高中数学选修2-1课时作业10：2.1.2 求曲线的方程

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人教A版选修2-1第二章第2课时导学案§2.1.2 求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程学习目标1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．学习过程一、课前准备（预习教材理P 35~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?复习3：求曲线方程的一般步骤是：(1) ；(2) ;(3) ；(4) ；(5) ．二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x ≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为：．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．※ 典型例题例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法）动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．三、总结提升※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4O PO A ∙=,则点P 的轨迹方程是．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．。

高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.1.2 求曲线的方程(1) 含解析

第二章 2.1课时作业11一、选择题1．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1D．|x±y|＝1解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.由题意知||x|－|y||＝1.答案：C2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16.整理得，x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2.∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D3．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，∴y2＝4x(x>0，y>0)，即y＝2x(x>0)．答案：A4．[2014·河南省实验中学月考]动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A. y 2＝4xB. y 2＝－12(x －4)C. 若x ≥3，则y 2＝4x ；若x <3，则y 2＝－12(x －4)D. 若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)解析：本题主要考查求曲线的方程．设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.答案：D二、填空题5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则动点P 的轨迹方程是________．解析：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，半径r ＝1，则|PB |2＝|P A |2＋r 2.∴|PB |2＝2.∴P 的轨迹方程为：(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝26．如右图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4，即x 24－y 22＝1. 答案：x 24－y 22＝1 7．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程是__________．解析：设M (x ，y )，A (m,0)，B (0，n )，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(m,0)＋25(0，n )，∴m ＝53x ，n ＝52y .又由|AB |＝5，得m 2＋n 2＝25，即(53x )2＋(52y )2＝25，于是，所求点M 的轨迹方程是4x 2＋9y 2＝36.答案：4x 2＋9y 2＝36三、解答题8．[2012·江西高考]已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.求曲线C 的方程．解：由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y . 根据题意，得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y .9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：如图，设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别是(2,0)、(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.。

高中数学选修2-1精品课件：2.1.2求曲线的方程

解析答案
规律与方法
(1)求解曲线方程时： ①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系，直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标系，选取特殊点为原点. ②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程中经常不出现这一步(被省略). ③第三步将几何关系式转化为代数中的方程.
解析答案
2.到点(1,2)的距离等于 3的动点 Q 的轨迹方程是( C )
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝3
B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝9
1 2345
C.(x－1)2＋(y－2)2＝3
D.(x－1)2＋(y－2)2＝9
解析由圆的定义知动点 Q 的轨迹是以点(1,2)为圆心，以 3为半径的圆，
④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，可以说是对第四步的完善. (2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误.
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第二章 §2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用. 2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题. 3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解 “曲线的方程、方程的曲线”的概念.
解析答案
类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例 3 过点 M(1,2)的直线与曲线 y＝ax(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为 a，求 a 的取值范围.

2.1.2 求曲线的方程

1. 坐标法：点曲线曲线的性质坐标方程方程的性质
问题探究
例1 两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程. 解：如图，取过两定点A、B的直线为x轴，线段 AB的中点O为坐标原点，建立坐标系xOy. 设点M(x,y)为轨迹上一点，A(-3,0)，B(3,0) y 则，点M满足： M |MA|2+|MB|2=26 这就是所由两点间距离公式，得求的轨迹
B
C
M
O
A
x
巩固练习
设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，P 为线段MN的中点，求点P的轨迹方程.
y
变题1：设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，若点P满足： NP 2 PM 求点P的轨迹方程.
M
P
N O x
变题2：设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
高二下数学A 选修2-1
2.1.1 求曲线的方程
求曲线的方程一般步骤求曲线的方程的常用方法
复习引入
曲线
关系式
条件
坐标系
方程
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的集合或适合某条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x, y)=0的实数解建立了如下的关系： ①曲线上的点坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程f(x, y)=0叫做这条曲线的方程，这条曲线C叫做这个方程的曲线
1. 求轨迹方程中的关键步骤是“构建条件”； M 2. “构建条件”的核心是寻找包含动点的等量关系； O 3. “找等量关系”的技巧是“动”与“定”的联系与转化. C

2.1曲线方程-人教A版高中数学选修2-1课时练习

高二年级（数学）学科习题卷曲线方程一、选择题：1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( ) A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 ( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为 ( )A ．22610x y x +++＝B ．22610x y x +-+＝C ．2210103x y x +-+= D ．2210103x y x +++=5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )6．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( ) A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤- D ．0(||1)y x =≥7．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线二、填空题：8．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为______________．10．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2215x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足5NP NM =，则点P 的轨迹方程为______________．三、解答题：11．已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．12.已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．13.两个定点(2,2),(0,2)P Q -，长为2的线段AB 在直线y x =上移动，求直线PA ，QB 的交点M 的轨迹方程。

20212022高中数学人教版选修21作业212求曲线的方程系列一.docx

2.1.2求曲线方程基础巩固—、选择题1.方程(2x-y + 2)-yJx2 + y2-l = 0表示的曲线是( )A.一个点与一条直线B.两条射线和一个圆C.两个点D.两个点或一条直线或一个圆［答案］B(2x-y + 2 = 0［详细分析］原方程等价于x2 + /-l=0,或> ? 1 n ,故选B.［x2+ y2- 1>02.若方程x-2y-2k = 0与2x-y-k =。

所表示的两条直线的交点在方程x2 + y2 = 9的曲线上，则上等于()A.±3B. 0C. ±2 D, 一切实数［答案］A［详细分析］两直线的交点为(0, ~k),由已知点(0, -Q在曲线x2 + y2 = 9上，故可得矽=9, /.k — ±3.3.在直角坐标系中，方程M-y= 1的曲线是()［答案］c［详细分析］由阶"1知y>0,曲线位于x轴上方，故选C.4.命题“曲线C上的点的坐标都是方程幻，y) = 0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )A.方程Ar, y) = 0的曲线是CB.方程幻，>)=。

是曲线。

的方程C.方程只x, y) =。

的曲线不一定是CD.以方程九了，0 = 0的解为坐标的点都在曲线C上［答案J C［详细分析］不论方程川，0 =。

是曲线c的方程，还是曲线c是方程7U, y) =。

的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、B、D错误.5.已知A(-2,0)、3(2,0), AABC的面积为10,则顶点C的轨迹是( )A. 一个点B.两个点C.一条直线D.两条直线［答案］D［详细分析］设顶点C到边AB的距离为d,则?x4xd= 10,.・.4= 5..L顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y= - 5和y = 5.6.动点在曲线x2 + y2=l上移动时，它和定点3(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A. (x+3)2 + y2 = 4B. (x-3)2 + y2= 13C. (2x-3)2 + 4y2=lD. (% + ^)2 + /=1［答案］cxi + 3 yi + 0 ［详细分析］设p点为(X, y),曲线上对应点为31, V1),则有一y- = x, Jy—= y.•*.xi = 2x - 3, yi = 2y.yi)在曲线x2 + y2=l ±, ：.xl + yi = l,：.(2x- 3)2 + (2y)2 = 1 即(2x - 3)2+ 4y2= 1.二、填空题7.方程y = W-2x+l所表示的图形是 ______________________ •［答案］两条射线x + y- 1 =0(足1)和x-y - 1 = 0(x21)［详细分析］原方程等价于y= |x - l|0x + y- 1 =0怎1)和x-y - 1 =0(x21).8.给出下列结论：①方程土 = 1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线；②到X轴距离为2的点的轨迹方程为y= -2;③方程仃-4)2 +寸一4)2 = °表示四个点.正确的结论的序号是____________________ .［答案］③［详细分析］方程一、=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线且扣除点(2,0),A — Z故①错；到X轴距离为2的点的轨迹方程为y= -2或y = 2,故②错；方程(了2-4)2 + (j2-4)2=0 表示点(-2,2), (-2, -2), (2, -2), (2,2),故③正确.三、解答题9. 画出方程(x + y-l)^x-y-2 =。

人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.1.2 求曲线的方程

1
0＋9＋x1 x＝， 3
x1＝3x－9，所以 y1＝3y.
因为点C(x1，y1)在曲线x2－y2＝18上运动，所以(3x
－9)2－(3y)2＝18，整理得(x－3)2－y2＝2，为所求轨迹方程．点评：代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y) 与相关动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，
变式迁移
1．若A、B两点的坐标分别是(1,0)、(－1,0)，
且kMA· kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是什么？答案: x2＋y2＝1(x≠±1)
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题型二例2
定义法求曲线方程已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的
任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦， P(x，y)为线段 OQ 的中 1 点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为，0. 2 因为∠OPC＝90°，所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上，所以圆的 12 1 方程为x－＋y2＝ (0<x≤1)． 2 4
代入法求曲线方程
例3 已知△ABC的两个顶点 A、 B的坐标分别为
A(0,0), B(9,0)，顶点C在曲线x2－y2＝18上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解析：设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，顶点 C(x1，y1)，则由三角形重心公式得
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0＋0＋y y＝， 3
2
＋
(y－4)2＝ 4x2＋4y2，

人教新课标版数学高二B版选修2-1课时作业 2.1 曲线与方程

一、选择题1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是()A．(4,0)和(－1,0)B．(4,0)和(－2,0)C．(4,0)和(1,0) D．(4,0)和(2,0)【解析】在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．【答案】 A2．(2013·蒙阴高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是()A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点【解析】由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．(2013·吉林高二检测)方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()【解析】∵x＋|y－1|＝0，∴x≤0，应选B.【答案】 B4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是()A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【解析】与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即：k＝－1 k AB＝－1且过AB 的中点(3，－2)，∴轨迹方程为y ＋2＝－(x －3)，即x ＋y －1＝0.【答案】 C5．如图所示，图形与方程对应正确的是( )【解析】 A 项不正确，因为x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x 2＋y 2＝1的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)适合方程x 2＋y 2＝1，但不在所给的曲线上；B 项不正确，理由同上，如点(－1,1)适合x 2－y 2＝0，但不在所给的曲线上；C 项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lg x ＋lg y ＝0的解；D 项正确．【答案】 D二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0x －3≥0或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3.【答案】一条射线和一条直线8．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P (x ，y )，依题意|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π· 22＝4π.【答案】 4π三、解答题9．(2013·福州高二检测)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．【解】 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，而点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)若点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则(m 2)2＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN→＝4，求动点P 的轨迹方程．【解】由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN→＝(x ，－2y )， ∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.11．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】法一设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1，而k PA ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)． k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝(x－2)2＋(y－4)2，|AB|＝(2x)2＋(2y)2，∴2(x－2)2＋(y－4)2＝4x2＋4y2，化简，得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.。

人教版高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

高中数学选修2-1课时作业14：2.1.2 求曲线的方程

2.1.2 求曲线的方程一、选择题1.已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是()A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9B.(x－1)2＋(y＋2)2＝9C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3D.(x－1)2＋(y＋2)2＝3[答案] B[解析]设P(x，y)，由题设得(x－1)2＋(y＋2)2＝3，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1B.(x－2)2＋(y－1)2＝1C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1[答案] A[解析]设中点的坐标为(x，y)，则相应圆x2＋y2＝4上的点的坐标为(2x－4,2y＋2)，所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.3.在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是()A.x2＋y2＝3B.x2＋y2＝4C.x2＋y2＝9(y≠0)D.x2＋y2＝9(x≠0)[答案] C[解析]易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.所以选C.4.若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于()A.±3B.0C.±2D.一切实数[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －y －k ＝0，得交点(0，－k )，将点(0，－k )代入x 2＋y 2＝9中得k ＝±3.5.已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A.4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B.4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C.4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D.4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0[答案] B[解析] 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设点C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.6.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π[答案] B[解析] 设P 点的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π.7.若动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线的中点的轨迹方程是( )A.y ＝2xB.y 2＝2xC.y ＝4x 2D.x ＝4y 2 [答案] C[解析] 设PQ 的中点为M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，又∵点P 在y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1，即2y ＋1＝8x 2＋1，即y ＝4x 2为所求的轨迹方程.二、填空题8.以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是__________________.[答案] x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)[解析] 由截距式可得直线为x 5＋y 5＝1，则线段方程为x ＋y －5＝0(0≤x ≤5). 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，点B 在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，则点M 的轨迹方程是__________________.[答案] y ＝14x 2－2 [解析] 设M (x ，y )，由题意得B (x ，－3)，A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2).再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以点M 的轨迹方程为y ＝14x 2－2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.则圆心P 的轨迹方程为____________.[答案] y 2－x 2＝1[解析] 设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.11.已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程是__________________.[答案] y ＝9x 2＋12x ＋3[解析] 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. ∵点C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上，所以3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程.三、解答题12.已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程. 解如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意知，|O 1A |＝|O 1M |.①当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42. 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42. 化简得y 2＝8x (x ≠0)；②当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x .∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .13.如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0).由已知|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2.又∵两圆的半径均为1，∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 .。

人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为：．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

山东省高三数学人教A版选修2-1课时作业：2.1.3 求曲线的方程(2) Word版含解析

第二章 2.1 课时作业12一、选择题1．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线解析：方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.答案：C2．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A. (x ＋3)2＋y 2＝4B. (x －3)2＋y 2＝1C. (2x －3)2＋4y 2＝1D. (x ＋32)2＋y 2＝1 解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)，P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4(x >0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2(0<x <2)解析：注意所求轨迹在第四象限内．答案：D4．[2014·广东省珠海一中模考]点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为( )A. (x －23)2＋y 2＝49B. (x ＋23)2＋y 2＝49C. (x －13)2＋y 2＝49D. (x ＋13)2＋y 2＝49解析：本题主要考查求曲线的方程．设B (x 0，y 0)，C (x ，y )由|OA ||OB |＝2，得AC →＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )⇒⎩⎨⎧ x 0＝32x －1y 0＝32y ，因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A. 答案：A二、填空题5．动点P 到点(1，－2)的距离为4，则动点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，由题意易知所求轨迹为圆，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16.答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝166．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__________．解析：设圆C 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离d ＝|a －b －1|2＝r ，① 又圆C 过A (4,1)，B (2,1)，∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，②(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.答案：(x －3)2＋y 2＝27．由动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________．解析：由题意得OP ＝2，为定长，所以点P 的轨迹是以定点O 为圆心，r ＝2的圆．∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4三、解答题8．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程．解：解法一：(定义法)：因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋(y －32)2＝94(y ≠0)．解法二：(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧ x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x .y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(y ≠0)． 9．△ABC 的三边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．解：以C 为原点O ，CB 、CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC ＝3，BC ＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝12×3r ＋12×4r ＋12×5r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，那么当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.。

高中数学选修2-1精品学案：2.1.2 求曲线的方程

2.1.2 求曲线的方程学习目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法.知识点坐标法与[解析]几何(1)坐标法与[解析]几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法.用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做[解析]几何.(2)[解析]几何研究的主要问题①根据已知条件，求出表示曲线的方程；②通过曲线的方程，研究曲线的性质.(3)求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.【预习评价】思考(1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？提示(1)可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明.另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程.(2)不一样.若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.题型一直接法求曲线方程【例1】动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－12，求动点M的轨迹方程.解如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0).设M(x，y)为轨迹上任意一点，则k MA＝yx＋a ，k MB＝yx－a(x≠±a).∵k MA·k MB＝－1 2，∴yx＋a ·yx－a＝－12，化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a).∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a).规律方法直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少.【训练1】已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨迹方程.解如图，设C(x，y)，则AC→＝(x ＋1，y )，BC →＝(x －1，y ). ∵∠C 为直角，∴AC →⊥BC →，即AC →·BC→＝0. ∴(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形，∴A ，B ，C 三点不共线，∴y ≠0.∴点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0).题型二定义法求曲线方程【例2】已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.解如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设M 为OC 的中点，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.连接PM .∵∠OPC ＝90°，∴|PM |＝12|OC |＝12，∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1).规律方法如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.【训练2】已知定长为6的线段，其端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.解作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM |＝12|AB |＝3.所以M 的轨迹是以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.题型三代入法求曲线方程【例3】已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，点M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求点P 的轨迹方程.解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.规律方法代入法求轨迹方程就是利用所求动点P (x ，y )与相关动点Q (x 0，y 0)坐标间的关系式，且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P 的坐标(x ，y )表示相关动点Q 的坐标(x 0，y 0)，即利用x ，y 表示x 0，y 0，然后把x 0，y 0代入已知曲线方程即可求得动点P 的轨迹方程.【训练3】已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程.解设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，所以3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故△ABC 的重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.课堂达标1.已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( )A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点[解析] 注意当点C 与A ，B 共线时，不符合题意，应去掉.[答案] B2.到点(－1，0)与直线x ＝3的距离相等的点P 的轨迹方程为( )A.x 2＝－4y ＋4B.y 2＝－4x ＋4C.x2＝－8y＋8D.y2＝－8x＋8[解析]设P(x，y).由已知得（x＋1）2＋y2＝|x－3|，变形为：y2＝－8x＋8，故选D.[答案] D3.下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是()A.(2，－2)B.(4，－3)C.(3，10)D.(－2，5)[解析]依次把四个选项代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.故选C.[答案] C4.在第四象限内，到原点的距离为2的点M的轨迹方程是()A.x2＋y2＝4B.x2＋y2＝4(x>0)C.y＝－4－x2D.y＝－4－x2(0<x<2)[解析]设M(x，y)，由|MO|＝2得，x2＋y2＝4，又∵点M在第四象限，∴y＝－4－x2(0<x<2).[答案] D5.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是__________________.[解析]设P(x，y).圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴动点P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.[答案](x－1)2＋y2＝2课堂小结1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等.3.方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点.4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.。

人教新课标版数学高二选修2-1课时作业 2-1-2求曲线的方程

课时作业9求曲线的方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若点M到两坐标轴的距离的积为2008，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2008B．xy＝－2008C．xy＝±2008 D．xy＝±2008(x>0)答案：C2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：设P点的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.答案：A3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得：x 2＋y 2＝4.∵M 、N 、P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案：D4．已知A 、B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，则M 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 21009＝1 B .x 225＋y 21009＝1(x ≠±5) C .x 22254＋y 225＝1 D .x 22254＋y 225＝1(x ≠0) 解析：设M 的坐标为(x ，y)，则k MA ＝y ＋5x ，k MB ＝y －5x. 由题知y ＋5x ·y －5x ＝－49(x ≠0)，即x 22254＋y 225＝1(x ≠0)．答案：D5．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM→＝4MB →，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8解析：设M(x ，y)、A(a,0)、B(0，b)，则a 2＋b 2＝100.∵AM→＝4MB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 1＋4，y ＝4b 1＋4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5x ，b ＝54y.代入a 2＋b 2＝100，得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64. 答案：B6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y) ∴AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y 2)． ∵AB→⊥BC →， ∴AB →·BC→＝0. 得2·x －y 2·y 2＝0得y 2＝8x. 答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．解析：圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －1)2＋(y －2)2＝48．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，则直角顶点M 的轨迹方程是________．图1解析：设点M 的坐标为(x ，y)．由AM ⊥BM ，得k AM ·k BM ＝－1，即y x ＋a · y x －a＝－1，化简得x 2＋y 2＝a 2.因为M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y ≠0，从而x ≠±a ，所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a)．答案：x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a)9．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则点Q 的轨迹方程为__________．解析：设点Q 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 1，y 1)．∵Q分线段OP为1∶2，∴OQ→＝12QP→.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x＝12x11＋12，y＝12y11＋12，即⎩⎨⎧x1＝3x，y1＝3y.∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0.把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0为所求轨迹方程．答案：2x＋4y＋1＝0三、解答题(共40分)10．(10分)已知点M到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等，求点M的轨迹方程．图2解：设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q是点M到直线y＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x2＋(y－1)2＝|y＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝14x 2.① 下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1＝14x 21，即x 21＋(y 1－1)2＝(y 1＋1)2，x 21＋(y 1－1)2＝|y 1＋1|，|M 1F|＝|M 1Q 1|.其中Q 1是点M 1到直线y ＝－1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．11．(15分)已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|＝8， |CD|＝4，动点M 满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，分别以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x ，y)为轨迹上任意一点，则|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝(x ＋4)2＋y 2，|MB|＝(x －4)2＋y 2，|MC|＝x 2＋(y －2)2，|MD|＝x 2＋(y ＋2)2.所以[(x ＋4)2＋y 2][(x －4)2＋y 2]＝[x 2＋(y －2)2][x 2＋(y ＋2)2]. 化简，得y 2－x 2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y 2－x 2＋6＝0.图312．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB→⊥BP →，BC →＝12CP →，试求动点P 的轨迹方程．解：设P(x ，y)，B(0，y ′)，C(x ′，0)，则BC→＝(x ′，－y ′)，CP →＝(x －x ′，y)，由BC →＝12CP →，得(x ′，－y ′)＝12(x －x ′，y)，即x ′＝x 3，y ′＝－y 2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. 又A(－3,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3y 2. 由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x －34y 2＝0，得y 2＝4x ，即为动点P 的轨迹方程．。

高中数学选修2-1课时作业2：2.1.1 曲线与方程

2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程一、基础达标1．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为() A．一条直线B．一条射线C．一条线段D．不能确定[答案] B[解析]方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是() A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线[答案] C[解析]由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.3．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()A．(0，0) B．(15，15)C．(1，5) D．(4，4)[答案] D[解析] (4，4)适合方程y ＝x 且满足1≤x ≤5.4．方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 由x 2＋y 2＝1可知方程表示的曲线为圆．又∵xy <0，∴图象在第二、四象限内． 5．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与y ＝x 2B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0C ．y ＝1x 与xy ＝1 D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x [答案] C[解析] y ＝1x 与xy ＝1表示双曲线． 6．下列命题正确的是( )A ．方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0，3)，B (－2，0)，C (2，0)，则中线AO 的方程是x ＝0C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0 [答案] D[解析] 对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．7．(1)方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示什么曲线？ (2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？解 (1)(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. ∴方程表示两个点．(2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2＝0，（y ＋1）2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴方程表示的图形是点A (1，－1)．二、能力提升8．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )A ．过点P 且垂直于l 的直线B ．过点P 且平行于l 的直线C ．不过点P 但垂直于l 的直线D ．不过点P 但平行于l 的直线[答案] B[解析] 点P 的坐标(x 0，y 0)满足方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0，因此方程表示的直线过点P .又∵f (x 0，y 0)为非零常数，∴方程可化为f (x ，y )＝f (x 0，y 0)，方程表示的直线与直线l 平行．9．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________. [答案] 5[解析] 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.10．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④xy ＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． [答案] ①[解析] ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1，1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0，0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程xy ＝1. 11．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0表示什么曲线？解由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，或x 2＋y 2＝4，由圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<2得直线与圆相交，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示．12．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．证明①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x02＋y02＝5，也就是x02＋y02＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x02＋y02＝25，两边开方取算术平方根，得x02＋y02＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由①、②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－25，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．三、探究与创新13．已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，π·4＝2π.从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12所以所求图形的面积为2π.。