1.1.2四种命题
人教版高中数学选修1-1第一章1.1.2四种命题
导入新课命题“若p，则q”反映条件p对于q的因果关系，（1）把条件和结论换位，即“若q，则p”；（2）把条件和结论否定，即“若┐p，则┐q”; （3）把条件和结论换位后在分别否定，即“若┐q，则┐p”大家能说出以上（1）（2）（3）小题，转换后的命题是什么命题吗？例如：命题“若一个三角形三边相等，则这个三角形是等边三角形”将它们转换成以上三个小题的形式.（1）若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三条边相等.（2）若一个三角形的三条边不相等，则这个三角形不是等边三角形.（3）若一个三角形不是等边三角形，则这个三角形的三条边不相等. 继续解答这样的三种命题是我们将要学习的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”.教学目标知识与能力：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念 .掌握四种命题的形式.会用等价命题判断四种命题的真假 .过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力.培养学生抽象概括能力和思维能力.情感态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：会写四种命题并会判断命题的真假. 难点：命题的否定与否命题的区别.写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 .分析四种命题的真假 .观察与分析下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. p p q q ┐p ┐p ┐ q ┐ q一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样两个命题叫做互逆命题 .其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题.结论互逆命题的表示为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p例如上述的命题（1）和命题（2）是互逆命题，若我们把命题（1）称作原命题，那么命题（2）称作，命题（1）的逆命题.例1：写出下列命题的逆命题：（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.（2）正数a的平方根不等于0 .小小提示：要写出一个命题的逆命题，必须弄清它的条件和结论，即将此命题转化成“若p，则q”的形式，再交换条件和结论.分析命题（1）易改成“若p，则q”，而命题（2），需要弄清它的条件和结论，可改写成：“若一个数为正数a的平方根，则这个数不等于0”，交换它们的条件和结论，便得到相应的逆命题.继续解答解：（1）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面.（2）如果一个数不等于0，那么这个数是正数a的平方根.对于观察与分析中命题（1）和命题（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.说明:为了书写简便，我们常常把条件p的否定和结论q的否定，分别记作“┐p”和“┐q”，读作“非p”和“非q”.结论互为否命题的表示为：原命题：若p，则q；否命题：若┐p，则┐q.例2：写出下列命题的否命题：（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.（2）正数a的平方根不等于0 .小小提示:要写出一个命题的否命题，只需将其此命题的条件和结论进行否定.继续解答解：（1）如果两条直线不垂直于同一个平面，那么这两条直线不平行.（2）如果一个数不是正数a的平方根，那么这个数等于0.否命题与命题的否定的区别：否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件.对于原命题: 若p , 则q 有否命题: 若┐p , 则┐q .命题的否定: 若p，则┐q .在观察与分析中的命题（1）和命题（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.结论互为逆否命题的表示为：原命题：若p，则q；逆否命题：若┐ q，则┐p例3：写出下列命题的逆否命题：（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.（2）正数a的平方根不等于0 .小小提示:要写出一个命题的逆否命题，首先将此命题化成逆命题，再将其逆命题化成否命题，从而得到一个命题的逆否命题.分析由例题1，我们可以得到这两个命题的逆命题，然后将它们的条件和结论进行否定，便得到相应的逆否命题.继续解答解：（1）如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一个平面.（2）如果一个数等于0，那么这个数不是正数a的平方根.课堂小结1. 逆命题：交换原命题的条件和结论，所得的命题. 2. 否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题.3. 逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 .4. 四种命题的形式：原命题：若p，则q．则：逆命题：若q，则p．否命题：若￢p，则￢q逆否命题：若￢q，则￢p．高考链接1. （2009年重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）BA．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”.2. （2005年江苏）命题“若a>b,则2a>2b-1”若a<=b，则2a<=2b-1的否命题为______________________.解析：因为一个命题的否命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a<=b，则2a<=2b-1 .3.（2007重庆理）命题“若x2<1,则-1<x<1”D的逆否命题是（）A.若x2≥ 1，则x≥ 1;B.若-1<x<1，则x2<1；C.若x>1或x<-1,则x2>1;D.若x≥ 1或x ≤ -1，则x2 ≥ 1解析：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题，因此答案为D.随堂练习（1）命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是________________________________________________逆否命题_____________________________ __________________否命题____________ ________________________________． 1.填空题若△ABC 的任 何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 若△ABC 的任何两个内角相等，则 它是等腰三角形 若△ABC 是等腰 三角形，则它的任何两个内角相等（2）命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是_____________________________逆命题是_____________________________.它是命题（“真”或“假”）.若x2+2x+q=0没有实根，则q>1 若x2+2x+q=0有实根，则q≤1真（1）命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ） A ．逆命题．B ．否命题．C ．逆否命题．D ．以上判断都不正确2.选择题A（2）命题“若A∩B=A则A∪B=B”的逆否命题是（）A．若A∪B=B则A∩B=A；B．若A∩B≠A则A∪B≠B；C．若A∪B≠B则A∩B≠A；D．若A∪B≠B则A∩B=A．C3.解答题（1）写出命题“两条平行线不相交”的逆命题，否命题、逆否命题 .解：逆命题：若两条直线不相交，则这两条直线平行；否命题：若两条直线不平行，则这两条直线相交；逆否命题：若两条直线相交，则这两条直线不平行．（2）将命题“锐角的余角是钝角”改写成“若p则q”的形式，并写出其否命题，逆命题，逆否命题．解：“若p则q”的形式为：若一个角是锐角，则它的余角是钝角.逆命题：若一个角的余角是钝角，则这个角是锐角；否命题：若一个角不是锐角，则这个角的余角不是钝角；逆否命题：若一个角的余角不是钝角，则这个角不是锐角 .（3）写出命题“若xy=0，则x、y中至少有一个是0.”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假.解：逆命题：若x、y中至少有一个是0，则xy=0，这是真命题.否命题：若xy≠0,则x、y没有一个是0，这是真命题.逆否命题：若x、y没有一个是0，则xy≠ 0，这是真命题.习题解答（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是 0.这是真命题.（2）逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等.这是真命题.否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角也不相等.这是真命题.逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边也不相等.这是真命题.（3）逆命题：图像关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图像不关于原点对称.这是真命题.逆否命题：图像不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。
1.1.2 命题的四种形式
得出矛盾 第三步 由矛盾可判定假设﹁q是错误的，从而
肯定命题的结论是正确的。 练习：求证：若x 2 y2 0, 则x y 0
作业：P8 2，6
1.1.2 命题的四种形式
命题的四种形式
例如：
(1)原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
若p ,
则q
(2)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
若q ,
则p
可以看到，(1)与(2)中的条件p和结论q互相交换了 例：同位角相等，两直线平行
逆命题：两直线平行，同位角相等
(3)否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似 即同时否定了原命题的条件和结论，“若﹁p，则﹁q”.
们在证明某一个命 题为真 命 题 时, 可 以 通 过 证 明 它 的 逆 否 命 题 为 真 命 题, 来 间 接 地证明原命题为真命题.
例4 证明: 若 p2 q2 2,则 p q 2. 分析 将"若 p2 q2 2,则p q 2"视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆
3;
2
逆命题 若sin 3 ,则 600
2
否命题 若 600，则sin
3
逆否命题 若sin
3
, 则
2 60 0
(2)原命题
2
设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
否命题 设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 若ab 0, 则a 0且b 0 假 否命题 若a 0或b 0, 则ab 0 假 逆否命题 若ab 0, 则a 0或b 0 真 小结：若原命题为真时，逆命题不一定为真，否命题也
1.1.2 四种命题
逆命题:若一个四边形的两条对角线相等, 则它是矩形.
否命题:若一个四边形不是矩形,则它的两 条对角线不相等。
逆否命题:若一个四边形的两条对角线不 相等,则它不是矩形.
思考：若mn=0,则m=0或n=0。 逆命题： 否命题： 逆否命题：
（1）负数的平方是正数。 解：原命题可以写成：若一个数是负 数，则它的平方是正数。 逆命题：若一个数的平方是正数，则 它是负数。
否命题：若一个数不是负数，则它的 平方不是正数。
逆否命题：若一个数的平方不是正数， 则它不是负数。
（2）正方形的四条边相等。 解：原命题可以写成：若一个四边形 是正方形，则它的四条边相等。
原命题 若p则q
互 否
否命题 若┐p则┐q
互
逆命题
逆
若q则p
互 否
互
逆否命题
逆
若┐q则┐p
四种命题之间的关系
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面
四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假 性没有关系.
练习：
(1)若 m 0或n“至0,则少m有一n 个0”. 假 逆命题：若m n 0，的则否m定 0是或n： 0； 真 否命题：若m 0且“n 没0，有则一m 个n ”0； 真
初中数学：1.1.2四种命题
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
原命题：若a>b，则ac2>bc2
假
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b 假
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。
结论1
原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。
二.四种命题的关系
2.互否命题的真假关系
*判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
结论3
原命题和逆否命 题总是同真同假。
二.四种命题的关系
4.否命题和逆命题的真假关系
*观察下列命题的真假，并总结规律。
真 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 假 否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假
原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
四种命题。反证法
0 2 2 a b 2a 4b 3 0 ，
命题及其关系
1.1.2 四种命题
• 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 • 判断为真的语句叫做真命题。 • 判断为假的语句叫做假命题。 • 理解： 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须确定，判断 的结果可真可假，但真假必居其一。 2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。
p2 q2 2 ． 所以
2 1 1 2 2 ( p q) 2 2 2 2
p 2 q 2 2 ，则 p q 2 ． 从而，若
由于原命题和它的逆否命题有相同的真 假性，所以我们在直接证明某一个命题为真 命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 这种方法是间接证明命题的方法，是反 证法的一种．
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真 真 假 假
真 假 真 假
真 假 真 假
真 真 假 假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这 四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系．
p 2 q 2 2 ，则 证明：若
证明：若 a 2 b2 2a 4b 3 0 ， 则 a b 1．（提示：用反证法）
证明:若 a b 1 ，则 a 2 b 2 2a 4b 3
(a b)(a b) 2(a b) 2b 3 a b 1
所以，若 则 a b 1 ．
原结论
是 都是 大于 小于
反设词
不是 不都是
原结论
1.1.2四种命题(若p则q形式)第2课时
例2：写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0” 的逆命题、否命题、逆否命题。
解： 逆命题：若 x = 0或 y = 0 ，则 xy = 0。
否命题：若 xy 0 ，则 x 0且 y 0。 逆否命题：若 x 0且 y 0，则 xy0。
8
例3： 命题 “a,b都是偶数，则a+b是偶数”的逆 否命题是 ( D )
10
┑
┑
四种命题的关系
互逆
原命题：若p则q
逆命题:若q 则p
互 否
互 否
互为逆否
否命题：若 p则 q
互逆
┑
┑
逆否命题：若 q则 p
11
┑
┑
四种命题真假的判断方法：
不一定 若原命题为真，逆命题_______为真， 不一定 否命题也______为真， 一定 逆否命题________为真。 逆否 等价命题指的是互为____的两个命题，其真 相 假性___同。 2 四种命题中等价命题有____组， 原命题 逆否命题 分别是______和________、 否命题 逆命题 _______和________。
12
判断若p则q形式的命题方法有___种 分别为：
若原命题为若p则q，则它的否命题为_____ 否定形式为_______.
13
1.1.2 四种命题
1
什么类型命题？
1.若同位角相等，则两直线平行。 2.若两直线平行，则同位角相等。
2
可以写成“若p ，则q ”的形式的复合命题。
条件
结论
例1：将下列命题改写成若p则q形式的命题 ①同位角相等，两直线平行。 若同位角相等，则两直线平行。 ②两直线平行，同位角相等。 若两直线平行，则同位角相等。
必修2-1课件1.1.2四种命题
也就是说 , 如果原命题为" 若 p , 则 q " , 那么它的逆 命题为" 若q , 则 p ".
这样一来, 将一个已知命题的条件 和结论互换, 就 可以得到一个新的命题它是已知命题的逆命题. , 例如 , 将命题 "同位角相等,两直线平行"的条件和
结论互换, 就得到它的逆命题 两直线平行,同位角 " 相等".
可以看到, 命题 1的条件是命题2的结论 , 且 命题 1的结论 是命 题 2的条件, 即它们的条 件和结论互换了 .
一般地 , 对于两个命 题 , 如果一个命题的条件和 结 论分别是 另一个 命题 的结论 和条 件 , 那 么我们把 这样的两个 命题叫做互逆命题 . 其 中一个 命题叫 做原命题 (original propositio ), 另一个叫做原命题 n 的 逆命题 (inverse propositio ). n
也就是说 , 如果原命题为" 若 p, 则q" , 那么它的否命题为 " 若 p, 则 q ".
为书写简便, 我们常常把条件p的否定和结论q的否定, 分别 记作" p "和" q " , 读作"非 p "和"非q ".
例如 , 如果原命题是"同位角相等,两直线平行" , 那么它 的否命题是 同位角不相相等两条直线不平行". " ,
1.1. 2题234 , 的条件和结论之间分别 有什么关系 ?
1若 f x 是正弦函数, 则 f x 是周期函数; 2若 f x 是周期函数, 则 f x 是正弦函数; 3若 f x 不是正弦函数, 则 f x 不是周期函数; 4 若 f x 不是周期函数, 则 f x 不是正弦函数.
1.1.2四种命题及其相互关系
练一练 1.判断以下说法是否正确. 1.一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真；
〔对〕
2.一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真〔. 对〕 3.一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假〔. 错〕 4.一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假. 〔错〕
2.四种命题中真命题的个数可能为___________个. 答：0个、2个、4个.
逆命题： 假设x2-5x+6=0，那么x=2或x=真3. 否命题： 假设x≠2且x≠3，那么x2-5x+6≠真0. 逆否命题：假设x2-5x+6≠0，那么x≠2且x≠真3.
问题3：由上面的两个例子,你能发现命题间 的真假关系有何规律吗?请试着写出你的结论.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真Leabharlann 真真真1.填空
(1)命题“末位数字是0的整数,可以被5整除 〞 (的2)逆命命题题“线是段：的垂直平分线上的点到这条 线段两端点的距离相等〞的否命题是：
(3)命题“到圆心的距离不等于半径的直线 不是圆的切线〞的逆否命题是：
(线距(它213))上离的到假假，不末圆设 设那 相 位 心一一么等数的个个条它。字距点整直到是离不数线这等0在可是。条于线以圆线半段被的段 径的切5整两。垂线除端直，,那点平那么的分么
2.有下列四个命题: (1)"若xy 1,则x、y互为倒数"的逆命题; (2)" 相似三角形的周长相等"的否命题; (3)"若b 1,则方程x2 2bx b2 b 0有实根"的逆否命题;
C (4)"若A B B,则A B"的逆否命题.其中真命题是( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(3)(4)
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
预习导学
课堂讲义
当堂检测
预习导学 1．1.2
四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2) 的条件． 对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命
题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论的否定和条件的否定．
预习导学
课堂讲义
当堂检测
预习导学 1．1.2
四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
2．四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题 不一定为真 不一定为真 ；它的否命题也 ．原命题为真，它的逆否命题 一定为真 ．
预习导学
课堂讲义
当堂检测
课堂讲义 1．1.2
四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
预习导学
课堂讲义
当堂检测
1．1.2 四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
再见
预习导学
课堂讲义
当堂检测
2．认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系． 3．会利用逆否命题的等价性解决问题．
预习导学
课堂讲义
当堂检测
预习导学 1．1.2
[知识链接]
下列四ห้องสมุดไป่ตู้命题：
四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数． 观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
1.1.2四种命题及其关系
逆否命题 若﹁ q则﹁p
探究四种命题真假性之间的规律
1）若f ( x)是正弦函数，则 f ( x)是周期函数。 真
假 3）若f ( x)不是正弦函数，则 f ( x)不是周期函数。假
2）若f ( x)是周期函数，则 f ( x)是正弦函数。
4）若f ( x)不是周期函数，则 f ( x)不是正弦函数。真
2013-10-10
逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
作业：
课本P6 练习 P8 A2
2013-10-10
2013-10-10
2013-10-10
(假) (真) (真) (假) (真) (真) (真) (真)
（假） （假） （假） （假）
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
想一想？
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
2013-10-10
几条结论:
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的 真假性； （2）两个命题为互逆命题或者互否命题，它 们的真假性没有关系。
1.1.2~3四种命题 及其相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
2013-10-10
1.1.2四种命题
思 考
观察下面四个命题，找一找命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结 论之间分别有什么关系？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数. （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数. （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
高中数学1.1.2四种命题优秀课件
再见
紧密高考
新课学习
命题方向1 ⇨四种命题的概念
[题目]:写出以下命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0； (3)假设a>b，那么ac2>bc2.
规律总结
新课学习
『规律总结』 写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否认原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命 题．
新课学习
否命题
互否命题： 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的___条_件__的_否__认____和___结__论_的__否_认____．我们把这样的两 个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做原命题的___否_命__题__． 假设原命题为“假设p，那么q〞，那么其否命题为 “____假_设__¬p_，__那_么__¬q_〞．
新课学习
[标准解答] (1)原命题：假设a是正数，那么a的平方根不等于0； 逆命题：假设a的平方根不等于0，那么a是正数； 否命题：假设a不是正数，那么a的平方根等于0； 逆否命题：假设a的平方根等于0，那么a不是正数； (2)原命题：假设x＝2，那么x2＋x－6＝0； 逆命题：假设x2＋x－6＝0，那么x＝2. 否命题：假设x≠2，那么x2＋x－6≠0； 逆否命题：假设x2＋x－6≠0，那么x≠2. (3)原命题：假设a>b，那么ac2>bc2； 逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b； 否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2； 逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b.
1.1.2-1.1.3四种命题、四种命题间的相互关系
2．四种命题的相互关系
第一章 常用逻辑用语
做一做 1.命题:“当a>1时,函数y＝ax在R上是增函数”的逆否 命题是__若__函__数__y_＝__a_x_在__R_上__不__是__增__函__数__,_则__a_≤_1__．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
3．四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况
原命题 真
真 假 假
逆命题 真
假 真 假
否命题 __真__ _假___
_真___ _假___
逆否命题 _真___
_真___ _假___ _假___
(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有__相__同__的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 _没__有__关__系____．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
做一做 2.判断“若x2＋y2＝0,则x＝y＝0”的真假？ 解:利用逆否命题判断． 若x,y不全为0,则x2＋y2≠0是真命题, ∴x2＋y2＝0,则x＝y＝0是真命题．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 四种命题的概念
例1 把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的 逆命题、否命题与逆否命题: (1)当 x＝2 时,x2－3x＋2＝0; (2)内错角相等．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
【解】 (1)原命题:若x＝2,则x2－3x＋2＝0. 逆命题:若x2－3x＋2＝0,则x＝2. 否命题:若x≠2,则x2－3x＋2≠0. 逆否命题:若x2－3x＋2≠0,则x≠2. (2)原命题:若两个角是内错角,则它们相等． 逆命题:若两个角相等,则它们是内错角． 否命题:若两个角不是内错角,则它们不相等． 逆否命题:若两个角不相等,则它们不是内错角． 【名师点评】 写出原命题的逆命题、否命题及逆否 命题的关键是要分清条件p和结论q,对于语言形式的命 题一定先写成“若p,则q”的形式,叙述时要注意语句的 通顺性与逻辑性,并力求简洁.
1.1.2四种命题及其相互关系
x0
四种命题形式 原命题 逆命题
原命题
否命题
逆否命题
（1）若同位角相等，则两直线平行 （2）若x 2, 则x 2 3x 2 0 （3）若x 0, 则x 2 2 x 0
（3）互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互 为逆否命题。
作业
1、P8：习题1.1 A组 2、3、4
2、《导学案》P3—4 3.预习：1.2充分条件与必要条件
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判 断它们的真假：
(1)原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (2)原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (真 )
例5：写出下列命题的原命题、逆命题、 否命题和逆否命题： 逆命题：如果一个四边形四边
相等，那么它是正方形。
（1）正方形的四条边相 等。
假
原命题：如果一个 四边形是正方形， 那么它的四条边相 等。 真
否命题：如果一个四边
形不是正方形，那么它的 四条边不相等。 假
逆否命题：如果一个
四边形四边不相等，那 么它不是正方形。 真
1. 写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、 逆否命题
1.1.2 四种命题
复习
1)可以判断真假的陈述句称为命题． 2)其中判断为真的语句称为真命题， 判断为假的语句称为假命题． 命题都是由条件和结论两部分构成
可写成 “若 P, 则 q” 的形式 或 “如果P,那么q” 的形 式 或 “只要P,就有q” 的形
式
判断下列语句是否是命题?若是命题, 是真命题还是假命题?
我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系.你能说 出其中任意两个命题之间的相互关系吗?
四种命题的关系：
原命题 若p则q
互逆
互为 互逆 q
逆命题 若q则p 逆否
互否
否命题 若 p则
互否
逆否命题 若 q则 p
思考： 若命题m的逆命题是n,命题r是命题n的否命题，则 逆否 ）命题。 m是r的（
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题也为真命题．
练一练
P8
练习
小 结
• （1）逆命题、否命题与逆否命题的概念； • （2）四种命题形式及其转化； • （3）否命题与命题的否定的区别。
P8
习题1.1A组２
让我想一 想
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之 间分别有什么关系？ 1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； p q 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； q p
互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做 互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如，命题“同位角相等，两直线平行” 逆命题 “两直线平行，同位角相等”。
原命题可以写成:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【知识小结】 知识小结】
四种命题形式: 四种命题形式: • 原命题: 若 p, 原命题: • 逆命题: 若 q, 逆命题: • 否命题: 若┐p, 否命题: • 逆否命题: 若┐q, 逆否命题:
则 q 则 p 则 ┐q 则 ┐p
【典例演练】 典例演练】
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： 并判断真假： (1)若a＜b,则a2＜b2； 若 ＜ 则 (2)已知 ∈R,若x ＞1, 则x ＞2； 已知x 已知 若 ； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为 ； “＜”的 都为0； ＜ 若 ， 都为 (4)正方形的四条边相等 (4)正方形的四条边相等． 正方形的四条边相等． 否定是 逆命题:若 解:(1)逆命题 若a2＜b2,则a＜b; 逆命题 则 ＜ “≥” ” 否命题:若 否命题 若a≥b,则a2≥b2; 则 逆否命题:若 逆否命题 若a2≥b2,则a≥b; 则 原命题为 假 ; 逆命题为 假 ; 否命题为 假 ; 逆否命题为 假 . 点评： 点评：要写出一个命题的另外三个命题关键 是分清命题的条件和结论
析：原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等 原命题：若一个四边形是正方形，
逆命题:若一个四边形的四条边相等 解:(4)逆命题 若一个四边形的四条边相等， 逆命题 若一个四边形的四条边相等， 则这个四边形是正方形; 则这个四边形是正方形 否命题:若一个四边形不是正方形 若一个四边形不是正方形， 否命题 若一个四边形不是正方形， 则它的四条边不相等； 则它的四条边不相等；; 逆否命题:若一个四边形的四条边不相等 若一个四边形的四条边不相等， 逆否命题 若一个四边形的四条边不相等， 则这个四边形不是正方形; 则这个四边形不是正方形
【问题引入】 问题引入】
下列四个命题中，命题 与命题 与命题(2)(3)(4)的条 下列四个命题中，命题(1)与命题 的条 件和结论之间分别有什么关系？ 件和结论之间分别有什么关系？ (1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 是正弦函数， 是周期函数； 若 是正弦函数 是周期函数 p q (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 是周期函数， 是正弦函数； 若 是周期函数 是正弦函数 (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若 不是正弦函数， 不是周期函数； 不是正弦函数 不是周期函数 ┐p ┐q (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 不是周期函数， 不是正弦函数。 若 不是周期函数 不是正弦函数 互否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 条件和 互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫 命题的条件的否定和结论的否定， 条件的否定 做互否命题。 做互否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的否命题。 否 命 题：另一个命题叫做原命题的否命题。 即 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q 原命题 若 则 否命题 若 则
b都为 的否定是:a=0、 都为0”的否定是 ≠0、 析：“a 、b都为0”的否定是:a=0、b ≠0;a ≠0、b=0; 不都为0 不都为 a ≠0 、 b ≠0. 即a 、b不都为
逆命题:若 都为0， 解:(3)逆命题 若a 、 b都为 ，则a2 +b2=0; 逆命题 都为 不都为0; 否命题:若 否命题 若a2 +b2≠0，则a 、b不都为 ， 不都为 逆否命题:若 不都为0， 逆否命题 若a 、b不都为 ，则a2+ b2 ≠0; 不都为 原命题为 真 ; 逆命题为 真 ; 否命题为 真 ; 逆否命题为 真 .
【典例演练】 典例演练】
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： 并判断真假： (1)若a＜b,则a2＜b2； 若 ＜ 则 (2)已知 ∈R,若x ＞1, 则x ＞2； 已知x 已知 若 ； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为 ； 都为0； 若 ， 都为 (4)正方形的四条边相等 (4)正方形的四条边相等． 正方形的四条边相等．
【问题引入】 问题引入】
下列四个命题中，命题 与命题 与命题(2)(3)(4)的条 下列四个命题中，命题(1)与命题 的条 件和结论之间分别有什么关系？ 件和结论之间分别有什么关系？ (1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 是正弦函数， 是周期函数； 若 是正弦函数 是周期函数 p q (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 是周期函数， 是正弦函数； 若 是周期函数 是正弦函数 (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若 不是正弦函数， 不是周期函数； 不是正弦函数 不是周期函数 (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 若 不是周期函数， 不是正弦函数。 不是周期函数 不是正弦函数 ┐q ┐p 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另 条件和 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命 题叫做互为逆否命题。 题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆否命题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 原命题:若 则 逆否命题:若 则 即 原命题 若p,则q 逆否命题 若┐q,则┐p
课前练习
1.（09江西文）下列命题是真命题的为（ （ 江西文 下列命题是真命题的为（ 江西文）
A
）
1 1 A.若 = ,则 x = y 若 则 x y C.若 x = y ,则 x = y 若 则
B.若 x 若
2
则 = 1,则 x = 1
D.若x 若
< y ,则 x < y 则
2
2
X
§1.1命题及其关系 1.1命题及其关系 §1.1.2 四种命题
【典例演练】 典例演练】
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： 并判断真假： (1)若a＜b,则a2＜b2； 若 ＜ 则 (2)已知 ∈R,若x ＞1, 则x ＞2； 已知x 已知 若 ； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为 ； 都为0； 若 ， 都为 (4)正方形的四条边相等 (4)正方形的四条边相等． 正方形的四条边相等．
原命题为真 否命题为假
; 逆命题为 假 ; ; 逆否命题为 2 1.命题 “ 命题： 及它的逆命题、 1.命题： 若 a=b，则(a-1) =( -1) ”及它的逆命题、否 = ， - =(b命题、逆否命题中，真命题的个数为( 命题、逆否命题中，真命题的个数为( B ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 “△ABC 中， ∠C＝90°， ∠A、 B 都是锐角” 2. “△ 若 ＝ ° 则 、 ∠ 都是锐角” 的否命题是（ 的否命题是（ B ） (A)△ ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 都不是锐角 △ ≠ ° 、 (B)△ ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 不都是锐角 △ ≠ ° 、 (C)△ ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 都不一定是 △ ≠ ° 、 锐角 (D)以上都不对 以上都不对
【典例演练】 典例演练】
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： 并判断真假： (1)若a＜b,则a2＜b2； 若 ＜ 则 (2)已知 ∈R,若x ＞1, 则x ＞2； 已知x 已知 若 ； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为 ； 都为0； 若 ， 都为 (4)正方形的四条边相等 (4)正方形的四条边相等． 正方形的四条边相等． 已知x 是大前提， 析：“已知 ∈R”是大前提，保留不变 是大前提 逆命题:已知 解:(2)逆命题 已知 ∈R,若x ＞2, 则x ＞1; 逆命题 已知x 若 否命题:已知 已知x 否命题 已知 ∈R,若x ≤1, 则x ≤2; 若 逆否命题:已知 已知x 逆否命题 已知 ∈R,若x ≤2, 则x ≤1; 若 原命题为 假 ; 逆命题为 真 ; 否命题为 真 ; 逆否命题为 假 .
课堂小结
原命题： 若 则 原命题： p,则q 互 否 若┐p,则┐q 则 否命题： 否命题： 若┐q,则┐p 则 逆否命题： 逆否命题： 互逆 逆命题： 若 则 逆命题： q,则p
课后作业： 金榜》素能综合检测（ 课后作业：《金榜》素能综合检测（二）
6,7,8(做在书上） 做在书上） 做在书上
（下第一节晚修前交上来） 下第一节晚修前交上来）
【问题引入】 问题引入】
下列四个命题中，命题 与命题 与命题(2)(3)(4)的条 下列四个命题中，命题(1)与命题 的条 件和结论之间分别有什么关系？ 件和结论之间分别有什么关系？ (1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 是正弦函数， 是周期函数； 若 是正弦函数 是周期函数 p q (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 是周期函数， 是正弦函数； 若 是周期函数 是正弦函数 q p (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 不是正弦函数， 不是周期函数； 若 不是正弦函数 不是周期函数 (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 若 不是周期函数， 不是正弦函数。 不是周期函数 不是正弦函数 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件 命题的结论 条件，这两个命题叫做互逆命题。 结论和 命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。 原命题:若 则 即 原命题 若p,则q 逆命题:若 则 逆命题 若q,则p