新人教版数学八年级上册教案：11.2 与三角形有关的角
人教版八年级数学上册11.2.1.1《三角形的内角》教学设计
人教版八年级数学上册11.2.1.1《三角形的内角》教学设计一. 教材分析《三角形的内角》是人教版八年级数学上册第11.2.1.1节的内容，本节课主要让学生了解三角形的内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。
学生通过本节课的学习，能够掌握三角形的内角和定理，并为后续学习三角形分类、三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了多边形的概念和性质，对多边形的内角和有一定的了解。
但部分学生可能对多边形的内角和与三角形的内角和之间的关系理解不透彻。
此外，学生在学习过程中可能对一些概念和定理的证明过程感到困惑，需要教师在教学中进行引导和解释。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形的内角和定理，能够运用定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：三角形的内角和定理。
2.难点：三角形的内角和定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、探究，发现三角形的内角和定理。
2.讲解法：教师对三角形的内角和定理进行讲解，解释定理的证明过程。
3.互动讨论法：学生之间进行合作交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角形的内角和定理的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学道具：准备一些三角形模型，用于学生观察和操作。
3.练习题：准备一些有关三角形的内角和定理的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的内角和，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示三角形的内角和定理，让学生初步了解定理的内容。
3.操练（10分钟）教师引导学生观察三角形模型，让学生亲自动手测量三角形的内角，验证内角和定理。
4.巩固（10分钟）教师通过讲解和举例，让学生深入理解三角形的内角和定理，并解答学生的疑问。
(名师整理)数学八年级上册第11章《11.2.与三角形有关的角》优秀教案
与三角形有关的内角一、教材分析本节选自人教版课程标准实验教科书数学八年级上册第十一章第二节第一课时。
在学生已感性认识三角形内角和等于180°的基础上，由实验几何过渡到论证几何，探索证明三角形内角和定理；而该定理是后续研究多边形内角、直角三角形等的基础，因此它在整个三角形知识体系中起着承上启下的作用。
二、学情分析【知识上】已感性认识了三角形内角和等于180°；【方法上】初步学习了简单推理证明；【思维上】形象思维逐步过渡到抽象思维；【能力上】还不具备独立系统推理证明能力；【情感上】好奇心强，乐于探究；三、重难点分析▲重点：探索证明三角形内角和定理；▲难点：如何启发学生发现和理解通过添加辅助线证明定理；▲突破难点的关键点：引导学生从直观动作形象思维向表象思维过11 / 10渡，采用“实物拼图—留下痕迹—抽象图形”，引导分析图形变化的内在联系，发现所添加的辅助线，化解证明难点，使证明思路直观化。
四、教学目标1、知识与技能：构建探索三角形内角和定理的证明思路并对定理进行运用；2、过程与方法：通过引导学生参与拼图探索、抽象图形，培养学生直观感知能力；经历探究证明过程，渗透图形变化，提高学生演绎推理和逻辑思维能力。
3、情感态度与价值观：让学生在推理过程中感受数学的严谨性，形成“言必有据”的科学态度和良好的数学思维品质。
五，教具:多媒体，直尺六、教法与学法✧教法：引导发现式教学法、启发式教学法；✧学法：动手实验、推理论证、反思总结等学法。
22 / 1033 / 10七、教学过程设计环节一：回顾探索【新课引入】师：前面我们已经初步学习了简单的推理证明，知道了依据什么2 何分析并找到证明一个问题的思路”。
【回顾旧知】师：小学时，我们探索发现三角形的内角和为180°，是怎样发现的？预设：学生可能回答：①用量角器量出三个角再相加；②撕下三个角拼一拼。
问：这些方法是不是数学证明？能否完全让人信服？建 构 思 路 回 顾 探 索 意 犹 未 尽 学 以 致 用 课 堂 回 眸44 / 10预设：学生可能回答：测量存在误差；三角形有无数多个无法一一验证。
人教版数学八年级上册 第11章 三角形 11.2与三角形有关的角- 变化问题中的不变量 研究课 教案
图2
变式二如图3，过线段AE延长线上的点F作FD⊥BC于D，其他条件不变，（2）中结论是否成立？说明理由
图3
变式三如图4，过线段AE反向延长线上的点作FD⊥BC于D，其他条件不变，请画出图形并判断（2）中结论是否仍成立？说明理由。
课题
变化问题中的不变量
教学目标
1、会运用三角形内角和定理，角平分线，高线等知识解决三角形有关问题。
2、能从变化的角度观察、分析图形特征，解决三角形角的有关问题；体会变化问题中的不变关系。
3、在数学活动中体会数学学习的特点，提高学习数学的兴趣，磨练克服苦难的意志品质。
教学重、难点：能从变化的角度观察、分析图形特征，解决有关三角形角的问题，体会变化问题中的不变关系。
图4
总结：在△ABC中，AE平分∠BAC，过直线AE（点E除外）上的点作FD⊥BC于D，则总有
1、读题标图，把文字和符号语言转化为图形语言
2、掌握基本问题的解决方法，体会由特殊到一般的不完全归纳方法
3、从变化的角度观察分析图形特征，体会其中的不变关系。
通过几个变式的探究与练习使学生更好的体会其中的不变量。同时还可以借助平行线进行推理证明。启发学生作辅助线的思路。
小结归纳
知识、方法
布置作业
整理学案
教学过程
教学环节
师生活动
设计意图
探究活动
已知：如图1，在△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC。
（1）若∠B=30。，∠C=50。，你能求出哪些角的度数？比比看，谁求出的角更多。
请你再给出一组∠B，∠C的值，试试能求出哪些角的值？
人教版数学八年级上册11.2 与三角形有关的角(3课时)教案与反思
11．2 与三角形有关的角知人者智，自知者明。
《老子》棋辰学校陈慧兰11．2.1 三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1 图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB ＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN 的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C 岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B 两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．【互动探索】(引发学生思考)D⊥AB，∠D＝50°→得∠B的度数，结合∠A＝46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF⊥AB∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.又∵∠A＝46°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，不同的三角形中灵活运三角形内角和定理求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，∴∠ACB＝∠AED＝50°.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝12∠ACB＝25°.又∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD 的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF ＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED＝50°(对顶角相等)，结合∠D＝43°→∠ACD＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A、∠B、∠C的数量关系→△ABC各内角的度数→△ABC的形状．【解答】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.根据题意，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是( B )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2 三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于( B )A．120°B．105°C．60°D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．解：左图：∠1＝60°，∠2＝30°；右图：∠1＝50°，∠2＝140°.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【互动探索】∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线→利用三角形外角的性质求解．【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角．∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形外角的性质将已知与未知的角联系起来计算角的度数．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP 并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成本课时对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。
通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。
但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。
2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。
2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。
操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。
同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。
人教版八年级数学上册11.2.1三角形的内角第1课时教案
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角(第1课时)
备课人：备课日期：年月日
2.提出问题：根据上述操作结论你能肯定这个命题是真命题吗？
学生交流后教师指出：由于测量存在误差，而且不同形状的三角形有无数个，不可能一一测量，因此上述方法只能“验证”三角形的内角和等于180°，而不能充分说明是真命题。
对于真命题，必须通过“数学证明”，才能让人信服。
那么，怎样证明“三角形的内角和等于180°”是真命题呢？
二、教学新知
【活动】探究“三角形的内角和等于180°”
1.学生在纸上画一个三角形，用剪拼的方法验证“三角形的内角和等于180°”，并说说验证过程：把剪下的三个角拼合到一起，得到一个平角，所以三角形的内角和等于180°.
2.教师展示图片；
启发：上面拼合中，有不同的方法，你用到上面哪个图的方法？你通过这个操作，发现了证明思路吗？
2.学生仔细看图，交流讨论自己各自的发现。
学生甲：我用图1把∠B，∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来是一个平角，所以∠B，∠C有一条边在同一直线l上。
因为∠B，∠C在剪拼前后的大小不变，即内错角相等，因此我发现过点A作直线l∥BC，用平行线的性质和平角的定义可以证明“三角形的内角和等
图2
图1。
人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解三角形外角的性质，能够熟练运用外角定理解决相关问题。
2.掌握三角形内角平分线、中线的性质，能够运用这些性质解决一些简单的几何问题。
3.能够运用三角形的性质判断三角形的形状，并求解一些特殊类型的三角形。
4.通过观察、分析、归纳等方法，提高学生对三角形性质的理解和应用能力。
5.培养学生关爱环境、珍惜资源的意识，使学生在学习过程中养成良好的道德品质。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣、富有挑战性的问题情境，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体技术，展示三角形的相关图片，引导学生关注三角形在现实生活中的应用。
3.通过设计具有启发性的问题，引导学生主动探究三角形的性质，激发学生的求知欲。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生合作交流的能力。
2.设计具有挑战性的合作任务，激发学生的团队精神。
3.组织小组讨论，鼓励学生互相借鉴、互相学习，提高学生的综合素质。
4.及时对小组合作情况进行评价，总结经验，提高合作效果。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，培养学生自我监控、自我评价的能力。
（五）作业小结
1.学生独立完成课后作业，巩固本节课所学知识。
2.教师及时批改作业，了解学生掌握程度，对存在的问题进行反馈。
3.组织课后辅导，帮助学生解决作业中遇到的问题。
4.鼓励学生进行自主学习，提高学生的学习能力。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过展示三角形在现实生活中的应用，如建筑设计、道路规划等，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。这种情境导入的方法不仅能够吸引学生的注意力，还能够让学生明白学习三角形性质的重要性。
人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角教学设计
7.关注个体差异，因材施教：针对不同学生的学习能力、兴趣和需求，设计分层教学，使每个学生都能在课堂上得到充分关注和指导。
8.创设互动氛围，激发学习热情：教师应以亲切、热情的态度与学生互动，鼓励学生提问、发表观点，营造积极向上的课堂氛围。
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形的内角和、外角定理、对顶角相等定理、邻补角补数定理等知识点。
2.学生分享学习收获，反思学习过程中的困难与解决方法。
3.教师对本节课的学习进行评价，强调重点知识，提醒学生加强对三角形的角的性质的掌握。
4.布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
4.通过绘制和测量三角形的角度，培养学生实际操作能力和空间想象能力。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、思考、实践等过程，探索和发现三角形的角的性质和定理。
2.采用问题驱动法，设置具有启发性和挑战性的问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。
3.组织学生进行小组讨论、合作学习，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，涵盖三角形内角和、外角定理、对顶角相等定理、邻补角补数定理等知识点。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
3.学生互相批改，讨论解题过程中的优点和不足，提高解题能力。
4.教师挑选典型题目进行讲解，分析解题思路，强化知识点。
（五）总结归纳，500字
4.结合实际生活中的三角形实例，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高学生的数学素养。
5.培养学生的团队合作精神，使学生学会尊重他人、倾听他人意见，形成良好的人际关系。
新人教版数学八年级上册教案：11.2 与三角形有关的角
§11.2.1三角形的内角[教学目标]〔知识与技能〕掌握三角形内角和定理.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点.[教学过程]一、导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？二、三角形内角和的证明回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.[投影1]图1想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.图2②把B∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠∠和CACB=1800.如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800.证明一过点C作C M∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800∴∠A+∠B+∠ACB=1800.即：三角形的内角和等于1800.由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程.三、例题例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？分析：怎样能求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可.∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900.四、课堂练习课本13頁1、2题.五作业：16页：1、3、4；六、教学反思：教学重、难点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程.本节课教学设计符合新课程理念，转变学生的学习方式，能让学生以小组合作的形式进行问题的探索与研究，学生在整节课中学得轻松.整节课的教学设计，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃，教学一开始从学生熟悉的三角板抽象出特殊的三角形探讨三角形的内角和是180°,接下来很自然地引导学生探讨所有的三角形的内角和是不是也是180，过渡自然且有吸引力.§11.2.2三角形的外角[教学目标]〔知识与技能〕理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点.[教学过程]一、导入新课〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800.若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？二、三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角.也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.想一想，三角形的外角共有几个？共有六个.注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三、三角形外角的性质容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？∵C E∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2又∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠A+∠B你能用文字语言叙述这个结论吗？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.由加数与和的关系你还能知道什么？三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.即AACD∠∠.>A C D∠>∠，B四、例题〔投影3〕例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800∴∠1+∠2+∠3==3600.你能用语言叙述本例的结论吗？三角形外角的和等于3600.五、课堂练习课本15頁练习；六、课堂小结1、什么是三角形外角？2、三角形的外角有哪些性质？七、作业：课本17页5、6；八、教学反思：把复杂的数学知识直观形象的让学生自己探索得出，这种讲课思路值得我们借鉴，新课程倡导教师用教材而不是简单的教教材，教师要创造性地使用教材，要融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重新组和，选取更好的事例对教材深加工，设计出活生生的、丰富多彩的课来，充分有效的将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识，所以我们可结合学生实际适当改变例题，充分发掘教材中的情感因素，化生为熟化难为易化理为趣增强数学的魅力，激起学生学习的信心和兴趣，形成课堂教与学的合力，我们要让学生感悟数学，真正成为学习的主人，教师要做好学生学习道路上的引路人.。
人教版八年级上册教案11.2.1 三角形的内角
11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角【知识与技能】1.掌握三角形的内角和定理.2.能写出已知、求证，并能用作辅助线的方法证明三角形内角和定理.3.能运用三角形内角和定理进行简单的证明或计算.【过程与方法】先通过实验得出三角形内角之和等于180°的直观结论，再由此得到启发，用过三角形的一个顶点作平行线的方法证明三角形的内角和定理.最后运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.【情感态度】本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.【教学重点】本节的重点是三角形的内角和定理.【教学难点】证明三角形的内角和定理.一、情境导入，初步认识问题1 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪两个下来，与第三个角拼在一起，观察三个角的和是多少？问题2 怎样证明三角形内角的和等于180°？【教学说明】全班学生分组实验，约8分钟交流成果，得出“三角形的内角和等于180°”这个直观结论.由实验过程中的拼合过程得到启发，引导同学们运用所学的知识证明“三角形内角和等于180°”.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考 1.对一个命题进行证明的一般格式是怎样的？2.除教材以外还有其它方法证明这个结论吗？3.对一个真命题为什么还要证明呢？【归纳结论】1.对一个命题的证明的一般格式是：（1）画出图形，根据图形写出已知和求证.（2）写出证明过程.2.除教材以外，还可以用如下作辅助线的方法证明三角形的内角和定理.（延长BC至D，过C作CE∥AB）3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.4.一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理才能得出结论，这样的推论过程叫做“证明”.观察、试验等是发现规律的重要途径，而证明则是确认规律的必要步骤.5.辅助线在几何证明中发挥巨大的作用，今后我们会经常遇到这个“朋友”.三、运用新知，深化理解1.如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（）A.60°B.50°C.45°D.40°2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.3.如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于O，∠A=50°，求∠BOC的度数.4.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数.5.如图，AD 、CE 是△ABC 的角平分线，AD 、CE 交于点O.求证：∠AOC=90°+12∠B.【教学说明】本环节由学生独立思考、自主完成，再进行交流讨论，最后教师给予指导和总结.初学证明，让学生体会证明的逻辑性和严谨性.【答案】1.D2.解：∠A ∶∠B ∶∠C=1∶3∶5，设∠A=x,∠B=3x,∠C=5x,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+3x+5x=180°解得x=20°,则3x=60°,5x=100°,即∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.3.解：由三角形内角和定理有∠B+∠C=180°-∠A=130°，∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB ）=180°-21（∠B+∠C ）=115°. 4.解：∠A=180°-∠B-∠C=60°，∠BAE=∠CAE=21∠A=30°. ∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°，则∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°.∠AEC=180°-∠C-∠CAE=105°.5.证明：由三角形内角和定理得∠B+∠A+∠C=180°即∠A+∠C=180°-∠B ，∠AOC+∠DAC+∠ECA=180°即∠DAC+∠ECA=180°-∠AOC ，又∠DAC=21∠A ，∠ECA=21∠C ∴180°-∠AOC=21（180°-∠B ） 即∠AOC=90°+21∠B四、师生互动，课堂小结1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.2.证明三角形的内角和定理必须作辅助线，也就说要作出平行线，利用平角来证明，一般来说，共有如下四种方法（如图）：（1）构造平角①如图（1），过点A作直线MN∥BC，有∠1=∠B，∠2=∠C.而∠1+∠BAC+∠2=∠MAN=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°.②如图（2），过BC上一点D作DF∥AB交AC于F，作DE∥AC交AB于E，则∠1=∠C，∠2=∠B，∠3=∠4=∠A.所以∠A+∠B+∠C=∠3+∠2+∠1=180°.（2）构造邻补角如图（3），延长BC到D，作CE∥AB，则∠1=∠A，∠2=∠B.所以∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.（3）构造同旁内角如图（4），过C点作射线CD∥AB，则∠1=∠A，∠B+∠BCA+∠1=180°，所以∠B+∠BCA+∠A=180°.3.作辅助线是几何证明或计算中经常用到的手段，辅助线在解题中具有举足轻重的作用，今后会经常遇到，望同学们仔细体会，辅助线必须画成虚线.1.布置作业：从教材“习题11.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按实验、猜想、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.。
人教版八年级数学上册：112与三角形有关的角教学设计
3.学会使用三角板、量角器等工具进行三角形内角度的测量和作图。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
利用生活实例，如三角形交通标志、建筑物的三角形结构等，引出三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究，合作交流
分组讨论，引导学生自主探究三角形的性质，如内角和、三角形的边的关系等。教师适时给予指导和反馈，帮助学生形成正确的认识。
1.针对学生对三角形基本概念掌握程度的不同，采用差异化教学策略，对基础薄弱的学生进行个别辅导，提高他们的自信心。
2.充分发挥学生的空间想象力，通过实际操作、观察和思考，帮助他们理解三角形的性质和内角和定理。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作意识和交流能力，使学生在互动中提高对三角形知识点的掌握。
5.学会使用三角板、量角器等工具进行三角形内角度的测量和作图。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，引导学生运用以下过程与方法：
1.观察与发现：通过观察生活中的三角形实物，引导学生发现三角形的特点，激发学生对三角形相关概念的兴趣。
2.探索与实践：鼓励学生通过小组合作、自主探究的方式，发现三角形的内角和定理，并在实践中运用。
4.注重培养学生的实际问题解决能力，将三角形知识应用于生活情境，让学生感受到数学的实用价值。
5.关注学生的情感态度，激发他们对数学几何的兴趣，引导他们形成积极的学习态度，为后续几何知识的学习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握三角形内角和定理，并能运用其解决实际问题。
7.教学评价，关注成长
采用多元化评价方式，关注学生在学习过程中的表现。既注重知识掌握程度，又关注学生的情感态度、合作交流能力等方面，全面评价学生的成长。
人教版八年级上册数学第十一章三角形11.2与三角形有关的角《三角形的内角》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形内角相关的实际问题，如如何利用已知信息计算三角形的未知角度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用软尺和量角器来测量实际物体的角度，并验证内角和定理。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形内角的定义：强调三角形内角是由三角形内部两条边所夹的角，是本节课的基础概念。
-三角形内角和定理：180°是三角形内角和的固定值，要求学生能够熟练运用此定理进行计算和解决问题。
-内角与外角的关系：掌握三角形内角与其相邻外角的和为180°的性质，并能应用于解题。
-实际问题中的应用：将三角形内角知识应用于现实生活中的问题，如测量角度、计算面积等。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对三角形内角的概念和内角和定理的理解总体上是不错的。通过引入日常生活中的例子，大家能够较快地进入学习状态，对三角形内角的知识产生了兴趣。但在教学过程中，我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，对于内角和定理的证明过程，部分同学还是感到有些困惑。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生通过实际操作和直观演示来理解这个定理，让他们在动手实践中感受几何证明的魅力。
人教版八年级上册数学第十一章三角形11.2与三角形有关的角《三角形的内角》教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学第十一章三角形11.2与三角形有关的角《三角形的内角》教案：
1.三角形内角的定义与性质；
2.三角形内角和定理及其应用；
3.探索并掌握三角形内角与外角的关系；
八年级数学上册 11.2 与三角形有关的角教学设计 (新版)新人教版
11．2 与三角形有关的角第1课时三角形的内角(一)教学目标1．理解三角形内角和定理及其推论．2．能灵活运用三角形内角和定理解决有关问题．教学重点探索并证明三角形内角和定理．教学难点如何添加辅助线证明三角形内角和定理．教学设计(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标多媒体展示：内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一三角形的内角和活动一：见教材P11“探究”．展示点评：从探究的操作中，你能发现证明的思路吗？图中的直线L与△ABC的边BC 有什么关系？你能想出证明“三角形内角和的方法”吗？证明命题的步骤是什么？证明三角形的内角和定理．小组讨论：有没有不同的证明方法？反思小结：证明是由题设出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程．三角形三个内角的和等于180°.针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二三角形内角和定理的应用活动二：见教材P12例1展示点评：题中所求的角是哪个三角形的一个内角吗？你能想出几种解法？小组讨论：三角形的内角和在解题时，如何灵活应用？反思小结：当三角形中已知两角的读数时，可直接用内角和定理求第三个内角；当三角形中未直接给出两内角的度数时，可根据它们之间的关系列方程解决．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．本节学习的数学知识是：三角形的内角和是180°.2．三角形内角和定理的证明思路是什么？3．数学思想是转化、数形结合． 五、达标检测，反思目标1．在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，找出图中相等的角．解：∠1与∠C ∠2与∠B2．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O. (1)求∠BOC 的度数．(2)将∠A 换个度数，那(1)求出是多少？你能体会∠A 和∠BOC 有什么关系吗？ 解：(1)130°(2)∠BOC ＝90°＋12∠A3．如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是高和角平分线，若∠B＝40°，∠C ＝60°，求∠EAD 的度数．解：在△ABC 中，∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°. 因为AE 是∠BAC 的平分线． 所以∠EAC ＝∠BAE ＝40°.因为AD 是边BC 上的高， 所以∠ADC ＝90°，所以∠CAD ＝90°－∠C ＝30°. 所以∠EAD ＝∠EAC －∠CAD ＝40°－30°＝10°. ●布置作业，巩固目标教学难点 1．上交作业 课本P 16 1、2、3. 2．课后作业 见《学生用书》．第2课时 三角形的内角(二)教学目标1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质和判定． 2．能运用直角三角形的性质和判定解决实际问题． 教学重点理解直角三角形的性质和判定．教学难点运用直角三角形的性质和判定． 教学设计 (设计者： )教学过程设计一、创设情景，明确目标1．三角形的内角和是多少度？(180°) 2．直角三角形的内角和是多少度？(180°)它的两个锐角有什么特殊关系吗？——引入新课●自主学习 指向目标 1．自学教材13～14页．2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 直角三角形的内角活动一：已知，在△ABC 中，∠B ＝90°，那么∠A＋∠C 是多少？ 展示点评：∵△ABC 中，∠A ＋∠B＋∠C＝180°且∠B＝90° ∴∠A ＋∠C＝90°由此得出：直角三角形的两锐角互余． 2．直角三角形的表示方法：为了书写方便，直角三角形可以用符号“Rt △”来表示．活动二：见教材P 14例3 展示点评：如图，∠CAE 与∠DBE 分别在哪两个三角形中？(Rt △CAE 和Rt △DBE)与这两个角互余的分别是那两个角？(∠AEC 和∠BED)因此能得出∠CAE 与∠DBE 有什么关系？(相等)依据是什么？(等角的余角相等)解题过程见教材P 14页变式：如上图，若AD 平分∠CAB，BC 平分∠ABD，请求出∠CAD 的度数． 解：∵AD 平分∠CAB，BC 平分∠ABD∴∠CAD ＝∠BAD＝12∠CAB∠ABC ＝∠DBC＝12∠DBA又∵∠CAD＝∠DBC∴∠CAD ＝∠DAB＝∠ABC在Rt △ABC 中，∠CAB ＋∠ABC＝90° ∴∠CAD ＝30°小组讨论1：在直角三角形中两锐角互余在解题方面有哪些运用？反思小结：在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以根据直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角的度数，若已知两锐角的关系，也可以借助方程求出其内角的度数．针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 判定直角三角形的方法 活动三：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由．展示点评：是．因为在△ABC中，∠A＋∠C＝90°，那么∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝90°.所以△ABC是直角三角形．小组讨论：请用文字语言表述直角三角形新的判定方法？【反思归纳】有两个角互余的三角形是直角三角形．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．直角三角形的内角有什么关系？答：直角三角形的两锐角互余．2．目前已学的直角三角形的判定方法：答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余．五、达标检测，反思目标1．如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD的度数是：87°．,(第1题图)) ,(第2题图))2．如图，∠A＝32°，∠ADC＝110°，∠B＝52°，则△BEC是__直角__三角形．3．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，∠A＝30°，则∠B ＝__60__度，△ABC是__直角__三角形．4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是( A )A．15°B．25°C．30°D．10°5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E 处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )第4题图第5题图A．44° B．60° C．67° D．77°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，∠CDB＝∠B，求旋转角∠BCD的大小．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，∴∠B＝90°－α，∴∠CDB＝∠B＝90°－α，∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝2α，即旋转角的大小为2α.●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业课本P16～174、10.2．课后作业见《学生用书》．第3课时三角形的外角教学目标掌握三角形的外角的两个性质，能利用三角形的外角性质解决实际问题．教学重点三角形外角的性质，外角和定理．教学难点三角形外角的定义及定理的推理过程．教学设计(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．三角形三个内角的和等于多少度？2．在ABC中，(1)∠C＝90°，∠A＝30°，则∠B＝__60°__；(2)∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠B＝__65°__．3．如图，△ABC中，CD是BC边的延长线，∠A＝60°，∠B＝55°.(1)求∠ACD的度数．(115°)(2)∠ACD与∠A，∠B有什么大小关系？(∠ACD＝∠A＋∠B)二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一三角形的外角及相关结论活动一：阅读教材P14－15.思考：三角形的外角是如何定义的？一个三角形有几个外角？展示点评：学生独立写出证明过程，并说明证明的依据是：三角形内角和定理．小组讨论：三角形的一个外角与它相邻的内角有什么关系？与它不相邻的两个内角有什么关系？反思小结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二三角形外角结论的运用活动二：见教材P15例4展示点评：一个三角形有几个外角，每个顶点处的外角是什么关系？三角形的外角和是多少？如何证明你的结论．小组讨论：你有几种不同的证法？反思小结：三角形每个顶点处有两个外角，是对顶角．我们只研究其中的一个，三个外角和是360°.针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标三角形外角的定义，三角形外角的性质．五、达标检测，反思目标1．判断题：(1)三角形的外角和是指三角形所有外角的和．(×)(2)三角形的外角和等于它内角和的2倍．(√)(3)三角形的一个外角等于两个内角的和．(×)(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．(√)(5)三角形的一个外角大于任何一个内角．(×)(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角．(√)2．填空：(1)如图．∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__360°__.(2)五角星的五个角的和是__180°__．3．如图，图甲中的∠1＝69°，图乙中的∠2＝21°．4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AE是△ABC的外角的平分线，交BC的延长线于点E，且∠BAD＝20°，∠E＝50°，求∠ACD的度数．解：∵AD 平分∠BAC ，∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝40°， ∴∠CAF ＝180°－∠BAC ＝140°，∵AE 平分∠CAF ， ∴∠CAE ＝12∠CAF ＝70°，∴∠ACD ＝∠E ＋∠CAE ＝120° ●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业 课本P 17 5、6、7、11. 2．课后作业 见《学生用书》．。
人教版八年级数学11.2 和三角形有关的角(含答案 )
11.2 与三角形有关的角知识要点：1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒．（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2.直角三角形的性质与判定（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC∠=︒，则90∠+∠=︒．A B△中，90C（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3.三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．4.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．一、单选题1．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】D【解析】解：∵AB∵CD，∵∵A＝∵FDE＝45°，又∵∵C＝30°．∵∵1＝∵FDE﹣∵C＝45°﹣30°＝15°，故选：D．2．如图，直线a∠b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B解：由三角形的外角性质可得，∵3＝∵1+∵B＝65°，∵a∵b，∵DCB＝90°，∵∵2＝180°﹣∵3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．3．已知∠ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确的是（）A．0°＜∠B＜60°B．90°＜∠B＜150C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150°D．以上都不对【答案】D解：∵∵A+∵B+∵C＝180°，∵A＝30°，∵∵B+∵C＝150°，∵0°＜∵B＜150°，故选：D．4．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:4,则这个三角形是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A设三个内角度数分别为：x、3x、4x由三角形内角和定理得,x+3x+4x=180°解得, x=22.5°则3x=67.5°、4x=90°∵这个三角形是直角三角形故选：A5．在ABC △中，如果1126A B C ∠=∠=∠，则这个三角形一定是（ ）． A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 【答案】D∵在∵ABC 中，∵A ＝12∵B ＝16∵C ，∵A+∵B+∵C=180°， ∵16∵C+13∵C+∵C=180°， ∵∵C=120°，∵∵A=20°，∵B=40°，所以此三角形是钝角三角形．故选：D ．6．如图，在∠ABC 中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BPC=（ ）A ．102°B ．112°C ．115°D ．118°【答案】D 解：∵在∵ABC 中，∵BAC=56°，∵ABC=74°，∵∵ACB=180°-∵BAC -∵ABC=50°，∵BP、CP分别平分∵ABC和∵ACB，∵∵PBC=37°，∵PCB=25°，∵∵BCP中，∵P=180°-∵PBC-∵PCB=118°，故选：D.7．如图，小丽画了一个三角形，不小心被墨水污染了，只剩下一个角（锐角）. 小丽画的三角形可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D∵此三角形只知道一个角为锐角，其它角可能有钝角或直角也可能是都是锐角，∵三角形可能为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有可能．故选：D．8．如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．105°B．120°C．110°D．115°【答案】D由三角形的外角的性质可知：∵ADB=∵B+∵C=45°+38°=83°，∵DFE=∵ADB+∵A=83°+32°=115°，故选D．9．如图，把∠ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B解：∵把∵ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∵∵1＋∵2＝180°−∵ADA′＋180°−∵AEA′＝180°−2∵ADE＋180°−2∵AED＝360°−2（∵ADE＋∵AED）＝360°−2（180°−∵A）＝2∵A．故选：B．10．∠ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝（）A．50°B．60°C．70°D．90°【答案】C解：∵C＝180°-50°-60°=70°，故选：C.11．如图，已知AB∠DE，∠ABC=75°，∠CDE=155°，则∠BCD的值为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】A解：延长ED交BC于F，如图所示：∵AB∵DE，∵ABC=75°，∵∵MFC=∵B=75°，∵∵CDE=155°，∵∵FDC=180°-155°=25°，∵∵C=∵MFC-∵MDC=75°-25°=50°，故选：A．12．已知直线l1∠l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝22°，则∠2等于()A．30°B．38°C．28°D．48°【答案】B解：∵∵3是∵ADG 的外角，∵∵3=∵A+∵1=30°+22°=52°，∵l 1∵l 2，∵∵3=∵4=52°，∵∵4+∵EFC=90°，∵∵EFC=90°-52°=38°，∵∵2=38°．故选：B ．二、填空题13．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞解：根据三角形的外角的性质得，∵2＞∵1，∵1＞∵A∵∵2＞∵1＞∵A ，故答案为：∵2＞∵1＞∵A ．14．在∠ABC 中，∠B ＝40°，过点A 的直线将这个三角形分成两个等腰三角形，则∠C 的度数为______________．【答案】20°或50°或80°解：应分四种情况进行讨论：当AD＝AC，AD＝BD时，如图∵所示，∵BAD＝∵B＝40°，∵C＝∵ADC.∵∵BAD＋∵B＋∵ADB＝180°，∵∵ADB＝180°－2×40°＝100°，∵∵ADC＝180°－∵ADB＝80°，∵∵C＝80°；当AC＝DC，BD＝AD时，如图∵所示，∵DAC＝∵ADC＝180°－∵ADB＝∵B＋∵BAD＝80°，∵∵C＝180°－∵ADC－∵DAC＝20°；当AD＝DC，AB＝AD时，如图∵所示，∵C＝∵DAC，∵ADB＝∵B＝40°.∵∵ADC＝180°－∵ADB＝140°，∵∵C＝12(180°－∵ADC)＝20°；当AD＝BD，AD＝CD时，如图∵所示，∵BAD＝∵B＝40°，∵ADC＝180°－∵ADB＝∵B＋∵BAD＝80°，∵C＝∵DAC＝12(180°－∵ADC)＝12×(180°－80°)＝50°.综上所述，∵C的度数为80°或20°或50°.15．如图,在∠ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A= 050，则∠BPC=_______.【答案】130°∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∵∵BDC=∵AEB=90°，∵∵ABE=90°-50°=40°，∵∵BPC=∵ABE+∵BDP=40°+90°=130°．故答案为：130°．16．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1=_____°.【答案】165°如图，根据题意知∵2=45°，∵3=60°，∵∵4=360°-90°-∵2-∵3=165°，∵∵1=∵4=165°17．如图所示,∠1=50°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________【答案】260°.解：如图，∵D+∵F=∵2，∵A+∵E=∵3，∵∵A+∵D+∵E+∵F=∵2+∵3，∵∵1=50°，∵∵2+∵3=180°-50°=130°，∵4=50°，∵∵B+∵C=180°-50°=130°，∵∵A+∵B+∵C+∵D+∵E+∵F=260°.故答案为260°.18．已知∠A与∠B的两边一边平行，另一边垂直，∠A=x°，那么∠B等于_____．【答案】（90－x）°或（90+x）°．如图，∵DF∵AM，∵∵BDC=∵A=x．∵BC∵AN，∵∵BCA=90°，∵∵EBF=∵DBC=90°－∵BDC=90°－x°，∵FBC=90°+∵BDC=90°+x°．故答案为：（90－x）°或（90+x）°．19．一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∠CD．则∠1＋∠2＝__________．【答案】75°解：连接AC，∵AB∵CD，∵∵BAC+∵ACD=180°，∵∵BAG=30°，∵ECD=60°，∵∵EAC+∵ACE=180°-30°-60°=90°，∵∵CED=60°，∵∵GEF=180°-90°-60°=30°，同理∵EGF=180°-∵1-90°=90°-∵1，∵GFE=180°-45°-∵2=135°-∵2，∵∵GEF+∵EGF+∵GFE=180°，即30°+90°-∵1+135°-∵2=180°，解得∵1+∵2=75°．故答案为：75°．三、解答题20．如图，在∠ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.【答案】20°解：设∵1=∵2=x，则∵3=∵4=2x因为∵BAC=60°所以∵2 +∵4=120°即x+2x=120°所以x=40°所以∵3=∵4=80°，∵DAC=180°-∵3-∵4=20°21．如图，在∠ABC中，AD∠BC于点D，BE是∠ABC的平分线，已知∠ABC=040，求∠AOB 的度数。
人教版初中八年级上册数学第十一章《与三角形有关的角》精品教案
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形. 注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直 接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
新知探究 跟踪训练
1、如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
北
=180°-60°-30°
D
=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A， A B两岛的视角∠ACB是90度.
北 CE
B
新知探究 跟踪训练
1、如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，
新知探究
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°. 证明：过点A作直线l，使得l//BC.
A
23
l
1
∵l//BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）. B
C
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）. 则∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
BD
C
∴△ABC是直角三角形.
本题源自《教材帮》
随堂练习 3
如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：
∵AB//CD， ∴∠1+45°+∠2+45°=（180°）. ∴∠1+∠2=（ 90° ）. ∴∠E=（ 90° ）. ∴△AEC是（ 直角三角形 ）.
人教版八年级上册数学 11.2.1 三角形的内角优质教案
看。
用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路：同学们
动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点
处，你有哪些方法？你发现了什么？
从拼图活动中发
展学思维的灵活
性，创造性
实践说理 深入新知
问题：
由刚才拼合而成的图形，你能想出说明“三角形内
角和等于 180 度"这个结论的正确方法吗？
证明：试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的
高，求∠DBC 的度数。
提高学生的说理
能力。
小结与作业
采用让学生归纳、补充，然后教师补充的方式进行。 发挥学生主体意
1.本节课我们学了什么知识？
识，培养学生语
2.你有什么收获？
言概括能力。
1、 必做题： 2、 选做题：
作业分层，供 不同层次的学生 使用
观 三角形的内角和定理及其运用
教学难点
三角形内角和定理的推理过程
教学准备
三尺、小剪刀、量角器。
教学过程（师生活动）
设计理念
我们都知道，任意一个三角形的内角和都等于 180°， 情境教学对激发
动手操作 怎么说明这个结论的正确性呢？
学生的学习兴趣
初步感知 在纸上画一个三角形将将它的内角剪下，试着拼拼 有很大的作用。
内角和等于 180°的？
如图⑴ 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：延长 BC 到 D,过点 C 作 CE∥AB .
∵CE∥AB
(已知)
在说理过程 中， 更加深刻地理解 多种拼图方法， 创设不同说理方 法的表达情境。
∴∠2＝∠B （两直线平行，同位角相等）
∠1＝∠A （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1＋∠2＋∠3＝180° （平角定义） ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
人教版数学八年级上册《11.2.2三角形的外角》教学设计1
人教版数学八年级上册《11.2.2三角形的外角》教学设计1一. 教材分析人教版数学八年级上册《11.2.2三角形的外角》是初中数学的重要内容，主要让学生了解三角形的外角的定义、性质和应用。
通过学习三角形的外角，能够帮助学生更好地理解三角形的结构特征，提高解决几何问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行线的性质、四边形的性质等基础知识，同时也具备了一定的观察、操作、推理的能力。
但是，对于三角形的外角的定义和性质，以及如何应用外角解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
三. 教学目标1.理解三角形的外角的定义，掌握外角的性质。
2.学会用三角形的内角和外角解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.三角形的外角的定义和性质。
2.如何利用三角形的外角解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生观察、操作、推理，从而掌握三角形的外角的定义、性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
3.准备练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如自行车轮子、自行车转弯等，引导学生观察并思考：为什么自行车在转弯时不会碰到障碍物？从而引出三角形的外角的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示三角形的外角的定义和性质，让学生直观地了解外角的特点。
同时，结合具体的案例，让学生学会如何利用外角解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个案例，运用三角形的外角性质解决问题。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
同时，教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：三角形的外角还有哪些应用场景？如何在生活中发现和利用外角？从而提高学生的观察能力和应用能力。
11.2与三角形有关的角 教案-人教版八年级数学上册
11.2 与三角形有关的角教案-人教版八年级数学上册一、教学目标1.理解三角形的内角和为180度的性质。
2.掌握三角形内角与其它角的关系：互补角、平行线与三角形的内角、三角形内角与它们对应的其他角的关系。
3.能够运用所学知识解决与三角形内角有关的综合性问题。
二、教学重点1.三角形的内角和为180度的性质。
2.三角形内角与互补角、平行线、它们对应的其他角的关系。
三、教学难点1.运用所学知识解决与三角形内角有关的综合性问题。
四、教学过程第一步、导入新知1.提出问题：三角形的内角和为多少度？2.学生回答问题并引导他们发现三角形的内角和等于180度。
第二步、新知讲解1.根据学生发现的规律，说明三角形的内角和等于180度。
2.引入互补角的概念，解释互补角的定义和性质。
3.结合互补角的概念，引入平行线与三角形的内角的关系，并给出相关的定理和推论。
4.引入三角形内角和它们对应的其他角的关系，解释对应角的概念，并给出相关的定理和推论。
第三步、例题演练1.结合所学知识，给出一些例题进行讲解和演练。
2.提示学生从图形中找出三角形内角、互补角、平行线等，并运用相关知识进行推理和计算。
第四步、小结归纳1.总结三角形的内角和为180度的性质。
2.归纳互补角、平行线与三角形内角、三角形内角与其他角的关系。
第五步、拓展练习1.提供一些综合性的问题进行拓展练习。
2.鼓励学生独立思考，运用所学知识解决问题，并给予必要的指导和帮助。
第六步、课堂反馈1.提问学生针对所学内容进行回答。
2.针对学生的答案进行讨论和解答，澄清他们的疑惑和误区。
五、课堂作业1.完成课堂上的例题和拓展练习。
2.预习下一节课的内容。
六、教学反思本节课主要讲解了三角形的内角和为180度的性质，以及三角形内角与互补角、平行线、它们对应的其他角的关系。
通过提问、讲解、例题演练等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关知识。
在拓展练习环节，学生能够灵活运用所学知识解决问题，表现出较好的发散思维能力。
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§11.2.1三角形的内角
[教学目标]
〔知识与技能〕
掌握三角形内角和定理.
〔过程与方法〕
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
〔情感、态度与价值观〕
体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点.
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.[投影1]
图1
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.
图2
②把B
∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠∠和C
ACB=1800.
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明一
过点C作C M∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800.
即：三角形的内角和等于1800.
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程.
三、例题
例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A
岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从
C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可.
∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900.
四、课堂练习
课本13頁1、2题.
五作业：
16页：1、3、4；
六、教学反思：教学重、难点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程.
本节课教学设计符合新课程理念，转变学生的学习方式，能让学生以小组合作的形式进行问题的探索与研究，学生在整节课中学得轻
松.整节课的教学设计，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃，教学一开始从学生熟悉的三角板抽象出特殊的三角形探讨三角形的内角和是180°,接下来很自然地引导学生探讨所有的三角形的内角和是不是也是180，过渡自然且有吸引力.
§11.2.2三角形的外角
[教学目标]
〔知识与技能〕
理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.
〔过程与方法〕
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
〔情感、态度与价值观〕
体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点.
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800.
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角.也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
想一想，三角形的外角共有几个？
共有六个.
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，
那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵C E∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
即A
>
ACD∠
∠.
>
ACD∠
∠，B
四、例题
〔投影3〕例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600.
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600.
五、课堂练习
课本15頁练习；
六、课堂小结
1、什么是三角形外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
七、作业：
课本17页5、6；
八、教学反思：把复杂的数学知识直观形象的让学生自己探索得出，这种讲课思路值得我们借鉴，新课程倡导教师用教材而不是简单的教教材，教师要创造性地使用教材，要融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重新组和，选取更好的事例对教材深加工，设计出活生生的、丰富多彩的课来，充分有效的将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识，所以我们可结合学生实际适当改变例题，充分发掘教材中的情感因素，化生为熟化难为易化理为趣增强数学的魅力，激起学生学习的信心和兴趣，形成课堂教与学的合力，我们要让学生感悟数学，真正成为学习的主人，教师要做好学生学习道路上的引路人.。