华东交通大学概率论及数理统计课件概率1-4
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概率论与数理统计课件1-4
9 6 3 3 (答案 : p 1 9 9 106 ) 1 3
(答案 : p 3 63 )
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有
y 2
1 : 45
1 : 30
1 : 15
1 x 2,
1 y 2.
1
o
1 1 : 15 1 : 30 1 : 45 2
x
2 见车就乘 阴影部分面积 4 (1 4) 1 p 2 . 的概率为 ( 2 1) 4 正方形面积
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 设 A {摸得 2 只球都是白球}, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
(答案 : p 3 63 )
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有
y 2
1 : 45
1 : 30
1 : 15
1 x 2,
1 y 2.
1
o
1 1 : 15 1 : 30 1 : 45 2
x
2 见车就乘 阴影部分面积 4 (1 4) 1 p 2 . 的概率为 ( 2 1) 4 正方形面积
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 设 A {摸得 2 只球都是白球}, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}
概率论与数理统计课件：1-4 概率论的基本概念 补充内容 几何概型
几何概型的例子
例1 蒲丰（Buffon）投针问题
平面上画有间隔为d 的等距平行线，
向平面任意投掷一枚长为l (l<d) 一条平行线的
距离，又以表示针与此直线间的交角.
易知样本空间S满足：
0 x d/2; 0 . S形成x-平面上的一个矩形，其面积为：
几何概率的计算公式
随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ———————————————
样本空间 S 包含的样本点测度
关于“测度”( measure )的理解 1. “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的
“度量” 概念的数学抽象 ( 一种集合函数 ) 。 2. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 3. 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。
C
D
圆面积的1/4，故所求概率等于
1/4(见图)。
同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在
4. 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
几何概率的基本性质
从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基 本性质：
⑴对于任何事件A,P(A)≥0； ⑵P(S)=1； ⑶若A1 ，A2 ，… 两两互不相容，则
P An P( An ) n1 n1
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率 的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质 与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容 的事件成立。
B A
N
[解法二] 弦长只跟它与圆心的距离有
关，而与方向无关，因此可以假定它
A
C 1/2 B
垂直于某一直径。当且仅当它与圆心
1/2
的距离小于1/2时，才满足要求，因
概率论与数理统计第一章1-4高职高专
A、 B不可能同
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
概率论与数理统计课件(PPT)
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论与数理统计PPT1章
OPTION
一、随机试验
例1 随机试验的例子
6 第2章 随机变量及其分布
1. 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也 有可能反面朝上；
2. 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 3. 某快餐店一天内接到的订单量； 4. 航班起飞延误的时间； 5. 一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
7 第2章 随机变量及其分布
3 第2章 随机变量及其分布
1.1 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件 四、随机事件间的关系和运算
一、随机试验
4 第2章 随机变量及其分布
随机现象——在个别试验中呈现不确定的结 果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现 象.这种规律性称为统计规律性.
概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学 科.
2、随机事件之间的运算 （1）事件的并
事件的并
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 16
2、随机事件之间的运算 （2）事件的交（积）
事件的交
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 17
2、随机事件之间的运算 （3）事件的差
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 18
2、随机事件之间的运算 （4）对立事件
2、随机事件之间的运算
第2章 随机变量及其分布 19
从随机事件间的关系和运算可以看出，
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
3、事件的运算性质
①交换律 ②结合律 ③分配律 ④对偶律
第2章 随机变量及其分布 20
3、事件的运算性质
例3
1 2 3 4
第2章 随机变量及其分布 21
一、随机试验
例1 随机试验的例子
6 第2章 随机变量及其分布
1. 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也 有可能反面朝上；
2. 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 3. 某快餐店一天内接到的订单量； 4. 航班起飞延误的时间； 5. 一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
7 第2章 随机变量及其分布
3 第2章 随机变量及其分布
1.1 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件 四、随机事件间的关系和运算
一、随机试验
4 第2章 随机变量及其分布
随机现象——在个别试验中呈现不确定的结 果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现 象.这种规律性称为统计规律性.
概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学 科.
2、随机事件之间的运算 （1）事件的并
事件的并
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 16
2、随机事件之间的运算 （2）事件的交（积）
事件的交
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 17
2、随机事件之间的运算 （3）事件的差
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 18
2、随机事件之间的运算 （4）对立事件
2、随机事件之间的运算
第2章 随机变量及其分布 19
从随机事件间的关系和运算可以看出，
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
3、事件的运算性质
①交换律 ②结合律 ③分配律 ④对偶律
第2章 随机变量及其分布 20
3、事件的运算性质
例3
1 2 3 4
第2章 随机变量及其分布 21
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
《概率论与数理统计》1-4全概公式
365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二 利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400
1 2 P B | A , P B | A 7 7
125 198
注 : 一定要写清事件, 公式 , 不得只写算式.
p 2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% X 6000 6000 6000
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,
有着广泛的应用.若把事件Ai 理解为‘原因’, 而把 B理 解为‘结果’ P, 则 B| A 是原因 Ai
为 0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件 . 出厂时 , 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该 产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品 是一车间的概率.
解 : 设 Ai 为取到第 i个车间的产品, B为取到次品 由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 )
2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% 6000 6000 6000
由贝叶斯公式得:
P A1 B
P A1 P B A1 P B
P B P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计第一章4
练习：全年级有100名学生，男生有80名，女生20名；北 京籍的有20名，其中有12名男生，8名女生；如果A =“北 京籍的学生” ； B =“男生” （1）试求出P（A）、P(B) 、 P（A/B）、P（ B / A ）、 P（AB），并解释它们的含义。 （2）P（ A / B）和P（AB）、P（ B ）的关系如何 ？
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▪ 例：设袋中有r只红球，t只白球，每次自袋 中任取一只球，观察颜色然后放回，并再 放入a只与所取出的那只球同色的球，若在 袋中连续取球四次，试求第一、二次取到 红球，且第三、四次取到白球的概率
▪ 练习： 袋中有一个白球与一个黑球，现每 次从中取出一球，若取出白球，则除把白 球放回外再加进一个白球，直至取出黑球 为止．求取了n 次都未取出黑球的概率．
设Ai "箱中有i件次品"(i 0,1,2); B "该箱产品通过验收".
则Ai Aj
(i
2
j);
i0
Ai
,
且P(
Ai
)
1 3
(i
0,1,2);
P(B
|
A0
)
1;
P(B
|
A1)
C92 C120
;
P(B
|
A2
)
C82 C120
.
(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)
解:(1) P（A）=20/100, P(B) =80/100, P（A/B）=12/80 P（ B / A ）=12/20 , P（AB）=12/100 . (2) P（A/B）=12/80= P( AB)
华东交通大学概率论及数理统计课件概率1-5
P A A A 0 , 则由条件概率 , 可得 1 2 n 1
P A A A P A P A | A P ( A | A A ) 1 2 n 1 2 1 3 1 2
P A | A A A n 1 2 n 1
3、乘法公式应用举例
空间；在P（AB）中，样本空间仍为 S
因而有
。
PAB ( )PA ( B )
二、 乘法公式
1、定义 P (AB ) 由条件概率的定义： P (A| B )
P (B )
(2)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
解 : 由 P ( A B ) P ( B ) P ( AB )
P ( AB ) P ( B ) P ( A B ) 0 . 1
P ( AB ) 1 从而 P ( B |A ) P ( A ) 7
3.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6,
P (B |A )0 .4
所以在第二节中证明的 性质对条件概率都 .
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P (AB ) P (A |B ) , P (B 况去算 例：A={掷出2 点}， B={掷出偶数点} P(A|B）=
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
1 3
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
抽签不必争先恐后.
三、 小结
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概率论
等可能概型(古典概型) 第四节 等可能概型(古典概型)
古典概型的定义 古典概率的求法 小结
概率论
我们首先引入的计算概率的数学模型， 我们首先引入的计算概率的数学模型 ， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象， 对象，通常称为
古典概型
概率论
定义 1 若随机试验满足下述两个条件： 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型 称这种试验为等可能随机试验或古典概型. 等可能随机试验
概率论
2 有 例 从 9 件 品 3 件 品 箱 中 取 次, 正 、 次 的 子 任 两
次 一 每 取 件,试 别 : 分 以
(1) 有 回 样 :即 次 取 产 观 后 回; 放 抽 法 每 抽 的 品 察 放 (2) 不 回 样 :即 次 取 品 察 不 回; 放 抽 法 每 抽 产 观 后 放
(2) 取 的4只 都 不 型 的; 出 鞋 是 同 号 (3) 取 的4只 恰 有 只 成 双. 出 鞋 好 两 配 一
解 设A = { 取 的4只 恰 为 双} , 出 鞋 好 两
C={取 的4只 恰 有 只 成 双 . 出 鞋 好 两 配 一 }
4 ) 任 从5双 子(10只 中 取4只,取 总 为C10 . 鞋 法 数
到N 格 中 有 球 等 能 落 到 个 子 ,应 解 n个 都 可 地 入
Nn 种 能 方 ,所 基 事 总 为 Nn. 可 的 法 以 本 件 数
件A所 的 本 件 为 n! 事 件 含 基 事 数 n CNn! 件B 含 基 事 数 事 件 所 的 本 件 为 n n ! 故 ( A) = n , P( B) = CNn! . P N Nn
15105 = 15! ⋅ 10! = 15! . 5 5 5 10!5! 5!5! 5!5!5!
(i) 每 个 级 分 一 优 生 分 为 一 班 各 到 名 秀 的 法
128 4 12! 3! = 3!⋅ . ⋅ 4!4!4! 4 4 4
概 的 率.
概率论
2 解 从 子 任 两 产 ,取 总 为C12 . 箱 中 取 件 品 法 数 2 C12 . 即 验 样 空 中 含 的 本 件 数 试 的 本 间 所 有 基 事 总 为
2 C9 . 件A 所 有 基 事 数 事 件 中 含 的 本 件 为 9⋅ 8 2 C9 2⋅ 1 = 6 . 所 以 P( A) = 2 = C12 12⋅ 11 11 2⋅ 1 1 1 件C 所 有 基 事 数 事 件 中 含 的 本 件 为C9 C3 .
P(B)=？ ？
M N − M k n− k P(B) = N n
上式即为超几何分布的概率公式. 上式即为超几何分布的概率公式
……
概率论
例 有5双 同 号 鞋 ,从 任 4只,求 5 不 型 的 子 中 取
下 各 件 概 : 列 事 的 率 (1) 取 的4只 恰 为 双; 出 鞋 好 两
解 假 接 站 接 时 没 规 ,而 来 者 设 待 的 待 间 有 定 各 访
在 周 任 天 去 待 是 可 的则12次 一 的 一 中 接 站 等 能 . 接 来 者 在 二 四 概 为 待 访 都 周 周 的 率
p = 2 ≈ 0.0000003. 712 以 为 待 间 有 定 这 小 率 件. 所 认 接 时 是 规 的. 是 概 事
概率论
件C中 含 的 本 件 为 事 件 所 有 基 事 数
1 1 1 1 C C3 + C3C9 = 9⋅ 3+ 3⋅ 9. 9
以 所
9⋅ 3 + 3⋅ 9 9 P(C) = = . 12⋅ 11 22
例 从 9 件 品、件 品 箱 中 取 件 3 有 正 3 次 的 子 任 两 产 品(即 次 取 件 品 ,求 件 一 抽 两 产 ) 事 A= {取 两 正 } , 得 件 品 C = {取 一 正 一 次 } , 得 件 品 件 品
1= P( S) = P({e1} ∪{e2} ∪L∪{en}) =
= P({e1}) + P({e2}) + L+ P({en}) = nP({ei })
以 所
1 P({ei }) = , i = 1,2,L n. , n
概率论
事 若 件A包 k 个 本 件,即 含 基 事
有 则
A = {ei1 }∪{ei2 }∪L∪{eik }
概率论
7 例 将15 名 生 机 平 分 到 有3 名 优 生. 求 新 中 是 秀
(i) 每 个 级 分 到 名 秀 的 率; 一 班 各 配 一 优 生 概 (ii) 3名 秀 分 在 一 级 概 . 优 生 配 同 班 的 率
解 15 名 生 均 到 个 级 分 总 为 新 平 分 三 班 的 法 数
二、古典概型中事件概率的计算
概率论
设 典 率E的 本 间 S = {e1 , e2 ,L, en} . 古 概 样 空 为
由 在 验 每 基 事 发 的 能 相 ,即 于 试 中 个 本 件 生 可 性 同
P({e1}) = P({e2}) =L= P({en})
又 于 本 件 两 互 相 的. 于 由 基 事 是 两 不 容 是
C = {取 一 正 一 次 } , 得 件 品 件 品
B = {第 次 得 品,第 次 得 品 , 一 取 正 二 取 次 }
A= {取 两 正 } , 得 件 品
概率论
(2) 采 不 回 样. 取 放 抽
箱 中 取 件 品 次 一 从 子 任 两 产 ,每 取 件,取 总 为12⋅ 11. 法 数 ⋅
P( A) = P({ei1 }) + P({ei2 }) +L+ P({eik })
k A包 的 本 件 含 基 事 数 = = n S中 基 事 总 的 本 件 数
概率论
1 一 硬 抛 三 例 将 枚 币 掷 次.
(i) 设 件A 为"恰 一 出 正 " ,求P( A ) . 事 有 次 现 面 1 1 (ii) 设 件A 为"至 有 次 现 面" ,求P( A ) . 事 少 一 出 正 2 2
两 抽 方 求 件 种 样 式 事
B = {第 次 得 品,第 次 得 品 , 一 取 正 二 取 次 }
A= {取 两 正 } , 得 件 品
C = {取 一 正 一 次 } , 得 件 品 件 品
概 的 率.
例 从 9件 品 3件 品 箱 中 取 次, 每 取 件 2 有 正 、 次 的 子 任 两 次 一 概率论
= 1− P( A) − P( B) + P( AB) 333 250 83 , P( B) = , P( AB) = , 又 P( A) = 2000 2000 2000 333 250 83 3 − + = . 故 求 率 p = 1− 所 概 为 2000 2000 2000 4
B = {取 的 能 8 整 } . 到 数 被 除
12
历年考题: 历年考题
(1)取到两颗白子一颗黑子的概率 (2)取得3颗都是白子的概率 (3)至少有一颗黑子的概率 (4)取得3颗棋子同色的概率 解:设A=“取到都是白子”; B=“取到都是黑子” C=“取得两颗白子一颗黑子” C=“
B ={取 的4只 都 不 型 的 , 出 鞋 是 同 号 }
概率论
2 C5 . A中 含 的 本 件 为 所 有 基 事 数 4 1 1 1 1 C5C2C2C2C2 . B中 含 的 本 件 为 所 有 基 事 数 1 2 2 1 1 C中 含 的 本 件 为C5C2C4C2C2 . 所 有 基 事 数 于 可 是 得 5⋅ 4 2 C5 1 2⋅ 1 (1) P( A) = 4 = 10⋅ 9⋅ 8⋅ 7 = . C10 21 4⋅ 3⋅ 2⋅ 1 4 1 1 1 1 C5C2C2C2C2 80 8 (2) P( B) = = = . 4 C10 210 21 1 2 2 1 1 C5C2C4C2C2 120 4 = . (3) P(C) = = 4 C10 210 7
概率论
6 例 在1~ 2000的 数 随 地 一 数,问 到 整 中 机 取 个 取 的 数 不 被 整 既 能 6整 , 也 能 8整 的 率 多 ? 除 不 被 除 概 是 少
解 设 A = {取 的 能 6 整 }, 到 数 被 除
所 概 为 P( AB) = P( A∪ B) = 1− P( A∪ B) 求 率
12! 3!⋅ 4!4!4! = 25 . p1 = 15! 97 5!5!5!
概率论
8 接 站 某 周 接 过 例 某 待 在 一 曾 待 12次 访,已 来 知 有 所 这12次 待 是 周 和 四 行 .问 否 接 都 在 二 周 进 的 是 以 断 待 间 有 定 可 推 接 时 是 规 的.
解 此 验 样 空 为: 试 的 本 间 S = {H H,H T,H ,H ,TH ,TH ,TTH,TTT} . H H TH TT H T
而A = {H ,TH ,TTH} , 所 TT T 以 1 3 P( A ) = . 1 8 A = {H H,H T,H ,H ,TH ,TH ,TTH} . H H TH TT H T 2 7 P( A ) = . 2 8
概率论
是 求 率 于 所 概 为
(ii) 三 优 生 到 一 班 的 法 名 秀 分 同 个 级 分 为
12105 = 3⋅ 12! . ⋅ 3⋅ 2!5!5! 2 5 5 12! 3⋅ 2!5!5! = 6 . 于 所 概 为 p2 = 15! 是 求 率 91 5!5!5!
等可能概型(古典概型) 第四节 等可能概型(古典概型)
古典概型的定义 古典概率的求法 小结
概率论
我们首先引入的计算概率的数学模型， 我们首先引入的计算概率的数学模型 ， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象， 对象，通常称为
古典概型
概率论
定义 1 若随机试验满足下述两个条件： 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型 称这种试验为等可能随机试验或古典概型. 等可能随机试验
概率论
2 有 例 从 9 件 品 3 件 品 箱 中 取 次, 正 、 次 的 子 任 两
次 一 每 取 件,试 别 : 分 以
(1) 有 回 样 :即 次 取 产 观 后 回; 放 抽 法 每 抽 的 品 察 放 (2) 不 回 样 :即 次 取 品 察 不 回; 放 抽 法 每 抽 产 观 后 放
(2) 取 的4只 都 不 型 的; 出 鞋 是 同 号 (3) 取 的4只 恰 有 只 成 双. 出 鞋 好 两 配 一
解 设A = { 取 的4只 恰 为 双} , 出 鞋 好 两
C={取 的4只 恰 有 只 成 双 . 出 鞋 好 两 配 一 }
4 ) 任 从5双 子(10只 中 取4只,取 总 为C10 . 鞋 法 数
到N 格 中 有 球 等 能 落 到 个 子 ,应 解 n个 都 可 地 入
Nn 种 能 方 ,所 基 事 总 为 Nn. 可 的 法 以 本 件 数
件A所 的 本 件 为 n! 事 件 含 基 事 数 n CNn! 件B 含 基 事 数 事 件 所 的 本 件 为 n n ! 故 ( A) = n , P( B) = CNn! . P N Nn
15105 = 15! ⋅ 10! = 15! . 5 5 5 10!5! 5!5! 5!5!5!
(i) 每 个 级 分 一 优 生 分 为 一 班 各 到 名 秀 的 法
128 4 12! 3! = 3!⋅ . ⋅ 4!4!4! 4 4 4
概 的 率.
概率论
2 解 从 子 任 两 产 ,取 总 为C12 . 箱 中 取 件 品 法 数 2 C12 . 即 验 样 空 中 含 的 本 件 数 试 的 本 间 所 有 基 事 总 为
2 C9 . 件A 所 有 基 事 数 事 件 中 含 的 本 件 为 9⋅ 8 2 C9 2⋅ 1 = 6 . 所 以 P( A) = 2 = C12 12⋅ 11 11 2⋅ 1 1 1 件C 所 有 基 事 数 事 件 中 含 的 本 件 为C9 C3 .
P(B)=？ ？
M N − M k n− k P(B) = N n
上式即为超几何分布的概率公式. 上式即为超几何分布的概率公式
……
概率论
例 有5双 同 号 鞋 ,从 任 4只,求 5 不 型 的 子 中 取
下 各 件 概 : 列 事 的 率 (1) 取 的4只 恰 为 双; 出 鞋 好 两
解 假 接 站 接 时 没 规 ,而 来 者 设 待 的 待 间 有 定 各 访
在 周 任 天 去 待 是 可 的则12次 一 的 一 中 接 站 等 能 . 接 来 者 在 二 四 概 为 待 访 都 周 周 的 率
p = 2 ≈ 0.0000003. 712 以 为 待 间 有 定 这 小 率 件. 所 认 接 时 是 规 的. 是 概 事
概率论
件C中 含 的 本 件 为 事 件 所 有 基 事 数
1 1 1 1 C C3 + C3C9 = 9⋅ 3+ 3⋅ 9. 9
以 所
9⋅ 3 + 3⋅ 9 9 P(C) = = . 12⋅ 11 22
例 从 9 件 品、件 品 箱 中 取 件 3 有 正 3 次 的 子 任 两 产 品(即 次 取 件 品 ,求 件 一 抽 两 产 ) 事 A= {取 两 正 } , 得 件 品 C = {取 一 正 一 次 } , 得 件 品 件 品
1= P( S) = P({e1} ∪{e2} ∪L∪{en}) =
= P({e1}) + P({e2}) + L+ P({en}) = nP({ei })
以 所
1 P({ei }) = , i = 1,2,L n. , n
概率论
事 若 件A包 k 个 本 件,即 含 基 事
有 则
A = {ei1 }∪{ei2 }∪L∪{eik }
概率论
7 例 将15 名 生 机 平 分 到 有3 名 优 生. 求 新 中 是 秀
(i) 每 个 级 分 到 名 秀 的 率; 一 班 各 配 一 优 生 概 (ii) 3名 秀 分 在 一 级 概 . 优 生 配 同 班 的 率
解 15 名 生 均 到 个 级 分 总 为 新 平 分 三 班 的 法 数
二、古典概型中事件概率的计算
概率论
设 典 率E的 本 间 S = {e1 , e2 ,L, en} . 古 概 样 空 为
由 在 验 每 基 事 发 的 能 相 ,即 于 试 中 个 本 件 生 可 性 同
P({e1}) = P({e2}) =L= P({en})
又 于 本 件 两 互 相 的. 于 由 基 事 是 两 不 容 是
C = {取 一 正 一 次 } , 得 件 品 件 品
B = {第 次 得 品,第 次 得 品 , 一 取 正 二 取 次 }
A= {取 两 正 } , 得 件 品
概率论
(2) 采 不 回 样. 取 放 抽
箱 中 取 件 品 次 一 从 子 任 两 产 ,每 取 件,取 总 为12⋅ 11. 法 数 ⋅
P( A) = P({ei1 }) + P({ei2 }) +L+ P({eik })
k A包 的 本 件 含 基 事 数 = = n S中 基 事 总 的 本 件 数
概率论
1 一 硬 抛 三 例 将 枚 币 掷 次.
(i) 设 件A 为"恰 一 出 正 " ,求P( A ) . 事 有 次 现 面 1 1 (ii) 设 件A 为"至 有 次 现 面" ,求P( A ) . 事 少 一 出 正 2 2
两 抽 方 求 件 种 样 式 事
B = {第 次 得 品,第 次 得 品 , 一 取 正 二 取 次 }
A= {取 两 正 } , 得 件 品
C = {取 一 正 一 次 } , 得 件 品 件 品
概 的 率.
例 从 9件 品 3件 品 箱 中 取 次, 每 取 件 2 有 正 、 次 的 子 任 两 次 一 概率论
= 1− P( A) − P( B) + P( AB) 333 250 83 , P( B) = , P( AB) = , 又 P( A) = 2000 2000 2000 333 250 83 3 − + = . 故 求 率 p = 1− 所 概 为 2000 2000 2000 4
B = {取 的 能 8 整 } . 到 数 被 除
12
历年考题: 历年考题
(1)取到两颗白子一颗黑子的概率 (2)取得3颗都是白子的概率 (3)至少有一颗黑子的概率 (4)取得3颗棋子同色的概率 解:设A=“取到都是白子”; B=“取到都是黑子” C=“取得两颗白子一颗黑子” C=“
B ={取 的4只 都 不 型 的 , 出 鞋 是 同 号 }
概率论
2 C5 . A中 含 的 本 件 为 所 有 基 事 数 4 1 1 1 1 C5C2C2C2C2 . B中 含 的 本 件 为 所 有 基 事 数 1 2 2 1 1 C中 含 的 本 件 为C5C2C4C2C2 . 所 有 基 事 数 于 可 是 得 5⋅ 4 2 C5 1 2⋅ 1 (1) P( A) = 4 = 10⋅ 9⋅ 8⋅ 7 = . C10 21 4⋅ 3⋅ 2⋅ 1 4 1 1 1 1 C5C2C2C2C2 80 8 (2) P( B) = = = . 4 C10 210 21 1 2 2 1 1 C5C2C4C2C2 120 4 = . (3) P(C) = = 4 C10 210 7
概率论
6 例 在1~ 2000的 数 随 地 一 数,问 到 整 中 机 取 个 取 的 数 不 被 整 既 能 6整 , 也 能 8整 的 率 多 ? 除 不 被 除 概 是 少
解 设 A = {取 的 能 6 整 }, 到 数 被 除
所 概 为 P( AB) = P( A∪ B) = 1− P( A∪ B) 求 率
12! 3!⋅ 4!4!4! = 25 . p1 = 15! 97 5!5!5!
概率论
8 接 站 某 周 接 过 例 某 待 在 一 曾 待 12次 访,已 来 知 有 所 这12次 待 是 周 和 四 行 .问 否 接 都 在 二 周 进 的 是 以 断 待 间 有 定 可 推 接 时 是 规 的.
解 此 验 样 空 为: 试 的 本 间 S = {H H,H T,H ,H ,TH ,TH ,TTH,TTT} . H H TH TT H T
而A = {H ,TH ,TTH} , 所 TT T 以 1 3 P( A ) = . 1 8 A = {H H,H T,H ,H ,TH ,TH ,TTH} . H H TH TT H T 2 7 P( A ) = . 2 8
概率论
是 求 率 于 所 概 为
(ii) 三 优 生 到 一 班 的 法 名 秀 分 同 个 级 分 为
12105 = 3⋅ 12! . ⋅ 3⋅ 2!5!5! 2 5 5 12! 3⋅ 2!5!5! = 6 . 于 所 概 为 p2 = 15! 是 求 率 91 5!5!5!