解析几何运算处理技巧教师版
(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
解析几何大题的解题步骤和策略
解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。
2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。
选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。
3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。
可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。
4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。
可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。
5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。
可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。
6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。
最后，回答问题，给出相应的解释和结论。
在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。
同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。
根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。
解析几何解答题技巧
解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。
坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。
2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。
设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。
3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。
列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。
4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。
解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。
5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。
验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。
6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。
总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。
总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。
同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。
解答解析几何问题的几个“妙招”
解题宝典仔细研究可以发现，解析几何问题通常具有以下几个特点：（1）解题过程中的运算量较大；（2）选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭圆、双曲线的定义和几何性质，解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系；（3）可从代数和几何两个角度入手，寻找解题的思路.在解答解析几何问题时，我们要抓住解析几何问题的特点，选用一些技巧来简化运算，提升解题的效率.一、巧用定义在解答与圆锥曲线定义有关的问题时，要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来，根据圆锥曲线的定义来建立关于动点的关系式，求得各个参数a 、b 、c 、p 、r 的值，便可求得动点的轨迹方程或焦半径的长.例1.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若 AF 1·AF 2=0，a =3-1，则F 2的坐标为.解：因为 AF 1·AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，因为k AF 2=-3，所以∠AF 1F 2=π6，则AF 1=3c ，AF 2=c ，由双曲线的定义得AF 1-AF 2=3c -c =2a ，则c =3=2，所以F 2已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF 1、AF 2，于是联想到双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，据此建立关于AF 1、AF 2的关系式，即可解题.运用圆锥曲线的定义来解题，能快速建立起焦点弦、参数之间的联系，起到简化运算的效果.二、数形结合在解答解析几何问题时，根据题意画出相应的曲线、直线，并将数量关系转化为几何关系，这样把数形结合起来，可使问题变得更加直观，便于分析.运用数形结合法解题，关键是画出相应的平面几何图形，灵活运用平面几何知识，如三角形、圆、平行四边形、梯形的性质来求解.例2.（2021年高考数学上海卷，第11题）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0），若第一象限内的点A ，B 在抛物线C 上，焦点为F ，且|AF |=2，|BF |=4，|AB |=3，则直线AB 的斜率为______.解：如图所示，过点A ,B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，作AM ⊥BQ ,垂足为M ，根据抛物线的定义可知|AP |=|MQ |=|AF |=2，|BQ |=|BF |=4，则|BM |=2，在Rt△AMB 中,由|AB |=3可得|AM |=|AB |2-|BM |2=5,所以直线AB 的斜率k =tan ∠ABM =|AM ||BM |=根据题目中所给的条件，作出相应的平面几何图形，将题目中的数量关系转化为几何关系，便可将数形结合起来，通过合理添加辅助线，构造出直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB 的斜率.三、设而不求设而不求是指设出相关的参数，但不求出参数的具体值，得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等，将其代入题设中进行运算，最后通过消元求得问题的答案.利用设而不求法解答解析几何问题，只需设出相关的参数，根据题意建立关系式，合理进行整体代换、消元即可.例3.（2021年福建省福州市高考数学调研试卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点.正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在椭圆C 上.（1）求C 的离心率；（2）若a=2，直线l 过点（1，0）且x 轴不重合，与椭圆C 交于M ，N 两点（M 在x 轴上方），直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1k 2是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.解：（1）略；（2）当a =2时，b =，所以椭圆C 的方程为x 2+3y 2=4，设直线l 的方程为x =my +1，m ≠0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则y 2<0<y 1，由题意可得ìíîx =my +1,x 2+3y 2=4,消去x 可得(m 2+3)y 2+2my -3=0，得y 1+y 2=-2m m 2+3，y 1y 2=-3m 2+3，林毓琴41解题宝典N k OM 42。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
解析几何2020教师版
化简得 c2 a2
3(3 2
2) ，所以 e c a
3( 2 1)
6
3 .故选：A.
12．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，B
为椭圆的上顶点，若 △BF1F2 的外接圆的
2b
半径为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
3
A． 2 2
B． 3 2
7．椭圆 x2 a2
y2 b2
1a b
0 的右焦点为 F
，过点 F
的直线交椭圆于
A ，B 两点，C 是点 A 关于原点的对称点，
若 CF AB ， CF AB ，则椭圆的离心率为（ ）
A． 3 1
B． 2 3
C． 6 3
D． 6 3
【答案】C
作另一焦点为 F ，连接 AF ， BF,CF ，则四边形 FAFC 为平行四边形
点．若 AF 3FB ，则 k
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【答案】B
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
4y2 a2
1 ．依题意可得直线方程为
y k(x 3 a)
y k(x
3 2
a) ，联立{ x2 a2
4y2 a2
A1 ， A2 ，上、下顶点分别为且 B1 ， B2 ，右焦点为 F
，直
线 A1B1 与直线 B2F 相交于点 T ．若 A2T 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率 e （ ）
1
A．
3
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
解析几何解题技巧
高三数学（人教版）第二轮专题辅导讲座第五讲 解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势：1．解析几何的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考．2．直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现．3．考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题．4．有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．【考点透视】一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．（20XX 年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D.考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．（20XX 年全国卷II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用.解答过程：由椭圆方程x 23＋y 2＝1知),,,A B C ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭2ABC AB C ∆∴∴=故选C.例3．（20XX 年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2a PF P F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4．（20XX 年福建卷）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2,)+∞ D ．(2,)+∞ 考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞)的有关知识.解答过程： 2.c e a ∴==例5．（20XX 年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A.2 B.332 C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．(20XX 年山东卷)已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+= ()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．已知P 是椭圆22x y 14+=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12F PF 60∠=︒，求12F PF ∆的面积.解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12F PF ∆中由余弦定理得2221212PF PF 2PF PF cos60=+-⋅︒＝2121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos 60+-⋅-⋅︒，解之得：124PF PF 3⋅=，则12F PF ∆的面积为121PF PF sin 602⋅︒小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 例8．已知动点P 到两个定点A(5,0)-、B(5,0)的距离之差为|PA ||PB |8-=， （1）求点P 的轨迹方程；（2）对于x 轴上的点M ，若满足2|PA ||PB ||PM |⋅=，则称点M 为点P 对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P ，它总有两个比例点. 解答过程：（1）因为A(5,0)-、B(5,0)且|PA ||PB |8-=，所以，点P 的轨迹是以A,B 为两焦点，实轴长为8的双曲线的右支， 且a 4,c 5==，则b 3=，则点P 的轨迹方程是：22x y 1,(x 4)169-=≥（2）设111P(x ,y )(x 4)≥，M(m,0)，双曲线的离心率5e 4=，因为2|PA ||PB ||PM |⋅=，由焦半径公式和距离公式得：22111155(x 4)(x 4)(x m)y 44+-=-+＝2211x (x m)9(1)16-+-， 整理得：21m 2mx 70-+=，因22114x 284(x 7)0∆=-=->，则方程有两个不等实根，即对于点P 它总对应两个比例点.小结：（1）应用圆锥曲线定义时，要注意其限制条件，在椭圆中，2a 2c >；在双曲线中2a 2c <且注意差的绝对值12||PF ||PF ||2a -=，若无绝对值，则曲线为双曲线的一支； （2）焦半径公式在计算中非常方便，但双曲线的焦半径不要求记忆，可以利用定义进行转化；（3）求解对应点的个数，通常转化为方程解的个数，这时，判别式就非常重要.例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b+=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则221122x y 1ab+=，222222x y 1a b+=，二式相减得：21212AB21212y y (x x )b kx x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a==（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e==设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |==-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例10．(20XX 年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=,由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴b a= 解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kk λ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=， Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k kkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.230k -≠，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=± (2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+.∴1114444k kx x k λ-==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448443kx kx λλ+=--=-++.即 2121225()80k x x k x x +++=.（*）又22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠. 由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得 24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=， （1）求椭圆的离心率；（2）若|AB |15=，求这个椭圆的方程.解答过程：（1）设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)ab+=>>，焦距为2c ，则直线AB 的方程为y x c =-，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，由2222x y 1ab y xc ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：22222222(a b )x 2a cx a c a b 0+-+-=，则212222a c x x a b +=+，21212222b c y y x x 2c a b+=+-=-+， 因OA OB OC +=，则2222222a c 2b c C(,)a b a b -++， 又点C 在椭圆上，则22222222224a c 4b c 1(a b )(a b )+=++，整理得：2224c a b =+＝222a (a c )+-，即222a 5c =，所以c e a ==C BA oy x（2）|AB ||AF ||BF |=+＝12(a ex )(a ex )-+-＝122a e(x x )-+＝222c 2a c 2a a a b -⋅+ ＝3a152=， 则a 10=，c =2b 60=，椭圆方程为22x y 110060+=.小结：（1）利用向量，可将较复杂的A 、B 、C 三点之间的关系用较简单的形式给出来； （2）焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解； （3）计算复杂是解析几何的通性，要细心. 考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在xC(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |+当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x y)=，PB (x y)=，且|PA ||PB |6+=， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，，因为|PA ||PB |6+=，且|AB |6=，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（20XX 年福建卷）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |==，即2aA(,0)c ，直线l ：a y (x c)b =--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 故：22ab a ab b abPA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c=-==-，则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅，即PA OP PA FP ⋅=⋅；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=，即PA OP PA FP ⋅=⋅）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩， 由4222212422a c (ab )bx x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k >⇒a b b a->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a (x,0)=，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+⊥-， （1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a3b +＝(x,0)y)(x =+，a 3b -＝(x,0)3(1,y)(x 3,3y)-=--，因(a 3b)(a 3b)+⊥-，故(a 3b)(a 3b)0+⋅-=，PQCBA xy O即22(x (x x 3y 30⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx m x 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k--， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----，将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=，|BC |2|AC |=， （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y 14b +=，不妨设C 在x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==⇒=，又AC BC 0⋅=AC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=，即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB//PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--， 若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根， 由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+， 故P Q P Q PQ P Q P Q y y k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB//PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λ，所以GM//AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |==整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+， 由OP OQ 0⋅=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a 013k 13k--+=++，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y a)=-.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-=2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）A.x y =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)ab+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A.124．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(B.C.[D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B.22x y 1(y 0)43+=≠ C. 22x y 1(x 0)34-=≠ D.22x y 1(x 0)43-=≠ 二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292； ③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ |+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A 是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，（1）求双曲线C 的方程；（2）求证：12FM F N ⋅是定值. 13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=系，（1）若1S 2=，|OF |2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF |c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ； （2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |===+. 4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()93,cc e aa === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P（x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=1234021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=--，PB (2x,y)=---，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x k 1)=-<<，依题意，点C在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k =b =此时，由方程组22y y x 2⎧⎪⇒⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=， 所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--，则1113FM (,y )3=，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- . 13．解：（1）因为|OF |2=，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF |c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+， 又013S c |y |c 24==，则03y 2=±，13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=得：y 3y (3,)(x,)022-=，即2y 4x =，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k-+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k -， 线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )kkk--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+，因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB|AB |，又|AB|=，=k =011x 3= . 15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵OM ab k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 所以 )1(2x +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x -=⋅ . 于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
解析几何中的定值(修改教师版) 丁左军 海安高级中学
解析几何中的定值问题 海安高级中学 丁左军第一讲 定值问题方法初探一、定值问题的概念及解题思路1.定值问题的概念在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该几何量具有定值特征,这类问题称之为定值问题．2.解题思路定值问题基本的求解思路是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．二、基本的解题策略：【策略一】特值验证，一目了然，特值探路，方向明确，极限思想，极端考虑. 【策略指导】：1.在求解与定值有关的问题时，运用满足题设条件的特殊位置、特殊图形进行检验或推理，从而判断.2.根据特殊性与普遍性(个性与共性)的辨证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定值，得到启示，从而将问题化归为解几证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明.例1 已知AC 、BD 为圆O ：x 2+ y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则 AC 2+BD 2=______.【解析】法1. 当弦AC ⊥x 轴、弦BD ⊥y 轴时直接求解.法2. 设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为12d d ，，则22222212124(4)4(4)324()AC BD d d d d +=-+-=-+=232420OM -=．【拓展】：已知AC 、BD 为圆O ： x 2+y 2=r 2的两条相互垂直的弦，垂足为M (a ，b )，则AC 2+BD 2 =8r 2-4(a 2+b 2). 【评注】：定值问题常用方法：考虑用特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形、极端位置、极限位置，求出定值.【练习】：1．已知0a >，过(0)M a ，任作一条直线l 交抛物线22(0)y px p =>于P 、Q 两点，若2211MPMQ+为定值，则a = .【解析】当直线l 的方程为x a =时，22111paMPMQ+=；当直线l 的方程为0y =时，222111a MPMQ+=.由211pa a =，得a p =.2．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作直线l 交抛物线于P 、Q 两点.求证： 11PF QF+为定值.【证明】当直线l y ⊥轴时，114a PF QF+=. 下面只需证明一般情形下114a PF QF +=即可.设直线l 的方程为14y kx a=+，代入方程2y ax =消去x 并整理，得222168(12)10a y a k y -++=.设11()P x y ，，22()Q x y ，，则有212122k y y a ++=，122116y y a=. 所以21211144k PF QF y y a a a++=+++=， 21212122211111()()()444164k PF QF y y y y y y a a a a a +⋅=++=+++=. 所以114PF QF a PF QF PF QF++==⋅. 故11PF QF+是定值，定值为4a .【策略二】引入参数，构造方程，消去参数，直达彼岸，等价转化，恒等求解. 【策略指导】：(1)定值问题中，“若存在与k 参数无关”类问题，大多数有“隐含”条件，求解方法是：第一歩，将表达式转化成含“参数k ”的多项式；第二歩，化简，若结果里的参数自动消除得到定值正好，否则可令含“参数k ”的项的系数为零，得到求解结论．其理论依据：函数)(x f 是常数函数⇔所有含x 项的系数＝0，即“零次”多项式理论.(2)圆锥曲线定值问题往往运算量大，占用时间长，而“对偶运算”、“对称运算”、“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担.例 2 已知椭圆C 经过点A 3(1)2，，两个焦点为(10)(10)-，，，.(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值．并求出这个定值．【解析】(1)由题意，1c =，可设椭圆方程为222211x y b b +=+， 因为A 在椭圆上，则2219114b b +=+，解得23b =或234b =-（舍去） 则椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设AE 的方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得：2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=，设E ()E E x y ，，F ()F F x y ，，因为点A 3(1)2，在椭圆上，则2234()1232342E E E k x y kx k k --==+-+，， 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式以-k 代k ，可得2234()1232342F F F k x y kx k k +-==-+++，， 则直线EF 的斜率()212F E E F EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--，即直线EF 的斜率为定值12. 【评注】：(1)消去参变数才可得常数(定值)，这是证题的重要依据.(2)PB k 、AB k 与PA k 具有对应表达式，只要求得PA k ，即知PB k 和AB k 的表达式，从而有效地避免了重复运算，简化了证题过程.【拓展】：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点2()b A c a ，，E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，则直线 EF 的斜率为椭圆C 在点2()b c a-，处切线的斜率e ．(2)一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点2()b A c a，，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作直线OA 的平行线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=0.【练习】：3．已知圆229x y +=，点(50)A -，，直线20l x y -=：.(1)求与圆C 相切且与直线l 垂直的直线方程；(2)若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上的任意一点P ，PB PA为定值，求所有满足条件的定点B 的坐标．【解析】 假设存在这样的点(0)(5)B t t ≠-，，使PB PA为常数λ，则22PB PA λ=对于圆C 上的任意点P 恒成立，即22222()(5)x t y x y λ⎡⎤-+=++⎣⎦对任意实数x ，y 恒成立，将229y x =-代入，得2222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-， 即2222(5)3490t x t λλ++--=对[]33x ∈-，恒成立，所以222503490t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩ ，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）. 所以存在定点9(0)5B -，，对于圆C 上的任意一点P ，都有PBPA为定值. 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e ，直线:l y ex a =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 在该椭圆的一个公共点.求证：AMBM为定值. 【分析】设AM AB λ=，只要构造方程，求出λ即可.【证明】由题意，可得A 、B 两点坐标分别为(0)a e-，、(0)a ，.联立22221y ex a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，所以点M 的坐标是2()b c a -，. 设AM AB λ=，得2()()a b a c a e a e λ-+=，，，所以得a a c e eλ-+=，解得21e λ=-，故AMBM为定值. 【评注】：引入参数，构造方程，也是求解定值问题的重要途径. 【策略三】利用整体不变，简捷明快，紧扣定义，整体把握. 【策略指导】：圆锥曲线的定义（第一定义和第二定义）与圆锥曲线的焦点、准线、离心率密切相关，因此凡有关焦点、准线、离心率的定值问题，均可考虑用定义，整体把握，巧妙消参，迅速求解.例3 已知斜率为1且过椭圆22233x y b +=的右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.设M 为椭圆上任意一点，且(R)OM OA OB λμλμ=+∈，.求证：22λμ+为定值.【证明】设()OM x y =，，11()A x y ，，22()B x y ，.设直线AB 的方程为y x c =-，代入22233x y b +=，化简得22246330x cx c b -+-=，又2212b c =，所以1232x x +=，21238x x c =.由已知得1122()()()x y x y x y λμ=+，，，，所以1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩.因为()M x y ，在椭圆上，所以2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=. 即()2222222112212123(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= （*） 因为1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++222393022c c c =-+=，又2221133x y b +=，2222233x y b +=，代入（*）得221λμ+=. 故22λμ+为定值，定值为1.【评注】：无论1x ，1y ，2x ，2y 如何变化，22113x y +与22223x y +都整体不变，设而不求，简捷明快! 【练习】：5． 已知(03)C -，，(03)D ，，求证：无论动点Q 在椭圆221010x y +=上如何运动，22QC QD OQ QC QD OQ⋅+⋅-恒为一个常数.【证明】因为(03)C -，，(03)D ，为椭圆221010x y +=的两个焦点，所以210OC OD +=设()Q x y ，，则222()240QC QD QC QD QC QD +=++⋅=.因为222222222[(3)][(3)]2()18218QC QD x y x y x y OQ +=++++-=++=+. 所以2218240OQ QC QD ++⋅=，即211OQ QC QD +⋅=，又22222(9)()9QC QD OQ x y x y ⋅-=+--+=-，所以22119QC QD OQ QC QD OQ⋅+=-⋅-. 【策略四】平几性质，代数解决. 【策略指导】：解析几何依然研究平面上的几何图形及其性质．因此在解题的过程中如果能充分挖掘图形的几何性质，从平面几何的视角去思考，往往能“出其不意，攻其不备”、“事半功倍”．例 4 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为2l x =：. (1)求椭圆的标准方程；(2)设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值.【解析】(1)由题意知，椭圆方程为2212x y +=，(2)记直线l 与x 轴交点为H ，OM 与过F 的垂线交点为G ，因为OM 是圆的直径，所以90ONM ︒∠=， 由于NG OM ⊥，由射影定理知 2ON OG OM =⋅.又因为90FGM FHM ︒∠=∠=，所以F ，G ，M ，H 四点共圆，由圆幂定理OG OM OF OH ⋅=⋅，所以22ON OG OM OF OH =⋅=⋅=，从而2ON =，即线段ON 的长为定值2.第二讲 定值问题题型初探一、定值问题的题型定值问题是指某些几何量，线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值. 二、题型分类【题型一】参变量系数的表达式(直线的截距、斜率)为定值.例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点2(2)2，．(1)求椭圆方程；(2)设不过原点O 的直线)0(≠+=k m kx y l ：，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足k = k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解析】(1)依题意可得2222222((2)213b c aa b c +=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=+⎪⎩ ，解得a =2，b =1，所以椭圆方程是2214x y += . (2)当k 变化时，m 2为定值，证明如下：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2－1)=0.设P (x 1， y 1)， P (x 2， y 2).则x 1+ x 2= 2814km k -+ ，x 1﹒x 2=224(1)14m k -+ . 直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，且k = k 1+k 2，则1212y y k x x =+=11kx m x + +22kx m x +，则 2k x 1﹒x 2=m (x 1+ x 2)，则m 2=12，经检验满足0∆>.【评注】：直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N .设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值.【解析】由题设x 24＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1 x 0，PB 的斜率为k 2＝y 0＋1x 0. 又点P 在椭圆上，所以220014x y +=(x 0≠0)，从而有k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02＝－14.【练习】：1．平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点(22)A ，，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________.【解析】取特殊点B (02)-，，则BC 的方程为22y x +=，由2222242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C (220)，所以22202222AB AC k k ++=+=-. 【评注】：定值问题可以选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果.【拓展】：(1)一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12k k ，，则12k k ⋅=22b a-.(2)过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ，A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，设MF 、NF 的斜率分别为k 1、k 2，则12k k ⋅=－1.(3)AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即2020=-AB b x k a y .【题型二】几何量表达式为定值(点到直线的距离、线段长、几何图形的面积). 例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F：22(5x y +=．(1)设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=，求点M 的坐标；(2)若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证 明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．【解析】(1)由题意得''(()1，，由，F F M m n MF MF ⋅=得222(1 4.m m n m n +=+=即①又22( 5.m n +=②由①，②得m n ==M M ∴或 (2)设点00()P x y ，，则圆22220000()().P x x y y x y -+-=+的方程为 即2200220.x y x x y y +--=③又圆22( 5.F x y +=的方程为④ 由③，④得直线QT的方程为00(10.x x y y +-=所以FH ==因为00()P x y ，在椭圆上，所以2222000011.44x x y y +==-，即所以 2.FH ====【评注】：定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，在一般计算推理求出其结果.【练习】：2．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT += .【解析】设1122 () () ()Q x y T x y S x y ，，，，，， 12 QA QA ，斜率为12k k ，，则OT OS ，斜率为12k k ，， 且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT + =22222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++. 【评注】：到直线的距离可以用点到直线的距离公式或者三角形面积等积法求得，在此过程中要对变化的量进行正确的表述，合理地引进参数，通过研究变化的量与参数无关，从而找到求定值的方法.3．如图，点(20)A -，，(20)B ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左右顶点，P M N ，，为椭圆C 上非顶点的三点，直线AP BP ，的斜率分别为12k k ，，且1214k k =-，//AP OM ，//BP ON .(1)求椭圆C 的方程；(2)判断OMN ∆的面积是否为定值？【解析】(1)由题意得22111442AP BPb k k b a a ⎧=⎪=-⇒⇒=⎨⎪=⎩，，，椭圆22:14x C y +=.(2)设直线MN 的方程为y kx t =+，11()M x y ，，22()N x y ，，则由22222(41)844014y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，，，则122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，1212121212114044y y k k y y x x x x =-⇒=-⇒+=，则12124()()0kx t kx t x x +++=，即221212(41)4()40k x x kt x x t ++++=，则2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++则()()22121241440kx x kt x x t ++++=，则2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++， 则2212(1)()MN k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-22222844(1)[()4]4141kt t k k k -=+-++2212241k k +=+，即21t d k =+，222212214112t t k S k k t+==⨯=++.则OMN ∆的面积为定值1.【评注】：定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是定值. 【题型三】其它一些数学表达式(向量数量积)为定值：例4 过点C (0,1)的椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a ，0)、B (－a ，0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋11(0)2k k ≠≠且. 代入椭圆方程化简得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方 程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为222814()4141k k k k --++，.又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为1(0)k-，. OPABDCx yQl【评注】：定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.第三讲 定值问题拓展性研究一、定值问题的拓展性结论【定理1】设A 、B 是过定点(0)(0)F p p ≠，的直线与抛物线2:2(0)E y tx t =>的两个交点，直线OA 、OB 分别与定直线x=q 交于点M 、N .则OA OB k k ⋅为定值2tp-，OM ON ⋅为定值()22q p t p-.【证明】 设2()2A A y A y t，，2()2B B y B y t ，，()M M q y ，，()N N q y ，.则由A 、F 、B 三点共线知2222A B A B y y y y p p tt=--，化简，得2A B y y pt =-.又2OA A tk y =， 2OB Bt k y =， 所以242OA OBA B t tk k y y p⋅==-.因A 、F 、B 三点共线，故OM OA k k =，即得2M A qt y y =.同理，2N Bqt y y =，于是222224(2)M N ABq t q p t OM ON q y y q y y p-⋅=+=+=. 【定理2】设P 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点，过定点(0)()F p p a ≠，的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，直线P A 、PB 分别与定直线x=q 交于点M 、N .则PA PB k k ⋅为定值22()()b p a a p a +-，PM PN ⋅为定值222()()[1]()b p a q a a p a +-+-. 【定理3】一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点A (x 0，y 0) 为椭圆上一定点，点B 、C 是椭圆上任意两点（异于点A ），当直线AB 、AC 斜率都存在且ABAC k k +=0时，k BC =2020b x a y .二、定值问题的思想与方法圆锥曲线中的定值问题解决的关键就是从变量的联系中找准所求问题，灵活应用已知条件，巧设变量，在变形过程中，应注意各变量之间的关系，善于捕捉题目的信息，运用大处着眼，小处着手的策略，从整体上把握问题给出的综合信息，并处理问题，综合运用函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想. 【例题精析】例1 在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，且BF 2＝m ．(1)已知点(62，1)在椭圆C 上，求实数m 的值；(2)已知定点A (－2，0)．当m ＝1时，记M 为椭圆C上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ， 若AM ＝λAP ，BM ＝μBQ ，求证：λ＋μ为定值．【解析】(1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1． 所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． (2)法一：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)．由AM ＝λAP ， 得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝y 1． 从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋2(－1)，y 0＝y 1．因为x 022＋y 02＝1，所以[x 1＋2(－1)]22＋(y 1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2 (－1)x 1＋3＝0．所以λ＋μ＝6．法二：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得[12(x 0＋2)2＋y 02)x 2＋4y 02x ＋4y 02－(x 0＋2)2 ＝0(*)．因为x 022＋y 02＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 02x －3x 02－4x 0＝0．因为x 0x 1＝－20003423x x x ++，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3．因为AM ＝λAP ，BM ＝μBQ ，所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋μ为定值6．【拓展】：设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，记M 、P 、Q 为椭圆C 上的动点，且A (－m ，0)，B (m ，0)，若MA ＝λAP ，MB ＝μBQ ，求证：λ＋μ为定值22222()a m a m +-.xy A O BM P QF 2 F 1 l例2 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：2OP OM ON =+ ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标，若不存在，说明理由．【解析】 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由2OP OM ON =+得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以221124x y +=，222224x y +=，故x 2＋2y 2＝(22124x x +＋4x 1x 2)＋2(22124y y +＋4y 1y 2)＝(22112x y +)＋4(22222x y +)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 22221(25)(10)x += 上的点，设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，则|PF 1|＋|PF 2|为定值，且两定点分别为F 1(10-，、F 210，.. 【评注】：定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．【拓展】：椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，动点P 满足：a OP OM ON b=+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－22b，则存在两个定点F 1 (－44a b -0)，F 244a b -0)，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值2242a b a b +.【练习】：1．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝21t ，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； (2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′ C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)， 又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，①O P NM x ＝22 x y O A 2 DA O x y A 1B C直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，②由①②得y 2＝21221y x a-- (x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=.从而222112(1)x y b a=-，代入③得x 2a 2－y2b 2＝1(x ＜－a ，y ＜0). (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故22221122x y x y =因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 222112(1)x x a -＝b 222222(1)x x a-，由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以21x ＋22x ＝a 2.从而21y ＋22y ＝b 2，因此21t ＋22t ＝a 2＋b 2为定值． 【评注】：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。
数学几何与解析几何题解题技巧总结
数学几何与解析几何题解题技巧总结数学几何和解析几何是数学中非常重要的分支，它们有着广泛的应用领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。
解决数学几何和解析几何问题需要一定的技巧和方法，下面将总结一些常用的解题技巧。
一、数学几何题解题技巧1. 图形的性质分析法在解决数学几何题目时，首先要对给定的图形进行性质分析。
通过观察图形的形状、角度、边长等特征，可以找到一些规律和关系，从而帮助解决问题。
例如，在判断一个四边形是否为矩形时，可以观察其四个角是否都为直角，四条边是否相等等。
2. 利用相似三角形相似三角形是数学几何中常用的重要概念。
当两个三角形的对应角相等，对应边成比例时，可以判断它们为相似三角形。
利用相似三角形的性质，可以求解一些难题。
例如，当两个三角形相似时，可以利用相似比例关系求解未知边长或角度。
3. 利用平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何中常见的重要概念。
利用平行线和垂直线的性质，可以解决一些几何问题。
例如，当两条直线平行时，它们的对应角相等；当两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
4. 利用勾股定理和三角函数勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。
当一个三角形中有一个直角，可以利用勾股定理求解未知边长。
此外，三角函数也是解决三角形问题的重要工具，例如正弦定理、余弦定理等。
二、解析几何题解题技巧1. 坐标系的建立解析几何中，常常需要建立坐标系来描述几何图形。
建立坐标系可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易求解。
在建立坐标系时，需要选择合适的原点和坐标轴方向，使得问题的求解更加简便。
2. 利用距离公式和中点公式距离公式和中点公式是解析几何中常用的工具。
距离公式可以求解两点之间的距离，中点公式可以求解线段的中点坐标。
利用这两个公式，可以计算线段的长度、判断三角形是否为等边三角形等。
3. 利用直线和曲线的方程直线和曲线的方程是解析几何中的重要工具。
通过求解直线和曲线的交点，可以解决一些几何问题。
数学解析几何题的解题思路和技巧
数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。
解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。
在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。
一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。
解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。
以一个具体的例子来说明。
假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。
首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。
然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。
将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。
接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。
最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。
综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。
因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。
二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。
解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。
以一个具体的例子来说明。
假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。
首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。
解析几何中几种常用的处理方法与技巧
解析几何中几种常用的处理方法与技巧微点一 定比点差法对于涉及PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的问题，我们可以采用定比点差法.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为椭圆或双曲线上两点，若存在P,Q 两点，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =－λQB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有P(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ)，Q(x 1－λx 21－λ，y 1－λy 21－λ),{x 12a 2±y 12b 2=1 ①,λ2x 22a 2±λ2y 22b 2=λ2②,由①－②得(x 1+λx 2)(x 1－λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1－λy 2)b 2=1－λ2,即1a2×(x 1+λx 2)(x 1－λx 2)(1+λ)(1－λ)±1b2×(y 1+λy 2)(y 1－λy 2)(1+λ)(1－λ)=1.从而x P x Q a 2±y P y Q b 2=1,然后再结合题意解决问题，从而达到简化运算的目的.特别的，当λ=1时，就是点差法.例1 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）过点M (√2,1),且椭圆C 的左焦点为(−√2,0). (1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|QB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,证明：点Q 总在某定直线上. 微点二 同构方程法同构发在解析几何中的考察点在于通过设点构造两个形式一样的方程，主要利用同理的逻辑，把两个未知量转化为一个二次方程的根或其它函数的零点，从而简化运算，达到快速解决问题的目的.例2 已知P 是抛物线E ：y 2=4x 上的动点，F 是抛物线E 的焦点.(1)求|PF |的最小值；(2)若点B,C 均在y 轴上，直线PB,PC 均与圆(x －1)2+y 2=1相切，当|PF |∈[4,6]时，求|BC |的最小值.微点三 齐次代换法圆锥曲线中常见一类题型,即条件中两直线的斜率之和或斜率之积是一个定值.这种题型固然可以用常规法处理,但运算量稍大,而齐次代换法是其中最有效的处理方法之一,可以绕开繁琐的计算.齐次从字面解释是次数相等,一个多项式中各单项式的次数都相同时,称为齐次式,例如:x +2y +3z ,x 2+xy +y 2,x 3+2xy 2+2x 2y +y 3都是齐次式.圆锥曲线中利用齐次代换法解题的难点在于要去配凑齐次式,针对斜率之和、之积为定值的题型可以考虑用这种方法. 例3已知拋物线C :x 2=2py 上一点M (m ,2)到焦点的距离为3.(1)求抛物线C 的方程.(2)设P ,Q 为抛物线C 上不同于原点O 的任意两点,且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O,试问直线PQ ;如果不过定点,请说明理由.1.已知椭圆x 24+y 23=1,则与椭圆相交且以点A (1,1)为弦的中点的直线方程为( )A . 3x +4y +7=0B . 2x+5y-7=0C . 3x -4y +1=0 D. 3x +4y -7=02.设椭圆C :x 2a 2+y 2＝1(a>0)与直线l :x +y ＝1相交于不同的两点A,B ,是否存在这样的椭圆C ,使直线l 与y 轴交于点P ,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =512PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 3.已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,圆x 2+y 2－2y ＝1经过椭圆C 的左、右焦点F 1,F 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A,B,D,E 是椭圆C 上不同的四点(其中点D 在第一象限),且AB //DE ,直线DA,DB 关于直线x =1对称,求直线DE 的方程.4.已知抛物线C 1:y 2=2px (p>0),圆C 2:(x －1)2+y 2=r 2(r>0),抛物线C 1上的点到其准线的距离的最小值为14.(1)求抛物线C 1的方程及其准线方程.(2)若点P(2,y 0)是抛物线C 在第一象限内一点,过点P 作圆C 1的两条切线,交抛物线于A,B 两点(A,B 异于P ),问是否存在圆C ,使AB 恰为其切线?若存在,求出r 的值;若不存在,说明理由.5.已知长度为4的线段AB 的两个端点A,B 分别在x 和y 轴上运动,动点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设不经过点H (0,1)的直线y=2x +t 与曲线C 相交于M,N 两点,若直线HM 与直线HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.。
解析几何中简化运算的常用技巧
解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.①直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：②1.对于公式①在直线弦长的运用.例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(1)(2) 由第(1)知 ,设直线与直线：x+2y=4联立得与直线椭圆联立得:点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.1.对于公式②在直线弦长的运用.例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（I）（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .由得 .过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为 .点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.技巧二：巧设直线方程在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：即显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.技巧三：巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A． B．C． D．【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE ＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．【答案】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧四：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.优解：由kAB ·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧五巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b①.S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.由消去y，得x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得S＝2＝＝＝＝＝，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。
解析几何中的定比点差法(教师版)
解析几何中的定比点差法基础知识：一、定比分点的定义：若21PP P P λ=，则称λ为点P 分21P P 所成的比，称点P 为21P P 的定比为λ的分点。
（1）当0>λ时，P 在线段21P P 上；（2）当01<<-λ时，V M 在线段21P P 的反向延长线上；（3）当1-<λ时，P 在线段21P P 的延长线上；当点P 在线段21P P 上时称为21P P 的内分点；当点P 在线段21P P 的延长线上或者反向延长线上时称为21P P 的外分点二、定比分点的坐标公式：设),(),,(),,(222111y x P y x P y x P ，若21PP P P λ=，则分点P 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，即点P )1,1(2121λλλλ++++y y x x 三、点差法：设点),(),,(2211y x B y x A 是有心圆锥曲线12222=±b y a x 上两点，P 是AB 的中点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±11222222221221b y a x b y a x 222121212122121221210))(())((a b x x y y x x y y b y y y y a x x x x ±=++⋅--⇒=-+±-+⇒此方法可解决有心圆锥曲线的垂径定理，即解决与弦的中点有关的问题四、定比点差法：设点),(),,(2211y x B y x A 是有心圆锥曲线12222=±b y a x 上两点，则则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±222222222221221222222221221111λλλb y a x b y a x b y a x b y a x 222121221211))(())((λλλλλ-=-+±-+⇒b y y y y a x x x x 11111112121221212=--⋅++⋅±--⋅++⋅⇒λλλλλλλλy y y y bx x x x a题型1.圆锥曲线作为定比分点的μλ+为定值问题例1.（2021年合肥模拟）已知)23,1(P 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，21,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且251=PF （1）求椭圆C 的标准方程（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，与椭圆C 的短轴交于点Q ，若λ=2AF AQ ，μ=2BF BQ ，μλ+是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解析：（1）由题意得2549)1(21=++=c PF ，解得1=c ，所以焦点)0,1(),0,1(21F F -所以2449)11(252221=⇒=+-+=+=a PF PF a ，所以3222=-=c a b ，所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，则)1,0(mQ -439,436096)43(124312212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 所以389612121121212211=--⨯+=+⨯+=+++=+m m y y y y m y m y y m y μλ解法2：（定比点差法）设),0(),,(),,(2211t Q y x B y x A ，由μλ==22,BF BQ AF AQ 可知22,BF QB AF QA μλ-=-=，所以)1,1(),1,1(μμμλλλ------tB t A ，又B A ,在椭圆上所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=-+--0412249041224912)1(4)1(312)1(4)1(322222222t t t t μμλλμμμλλλ所以μλ,是方程041224922=-+-t x x 的两个，所以38924==+μλ例2.（2021年浙江模拟）已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点（1）若直线l 与圆O ：9122=+y x 相切，求直线l 的方程（2）若直线l 与y 轴的交点为D ，且AF DA λ=，BF DB μ=，试探究：μλ+是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解析：（1）)0,1(F ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：)1(-=x k y ，则3112=+k k 解得42±=k ，所以直线l 的方程为)1(42-±=x y （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，则)1,0(mD -4,404441212122-==+⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=y y m y y my y xy my x ，因为AF DA λ=，BF DB μ=，所以14412121121212211-=-⨯--=+⨯--=-++-+=+m m y y y y m y m y y m y μλ解法2：（定比点差法）设),0(t D ，由AF DA λ=，BF DB λ=可知)1,1(λλλ++tA )1,1(μμμ++tB ，又B A ,在椭圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+04404414)1(14)1(222222t t t t μμλλμμμλλλ，所以μλ,是方程04422=++t x x 的两个，所以1-=+μλ注：模型小结：模型一：若直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 交于B A ,两点，与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且BP QB AP QA μλ==,，则P 为左（右）焦点222ba -=+⇔μλ模型二：若直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于B A ,两点，与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且BP QB AP QA μλ==,，则P 为左（右）焦点222ba =+⇔μλ模型三：若直线l 与抛物线px y 22=交于B A ,两点，与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且BP QB AP QA μλ==,，则P 为焦点1-=+⇔μλ练习1.（2021年上饶二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 为半圆ADB 的直径，O 为圆心，且G B A ),0,4(),0,4(-为线段OD 的中点，曲线C 过点G ，动点P 在曲线C 上运动且保持PB P A +的值不变（1）求曲线C 的方程（2）过点B 的直线l 与曲线C 交于N M ,两点，与OD 所在直线交于E 点，MB EM 1λ=，NB EN 2λ=，求证：21λλ+为定值解析：（1）142022=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线MN ：4+=my x ，),(),,(2211y x N y x M ，则)4,0(mE -54,58048)5(20542212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 因为MB EM 1λ=，NB EN 2λ=，所以10484242442121221121-=--⨯--=+⨯--=-++-+=+m m y y y y m y m y y m y λλ解法2：（定比点差法）设),0(),,(),,(2211t E y x N y x M ，因为MB EM 1λ=，，所以111111,14λλλ+=+=t y x ，又M 在C 上，所以052040420)1(5)14(212121211=-++⇒=+++t t λλλλλ同理得05204042222=-++t λλ所以21,λλ是方程052040422=-++t x x 的两根，所以1044021-=-=+λλ练习2.（2021年吉安期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2，离心率为21（1）求椭圆C 的标准方程（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点P Q ,，与椭圆分别交于点N M ,，各点均不重合且满足MQ PM λ=，NQ PN μ=，若4-=+μλ，证明：直线l 恒过定点解析：（1）13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：t my x +=，),(),,(2211y x N y x M ，则),0(),0,(mtP t Q -43123,43601236)43(1243222122122222+-=++-=+⇒=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m t y y m mt y y t mty y m y x t my x 因为MQ PM λ=，NQ PN μ=，所以212122112y y y y m t y m t y y m t y +⨯--=-++-+=+μλ4123622-=--⨯--=t mtm t 2=⇒t ，即直线l 恒过定点)0,2(解法2：（定比点差法）设)0,(),,0(),,(),,(2211m Q n P y x N y x M ，由MQ PM λ=得λλλ+=+=1,111n y m x ，代入椭圆方程得012424)123(121(41(322222=-+--⇒=+++n m n m λλλλλ同理得012424)123(222=-+--n m λλ，所以μλ,是方程012424)123(222=-+--n x x m 的两根，所以24123242=⇒-=-=+m m μλ，即直线l 恒过定点)0,2(五、调和点列（1）调和点列的概念：如图①，点P 在线段AB 上)0(>=λλ的点P 只有一个，但是，如果将线段AB 改为直线AB)0(>=λλ的点P 有两个，如图②，不妨记另一个点为Q ，则)1(≠==λλQBAQPB AP ，此种情况下，我们称点Q B P A ,,,为调和点列，或者称点Q P ,调和分割BA ,①②特别的，当1=λ时，即点P 为AB 的中点，则Q 为无穷远点（2）调和点的性质如图，对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足D C ,调和分割B A ,，即DBADCB AC =，设O 为线段AB 的中点，则有以下结论：①点B A ,也调和分割D C ,，即BDCBAD CA =②ADAC AB 112+=（AB 是AC 与AD 的调和平均数）（3）利用定比分点、调和点列支配下的圆锥曲线①设B A ,为椭圆或双曲线上的两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有122=±by y ax x Q P Q P 证明：设点),(),,(2211y x B y x A ，则λλλλ++=++=1,12121y y y x x x P P ，λλλλ--=--=1,12121y y y x x x Q Q 由于B A ,为椭圆或双曲线上的两点，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±222222222221221222222221221111λλλb y a x b y a x b y a x by a x 222121221211))(())((λλλλλ-=-+±-+⇒b y y y y a x x x x ⇒=--⋅++⋅±--⋅++⋅⇒11111112121221212λλλλλλλλy y y y b x x x x a 122=±by y a x x Q P Q P ②设B A ,为抛物线上两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有)(Q P Q P x x p y y +=证明：设点),(),,(2211y x B y x A ，则λλλλ++=++=1,12121y y y x x x P P ，λλλλ--=--=1,12121y y y x x x Q Q 由于B A ,为双曲线上的两点，所以)22()22())((2222222211221212122222121222121x x x x p x x p y y y y px y px y px y px y λλλλλλλ--+=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==)())((22122121212121x x x x x x x x p y y y y λλλλλλλλ---+-++=-+⇒)1)(1()1)(()1)(1()1)(()1)(1())((21212121λλλλλλλλλλλλ-++-⋅+-+-+⋅=-+-+⇒x x p x x p y y y y ⇒)(Q P Q P x x p y y +=定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程题型2.利用定比分点和调和分点证明特征方程例3.（2015年四川卷改编）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，M 是C 的上顶点，21=MF212MF MF ⋅=（1）求椭圆C 的方程（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点B A ,时，线段AB 上取点Q ，且Q 满=，证明：点Q 总在某定直线上，并求出该定直线的方程解析：（1）13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）显然l 斜率存在，设直线l ：)4(1-=-x k y ，),(),,(2211y x B y x A 083264)328()34(1243)4(1222222=--+-++⇒⎩⎨⎧=+-=-k k x k k x k y x x k y 所以3483264,3483222212221+--=+-=+k k k x x k k k x x ，设),(00y x Q ，=得34832)4(2))(4(8)4)(())(4(220212*********+-+=-++=⇒--=--k kk x x x x x x x x x x x x x 3483264222+--⨯-k k k ，整理得k x x )4(2300-=-，又4100--=x y k ，代入整理得03300=-+y x ，所以点Q 总在定直线033=-+y x 上解法2：（定比点差法）=⇒令PB AP λ=，则QBAQ λ-=设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则11,412121=++=++λλλλy y x x ，λλλλ--=--=1,1210210y y y x x x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222121222*********4134134λλλy x y x y x y x )1)(1(3))((4))((21212121λλλλλλ-+=-++-+⇒y y y y x x x x 03313144111311141000021212121=-+⇒=⨯+⨯⇒=--⋅++⋅+--⋅++⋅⇒y x y x y y y y x x x x λλλλλλλλ所以点Q 在定直线033=-+y x 上解法3：（定比点差法）=⇒令PB AP λ=，则QBAQ λ-=设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则11,412121=++=++λλλλy y x x ，λλλλ--=--=1,1210210y y y x x x 从而022222141x y x =--λλ---------①，02222211y y y =--λλ----------②又点B A ,在椭圆上，所以12432121=+y x ------③，12432222=+y x ------④①3⨯+②4⨯结合③④得12112124122200=--=+λλy x ，即03300=-+y x 所以点Q 总在定直线033=-+y x 上例4.（2021年湛江三模）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点)4,0(P 的动直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当F 在直线l 上时，直线l 的斜率为2-（1）求抛物线的方程（2）在线段AB 上取点D ，满足PB P A λ=，DB AD λ=，证明：点D 总在定直线上解析：（1）xy 82=（2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：)4(-=y m x ，),(),,(2211y x B y x A m y y m y y m my y xy y m x 32,803288)4(212122==+⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-=，因为PB P A λ=，DB AD λ=，所以148832648)(4244212121200121-=--=-++-=⇒--=--=m mm m m y y y y y y y y y y y y y λ，又)4(-=y m x ，得4-=y x m ，所以1444---=y x y x y ，整理得0)4)((=--y y x x y =⇒或4=y （舍）所以点D 总在定直线x y =上解法2：（定比点差法）设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，则PB AP PB P A λλ-=⇒=，所以41,012121=--=--λλλλy y x x ，λλλλ++=++=1,1210210y y y x x x 由于B A ,为抛物线的两点，所以)22(4)22(4))((2222222211221212122222121222121x x x x x x y y y y px y px y px y px y λλλλλλλ--+=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==)(4))((22122121212121x x x x x x x x y y y y λλλλλλλλ---+-++=-+⇒)1)(1()1)((4)1)(1()1)((4)1)(1())((21212121λλλλλλλλλλλλ-++-⋅+-+-+⋅=-+-+⇒x x x x y y y y ⇒0000)0(44x y x y =⇒+=所以点D 总在定直线x y =上模型总结模型一：对于抛物线的定比点差法，实际上是逆推（凑）出来的，对椭圆和双曲线的定比点差法：11111112121221212=--⋅++⋅±--⋅++⋅λλλλλλλλy y y y b x x x x a ，替换得122=±b y y a x x Q P Q P ，因此可以猜想：)(Q P Q P x x p y y +=和11(1121212121λλλλλλλλ--+++=--⋅++x x x x p y y y y 也是一致的极点极线有关的题目，尤其是和定比分点或者和调和点列有关的题目，一般都可以尝试利用定比点差法进行处理！定比点差法是一种变形技巧，没有超纲，因此，试用定比点差法解题，不用担心被扣分模型二：我们知道，设B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有122=+b y y a x x Q P Q P ，所以①若0=P y 或0=Q y ，则2a x x Q P =，此时若还有m x P =，则m a x Q 2=②若0=P x 或0=Q x ，则2b y y Q P =，此时若还有m y P =，则mb y Q 2=模型三：我们知道，设B A ,为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有122=-by y ax x Q P Q P ，所以①若0=P y 或0=Q y ，则2a x x Q P =，此时若还有m x P =，则m a x Q 2=②若0=P x 或0=Q x ，则2b y y Q P -=，此时若还有m y P =，则mb y Q 2-=上面的公式的背景和极点极线有关，不妨可以称它们为“调和共轭数”练习1.（2021年山东二模）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，且经过点)23,1(，点21,F F 为椭圆C 的左右焦点（1）求椭圆C 的方程（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线21,l l ，且1l 与椭圆C 交于不同两点B A ,，2l 与直线1=x 交于点P ，若B F AF 11λ=，且点Q 满足QB QA λ=，求1PQF ∆面积的最小值解析：（1）13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线1l ：1-=my x ，),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A 439,436096)43(124312212212222+-=+=+⇒=--+⇒⎩⎨⎧=+-=m y y m m y y my y m y x my x 因为B F AF 11λ=，QB QA λ=，所以my y y y y y y y y y y 3221210020121-=+=⇒--=-=λ于是mmQF 3121+=，又直线2l ：11--=y m x ，令1=x 得)2,1(m P -所以2112m PF +=，所以6)1(3)1(3212211≥+=+==∆mm m m PF QF S PQF ，当且仅当1±=m 时等号成立，所以1PQF ∆面积的最小值为6解法2：（定比点差法）设点),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，因为B F AF 11λ=，QB QA λ=所以,01,1,112102121=++=---=++λλλλλλy y x x x x x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+222222221212222212134134134134λλλy x y x y x y x )1)(1(3))((4))((21212121λλλλλλ-+=-++-+⇒y y y y x x x x 410411113111410021212121-=⇒=+⨯-⇒=--⋅++⋅+--⋅++⋅⇒x x y y y y x x x x λλλλλλλλ所以),4(0y Q -，直线1PF ：)1(30+-=x y y ，令1=x 得)6,1(0y P -所以61818)1(9183649212120202020211=+≥++=+⨯+⨯==∆y y y y PF QF S PQF 当且仅当10±=y 时等号成立，所以1PQF ∆面积的最小值为6模型总结坐标与比值转换定理（定比设点法）：类型一定点P 在x 轴过定点)0,(P x P 的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，设PB AP λ=，),(),,(2211y x B y x A ，则一定存在点Q 满足QB AQ λ-=，根据定比点差法可知P Q x b x 2=，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221QP Q P Q P Q P x x x x x x x x x x 证明：⇒⎩⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++Q Q P P QP x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλλλ2121212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221Q P Q P Q P Q P x x x x x x x x x x 类型二定点在y 轴上过定点),0(P y P 的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，设PB AP λ=，),(),,(2211y x B y x A ，则一定存在点Q 满足QB AQ λ-=，根据定比点差法可知P Q y b y 2=同理可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221QP Q P Q P Q P y y y y y y y y y y证明：⇒⎩⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++Q Q P P Q P y y y y y y y y y y y y y y λλλλλλλλ2121212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221Q P Q P Q P Q P y y y y y y y y y y 题型三、定比点差设点法与μλ,的取值范围问题例5.（2018年浙江高考）已知点)1,0(P ，椭圆)1(422>=+m m y x 上两点B A ,满足PB AP 2=，则当=m 时，点B 的横坐标的绝对值最大解法1：（设点）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎩⎨⎧+-=-=⇒⎩⎨⎧-=-=-⇒=322)1(212221212121y y x x y y x x PB AP 因为A 在椭圆上m y x m y x =+-+-⇒=+⇒22222121)32(4)2(4my y m =-+-⇒2222)32(44432+=m y ，所以416)5(41)43(4444222222+--=+-=-=m m m y m x ，所以当5=m 时，点B 的横坐标的绝对值最大解法2：（定比点差法）由PB AP 2=可知存在点Q 使得QB AQ 2-=，由定比点差法结论知14=+my y mx x Q P Q P ，而1,0==P P y x 所以m y Q =，所以由PB AP 2=，QB AQ 2-=可得43)(2)1(2122121m y m y y m y y +=⇒⎩⎨⎧--=--=-，所以416)5(41)43(4444222222+--=+-=-=m m y x 当5=m 时，点B 的横坐标的绝对值最大例6.已知椭圆14922=+y x ，过定点)3,0(P 的直线与椭圆交于两点B A ,的取值范围解法1：（设点）设),(),,(2211y x B y x A，设λ=，则PB AP λ-=⎩⎨⎧--=--=-⇒)3(32121y y x x λλ⎩⎨⎧-+==⇒λλλ332121y y x x ，又点A 在椭圆上1492121=+⇒y x 所以λλλλλλλλ651314)33(41(14)33(922222222222-=⇒=-++-⇒=-++y y y y x又222≤≤-y ，所以265132≤-≤-λλ，解得551≤≤λ的取值范围为]5,51[解法2：（定比点差法）设),(),,(2211y x B y x A ，λ=，则由PB AP λ-=得0121=--λλx x ，3121=--λλy y ，由定比点差法可知11141119121212121=--⋅++⋅+--⋅++⋅λλλλλλλλy y y y x x x x 所以)1(34114302121λλλλ+=+⇒=++⋅+y y y y 所以λλλ65613)1(32)1(231-=++-=y ，因为221≤≤-y ，所以2656132≤+≤-λ，解得551≤≤λ]5,51[模型总结：（1）若定点在x 轴（y 轴）的点P 满足PB AP λ=，当点P 已知而曲线方程未知时，可以构造含2a 或2b 的二次函数来解决取值范围问题（2）若定点在x 轴（y 轴）的点P 满足PB AP λ=，当曲线方程已知而λ未知时，则要根据曲线的有界性和相切（此时1±=λ）来确定变量的取值范围题型4.与坐标轴平行线过定点问题例7.（2021湛江模拟）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，长轴长为24，B A ,为椭圆上的两个动点，当B A ,关于原点对称时，2)(22ABF S BF AF ∆⋅+的最大值为216（1）求椭圆C 的方程（2）若存在实数λ使得AB AF λ=1，过点A 作直线4-=x 的垂线，垂足为N ，直线NB 是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由解析：（1）14822=+y x （2）解法1：（非对称韦达）设直线AB ：2-=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，则),4(1y N -24,24044)2(8222212212222+-=+=+⇒=--+⇒⎩⎨⎧=+-=m y y m m y y my y m y x my x )(2121y y y my +-=⇒直线NB ：)4(42121++-=-x x y y y y ，令0=y 得12211221)2(4)4(4y y my y y y x y x -+--=-+--=3144242412211212112121-=+-=----=-+----=-+--=y y y y y y y y y y y y y my 所以直线NB 过定点)0,3(-解法2：（定比点差法）设),(),,(2211y x B y x A ，由AB AF λ=1可设B F AF 11μ=，PB AP μ-=，则由定比点差法结论知414082-=⇒=⨯+-P PP x y x 所以μμμμμμμμμμ3144221412221212121-=⇒⎩⎨⎧+-=---=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-++=-x x x x x x x x x 因为AN ∥M F 1，所以MB NM μ=，所以31314142-=+-+-=++-=μμμμx x M 解法3：（定比设点法）设),(),,(2211y x B y x A ，由AB AF λ=1可设B F AF 11μ=，则μμ+-=---+-+-=3228222821x ，μμ13228222822+-=---+-+-=x ，021=+y y μ因为AN ∥M F 1，所以MB NM μ=，所以31)13(4142-=++-+-=++-=μμμμμx x M 即直线NB 过定点)0,3(-例8.（2021年铁岭一模）已知椭圆方程13422=+y x ，直线l ：4=x 与x 轴相交于点P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于B A ,两点（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 的中点为D ，求证：OMOD k k =（2）设点Q 的坐标为)0,25(，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由解析：（1）解法1：（点差法）设点),4(t M ，),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，则4303))((4))((134134212121212121212122222121-=++--⇒=-++-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x y y x x y y y y y y x x x x y x y x 43-=⋅⇒OD AB k k ，又1-=⋅⇒⊥AB MF k k AB MF ，所以434343t t k k MF OD =⨯==又4tk OM =，所以OM OD k k =解法2：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A 439,436096)43(124312212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 所以4332221+-=+=m m y y y D ，43112+=+=m my x D D ，即433,434(22+-+m mm D 所以43mk OD -=直线MF ：)1(--=x m y ，令4=x 得)3,4(m M -，所以43mk OM -=，所以OMOD k k =（2）解法2：（非对称韦达）由韦达定理可知2121212133296y y y my my y y y +=⇒=+122212323)32(3y my y my y y =-⇒-=⇒直线BQ ：)25(2522--=x x y y ，令4=x 得12222323523y my y x y y E =-=-=所以EA 垂直于EP解法2：（定比点差法）设),(),,(2211y x A y x B ，F A BF λ=，MA BM λ-=则由定比点差法结论知413041=⇒=⨯+⨯M MM x y x 所以λλλλλλλλλ3524411411121212121-=⇒⎩⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=x x x x x x x x x ，0102121=+⇒++=y y y y λλλ所以直线)25(2511--=x x y y ，令4=x 得22115353523y y x y y E =---=-=λλ所以EA 垂直于EP解法2：（定比设点法）设F A BF λ=，),(),,(2211y x A y x B ，则λλ23252412411-=-++=x ，λλ23252412412-=-++=x ，021=+y y λ所以直线BQ ：)25(2511--=x x y y ，令4=x 得22115353523y y x y y E =---=-=λλ所以EA 垂直于EP模型总结：（中点截距定理）如图，在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，B A ,为椭圆上两点，设x 轴上一点)0,(m P ，存在直线n x =和x 轴上一点Q ，连接BQ 并延长交直线n x =于M ，则①2a mn =；②直线AM ∥x 轴；③22m a m x Q +=中任何两个可以得到第三个已知①2a mn =，②直线AM ∥x 轴，求证：22m a m x Q +=证明：令P A BP λ=，设),(),,(2211y x B y x A ，则存在点R ，使得RA BR λ-=，则m a x R 2=λ22221m a m m a m x -++=，又直线AM ∥x 轴，故QM BQ λ=，所以2122122221m a m m a m a m m a m x x x M Q +=++-++=++=λλλλλ题型5.圆锥曲线角平分线定理三角形的内角平分线定理：ABC ∆中，若AD 是A ∠的平分线，则有DCBDAC AB =证法1：过点D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，BC 边上的高为h ，易知DF DE =所以⇒⋅⋅=⋅⋅=∆∆h DC h BD DF AC DE AB S S ACD ABD DCBDAC AB =证法2：（正弦定理）在ABD ∆和ACD ∆中由正弦定理得BAD BD ADB AB ∠=∠sin sin ；CADDCADC AC ∠=∠sin sin 又因为CAD BAD ADC ADB ∠=∠∠=∠sin sin ,sin sin 所以DCBDAC AB =例9.（2018年全国Ⅰ卷）设椭圆C ：1222=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于BA ,两点，点M 的坐标为)0,2(（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程（2）设O 为坐标原点，证明：OMBOMA ∠=∠解析：（1）当l 与x 轴垂直时，)22,1(±A ，所以直线AM ：222+-=x y 或222-=x y （2）证法1：（设线韦达）当l 与x 轴重合时，00=∠=∠OMB OMA ；当l 与x 轴不重合时，设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，21,22012)2(2212212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 1)()(2112221212212122112211++-+-=-+-=-+-=+y y m y y m y y y my my y my y x y x y k k BM AM 01)(22222121222=++-+-++-=y y m y y m m mm m ，所以OMB OMA ∠=∠证法2：（定比点差法）当l 与x 轴重合时，00=∠=∠OMB OMA 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的中垂线，OMBOMA ∠=∠当l 与坐标轴不垂直时，设),(),,(2211y x B y x A ，点B 关于x 轴对称的点),(22'y x B -，设直线'AB 与x 轴相交于点N ，根据几何性质可得ON 为ANB ∠的角平分线，根据角平分线定理有NB AN NB AN B F AF =='22，令'NB AN λ=，则)0,1(21λλ++x x N ，B F AF 22λ-=，所以1121=--λλx x ，因为B A ,在椭圆上，所以22121212122222222121222221211))((2))((2121212λλλλλλλλ-=-++-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x y x y x 111112*********=--+++--++⋅⇒λλλλλλλλy y y y x x x x ，即21121=⇒=⨯⨯N N x x ，所以)0,2(N ，即N 与M 重合，所以OMBOMA ∠=∠证法3：（定比设点法）设),(),,(2211y x B y x A ，B F AF 22λ=，则λλ21232212211-=-++=x ，λλ21232212212-=-++=x ，021=+y y λ所以0121222123221232222222211=+-+=--+---=-+-=+λλλλλλλy y y y x y x y k k BM AM 所以OMBOMA ∠=∠例10.（2021年黄山二模）已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，其短轴长为32，离心率为1e ，双曲线2C :)0,0(122>>=-q p qy p x 的渐近线为x y 3±=，离心率为2e ，且121=e e （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的右焦点为F ，动直线l （l 不垂直于坐标轴）交椭圆1C 于N M ,不同两点，设直线FM 和FN 的斜率为21,k k ，若21k k -=，试探究该动直线l 是否过x 轴上的定点，若是，求出该定点，若不是，请说明理由解析：（1）由题意3=b ，212=+=p q e ，所以211==a c e ，1,1==c a 所以椭圆1C 的方程为13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：t my x +=，),(),,(2211y x N y x M 43123,43601236)43(1243222122122222+-=+-=+⇒=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m t y y m mt y y t mty y m y x t my x 由0110110221122112121=-++-+⇒=-+-⇒=+⇒-=t my y t my y x y x y k k k k04366432460))(1(222222121=+--+-⇒=+-+⇒m mtmt m m mt y y t y my 4=⇒t 存在点)0,4(P 满足题意解法2：（定比点差法）延长NF 交椭圆于'M ，因为FN FM k k -=，所以0'=+M M y y ，'M M x x =，故PF M NPF '∠=∠，所以FNFM PN PM PN PM ''==，令PN MP λ=，则FN F M λ-='，所以λλ++=1N M P x x x ，λλ--==11N M F x x x ，λλ++=1N M P y y y ，λλ--==10NMF y y y 根据定比点差法可知：14=F P xx ，所以4=P x ，故存在点)0,4(P 满足题意解法3：（定比设点法）设),(),,(2211y x N y x M ，PN MP λ=，)0,(m P ，则0,2424,24242121=+-++=-++=y y m m m m x m m m m x λλλ由01242412424011022221121=--+++--++-⇒=-+-⇒=+λλλm m m m y m m m m y x y x y k k 40)1)(28(=⇒=+-⇒m mλ，所以存在点)0,4(P 满足题意模型总结：已知AB 交椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴（短轴）于点P ，',B B 是椭圆上关于长轴（短轴）对称的两点，直线'AB 交长轴（短轴）于Q ，则2a x x Q P =⋅或2b y y Q P =⋅题型6.斜率之和与积问题（齐次式解决不了的斜率问题）定比设点法之三炮齐鸣，天下太平若B A ,在圆锥曲线上，PB AP λ=，)0,(m P ，故根据定比设点法得出三式：λ2222m a m m a m x A -++=，λ2222m a m m a m x B -++=，0=+B A y y λ三式设点，代入斜率之和与积计算，这三式俗称：三炮齐鸣，天下太平！证明：（定比点差法）设QB AQ λ-=，则Q P ,调和分割B A ,，由定比点差法结论知ma x a x x by y ax x Q Q P Q P Q P 2222101=⇒=+⇒=+，由PB AP λ=，QB AQ λ-=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++=-++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=λλλλλλλλλλ2222112222222m a m m a m x m a m m a m x m a m a x x m m x x x x m a x x m B A B A B A B A B A ，由PB AP λ=得⇒++=λλ10BA y y 0=+B A y y λ例11.（2021年押题卷）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)0,2(-Q ，且直线),(022b c b a c bc cy bx >-==-+与圆4322=+y x 相切（1）求椭圆E 的标准方程（2）若过点)0,1(M 的直线l 交E 于B A ,两点，是否存在定点P ，使直线AP 与直线BP 的斜率之和为2？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由解析：（1）1422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x P 43,42032)4(4412212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 由211220202010102020101=-+-+-+-⇒=--+--⇒=+x my y y x my y y x x y y x x y y k k BP AP 0)1(2))(122()22(2021000212=-++--+++-⇒x y y mx my x m y y m m 0)1(242)122(43)22(20200022=-++---++++--⇒x m m mx my x m m m m 0)12(8)4(2)228(002000022000=-+--+-+-+⇒x y x y x m x m x y x 对任何m 恒成立所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-=-+0120)4(202280020002000x y x y x x x y x ，解得⎩⎨⎧==3400y x ，所以存在定点)3,4(P ，使直线AP 与直线BP 的斜率之和为2解法2：（定比设点法）设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x P ，MB AM λ=，则λλ23252412411-=-++=x ，λλ23252412412-=-++=x ，021=+y y λ223)25(23)25(2325232500200200200202020101=---+----=---+----=--+--=+λλλλλλλλx y y x y y x y y x y y x x y y x x y y k k PB P A 0)1)(4(02=---⇒λλx y ，又1≠λ，所以40400=⇒=-x x ，30=y 存在定点)3,4(P 使直线AP 与直线BP 的斜率之和为2模型总结：过点)0,(m M 的直线交椭圆)0(12222>>=+b a by a x 于B A ,两点，椭圆上存在点P ，使得t k k PBP A =+成立，则一定有)2,(22t mma m a P -例12.（2021全国模拟）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，且离心率为22，M 为椭圆上任意一点，当02190=∠MF F 时，21MF F ∆的面积为1（1）求椭圆C 的方程（2）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长21,AF AF 分别与椭圆交于D B ,，求证：BD OA k k ⋅为定值解析：（1）1222=+y x （2）解法1：（设点解点）设点)0)(,(0000≠y x y x A ，则122020=+y x 直线1AF ：)1(100++=x x y y ，直线2AF ：)1(100--=x x yy ，0)1(224]2)1[(22)1(1202020*********=+-++++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=x y x y x y x y x x x y y 所以324332432)1()1(22000020202020200+--=⇒+--=+++-=x x x x x x y x x y x x B B ，32)1(10000+-=++=x y x x y y B B 同理得324300--=x x x D ，32)1(10000-=++=x y x x y y B D所以00200020000000000066)2(124324332433232y x y y x x y x x x x x x y x y k BD-=-=-=+++--++-=所以61)6(0000-=-⨯=⋅y x x y k k BD OA 解法2：（定比设点法）第一步：（双三炮齐鸣）：设),(),,(),,(221100y x D y x B y x A ，设D F AF B F AF 2211,μλ==，则λλ21232)2()1(2)2()1(0+-=---+-+-=x ，λλ21232)2()1(2)2()1(1+-=---+-+-=x ，010=+y y λ，μμ21232212210-=-++=x ，μμ21232212212-=-++=x ，020=+y y μ所以621232123=+⇒-=+-μλμλ第二步：（对接数据）2000021213183)26(33)(21213μμλμμλμλμλ+--=--=++----=--=a y y yy x x y y k BD，μ2123000-==y x y k OA第三步：（寻找对称）222202203183)21(431834)2123)(3183()26(μμμμμμμμ+--=+-=-+--=⋅x y y k k BDOA 61)16(3)16(213183)2)2123(1(42222-=+-+--=+---=μμμμμμμ模型总结：问题依然控制在三步思维内，只是在这里，计算与数据处理逻辑显得很关键口诀：和消去，积分解斜率之和要消去无关变量，比如010=+y y λ，用0y 表示斜率，则会产生关于0y 的一次式，只需要针对0y ，局部通分得到00⨯y 形式，斜率之积，会出现2y ，此时将202222x ab b y -=，代入λ22220m a m m a m x -++=，分子分母均能因式分解，或者分子分母关于λ的二次式、一次式、常数项比例相同，从而得到定点定值关于焦弦常数：设点P 为椭圆或双曲线上任一点，过焦点21,F F 分别作弦PB P A ,，设A F PF 11λ=，B F PF 22μ=，连接12,BF AF 交于点Q ，则2222221)1(2)(2e e c a c a -+=-+=+μλ推广：如果将焦点21,F F 换成)0,(),0,(21m M m M -，则2222)(2m a m a -+=+μλ证明：对A M PM 11λ=，A M PM 22μ=，利用定比点差法易得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=+-+--=μλ)(2(22222m a m m a m x ma m m a m x P P 22222222)(2)((m a m a m a m m a m m a m m a m -+=+⇒-++=+-+--⇒μλμλ题型7向量乘积为定值问题例13.（2021安庆二模）已知椭圆C ：)0(16222>=+b b y x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -P 为椭圆C 上任意一点，三角形21F PF 的面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程（2）若过点)0,2(M 的直线l 交椭圆于B A ,两点，且)0,49(Q ，证明：QB QA ⋅为定值解析：（1）13622=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：2+=my x ，),(),,(2211y x B y x A 22,268,28024)2(0688)2(62222122212212222222+-=+-=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-+⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m x x m x x my y m m x x m y x my x 所以16152216812849268)49)(49(22222121-=+-+++⨯-+-=+--=⋅m m m m y y x x QB QA 解法2：（定比设点法）步骤一：令MB AM λ=，调和3=N x ，λλ2125232232-=-++=A x ，λλ2125232232-=-++=B x ，0=+B A y y λ步骤二：λλλ-+----=+--=⋅2)492125492125())((A B A Q B Q A y y y x x x x QB QA161584581)1(8116523)1(811652-=+-++-=--+-=λλλλλλλA x 例14.（2021宣城模拟）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的短轴为直径的圆与直线02=-+y x 相切（1）求椭圆C 的标准方程（2）设过椭圆C 的右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于B A ,两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EB EA ⋅为定值？若存在，求出点E 坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）1222=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，)0,(0x E 21,222,24012)1(0224)1(22122122212212222222+-=+-=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-+⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m x x m x x my y m m x x m y x my x 所以2020222020*********4122124222))((x m x m m x m x m m y y x x x x EB EA ++-+-=+-++-+-=+--=⋅为定值，所以452411200=⇒-=-x x ，所以存在定点)0,45(E ，使得EB EA ⋅为定值解法2：（定比设点法）步骤一：椭圆C 的右焦点)0,1(2F ，设B F AF 11λ=，则λλ2123221221-=-++=A x ，λλ2123221221-=-++=B x ，0=+B A y y λ步骤二：λλλ2)2123)(2123())((A B A B A y t t y y t x t x EB EA -----=+--=⋅λλλλλλλ2)2123(1)2123)(2123()21()2123)(2123(22-------=------=t t x t t A)1)(2185(43)23(2λλ+--+-=t t 为定值，所以4502185=⇒=-t t 题型8.蝴蝶模型之直线过定点与斜率为定值问题坎迪定理：设过点)0,(m M 的两直线分别交有心圆锥曲线于C A ,和D B ,两点，连接CDAB ,分别交x 轴于点G E ,，点M 的极线ma x 2=交x 轴于点)0,(2m a H ，则①MG ME MA MA 111121-=-，②HEHGk k AB CD =例15.（2021年江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，焦点到相应准线的距离为3（1）求b a ,的值（2）已知B A ,是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，)0,1(F ，连接BF AF ,并分别延长交椭圆C 于E D ,两点，证明：直线DE 过定点解析：（1）3,2==b a （2）解法1：（设点）设),(),,(),,(),,(33221111y x E y x D y x B y x A --，则由D F A ,,三点共线212112221111y y y x y x x yx y k k DF AF -=-⇒-=-⇒=⇒-----------------①又)(4)31(431(422212221212222212122y y y y y y y x y x -=---=-))((4))((212121122112y y y y y x y x y x y x -+=-+⇒，所以)(4212112y y y x y x +=+------②联立①②得5285112--=x x x ，523112-=x y y ，同理可得5285113++=x x x ，523113+=x y y 直线DE ：)(232322x x x x y y y y ---=-，令0=y 得323223323222)(y y yx y x y y x x y x x --=---=5830485235235235285523528511111111111111==+--+⨯----⨯++=y y x y x y x y x x x y x x ，即直线DE 过定点)0,58(解法2：（定比设点法）步骤一：设),(),,(),,(),,(33221111y x E y x D y x B y x A --，令FE BF FD AF μλ==,，所以λλ23252412411-=-++=x ，μμ23252412411-=-++=-x ，两式相加得310=+μλλλ23252412412-=-++=x ，021=+y y λ，μμ23252412413-=-++=x ，021=+-y y μ步骤二：深挖三点共线令DE 交x 轴于)0,(m M ，根据m y m y m x y m x y k k EM DM ---=--⇒-=-⇒=λλμμ232523251122333))(25(23)25(123)25(1=+-⇒+--=--⇒μλλμm m m ，所以583310)25(=⇒=⨯-m m 即直线DE 过定点)0,58(这里涉及到坎迪定理中的定点问题，还有一个斜率为定值的，我们可以继续深挖：15910)(23)(232311112323+-=--+=+-+=--=λμλμλλμλμy y y y x x y y k DE ，53223251111+-=-==λλy y x y k AB 所以35=AB DE k k 坎迪定理在高考中不能直接使用，我们仅仅是知道结论，用来验算答案是否正确，定比点差法的三炮齐鸣，必然天下太平！下面我们来了解一下抛物线的定比点差设点法，过定点)0,(m M 的直线AB 和抛物线)0(22>=p px y 相交，设MB AM λ=，),(),,(1111y x B y x A --，则有①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-++=21212111y y x x m x x m λλλλλ；②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2121y y m x m x λλλ；③⎩⎨⎧-==pm y y m x x 221221证明：由MB AM λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ1012121y y x x m ，)11(11222121212122222121λλλλλλλλλλ+-+++=--⋅++⇒⎪⎩⎪⎨⎧==x x x x p y y y y px y px y λλ--=-⇒121x x m ，进而得②③由于形式非常对称，我们甚至可以⎪⎩⎪⎨⎧-==λλpm y pm y 2221或⎪⎩⎪⎨⎧=-=λλpm y pm y 2221，具体正负号选取可以根据题意例16.（2021济南一模）如图，N M B A ,,,为抛物线x y 22=上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点)0,1(，直线AN 过点)0,2(（1）记B A ,的纵坐标分别为B A y y ,，求B A y y 的值（2）记直线BM AN ,的斜率分别为21,k k ，是否存在实数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解析：（1）设直线AB ：1+=my x 20222122-=⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=B A y y my y xy my x （2）解法1：（设线韦达）同理可得2-=N M y y ，4-=N A y y 因为NA N A N A N A N A y y y y y y x x y y k +=--=--=222221，M B y y k +=22所以222212-=-=-+-+=++==N A NA N A MB NA y y y y y y y y y y k k λ，所以存在实数2-=λ，使得12k k λ=解法2：（定比设点法）步骤一：定比设点令AB 与MN 交点为)0,1(P ，再令PB AP λ=，PN MP μ=所以μμμμλλλλ2,1,2,,2,1,2,-====-====N N M M B B A A y x y x y x y x 步骤二：深挖几何AN 过点)0,2(，μλ44=⇒=N A x x。
解析几何教学方法总结
解析几何教学方法总结解析几何是高中数学中的重要内容之一，它既有理论性强的几何知识，又有实际应用性强的计算问题。
为了使学生能够更好地掌握和应用解析几何知识，教师需要采取科学有效的教学方法。
本文将从几个方面对解析几何教学方法进行总结和分析。
一、培养学生的几何思维能力解析几何是一个几何和代数相结合的学科，需要学生具备较强的几何思维能力。
教师应该注重培养学生的几何思维能力，可以通过以下几种方法来实现。
首先，教师可以引导学生多观察和分析几何图形的特点。
例如，在讲解直线和圆的方程时，教师可以通过具体的实例和图形，引导学生观察和总结出直线和圆的特点，从而培养学生的几何直观和思维能力。
其次，教师可以设计一些几何证明的例题，让学生通过分析和证明来理解几何定理和推理方法。
通过解决这些例题，学生可以锻炼自己的逻辑思维和推理能力，提高几何问题的解决能力。
最后，教师可以引导学生进行几何问题的模型构建和解决。
通过将几何问题转化为代数问题，让学生亲自进行计算和验证，培养学生的数学建模能力。
二、运用多媒体技术辅助教学解析几何知识较为抽象，而且需要涉及大量的图形和公式。
为了帮助学生更好地理解和掌握解析几何知识，教师可以运用多媒体技术进行辅助教学。
首先，教师可以利用电子白板或投影仪展示几何图形，通过动态演示和变换，生动形象地展示几何问题的解题过程。
这样可以提高学生对几何问题的直观感受，增强学习的兴趣和参与度。
其次，教师可以利用多媒体课件设计互动性强的学习活动，如配合几何软件进行几何图形的绘制和变换，让学生通过操作实践来加深对知识的理解和记忆。
最后，教师可以利用网络资源，引导学生进行在线讨论和学习交流。
通过与他人的讨论和比较，学生可以扩展自己的思路，发现问题的不同解法，提高解决问题的能力。
三、注重贴近实际问题的应用解析几何既有理论性的内容，也有实际问题的应用。
为了提高学生对解析几何的应用能力，教师应注重贴近实际问题的教学。
首先，教师可以选择一些与学生生活相关的实际问题，引导学生将解析几何知识应用到实际情境中。
北京高考核心荟萃--解析几何--教师版
北京高考核心荟萃--解析几何2．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(3,1),(0,2)A B .(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若过点(4,0)E 的直线与椭圆C 交于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =于点,P Q .求证：线段PQ 的中点为定点 .解：(Ⅰ)由题设，得222,911.b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得2212,4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆C 的方程为：221124x y +=. (Ⅱ)依题意，直线MN 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =- .由221124(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)2448120k x k x k +-+-=. 由248(1)0,k ∆=->得21k <，即11k -<<.设1122(,),(,)M x y N x y ,则22121222244812,3131k k x x x x k k -+==++ . 直线MA 的方程为11111(3)(3)3y y x x x --=-≠-， 令4x =，得点P 的纵坐标11114(3)3P y x y x x +-=≠-.同理可得点Q 的纵坐标22224(3)3Q y x y x x +-=≠-.所以1122124433P Q y x y x y y x x +-+-+=+--21112212(3)[(4)4](3)[(4)4](3)(3)x k x x x k x x x x --+-+--+-=--211212(1)(3)(4)(1)(3)(4)(3)(3)k x x k x x x x +--++--=--211212121212(1)[(3)(4)(3)(4)](3)(3)(1)[27()24].(3)(3)k x x x x x x k x x x x x x +--+--=--+-++=--因为2212122248122427()2427243131k k x x x x k k --++=⨯-⨯+++222241731240,31k k k k --++=⨯=+所以0P Q y y +=. 所以线段PQ 的中点坐标为(4,0)是定点.4．已知曲线W ：221(,3x y m m m +=∈-R 0,m ≠且3m ≠). （Ⅰ）若曲线W 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1m =时，过点(1,0)E 作斜率为k ()0k ≠的直线l 交曲线W 于点,A B （,A B 异于顶点），交直线2x =于P .过点P 作y 轴的垂线,垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求线段CD 中点M 的坐标.解：（Ⅰ）由题意可知30,0,3.m m m m ->⎧⎪>⎨⎪->⎩解得302m <<，所以m 的取值范围为3(0,)2.（Ⅱ）当1m =时，曲线W 为椭圆221,2x y +=由题意，设直线l 的方程为(1)y k x =- ()0k ≠. 2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(12)4220.k x k x k +-+-= 设直线l 交椭圆W 于点1122(,),(,)A x y B x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+.由直线l 的方程(1)y k x =-，令2,x =解得y k =，所以(2,)P k ，(0,)Q k . 所以直线AQ 的方程为11y ky x k x -=+，10x ≠. 令0,y =解得11kx x k y =-，所以11(,0)kxC k y -.直线BQ 的方程为22y ky x k x -=+，20x ≠. 令0,y =解得22kx x k y =-，所以22(,0)kx D k y -. 11kx k y +-22kx k y -122112[()()]()()k x y k x y k y k y k --+-=--.由于11(2)y k k x -=-，22(2)y k k x -=-. 则11kx k y +-22kx k y -=]1221212[(2)(2)(2)(2)k x k x x k x k x x --+--- 1212122()2(2)(2)x x x x x x +-=--()121212122()224x x x x x x x x +-=-++=22222224222()1222841212k k k k k k k -++--+++=2. 所以线段CD 的中点M 的坐标为(1,0).5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)P，离心率为2．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作斜率为1k 的直线1l 交椭圆C 于另一点A ，过点P 作斜率为221()k k k ≠的直线2l 交椭圆C 于另一点B ．若121k k =，求证：直线AB 经过定点. 解：（Ⅰ）由题意知2221,,b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得a =1b =． 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设1122,),()(,y B x A x y ，10x ≠，20x ≠， 则1111y k x -=，2221y k x =-， 若12x x =，则12y y =或12y y =-．当12x x =，12y y =时，12k k =，不合题意， 当12x x =，12y y =-时，12112k k ≠=，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+． 由22,220y kx m x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∆=-+-=-+>． 则122412km x x k+=-+，21222212m x x k -=+，且21m ≠． 因为121k k =， 所以2121111y y x x --⋅=，即1212(1)(1)1kx m kx m x x +-+-=， 所以221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m -+-++-=， 所以22222224(1)(1)()(1)01212m km k k m m k k--+--+-=++， 所以(1)(3)0m m ---=， 所以3m =-或1m =（舍）． 所以直线AB 经过定点(0,3)-．6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F ，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）过点()4,0P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与直线1x =交于点Q ，点M 满足MP x ⊥轴，//MB x 轴，试求直线MA 的斜率与直线MQ 的斜率的比值．解：（Ⅰ）由已知得半焦距1c =，因为椭圆C 过点3(1,)2，由椭圆定义得352422a =+=，所以2a =． 又因为222a b c =+，所以b所以椭圆方程为22143x y +=．离心率e 12c a ==．（Ⅱ）依题可设直线:4l x my =+．由224,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)24360m y my +++=．令222357640144()144(4)m m m ∆-=-=+>，得2m >或2m <-． 设2121(,),(,)A x y B x y ，21y y ≠， 则1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 所以121223()my y y y =-+．由题得23(4,),(1,)M y Q m-，则22113,43MA MQ y y y m k k x +-=-=．则21212112112123()3()3()333(4)()()MA MQ k y y y y y y k my y y x y my y m m---===---+-+2121121123()3()233()3()22y y y y y y y y y =---==+-．7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为()2,0A ，离心率为12．过点(6,0)P 与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点,,B C 直线,AB AC 分别交直线6x =于点,M N ．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，求证:90PAN POM ∠∠=︒十．（Ⅰ）由题设，知2222,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得24a =,23b =.故椭圆E 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(6)(0)y k x k =-≠. 由22(6),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(43)48144120+-+-=k x k x k .由2222(48)4(43)(14412)0k k k ∆=--+->及0k ≠，解得k的取值范围为6((0,)8. 设1122(,),(,)B x y C x y ，则21224843k x x k +=+，21221441243-=+k x x k .直线11:(2)2y AB y x x =--，令6x =，得1142y y x =-，点114(6,)2y M x -. 同理，点224(6,)2y N x -. 由题设知，114||2tan 4y x PAN -∠=,226tan 4||2PMO y x ∠=-. 因为2121212124416(6)(6)22(2)(2)y y k x x x x x x --⋅=----21212121216[6()36]2()4k x x x x x x x x -++=-++ 222222222144124816(636)43431441248244343k k k k k k k k k -⋅-⨯+++=--⨯+++24=， 所以tan tan PAN PMO ∠=∠，且1142y x -与2242y x -同号. 依题意，得PAN PMO ∠=∠，且点,M N 位于x 轴同侧. 因为90PMO POM ∠+∠=︒,所以90PAN POM ∠+∠=︒.（Ⅰ）由题设，得2222.⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a c a b c 解得21a b ==，.所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）存在直线1x =符合题意. 直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(41)32(644)0k x k x k +-+-=. 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=--+->得k << 设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+.设直线x t =与直线l 交于点(,)Q Q t y ， 因为||||||||PA QA PB QB =，所以11224||||4x x t x t x --=--. 由题设，知122x -≤≤，222x -≤≤，12x t x ≤≤. 所以12404->-x x ，120->-x t t x . 所以112244x x tx t x --=--. 整理，得12128(4)()20-+⋅++=t t x x x x所以2222322(644)8(4)04141k k t t k k --+⋅+=++.解得1t =. 所以存在直线1x =符合题意.9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，,A B 分别为椭圆E 的上、下顶点，且2AB =.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆E 交于,M N （不与点,A B 重合）两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，判断直线l 是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.，可得23=a c因为,A B 为椭圆的上、下顶点，且2AB =，所以22=b 即1=b ,又222c b a +=， 解得 2=a所以 椭圆E 的标准方程为2214x y +=（Ⅱ） 直线l 经过定点），（11-- ，证明如下： ①当直线l 的斜率存在时，设，(1±≠t )， 由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得， 则 222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+-> 设1122(,),(,)M x y N x y则，， 则2121212211))(1(211x x x x t x kx x y x y k k AN AM +-+=-+-=+2)1)(1(4)1(8=-+-=t t t k所以1-=k t所以直线的方程为1-+=k kx y ，即11-+=）（x k y 所以 直线l 经过定点），（11--．②当直线l 的斜率不存在时，设，),(M y m M ，),(M y m N -，则211=--+-=+my m y k k M M AN AM ，解得1-=m ， 此时直线l 也经过定点），（11--:l y kx t =+222(14)8440k x ktx t +++-=122814ktx x k -+=+21224414t x x k -=+l :l x m =综上 直线l 经过定点），（11--．10．已知椭圆C，长轴的两个端点分别为()()2,0,2,0A B -． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点()1,0的直线与椭圆C 交于,M N （不与,A B 重合）两点，直线AM 与直线4x =交于点Q ． 求证：MBNMBQ BN S S BQ=△△． （Ⅰ）由长轴的两个端点分别为 A (－2, 0), B (2,0),可得 a ＝2，可得c a =c =又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝1所以椭圆C 的标准方程为2214x y += （Ⅱ）方法 1：当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，易得(1,(1,22M N -所以AM k =，直线AM所在的方程为2).y x =+求得QBN QB k k ==所以，N ,B ,Q 三点共线，所以MBNMBQ BN S S BQ∆∆= 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0 设M (x 1 , y 1), N (x 2 , y 2)，则2122814k x x k +=+，21224414k x x k-⋅=+ 112AM y k x =+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，所以116(4,)2y Q x +所以11221112216600223,224222NB BQy y y y x x y k k x x x --++=====---+ 212122213(1)3(1)2222NB BQ y y k x k x k k x x x x ---=-=--+-+ 211221(1)(2)3(1)(1)(2)(2)k x x k x x x x -+---=-+121221[258](2)(2)k x x x x x x -++-=-+222221(44825814140.(2)(2)k k k k k x x ⎡⎤--+-⎢⎥++⎣⎦==-+ 所以，N ,B ,Q 三点共线，所以MBNMBQ BN S S BQ∆∆=方法2：设直线l 的方程为x ＝my ＋1,由221,14x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0． 设M (x 1, y 1), N (x 2 , y 2)， 则12122223,44m y y y y m m -+=-⋅=++. 112AM y k x =-+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++.所以116(4,)2y Q x +. 所以11221112216600223,224222NB BQy y y y x x y k k x x x --++=====---+ 21211221213(3)3(1)22(2)(2)NB BQ y y y my y my k k x x x x +---=-=-+-+ 12122123()0(2)(2)my y y y x x -++==-+.11．已知椭圆2222:1x y C a b+=(a >0)b >过点1)（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的右顶点为A ，过点(40)D ,的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （均异于点A ），直线AM ，AN 分别与直线4x =交于点P ，Q . 求证：DP DQ ⋅为定值.解：（Ⅰ）由题意得22222211c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩,，解得24a =，22b =.所以椭圆的方程是22142x y +=.（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为(4)y k x =-（0k ≠），11()M x y ,，22()N x y ,，由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=.则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+. 依题意2222(16)4(21)(324)0k k k ∆=--+->，解得6(0)(0)6k ∈,. 因为点A 的坐标为(20),，所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得点P 的纵坐标为111122(4)22y k x y x x -==--， 所以114||2||2x DP k x -=-. 同理，可得224||2||2x DQ k x -=-. 于是21212(4)(4)||||4(2)(2)x x DP DQ k x x --⋅=--2121212124()1642()4x x x x k x x x x -++=-++222222222324164162121432416242121k k k k k k k k k --⨯+++=--⨯+++22222223246416(21)4324324(21)k k k k k k k --++=--++221248k k=⨯6=. 所以||||DP DQ ⋅为定值6.C12．已知椭圆22:13x C y +=，过点(1,0)-的直线l 交椭圆C 于点,A B ．（Ⅰ）当直线l 与x 轴垂直时，求||AB ；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点P ，使PA PB ⋅为定值？若存在，求点P 的坐标及PA PB ⋅的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）当直线l 斜率不存在时，其方程为 1x =-.由221,31x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得1,x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或1,x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以||AB = （Ⅱ）假设存在(,0)P m ，使PA PB ⋅为定值.① 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，1122(,),(,),A x y B x y由 2233,(1)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩得2222(13)6330k x k x k +++-=.则22121222633,1313k k x x x x k k-+=-=++. 所以1122(,)(,)PA PB x m y x m y ⋅=-⋅-12122212121222221212121222221212()()()(1)(1)()()()()(1)x m x m y y x x m x x m k x x x x m x x m k x x k x x k k m x x k x x k m =--+=-+++++=-++++++=-+++++22222222222222()(6)(1)(33)()(13)131313(361)3.13k m k k k k m k k k k m m k m k --+-++=++++++++-=+若PA PB ⋅为常数，只需22361331m m m ++-=，解得53m =-，此时29PA PB ⋅=-.所以存在点5(,0)3P -，使PA PB ⋅为定值29-.② 当直线l 与x轴垂直时，不妨设((1,A B -- 当点P 坐标为5(,0)3P -时，55462(1(1,33999PA PB ⋅=-+⋅-+=-=-.综上，存在点5(,0)3P -，使PA PB ⋅为定值29-.13．已知椭圆2222:1x y C a b +=（）的左、右顶点分别为，，且||4AB =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点M N ，.若||4MN ≤，求点横坐标的取值范围．解：（Ⅰ）由题意得22224a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，, 解得24a =，21b =.所以椭圆的方程是2214x y +=.（Ⅱ）设()P m n ,（22m -<<）， 由已知得(20)A -,，(20)B ,，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--. 令，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-.因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=. 因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤. 所以22(4)4(4)m m ---≤.整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤.所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，.0a b >>A B C P C A B PA PB 4x =P C 4x =24(4)4n m m -=-14．已知点(0,1)A -在椭圆C ：22213x y b +=上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-（其中1k ≠）与椭圆C 交于不同两点,E F ，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ,N . 当AMN ∆的面积为k 的值.解：（Ⅰ）因为点(0,1)A -在椭圆C ：22213x y b +=上，所以将点(0,1)A -代入椭圆方程，可得20113b+=，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2213x y +=.因为222312c a b =-=-=，所以椭圆C=. （Ⅱ）由22(1)13y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 2222(31)63(1)0k x k x k +-+-=. 42223612(31)(1)24120k k k k ∆=-+-=+>恒成立， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122631k x x k +=+，21223(1)31k x x k -=+. 直线AE 的方程为1111y y x x +=-， 令3x =，得点M 的纵坐标为113(1)1M y y x +=-， 同理可得点N 的纵坐标为223(1)1N y y x +=-， 所以1212113M N y y MN y y x x ++=-=-211212(1)(1)3x y x y x x +-+= 211231k x x x x --=因为AMN ∆的面积13(30)22AMN S MN MN ∆=⨯-==所以MN =1=，化简得220k k -=，解得0k =或2k =.所以k 的值为0或2.15．椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）已知经过点的直线l 交椭圆M 于,B C 两点，D 是直线4x =-上一点. 若四边形ABCD 为平行四边形，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）由题意得2222,,a c e a b a c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩解得21b =.所以椭圆M 的方程为 2214x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，四边形ABCD 不可能为平行四边形 当直线l的斜率存在时，设:l y kx =，由2244y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得()221410k x ++-=.()()()22241441610k k ∆=++=+>.设()()1122,,,B x y C x y ，则12,214x x k=+所以12x x -=.由四边形ABCD 为平行四边形可得AD BC =，所以12A D x x x x -=-，即2=，解得2102k =或，所以0k=或k =.所以，直线l 的方程为y =或y+或y =+．16．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的下顶点A和右顶点B都在直线11:(2)2l y x=-上．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）不经过点B的直线2:l y kx m=+交椭圆C于两点,P Q，过点P作x轴的垂线交1l于点D，点P关于点D 的对称点为E．若,,E B Q三点共线，求证：直线2l经过定点．17．已知椭圆C ：22221x y a b += (0)a b >>(2,0)A ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线:l y kx m =+与椭圆C 分别相交于,M N 两点，且AM AN ⊥，点A 不在直线l 上， （i ）试证明直线l 过一定点，并求出此定点；（ii ）从点A 作AD MN ⊥垂足为D ，点8(,2)5B ，写出||BD 的最小值（结论不要求证明）．解：（Ⅰ）c a =，2a =，得1b =，C 的方程：2214x y +=（Ⅱ）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y 22222(41)844014y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理得：122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+11(2,)AM x y =-，22(2,)AN x y =-，由AM AN ⊥，AM ∙AN =0 得：2222(1)(44)(2)(8)(4)(41)0k m km km m k +-+--+++=， 整理得：22121650k km m ++= (65)(2)0k m k m ++= 20k m +≠，65k m =-，直线6:()5l y kx m k x =+=-， 恒过定点6(,0)5Q ．（ii ）||BD 的最小值为85．18．已知椭圆22221x y C a b +=：()0>>b a 上一点P 到两个焦点的距离之和为4，离心率为21.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设椭圆C 的左右顶点分别为B A 、，当P 不与B A 、重合时，直线BP AP ，分别交直线4=x 于点N M 、， 证明：以MN 为直径的圆过右焦点F .解：（I ）由题干可得212==a c ,a ，所以3222=-=c a b ，即椭圆C 的方程13422=+y x . （II ）解法一：设()()()210044y ,N ,y ,M ,y ,x P因为直线AP 交直线4=x 于点M ，所以62010+=x y y ，则26001+=x y y 同理22020x y y -=，则22002-=x y y由于N M 、异于x 轴两侧，因此21y y 、异号.所以()()()()221299330022121-++=+=⋅=⋅x x y y y y ,y ,NF MF又因为12432020=+y x ，所以041292020=-+=⋅x yNF MF即 NF MF ⊥，以MN 为直径的圆过右焦点F .解法二：设直线AP 方程()()02≠+=k x k y ，()()()210044y ,N ,y ,M ,y ,x P()⎩⎨⎧+==+2124322x k y y x ，()0121616432222=-+++k x k x k 得 2204312162k k x +-=-，即2022*********k ky k k x +=+-=，因为直线AP 交直线4=x 于点M ，即()k ,M 64. 因为直线BP 交直线4=x 于点N ，则由三点共线，得k x y y 2322002-=-=，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-k ,N 234所以()()09332121=+=⋅=⋅y y y ,y ,NF MF 即 NF MF ⊥，以MN 为直径的圆过右焦点F .19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，O为坐标原点，右焦点坐标为0)F ，椭圆C（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 在y 轴上的两个顶点为A B ，，点P 满足0AP BP ⋅=，直线PF 交椭圆于M N ，两点，且||MN =求此时OPF ∠的大小．解：（Ⅰ）因为右焦点为0)F，所以c =因为离心率c e a ==a 222321b ac =-=-=， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）当直线PF 垂直于x轴时，||MN =． 当直线PF 不垂直于x 轴时，设直线PF的方程为(y k x =，由22(13y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，整理得2222(13)630k x x k +-+-=，设1122()()M x y N x y ，，，，由题意0∆>恒成立，所以12x x +=，21226313k x x k -=+，12|||MN x x =-=，解得1k =±， 所以直线PF的方程为(y x =±．因为A B ，为椭圆C 在y 轴上的两个顶点，不妨设(01)(01)A B -，，，， 因为0AP BP ⋅=，设()P m n ，，所以(1)(1)0m n m n -⋅+=，，，即221m n +=，即点P 在以原点为圆心，半径为1的圆上． 法一： 因为原点到直线PF的距离1d =，所以直线PF 与圆221m n +=相切，所以90OPF ∠=．法二：联立221n m m n ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P，或221n m m n ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P ，因为0OP PF ⋅=，所以90OPF ∠=．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长等于12e =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，判断PF AB是否为定值，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得2=b，所以b 又12c e a ==，由222=+a b c 得2=1，=a c ， 所以椭圆C 的方程为22143+=x y ． （Ⅱ）PF AB为定值．证明：由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)=-y k x ， 联立22143(1)，，⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(3484(3))0+-+-=k x k x k ， 设11()，A x y ，22()，B x y ，则2122834+=+k x x k ，21224(3)34-=+k x x k， 设AB 的中点为00()，Q x y ，则212024234+==+x x k x k ，0023(1)34-=-=+k y k x k ． 当0≠k 时，线段AB 的垂直平分线的方程为222314()3434--=--++k k y x k k k ， 令0=y ，得2234=+k x k，即22(0)34，+k P k ， 所以22223(1|||1|3434)+=-=++k k PF k k ．12|-=AB x x=2212(1)34+=+k k ． 所以22223(113412(1)3)44++==++k k k k PF AB ． 当0=k 时，直线l 的方程为0=y ， 此时，||24==AB a ，||1==PF c ，14=PF AB． 综上PF AB为定值14．解：（Ⅰ）根据题意可得2221b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆W 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）证明：设(4,)B m ，则1(4,)B m -， 直线AB 的方程为114m y x ++=，即114m y x +=-， 联立2214114x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，得22[4(1)]8(1)0m x m x ++-+=，所以228(1)8(1)04(1)4(1)C m m x m m -+++=-=++++，所以28(1)4(1)C m x m +=++，22(1)44(1)C m y m +-=++，用m -代替m ，得28(1)4(1)D m x m -+=+-+，22(1)44(1)D m y m -+-=+-+， 所以222222222222(1)4(1)4[(1)4][4(1)][4(1)][(1)4]4(1)4(1)8(1)8(1)8(1)[4(1)]8(1)[4(1)]4(1)4(1)CDm m m m m m m m k m m m m m m m m +--+--+-+-+-++-+-+++-+==+-+++-+--+++-+++-+ 3232216483m m m m ==++， 所以直线CD 的方程为2222(1)428(1)()4(1)34(1)m m y x m m m +-+-=-+++++，22222228(1)(1)4334(1)4(1)m m y x m m m m ++-=-⋅+++++++， 432432221025328615m m m y x m m m m m +--=++++++222222(5)(25)3(3)(25)m m m y x m m m m -++=+++++ 2222533m y x m m -=+++ 222222382813333m y x x m m m m +-=+=-+++++， 所以221(4)3y x m -=-+，所以直线CD 过定点(4,1)．21．已知椭圆2222:1x y M a b+=的焦点为(2,0)F（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，BC x ⊥轴于点C ，AD x ⊥轴于点D ，直线BD 交直线4x =于点E ，求ECD △与EAB △的面积之比. 解：（Ⅰ）由题设，ab=222a b =. 又因为2c =，222a b c =+，所以2224b b =+. 解得 24b =，28a =. 所以椭圆M 的方程为22184x y +=.（Ⅱ）由题意可知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-. 由22(2),28y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(12)8(88)0k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122812k x x k +=+，21228812k x x k -=+.因为AD x ⊥轴，所以1(,0)D x . 直线BD 方程为2121()y y x x x x =--，所以2121(4)4,y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 因为BC x ⊥轴，所以2(,0)C x . 因为112AC y k x x =-，21212(4)()(4)EC y x k x x x -=--. 所以21121212(4)()(4)EC AC y x y k k x x x x x --=----2112212(4)(4)()(4)y x y x x x x -+-=--2112212(2)(4)(2)(4)()(4)k x x k x x x x x --+--=--1212212[6()216]()(4)kx x x x x x x =⋅+----222221222488[8]()(4)1212k k k x x x k k -=⋅----++ 2222212163112()(4)12k k k k x x x k -+--=⋅--+0=. 所以,,C A E 三点共线.因为//BC AD ，所以ACD ABD S S =△△， 所以ECD EAB S S =△△， 所以:1:1ECD EAB S S =△△.22．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左顶点为()2,0A-，圆22:1O x y+=经过椭圆C的上、下顶点．（I）求椭圆C的方程和焦距：（Ⅱ）已知,P Q分别是椭圆C和圆O上的动点（,P Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段AP的垂直平分线与y轴交于点M，圆O在点Q处的切线与y轴交于点N．求线段MN长度的最小值．解：（Ⅰ）由题设，c e a ==，2a =，1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 222(41)8440k x kmx m +++-=，由222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，得22410k m -+>. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，212122282()224141k m my y k x x m m k k +=++=-+=++. 所以点M 的横坐标1224241M x x kmx k +==-+， 纵坐标122241M y y m y k +==+. 所以直线MN 的方程为22144141m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令0x =，则点N 的纵坐标2341N m y k =-+所以 230,41m N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.因为(0,)P m ，所以点N 、点P 在原点两侧.因为2MOP MNP ∠=∠，所以MNO OMN ∠=∠，所以OM ON =. 又因为22222222224164141(41)km m k m m OMk k k +⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 2222223941(41)m m ONk k ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 所以22222222169(41)(41)k m m m k k +=++，解得21619k +=，所以k =。
高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧
高中数学解析几何解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解基本概念：解析几何的基本概念是解题的基础，包括直线、平面、向量、点、线段等。
在解题过程中，要确保对这些基本概念的理解准确。
2. 熟悉性质定理：解析几何中有许多性质定理，例如平行线性质、垂直线性质、相似三角形性质等。
熟悉这些性质定理，可以帮助理解和解决解析几何题目。
3. 运用向量法解题：向量法是解析几何中常用的一种解题方法。
通过引入向量的概念，可以简化解析几何题目的计算过程，提高解题效率。
4. 利用几何变换：几何变换是解析几何中常用的一种方法，包括平移、旋转、镜像等。
通过利用几何变换，可以将原题转化为更简单的几何问题进行求解。
5. 善用相似性质：相似性质在解析几何中有着重要的应用。
通过发现和利用图形的相似性质，可以得到一些有用的信息，从而解决解析几何题目。
6. 注意特殊情况：解析几何题目中经常会涉及到一些特殊情况，例如对称性、平行四边形、等腰三角形等。
在解题过程中，要特别注意这些特殊情况，以充分利用它们带来的信息。
7. 多画图辅助：在解析几何题目中，通过画图可以更好地理解和分析题目。
因此，解析几何解题过程中，多画图进行辅助，有助于
提高解题的思路和准确性。
8. 注意技巧和方法：解析几何题目中有一些常用的技巧和方法，例如相似比例、平行线截比、垂直线截比等。
要熟悉这些技巧和方法，并在解题过程中加以运用。
最后，解析几何题目的解题技巧需要通过大量的练习和实践来逐渐掌握和提高。
不断总结经验，加强对解析几何知识的理解和掌握，才能在解析几何题目中游刃有余。
解析几何中计算方法与技巧
解析几何中计算方法与技巧高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。
一、巧用韦达定理简化运算1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。
例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2=1的交点坐标。
2、合二为一的整体运算例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。
例3：过点P （x 0，-41）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。
例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。
例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。
以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直 径作圆C 2。
若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。
二、利用计算的对称性避免重复运算引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。
例1：设椭圆E ：22x +y 2=1上一点A （1，22），过A 作两条关于平行y 轴的直线对称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。
求证：CD 直线的方向确定。
例2：设曲线C 1：42x +y 2=1与曲线C 2：y=x 2-1。
C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于D 、E 。
（1）证明：MD ⊥ME ；（2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =3217？例3：设椭圆42x +42y =1的左焦点F ，点A 、B 是椭圆上的两点，满足2 ，求A 、B 两点距离。
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解析几何运算处理技巧考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．系，降低运算量．[对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.[答案] 12 6 [关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55 B.655 C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C. 2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2，而F (c,0)，则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b2，又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30° 解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3. 4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34， 则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2. 则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y ＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b 2＝638，∴c2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，。