数学建模---概率模型

N
k m N
P m N k
k
m
Ng f g jPm N j
j 0
而在和都为正数的条件下，有 S Ng f 。则唯一能达到 预期利润最大值的方法是降低所有的 Pm N j，使之趋近于0。 当订票数量 m 充分的大于 N 时，可以达到所要结果。因为， 当订票的乘客数目增加时，任意大的误机人数出现的概率便 随之降低。
两个建厂方案益损表 表7-14
解: (1) 画决策树如图7-3所示
销路好
销路差0.3
图 两个建厂方案决策图
(2) 计算各方案节点的期望益损值 节点④：[0.9×100+0.1×(-20)]× 7=616(万元) 节点⑤：[1.0×(-20)]× 7=－140(万元) 节点⑥： (0.9×40+0.1×10)× 7=259(万元) 节点⑦ ： (1.0×10)× 7=70(万元) 节点②： [0.7×100×3+0.3×(-20) ×3]+[0.7×616+0.3×(-140)] －300=281 (万元) 节点③ ：（0.7×40×3+0.3×10 ×3）+（0.7×259+0.3×70） －160=135 (万元)
k k m N k
m
如果 m N ，则第一项和不存在， 仅由第二项和表出，并且 S 求和下限由0代替。
由于对航班需求的不同，显然订票的乘客数有可能小于航班载 客量，航空公司并不需要考虑超额订票的问题。 根据求解的问题，需要假设各种情况，不论航空公司决定的最 大订票数 m为多少，在一些时间的热门航线中它都是有可能会 达到的。 为研究 Pk 对 S 的影响，将上式改写为
g 其中， 为每名乘客支付的运费。
当乘客的数目增加时，利润也跟着增加。最大可得利润是
S max Ng f
其中， 是航班的满舱载客量。 N
分析初步模型模型 当乘客所付的总运费恰好能维持航班的费用时，达到一 个临界人数
n f /g
当乘客人数少于它时，航班的经营将会造成损失。 容易看出，为了获得尽可能大的利润，航空公司应当让 每一趟航班达到满舱。 每趟航班能否达到满舱？ 误机者会影响满舱。 因此，需要在基本模型上加进反映“乘客误机”这一 条件的参量，并考察其对所求利润的影响。
最优方案为：先投资160万元建小厂，3年后，再追加投资140万元，扩 建成大厂，10年的总收益为287万元。
航空公司的预订票策略
1 问题的提出 有时在机场会出现一些乘客本已订好了某家航空公司 的某趟航班，却被意外地告知此趟航班已满，航空公司将 为他们预定稍后的航班的情况。这不但会引起乘客的不便， 还会加剧他们对航空公司的抱怨程度。
T1：咨询公司意见：可以投资
T2：咨询公司意见：不宜投资 E1：投资成功 E2：投资失败
156
P(T1)= 200 44 P(T2)= ×100% = 0.22 ×100% = 0.78
200
P(E1)= 0.96 P(E2)= 0.04
154 P(E1/ T1)= 156 2 = 0.987
利润 = 收入—成本 一趟航班运行的成本基本与实际搭乘的乘客数量无关。
航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料费用、机场承
担的起飞、降落和操作费用，以及一些其它的费用（比如飞 机维修费用，地面工作人员的薪金，广告费用）。不管航班 是否满舱，航空公司都必需给飞行员、领航员、工程师和舱 内全体职员支付薪金。而相对于半舱的航班，满舱的航班所
在如今这个使用计算机系统来实行订票的时代，是否
可以通过设计某种系统来抑制这类事件的发生。 试建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。
2 符号约定
f —— 维持航班的总费用（成本） n —— 乘坐航班的乘客数量 g —— 每名乘客支付的运费（机票票价） N —— 航班的满舱载客数量 k —— 误机的乘客数 Pk —— k人误机的概率
解：
100 2 A1 0.4 1 0.6 -20
A2
A3
75
10
3
0.6
0.4
4 0.6
50
30
解：
28 2
A1 100 0.6 0.4 0.6 10 -20
38 1
A2
A3
36 3
75
38 4
0.4
0.6
50
30
多级决策问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2、化工原料厂，由于某项工艺不好，影响 效益，现厂方欲改革工艺，可自行研究(成功
m —— 预定航班的乘客数量 S —— 航班的收支差额 b —— 安臵一名剩余乘客的费用 p —— 订票乘客登机的概率 q —— 订票乘客误机的概率（1-p） j —— 航班卖出折价票的数量 r —— 航班票价的折扣率
3 建模目标 建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。 航空公司制定超客订票策略，是为了从航班中获得尽可 能大的利润。 顺着这条脉络，很自然地以求出航空公司期待从一趟预 定航班中获得的利润来建立模型。 4 建立模型 1）初步建模（从简单情形入手） 首先，摒除对所求利润带来复杂影响的参量，从利润最根 本的角度出发建立基本模型。
12％；若失败则丧失全部资金；若把资金
全存在银行，可获得年利率6%，为辅助
决策可求助于咨询公司，费用为5万元，
根据咨询过去公司类似200例咨询工作，
有下表 ：
实施结果 咨询意见 投资 成功 投资 失败 合计
可以投资
不宜投资 合计
154
38 192
2
6 8
156次
44次 200次
试用决策树方法分析该公司是否应该咨询？ 资金该如何使用？
S Pk Ng f
k 0
m
k m N m
P m k g f Ng f
k k
m
Ng f Pk
k 0 m
m
k m N
P m N k g
根据 Pk 的定义， Pk 1 ，因此，有
k 0
S Ng f g
（3）比较、剪枝、决策
比较节点②和节点③的期望收益值，节点②的期望收益值大， 故：最优方案为建大厂。将节点①上方标上期望收益值281 (万 元)，并剪去小厂方案枝。
后续：
现假定两个方案中，除了建大厂的方案以外，另一个方案 是：先投资160万元建小厂，若产品销路好，则3年后考虑 是否扩建成大厂，扩建投资为140万元。扩建后经营期为7 年，每年的收益情况与大厂相同。此时，应选择哪个建厂 方案？ 解 （1）画决策树 第一方案与上相同，故在本题中，略去第一方案的部 分节点和树枝，只保留第二个节点及其计算结果。第二个 方案的决策树模型如图所示。
95 4
ú -² Ô
Ôö
65 8
¼Û µ 0.1 Í ÖÐ 0.5 ¸ 0.4 ß ¼Û µ 0.1 Í ÖÐ 0.5 ¸ 0.4 ß
-200 50 150 -300 50 250 -100 0 100 -100 0 100
² 95 ú 9
ר À û
.2 30 5
0.1
0.5 0.4 0.1 0.5 0.4 60 ¿ úÁ ² 10 0.1 0.5 0.4 0.1 0.5 0.4
数学建模---概率模型
决策树 航空公司的预订票策略 学生作弊现象的调查与估计
决策树
• 全概率公式和贝叶斯公式 • 数学期望的使用
例1
S1
S2
0.4 0.6
A1 A2 100 -20 75 10
电视机厂试生产三种
电视机Ai(i=1,2,3)。 市场大、小Sj (j=1,2)。
生产哪种？ A3 50 30
如果投资公司给出不宜投资意见则存入银行
练习： 为生产某种新型的港口装罐机械，提出了两个建厂方案：一是 投资300万元建大厂；二是投资160万元建小厂，均考虑10年经营期。据 预测，在这10年经营期内，前3年该产品销路好的概率为0.7；而若前3 年销路好，则后7年销路好的概率为0.9；若前3年销路差，则后7年的销 路肯定差。另外，估计每年两个建厂方案的益损值如表7-14所示，要求 用决策树法确定采用哪种建厂方案？
-300 -250 600
价高 0.4
解：
0.8 ¦ ɹ ³
2 4
¼Û µ 0.1 Í
-200 50 150 -300 50 250 -100 0 100 -100 0 100
ú ² ÔÔö² ú
8
ÖÐ 0.5 ¸ 0.4 ß ¼Û µ 0.1 Í ÖÐ 0.5 ¸ 0.4 ß
9
ר Àû
ʧ ° Ü
2）扩充模型
考虑到发生乘客误机的情况，使得即使订票数为 N 时也不一定能保证利润达到最大，则订票上限便不应 局限于N 值。 假设订票的总人数是 m ， 有可能超出 N m 当有 k 个人误机时， 航空公司可能从航班中得到的利润为
S m k g f m k N 当 m k N S Ng f
可能为0.6)，买专利(成功可能为0.8)。若成功，
则有2种生产方案可选，1是产量不变，2是增 产；若失败，则按原方案生产，有关数据如
下。试求最优方案。
(万元) 按原工 艺方案 生产 买专利(0.8) 自研(0.6)
产量 不变
增产
产量 不变
增产
价低 0.1 中 0.5
-100 0 100
-200 -300 -200 50 150 50 250 0 200
82 1
 ò ×Ô Ð Ñ Æ Ö
3 63
30 .4 6 Ü0 ° ʧ
³ ¹ É ¦ 0.6
-200 0 200 -300 -250 600
85 7
ÔÔö
² 85 ú 11
最优决策