负值是__________ 。
第64课--求三角函数的对称轴或对称中心
第64课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
高中数学总结归纳点拨 三角函数图象的对称性
三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚．一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ） Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ， Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ， 解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ， Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ， 解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，． 故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 解：()f x Q 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕQ ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭g ， 又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=L 当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数． 综上所述，23ω=或π22ωϕ==，． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
三角函数图象的对称性
三角函数图象的对称性质及其应用观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。
为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形性质1、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ-=k x 。
例1、函数)62sin(3π+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，32π=x ，故选（B ）。
例2、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)33cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是93ππ-=k x )(Z k ∈。
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 例3、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是（ ） （A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π 解：由性质2知，令0)62sin(=-πx 得ππk x =-62)(Z k ∈，即122ππ+=k x )(Z k ∈，取0=k 时，12π=x ，故选（A ）。
初中数学 如何求解三角函数的对称性变换问题
初中数学如何求解三角函数的对称性变换问题要求解三角函数的对称性变换问题，我们需要了解三角函数的对称性质，并掌握对称函数的变换规律。
下面以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的对称性变换问题。
1. 正弦函数的对称性质：正弦函数是关于原点对称的，即sin(-x) = -sin(x)。
这意味着如果我们对正弦函数关于原点对称，那么得到的函数仍然是正弦函数。
2. 对称函数的变换规律：对于关于原点对称的函数f(x)，有f(-x) = f(x)。
对于关于y轴对称的函数f(x)，有f(-x) = f(x)，对于关于x轴对称的函数f(x)，有f(-x) = -f(x)。
3. 求解正弦函数的对称性变换问题：现在我们要求解sin(x)的关于y轴对称问题，即要找到一个函数g(x)，使得g(x) = sin(-x)。
根据对称函数的变换规律，我们有g(-x) = g(x)，因此，我们可以推导出g(x) = sin(x)。
所以，sin(-x) = sin(x)的对称性变换函数是g(x) = sin(x)。
4. 其他对称性变换问题：类似地，我们可以根据对称函数的变换规律求解其他三角函数的对称性变换问题。
以余弦函数为例，余弦函数是关于y轴对称的，即cos(-x) = cos(x)。
根据对称函数的变换规律，我们可以推导出cos(-x) = cos(x)的对称性变换函数是h(x) = cos(x)。
总结：在求解三角函数的对称性变换问题时，我们需要了解三角函数的对称性质，并掌握对称函数的变换规律。
对于正弦函数，其关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。
根据对称函数的变换规律，我们推导出sin(-x) = sin(x)的对称性变换函数是g(x) = sin(x)。
类似地，对于余弦函数，其关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
根据对称函数的变换规律，我们推导出cos(-x) = cos(x)的对称性变换函数是h(x) = cos(x)。
三角函数 对称轴 关系
三角函数对称轴关系三角函数是数学中研究角度与三角量之间关系的函数，其在各个领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，对称轴是一个非常重要的概念。
对于一般的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，它们都是具有对称轴的。
三角函数的对称轴是其函数图像的垂直平分线。
对于正弦函数y=sinx，其对称轴是直线x=k π+π/2 (k∈Z)；对于余弦函数y=cosx，其对称轴是直线x=kπ(k∈Z)；对于正切函数y=tanx，其对称轴是直线x=kπ+π/2 (k∈Z)。
这些对称轴是三角函数图像的重要特征，可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质。
三角函数的对称轴与其周期性有着密切的关系。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像以对称轴为中心左右对称，表现出非常明显的对称性。
这种对称性在解决一些数学问题时可以发挥重要的作用。
例如，在求解一些关于三角函数的方程时，可以利用对称轴的性质来简化计算过程。
此外，三角函数的对称轴还与其定义域有关。
对于正弦函数和余弦函数，它们的定义域是无限的，因此它们的对称轴也是无限的。
而对于正切函数，其定义域是除去整数倍的π/2的实数集，因此其对称轴是有限的。
这种定义域的限制也使得正切函数的图像呈现出独特的形状。
在实际应用中，三角函数的对称轴可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质，从而更好地应用于各个领域。
例如，在物理学中，三角函数可以用来描述周期性变化的物理量，如振动、波动等；在工程学中，三角函数可以用来设计各种机械、电子设备等；在金融学中，三角函数可以用来描述金融数据的波动等。
因此，深入理解三角函数的对称轴性质对于各个领域的科学研究和实践应用都具有重要的意义。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
三角函数的奇偶性对称性问题
三角函数的奇偶性对称性问题一 •选择题(共4小题)1. ( 2015?湖南模拟)f (x ) =Asin (®x+ ® (A > 0, w > 0)在 x=1 处取最大值，则() A . f (x - 1) 一定是奇函数 B . f (x - 1) 一定是偶函数C . f (x+1 ) 一定是奇函数D . f ( x+1) 一定是偶函数3. (2008秋？南通校级期末)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=盲对称，那么a= O( )A .血B ..西C . 1D . - 1(2014?抚州模拟)设函数 f (x ) =Asin ( w x+ $) (A 和，w> 0,二.填空题(共3小题)兀 7T5. (2006?湖南)若f (x) =asin (x+—) +3为门 心一三)是偶函数，则a= ___________ .6. ( 2001?上海)关于x 的函数f (x ) =sin (x+ ®有以下命题：① 对任意的 為f (x )都是非奇非偶函数；② 不存在0,使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③ 存在札使f (x )是奇函数；④ 对任意的 為f (x )都不是偶函数.其中一个假命题的序号是____________ .因为当 0= ___________ 时，该命题的结论不成立. 2. ( 2011?新课标)设函数，则 A . y=f (x )在(0,)单调递增，其图象关于直线 B . y=f (x )在(0，•二)单调递增，其图象关于直线 x=——对称4x=- _对称C. y=fD. y=f (x ) 在(0, 单调递减, 单调递减, 其图象关于直线 其图象关于直线 X= _对称4 7Tx= 对称2 4. 对称，它的周期是 n 则( )A . f (x )的图象过点 g 号) Q) C . f (x )的一个对称中心是 12B . f (x )在D . f (x )的最大值是Af (x ) =sin (2x+ ) +cos (2x 』),贝y (4(x )在(0, 象关于直线7. ( 2009?湖北校级模拟)已知函数f (x) =sinx+cos (x+t )为偶函数，且t满足不等式t2- 3t - 40V 0,贝U t的值为________________________ .三角函数的奇偶性对称性问题参考答案一•选择题（共4小题）1. D ；2. D ；3. C ；4. C ；二.填空题（共3小题）5.迢；6.①；k n（k €Z）;7.或打；。
三角函数诱导公式和函数的对称性
三角函数诱导公式和函数的对称性秭归二中 邮编:443600杜海柱三角函数的诱导公式我们比较熟悉,但对一些公式所反映的对称性并不熟悉.下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧.一. 轴对称定理一 如果函数y ()f x =满足()()f x a f x a +=-或()(2)f x f a x =-,函数y ()f x =的图像关于直线x=a 对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于直线x=a 的对称点'(2,)p a x y -，显然有y ()f x =。
()(2),f x f a x =-由则y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y -也在函数的图像上。
由点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于直线 x=a 对称。
例如 三角函数诱导公式()cos 2cos ,,k x x k z π-=∈函数cos y x =的图像对称轴为,x k k z π=∈；sin(2)sin ,k x x k z ππ+-=∈，函数sin y x =的图像对称轴为,2x k k z ππ=+∈。
二 . 中心对称 定理二 如果函数y ()f x =满足()2()()()f a x f x f a x f a x -=--=-+或 函数y ()f x =的图像关于点（a,0）成中心对称。
证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于点（a,0）的对称点'(2,)p a x y --由(2)(),f a x f x -=-则-y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y --也在函数y ()f x =的图像上。
点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于点（a,0）成中心对称。
例如：三角函数诱导公式sin(2)sin ,k x x k z π-=-∈，就说明函数sin y x = 的图像关于点（a,0） 成中心对称；由cos(2)cos ,k x x k z ππ+-=-∈，说明函数cos y x = 图像关于点(,0)2k ππ+ 成中心对称。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
高中数学三角函数对称轴公式
高中数学三角函数对称轴公式
我们要找出高中数学中三角函数的对称轴公式。
首先，我们要了解三角函数的基本性质和对称性。
对于一般的三角函数 y = sin(x) 或 y = cos(x)，它们都具有周期性。
这意味着它们会在一个固定的间隔内重复其值。
对于正弦函数 y = sin(x)，它的周期是2π。
对于余弦函数 y = cos(x)，它的周期也是2π。
对称轴公式是：
对于正弦函数 y = sin(x)，其对称轴是x = kπ + π/2，其中 k 是整数。
对于余弦函数 y = cos(x)，其对称轴是x = kπ，其中 k 是整数。
这些对称轴公式可以帮助我们更好地理解三角函数的图像和性质。
三角函数的对称性问题
三角函数的对称性问题一、知识要点：正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性问题如下图：（1）由基本三角函数的图象可以看出，正弦曲线、余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线；正切曲线只是中心对称曲线.（2）正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线的最高点或最低点，相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期；正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点(与x 轴的交点），相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期，并且对称轴、对称中心间隔排列着. 正切曲线的对称中心除去零点外还有使正切函数值不存在的点，用平行于x 轴的直线去截正切曲线，相邻两交点之间的距离都相等并且都等于正切函数的周期.(3) 函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+的单调区间以及对称轴，对称中心可利用整体代换法由正弦函数、余弦函数的单调区间、对称轴、对称中心求解.二、典型例题：例1：若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．则()y f x =的解析式可以是A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-2222π22解析：由最小正周期为π,可排除A, 由图象关于直线3x π=对称,可排除B, 由在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数可得答案应为C.评述：本题考查了三角函数的性质及其解析式的探求.三角的复习应充分利用数形结合的思想方法，即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的性质，同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象，揭示图形的代数本质.例2：已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是 ( )A ．(3,(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃解析: ∵y = cosx 是R 上的偶函数，∴()cos y f x x =是定义在)3,3(-上的奇函数，故只须考察()cos y f x x =在区间(0,3)上的函数值的取正取负的情况，根据函数(),cos y f x y x ==在区间(0,3)上的零点，列表如下：函数()cos y f x x =的图象如上所示，不等式0cos )(<x x f 的解集是三个分离的开区间的并集，即(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃.故应选B.评述：考纲要求“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图”.命题时将函数图象的叠加作为命题点,这也是近年来高考的一个热点.三、举一反三：1. 函数1cos y x =+的图象 ( )A. 关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =2π对称答案： B解析:由于函数cos 1y x =+为偶函数，故其图象关于y 轴对称.故应选B.2.将函数y =sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）A ．76π B ．2π C ．6π D ．3π答案：C解析:由)3sincos 3cos(sin 2cos 3sin ππ⋅-⋅=-=x x x x y 2sin(),3x π=-2sin(),3y x π=-即 函数图象的周期,2π=T 且图象上一个对称中心)0,3(π,结合图象分析知,图象再向右平移6π 后，图象关于y 轴对称,所以a 的最小值为,6π故选C.3. 若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝ .答案： a ＝－1解析:∵x 1＝0，x 2＝－π4 是定义域中关于x ＝－π8对称的两点∴f (0)＝f (－π4 ),即0＋a ＝sin(－π2 )＋a cos(－π2), ∴a ＝－1.4.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，R x ∈.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称中心坐标；(Ⅱ)若11()25x f =，且π<<x 0，求x x sin cos -的值.解析:)2cos 1(232sin 22cos 1)(x x x x f +++-=22cos 2sin ++=x x 2)42sin(2++=πx .令ππk x =+42 知 82ππ-=k x ， Z k ∈.故函数)(x f 的图象的对称中心的坐标为)2,82(ππ-k（Z k ∈）.（II ）由11()25xf =, 得1sin cos 5x +=, 平方得 242sin cos 25x x =- .又).,0(π∈x 故 0s i n>x ， 0cos <x∴7cos sin 5x x -===-即7cos sin 5x x -=-.。
高三数学选择填空难题突破 与三角函数相关的最值问题
高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题一、方法综述三角函数相关的最值问题一直是高考数学的热点之一。
其中，三角函数的最值问题是三角函数的重要题型之一，主要包括考查三角函数图像和性质的最值问题，以及以三角函数的有界性为主的最值问题。
熟悉三角函数的图像和性质，掌握转化思想是解决这类问题的关键。
二、解题策略1.类型一：与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题例1】若将函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图像向左平移$\theta$（$\theta>0$）个单位，所得的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的最小值是（）。
A。
$\frac{\pi}{3}$。
B。
$\frac{\pi}{5}$。
C。
$\frac{\pi}{4}$。
D。
$\frac{8\pi}{3}$解析】函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$为常数函数，其图像为一条直线。
将其向左平移$\theta$个单位，得到的图像仍然是一条直线，不可能关于$y$轴对称。
因此，该题没有解。
举一反三】1.【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)+\cos x$的图像向左平移$3$个单位，所得图像对应的函数恰为奇函数，则平移量的最小值为（）。
A。
$\pi$。
B。
$\frac{\pi}{2}$。
C。
$\frac{\pi}{3}$。
D。
$\frac{\pi}{6}$解析】将函数$y=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$的图像向左平移$3$个单位，得到的图像对应的函数为$y=-\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$，为奇函数。
根据奇函数的对称性可知，平移量$\theta$必须是$\frac{\pi}{2}$的倍数，且$\theta>0$。
三角函数的奇偶性及像对称
三角函数的奇偶性及像对称三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们具有奇偶性质和像对称性质，这些特性对于研究和解决各种数学问题非常重要。
一、正弦函数的奇偶性及像对称正弦函数常用符号sin(x)表示，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)的性质。
这意味着正弦函数关于原点对称，图像在原点处为对称中心。
正弦函数的图像呈现周期性变化，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)成立。
这一周期性使得正弦函数的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
二、余弦函数的奇偶性及像对称余弦函数通常用符号cos(x)表示，其定义域为实数集，值域也是[-1, 1]。
余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)的性质。
这意味着余弦函数关于y轴对称，图像在y轴上为对称中心。
与正弦函数相似，余弦函数也具有周期性变化的特点。
对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)成立。
这使得余弦函数的图像在每个周期内呈现相同的形状。
三、正切函数的奇偶性及像对称正切函数常用符号tan(x)表示，其定义域是不包括π/2和3π/2的实数集，值域为(-∞, +∞)。
正切函数不是奇函数也不是偶函数，也不呈现周期性变化。
正切函数没有像对称的性质。
其曲线穿过原点，形成一系列的“无限支”结构，可以延展至正无穷和负无穷。
总结：三角函数的奇偶性和像对称性是它们最基本的性质之一。
正弦函数是奇函数，关于原点对称；余弦函数是偶函数，关于y轴对称；而正切函数既不是奇函数也不是偶函数，也没有像对称性。
了解和掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。
无论是在数学问题的解决中，还是在物理、工程等实际应用中，都需要运用到三角函数的奇偶性和像对称性。
通过熟练掌握这些特性，我们能够更好地分析问题、解决问题，并得到准确的结果。
三角函数是数学中的基础知识，它们的性质和特性不仅在高中数学中有重要意义，在大学的微积分、线性代数等课程中也会涉及到。
三角函数的周期性与对称性
三角函数的周期性与对称性三角函数是数学中的常用函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们具有周期性和对称性的特点，这些特点在数学和物理中具有重要的应用和意义。
一、正弦函数的周期性与对称性正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的定义域是所有实数集合R，值域是[-1,1]。
正弦函数的图像呈现周期性变化，即函数值在一定范围内重复出现。
这个周期称为正弦函数的周期，用T表示。
正弦函数的周期可以通过以下公式来求解：T = 2π/ω其中，ω为正弦函数的角频率，表示单位时间内正弦函数的变化次数。
正弦函数的角频率与函数的变化速率密切相关，角频率越大，函数的变化速率越快。
正弦函数的图像在x轴上具有对称性，即关于x轴对称。
当x的取值增加或减少2π的整数倍时，正弦函数的值保持不变。
也就是说，正弦函数在一个周期内的值是相同的。
这个对称性使得正弦函数在数学和物理中有广泛的应用，例如在振动和波动的描述中。
二、余弦函数的周期性与对称性余弦函数是与正弦函数密切相关的函数，它的定义域和值域与正弦函数相同。
余弦函数的周期和正弦函数相同，也可以通过公式T =2π/ω来求解。
余弦函数的图像在x轴上也具有对称性，同样是关于x轴对称。
当x的取值增加或减少2π的整数倍时，余弦函数的值保持不变。
与正弦函数相比，余弦函数在图像上向右平移π/2个单位，即相位的差异。
三、正切函数的周期性与对称性正切函数的定义域是所有实数集合R，值域是(-∞, +∞)。
正切函数没有周期性，它的图像呈现出无限振荡的特点。
当x的取值增加或减少π的整数倍时，正切函数的值相互对称，即具有奇对称性。
正切函数的图像在x轴和y轴上都具有对称性。
在x轴上的对称性表现为当x的取值增加或减少π的整数倍时，正切函数的值保持不变。
在y轴上的对称性表现为当正切函数的角度增加或减少180°的整数倍时，函数值保持不变。
总结：三角函数的周期性与对称性是它们的重要特点，对于理解和应用三角函数具有重要的意义。
方法6： 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心
方法6 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心一、单选题1．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ）A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减【答案】ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【解析】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k=时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误. 故选：ABD. 【小结】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间. 2．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ），函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 ，函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 ，该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象 A ．，， B ．，，C ．，，，D ．，，，【答案】A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可. 【解析】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭所以222T ππωπ===， 当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于，，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确； 对于，，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确； 对于，，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于，，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确；故选：A. 【小结】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 3．将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到()g x 的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 图象关于直线4x π=对称C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】首先利用平移变换规律得到1()sin 22g x x =-，再通过整体代入法判断函数性质，得到选项. 【解析】由题易得1()sin 22g x x =-， A.函数的周期22T ππ==，故A 不正确； B.当4x π=时， ()g x 取得最小值12-.故B 正确； C.,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，此时,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 当22,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D.当3x π=时，()02f x =-≠，所以D 不正确. 故选：B 【小结】思路小结：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断. 【解析】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【小结】判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心.5．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3182f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．点7,024π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】B 【分析】利用对称轴之间距离和函数对称轴可求得()f x 图像；利用余弦型函数最小正周期求解可知A 正确；根据解析式求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭可知B 错误；利用代入检验法可知C ，D 正确. 【解析】()f x 相邻两条对称轴之间的距离为4π，()f x ∴的最小正周期2242T πππω==⨯=，解得：4ω=，12x π=是()f x 的一条对称轴，()412k k Z πϕπ∴⨯+=∈，解得：()3k k ϕπ=π-∈Z ， 又2πϕ<，3ϕπ∴=-，()cos 43f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于A ，由上述求解可知，A 正确；对于B ，33cos sin 8233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 错误； 对于C ，当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]4,03x ππ-∈-，()f x ∴在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D ，当724x π=-时，3432x ππ-=-，且73cos 0242f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7,024π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心. 故选：B. 【小结】对于判断正弦型或余弦型函数的对称轴、对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，即判断x ωϕ+整体是否对应正弦函数或余弦函数所对应的对称轴、对称中心和单调性. 6．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线6x π=对称的是（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】确定函数的周期，再判断对称性．可得结论． 【解析】由三角函数周期性知，C 中函数最小正周期是2412ππ=，其他三个函数的最小正周期都是22ππ=， 把6x π=代入A 有2sin 2266y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭是最大值，因此6x π=是函数图象的对称轴； 代入B中有2cos 266y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭不是最值，因此6x π=不是函数图象的对称轴； 代入D 中有2sin 2063y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，不是最值，6x π=是函数图象的对称轴；． 故选：A ． 【小结】本题考查函数的周期性与对称性．对于三角函数()sin()f x A x ωϕ=+，可以结合正弦函数的性质求出对称轴和对称中心，如利用,2x k k Z πωϕπ+=+∈求得对称轴，利用,x k k Z ωϕπ+=∈求得对称中心坐标，再判断，也可用代入法，即若0()f x 是函数的最值（最大值或最小值），则0x x =是对称轴，若0()0f x =，则0(,0)x 是对称中心． 7．关于()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有以下命题：①若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；②()f x 图象与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象相同；③()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数；④()f x 图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题序号是（ ） A ．②③④ B ．①④C ．①②③D ．②③【答案】A 【分析】结合三角函数的图象与性质，逐个验证即可得解. 【解析】对于①，因为函数()f x 的最小正周期22T ππ==，且()()120f x f x ==， 所以12π()2k x x k Z -=∈，故①错误； 对于②，ππππcos 2sin 2sin 24424x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()()f x g x =， 所以()f x 图象与()g x 图象相同，故②正确；对于③，当7π3π,88x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,422x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故③正确；对于④，当π8x =-时，π204x +=，所以π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故④正确. 故选：A.8．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③ B ．①②C ．②④D ．③④【答案】A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【解析】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A. 【小结】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题.9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移2π个单位后关于原点对称D ．函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 【答案】B 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误；利用代入检验法可判断B 选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C 选项的正误；由,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可求出23x π-的取值范围，可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，A 选项错误； 对于B 选项，2sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 选项正确；对于C 选项，将图象C 向右平移2π个单位后所得函数的解析式为()2sin 22sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()02sin 2sin 033g ππ⎛⎫=--==≠ ⎪⎝⎭，函数()g x 不是奇函数，C 选项错误；对于D 选项，当,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,323x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 选项错误. 故选：B. 【小结】对于正弦型函数()sin y A x k ωϕ=++在区间(),a b 上单调性的判断，一般先由(),x a b ∈计算出x ωϕ+的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.二、多选题10．已知函数()2cos 1f x x =+，下列结论正确的为（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,3]-B ．函数的一条对称轴为x π=C ．函数的一个对称中心为,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数 【答案】ABC 【分析】求出函数的值域可知A 正确；代入检验可知B C 正确；根据特值法可知D 不正确. 【解析】对于A ，因为cos [1,1]x ∈-，所以()[1,3]f x ∈-，故A 正确；对于B ，因为()2cos 11f ππ=+=-，所以函数的一条对称轴为x π=，故B 正确；对于C ，因为()2cos1122f ππ=+=，所以函数的一个对称中心为,12π⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，因为()()2cos()12sin 122g x f x x x ππ=+=++=-+，()2sin()1322g ππ-=--+=，()2sin 1122g ππ=-+=-，()()22g g ππ-≠-， 所以()g x 不是奇函数，即函数2y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不为奇函数，故D 不正确. 故选：ABC 【小结】熟练掌握三角函数的值域、对称轴、对称中心、奇偶性是解题关键. 11．函数()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴可以是（ ） A ．2x π=B ．12x π=C ．512x π=D ．12x π=-【答案】CD 【分析】利用正弦型函数图象性质求解. 【解析】()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭对称轴：2,32x k k Z πππ-=+∈， 解得5,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，512x π=，故C 选项正确；当1k =-时，12x π=-，故D 选项正确；故选：CD.12．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可.A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==， 所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确；B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-， 所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-， 故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠， 所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称， 故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数， 因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减， 故本选项说法正确. 故选：AD13．已知函数()sincos 22x xf x =+，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的值域为⎡⎣D ．设函数()()sin 0,0g x x πϕωϕπω⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭的奇偶性与函数()f x 相同，且函数()g x 在()0,3上单调递减，则ω的最小值为2 【答案】BC 【分析】首先利用函数的奇偶性的应用判定A 的结论，利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期，进一步判断B 的结论，利用函数的定义域求出函数的值域，进一步判定C 的结论，利用函数的性质求出ω的范围，进一步判定D 的结论.解：对于A ：由于函数()sincos 22x xf x =+，则根据函数的性质， 所以()sin cos ()22x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故A 错误； 对于B ：由于()sincos sin cos ()2222x x x xf x f x πππ+++=+=+=， 则函数的最小正周期为π，故B 正确；对于C ：当[]0,x π∈时，函数()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于3,2444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦24x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故C 正确； 对于D ：函数()f x 为偶函数，所以()sin g x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数， 所以sin 1ϕ=±，故()2k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ≤≤，所以2ϕπ=，所以()sin 2g x x ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()cos g x x πω⎛⎫=⎪⎝⎭， 由于0>ω，03x <<， 所以30x ππωω<<，函数在()0,3上单调递减，故3ππω≤，解得3ω≥，故D 错误. 故选：BC .14．若函数22()23sin cos f x x x x =++在[,]a a -上为增函数，则（ ）A ．实数a 的取值范围为0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．实数a 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心 D ．直线3x π=为曲线()y f x =的对称轴【答案】ACD 【分析】化简函数()2sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，函数222()23sin cos 22sin 1f x x x x x x =++=++2cos 222sin 226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令2262x πππ-≤-≤，可得263x ππ-≤≤，所以06a π<≤，所以A 正确，B 不正确； 令12x π=，可得()2sin 22212126f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心，所以C 正确； 令3x π=，可得()2sin 224336f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以3x π=为曲线()y f x =的对称轴，所以D 正确. 故选：ACD 【小结】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.15．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 D ．该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】BD 【分析】由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项． 【解析】由函数的图象可得2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===， 当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ππ22π122⨯+=+∈k k ϕZ ，则π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，得π3ϕ=， 故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，2sin 033f ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；对于B ，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确； 对于C ，当236x ππ-≤≤-时，203x ππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦不单调，故C 错误； 对于D ，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin 222sin 263⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭y x x 的图象，即D 正确. 故选：BD ． 【小结】思路小结：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或最低点求得A ，由零点或最值点求出周期从而得ω，再由点的坐标求得ϕ，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．16．设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)，5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 在,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（ ） A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 在区间,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎣⎦D ．先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得到()f x 的图象【答案】ABD 【分析】 先由()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，判断5212T π>，再由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可计算得,ωϕ，得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断. 【解析】 因为()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，所以5212312T πππ⎛⎫>--= ⎪⎝⎭，因为5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2543124T πππ=-=，所以2T ππω==，得2ω=，由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈，令1k =，得6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，令712x π=-，得26x ππ+=-，故A 项正确；令6x π=，得262x ππ+=，故B 项正确；当,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,643x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 26x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 项错误； 先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，故D 项正确. 故选：ABD 【小结】对于函数()sin y A ωx φ=+的对称轴与对称中心的求解，可将x ωϕ+看成一个整体，利用正弦函数的对称轴和对称中心计算求得. 17．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．()g x 的图象关于直线3x π=对称B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点 【答案】CD 【分析】 求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.【解析】2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误；()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 【小结】此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.18．对于函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A ．若()12f x f π⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值为2B ．当2ω=时，()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数 C ．当2ω=时，()f x 的图象可由()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度得到 D ．当12ω=时，()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 【答案】AC 【分析】由题意可知函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，可得()1232k k Z πππωπ--=+∈，可判断A选项的正误；由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可计算得出22333x πππ-<-<，可判断B 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【解析】对于A 选项，由于()12f x f π⎛⎫<-⎪⎝⎭恒成立， 则函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，所以，()1232k k Z πππωπ--=+∈，解得()1012k k Z ω=--∈，当1k =-时，正数ω取最小值2，A 选项正确； 对于B 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22333x πππ-<-<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度可得到5cos 2cos 2cos 2sin 2366323y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确； 对于D 选项，当12ω=时，()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin sin 1032332f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，函数()f x 的图象不关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 选项错误. 故选：AC. 【小结】思路小结：求解正弦型函数的基本性质问题，一般将三角函数的解析式化为()sin y A x b ωϕ=++的形式，然后利用正弦函数的基本性质来进行求解. 19．设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x 与x 轴的一个交点坐标为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】ABC 【分析】由最小正周期公式可判断A ，由813f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断B ，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C ，由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可判断D. 【解析】对于A ，函数()f x 最小正周期2T π=，所以A 正确；对于B ，()min 88cos 1333f f x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确； 对于C ，cos 0663f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误. 故选：ABC.20．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．直线38x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴 C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8π个单位得到 D ．函数()y f x =的图像关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AB【分析】先将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．【解析】解：()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，对于A 选项，当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()y f x =为增函数，A 正确； 令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以直线38x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位得到函数sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，C 错误；211884y f πππ⎛⎫=⨯⎛⎫= ⎪⎝-- ⎪⎭⎭=-⎝，故函数()y f x =的图像关于,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 错误，故选：AB.21．已知函数()2sin sin 2f x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数B ．函数()f x 在[π-，π]上有4个零点C ．函数()f x 的图象关于(π对称D ．函数()f x【答案】ACD 【分析】由选项的问题逐一计算，A 选项，代入周期的公式验证即可；B 选项，求导求函数的单调性以及极值和端点值，从而判断函数的零点个数；C 选项，代入2x π-，计算()()2f x f x π-+的值验证；D 选项，由B 选项可知结果. 【解析】A ：由于(2)()f x f x π+=，所以函数()f x 是周期函数，A 正确；B ：()2(cos 1)(2cos 1)f x x x '=-+，研究[π-，π]情况，发现()f x 在(π-，23π-)，(23π，π)单调递增，在(23π-，23π)单调递减，求得2()3f π-=，()f π=，2()3f π=，()f π-=，所以函数()f x在[π-，π]上有2个零点，故B 错误；C ：由于(2)2sin(2)sin[2(2)]()2sin sin 2f x x x f x x x πππ-=-+-==-，所以(2)()f x f x π-+=()f x 的图象关于(π)对称；D ：由B 选项的过程可知，()f x ，D 正确.故选：ACD . 【小结】本题考查含三角函数的复合型函数的周期性，零点个数以及对称性，属于中档题.（1）含三角函数的复合型函数求导时()'0f x >的解为增区间；()'0f x <的解为减区间；不考虑三角函数本身的增减性.（2）正弦型、余弦型复合函数的单调性要看内外层函数的单调性. 22．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+（0>ω，02πϕ<<）的最小正周期为π，且图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到 C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,1 D ．()f x 在区间3,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】AC 【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x ，利用已知条件求出,ωϕ，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象与性质逐一判断即可. 【解析】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，由2ππω=，解得2ω=，又函数()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以0sin 23πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 结合02πϕ<<，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当12x π=时，232x ππ+=， 故直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，选项A 正确；cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位长度后， 得到函数2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 该解析式不能化为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选项B 错误；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 此时()[]0,1f x ∈，选项C 正确； 当3,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，222,2333x πππππ⎡⎤+∈---+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象可知，()f x 在该区间上有增有减，故选项D 错误.故选：AC. 【小结】关键小结：熟练掌握三角函数的图象与性质是解决本题的关键. 23．将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．()g x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若存在()0,a π∈，使()()3g x a g x a +=+成立，则π2a 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图象的变换得到函数()g x 的解析式，然后利用函数的周期性、对称性、单调性等逐一分析各个选项，从而得解． 【解析】将sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数sin 2y x =的图象，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ()g x 的最小正周期22T ππ==，所以A 正确；对于()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令512x π=，得5()sin 2126g x ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 错误； 当,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 是单调递增的，所以C 正确；()sin 226g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，(3)sin 266g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，由()(3)g x a g x a +=+，(0,)a π∈，得2222666x a k x a πππ+-+=+-，k ∈Z ，所以2k a π=，k ∈Z ，又(0,)a π∈，所以π2a ，D 正确． 故选：ACD ． 【小结】判断某个点是否为函数图象的对称中心或某条直线是否为函数图象的对称轴，只需把相应自变量的值代入函数解析式进行验证即可，对称轴对应函数的最值，对称中心对应函数的零点；单调性的判断可以利用正（余）弦函数的单调性进行判断．24．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．函数()f x 的导函数()'f x 的最大值为4 【答案】BCD 【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；根据()()40f x f x π++-= 可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()y f x =的导数，求出()y f x '=的最大值，可判断D 选项的正误. 【解析】()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xf x x =+++， ()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦+=++++()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x x f x f x =----=-≠， 所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x ----=-+++sin 3sin 5sin 7sin 375x x xx =----， ()()()()()sin 34sin 54sin 74sin 43574x x x f x x πππππ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++=sin 3sin 5sin 77sin 35x x xx =+++， 所以()()40f x f x π++-=，故函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称，B 选项正确；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 375x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=-+++()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xx f x =+++=， 所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确；()cos cos3cos5cos7f x x x x x ++'=+，1cos 1x -≤≤，1cos31x -≤≤，1cos51x -≤≤，1cos71x -≤≤，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x =+++≤'，又()04f '=， 所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项正确. 故选：BCD. 【小结】本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力，属于中等题.25．已知函数()sin(2)6f x x π=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 关于点(,0)12π对称B ．()f x 关于直线6x π=-对称C ．()f x 的图像向左平移6π个单位长度后可得到()sin 2f x x =的图像 D ．()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后可得到()f x 的图像 【答案】ABD 【分析】代入求解即可判断AB ；求出平移后的解析式即可判断CD. 【解析】 对于A ，()sin(2)012126f πππ=⨯-=，∴()f x 关于点(,0)12π对称，故A 正确； 对于B ，()sin(2)1666f πππ-=-⨯-=-，∴()f x 关于直线6x π=-对称，故B 正确； 对于C ，()f x 的图像向左平移6π个单位长度后得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误； 对于D ，()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后得sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD.26．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=则（ ） A ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称B ．()g x 的图象的一条对称轴是6x π=C ．()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减 D ．()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) 【答案】BC 【分析】首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质依次判断选项即可.【解析】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对选项A ，2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠⎪⎝⎭，故A 错误； 对选项B ，2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴， 故B 正确.对选项C ，因为566x ππ-<<，所以232x πππ-<+<，所以函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数， 即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为减函数，故C 正确. 对选项D ，33x ππ-<<，所以2033x ππ<+<，所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC27．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．函数()f x 的图象关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,212 ππ⎡--⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点 【答案】CD 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【解析】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π. ，2ππω=，解得2ω=.，()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， ，2()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得2(0)sin 03g πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， ，23k πϕπ-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-.，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 验证：203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，11112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此A ，B 不正确. 若,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 因此函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.C 正确. 若3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上只有两个零点，D 正确.故选：CD. 【小结】本题解题关键是熟练掌握正弦函数sin y x =的图像性质（单调性、对称性、零点等），x ωϕ+整理代入研究()sin y A ωx φ=+的图像性质，即突破难点. 28．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ）A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案. 【解析】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=， 即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD 【小结】本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题. 29．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确； 对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误； 对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确； 故选：ABD.30．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83π 【答案】BCD 【分析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项． 【解析】由题意2A =，254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，。
初中数学 如何求解三角函数的对称性变换问题
初中数学如何求解三角函数的对称性变换问题在初中数学中，我们经常会遇到求解三角函数的对称性变换问题。
这类问题要求我们根据已知函数的对称性，求解相应的变换函数的对称性。
在本文中，我们将讨论如何求解三角函数的对称性变换问题，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数和余弦函数的对称性变换1. 正弦函数的对称性变换正弦函数sin(x)是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
现在我们来求解正弦函数的对称性变换问题，即求解sin(ax)的对称性。
当a为偶数时，sin(ax) = sin(2nx)，其中n为整数。
我们知道，sin(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
当a为奇数时，sin(ax) = sin((2n+1)x)，其中n为整数。
我们知道，sin((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
综上所述，当a为偶数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数；当a为奇数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数。
2. 余弦函数的对称性变换余弦函数cos(x)是一个偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
现在我们来求解余弦函数的对称性变换问题，即求解cos(ax)的对称性。
当a为偶数时，cos(ax) = cos(2nx)，其中n为整数。
我们知道，cos(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
当a为奇数时，cos(ax) = cos((2n+1)x)，其中n为整数。
我们知道，cos((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
三角函数对称性知识点总结
三角函数对称性知识点总结一、基本概念的介绍三角函数是数学中的一类重要函数，在数学中有着广泛的应用。
三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等等，它们之间存在着一定的对称性。
掌握三角函数对称性对于理解和运用三角函数来说是非常重要的。
在学习和应用三角函数的时候，我们需要了解三角函数的对称性知识点，这对于解题和推导都有很大的帮助。
二、正弦函数的对称性1.正弦函数的定义：正弦函数是以360°/2π为一个周期的周期函数，且其定义域为所有实数集合，值域为[-1,1]。
正弦函数的函数图象呈现出一种对称性。
当自变量x在第一象限和第二象限时，正弦函数的值是相等的，当自变量x在第三象限和第四象限时，正弦函数的值是相等的。
这表明，正弦函数在x轴的对称。
2.正弦函数的奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
这就表明，当自变量x取相反数的时候，正弦函数的值也取相反数。
这也表明了正弦函数在y轴的对称性。
3.正弦函数的轴对称性：在正弦函数的函数图象中，x轴是正弦函数的对称轴。
也就是说，当自变量x取相反数时，正弦函数的值也取相反数。
这些对称性的存在使得我们在求解正弦函数的值的时候，可以利用这些对称性，简化解题的过程。
另外，在绘制正弦函数的函数图象的时候，这些对称性也能够帮助我们更好地理解和描述函数的性质。
三、余弦函数的对称性1.余弦函数的定义：余弦函数也是以360°/2π为一个周期的周期函数，且其定义域为所有实数集合，值域为[-1,1]。
余弦函数的函数图象呈现出一种对称性。
当自变量x在第一象限和第四象限时，余弦函数的值是相等的，当自变量x在第二象限和第三象限时，余弦函数的值是相等的。
这表明，余弦函数在x轴的对称。
2.余弦函数的奇偶性：余弦函数是一个偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
这表明当自变量x取相反数的时候，余弦函数的值不变。
这也表明了余弦函数在y轴的对称性。
3.余弦函数的轴对称性：在余弦函数的函数图象中，x轴是余弦函数的对称轴。
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2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
y
D.x 0
1Hale Waihona Puke 3 522 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x 为对称轴
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为： x k ， k Z ；
y=cosx的图象对称中y 心为：(k
2
，0 )， k
Z.
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例5、y sin(2x 5 )的一条对称轴是（ C ）
4
A、x B、x C、x D、x 5
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
y sin x(x R)
1
-4 -3
-2
- o
2
3
4
5
-1
y=sinx的图象对称轴为：
x k
，k Z；
2
6 x
y=sinx的图象对称中心为： ( k ，0 )， k Z .
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
2 2 222
x k ,k Z
2
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
(k ,0) k Z
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
正弦、余弦函数的对称性
中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。
轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。
正弦、余弦函数的对称性
正弦函数的图象 y
1P
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x
5, 3, 1,1,3
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
练习
•
求
y
1 cos(
x
)
函数的对称轴和对称中心
24
1．(教材改编题)y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是( )
A．(－π，0)
B．(－34π，0)
C．(34π，0)
D．(π2，0)
【解析】 令 x－π4＝kπ，∴x＝kπ＋π4，k∈Z. 令 k＝－1，得 x＝－43π，y＝0.
12
练习
•
求
y sin(2x )
3
函数的对称轴和对称中心
解（1）令 z 2x
则
y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
【答案】 B
三角函数的对称性
例3
作业： 求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
23
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