三角函数对称性习题
湖南省湘潭凤凰中学高三数学复习题(第五节三角函数的奇偶性对称性)(无答案)
湖南省湘潭凤凰中学高三数学复习题第五节三角函数的奇偶性对称性1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件． 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．角度五：求三角函数的对称轴或对称中心1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． 2.函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是：（ ） A.2π=x B. 4π=x C. 2π-=x D. 4π-=x3．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图像关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图像关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图像关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图像关于直线x ＝π对称 4．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1巩固加深练习：1. 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1 2. 设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12 D.343．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 4． 设函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω<>，给出以下四个论断： （1）它的最小正周期为π； （2）它的图象关于直线12π=x 成轴对称图形； （3）它的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π成中心对称； （4）在区间上⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,6π是增函数 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题。
三角函数对称性习题
k (k Z)，则 x -，所以函数y Acos()的图象的对称轴方程习题:最大负值是n8、f (x ) =sin2x+acos2x 关于 x= 对称，求 a 的值 8、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形y Asin( x )对称轴方程的求法是：令 sin( x ) 1，得k i (k Z)，则x (2k 2 2 ，所以函数 Asin( x )的图象的 (2k 1) 2 对称轴方程为x2y Acos( x)对称轴方程的求法是：令 cos( x ) 1，得1、 函数 y 3si n(2xR 图象的对称轴方程为 2、 函数5 y=s in (2x+q n) 图象的对称轴方程为3、 函数4、 函数 1 f (x) cos(3x 2 ny=cos(2x-—) 3)的图象的对称轴方程是 的图象的对称轴方程是 5、 n y=sin(2x+ )的一条对称轴为( 4n n nA.x=-B.x= ■C.x=- 4 8 8D.x=6、 n y=cos(2x-—)的一条对称轴为n 5 n nx=§ B.x= 了C.x= 12 71 7、 y =sin(2x+ $ )的一条对称轴为n x=- y ,贝打= ，y 的最小正值是、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形y Asin( x )的对称中心求法是：令sin( x ) 0,得x k (k Z), nt k k则x (k Z)，所以函数y Asin( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；y Acos( x )对称中心的求法是：令cos( x ) 0，得(2k 1) 2x k -(k Z) ，则x ---------------------------- 扌------ (k Z)，所以函数y Acos( x )的图象关于点(__ ,0) (k Z)成中心对称；2习题：1、函数y 4sin(2x -)的图象的一个对称中心是_____________________________612、函数y 2cos(—x —)的图象的对称中心是____________________________2 8n3、y=sin(2x+ —)的一个对称中心为( )n 5 n n nA.( — ,0)B.( 石,0)C.( 12 ,0)D.( ,0)n4、y=2cos(2x- ■—)的一个对称中心为( )3n n nA. (n ,0 )B. (,0 )C. ( — ,0 )D.(乜,0)n5、y=cos(2x+ $ )的对称中心为(■— ,0) 则$ = ___________ , y的最小正值是___________ , y的最大负值是__________ 。
第64课--求三角函数的对称轴或对称中心
第64课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1 三角函数的周期性函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( B )A.π2B ．π C.3π2D ．2π解析：f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由T ＝2π2＝π，知函数f (x )的最小正周期为π. 角度2 三角函数的奇偶性(2019·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( A )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|＜π2， ∴k ＝－1时，θ＝－π6.角度3 三角函数的对称性(2019·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( C )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( B )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )； 函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z ).。
三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的对称性（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.函数在上对称轴的条数为( )A.1B.2C.3D.0答案：B解题思路：令，解得，．∴，解得，,∴，即共2条对称轴．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∵，∴．∴方程表示的曲线为：．令，解得，．∴对称轴的方程为．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为，则有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1答案：A解题思路：由题意，（1），则，解得，．∴可取：（2），则，解得，．∴可取：由题意知，必须同时满足（1）（2），则有最小值2．故选A．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，令，解得．∴对称轴为直线，，∵该对称轴在内，∴，解得，．又，∴当时，，可取，满足题意，故选A．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：由题意，，作出的大致图象如下：由图知，①，②，由①得，；由②得，．∵，∴．故选D．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性6.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意，∵两函数对称轴完全相同，∴周期相同，即，解得．令，解得，∴函数的对称轴为直线，．令，解得，∴函数的对称轴为直线，．∵，∴，．∵，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性7.设点是函数的图象C上的一个对称中心，若点到图象C 的对称轴的距离的最小值为，则为( )A.1B.2C. D.4答案：B解题思路：由题意，最小正周期T满足，∴，即，解得．故选B．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性8.函数（，）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为直线( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意，，∴，．∵，∴．由图象，∵分别为最高点与最低点，且，∴，解得，即，解得．综上，，令，解得，．当时，，故选C．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性9.设函数（，，）图象的相邻两条对称轴为直线，直线，则( )A.的图象过点B.在区间上是减函数C.的图象的一个对称中心是D.的最大值是答案：C解题思路：由题意，，解得．∴，解得．∴又，∴，解得，．∵，∴．∴．A：当时，，但值不确定，故A错，同理B，D错．C：令，解得，．当时，对称中心为点．故选C．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性10.函数（，，，）的部分图象如图所示，如果，且，则等于( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：∵函数最大值为1，，∴，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．∵，且，∴，∴，∴，故选D．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性。
部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识点总结全面整理
(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识点总结全面整理单选题1、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（ ） A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 2、已知tanα=−2，则2sinα+cosαcosα−sinα=（ ）A ．−4B ．−12C ．−1D ．−13 3、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ）A ．12B ．−12C ．−2D ．24、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ） A ．1B ．−1C ．√32D ．−√325、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．36、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π37、sin (3π2+α)=（ ）A ．sinαB ．−sinαC ．cosαD ．−cosα8、函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)图像上一点P (s,t )(−2<t <2)向右平移2π个单位，得到的点Q 也在f (x )图像上，线段PQ 与函数f (x )的图像有5个交点，且满足f (π4−x)=f (x )，f (−π2)>f (0)，若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为（ ） A ．(−2,−√2]B ．[−2,−√2]C ．[√2,2)D ．[√2,2]多选题9、已知函数f(x)=3sin(ωx +π3)(ω>0)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，则下列结论正确的是（ ）A ．f(x)的最小正周期为2πB ．f(x)的图象关于(−π6,0)对称 C ．f(x)在(−5π12,π12)上单调递减 D ．f(x)的图象关于直线x =7π12对称 10、下列不等式中成立的是（ ） A ．sin1<sin π3B ．cos2π3>cos2C ．cos (−70∘)>sin18∘D ．sin4π5>sin17π611、已知函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π4对称，则（ ） A ．函数f (x +π12)为偶函数B ．函数f(x)在[π12,π6]上单调递增C ．若|f (x 1)−f (x 2)|=2，则|x 1−x 2|的最小值为π3D ．将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，得到函数y =sin(x +φ)的图象 填空题12、若sin (θ+π8)=13，则sin (2θ−π4)＝________.13、若cosα=−35, α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(四十二)参考答案1、答案：D分析：解方程2x−π3=kπ,k∈Z即得解.解：令2x−π3=kπ,k∈Z,∴x=12kπ+π6，令k=0,∴x=π6，所以函数f(x)=sin(2x−π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).故选：D2、答案：C分析：利用齐次化可求三角函数式的值.2sinα+cosαcosα−sinα=2tanα+11−tanα=−4+11−(−2)=−1，故选：C．3、答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果.∵sinαcosα=12，∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinαcosα=112=2，故选：D.4、答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y取得最小值时x的取值，从而求出tanx.函数y=√2sin(x+π4)，当y取得最小值时，有x+π4=2kπ+3π2，故x=2kπ+5π4，k∈Z．∴tanx=tan(2kπ+5π4)=tan(π4)=1，k∈Z．故选：A．5、答案：B分析：根据f(π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3， 即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B 6、答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)，∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D. 7、答案：D分析：利用诱导公式sin (π+α)=−sinα,sin (π2+α)=cos α代入计算． sin (3π2+α)=sin (π+π2+α)=−sin (π2+α)=−cos α． 故选：D ． 8、答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ |=2π=2T ，可得ω=2，再由f (π4−x)=f (x )可得y =f (x )对称轴为x =π8，利用f (−π2)>f (0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f (x )的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t=−3π4即x=0时y=−√2，当t=−π2即x=π8时，y=−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]， 故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围. 9、答案：BD分析：先利用f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出ω值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.因为f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，所以T 4=π4，即T =π，即选项A 错误； 由T =2πω=π，得ω=2，即f(x)=3sin(2x +π3)，因为f(−π6)=3sin(−π3+π3)=3sin0=0，所以f(x)的图象关于(−π6,0)对称，即选项B 正确； 当−5π12<x <π12时，则−π2<2x +π3<π2，所以f(x)=3sin(2x +π3)在(−5π12,π12)上单调递增，即选项C 错误；因为f(7π12)=3sin(7π6+π3)=3sin 3π2=−3，所以f(x)的图象关于直线x =7π12对称，即选项D 正确. 故选:BD. 10、答案：ACD分析：结合诱导公式，根据y =sinx 和y =cosx 的单调性依次判断各个选项即可得到结果. 对于A ，∵y =sinx 在(0,π2)上单调递增，又0<1<π3<π2，∴sin1<sin π3，A 正确； 对于B ，∵y =cosx 在(π2,π)上单调递减，又π2<2<2π3<π，∴cos2π3<cos2，B 错误；对于C ，∵cos (−70∘)=cos70∘=sin20∘，又sin20∘>sin18∘，∴cos (−70∘)>sin18∘，C 正确； 对于D ，∵sin4π5=sin (π−π5)=sin π5，sin17π6=sin (3π−π6)=sin π6，又sin π6<sin π5，∴sin 4π5>sin17π6，D 正确.故选：ACD. 11、答案：BC分析：根据函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π4对称，由3×π4+φ=kπ+π2,k ∈Z 求得函数的解析式，再逐项判断.因为函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π4对称， 所以3×π4+φ=kπ+π2,k ∈Z ，即φ=kπ−π4,k ∈Z ， 又因为−π2<φ<π2，则φ=−π4， 所以f(x)=sin(3x −π4)，A.函数f (x +π12)=sin(3(x +π12)−π4)=sin3x 为奇函数，故错误；B. 因为x ∈[π12,π6]，则3x −π4∈[0,π4]，又y =sinx 在[0,π4]上递增，所以函数f(x)在[π12,π6]上单调递增，故正确； C. T =2π3因为|f (x 1)−f (x 2)|=2，则f (x 1),f (x 2) 分别为函数的最大值和最小值，则|x 1−x 2|的最小值为T 2=π3，故正确；D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，得到函数y =sin(9x −π4)的图象，故错误； 故选：BC 12、答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin (2θ−π4)=sin [2(θ+π8)−π2]=−cos [2(θ+π8)] =2sin 2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79． 所以答案是：−7913、答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).,α为第二象限的角，∵cosα=−35，∴sinα=√1−cos2α=45∴sin(π−α)=sinα=4.5.所以答案是：45小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.。
高中三角函数练习题含答案
高中三角函数练习题含答案一、填空题1．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.2．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.3．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.4．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号）5．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.7．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知平面四边形ABCD 的面积为4AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.10．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．二、单选题11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅=C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=12．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A ．216B ．312C ．316D ．21813．如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（ ）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=14．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．8C ．12D ．1615．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ） A ．1B 7C ．32D ．216．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．117．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A ．1B C ．1D ．218．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．1,)+∞B ．(1)+∞C ．(1,12)D ．1,)+∞19．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6,三、解答题21．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.23．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数ω的取值范围.24．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.25．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.26．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.27．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 28．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．设向量a =（2sin 2x cos 2x3x ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．)1⎡++∞⎣ 2．28π3．[ 4．①②③ 5．1π-##1π-+67．π3##60°8 9．710##0.7 10．二、单选题11．C 12．A 13．B 14．B 15．B 16．C 17．D 18．B 19．B 20．D三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-；（3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BDD Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 23．（1）2()sin(3)3g x x π=+；（2）6π；（3）4083ω<≤.【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以有()0sin[3()]0()(0)9933f k k Z ππππϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=，()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以2()sin[3()]sin(3)933g x x x πππ=++=+；（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而()sin3h x x =的单调递增区间为：22232()()226363k k k x k k Z x k Z ππππππππ-+≤≤+∈⇒-+≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06x π≤≤，因此实数t 的最大值为：6π；（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+，其最小正周期23T πω=， 而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54T π>，解得：4083ω<≤. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.24．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.25．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.26．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】 ∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω==∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ （1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω,∴01ω<≤（2）∵T πω=, ∴1ω= ∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =- ∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】 本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.27．(1) PN =(0,x ∈；(2) arctan . 【解析】【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到.【详解】（1）在APM ∆中,PM =AM =；其中0x <<在MND ∆中,2MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭,在PMN ∆中,PN =(0,x ∈；（2）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =. 因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=所以PNM ∠=异面直线PN 与11A C 所成角的大小arctan4. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题. 28．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】【分析】 （1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】（1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- 【点睛】 本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．29．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。
专题5.3 三角函数的图象与性质(原卷版)
专题5.3 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的值域题型一 三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）的最小值是_____例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()14sin sin f x x x =+的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos (sin ),[0,]4f x x x x x =∈的最大值与最小值的和为（ ）A B C D ．3练习3．（2022·高三课时练习）函数y ＝tan(π－x )，x ∈(,)43ππ-的值域为________．练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin2cos2y x x =+B ．sin cos y x x =+C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线π6x =-对称 C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ可以为5π6练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．函数()f x 的一条对称轴为π4x =B ．函数()f x 的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小正周期为π2D ．若函数3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的最大值为2练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下结论中正确．．的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线 π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是(练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的图象关于2π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线8π5x =对称 C ．3π5f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 为偶函数练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[]π,π-的图象如图所示．则（1）()f x 的最小正周期为__________； （2）距离y 轴最近的对称轴方程__________．练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数题型三 解三角不等式例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式tan 1x >-的解集是________．例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)用五点法画出函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，并写出()f x 的最小正周期；(2)1≤.练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x >x 的取值范围.练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式1tan x ≤≤－练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15C 到25C 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数lgsin y x =_________．题型四 由三角函数的值域（最值）求参数例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()11sin 06f x a x x a =-≠，且()7π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则()f x =______例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数sin y x =定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为______练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数()cos f x x x =-的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的取值范围是（ ） A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为ϕ的一个取值为___________.（写出一个即可）练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π题型五 根据单调求参数例9．（2021·高一课时练习）若不等式tan x a >在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭- 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≤ C ．1a <- D ．1a ≤-例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数()()()cos 202πf x x ϕϕ=+≤<在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）． A ．4ππ3ϕ≤≤ B ．π4π23ϕ≤≤ C ．4π2π3ϕ≤≤ D ．4π3π32ϕ≤≤练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，则ω的取值范围是______．练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数cos2y x =与函数()sin 2y x ϕ=+在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．π6B ．3π4C ．4π3-D ．4π3练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数 tan y x ω=在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数， 则（ ） A ．01ω<< B ．10ω-≤< C ．1ω≥ D ．1ω≤-练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是______.练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知1ω>，函数π()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)当2ω=时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，求ω的取值范围.题型六 根据对称求参数例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=++的图象的一条对称轴方程是π4x =-，则ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数()ππsin cos sin sin 36f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于坐标原点对称，则ϕ的可能取值为（ ） A ．π3-B ．π6-C ．π3D ．2π3练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，若对于任意实数x ，都有π()()3f x f x =--，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．4D ．8练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数()2s πsin co 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)设[0,π)θ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(2)若()f x 在区间,π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()0f =π6x =为()f x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．练习30．（2022·高三课时练习）已知()()3sin f x x ωϕ=+对任意x 都有()()33ππ+=-f x f x ，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于________．题型七 由图象确定三角函数解析式例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()7ππ2cos 123f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的最小正周期是πD ．函数()f x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为()1,0P -，Q ，R ，且线段RQ 的中点M 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2f -等于（ ）A ．1B ．－1CD ．练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部图象如图所示，则ω=______，ϕ=______；练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =-对称 C ．将函数2cos2y x =的图像向右平移π12个单位长度得到函数()f x 的图像D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是()sin 0,0,0,2y A t A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．该简谐运动的初相为π6B ．该简谐运动的频率为12πC ．前6秒该质点的位移为12mmD ．当42π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，位移y 随着时间t 的增大而增大练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则 7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2+BC ．D ．题型八 描述三角函数的变换过程例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把曲线()cos f x x =上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B ．向右平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C ．向左平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12D ．向右平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到cos 2xy =的图像，只要将sin 2xy =的图像（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π2个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位练习36．（2021·高三课时练习）函数ππ()2sin(),0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点 （ ）A ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π8个单位长度 B ．向右平移5π8个单位长度 C ．向左平移5π16个单位长度 D ．向右平移5π16个单位长度练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()cos g x x =图象上的所有点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数()()2sin (π0,)f x x ωϕϕω><=+的部分图象如图所示，则()f x 的图象可以由函数()2sin g x x =的图象（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到 B ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移π12个单位长度得到 C ．先向右平移π12个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到 D ．先向右平移π6个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到题型九 求图象变换前（后）的函数解析式例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数cos2y x =的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x =（ ） A ．π80B ．π60C ．π40D ．π20例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到函数()g x 的图象，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，则θ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数()y f x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ） A ．15πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴为8x π=，先将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A ．[],2ππ B ．[]2,ππ--C ．79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,42ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数π3sin()3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ） A ．函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线5π12x =对称练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知π3是函数()sin cos f x x a x =+的一个零点，将函数()2y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的表达式为（ ） A ．7π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos 2y x =-D ．2cos2y x =。
三角函数的周期性、奇偶性与对称性-高考数学复习
π
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， k ∈Z，所以函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称.
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目录
高中总复习·数学
三角函数性质的综合应用
【例4】 （多选）已知函数 f （ x ）＝ sin
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（2 x ＋ ），则（
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＋ ， k ∈Z，故B错误； ＜2 x ＜ ， ＜ x ＜ ，所以 f （ x ）
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点，B对；对于C选项，当－ ≤ x ≤ 时，－ ≤2 x ＋ ≤ ，所以
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函数 f （ x ）在区间［－ ， ］上单调递增，C对；对于D选项，因
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为对称轴满足2 x ＋ ＝ ＋ k π， k ∈Z，解得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，当 k
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＝0时， x ＝ ，D对.故选B、C、D.
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（2 x － ）， f （－ ）＝ A sin
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（－2× － ）＝0.
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目录
高中总复习·数学
解题技法
三角函数图象的对称轴和对称中心的求法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化
为 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b 或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）＋ b 的形式，再把
高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性文(new)
第 33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性例2．(求函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间．【解析】设[]2,2A ππ=-，函数()1sin 23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间为B ．由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得()5544,4,43333k x k B k k k Z ππππππππ⎡⎤-≤≤+∴=-+∈⎢⎥⎣⎦．易知5,33A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【试题来源】人教版A 版必修4第39页例5．【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法,是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求()sin y A x B ωϕ=++()0,A x R >∈的单调区间,再与已知区间求交集即可．II ．考场精彩·真题回放例．（2017课标3理6）设函数f （x )=cos （x +3π)，则下列结论错误的是A ．f （x ）的一个周期为−2πB ．y =f (x ）的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在（2π,π)单调递减【答案】D 【解析】试题分析:函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数()f x 的一个周期为2π- ,选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f （x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Z ππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π）的一个零点为x =6π,选项C 正确；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数在该区间内不单调，选项D 错误．故选D ．例例．(2017天津，理7)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ,其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=,()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π,则 A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=,12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，∴2142(2)33k k ω=--,又22T ππω=>,∴01ω<<,∴解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++,再进一步讨论相关性质．(1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin （ωx ＋φ）或y ＝Acos （ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式．(2)求f （x ）＝Asin (ωx ＋φ)（ω≠0）的对称轴,只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ（k ∈Z ）即可．23ω=,11212k ϕππ=+,由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．例．(2017浙江）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x – sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ)求)32(πf 的值．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；(Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】 试题分析：(Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ,分别计算可得;（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ,结合ωπ2=T 可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由2332sin =π，2132cos-=π,)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)32(=πf (Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f∴)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ∴)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ．例3．（2016高考北京文数）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π．(1）求ω的值;(2)求)(x f 的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z )．【分析】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可．【解析】（I)∵()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+2sin 24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=,解得1ω=．（II)由（I ）知()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．例4．（2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 （ ）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关,且与c无关 D．与b无关,但与c有关【答案】B【解析】 试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时,cos 21()22=-++x f x c ,此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．例5．（2016高考山东理数】函数f (x )=（x +cosx ）（cos x –sin x ）的最小正周期是（ )（A ）2π（B ）π (C）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故最小正周期22T ππ==，故选B ． III ．理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性x y sin =在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上单调递减，当Z k k x ∈+=,22ππ时,1max =y ;当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y ；x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ上单调递减，当Z k k x ∈=,2π时，1max =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y ;x y tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π．考点三 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数,当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数;对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>,当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数．考点四 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ,其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；cos y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()πx k k =∈Z ，其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ;tan y x =的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】（1）讨论()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想:把()0x ωϕω+>视为一个整体,()00A A ><所列不等式的方向与sin ,cos ,tan y x y x y x ===的单调区间对应的不等式方向相同(反）．（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于,可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．（3）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω． （4)三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=，而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．(5）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =．【易错指导】（1)对于三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负,若ω为负，则需先化正，化为()sin y A x ωϕ=---的形式，若求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间,应把x ωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z ∈"，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“"联结．（3）必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式,再分别利用公式2,T T ππωω==求周期，注意ω一定要加绝对值． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间）例1．(2018河南名校联考）已知，,,，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D例2．函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．【解析】函数()2cos(2)2cos(2)44f x x x ππ=-+=-，由222,4k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得：3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．故答案应填：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ． 例3．函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭([]0,x π∈)为增函数的区间是 ．【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ，将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解。
三角函数对称性习题
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 )sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ-=k x 。
习题：1、函数)62sin(3π+=x y 图象的对称轴方程为2、函数y=sin （2x+52π）图象的对称轴方程为 3、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4)的一条对称轴为（ ） A.x=-π4 B.x=π8 C.x=-π8 D.x=π36、y=cos(2x-π6)的一条对称轴为（ ） A ．x=π3 B.x=5π12 C.x=π12 D.π47、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。
8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8对称，求a 的值 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称；习题：1、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是2、函数)821cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6)的一个对称中心为（ ） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6,0） 4、y=2cos(2x-π3)的一个对称中心为（ ） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。
第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性考点探究——提素养考点一三角函数的周期性例1(1)函数f (x )＝a tan xa的最小正周期是()A ．πaB ．π|a |C ．πa D ．π|a |答案B解析对于函数f (x )＝a tan xa，显然a ≠0，所以函数的最小正周期T ＝π|1a |＝π|a |.故选B.(2)函数f (x )＝cos x ＋2cos 12x 的一个周期为()A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案D解析易知y 1＝cos x ，y 2＝2cos 12x 的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f (x )的一个周期．故选D.【通性通法】求三角函数周期的常用方法【巩固迁移】1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x 答案ABC解析对于A ，y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；对于B ，由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；对于C ，y ＝cos x T ＝2π2＝π；对于D ，y ＝tan x 期T ＝π2.2．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．答案1解析因为f (x )＝ωx －12cos f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.考点二三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)考向1奇偶性例2(1)下列函数中周期是π的偶函数是()A ．y ＝|cos x |B ．y ＝|cos2x |C ．y ＝－sin xD ．y ＝sin x ＋1答案A解析对于A ，y ＝|cos x |为偶函数，且最小正周期为π，所以A 符合题意；对于B ，y ＝|cos2x |为偶函数，最小正周期为π2，所以B 不符合题意；对于C ，y ＝－sin x 为奇函数，所以C 不符合题意；对于D ，y ＝sin x ＋1为非奇非偶函数，所以D 不符合题意．故选A.(2)(2024·广东茂名模拟)已知f (x )＝2sin(x －α)＋cos x 是奇函数，则tan α＝()A ．1B ．±1C ．3D ．±3答案B解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即2sin(－α)＋cos0＝0，解得sin α＝22，所以cos α＝±22，此时f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x ＝2sin x cos α＝±sin x ，是奇函数，所以tan α＝±1.故选B.【通性通法】三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0，则为奇函数，若y 为最大或最小值，则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．【巩固迁移】3．(2024·北京房山模拟)已知函数f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1，则“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1＝cos(2x ＋2θ)，若函数f (x )为奇函数，则2θ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得θ＝π4＋k π2(k ∈Z )，|θ＝π4＋k π2，k ∈|θ＝π4＋k π，k ∈因此“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的充分不必要条件．故选A.4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________．答案±22解析f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin由y ＝f (x ＋θ)是偶函数，得f (－x ＋θ)＝f (x ＋θ)，即2sin ＋π4－＝2sin ＋π4＋所以θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 恒成立或θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z 恒成立．显然θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 不恒成立，故由θ＋π4－x＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z ，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，cos θ＝2n cos π4＝22；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，cos θ＝cos π4＋(2n ＋1)π＝cos 5π4＝－22.所以cos θ＝±22.考向2对称性例3(2023·武汉模拟)已知函数f (x )＝x f (x )的图象关于()A B C ．直线x ＝π6对称D ．直线x ＝π3对称答案C解析由题意，设2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心－π12，k ∈Z )．设2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，通过对比选项可知，f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．故选C.【通性通法】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【巩固迁移】5．函数f (x )＝x x 23cos 2x 的图象的一个对称中心是()A －π3，B ．(0，33)C D 答案C解析f (x )＝x x 23cos 2x ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋cos2x cos π6－sin2x sinπ6＋23cos 2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32cos2x －12sin2x ＋23cos 2x ＝3cos2x ＋3(1＋cos2x )＝23cos2x ＋3.由2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，此时f (x )＝3，所以f (x )图象的对＋π4，k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )故选C.6．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则()A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案D解析由题意，T 2＝2π3－π6＝π2，不妨设ω>0，则T ＝π，ω＝2πT ＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则＝＝32.故选D.考点三三角函数的图象与性质的综合例4(多选)(2024·厦门模拟)已知函数f (x )＝coscos2x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x)C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0，2π]上有4个零点答案ACD解析f (x )cos2x ＝12＋x ＋32sin2cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12＝32sin x ＋12，则f (x )的最小正周期为π，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即为f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin x＋12＝0，得x ＝－33，当x ∈[0，2π]时，2x －π3∈－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ∈－π3，，如图所示．由图可知方程x ＝－33在[0，2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0，2π]上有4个零点，D 正确．【通性通法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【巩固迁移】7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f (x )＝x x ()A ．函数fB ．曲线y ＝f (x )的对称轴为直线x ＝k π，k ∈ZC ．f (x )D ．f (x )的最小值为－2答案AC解析f (x )＝x x sin2x cos 3π4＋sin 3π4cos2x ＋cos2x cos 3π4－sin2x sin 3π4＝－22sin2x ＋22cos2x －22cos2x －22sin2x ＝－2sin2x ，即f (x )＝－2sin2x .对于A ，－2sinx ＝2cos2x ，易知为偶函数，故A 正确；对于B ，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，则x＝π4＋k π2，k ∈Z ，故B 错误；对于C ，当x ，2x y ＝sin2x 单调递减，则f (x )＝－2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，因为sin2x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[－2，2]，故D 错误．故选AC.课时作业一、单项选择题1．下列函数中，是周期函数的为()A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案B解析∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B.2．(2024·广东汕头模拟)函数y ＝tan ()A ．(0，0)BC D ．以上选项都不对答案B解析令x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，y ＝tan 中心．故选B.3．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又＝1＋π2＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.4．给出下列函数：①y ＝sin|x |；②y ＝|sin x |；③y ＝|tan x |；④y ＝|1＋2cos x |，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝sin|x |是偶函数，但不是周期函数，所以排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|sin x |是偶函数，最小正周期为π，所以②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|tan x |是偶函数，最小正周期为π，所以③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|1＋2cos x |是偶函数，最小正周期为2π，所以排除④.故选B.5．函数f (x )＝ω＞0)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，若该函数图象关于点(m ，0)中心对称，则当m ∈0，π2时，m 的值为()A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12答案D解析因为函数f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2×π2＝π(T 为f (x )的最小正周期)，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝x 令f (x )＝0，则2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π12，故m ＝5π12.故选D.6．(2023·安徽校考三模)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12，则下列结论正确的是()A ．|f (x )|的最小正周期为2πB ．直线x ＝－π3是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )D ．若f (x )在－π2，m 上的最大值为1，则m ≥π3答案D解析f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12＝32sin x －1－cos x 2＋12＝所以|f (x )|的最小正周期为π，A 错误；因为＝－12≠±1，所以直线x ＝－π3不是f (x )图象的一条对称轴，B 错误；当0<x <π2时，π6<x ＋π6<2π3，而函数y ＝sin x ，C 错误；当－π2≤x ≤m时，－π3≤x ＋π6≤π6＋m ，因为f (x )在－π2，m 上的最大值为1，所以π6＋m ≥π2，解得m ≥π3，D正确．7．(2023·山东济南三模)已知函数f (x )＝sin x ＋sin2x 在(0，a )上有4个零点，则实数a 的最大值为()A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π答案C解析f (x )＝sin x ＋sin2x ＝sin x ＋2sin x cos x ＝sin x (1＋2cos x )，令f (x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－12，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图．函数f (x )在(0，a )上有4个零点，则2π<a ≤2π＋2π3＝8π3，故实数a 的最大值为8π3.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f()A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )C ．函数f (x )在3π4，π上单调递增D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－7π12对称答案C解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T＝π，ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为f ，所以x 即直线x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，所以2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 函数f (x )的最小正周期为π，A 错误；因为＝sin 3π2＝－1，f (x )图象的对称中心，B 错误；因为当3π4≤x ≤π时，11π6≤2x ＋π3≤7π3，所以f (x )＝sin x 3π4，π上单调递增，C 正确；因为＝－12，所以直线x ＝－7π12不是函数f (x )图象的对称轴，D 错误．故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知函数f (x )＝3sin x ()A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．fD ．f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称答案ABD解析因为函数f (x )＝3sin x 所以f (x )的最大值为3，A 正确；f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；＝3sin 2－π3＝3sin x ＝－3cos2x ，为偶函数，C 错误；令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝11π12，所以f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称，故D 正确．故选ABD.10．(2023·广东江门统考一模)已知函数f (x )＝|x ，则下列说法正确的是()A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )C ．f (x )的最小正周期为πD ．f (x )的单调递增区间为k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )答案AD解析因为－1≤x 1，所以0≤f (x )≤1，A 正确；|2×π6－＝0，但f (x )≥0，因此f (x )，B 错误；y ＝sin x是2π2＝π，所以f (x )＝|x 的最小正周期是π2，C 错误；由f (x )＝|x ＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，当x ∈π6，2π3时，x 0，易得x ∈π6，5π12时，f (x )单调递增，x ∈5π12，2π3时，f (x )单调递减，又f (x )的最小正周期是π2，所以f (x )的单调递增区间是k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )，D 正确．故选AD.三、填空题11．若函数f (x )＝|(ω＞0)的最小正周期为π，则________．答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝|，所以|sin2π3|＝32.12．(2024·山东威海模拟)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________．答案π2解析∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)，∴cos φ＝－cos φ，∴cos φ＝0，又φ∈[0，π]，∴φ＝π2.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos φ＋cos(ωx ＋φ)sin ω>0，0<φ轴之间的距离为π2，且满足φ＝________．答案π6解析由两角和的正弦公式得f (x )＝sin(ωx ＋2φ)，又相邻的两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以π＝2πω，解得ω＝2.又所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，所以2×π12＋2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝π6.14．已知函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，且在则f (x )在区间－π2，π3上的最小值为________．答案－2解析因为函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，所以π2ω＋π4＝k π(k ∈N *)，解得ω＝2k －12(k ∈N *)．又f (x )，所以πω≥π2，故0＜ω≤2，所以ω＝32，即f (x )＝当－π2≤x ≤π3时，－π2≤32x ＋π4≤3π4，故f (x )在区间－π2，π3上的最小值为－2.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin x －cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝f (x )f (π－x )的单调递增区间；(2)求函数y ＝[f (x )]2＋f x 解(1)∵y ＝(sin x －cos x )[sin(π－x )－cos(π－x )]＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为k π，k π＋π2(k ∈Z )．(2)y ＝(sin x －cos x )2＋sinx x 1－sin2x ＋2sin x 1－sin2x －2cos2x ＝1－3sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴函数的值域为[1－3，1＋3]．16．(多选)(2023·江苏南通如皋调研)已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，则下列结论正确的是()A ．π为函数f (x )的一个周期B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．函数f (x )在0，π2上为减函数D ．函数f (x )的值域为[2，2]答案ABD解析因为f (x ＋π)＝1＋cos(x ＋π)＋1－cos(x ＋π)＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以π为函数f (x )的一个周期，故A 正确；因为f (π－x )＝1＋cos(π－x )＋1－cos(π－x )＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故B 正确；因为f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ＝2cos 2x 2＋2sin 2x2，又x∈0，π2，则x 2∈0，π4，故f (x )＝2cos x 2＋2sin x 2＝由于x 2＋π4∈π4，π2，故f (x )＝2sin 0，π2上为增函数，故C 不正确；因为[f (x )]2＝1＋cos x ＋1－cos x ＋21－cos 2x ＝2＋2|sin x |，又2≤2＋2|sin x |≤4，f (x )>0，所以f (x )∈[2，2]，故D 正确．故选ABD.17．(多选)(2024·湖北宜昌模拟)已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，且f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，则()A ．f (0)＝g (0)B ．C ．函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数D ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值是24答案BC解析因为f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，则f (x ＋π)＋g (x ＋2π)＝cos(x＋π)，即f (x ＋π)＋g (x )＝－cos x ，又g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，故可得g (x )＝sin x －cos x2，g (x ＋π)＝sin(x ＋π)－cos(x ＋π)2＝－sin x ＋cos x 2，则f (x )＝cos x －g (x ＋π)＝cos x －－sin x ＋cos x2＝sin x ＋cos x 2，综上所述，f (x )＝sin x ＋cos x 2，g (x )＝sin x －cos x 2.对于A ，f (0)＝12，g (0)＝－12，故A错误；对于B ＝－sin x ＋cos x 2，＝cos x －sin x 2，显然故B 正确；对于C ，f (x )－g (x )＝sin x ＋cos x 2－sin x －cos x2＝cos x ，又y ＝cos x 为偶函数，故函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数，C 正确；对于D ，y ＝f (x )g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )4＝－cos2x 4＝－14cos2x ，又y ＝－14cos2x 的最大值为14，故D 错误．故选BC.18．(2023·江苏南京二模)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0.(1)若函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(2)若函数f (x )f (x )在0，π4上单调，求ω的值．解(1)f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝ωx －32cos 因为函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝x所以2×3π2－2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝函数f (x )，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈0，π4，ω>0，则ωx －π3∈－π3，πω4－π3，又函数f (x )在0，π4上单调，－π3≤π2，，解得0<ω≤103，所以当k ＝0时，ω＝1.。
三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性
1.（13年北京T15）已知函数.（I）求的最小正周期及最大值；（II）若，且，求的值.【测量目标】正弦定理、余弦定理及三角函数与三角恒等变换.【考查方式】给出关于的三角函数及某区间，求的最小正周期、最大值及满足某区间的的值.【试题解析】（I）因为===，所以的最小正周期为，最大值为.（II）因为，所以，（步骤1）因为，所以，所以，故.（步骤2）2.（13年江苏T1）函数的最小正周期为 .【测量目标】三角函数的周期性.【考查方式】求解函数的最小正周期.【参考答案】【试题解析】函数的最小正周期.3.（13年浙江T6）函数的最小正周期和振幅分别是（）A.，1B. ，2C.2，1D.2，2【测量目标】三角函数公式、三角恒等变换.【考查方式】根据三角恒等变换求出最简三角函数解析式，然后得到结果.【参考答案】A【试题解析】，∵，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π.4.（13年陕西T16）已知向量,,设函数.(Ⅰ)求的最小正周期.(Ⅱ)求在上的最大值和最小值.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化，正弦函数.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解.【试题解析】.（步骤1）（Ⅰ）最小正周期为,即函数的最小正周期为.（步骤2）（Ⅱ）（步骤3）由正弦的性质得，当，即时，取得最大值1.（步骤4）当，即时，.（步骤5）当，即时，，（步骤6）的最小值为.因此，在上的最大值是1，最小值是.（步骤7）5.（13年天津T6）函数在区间上的最小值是（）A. B. C. D. 0【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出正弦函数及其定义域，由正弦函数的单调性判断最小值.【参考答案】B【试题解析】确定的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值.,（步骤1）当时，有最小值.（步骤2）。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
2021版高中数学必做黄金100题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题(解析版)
第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性3-⎣2-⎝π⎛⎫12π32-，是增函数，故③正确，∴一条对84T πω===，故答案为考向6 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值4.函数()sin()g x A x =+ωϕπ0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的图象（如图所示）向左平移3π个单位长度得到()f x 的图象（如图所示），则以下说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的对称轴方程为24k x =+ππ，k Z ∈ B ．函数()f x 的对称中心为,06k ππ⎛+⎫ ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．函数()f x 的单调增区间为,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ππππ，k Z ∈ D ．函数()f x 的最小正周期为2π【答案】A【解析】由图像可得，2A =，724123T ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ππππω，则2ω=， 所以()()2sin 2g x x =+ϕ，2⎛- ⎝2x π⎫-=-⎪⎭9.（2020·浙江）已知函数f(x)=3sin(ωx -6π)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图像的对称轴完全相同．若x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则f(x)的取值范围是（ ）． 【答案】【解析】由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π， 所以－12≤sin(2x －6π)≤1，故f (x )∈3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 10.（2020•全国1卷）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9B. 7π6C. 4π3D.3π2 【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数。
三角函数的对称问题专项练习附解析
奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈， 对称轴是()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点。
正切函数 的对称中心（）.一 选择题1 (2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B. x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) ＝k π2－π12(k ∈Z ) ＝k π2＋π12(k ∈Z )2 ．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 3 .(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是4. (2015·四川省统考)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则 A. f (x )的最小正周期是π B. m 的值为1C. f (x )的初相φ为π3D. f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，2π上单调递增6 . (2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象 A. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B. 关于直线x ＝5π12对称 C. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D. 关于直线x ＝π12对称7． 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么Φ的最小值为（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π8 ．已知函数()sin(2))(0)f x x x ψψψπ=+++<<是R 上的偶函数，则ψ的值为Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．23π Ｄ．56π9 .【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+二 填空题（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______；（2）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______（3）已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。
方法6： 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心
方法6 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心一、单选题1．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ）A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减【答案】ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【解析】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k=时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误. 故选：ABD. 【小结】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间. 2．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ），函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 ，函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 ，该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象 A ．，， B ．，，C ．，，，D ．，，，【答案】A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可. 【解析】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭所以222T ππωπ===， 当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于，，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确； 对于，，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确； 对于，，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于，，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确；故选：A. 【小结】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 3．将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到()g x 的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 图象关于直线4x π=对称C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】首先利用平移变换规律得到1()sin 22g x x =-，再通过整体代入法判断函数性质，得到选项. 【解析】由题易得1()sin 22g x x =-， A.函数的周期22T ππ==，故A 不正确； B.当4x π=时， ()g x 取得最小值12-.故B 正确； C.,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，此时,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 当22,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D.当3x π=时，()02f x =-≠，所以D 不正确. 故选：B 【小结】思路小结：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断. 【解析】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【小结】判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心.5．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3182f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．点7,024π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】B 【分析】利用对称轴之间距离和函数对称轴可求得()f x 图像；利用余弦型函数最小正周期求解可知A 正确；根据解析式求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭可知B 错误；利用代入检验法可知C ，D 正确. 【解析】()f x 相邻两条对称轴之间的距离为4π，()f x ∴的最小正周期2242T πππω==⨯=，解得：4ω=，12x π=是()f x 的一条对称轴，()412k k Z πϕπ∴⨯+=∈，解得：()3k k ϕπ=π-∈Z ， 又2πϕ<，3ϕπ∴=-，()cos 43f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于A ，由上述求解可知，A 正确；对于B ，33cos sin 8233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 错误； 对于C ，当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]4,03x ππ-∈-，()f x ∴在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D ，当724x π=-时，3432x ππ-=-，且73cos 0242f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7,024π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心. 故选：B. 【小结】对于判断正弦型或余弦型函数的对称轴、对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，即判断x ωϕ+整体是否对应正弦函数或余弦函数所对应的对称轴、对称中心和单调性. 6．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线6x π=对称的是（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】确定函数的周期，再判断对称性．可得结论． 【解析】由三角函数周期性知，C 中函数最小正周期是2412ππ=，其他三个函数的最小正周期都是22ππ=， 把6x π=代入A 有2sin 2266y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭是最大值，因此6x π=是函数图象的对称轴； 代入B中有2cos 266y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭不是最值，因此6x π=不是函数图象的对称轴； 代入D 中有2sin 2063y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，不是最值，6x π=是函数图象的对称轴；． 故选：A ． 【小结】本题考查函数的周期性与对称性．对于三角函数()sin()f x A x ωϕ=+，可以结合正弦函数的性质求出对称轴和对称中心，如利用,2x k k Z πωϕπ+=+∈求得对称轴，利用,x k k Z ωϕπ+=∈求得对称中心坐标，再判断，也可用代入法，即若0()f x 是函数的最值（最大值或最小值），则0x x =是对称轴，若0()0f x =，则0(,0)x 是对称中心． 7．关于()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有以下命题：①若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；②()f x 图象与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象相同；③()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数；④()f x 图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题序号是（ ） A ．②③④ B ．①④C ．①②③D ．②③【答案】A 【分析】结合三角函数的图象与性质，逐个验证即可得解. 【解析】对于①，因为函数()f x 的最小正周期22T ππ==，且()()120f x f x ==， 所以12π()2k x x k Z -=∈，故①错误； 对于②，ππππcos 2sin 2sin 24424x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()()f x g x =， 所以()f x 图象与()g x 图象相同，故②正确；对于③，当7π3π,88x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,422x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故③正确；对于④，当π8x =-时，π204x +=，所以π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故④正确. 故选：A.8．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③ B ．①②C ．②④D ．③④【答案】A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【解析】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A. 【小结】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题.9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移2π个单位后关于原点对称D ．函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 【答案】B 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误；利用代入检验法可判断B 选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C 选项的正误；由,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可求出23x π-的取值范围，可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，A 选项错误； 对于B 选项，2sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 选项正确；对于C 选项，将图象C 向右平移2π个单位后所得函数的解析式为()2sin 22sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()02sin 2sin 033g ππ⎛⎫=--==≠ ⎪⎝⎭，函数()g x 不是奇函数，C 选项错误；对于D 选项，当,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,323x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 选项错误. 故选：B. 【小结】对于正弦型函数()sin y A x k ωϕ=++在区间(),a b 上单调性的判断，一般先由(),x a b ∈计算出x ωϕ+的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.二、多选题10．已知函数()2cos 1f x x =+，下列结论正确的为（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,3]-B ．函数的一条对称轴为x π=C ．函数的一个对称中心为,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数 【答案】ABC 【分析】求出函数的值域可知A 正确；代入检验可知B C 正确；根据特值法可知D 不正确. 【解析】对于A ，因为cos [1,1]x ∈-，所以()[1,3]f x ∈-，故A 正确；对于B ，因为()2cos 11f ππ=+=-，所以函数的一条对称轴为x π=，故B 正确；对于C ，因为()2cos1122f ππ=+=，所以函数的一个对称中心为,12π⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，因为()()2cos()12sin 122g x f x x x ππ=+=++=-+，()2sin()1322g ππ-=--+=，()2sin 1122g ππ=-+=-，()()22g g ππ-≠-， 所以()g x 不是奇函数，即函数2y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不为奇函数，故D 不正确. 故选：ABC 【小结】熟练掌握三角函数的值域、对称轴、对称中心、奇偶性是解题关键. 11．函数()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴可以是（ ） A ．2x π=B ．12x π=C ．512x π=D ．12x π=-【答案】CD 【分析】利用正弦型函数图象性质求解. 【解析】()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭对称轴：2,32x k k Z πππ-=+∈， 解得5,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，512x π=，故C 选项正确；当1k =-时，12x π=-，故D 选项正确；故选：CD.12．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可.A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==， 所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确；B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-， 所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-， 故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠， 所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称， 故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数， 因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减， 故本选项说法正确. 故选：AD13．已知函数()sincos 22x xf x =+，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的值域为⎡⎣D ．设函数()()sin 0,0g x x πϕωϕπω⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭的奇偶性与函数()f x 相同，且函数()g x 在()0,3上单调递减，则ω的最小值为2 【答案】BC 【分析】首先利用函数的奇偶性的应用判定A 的结论，利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期，进一步判断B 的结论，利用函数的定义域求出函数的值域，进一步判定C 的结论，利用函数的性质求出ω的范围，进一步判定D 的结论.解：对于A ：由于函数()sincos 22x xf x =+，则根据函数的性质， 所以()sin cos ()22x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故A 错误； 对于B ：由于()sincos sin cos ()2222x x x xf x f x πππ+++=+=+=， 则函数的最小正周期为π，故B 正确；对于C ：当[]0,x π∈时，函数()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于3,2444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦24x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故C 正确； 对于D ：函数()f x 为偶函数，所以()sin g x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数， 所以sin 1ϕ=±，故()2k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ≤≤，所以2ϕπ=，所以()sin 2g x x ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()cos g x x πω⎛⎫=⎪⎝⎭， 由于0>ω，03x <<， 所以30x ππωω<<，函数在()0,3上单调递减，故3ππω≤，解得3ω≥，故D 错误. 故选：BC .14．若函数22()23sin cos f x x x x =++在[,]a a -上为增函数，则（ ）A ．实数a 的取值范围为0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．实数a 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心 D ．直线3x π=为曲线()y f x =的对称轴【答案】ACD 【分析】化简函数()2sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，函数222()23sin cos 22sin 1f x x x x x x =++=++2cos 222sin 226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令2262x πππ-≤-≤，可得263x ππ-≤≤，所以06a π<≤，所以A 正确，B 不正确； 令12x π=，可得()2sin 22212126f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心，所以C 正确； 令3x π=，可得()2sin 224336f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以3x π=为曲线()y f x =的对称轴，所以D 正确. 故选：ACD 【小结】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.15．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 D ．该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】BD 【分析】由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项． 【解析】由函数的图象可得2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===， 当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ππ22π122⨯+=+∈k k ϕZ ，则π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，得π3ϕ=， 故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，2sin 033f ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；对于B ，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确； 对于C ，当236x ππ-≤≤-时，203x ππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦不单调，故C 错误； 对于D ，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin 222sin 263⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭y x x 的图象，即D 正确. 故选：BD ． 【小结】思路小结：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或最低点求得A ，由零点或最值点求出周期从而得ω，再由点的坐标求得ϕ，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．16．设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)，5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 在,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（ ） A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 在区间,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎣⎦D ．先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得到()f x 的图象【答案】ABD 【分析】 先由()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，判断5212T π>，再由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可计算得,ωϕ，得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断. 【解析】 因为()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，所以5212312T πππ⎛⎫>--= ⎪⎝⎭，因为5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2543124T πππ=-=，所以2T ππω==，得2ω=，由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈，令1k =，得6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，令712x π=-，得26x ππ+=-，故A 项正确；令6x π=，得262x ππ+=，故B 项正确；当,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,643x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 26x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 项错误； 先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，故D 项正确. 故选：ABD 【小结】对于函数()sin y A ωx φ=+的对称轴与对称中心的求解，可将x ωϕ+看成一个整体，利用正弦函数的对称轴和对称中心计算求得. 17．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．()g x 的图象关于直线3x π=对称B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点 【答案】CD 【分析】 求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.【解析】2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误；()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 【小结】此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.18．对于函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A ．若()12f x f π⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值为2B ．当2ω=时，()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数 C ．当2ω=时，()f x 的图象可由()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度得到 D ．当12ω=时，()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 【答案】AC 【分析】由题意可知函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，可得()1232k k Z πππωπ--=+∈，可判断A选项的正误；由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可计算得出22333x πππ-<-<，可判断B 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【解析】对于A 选项，由于()12f x f π⎛⎫<-⎪⎝⎭恒成立， 则函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，所以，()1232k k Z πππωπ--=+∈，解得()1012k k Z ω=--∈，当1k =-时，正数ω取最小值2，A 选项正确； 对于B 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22333x πππ-<-<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度可得到5cos 2cos 2cos 2sin 2366323y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确； 对于D 选项，当12ω=时，()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin sin 1032332f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，函数()f x 的图象不关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 选项错误. 故选：AC. 【小结】思路小结：求解正弦型函数的基本性质问题，一般将三角函数的解析式化为()sin y A x b ωϕ=++的形式，然后利用正弦函数的基本性质来进行求解. 19．设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x 与x 轴的一个交点坐标为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】ABC 【分析】由最小正周期公式可判断A ，由813f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断B ，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C ，由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可判断D. 【解析】对于A ，函数()f x 最小正周期2T π=，所以A 正确；对于B ，()min 88cos 1333f f x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确； 对于C ，cos 0663f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误. 故选：ABC.20．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．直线38x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴 C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8π个单位得到 D ．函数()y f x =的图像关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AB【分析】先将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．【解析】解：()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，对于A 选项，当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()y f x =为增函数，A 正确； 令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以直线38x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位得到函数sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，C 错误；211884y f πππ⎛⎫=⨯⎛⎫= ⎪⎝-- ⎪⎭⎭=-⎝，故函数()y f x =的图像关于,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 错误，故选：AB.21．已知函数()2sin sin 2f x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数B ．函数()f x 在[π-，π]上有4个零点C ．函数()f x 的图象关于(π对称D ．函数()f x【答案】ACD 【分析】由选项的问题逐一计算，A 选项，代入周期的公式验证即可；B 选项，求导求函数的单调性以及极值和端点值，从而判断函数的零点个数；C 选项，代入2x π-，计算()()2f x f x π-+的值验证；D 选项，由B 选项可知结果. 【解析】A ：由于(2)()f x f x π+=，所以函数()f x 是周期函数，A 正确；B ：()2(cos 1)(2cos 1)f x x x '=-+，研究[π-，π]情况，发现()f x 在(π-，23π-)，(23π，π)单调递增，在(23π-，23π)单调递减，求得2()3f π-=，()f π=，2()3f π=，()f π-=，所以函数()f x在[π-，π]上有2个零点，故B 错误；C ：由于(2)2sin(2)sin[2(2)]()2sin sin 2f x x x f x x x πππ-=-+-==-，所以(2)()f x f x π-+=()f x 的图象关于(π)对称；D ：由B 选项的过程可知，()f x ，D 正确.故选：ACD . 【小结】本题考查含三角函数的复合型函数的周期性，零点个数以及对称性，属于中档题.（1）含三角函数的复合型函数求导时()'0f x >的解为增区间；()'0f x <的解为减区间；不考虑三角函数本身的增减性.（2）正弦型、余弦型复合函数的单调性要看内外层函数的单调性. 22．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+（0>ω，02πϕ<<）的最小正周期为π，且图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到 C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,1 D ．()f x 在区间3,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】AC 【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x ，利用已知条件求出,ωϕ，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象与性质逐一判断即可. 【解析】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，由2ππω=，解得2ω=，又函数()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以0sin 23πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 结合02πϕ<<，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当12x π=时，232x ππ+=， 故直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，选项A 正确；cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位长度后， 得到函数2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 该解析式不能化为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选项B 错误；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 此时()[]0,1f x ∈，选项C 正确； 当3,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，222,2333x πππππ⎡⎤+∈---+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象可知，()f x 在该区间上有增有减，故选项D 错误.故选：AC. 【小结】关键小结：熟练掌握三角函数的图象与性质是解决本题的关键. 23．将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．()g x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若存在()0,a π∈，使()()3g x a g x a +=+成立，则π2a 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图象的变换得到函数()g x 的解析式，然后利用函数的周期性、对称性、单调性等逐一分析各个选项，从而得解． 【解析】将sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数sin 2y x =的图象，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ()g x 的最小正周期22T ππ==，所以A 正确；对于()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令512x π=，得5()sin 2126g x ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 错误； 当,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 是单调递增的，所以C 正确；()sin 226g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，(3)sin 266g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，由()(3)g x a g x a +=+，(0,)a π∈，得2222666x a k x a πππ+-+=+-，k ∈Z ，所以2k a π=，k ∈Z ，又(0,)a π∈，所以π2a ，D 正确． 故选：ACD ． 【小结】判断某个点是否为函数图象的对称中心或某条直线是否为函数图象的对称轴，只需把相应自变量的值代入函数解析式进行验证即可，对称轴对应函数的最值，对称中心对应函数的零点；单调性的判断可以利用正（余）弦函数的单调性进行判断．24．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．函数()f x 的导函数()'f x 的最大值为4 【答案】BCD 【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；根据()()40f x f x π++-= 可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()y f x =的导数，求出()y f x '=的最大值，可判断D 选项的正误. 【解析】()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xf x x =+++， ()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦+=++++()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x x f x f x =----=-≠， 所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x ----=-+++sin 3sin 5sin 7sin 375x x xx =----， ()()()()()sin 34sin 54sin 74sin 43574x x x f x x πππππ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++=sin 3sin 5sin 77sin 35x x xx =+++， 所以()()40f x f x π++-=，故函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称，B 选项正确；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 375x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=-+++()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xx f x =+++=， 所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确；()cos cos3cos5cos7f x x x x x ++'=+，1cos 1x -≤≤，1cos31x -≤≤，1cos51x -≤≤，1cos71x -≤≤，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x =+++≤'，又()04f '=， 所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项正确. 故选：BCD. 【小结】本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力，属于中等题.25．已知函数()sin(2)6f x x π=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 关于点(,0)12π对称B ．()f x 关于直线6x π=-对称C ．()f x 的图像向左平移6π个单位长度后可得到()sin 2f x x =的图像 D ．()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后可得到()f x 的图像 【答案】ABD 【分析】代入求解即可判断AB ；求出平移后的解析式即可判断CD. 【解析】 对于A ，()sin(2)012126f πππ=⨯-=，∴()f x 关于点(,0)12π对称，故A 正确； 对于B ，()sin(2)1666f πππ-=-⨯-=-，∴()f x 关于直线6x π=-对称，故B 正确； 对于C ，()f x 的图像向左平移6π个单位长度后得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误； 对于D ，()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后得sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD.26．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=则（ ） A ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称B ．()g x 的图象的一条对称轴是6x π=C ．()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减 D ．()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) 【答案】BC 【分析】首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质依次判断选项即可.【解析】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对选项A ，2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠⎪⎝⎭，故A 错误； 对选项B ，2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴， 故B 正确.对选项C ，因为566x ππ-<<，所以232x πππ-<+<，所以函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数， 即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为减函数，故C 正确. 对选项D ，33x ππ-<<，所以2033x ππ<+<，所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC27．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．函数()f x 的图象关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,212 ππ⎡--⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点 【答案】CD 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【解析】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π. ，2ππω=，解得2ω=.，()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， ，2()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得2(0)sin 03g πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， ，23k πϕπ-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-.，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 验证：203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，11112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此A ，B 不正确. 若,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 因此函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.C 正确. 若3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上只有两个零点，D 正确.故选：CD. 【小结】本题解题关键是熟练掌握正弦函数sin y x =的图像性质（单调性、对称性、零点等），x ωϕ+整理代入研究()sin y A ωx φ=+的图像性质，即突破难点. 28．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ）A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案. 【解析】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=， 即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD 【小结】本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题. 29．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确； 对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误； 对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确； 故选：ABD.30．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83π 【答案】BCD 【分析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项． 【解析】由题意2A =，254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，。
高考数学复习点拨 三角函数图象的对称性
三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚． 一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴． 2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin 3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z，Ｃ．πk k ∈Z，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭A ，又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…．2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥，π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
初中数学 如何求解三角函数的对称性变换问题
初中数学如何求解三角函数的对称性变换问题在初中数学中，我们经常会遇到求解三角函数的对称性变换问题。
这类问题要求我们根据已知函数的对称性，求解相应的变换函数的对称性。
在本文中，我们将讨论如何求解三角函数的对称性变换问题，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数和余弦函数的对称性变换1. 正弦函数的对称性变换正弦函数sin(x)是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
现在我们来求解正弦函数的对称性变换问题，即求解sin(ax)的对称性。
当a为偶数时，sin(ax) = sin(2nx)，其中n为整数。
我们知道，sin(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
当a为奇数时，sin(ax) = sin((2n+1)x)，其中n为整数。
我们知道，sin((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
综上所述，当a为偶数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数；当a为奇数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数。
2. 余弦函数的对称性变换余弦函数cos(x)是一个偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
现在我们来求解余弦函数的对称性变换问题，即求解cos(ax)的对称性。
当a为偶数时，cos(ax) = cos(2nx)，其中n为整数。
我们知道，cos(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
当a为奇数时，cos(ax) = cos((2n+1)x)，其中n为整数。
我们知道，cos((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
三角函数的对称性(人教A版)(含答案)
三角函数的对称性（人教A版）一、单选题(共11道，每道9分)1.函数在上对称轴的条数为( )A.1B.2C.3D.0答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为，则有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性6.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性7.设点是函数的图象C上的一个对称中心，若点到图象C 的对称轴的距离的最小值为，则为( )A.1B.2C. D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性8.设函数的图象关于直线对称，若函数，则的值为( )A.1B.-5或3C.-2D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性9.函数（，）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为直线( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性10.设函数（，，）图象的相邻两条对称轴为直线，直线，则( )A.的图象过点B.在区间上是减函数C.的图象的一个对称中心是D.的最大值是答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性11.函数（，，，）的部分图象如图所示，如果，且，则等于( )A.1B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性第11页共11页。
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一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形
)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得
)(2Z k k x ∈+=+π
πϕω，则ω
ϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω
ϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得
πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕ
π-=k x 。
习题：
1、函数)62sin(3π
+=x y 图象的对称轴方程为
2、函数y=sin （2x+52
π）图象的对称轴方程为 3、函数)3
3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4
) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4
)的一条对称轴为（ ） =-π4 =π8 =-π8 =π3
6、y=cos(2x-π6
)的一条对称轴为（ ） A ．x=π3 =5π12 =π12 D.π4
7、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8
,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。
8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8
对称，求a 的值
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形
)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕ
π-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕ
π-k )(Z k ∈成
中心对称；
)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得
)(2Z k k x ∈+
=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((
ω
ϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 习题： 1、函数)62sin(4π
-=x y 的图象的一个对称中心是
2、函数)8
21
cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6
)的一个对称中心为（ ） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6
,0） 4、y=2cos(2x-π3
)的一个对称中心为（ ） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12
,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6
,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。
三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形
)tan(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令)(2Z k k x ∈=
+πϕω，则ωϕπ22-=k x ，所以函数)tan(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22(ω
ϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；
1、求函数
)32tan(3π+
=x y 的对称中心的坐标。
2、函数)3
21tan(3π+=x y 的一个对称中心是（ ） A.)0,6(π B.)33,32(-π C. )0,32(π- D.)0,0(。