贝努力不等式在中学数学中的应用
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5教学案：第三章 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
[对应学生用书P43][读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n >1＋nx .[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n 可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n 改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x )α≥1＋αx (x >－1)． (2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x )α≤1＋αx (x >－1)．[对应学生用书P43][例1] 求证：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2>1(n ≥2，n ∈N ＋)．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n 的取值范围，因为n ≥2，n ∈N ＋，因此应验证n 0＝2时不等式成立．[精解详析] (1)当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312>1.∴n ＝2时不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N )时，不等式成立，即 1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1，那么n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1(k ＋1)＋1＋…＋1(k ＋1)2－1＋1(k ＋1)2 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋＋1(k ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1(k ＋1)2－1k >1＋2k ＋1(k ＋1)2－1k ＝1＋k 2－k －1k (k ＋1)2，∵k ≥2，∴⎝⎛⎭⎫k －122≥94. ∴k 2－k －1＝⎝⎛⎭⎫k －122－54≥1>0. ∴k 2－k －1k (k ＋1)2>0. ∴1k ＋1＋1(k ＋1)＋1＋…＋1(k ＋1)2>1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切的n ≥2，且n ∈N ＋，此不等式都成立．利用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“1k 2＋1>1(k ＋1)2，…，1k 2＋2k >1(k ＋1)2”的放缩变形．1．证明不等式： 1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即 1＋12＋13＋…＋1k<2k . ∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2 k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1， 现在只需证明2k (k ＋1)＋1k ＋1<2k ＋1，即证：2k (k ＋1)<2k ＋1，两边平方，整理：0<1，显然成立． ∴2k (k ＋1)＋1k ＋1<2k ＋1成立．即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1成立．∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n 原不等式都成立.[例2] 设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特值，猜想P n 与Q n的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[精解详析] (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n . (2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n >Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3<0，所以P 3<Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )<0，所以P 4<Q 4. 假设P k <Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k <(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3<Q k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n <Q n .(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．(2)本题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用．2．已知数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)(n ∈N ＋)．若函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)<1，证明：对任意n ∈N ＋，a n ＋1<a n .证明：因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n )．下面用数学归纳法证明a n ＋1<a n (n ∈N ＋)． (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)<1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)<1， b 2＝f (a 1)<f (1)<1， a 2＝f (b 2)<f (1)＝a 1， 即a 2<a 1，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1<a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)<f (a k )，即b k ＋2<b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)<f (b k ＋1)，即a k ＋2<a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1<a n .[例3] 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根据n 的取值，猜想出a 的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明．[精解详析] 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24， 即2624>a24， ∴a <26，而a ∈N ＋，∴取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)n ＝1时，已证．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1).∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)， ∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立．由(1)、(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，∴a 的最大值为25.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．3．对于一切正整数n ，先猜出使t n >n 2成立的最小的正整数t ，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n (n ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·n )．解：猜想当t ＝3时，对一切正整数n 使3n >n 2成立．下面用数学归纳法进行证明． 当n ＝1时，31＝3>1＝12，命题成立． 假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，3k >k 2成立， 则有3k ≥k 2＋1.对n ＝k ＋1,3k ＋1＝3·3k ＝3k ＋2·3k≥k 2＋2(k 2＋1)>3k 2＋1. ∵(3k 2＋1)－(k ＋1)2 ＝2k 2－2k ＝2k (k －1)≥0，∴3k ＋1>(k ＋1)2，∴对n ＝k ＋1，命题成立．由上知，当t ＝3时，对一切n ∈N ＋，命题都成立． 再用数学归纳法证明： n (n ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·n )．当n ＝1时，1·(1＋1)·lg 34＝lg 32>0＝lg 1，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， k (k ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·k )成立．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)·lg 34＝k (k ＋1)·lg 34＋2(k ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·k )＋12lg 3k ＋1>lg(1·2·3·…·k )＋12lg(k ＋1)2＝lg [1·2·3·…·k ·(k ＋1)]．命题成立． 由上可知，对一切正整数n ，命题成立．[对应学生用书P45]一、选择题1．对于一切正整数n ，下列说法不正确的是( ) A ．3n ≥1＋2n B ．0.9n ≥1－0.1n C ．0.9n <1－0.1nD ．0.1n ≥1－0.9n解析：由贝努利不等式(1＋x )n ≥1＋nx (x ∈N ＋，x >－1)，∴当x ＝2时，(1＋2)n ≥1＋2n ，故A 正确．当x ＝－0.1时，(1－0.1)n ≥1－0.1n ，B 正确，C 不正确． 当x ＝－0.9时，(1－0.9)n ≥1－0.9n ，D 正确． 答案：C2．在用数学归纳法证明f (n )＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n <1(n ∈N ＋，n ≥3)的过程中：假设当n＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时，不等式f (k )<1成立，则需证当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)<1也成立．若f (k ＋1)＝f (k )＋g (k )，则g (k )＝( )A ．12k ＋1＋12k ＋2B ．12k ＋1＋12k ＋2－1kC ．12k ＋2－1kD ．12k ＋2－12k解析：∵f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k，∴f (k ＋1)－f (k )＝－1k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴g (k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k .故选B.答案：B3．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：∵在上面的证明中，当n ＝k ＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n ＝k 时的结论，这样就失去假设当n ＝k 时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法．∴A 、B 、C 都不对，选D.答案：D4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项D ．2k 项解析：根据题意可知：1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k ＋1－1，所以共增加2k 项． 答案：D 二、填空题5．证明n ＋22<1＋12＋13＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，要证明的式子为________．解析：当n ＝2时，要证明的式子为 2<1＋12＋13＋14<3.答案：2<1＋12＋13＋14<36．用数学归纳法证明：当n ∈N ＋，1＋2＋22＋23＋ (25)－1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k 到k ＋1时需增添的项是________．解析：当n ＝1时，原式为1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24.从k 到k ＋1时需增添的项是 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4.答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋47．利用数学归纳法证明“3×5×…×(2n －1)2×4×…×(2n －2)<2n －1”时，n 的最小取值n 0应为________．解析：n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32<3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.答案：28．设a 0为常数，且a n ＝3n －1－2a n －1(n ∈N ＋)，若对一切n ∈N ＋，有a n >a n －1，则a 0的取值范围是________．解析：取n ＝1,2，则a 1－a 0＝1－3a 0>0，a 2－a 1＝6a 0>0，∴0<a 0<13.答案：⎝⎛⎭⎫0，13 三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n ≥2时均成立．10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 解：当n ＝1、n ＝2、n ＝3时都有2n ＋2>n 2成立，所以归纳猜想2n ＋2>n 2成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2. 那么n ＝k ＋1时2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2·k 2－2又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．根据①和②可知，2n ＋2>n 2对于任何n ∈N ＋都成立．11．已知等比数列{a n }的首项a 1＝2，公比q ＝3，S n 是它的前n 项和．求证：S n ＋1S n ≤3n ＋1n .证明：由已知，得S n ＝3n －1， S n ＋1S n ≤3n ＋1n 等价于3n ＋1－13n －1≤3n ＋1n ， 即3n ≥2n ＋1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立． ①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立． ②假设当n ＝k 时，(*)成立，即3k ≥2k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k ≥3(2k ＋1)＝6k ＋3≥2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*)成立． 综合①②，得3n ≥2n ＋1成立． 所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n.法二：当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．当n ≥2时，3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ×2＋C 2n ×22＋…＋C n n ×2n＝1＋2n ＋…>1＋2n ，所以(*)成立．所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n .。
高中数学人教B版选修4-5教师用书：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式 Word版含解析
3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件.[基础·初探]教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.2.定理2(选学)设α为有理数，x>－1，(1)如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；(2)如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.事实上，当α是实数时，也是成立的.，则2n与n的大小关系是()设n∈N＋A.2n>nB.2n<nC.2n ＝nD.不确定【解析】2n ＝(1＋1)n ，根据贝努利不等式有(1＋1)n ≥1＋n ×1＝1＋n ，上式右边舍去1，得(1＋1)n >n ，即2n >n .【答案】A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N＋).【精彩点拨】求S n 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推.【自主解答】(1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2. 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1.若在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜想：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立. ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2，则f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立.据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.设P n ＝(1＋x )n，Q n ＝1＋nx ＋2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明.【导学号：38000059】【精彩点拨】本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特殊值，猜想P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】(1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n . (2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类). ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4. 假设P k ＜Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立. 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1.利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.本题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用.[再练一题]2.已知数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)(n ∈N ＋)，若函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【证明】因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1) ＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n ).下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋). (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1， 即a 2＜a 1，结论成立.(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎭⎪⎫1＋1n n +1，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .【精彩点拨】用求商比较法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式. 【自主解答】 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立. ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，….由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2，因此，根据贝努利不等式， 有a na n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1.∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立.本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.[再练一题]3.设a 为有理数，x >－1.如果0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立.【证明】 0<a <1，令a ＝mn ，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，则由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )mn＝≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋m n x ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立.[探究共研型]探究【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标.而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1k(k－1)，1k2＞1k(k＋1)，1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1(k∈R，k＞1)等.证明：2n＋2>n2(n∈N＋).【精彩点拨】验证n＝1，2，3时不等式成立⇒假设n＝k成立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证【自主解答】(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.因此当n＝1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2>k2(k∈N＋).当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.(因为k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.1.本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累.[再练一题]4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.【证明】(1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立.(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，则当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.探究2【提示】利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时.若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.【导学号：38000060】【精彩点拨】先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24，则2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)n ＝1时，已证.(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， ∴a 的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.本题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚.[再练一题]5.设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论.【解】假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2；当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1， ∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜想g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋). 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立. (1)当n ＝2时，a 1＝1， g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1， 结论成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立， 那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k ＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立.[构建·体系]1.用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A.7B.8C.9D.10【解析】左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B. 【答案】B2.用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设n ＝k 时命题成立B.假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C.假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D.假设n ＝k (k >5)时命题成立【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋， 故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立. 【答案】 C3.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )【导学号：38000061】A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12k ＋2C.增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对 【解析】∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】C4.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为________.【解析】当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立. 【答案】21＋1≥12＋1＋2 5.试证明：1＋12＋13＋…＋1n <2n (n ∈N ＋). 【证明】(1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k<2k . 那么n ＝k ＋1时， ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对n∈N＋成立.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高三数学数学归纳法与贝努利不等式知识点分析人教新课标A版
数学归纳法与贝努利不等式目标认知学习目标：1、借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题.2、理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式。
3、了解贝努利不等式，会利用数学归纳法明贝努利不等式．重点难点：1、学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.知识要点梳理知识点一：归纳法由一系列事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得到一般结论的推理方法，不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的.但它是一种重要的思考问题的方法，是打开数学之门的钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。
用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了事物的所有情况后得出的一般结论的推理方法，又叫枚举法.这时得到的结论是可靠的.知识点二：数学归纳法由归纳法得到的某些与自然数有关的命题，常常用数学归纳法来证明它的正确性。
1、用数学归纳法进行证明的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立；（3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立。
注意：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性. 证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；（2）在第二步中，在递推之前，时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对的正确性可以传递到时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立.在这一步中，时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将代入命题.2、数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般适用于证明某些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题.但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明.3、用数学归纳法证题的类型：①用数学归纳法证明恒等式；②用数学归纳法证明整除性问题；③用数学归纳法证明几何问题；④用数学归纳法证明不等式.4、利用数学归纳法证明问题时，要注意：（1）初始值的选取；根据题目不同，初始值不一定从开始.如，证明不等式，初始值应从开始.（2）在由假设时成立，证明时，要灵活应用归纳假设.此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等.知识点三：贝努利不等式定理（贝努利（Bernoulli）不等式）：设实数为大于1的自然数，则证明：用数学归纳法（1）当n＝2时，∵，∴左边＝＝右边，∴命题成立。
修改名词：伯努利不等式的基本概念和应用
修改名词：伯努利不等式的基本概念和应用引言伯努利不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍伯努利不等式的基本概念以及其在实际应用中的具体场景。
伯努利不等式的基本概念伯努利不等式是数学不等式中的一种，它描述了实数幂函数的不等关系。
伯努利不等式的一般形式如下：设实数a>1，整数n≥1，则对于任意实数x，有如下不等式成立：(1+x)^n ≥ 1+nx其中，(1+x)^n表示x+1的n次幂。
伯努利不等式的应用伯努利不等式在实际应用中有着广泛的应用场景，以下是一些例子：1. 金融领域在金融领域中，利息的计算经常会涉及到伯努利不等式。
例如，假设有一笔本金为P的投资，年利率为r，投资期限为t年。
根据伯努利不等式，我们可以得出以下结论：投资t年后的本金B满足不等式B ≥ P(1+r)^t。
这个不等式可以帮助我们评估投资的增长情况。
2. 物理学领域在物理学中，伯努利不等式被广泛应用于气体动力学和流体力学的分析。
伯努利不等式可以描述流体在静态和动态环境中的运动情况。
应用伯努利不等式可以帮助我们理解流体的压力变化、速度变化等。
3. 经济学领域在经济学中，伯努利不等式可以应用于风险评估和决策分析。
伯努利不等式的基本原理可以帮助我们评估不同决策所带来的不同结果的概率，从而做出合理的决策。
结论伯努利不等式是数学中的一个重要概念，其基本概念以及应用场景都值得深入研究和探索。
具备对伯努利不等式的理解，可以帮助我们在各个领域的实际问题中做出更准确的判断和决策。
以上是对伯努利不等式的基本概念和应用的简要介绍。
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部编版2020学年高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式[对应学生用书P43][读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n>1＋nx .[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n 可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n 改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x )α≥1＋αx (x >－1)． (2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x )α≤1＋αx (x >－1)．[对应学生用书P43]利用数学归纳法证明不等式[例1] 求证：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2>1(n ≥2，n ∈N ＋)．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n 的取值范围，因为n ≥2，n ∈N ＋，因此应验证n 0＝2时不等式成立．[精解详析] (1)当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312>1.∴n ＝2时不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N )时，不等式成立，即 1k＋1k ＋1＋1k ＋2＋ (1)2>1，那么n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1k ＋1＋1＋…＋1k ＋12－1＋1k ＋12＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋2211···12k k k k ++++2144424443项＋1k ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1k ＋12－1k >1＋2k ＋1k ＋12－1k＝1＋k 2－k －1k k ＋12， ∵k ≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122≥94.∴k 2－k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122－54≥1>0.∴k 2－k －1k k ＋12>0. ∴1k ＋1＋1k ＋1＋1＋…＋1k ＋12>1.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切的n ≥2，且n ∈N ＋，此不等式都成立．利用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“1k 2＋1>1k ＋12，…，1k 2＋2k>1k ＋12”的放缩变形．1．证明不等式： 1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即 1＋12＋13＋…＋1k<2k . ∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1<2 k ＋1k ＋1＝2kk ＋1＋1k ＋1，现在只需证明2kk ＋1＋1k ＋1<2k ＋1，即证：2k k ＋1<2k ＋1，两边平方，整理：0<1，显然成立． ∴2kk ＋1＋1k ＋1<2k ＋1成立．即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n 原不等式都成立.利用数学归纳法比较大小[例2] 设P n ＝(1＋x )n，Q n ＝1＋nx ＋n n －12x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特值，猜想P n 与Q n的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[精解详析] (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n . (2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n >Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3<0，所以P 3<Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )<0，所以P 4<Q 4.假设P k <Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k <(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k k －1x 22＋x ＋kx 2＋k k －1x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k k ＋12x 2＋k k －12x 3＝Q k ＋1＋k k －12x 3<Q k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n <Q n .(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．(2)本题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用．2．已知数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n＋1)(n ∈N ＋)．若函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)<1，证明：对任意n ∈N ＋，a n ＋1<a n .证明：因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n )． 下面用数学归纳法证明a n ＋1<a n (n ∈N ＋)． (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)<1，得a 1＝f (b 1)＝f (1)<1， b 2＝f (a 1)<f (1)<1， a 2＝f (b 2)<f (1)＝a 1，即a 2<a 1，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1<a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)<f (a k )，即b k ＋2<b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)<f (b k ＋1)，即a k ＋2<a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1<a n .利用数学归纳法解决探索型不等式[例3] 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根据n 的取值，猜想出a 的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明．[精解详析] 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24，即2624>a 24，∴a <26，而a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1. ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6k ＋19k 2＋18k ＋8>23k ＋1， ∴13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1>0， ∴1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋1＋1>2524也成立．由(1)、(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，∴a 的最大值为25.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．3．对于一切正整数n ，先猜出使t n >n 2成立的最小的正整数t ，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n (n ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·n )． 解：猜想当t ＝3时，对一切正整数n 使3n>n 2成立．下面用数学归纳法进行证明． 当n ＝1时，31＝3>1＝12，命题成立． 假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，3k >k 2成立， 则有3k≥k 2＋1.对n ＝k ＋1,3k ＋1＝3·3k ＝3k ＋2·3k≥k 2＋2(k 2＋1)>3k 2＋1. ∵(3k 2＋1)－(k ＋1)2＝2k 2－2k ＝2k (k －1)≥0， ∴3k ＋1>(k ＋1)2，∴对n ＝k ＋1，命题成立．由上知，当t ＝3时，对一切n ∈N ＋，命题都成立． 再用数学归纳法证明：n (n ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·n )． 当n ＝1时，1·(1＋1)·lg 34＝lg 32>0＝lg 1，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，k (k ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·k )成立． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)·lg 34＝k (k ＋1)·lg 34＋2(k ＋1)·lg 34>lg(1·2·3·…·k )＋12lg 3k ＋1>lg(1·2·3·…·k )＋12lg(k ＋1)2＝lg[1·2·3·…·k ·(k ＋1)]．命题成立． 由上可知，对一切正整数n ，命题成立．[对应学生用书P45]一、选择题1．对于一切正整数n ，下列说法不正确的是( ) A ．3n≥1＋2n B ．0.9n≥1－0.1n C ．0.9n <1－0.1nD ．0.1n≥1－0.9n解析：由贝努利不等式(1＋x )n≥1＋nx (x ∈N ＋，x >－1)，∴当x ＝2时，(1＋2)n≥1＋2n ，故A 正确．当x ＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n ，B 正确，C 不正确． 当x ＝－0.9时，(1－0.9)n ≥1－0.9n ，D 正确． 答案：C2．在用数学归纳法证明f (n )＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n <1(n ∈N ＋，n ≥3)的过程中：假设当n＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时，不等式f (k )<1成立，则需证当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)<1也成立．若f (k ＋1)＝f (k )＋g (k )，则g (k )＝( )A ．12k ＋1＋12k ＋2 B ．12k ＋1＋12k ＋2－1k C ．12k ＋2－1kD ．12k ＋2－12k解析：∵f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k，∴f (k ＋1)－f (k )＝－1k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴g (k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k .故选B.答案：B3．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：∵在上面的证明中，当n ＝k ＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n ＝k 时的结论，这样就失去假设当n ＝k 时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法．∴A 、B 、C 都不对，选D.答案：D4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：根据题意可知：1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋12k＋2＋…＋12k ＋1－1，所以共增加2k项．答案：D 二、填空题 5．证明n ＋22<1＋12＋13＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，要证明的式子为________． 解析：当n ＝2时，要证明的式子为 2<1＋12＋13＋14<3.答案：2<1＋12＋13＋14<36．用数学归纳法证明：当n ∈N ＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k 到k ＋1时需增添的项是________．解析：当n ＝1时， 原式为1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24.从k 到k ＋1时需增添的项是 25k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋47．利用数学归纳法证明“3×5×…×2n －12×4×…×2n －2<2n －1”时，n 的最小取值n 0应为________．解析：n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32<3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.答案：28．设a 0为常数，且a n ＝3n －1－2a n －1(n ∈N ＋)，若对一切n ∈N ＋，有a n >a n －1，则a 0的取值范围是________．解析：取n ＝1,2，则a 1－a 0＝1－3a 0>0，a 2－a 1＝6a 0>0，∴0<a 0<13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ，当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<2－1k＋1k ＋12<2－1k ＋1kk ＋1＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n ≥2时均成立．10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 解：当n ＝1、n ＝2、n ＝3时都有2n ＋2>n 2成立，所以归纳猜想2n ＋2>n 2成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即2k＋2>k 2. 那么n ＝k ＋1时 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2·k 2－2又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．根据①和②可知，2n＋2>n 2对于任何n ∈N ＋都成立．11．已知等比数列{a n }的首项a 1＝2，公比q ＝3，S n 是它的前n 项和．求证：S n ＋1S n ≤3n ＋1n.证明：由已知，得S n ＝3n－1，S n ＋1S n ≤3n ＋1n 等价于3n ＋1－13n －1≤3n ＋1n， 即3n≥2n ＋1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立． ①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立． ②假设当n ＝k 时，(*)成立，即3k≥2k ＋1， 那么当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k≥3(2k ＋1)＝6k ＋3≥2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*)成立． 综合①②，得3n≥2n ＋1成立． 所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n. 法二：当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．当n ≥2时，3n＝(1＋2)n＝C 0n ＋C 1n ×2＋C 2n ×22＋…＋C n n ×2n＝1＋2n ＋…>1＋2n ，所以(*)成立．所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n.。
北师大版高中数学选修4-5 2.3数学归纳法与贝努利不等式_教案
数学归纳法与贝努力不等式 【教学目标】1．亲历数学归纳法的探索过程，体验分析归纳得出数学归纳法的应用方法及贝努力不等式，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握数学归纳法的原理。
3．熟练运用数学归纳法和贝努力不等式证明问题。
【教学重难点】重点：掌握数学归纳法。
难点：熟练运用数学归纳法和贝努力不等式证明问题。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习数学归纳法与贝努力不等式，这节课的主要内容有数学归纳法原理，数学归纳法的应用，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解数学归纳法的内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习数学归纳法的原理，它的具体内容是：数学归纳法的原理是设有一个关于正整数n 的命题，若当n 取第1个值0n 时该命题成立，又在假设当n 取第k 个值时该命题成立后可以退出n 取第1k +个值时，该命题成立，该命题对一切自然数0n n ≥都成立。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：用数学归纳法证明：()()24621.n n n n +++++=+∈N证明：（1）当1n =时，左边＝1，右边＝2，等式成立。
（2）设n k =时等式成立，即()24621k k k ++++=+那么，当1n k =+时，()246221k k k ++++++ ()()121k k k k =+++()()12k k =++()()111k k =+++⎡⎤⎣⎦所以1n k =+时等式也成立。
由（1）和）（2）可知，等式对于任何正整数n 都成立。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：用数学归纳法证明： ()()()22221211+2+3++6n n n n n +++=∈N 证明：分别把1n n k ==，代入计算等式两边，根据例题方法证明等式成立。
（3）接着，我们再来看下数学归纳法的应用的内容，它的具体内容是： 定理：（贝努力不等式）对于任何实数1x ≥-和任何正整数n ，有()11nx nx +≥+ 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用
当ｘ ０ １ ｘ １ ＞ 时，＋ ＞ ， 因 １ ｘ“ 一 ＞ ， ‘ ＞． ） ， １ ０则ｆ （） ０ 此（＋ 一 二
表明ｆｘ在（， ０ 是增函数 ． ０ 十 ） （） 因此函数ｆ） ｘ在ｘ ０ （ 二 处有极小值也即最小值．
又ｆ劝ｍ ｆ ） ０ 因此在ｘ １ 二 ０ 二 ， （ ｉ（ 。 ＞一 时，
几 １
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１ 、＋ ， 。：
目 我国正在颁布实施新课标， 前， 并在部分省
市进行教材改革， 我省的新教材中加进了有关伯努
＝ 共导 哄 仁 粤 Ｊ 一
几又 ＋乙） 几
几 ＋乙
力不等式的相关知识， 笔者就此抛砖引玉， 以供读
者参考 ．
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ｘ ０则１ ｘ １ 由 笋 ， ＋ 务 ． 等比 数列求和公式得
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总有（ ＋ 〕１ 二成立． ” ＋ １ｘ ）
３ 构造数列结合放缩法 证明 由已知当 ｎ １ ｘ ０时， 二 或 二 不等式显然
当ｎ ２ 有（ ＋ ）＝ ＋ ｘ ｘ〕１ Ｚ 不 二 时， １ ｘ２ １ Ｚ ＋ Ｚ ＋ ｘ
等式成立 ．
假设当ｎ 时， ｋ 不等式成立， 二
成立， ） 时， 当ｎ ２
下面分别就 Ｅ（ １０ ｘ 一 ， 和 ｘ ０ 十０） ） 二（ ， ０ 进行
证明 ．
即（ ＋ ） １ 际 ） ＋ ． １ ｘ‘ 那么当ｎ ＋ 时， ｋ １ ＝ 左边（＋ “ ＝ １ ｘ介 ＋ ） ） ’ （ ＋ ） １ ｘ． １ｘ （
高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式课件北师大版选修4_509302156
§3 数学归纳法与贝努利不等式
3.1 数学归纳法 3.2 数学归纳法的应用
学习目标
重点难点
1.理解并掌握数学归纳法的概念和
步骤．
1.重点是数学归纳法
2．能够运用数学归纳法证明等式、 的步骤及应用．
不等式等有关问题．
2．难点是用数学归纳
3．了解贝努利不等式，并利用它证 法证明不等式.
易知 xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3＝1＋xx22kk＋＋31－1x＋2k＋x12k＋3 ＝1＋x2k1＋x2xk＋2k1－1x＋2k＋x22k＋21＋x2k＋3， 即 x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立． 结合(1)和(2)，知命题成立．
在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开 始的所有正整数都正确．
1．(1)数学归纳法中，n取得的第一个值n0是否一定是1? (2)如何理解归纳假设在证明中的作用？
提示：(1)n0不一定是1，是符合命题的第一个正整数． (2)归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，用于联系第一个
值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以 归纳假设为基础进行证明，否则，就不是数学归纳法．
易知 xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3＝1＋xx22kk＋＋31－1x＋2k＋x12k＋3 ＝1＋x2k1＋x2xk＋2k1－1x＋2k＋x22k＋21＋x2k＋3， 即 x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立． 结合(1)和(2)，知命题成立．
则当 n＝k＋1 时， 1＋12＋13＋…＋2k1－1＋2k－11＋1＋…＋21k]>2k＋2k－1·21k＝k＋2 1.
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贝努利不等式在中学数学中的应用举例 数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。
现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。
贝努利不等式 设x ＞0 ,则
(1)在0＜α＜1时，有x α≤1＋α(x －1),
(2)在α＜0或α＞1时，有x α≥1＋α(x －1)。
两个不等式中的等号仅当x ＝1时成立。
(3) α,λ＞0，n ∈N *,n ≥1,有αn ≥n λn －1α－(n －1) λn ,当且仅当α＝λ时(3)取等号。
例1 设 a b 、是两个不等正数，则2a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭
证 先证2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
∵122111a b a a a a b b a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⋅- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1a b a b b
-=+= 同理可得: 12b a b b a b a +⎛⎫> ⎪+⎝⎭
, 22ab
a a b
ab b a b a a a b b b b a b a ++⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ > ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
∴a b a a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2·2b b a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＞1 ∴2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
再证2a b b a a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭(略)
例2 0,1,a a >≠设且则
)
1(1222--+n n a a a ＞n n 1+(n ∈N) 证 暂1,a >设由贝努利不等式知
121()12(1)n a n a ---<-- ∴2111(1)2n a n a
+-> 又 212122()n n n n a a ++= ＞2211(1)2n n a n
++
- 22111(1)(1)2n n n a a n n
+=+-+- 211(1)n n a a n
+>+- ∴22211(1)n n n a a a n ++>+- 222111,(1)n n a n a a a n
+-+>∴>- 即在1a >时，不等式成立。
如果01a <<，则a
1＞1，于是 22
2111111n n n n a a +⎛⎫- ⎪+⎝⎭>⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即：22211(1)
n n a n n a a +-+>- ∴a ＞0，且a ≠1时，原不等式成立。
例3 (第26届美国竞赛题)对任意正实数,,a b c 求证： abc
abc a c abc c b abc b a 1111333333≤++++++++. 证明 由(3)，得
a 3≥3
b 2a －2b 3,
b 3≥3a 2b －2a 3,
将上面两式相加，并整理得
a 3＋
b 3≥a 2b ＋ab 2,
从而 a 3＋b 3＋abc ≥a 2b ＋ab 2＋abc,
所以 abc b a abc ++33≤abc ab b a abc ++22＝c
b a
c ++. 同理 abc c b abc ++33≤c
b a a ++， ab
c c a abc ++33≤c
b a b ++， 三式相加，
abc b a abc ++33＋abc c b abc ++33＋abc
c a abc ++33≤ c b a a ++＋c b a b ++＋c
b a
c ++＝1 所以abc
abc a c abc c b abc b a 1111333333≤++++++++ 例4 (1990年日本IMO 选拔题)设x,y,z ＞0，且满足x ＋y ＋z ＝1.求
z
y x 941++的最小值。
分析 引入正参数λ，由(3)得
1＝12≥2(λx)·1－(λx)2，
4＝22≥2(λx)·2－(λx)2，
9＝32≥2(λx)·3－(λx)2，
上面三式取等号的条件分别为1＝λx,2＝λy,3＝λz,又x ＋y ＋z ＝1,所以取λ＝6. 解 由(3),得
z y x 941++≥()()()()()()36636262626162222=-⋅+-⋅+-⋅x z z y y y x x x . 所以当，z y x 时21,31,61===z
y x 941++取最小值36。
从不等式的结构形式上分析，可以看出，贝努利不等式给出了正数x 的幂x α(α
≠1)与x的一个一次式之间的不等式关系。
因此，一个问题如果能转化为xα与x一次式的不等关系，则大多能用贝努利不等式加以解决。