《医用高等数学》(第二版)1-2极限

例 观察下列函数的极限
（1）lim(x 1) x 1
（2）li m x 1
x2 1 x 1
（3）f
(x)
x 1 , 1 ,
x 1，求
x 1
lim
x1
f
(x)
（4）li m s i n 1
x 0
x
高等数学
y 1
1
O
–1
01-02-15
y sin 1 x
1
x
高等数学
01-02-16
单侧极限 如果只考虑 x 从 x0 的一侧趋近
（4） lim s in x x
01-02-10
高等数学
01-02-11
xx0 时的函数极限 设函数 y=f(x) 在 x0 点附近有
定义（在 x0 点可以无定义），若当 x (xx0) 无论以怎样的方式趋近于 x0 时，函数 f(x) 都趋近于常数 A，则称
常数 A 为当 xx0 时函数 f(x) 的极限，
高等数学
01-02-30
是消处去理零“因00子”，型如极限的基本方法
（1）因式分解法； （2）有理化因式法； （3）三角变形法； （4）重要极限； （5）洛必达法则。
高等数学
01-02-31
课堂讨论题 求下列函数的极限
（1） lim 1 2x 3
x4 x 2
（2） lim ( x2x x2x) x
显然有
01-02-19
lif( m x ) A lifm (x ) lifm (x ) A
x x 0
x x 0
x x 0
高等数学
例 已知函数
x f (x)
x
求 lim f ( x)。 x 0
01-02-20
高等数学
例 已知函数
x2 1 , x 0
f
(x)
x , 0 x 1
2 x , x 1
4
x 1 x2 1
（2）
lim
x
2
3x2 x2
x
1
1
（3）lim x
2x3 3x2
x2 5 2x1
01-02-28
高等数学
01-02-29
一般地
lim
x
a0xn b0 x m
a1x n1 b1 x m 1
an bm
0
a0 b0
,n m, , n m , (a0 0,b0 0) ,n m,
记作
lim f (x) A
xx0
或
f(x) A(x x0)
高等数学
y
A
O
01-02-12
y=f(x)
x0
x
高等数学
01-02-13
注 （1）xx0 的方式是任意的； （2）当 xx0 时，f(x) 有无极限与 f(x) 在 x0 点是否有定义及 x0 点的函 数值无关。
高等数学
01-02-14
于 x0 时函数 f(x) 的极限，称为单侧 极限。
高等数学
01-02-17
左极限(left-hand limit) 若当 x 从 x0 的左侧( x<x0 )趋近
于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 A，则称常数 A为函数 f(x) 当 xx0 时的左极限，记作
lim f (x) A 或
x0 sin 5x
（2）lim x 2
cos x
x
2
高等数学
（2）lim(1 1)x e
x
x
01-02-38
x
10
103
107
(1 1 ) x x
2.59374
2.71692
2.71828
1
或 lim(1 x)x e x0
e
高等数学
准则2 单调有界数列必有极限。
01-02-39
高等数学
T P
x
O MA
PMPATA sin xxtaxn
lim sin x 1 x0 x
高等数学
01-02-34
准则1（夹挤定理）
若在同一极限过程中，三个函 数 f(x), g(x), h(x) 之间有关系
g(x)f(x)h(x)
且 limg(x)A，limh(x)A，则
limf(x)A
高等数学
例 求极限
作业：P18 习题一 9(1)(2)(3)(7)(8) 10(2)(6) 11(3)(5) 12
u lim A
n n
或 un A(n )
高等数学
例 观察如下数列
01-02-05
（1）
1
1 n
，即
2,3,4, 23
,11, n
（2）
1
1 n
，即
0,1,2, 23
,11, n
高等数学
A
01-02-06
高等数学
01-02-07
x 时的函数极限 如果自变量 x 的绝对值无限增
大时，函数 f(x) 无限趋近于一个常 数 A，则称常数 A 为函数 f(x) 当 x 时的极限，记作
《医用高等数学》（第二版）1-2极 限
高等数学
一、极限的概念 二、极限的运算法则 三、两个重要极限
01-02-02
高等数学
01-02-03
割之弥细，所失弥少。割之又
割，以至于不可割，则与圆合体而 无所失矣。——古代割圆术
高等数学
01-02-04
数列极限
对于数列 {un}，如果存在一个常 数 A，当 n 无限增大时，数列 {un}中 的项 un 无限趋近于常数 A，则把常 数 A 称为数列 {un} 的极限，记作
01-02-35
lim ( 1 1 1 )
n n21 n22
n2n
高等数学
例 求下列函数的极限
（1）limtanx(0)
x0 x
（2）lim x0
1
co x2
s
x
（3）lim arcsin x
x0 x
01-02-36
高等数学
01-02-37
课堂讨论题 求下列函数的极限
（1）lim sin 2x
定理
设函数 f(x) 和 g(x) 在自变量 x 的同一变化过程中极限分别为 A 和 B，即
limf(x)A lim g(x)B
则（1）lim[f(x)g(x)]
limf(x)limg(x)AB
高等数学
01-02-25
（2）lim[f(x)g(x)]
limf(x)limg(x)AB
推论 lim [k f(x )] k lim f(x ) k A （3）lim [f(x)]n [lim f(x)]nA n
xx0
f(x0 0)A
高等数学
01-02-18
右极限(right-hand limit) 若当 x 从 x0 的右侧( x>x0 )趋近
于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 A，则称常数 A为函数 f(x) 当 xx0 时的右极限，记作
lim f (x) A 或
xx0
f(x0 0)A
高等数学
求 lim f ( x ) ，lim f ( x ) 。
x 0
x1
01-02-21
高等数学
课堂讨论题 已知函数
x 1 ,
f
(x)
0,
x 1 ,
求 lim f ( x) 。 x 0
x0 x0 x0
01-02-22
高等数学
y
1
–1 O
01-02-23
y f(x)
1
x
–1
高等数学
01-02-24
limf (x) A
x
或
f(x) A(x )
高等数学
显然有
01-02-08
limf (x)A
x
limf (x) limf (x)A
x
x
高等数学
y
y=f(x)
A
-x
O
x
01-02-09
x
高等数学
例 观察下列函数的极限
（1） li m e x 2 x
（2） l i m 2 x x
（3） lim arctan x x
（4）limf(x)limf(x)A (B0)
g(x) limg(x) B
高等数学
01-02-26
定理
设 y=f((x)) 是由 y=f(u)，u=(x)
复合而成的，f((x)) 在点 x0 的附近
有定义（x0可除外），若
lim(x)
xx0
u0
limf (u) A
uu0
且对 x0 附近不等于 x0 的 x，(x)u0，则
例 求下列函数的极限
（1） lim(1 2)x1
x
x
（2） limx 12x x0
01-02-40
高等数学
01-02-41
课堂讨论题 求下列函数的极限
1
（1） lim (1 x) x x0
（2）
lim(1
x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 x
x0
2
高等数学
01-02-42
小结：函数极限(x、xx0) 单侧极限(左极限、右极限) 极限的四则运算法则 两个重要极限
lim f(x)lim f(u)A
x x0
u u 0
高等数学
例 求下列函数的极限
（1）
lim
x2
x(x x2
2) 1
（2）
lim
x1
x2 x2
3x4 5x4
（3） lim( x2 x x) x
（4） lim n 1 x 1
x0
x
01-02-27
高等数学
例 求下列函数的极限
（1） lim x
高等数学
（1）lim sin x 1 x0 x
01-02-32
x 0.1745 0.0174533 0.0017453292 0
sinx 0.1736 0.0174524 0.0017453283 0
sinx x 0.995 0.99995 0.9999995 1
高等数学
01-02-33