2020年北京交大附中高考数学一模试卷-(含答案解析)
2020北京高三一模数学解答题百题汇编
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1. 如图，在四棱锥
中，
面
，底面
为平行四边形，
，
，
．
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求二面角
平面
． 的余弦值的大小．
2. 已知函数
，且满足
．
（ ）求函数 的解析式及最小正周期．
（ ）若关于 的方程
在区间
上有两个不同解，求实数 的取值范围．
10
36. 已知数列 是由正整数组成的无穷数列．若存在常数
，使得
，对任意
的
成立，则称数列 具有性质 ．
（ 1 ） 分别判断下列数列 是否具有性质 ．（直接写出结论）
1
．
2
．
（ 2 ） 若数列 满足
，求证：“数列 具有性质 ”是“数列
为常数列”的充分必要条件．
（ 3 ） 已知数列 中
，且
．若数列 具有性质 ，求数列
1
（ 1 ） 从北斗二代定位的 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 米的概率． （ 2 ） 从图中 ， ， ， 四个点位中随机选出两个，记 为其中纵坐标误差的值小于 的点位的 个数，求 的分布列和数学期望． （ 3 ） 试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）
在数列 中，
，
，其中
．
（ 1 ） 求 的通项公式．
（ 2 ） 若 ， ， 成等比数列，其中 ，
，且
且
，
，求 的最小值．
21. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境
下的发芽率，并按发芽率分为 组：
北京市交大附中2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
17. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，求证：
〔1〕 平面 ；
〔2〕 平面 ；
〔3〕平面 平面 ；
〔4〕请在图中画出平面 截三棱锥 的截面，判断截面形状并说明你的理由；
〔5〕假如 .求出第〔4〕问中的截面面积.
【答案】(1). (2). ；
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式 ，求得 、 的值．
【详解】∵角 的终边过点 ，如此 ，
将射线 〔 为坐标原点〕按逆时针方向旋转 后得到角 的终边，
如此 ，
故答案 ， .
【点睛】此题主要考查任意角的三角函数的定义，设 是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐标为 ，那么 ， ， ，诱导公式 ，属于根底题．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用诱导公式化简整理得 ，即得最大值.
【详解】由诱导公式可得 ，
如此 ，
函数 的最大值为 .
应当选：A.
【点睛】此题考查了诱导公式 和三角函数最大值，属于根底题.
8. 直线 ， ，平面 ， ， ， ， ，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
〔2〕设 ，连接 ，由 平面 ，可推出 ，而 为 的中点，故得证；
〔3〕由平面 平面 ， ，可推出 平面 ，故 ；由平面 平面 ， ，可推出 平面 ，故 ；再由线面垂直 判定定理即可得证.
【详解】证明：〔1〕∵平行四边形 ，∴ ，
面 ， 面 ，
面 ，
∵ 为正方形，∴ ，
2020年北京交大附中高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x(x −3)<0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {1,2}C. {0,3}D. {−1,1，2，3}2. 已知函数 f (x )=ax 3−3x 2+1，若 f (x )存在唯一的零点 x 0，且 x 0>0，则 a 的取值范围是A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−∞,−1)3. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 2B. 6C. 8D. 124. 一个四面体的三视图如图所示，那么该四面体的四个面中最大的面积为A. 12B. √22 C. √32D. 15. 已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n +a n+1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件6. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)7. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，O ，P ，R ，S 分别为棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，则六边形MNOPRS 在正方体各个面上的投影可能为( )A.B.C.D.8.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，角α的终边上一点Ｐ的坐标是(−35,45 )，将α的终边按顺时针方向旋转π3得到角β的终边，则cosβ=()A. −3+4√310B. −3−4√310C. 4+3√310D. 4−3√3109.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，P是DC的中点，则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=()A. √822B. 2√5C. 4D. 510.10名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场).规定两人对局，胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45，则第二名选手的得分是()A. 12B. 13C. 16D. 17二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.设a=20.1,b=ln52,c=log3910，则a,b,c的大小关系是__________．12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(5,0)，则抛物线的标准方程为______．13.已知log a b=lg100.若b=10，则a=__________，若b=a+2，则a=_________．14.设函数f(x)=(x−a)|x−a|−x|x|+2a+1(a<0).若存在x0∈[−1,1]，使f(x0)≤0，则a的取值范围是．15.已知函数f(x)=−14x2+2x+3，g(x)=|32x−3|，若函数F(x)={f(x),f(x)<g(x),g(x),f(x)≥g(x),则F(2)=________，F(x)的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．(Ⅰ)求证：PA//平面BFD；(Ⅱ)求二面角C−BF−D的余弦值．17.设a∈R，f(x)=cosx(asinx−cosx)+cos2(π2−x)，且满足f(−π3)=f(0)．(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；(2)求函数f(x)在[−π,π]上的单调递增区间．18.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)；(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x .是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x .的大小(只需写出结论)．19. 设f(x)=xlnx −ax 2+(2a −1)x ，a ∈R.已知f(x)在x =1处取得极大值．求实数a 的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 22=1(a >√2)的离心率为√22，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．(Ⅰ)若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ//BM，求证：∠PFQ为定值．21.求证：正弦函数没有比小的正周期．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x(x−3)<0}={x|0<x<3}，B={−1,0，1，2，3}，∴A∩B={1,2}．故选：B．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：本题考查了利用导数求函数单调区间和极值及函数零点的相关知识，解题时要注意分类讨论，当a= 0时，f(x)存在两个零点，不符合题意，故a≠0；当a>0时，求导可得f(x)存在负零点；当a<0时，求导可得满足f(2a)>0，即得答案．解：对函数f(x)=ax3−3x2+1求导得f′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，令f′(x)=0，得3x(ax−2)=0．(1)当a=0时，f(x)=1−3x2，存在两个零点，不符合题意，故a≠0；(2)当a>0时，2a >0，所以f(x)在(−∞,0),(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，所以x=2a为f(x)的极小值点，x=0为f(x)的极大值点，且f(0)=1>0，当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷，故此时函数f(x)必有一负零点，不符合题意；(3)当a<0时，2a <0，所以f(x)在(−∞,2a),(0,+∞)上单调递减，在(2a,0)上单调递增，所以x =0为f(x)的极大值点，x =2a 为f(x)的极小值点，若要使f (x )仅有一正零点，结合函数图象，可知f(2a )>0，即f(2a )=1−4a 2>0，解得a <−2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞,−2)． 故选C ．3.答案：C解析：本题考查向量的数量积，考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 利用向量坐标运算法则、向量的数量积公式直接求解． 解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,5)， |OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2=5， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1×2+5×1+5=8． 故选C ．4.答案：C解析：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么． 根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可． 解：将该几何体放入边长为1的正方体中，由三视图可知该四面体为D −BD 1C 1，由直观图可知，最大的面为BDC 1．在正三角形BDC1中，BD=√2，所以面积S=12×(√2)2×=√32．故选C．5.答案：A解析：根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的定义是解决本题的关键．解：若数列{a n}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，b n−b n−1=a n+a n+1−a n−1−a n=a n+1−a n+a n−a n−1=2d为常数，则数列{b n}为等差数列，即充分性成立，若数列{b n}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，b n−b n−1=a n+a n+1−a n−1−a n=a n+1−a n−1=d为常数，则无法推出a n−a n−1为常数，即无法判断数列{a n}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”充分不必要条件，故选：A．6.答案：C解析：解：f(x)={2x−5,0<x≤1 ln x−1e5,1<x≤2，可得0<x≤1时，f(x)递增，且f(x)∈(−4,−3]，1<x≤2时，f(x)=ln(x−1)−5≤−5，由f(x+1)=f(x−1)，可得f(x+2)=f(x)，即f(x)的最小正周期为2，关于x的不等式f(x)+a(x−2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，即为f(x)在(2018,2020]的图象在直线y=−a(x−2018)的下方．可得2018<x≤2019，f(x)=2x−2018−5∈(−4,−3]；2019<x≤2020时，f(x)=ln(x−2019)−5≤−5，如右图，直线y=−a(x−2018)恒过定点(2018,0)，，当直线经过点(2020,−5)时，即−5=−2a，解得a=52时，直线恒在f(x)在(2018,2020]的上方，由图象可得a≤52故选：C．求得f(x)的值域和周期2，作出y=f(x)在(2018,2020]的图象，结合直线恒过定点(2018,0)，考虑点(2020,−5)，以及图象即可得到所范围．本题考查函数的周期性和运用，考查函数的图象的关系，注意运用转化思想和数形结合思想，属于中档题．7.答案：D解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，六边形MNOPRS前后两个面上的投影如图1所示；在左右两个面上的投影如图2所示；在上下两个面上的投影如图3所示；故选：D ．根据题意分别画出六边形MNOPRS 在六个面上的投影即可． 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题．8.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数和两角差的余弦公式的运用，属于中档题． 根据题意可得sinα=45，cosα=−35且，然后利用两角差的余弦公式即可求解．解：由题意知sinα=45，cosα=−35．所以cosβ=cos (α−π3)=cosαcos π3+sinαsin π3=−35×12+45×√32=4√3−310． 故选A ．9.答案：A解析：本题考查了向量的坐标运算和向量的模的计算，关键是建立坐标系，属于基础题．以BA ，BC 所在的直线为y ，x 轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算和向量的模的计算即可求出． 解：以BA ，BC 所在的直线为y ，x 轴，建立如图所示的坐标系， 则B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，D(2,1)， ∵P 是DC 的中点，。
2020-2021学年北京北方交大附属中学高一数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年北京北方交大附属中学高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A. B. C. D..参考答案：A略2. 在上，若，则的范围是（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.参考答案：C略3. （5分）函数的周期，振幅，初相分别是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题．分析：本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项解答：∵函数∴振幅是2，初相是又x的系数是，故函数的周期是T==4π对照四个选项知应选C故选C点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，根据解析式及相关公式求出此三个参数的值．本题是基本概念型题．4. 如图是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 已知，则的表达式是（）A． B． C． D．参考答案：A6. 若a=2，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：A【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2sin＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．7. 设集合,则满足的集合B的个数是（）A．1 B.3 C.4 D.8参考答案：C8. 两圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.相离D.内切参考答案：B略9. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是( )A. 1,2,3,4,5B. 5,16,27,38,49C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,40参考答案：D略10. 在中，，则为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=，其中a＞0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．参考答案：[7，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据指数函数性质可知y=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y＞27+4a，y=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a即可，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，其中a＞0，令y1=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y1＞27+4a，y2=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y2≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a解得：a≥7或a≤﹣3．∵a＞0，∴实数a的取值范围是[7，+∞）故答案为：[7，+∞）．12. 如果＝，且是第四象限的角，那么＝．参考答案：13. 若函数，求x的取值区间参考答案：由，得，所以x 的取值区间为。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2019-2020学年北京交大附中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）1．（6分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．﹣2．（6分）已知向量＝（t，1），＝（1，2）．若⊥，则实数t的值为（）A．﹣2B．2C．D．3．（6分）在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．4．（6分）已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β5．（6分）函数f（x）＝sinπx cosπx的最小正周期为（）A．1B．2C．πD．2π6．（6分）已知，且，那么sinα＝（）A．B．C．D．7．（6分）函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．8．（6分）已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．（5分）已知向量＝（1，2），＝（3，1），则向量，夹角的大小为．10．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝||＝4，那么•（3+）的值为．11．（5分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点A（3，4），则tanα＝；将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝．12．（5分）已知cos2α＝，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为．13．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）﹣f（﹣）＝2，则函数f（x）的单调增区间为．14．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜φ＜）图象如图，则φ的值为，ω的值为．三、解答题（本大题满分42分）15．（9分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x2x0y（3）求函数f（x）在[，π]上的最大值和最小值，并指出相应的x的值．16．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°．（1）求∠ADB的大小；（2）求CD的长；（3）求四边形ABCD的面积．17．（11分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，求证：（1）AB⊥平面BCD；（2）CD∥平面EFG；（3）平面ACD⊥平面ABC；（4）请在图中画出平面EFG截三棱锥A﹣BCD的截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若AB＝CD＝4．求出第（4）问中的截面面积．18．（9分）如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形ACEF所在平面互相垂直，平面ECB⊥平面ABCD，AB＝，M是线段EF上的一点且AM∥平面BDE．（1）求证：平面ABF∥平面CDE；（2）求证：M是线段EF的中点；（3）求证：EC⊥平面ABCD．19．（5分）利用周期知识解答下列问题：（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）同时满足以下三条性质：①存在x0∈R，使得f（x0）≠0；②对于任意x∈R，有f（x+2）＝9f（x）；③f（x）不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数f（x），则f（x）＝．（不必说明理由）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分．（i）求f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期并说明理由．（i）求证：g（x）＝sin x+cosπx不是周期函数．2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）1．【分析】由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，则cosα＝＝，故选：B．2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值．【解答】解：∵向量，，若，则＝t+2＝0，∴实数t＝﹣2，故选：A．3．【分析】直接利用正弦定理即可求解．【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．4．【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l∥α或l⊂α；对于C，α与β平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故C错误；对于D，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．【解答】解：函数，故它的周期T＝＝1，故选：A．6．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知，且，则：．故选：B．7．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin（x+）+cos（﹣x+）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin（x+）．故选：A．8．【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．【解答】解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．【分析】利用cos＜＞＝，能求出向量与的夹角．【解答】解：∵平面向量＝（1，2），＝（3，1），∴cos＜＞＝＝＝，∴＜＞＝45°．∴向量与的夹角45°．故答案为：45°．10．【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：•（3+）＝3•+＝3×4×4×cos120°+42＝﹣8．故答案为：﹣8．11．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得tanα、sinβ的值．【解答】解：∵角α的终边过点A（3，4），则tanα＝，将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝sin（α+）＝cosα＝＝，故答案为：；．12．【分析】由cos2α＝求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．【解答】解：由cos2α＝，得2cos2α﹣1＝，即cos2α＝；所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α＝1﹣3cos2α＝1﹣3×＝﹣1．故答案为：﹣1．13．【分析】由已知函数关系式可得函数周期为π，又由已知条件可得f（），f（﹣）取到最大值和最小值，进而可求出φ，继续利用函数单调性求出单调增区间．【解答】解：因为函数f（x）＝sin（2x+φ），所以函数周期为π．若f（）﹣f（﹣）＝2，则f（）＝sin（+φ）＝1，f（﹣）＝sin（﹣+φ）＝﹣1，故+φ＝2kπ+，k∈z，且﹣+φ＝2kπ﹣，k∈z，即φ＝2kπ+，k∈z故f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈z．14．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据五点法作图求得ω，可得函数的解析式．【解答】解：由函数图象过点（0，1），可得sinφ＝1，则sinφ＝，又0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（ωx+）．再根据五点法作图可得，ω+＝2π，∴ω＝．故答案为：；．三、解答题（本大题满分42分）15．【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）列表，描点、连线，画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（3）求出x∈[﹣，]时函数f（x）的最大值和最小值，以及对应x的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z；解得﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z；即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；最小正周期T＝＝π；（2）填写表格如下；x2x0π2πy020﹣202用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图为；（3）x∈[﹣，]时，2x﹣∈[0.]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以函数f（x）＝2sin（2x﹣）在[，π]上取得最大值为2，最小值为﹣1，且x＝时f（x）取得最小值，x＝时f（x）取得最大值．16．【分析】（1）利用余弦定理可得结论；（2）利用余弦定理可得结论；（3）由三角形面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积，即可得结论．【解答】解：（1）在△ABD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝＝﹣，所以∠ADB＝120°．（2）在△BCD中，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°，由余弦定理可得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝25+64﹣2×5×8×＝49，所以CD＝7．（3）S△ABD＝AD•BD•sin∠ADB＝＝，S△BCD＝BC•BD•sin∠DBC＝×8×5×＝10，所以四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD＝．17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（3）推得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，可得截面EFHG，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积．【解答】解：（1）证明：由∠ABD＝∠ABC＝90°，可得AB⊥BD，AB⊥BC，又BD∩BC＝B，则AB⊥平面BCD；（2）证明：由EF为△ACD的中位线，可得EF∥CD，且CD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则CD∥平面EFG；（3）证明：由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD，又CD⊥BC，BC∩CD＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，截面EFHG为所求截面．由GH为△BCD的中位线，可得GH∥CD，GH＝CD，又EF∥CD，EF＝CD，所以EF＝GH，且EF∥GH，可得四边形EFHG为平行四边形，由AB⊥CD，EG∥AB，EF∥CD，可得EF⊥EG，则截面EFHG为矩形；（5）若AB＝CD＝4，可得截面EFHG为边长为2的正方形，其面积为4．18．【分析】（1）易知AF∥CE，AB∥CD，由面面平行判定定理的推论即可得证；（2）设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，可推出AM∥OE，而O为AC的中点，故得证；（3）由平面ABCD⊥平面ACEF，BD⊥AC，可推出BD⊥平面ACEF，故BD⊥EC；由平面ECB⊥平面ABCD，AB⊥BC，可推出AB⊥平面ECB，故AB⊥EC；再由线面垂直的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）∵平行四边形ACEF，∴AF∥CE．∵正方形ABCD，∴AB∥CD．又AF∩AB＝A，CE∩CD＝C，AF、AB⊂平面ABF，CE、CD⊂平面CDE，∴平面ABF∥平面CDE．（2）设AC∩BD＝O，连接OE，则O为AC的中点，∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥OE．又O为AC的中点，∴M为线段EF的中点．（3）∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACEF，∴BD⊥EC．∵平面ECB⊥平面ABCD，平面ECB∩平面ABCD＝BC，AB⊥BC，∴AB⊥平面ECB，∴AB⊥EC．又BD∩AB＝B，BD、AB⊂平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD．19．【分析】（Ⅰ）由已知条件可取f（x）＝3x sin2πx（答案不唯一）（Ⅱ）若选择（i）我们知道y＝sin2x与y＝cos3x的周期分别为：π，．让它们的整数倍相等即可得出函数f（x）的最小正周期．（ii）我们知道y＝sin x与y＝cosπx的周期分别为：2π，2．而2π与2的整数倍不可能相等，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝3x sin2πx（答案不唯一）．故答案为：3x sin2πx．（Ⅱ）若选择（i）我们知道y＝sin2x与y＝cos3x的周期分别为：π，．取T＝2π，则f（2π+x）＝f（x），而f（π+x）≠f（x），可得：2π是函数f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期．（ii）证明：我们知道y＝sin x与y＝cosπx的周期分别为：2π，2．而2π与2的整数倍不可能相等，因此g（x）＝sin x+cosπx不是周期函数。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．183．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π6．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．237．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 8．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P9．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．3x π=- D ．3x π=12．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京交大附中高考数学一模试卷-(含答案解析)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围为A. B. C. D.3.在平行四边形ABCD中，，，则A. B. 2 C. 3 D. 44.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.已知是等差数列的前n项和，则“对恒成立”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值28.如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线射线OA，OC与单位圆的交点分别为，若，则的值是A.B.C.D.9.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P 为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.10.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知，，，则a，b，c中最小的是______．12.已知点在抛物线C：上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．13.已知，，若，，则满足条件的m可以为______写出一个即可14.已知函数当时，的最小值等于______；若对于定义域内的任意x，恒成立，则实数a的取值范围是______．15.已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为若，则______；若则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，，E为PB中点．Ⅰ求证：平面ACE；Ⅱ求二面角的余弦值；17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期；Ⅱ当时，求证：．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分Ⅰ求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；Ⅱ从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求与的值；Ⅲ考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．19.已知．Ⅰ若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；Ⅱ若在处取得极大值，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．Ⅰ求椭圆C的方程和焦点的坐标；Ⅱ点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．求证：点M，Q关于点H对称；若为直角三角形，求点P的横坐标．21.对于集合，，，集合A中的元素个数记为．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．Ⅰ已知集合3，5，，，写出，的值；Ⅱ已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：A具有性质T；Ⅲ已知A，B均有性质T，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去．当时，，令，解得或．当时，，当或时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．函数存在唯一的零点，且，则：；即：，可得．当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．不满足函数存在唯一的零点，且，综上可得：实数a的取值范围是．故选：B．当时，，令，解得，两个解，舍去．当时，，令，解得或对a分类讨论：当时，由题意可得关于a的不等式组；当时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：解：在平行四边形ABCD中，，，，，则．故选：C．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．【解答】解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，如图，四面体为正方体的一部分，4个面都是直角三角形．故选：A．5.答案：C解析：解：若对恒成立，则整理得，当时，得，即等差数列是单调递减数列，则成立，若成立，得，此时由得，得，此时恒成立，综上“对恒成立”是“”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：函数，函数的图象如图：函数存在零点，则实数a的取值范围是：．故选：D．画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.答案：D解析：解：依题意，设四边形的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为，，，，则四边形在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为，在上面的投影面积，在左面的投影面积，所以四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和．故选：D．分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8.答案：C解析：解：由三角函数的定义可知，，，，故选：C．由三角函数的定义可知，，，，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查合情推理的应用，属于中档题．计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．【解答】解：每个人得的总分是，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，故选：C．11.答案：c解析：解：，又，所以，即，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c由对数值大小的比较得：，又，所以，即，得解．本题考查了对数值大小的比较，属简单题．12.答案：2解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线C：，焦点坐标，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，故答案为：2．由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出，求得焦点，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题．13.答案：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．解析：【分析】本题考查了对数值的运算，属基础题．由对数的运算得：，，可得答案．【解答】解：由，，即取即满足，，故满足条件的m可以为同理可得m可为7，8，9，10，11，12，13，14，15，故答案为：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．14.答案：；解析：【分析】本题考查分段函数的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得时的解析式，分段结合二次函数的最值求法，可得最小值；讨论x的范围去绝对值，参数分离，结合二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：当时，，由时，，可得时，取得最小值；由时，，可得时，取得最小值．综上可得的最小值为；若对于定义域内的任意x，恒成立，当时，有，即，由在的最大值为0，可得，即；由时，，即，由在的最大值为，可得，综上可得a的范围是．故答案为：；．15.答案：3解析：解：当时，，则，则当时，的最大值为．，则，作出函数图象如图：，区间长度为2，若，则对应区间为，此时，若，即，则对应区间为，此时，则的取值范围是，故答案为：3，根据定义先求出，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．先求出，将函数表示成分段函数形式，结合，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．16.答案：证明：设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以．因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以．因为，O为CD中点，所以，所以．又因为平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系，则，1，，1，，0，，设平面ACE的法向量为y，，2，，令，则，，所以1，．平面ACD的法向量为0，，，．如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解析：Ⅰ设BD交AC于点F，连结推导出由此能证明平面ACE．取CD的中点O，连结PO，推导出平面建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：Ⅰ，，所以的最小正周期．证明：因为，即，所以在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．解析：Ⅰ首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．Ⅱ利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．Ⅱ的可能取值为2，；．所以X的分布列为：X23P所以．由题意可知，，所以．Ⅲ．解析：本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是；Ⅱ计算概率可得分布列和期望；Ⅲ专家评分的平均分高于观众评分的平均分，但专家人数远小于观众人数，故小于．19.答案：共13分解：因为，的定义域为，所以．．由题设知，即，解得．此时．所以a的值为分由得．若，则当时，，，，所以；当时，，，所以．所以在处取得极大值．若，则当时，，，所以．所以0不是f的极大值点．综上可知，a的取值范围是分解析：的定义域为，．利用导数的几何意义能求出a的值．当，求出在处取得极大值．当时，求出不是f的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.答案：解：Ⅰ依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：Ⅱ证法1：设，则依题意，，，所以所以直线PA的斜率因为，所以所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，所以，所以，所以，所以，，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．方法1：因为为直角三角形，且，所以为等腰直角三角形，所以，因为，，即，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法2：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法3：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法4：因为为直角三角形，所以所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为，，所以有所以，因为，即点P的横坐标为．解析：Ⅰ推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．Ⅱ证法1：设，则，求出，直线PA的斜率，由，得，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，得，由韦达定理得，推导出，由，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，得，推导出，由，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．方法1：推导出为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由为直角三角形，且，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由为直角三角形，且，从而，，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：4，6，8，10，12，，则；要证A具有性质T，只需证明，若，则．假设上式结论不成立，即若，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．分由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的，有，等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令，所以A具有性质．因为集合A，B均有性质T，且，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为分解析：Ⅰ根据定义分别计算出集合，即可得到结论．Ⅱ根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可Ⅲ集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2020年北京交大附中高考数学一模试卷(带答案)
2020年北京交大附中高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D. ϕ2.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为( )A. （2，+∞）B. （-∞，-2）C. （1，+∞）D. （-∞，-1）3.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则=（）A. -3B. 2C. 3D. 44.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 15.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f（x）=，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （1，+∞）D. （0，+∞）7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CE=A1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值28.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（-1，0）．若∠BOC=，则cos（β-α）的值是（）A. B. C. D.9.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.10.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（）A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知a=log3e，b=ln3，c=log32，则a，b，c中最小的是______．12.已知点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．13.已知a=log26，b=log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为______．（写出一个即可）14.已知函数当a=0时，f（x）的最小值等于______；若对于定义域内的任意x，f（x）≤|x|恒成立，则实数a的取值范围是______．15.已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）-f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．①若f（x）=（x-1）2，则D[0，3]（2）=______；②若则D[a，a+2]（-1）的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；17.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求证：．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E （Y）的值；（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．19.已知f（x）=（x-1）e x-ax2．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在x=0处取得极大值，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．（ⅰ）求证：点M，Q关于点H对称；（ⅱ）若△PAQ为直角三角形，求点P的横坐标．21.对于集合A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b m}，n∈N*，m∈N*．A+B={x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．（Ⅰ）已知集合A={1，3，5，7}，，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合A={a1，a2，…，a n}，{a n}为等比数列，a n＞0，且公比为，证明：A具有性质T；（Ⅲ）已知A，B均有性质T，且n=m，求|A+B|的最小值．2020年北京交大附中高考数学一模试卷答案和解析【答案】1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. D8. C9. C10. C11. c12. 213. 9.（7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）任取一个为正确答案.14. -3；[]15. 3 [1，4]16. 证明：（I）设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以EF∥PD．因为PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE．（II）取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，OF∥BC．所以OF⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PO⊥平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，）设平面ACE的法向量为=（x，y，z），=（-1，2，0），=（-，，）．令y=1，则x=2，z=-1，所以=（2，1，-1）．平面ACD的法向量为=（0，0，1），cos，＞=-．如图可知二面角E-AC-D为钝角，所以二面角E-AC-D的余弦值为-．17. 解：（Ⅰ），=，=所以f（x）的最小正周期．证明：（II）因为，即，所以f（x）在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．18. 解：（Ⅰ）由图知a=0.3，某场外观众评分不小于9的概率是．（Ⅱ）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列为：X23P所以E（X）=2×．由题意可知，，所以E（Y）=np=．（Ⅲ）．19. （共13分）解：（I）因为，f（x）的定义域为（-∞，+∞），所以f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．由题设知f'（x）=0，即e-a=0，解得a=e．此时．所以a的值为e．…．（5分）（II）由（I）得f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．①若a＞1，则当x∈（-∞，0）时，x＜0，e x＜1，e x-a＜0，所以f'（x）＞0；当x∈（0，ln a）时，x＞0，e x-a＜e ln a-a=0，所以f'（x）＜0．所以f（x）在x=0处取得极大值．②若a≤1，则当x∈（0，1）时，x＞0，e x-a≥e x-1＞0，所以f'（x）＞0．所以0不是f（x）的极大值点．综上可知，a的取值范围是（1，+∞）．…．（13分）20. 解：（Ⅰ）依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：（Ⅱ）（i）证法1：设P（x0，y0），则依题意x0≠±2，y0≠0，A（-2，0），所以所以直线PA的斜率因为PA⊥MQ，所以k PA•k MQ=-1所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令x=0，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设P（x0，y0），直线AP的方程为y=k（x+2），联立方程，消元得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，所以△=16＞0，所以，所以，所以，，所以，因为AP⊥MQ，所以，所以直线MQ的方程为，令x=0，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设P（x0，y0），直线AP的方程为x=ty-2，联立方程，消元得，（t2+2）y2-4ty=0，因为，所以，所以，所以，因为AP⊥MQ，所以，所以直线MQ的方程为，令x=0，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．（ii）方法1：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以△APQ为等腰直角三角形，所以，因为P（x0，y0），，即，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法2：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以∠AQP=90°，所以，因为P（x0，y0），，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法3：因为△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，所以∠AQP=90°，所以|AP|=2|MQ|，因为P（x0，y0），，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得（舍），即点P的横坐标为．方法4：因为△APQ为直角三角形，所以∠AQP=90°所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为P（x0，y0），，A（-2，0）所以有所以，因为，化简，得到，解得（舍）即点P的横坐标为．21. 解：（I）A+A={1，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|=7；B+B={，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|=10．…．（4分）（II）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则．假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．…．（10分）（III）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d-c≠b-a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T．因为集合A，B均有性质T，且n=m，所以|A+B|=n2-|A*∩B*|，当且仅当A=B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．…．（14分）【解析】1. 解：∵集合={x|0＜x＜1}，，∴A∩B={}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜-2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．故选：B．（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3. 【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题.利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，==（4，-1），==（0，-3），则=4×0+（-1）（-3）=3．故选：C．4. 【分析】本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．【解答】解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，如图，四面体为正方体的一部分，4个面都是直角三角形．故选：A．5. 解：若S n＞na n对n≥2恒成立，则na1+d＞n（a1+（n-1）d]，整理得（n-1）d＜0，①当n≥2时，得d＜0，即等差数列{a n}是单调递减数列，则a3＞a4成立，若a3＞a4成立，得d＜0，此时由①得n-1＞0，得n＞1，此时n≥2恒成立，综上“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6. 解：函数f（x）=，函数的图象如图：函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是：（0，+∞）．故选：D．画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.解：依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8. 解：由三角函数的定义可知，cos，sinα=，β=，∴cos（β-α）=cos cosα+sin sinα==故选：C．由三角函数的定义可知，cos，sinα=，β=，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），设A（x，y），则x＜0，设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，由到角公式得：=tan，化简得：x2+（y-）=，则x2，则-≤x＜0，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：=tan，化简得：x2+（y-）=，则x2，则-≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．10. 【分析】本题主要考查合情推理的应用，属于中档题.计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．【解答】解：每个人得的总分是6×5=30，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，故选：C．11. 解：b=ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，得解．本题考查了对数值大小的比较，属简单题．12. 解：由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得4=2p，p=2，抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0），则点M到抛物线C焦点的距离是：2，故答案为：2．由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F（1，0），利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题．13. 【分析】本题考查了对数值的运算，属基础题．由对数的运算得：a=log26＞log24=2,b=log515＜log525=2，可得答案．【解答】解：由a=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足a＞log3m＞b，m∈N*，故满足条件的m可以为9．（同理可得m可为7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）故答案为：9.（7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）任取一个为正确答案.14. 【分析】本题考查分段函数的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得a=0时f（x）的解析式，分段结合二次函数的最值求法，可得最小值；讨论x的范围去绝对值，参数分离，结合二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，由-3≤x≤0时，f（x）=（x+1）2-2，可得x=-1时，f（x）取得最小值-2；由0＜x≤3时，f（x）=-（x-1）2+1，可得x=3时，f（x）取得最小值-3．综上可得f（x）的最小值为-3；（2）若对于定义域内的任意x，f（x）≤|x|恒成立，①当-3≤x≤0时，有x2+2x+a-1≤-x，即1-a≥x2+3x，由y=x2+3x在[-3，0]的最大值为0，可得1-a≥0，即a≤1；②由0＜x≤3时，-x2+2x-a≤x，即a≥x-x2，由y=-x2+x在（0，3]的最大值为，可得a≥，综上可得a的范围是[，1]．故答案为：-3；[，1]．15. 解：①当0≤x≤3时，f（2）=1，则|f（x）-f（x0）|=|（x-1）2-1|=，则当x=3时，|f（x）-f（x0）|的最大值为D[0，3]（2）=（3-1）2-1=4-1=3．②f（-1）=-1+2=1，则|f（x）-f（x0）|=|f（x）-1|=，作出函数h（x）=|f（x）-1|图象如图：∵a≤-1≤a+2，∴区间长度为2，若a=-1，则对应区间为[-1，1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（1）=h（0）=1，若a+2=-1，即a=-3，则对应区间为[-3，-1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（-3）=（-3+1）2=4，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是[1，4]，故答案为：3，[1，4]①根据定义先求出f（2）=1，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．②先求出f（-1）=1，将函数表示成分段函数形式，结合a≤-1≤a+2，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．16. （Ⅰ））设BD交AC于点F，连结EF．推导出EF∥PD．由此能证明PD∥平面ACE．（II）取CD的中点O，连结PO，FO．推导出PO⊥平面ABCD．建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17. （Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18. 本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．（Ⅰ）由图知a=0.3，某场外观众评分不小于9的概率是；（Ⅱ）计算概率可得分布列和期望；（Ⅲ）专家评分的平均分高于观众评分的平均分，但专家人数远小于观众人数，故小于．19. （I）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．利用导数的几何意义能求出a的值．（II）f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．当a＞1，求出f'（x）＜0．f（x）在x=0处取得极大值．当a≤1时，求出f'（x）＞0.0不是f（x）的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20. （Ⅰ）推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．（i）证法1：设P（x0，y0），则，求出，直线PA的斜率，（Ⅱ）由PA⊥MQ，得k PA•k MQ=-1，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设P（x0，y0），直线AP的方程为y=k（x+2），联立方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，由韦达定理得，推导出，由AP⊥MQ，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设P（x0，y0），直线AP的方程为x=ty-2，联立方程，得（t2+2）y2-4ty=0，推导出，由AP⊥MQ，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．（ii）方法1：推导出△APQ为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由△APQ为直角三角形，且|PQ|=|AQ|，从而∠AQP=90°，|AP|=2|MQ|，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由△APQ为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21. （Ⅰ）根据定义分别计算出集合A+A，B+B即可得到结论．（Ⅱ）根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可（Ⅲ）集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2020年北京交大附中中考数学零模试卷(含答案解析)
2020年北京交大附中中考数学零模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列几何体中，是圆柱体的是()A. B. C. D.2.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是()A. aB. bC. cD. d3.河池市总面积为33500平方公里，其中数据33500用科学记数法表示为()A. 0.335×104B. 0.335×105C. 3.35×104D. 3.35×1054.甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称的是()A. B. C. D.5.如图，直线l1//l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为()A. 50°B. 45°C. 40°D. 30°6.如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90∘得到线段A′B′，那么B(−3,2)的对应点B′的坐标是()A. (2,3)B. (3,2)C. (2,−3)D. (3,−2)7.如图所示的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011−2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》)根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是()A. 与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B. 2011−2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C. 2011−2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D. 2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多8.如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点(点C不与点A、B重合)，如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.当x=_________时，分式2x+1的值为0．2x−110.如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同时刻它临近的一个建筑物的影长是24米，则这个建筑物的高度是________．11.在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同．从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球________个．12.当a=2，b=−1，c=−3时，代数式b2−4ac的值为___________．13.如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOD=50°，则∠B=______ ．14.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A−B−C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：______．15.观察下列数表的规律，第10行各数之和为______．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OA1B1绕点O逆时针旋转90°，得△OA2B2；△OA2B2绕点O逆时针旋转90°，得△OA3B3；△OA3B3绕点O逆时针旋转90°，得△OA4B4；…；若点A1(1,0)，B1(1,1)，则点B4的坐标是______，点B2018的坐标是______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2.Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕A点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．四、解答题（本大题共11小题，共61.0分）18.计算：(−12)−1+|√3−2|−(3.14−π)0+2sin60°−(−1)201919.解不等式组：{3x−5>2(x−2) x2>x−120.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF(点E在BC上，点F在AD上)．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF.所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AF=AB，BE=AB，∴______=______．在▱ABCD中，AD//BC．即AF//BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形(______)(填推理的依据)．21.在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，且DE=BF，连接AF．(1)如图1，若∠BED=60°，CD=2√3，求EF的长；(2)如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．22.已知关于x的方程mx2−(3m+2)x+2m+2=0(m>0)(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)设此方程的两个实数根分别是a，b(其中a<b).若y=b−2a，求满足y=2m的m的值．23.如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．(1)求证：∠ACD=∠F；(2)若tan∠F=13①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．24.某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩(百分制)如下：七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 5999 87 85 89 97 86 89 90 89 77八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 9462 99 94 51 88 97 94 98 85 91分组整理，描述数据(1)按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；分析数据，计算填空(2)两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；年级平均数中位数众数优秀率七年级85.3888920%八年级85.4______ ______ ______ 得出结论，说明理由．(3)估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人．(4)整体成绩较好的年级为______，理由为______(至少从两个不同的角度说明合理性)．25.如图1，点O是矩形ABCD的中心(对角线的交点)，AB=4cm，AD=6cm.点M是边AB上的一动点，过点O作ON⊥OM，交BC于点N.设AM=x，ON=y.今天我们将根据学习函数的经验，研究函数值y随自变量x的变化而变化的规律．下面是某同学做的一部分研究结果，请你一起参与解答：(1)自变量x的取值范围是________；(2)通过计算，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm 2.40 2.24 2.11 2.03 2.11 2.24 2.40请你补全表格(说明：补全表格时相关数值保留两位小数，参考数据：√9.25≈3.04，√37≈6.09)；(3)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出该函数的大致图象．(4)根据图象，请写出该函数的一条性质．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+1与函数y=k的图象交于A(−2,a)，B两点．x(1)求a，k的值；(2)已知点P(0,m)，过点P作平行于x轴的直线l，交函数y=k的图象于点C(x1,y1)，交直线y=x−x+1的图象于点D(x2,y2)，若|x1|>|x2|，结合函数图象，直接写出m的取值范围．27.已知抛物线y=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)当抛物线经过点P(4,6)时，求抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线开口向上，当−1≤x≤5时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标，求点M和点N的坐标；为112(3)点A(x1,y1)、B(x2,y2)为抛物线上的两点，设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，求t的取值范围．28.在平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d(M,N).特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0．(1)如图 1，⊙O的半径为 2，①点A(0,1)，B(4,3)，则d(A,⊙O)=_______，d(B,⊙O)=_______．②已知直线l：y=−34x+b与⊙O的“距离”d(l,⊙O)=25，求b的值．(2)如图2，已知点A(2,6)，B(2,−2)，C(−6,−2)，⊙M的圆心为M(m,0)，半径为 1 ，若d(⊙M,△ABC)= 1，请直接写出m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：[分析]本题考查的是立体图形的认识，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键．[解答]解：A是圆台；B是圆锥；C是圆柱；D是棱柱．故选C．2.答案：D解析：解：由数轴可得：a<b<c<d，故选：D．根据实数的大小比较解答即可．此题利用数轴比较大小，在数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数．3.答案：C解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：数据33500用科学记数法表示为3.35×104，故选：C．4.答案：B解析：解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.答案：C解析：解：∵l1//l2，∴∠1=∠ABC=50°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB=90°．∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．∴∠BCD=40°．故选：C．先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义，掌握相关知识是解题的关键．6.答案：A解析：本题考查坐标与图形变化−旋转和全等三角形的判定与性质，作BD⊥x轴于点D，作B′D′⊥x轴于点D′，则△BOD≌△B′OD′，根据旋转的性质和点B(−3,2)可以求得点B′的坐标．解：作BD⊥x轴于点D，作B′D′⊥x轴于点D′，则∠BDO=∠B′D′O=90°，∴∠BOD+∠DBO=90°，由旋转的性质得，OB=OB′，∠BOB′=90°，∴∠BOD+∠B′OD′=90°，∴∠DBO=∠B′OD′=90°，在△BOD和△OB′D′中，{∠BDO=∠B′D′O ∠DBO=∠B′OD′OB=OB′，∴△BOD≌△B′OD′，∴OD=B′D′，BD=OD′，∵B(−3,2)，∴OD=B′D′=3，BD=OD′=2，∴点B′的坐标为(2,3)．故选A．7.答案：B解析：此题主要考查了平均数和折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．解：A.由图可知，与2015年相比2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，从2015年的1332.0增长到了1368.2，A正确；B.由题图可知2014−2016年，我国与东南亚地区的贸易额下降，B错误；C.3632.6+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.46≈4358.1>4200，C正确；D.4554.4÷1368.2≈3.3>3，正确．故选B．8.答案：B解析：解：连接BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，BC=√AB2−AC2=√16−x2，∵12CD·AB=12AC·BC，∴y=x·√16−x24，∵y的最大值为2，此时x=2√2．故选B．9.答案：−12解析：本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．解：∵分式2x+12x−1的值为0，∴2x+1=0且2x−1≠0，解得：x=−12．故答案为−12．10.答案：16米解析：本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出该建筑物的高度，属于中档题．根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．解：∵建筑物的高建筑物的影子长=旗杆高旗杆影长，∴设建筑物的高是x米，则x24=46，解得：x=16．故该建筑物的高为16米．故答案为16米．11.答案：18解析：此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是20005000=25，口袋中有12个红球，设有x个白球，则1212+x =25，解得：x=18，经检验，x=18是原方程的解，且符合题意．答：袋中大约有白球18个．故答案为：18．12.答案：25解析：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.把a，b，c的值代入计算即可求出值．解：当a=2，b=−1，c=−3时，b2−4ac=1+24=25．故答案为25．13.答案：25°解析：解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AC⏜=AD⏜，∴∠B=12∠AOD=12×50°=25°．故答案为：25°．由在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，利用垂径定理即可求得AC⏜=AD⏜，然后由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14.答案：6x +61.2x=11解析：解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得：6x +61.2x=11，故答案为：6x +61.2x=11，设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答．15.答案：1729解析：本题是数字类的变化题，要认真观察图形，找行与列中特殊位置数的规律；如每行有几个数，每行最后一个数或第一个数哪个数的规律比较简单或明显，从此入手，解决问题．先计算每行有几个数，还要知道第9行的最后一个数为81，所以第10行的第一个数为82，最后一个数为100，再计算第10行的和．解：由条件知：第10行一共有：2×10−1=19个数，第10行的所有数为：82，83，84，85，…，97，98，99，100；∴第10行各数之和为：82+1002×19=1729；故答案为1729．16.答案：(1,−1)(−1,1)解析：解：由旋转可得，B1(1,1)，B2(−1,1)，B3(−1,−1)，B4(1,−1)，B5(1,1)，……∵2018=4×504+2，∴点B2018的坐标与点B2的坐标相同，∴B2018(−1,1)，故答案为：(1,−1)，(−1,1)．依据旋转的角度，旋转方向以及旋转的度数，即可得到点B4的坐标，再根据变化规律，即可得到点B2018的坐标．本题主要考查了坐标与图形变化，解题时注意：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．17.答案：解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2，∴∠ABC=30°，AB=1，∴AC=12∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB=AB′=2，∠B′AB=60°，∴∠EAB′=180°−∠B′AB−∠BAC=60°，∵B′E⊥EC，∴∠AB′E=30°，∴AE=1，在Rt△AB′E中，∵AE=1，AB′=2，∴B′E=√AB′2−AE2=√3，∴EC=AE+AC=2，在Rt△CEB′中，∵B′E=√3，CE=2，∴B′C=√B′E2+CE2=√7．AB=1，解析：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=12再根据旋转的性质得AB=AB′=2，∠B′AB=60°，则∠EAB′=180°−∠B′AB−∠BAC=60°，可计算出∠AB′E=30°，所以AE=1，在Rt△AB′E中利用勾股定理可计算出B′E=√3，则EC=AE+AC= 2，然后在Rt△CEB′中根据勾股定理可计算出B′C=√7．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．18.答案：解：原式=−2+2−√3−1+2×√3+12=0．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.答案：解：{3x −5>2(x −2)①x 2>x −1② ∵解不等式①得：x >1，解不等式②得：x <2，∴不等式组的解集为1<x <2．解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 20.答案：AF BE 邻边相等的平行四边形是菱形解析：解：(1)四边形ABEF 为所求作的菱形．(2)∵AF =AB ，BE =AB ，∴AF =BE ，在▱ABCD 中，AD//BC ．即AF//BE ．∴四边形ABEF 为平行四边形．∵AF =AB ，∴四边形ABEF为菱形(邻边相等的平行四边形是菱形．)故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形．(1)根据要求画出图形即可．(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.答案：(1)解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2√3，∵AB=BD，∴BD=2√3，∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DEB=60°，∠DEB=∠EAB+∠EBA，∴∠BAD=∠EBA=∠ADB=30°，∴∠EBD=90°，∴BE=2，DE=2BE=4，∵BF=DE，∴BF=4，∴EF=BF−BE=4−2=2．(2)证明：作FH//AB交AE于H.设DE=BF=a，则AF=2a．∵EA=EB，BA=BD，∴∠EAB=∠EBA=∠ADB，∵BF=DE，∴△ABF≌△BDE(SAS)，∴BE=AF=2a，∴EF=a，EA=EB=2a，∵FH//AB，EF=FB，∴AH=EH=a，∴DFFG =DHHA=2aa=2，∴DF=2FG．解析：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)证明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解决问题；(2)作FH//AB交AE于H.设DE=BF=a，则AF=2a.证明△ABF≌△BDE，根据FH//AB，EF=FB，证明AH=EH=DE=a，推出DFFG =DHHA=2aa=2即可；22.答案：解：(1)∵△=[−(3m+2)]2−4m(2m+2)，=m2+4m+4=(m+2)2又∵m>0∴(m+2)2>0即△>0∴方程有两个不相等的实数根．(2)可求得方程的两根分别为：x1=2m+2m,x2=1∵m>0∴2m+2m =2+2m>1，∴a=1,b=2m+2m∴y=2m+2m −2=2m∴2m=2m∴m=1解析：(1)首先得到△=[−(3m+2)]2−4m(2m+2)=m2+4m+4=(m+2)2然后根据m>0得到(m+2)2>0从而得到△>0，最后证得方程有两个不相等的实数根．(2)利用求根公式用m表示出方程的两根，利用y=b−2a和y=2m得到有关m的等式求得m的值即可．本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第(2)题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．23.答案：(1)证明：∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∵半径OD⊥直径AB，∴AB//CD，∴∠ACD=∠CAB，∵∠EAB=∠F，∴∠ACD=∠F；(2)①证明：∵∠ACD=∠CAB=∠F，∴tan∠GCD=tan∠GAO=tan∠F=13，设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，tan∠GAO=OGOA =13，∴OG=13r，∴DG=r−13r=23r，在Rt△DGC中，tan∠DCG=DGCD =13，∴CD=3DG=2r，∴DC=AB，而DC//AB，∴四边形ABCD是平行四边形；②作直径DH，连接HE，如图，OG=1，AG=√12+32=√10，CD=6，DG=2，CG=√22+62=2√10，∵DH为直径，∴∠HED=90°，∴∠H+∠HDE=90°，∵DH⊥DC，∴∠CDE+∠HDE=90°，∴∠H=∠CDE，∵∠H=∠DAE，∴∠CDE=∠DAC，而∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CDCA =DEDA，即3√10=3√2，∴DE=6√55．解析：(1)先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB//CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；(2)①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG=13r，则DG=23r，则CD=3DG=2r，然后根据平行线的判定得到结论；②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG=√10，CG=2√10，再证明∴△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的判定与圆周角定理．24.答案：解：(1)补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图如图所示，(2)91.5，94，55%；(3)220；(4)八年级八年级的中位数和优秀率都高于七年级．解析：解：(1)见答案(2)八年级20名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：51 55 62 71 78 85 86 87 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99=91.5分；∴中位数=91+922∵94分出现的次数最多，故众数为94分；×100%=55%，优秀率为：1120故答案为：91.5，94，55%；(3)400×55%=220(人)，答：八年级成绩优秀的学生人数约为220人；故答案为：220；(4)整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级．故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级．(1)由收集的数据即可得；根据题意补全频数分布直方图即可；(2)根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得；(3)根据题意列式计算即可；(4)八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可得结论．本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键．25.答案：解：(1)0≤x≤4(2)22.03(3)如图，(4)答案不唯一．如：该函数的图象是轴对称图形；函数的最小值为2；0<x<2时，y随x增大而减小；2<x<4时，y随x增大而增大等．解析：本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，能根据相关性质解决问题．(1)根据点M是边AB上的一动点，AB=4cm，就可得出答案；(2)可证四边形OMBN是矩形，再证△EOM∽△FON，根据相似三角形的性质就可得出答案；(3)通过描点，就可得出答案；(4)根据函数图象，就可得出答案．解：(1)根据点M是边AB上的一动点，AB=4cm，∴0≤x≤4，故答案为0≤x≤4．(2)∵AM=2，AB=4，∴点M是AB的中点，∵点0是矩形的中心，∴四边形OMBN是矩形，∴ON=BM=2;当AM=2.5时，如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，∵∠EOM+∠MOF=90°，∠MOF+∠NOF=90°，∴∠EOM=∠NOF，∴△EOM∽△FON，∴EOFO =EMFN，∴32=2.5−2FN，∴FN=13，∴ON≈2.03，故答案为2；2.03．(3)见答案；(4)见答案．26.答案：解：(1)∵直线y =−x +1与函数y =k x 的图象交于A(−2,a)，把A(−2,a)代入y =−x +1解得a =3，∴A(−2,3)．把A(−2,3)代入y =k x ，解得k =−6；(2)画出函数图象如图解{y =−6x y =−x +1得{x =−2y =3或{x =3y =−2， ∵A(−2,3)，∴B(3,−2)，根据图象可得：若|x 1|>|x 2|，则0<m <3或−2<m <0．解析：(1)将点A(−2,a)代入y =−x +1，得出点A 的坐标，再代入函数y =kx ，即可求出k 的值；(2)求出点B 的坐标，结合函数的图象即可求解．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 27.答案：解：(1)因为P(4,6)在二次函数y =ax 2−2ax −2图象上，∴6=16a −8a −2，解得a =1，当抛物线经过点P(4,6)时，抛物线的解析式为：y =x 2−2x −2=(x −1)2−3，∴抛物线的顶点坐标为(1,−3)；(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x =−−2a 2a =1，∴当1≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，∴当x =5时，y 取的值最大112，即M(5,112).把M(5,112)代入y =ax 2−2ax −2，解得a =12，∴该二次函数的表达式为y =12x 2−x −2，当x =1时，y =−52，∴N(1,−52)；(3)当a >0时，种情况不存在，当a <0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x =1，∵t ≤x 1≤t +1，当x 2≥3时，具有y 1≥y 2，点A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)在该函数图象上，∴{t +1≤3t ≥1−(3−1)， ∴−1≤t ≤2．故t 的取值范围−1≤t ≤2．解析：本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)抛物线经过点P(4,−6)，代入抛物线即可求出顶点坐标；(2)根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M ，点N 的横坐标；(3)根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．28.答案：解：(1)①1；3.②：设直线y =−34x +b 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，∵y =0，∴点C 坐标为(43b,0)，点D坐标为(0,b)，∴OC=43|b|，OD=|b|，在Rt△OCD中CD=53|b|，过点O作OH⊥CD，垂足为H，∴S△OCD=12OC·OD=12CD·OH，∴OH=45|b|，∴45|b|−2=25，∴b=±3;(3)4或2√2−4≤m≤0或−4−2√2．解析：【试题解析】此题主要考查了圆的综合问题，一次函数的问题，勾股定理，分类讨论，数形结合的数学思想方法.正确的理解d(M,N)是解决问题的关键．(1)①求出⊙O与Y轴正半轴的交点，求出OB的长再减去半径即可；②因为已知直线l：y=−34x+b，再用b表示出直线与坐标轴的交点，过点O作OH⊥CD，再表示出点H的坐标，列方程解出即可；(2)分⊙M在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用新定义逐一求解即可得．解：(1)①如图1中，连接OB交⊙O于点E，设⊙O交y轴于点F．由题意：d(A,⊙O)=AF=2−1=1，d(B,⊙O)=BE=OB−OE=5−2=3，故答案为1；3．(2)见答案；(3)如图2中，设AC交x轴于E．∵d(⊙M,△ABC)=1，∴当m=4时，⊙M1满足条件，当m=0时，⊙M2满足条件，假设⊙M3满足条件，作M3H⊥AC，由题意HM3=HE=2，∴EM3=2√2，∴M3(2√2−4,0)，∴m=2√2−4；观察图象可知：当2√2−4≤m≤0时，⊙M满足条件，假设⊙M4满足条件，作M4G⊥AC于G，由题意；GM4=GE=2，∴EM4=2√2，∴M4(−4−2√2,0)，∴m=−4−2√2．综上所述，满足条件的m的值为4或2√2−4≤m≤0或−4−2√2．。
2020年北京大学附属中学高三数学理联考试题含解析
2020年北京大学附属中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为，则（）A. B.C. D.参考答案：B略2. 从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为参考答案：3. 过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】设，，则，，，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解．【详解】设，，则，，直线的方程为：，联立，可得，∴，，∴，故选D．4. x为实数，且有解，则m的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】求出|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．【详解】有解，只需大于的最小值，，所以，有解．故选：C．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．5. 函数的定义域是（）.A． B. C.D.参考答案：C略6. （5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B． 0 C． 1 D． 2参考答案：A【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．【点评】：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．7. 已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是（）A. B. C. D.参考答案：A8. 10．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ( )A． B． C． D．参考答案：B9. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（）A．、 B．、 C．、 D．、参考答案：A略10. 已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) .{ x|1<x<2} (D)参考答案：因为，，所以，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知多项式(x+1)3 (x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5= ．参考答案：16，4试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．12. 设α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列条件：①α，β都平行于直线a，b；②a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β；③a与b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β．其中可判定α∥β的条件是．（填序号）参考答案：②③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据面面平行的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①α，β都平行于直线a，b，α，β可能相交、平行，不正确；②a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β，根据面面平行的判定定理，可知正确；③a与b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，根据面面平行的判定定理，可知正确．故答案为②③．13. 已知向量的夹角为，且，，则．参考答案：2根据向量的点积运算得到，向量的夹角为，，故，计算得到.故答案为2.14. 已知函数，则____________参考答案：315. 已知函数f（x）=﹣sin2x+2sinx+a，若f（x）=0有实数解，则a的取值范围是．参考答案：考点：正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：由题意可转化为a=sin2x﹣2sinx有解，（﹣1≤sinx≤1），通过求解函数y=sin2x ﹣2sinx（﹣1≤sinx≤1）的值域确定a的范围解答：解：∵sinx∈若f（x）=0有实数解?a=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1有解y=sin2x﹣2sinx在区间上单调递减从而y=（sinx﹣1）2﹣1∈a∈故答案为：点评：本题主要以正弦函数的值域﹣1≤sinx≤1为载体，考查二次函数在闭区间上的值域，关键是要寻求﹣1≤sinx≤1，判断函数在区间上的单调性．16. 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积= ．参考答案：17. 向量在单位正方形网格中的位置如图所示，则.参考答案：3【知识点】平面向量的数量积及应用F3如图建立平面直角坐标系，则=（1，3），=（3，-1）-（1，1）=（2，-2），=（（3，2）-（5，-1）=（-2，3），∴+=（0，1），∴?=（1，3）?（0，1）=3．【思路点拨】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x轴、y轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解析几何(解析版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编一解析几何（2020海淀一模）已知双曲线x1(b 0）的离心率为则b的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】由题知a2e22 . 2a +b 厂厂=5，ab 2.故选：B.（2020海淀一模）已知点P（1, 2）在抛物线C：y22px上，则抛物线C的准线方程为【答案】x 1【解析】P（1,2）在抛物线C : y22px上，2p 4, p 2，准线方程为x故答案为：x1.（2020西城一模）2詁1（b 0）的一条渐近线方程为y 2，则该双曲线的离心率为2【答案】一622 【解析】—4 岭1（b 0），一条渐近线方程为：y 2x，故bb 22，° 斥，e = X2故答案为：◎2（2020西城一模） 设A 2, 1 , B 41，则以线段AB 为直径的圆的方程是（A. (x3)2B. (x 3)2 y 2C. (x 3)2D. (x 3)2 y 2【答案】 【解析】 AB 的中点坐标为： 3,0，圆半径为rAB J22 22圆方程为（x 3）2 y 22. 故选：A .（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点 （1,1）， （脅），⑵1）， （4, 2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是【答案】x 2 8y 或y 2 x 【解析】设抛物线的标准方程为:2 x my ，不难验证 ，4,2适合，故2小x 8y ；设抛物线的标准方程为： y 2 nx ， 不难验证1,1，4,22适合，故y x ；故答案为：x 2 8y 或y 2 x （2020东城一模） 已知圆C 与直线y x 及x y 4 0的相切，圆心在直线 y x 上，则圆C 的方程为（） 2 2A. x 1 y 12B.圆C 与直线y4 0都相切,圆心到两直线y2a 42C 的标准方程为故选：A.【答案】B若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足 a即a 0，b 0,满足a b ，即必要性成立,即“ a b ”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件故选：B.2C. x 1 y 1D.【答案】A【解析】圆心在y x 上，设圆心为 a,a ,【解析】 若a b 0,则对应的曲线为双曲线,不是椭圆, 即充分性不成立,0的距离相等,圆心坐标为1,1R 22（2020东城一模） 已知曲线 2C 的方程为—a1，则b ”是 曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆的（）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模）抛物线x 2 4y 的准线与y 轴的交点的坐标为（）221 12 21 12 22a ，解得故答案为:A. (0, 1 )B. (0, 1)C. (0, 2)D. (0, 4)2【答案】B【解析】 准线方程为：，•-「，与y 轴的交点为（0, 1），故选B .2已知双曲线M : x 2 - 1的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直 31（ a b 0）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，贝U a设椭圆N 的左焦点为F 1，则斤（1,0），连接AR由椭圆的定义可得 AF 1 AB 2a（2020丰台一模）2 2线.若椭圆N :二厶2 ,2a b2【解析】因为OA 为双曲线x 2工 31的渐近线，所以k OAAOB 60所以 AD AOsin60AO cos60因为OB2OD 1，所以椭圆N 的半焦距c 1【答案】（2020丰台一模）过抛物线C：y2 2px（p 0）的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线C交于两AF个不同的点A，B （点A在x轴上方），则_ 的值为（）BF1 4 - cA. B. C. 3 D. 33 3【答案】D【解析】设A（X A，Y A），B（X B，Y B），过点A分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为M，N，过点B作x轴的垂线，垂足于点Q，直线AB与准线交于点D，准线与x轴交于点E3Q直线AB的倾斜角为60，MDA 30，即AD 2 AM由抛物线的定义知,AM 由于AM 〃EF，贝U AM 设直线AB的方程为y并代入y2 2px中，得:AF，贝y AD 2 EF 2p ,'、3 x —，即22 2 3p Y丁Y 2 AF，即点F为AD中点AF 2p，则YA2 psi n60 3p由于BFQ : AFN，则|AF| Y A|BF| Y Bp20，即YA Y B2 rP ,则Y B_P2"P3p 33故选：Dy 1 0的距离为（A. 2 C.【答案】B【解析】圆x 1 2的圆心坐标为(1,0)则圆心（1,0）到直线x 1 0的距离d故选：B（2020朝阳区一已知抛物线C : y22px(p 0）的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点, 模）AD l 于D.若AF 4，DAF 60，则抛物线C的方程为（A. y28xB. y2 4x 2C. y2 2xD. y2x【答案】【解析】根据抛物线的定义可得AD AF 4，1又 DAF 60，所以 AD p AF ，2所以4 p 2，解得p 2，所以抛物线C 的方程为y 2 4x .故选：B则该双曲线的离心率为（）【答案】C【解析】 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 a,c ，因为 ABC 120，所以AC BC ，因为以A ， B 为焦点的双曲线经过点 C所以 AC BC 2a ，AB BC 2c ，所以2 .3c 2c 2a ，所以2—Ua 2故选：C（2020朝阳区一模）数学中有许多寓意美好的曲线,2 23 2 2曲线C :（x y ） 4x y 被称为 四叶玫瑰线”（如图（2020朝阳区一模） 在VABC 中，AB BC ， ABC 120 若以 A ， B 为焦点的双曲线经过点 C ，A.B."C.D. .3在三角形 ABC 中由余弦定理得cos120oAB 2 BC 2 AC 22 AB BC4c 2 4c 2 AC 28c 2解得AC 212c 2，所以 AC 2.3c ，所示）给出下列三个结论：① 曲线C 关于直线y x 对称；② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1;③存在一个以原点为中心、边长为 ,2的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）其中，正确结论的序号是 _________ .【答案】①②1 2 2 2 22，从而可得四个交点，B （22），C （吕吕，D （吕吕，依题意满足条件的最小正方形是各边以A,B,C,D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.【解析】对于①，将（y,x ）代入C:（x 2 y 2）3 4x 2y 2得（y 2 x 2'3 ）3 4y 2x 2成立，故曲线C 关于直线y x 对 称，故①正确;2 23 2 2 2对于②，因为 蛙 d x 2y 2 a d ，所以x 24 41，所以• ,x 2 y 2 1，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确;y x2对于③，联立 22 32 2得x(x y ) 4x y故答案为：①②（2020石景山一模）圆x 2 y 2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1，则a （）因为点M 在抛物线上，则（普）2 4 £ •则y N 8 .4 A. -3B.3 4C.农D. 2【答案】A【解析】由x 2y 2 2x 8y 130配方得(x1)2 (y 4)24 , 所以圆心为（1,4）,因为圆2 2a 4 14 x y 2x 8y 130 圆心到直线ax y 10的距离为 1, 所以- ,2 21，解得av a 13，故选A.1 y N设点N 为N （°,y N ）,因为M 为FN 的中点，所以点M 为（2，一亍），Y 轴于点N .因为F 是抛物线C : y 24x 的焦点，所以点F 坐标为F （1,0）.4 3A. B C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2 y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2 y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为(2 , ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2 y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2 y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0的距离为1，a 4 1所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为(？，？)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2 y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2 y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a 4 1所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(°,y N),因为M为FN的中点，所以点M为J ?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则(y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为（1,4），因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F（1,0）.1 yN设点N为N（0,y N）,因为M为FN的中点，所以点M为（2 , ?），y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则（y N）24 1.则y N2 8 .4 3A. B. C. 3 D. 23 4【答案】 A【解析】由x2y22x 8y 13 0 配方得(x 1)2 (y 4)2 4 ，所以圆心为(1,4) ，因为圆22x2y2 2x 8y 13 0 圆心到直线ax y 1 0 的距离为1，a41所以 2 21，解得aa21243，故选 A.因为F是抛物线C : y2 4x的焦点，所以点F坐标为F(1,0).1 yN 设点N为N(0，y N),因为M为FN的中点，所以点M为$，?)，y 轴于点N .因为点M 在抛物线上，则( y N)24 1.则y N2 8 .4 3A. B. 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2020年北京交大附中中考数学零模试卷-解析版
2020年北京交大附中中考数学零模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列几何体中，是圆柱的为()A. B.C. D.2.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是()A. a>−2B. a<−3C. a>−bD. a<−b3.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST 的反射面总面积约为()A. 7.14×104m2B. 7.14×103m2C. 2.5×106m2D. 2.5×105m24.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是()A. B. C. D.5.如图，直线a//b，直线c与直线a，b分别交于点A，点B，AC⊥AB于点A，交直线b于点C.如果∠1=34°，那么∠2的度数为()A. 34°B. 56°C. 66°D. 146°6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,1)，如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为()A. (−1,2)B. (−2,1)C. (1,−2)D. (2,−1)7.太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大陆发展太阳能．如图是2013−2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是()A. 截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦B. 2013−2017年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加C. 2013−2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦D. 2017年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的41%8.如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式x−2x的值是0，则x的值为______．10.在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为______m.11.袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是______．12.如果代数式m2+2m=1，那么m2+4m+4m ÷m+2m2的值为______．13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A=15°，弦CD=4，那么AB的长是______．14.2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威⋅太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威⋅太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威⋅太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为______．15.百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为______．16.在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,m)绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域(包括边界)内，则m的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）17.如图，∠MAN=90°，B，C分别为射线AM，AN上的两个动点，将线段AC绕点A逆时针旋转30°到AD，连接BD交AC于点E．(1)当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出DEBE的值；(2)写出一个∠ACB的度数，使得DEBE =12，并证明．四、解答题（本大题共11小题，共61.0分）18.计算：|−√3|−(4−π)0+2sin60°+(14)−1．19.解不等式组：{3x≥4x−1 5x−12>x−220.在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q(与点A不重合)；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AB=AP=______=______．∴四边形ABQP是菱形(______)(填推理的依据)．∴PQ//l．21.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．(1)求证：四边形CDBF是平行四边形；(2)若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=4√2，求DF的长．22.已知关于x的方程x2−4mx+4m2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1<x2.若2x1=x2+1，求m的值．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若cos∠DAB=4，BE=1，求AD的长．524.某地质量监管部门对辖区内的甲、乙两家企业生产的某同类产品进行检查，分别随机抽取了50件产品并对某一项关键质量指标做检测，获得了它们的质量指标值s，并对样本数据(质量指标值s)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．质量指标值20≤s<2525≤s<3030≤s<3535≤s<4040≤s<45等级次品二等品一等品二等品次品说明：等级是一等品，二等品为质量合格(其中等级是一等品为质量优秀)；等级是次品为质量不合格．b.甲企业样本数据的频数分布统计表如下(不完整)：c.乙企业样本数据的频数分布直方图如下：甲企业样本数据的频数分布表分组频数频率20≤s<2520.0425≤s<30m30≤s<3532n35≤s<400.1240≤s<4500.00合计50 1.00平均数中位数众数极差方差甲企业31.9232.5341511.87乙企业31.9231.5312015.34根据以上信息，回答下列问题：(1)m的值为______，n的值为______；(2)若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为______；若乙企业生产的某批产品共5万件，估计质量优秀的有______万件；(3)根据图表数据，你认为______企业生产的产品质量较好，理由为______.(从某个角度说明推断的合理性)25.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上的动点(点D不与点A，点B重合)，过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A=30°，AB=4cm，在点D 由点A到点B运动的过程中，设AD=xcm，AE=ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：x/cm (1)2132252372…y/cm…0.40.8 1.0______ 1.00 4.0…(2)在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当AE=12AD时，AD的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x>0)的图象G经过点A(4,1)，直线l：y=x4+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．(1)求k的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围．27.已知二次函数y=ax2−4ax+3a．(1)该二次函数图象的对称轴是x=______；(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；(3)若该二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．(1)已知点P(0,3)，Q为P的离点．①如图2，若B(0,0)，则圆心C的坐标为______，线段PQ的长为______；②若B(2,0)，求线段PQ的长；(2)已知1≤PA≤2，直线l：y=kx+k+3(k≠0)．①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为______；②记直线l：y=kx+k+3(k≠0).在−1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2.【答案】D【解析】解：A、如图所示：−3<a<−2，故此选项错误；B、如图所示：−3<a<−2，故此选项错误；C、如图所示：1<b<2，则−2<−b<−1，故a<−b，故此选项错误；D、由选项C可得，此选项正确．故选：D．利用数轴上a、b所在的位置得出a、−b的取值范围，进而比较得出答案．此题主要考查了实数与数轴，正确得出a以及−b的取值范围是解题关键．3.【答案】D【解析】解：7140×35=249900≈2.5×105．故选：D．直接利用有理数乘法运算法则计算，进而利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.【答案】B【解析】解：如图：∵直线a//b，∴∠1+∠BAD=180°，∵AC⊥AB于点A，∠1=34°，∴∠2=180°−90°−34°=56°，故选：B．先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大．6.【答案】A【解析】解：如图作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E．∵∠OEB=∠AOB=∠AFO=90°，∴∠BOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠BOE=∠OAF，∵OB=OA，∴△BOE≌△OAE，∴OE=AF=1，BE=OF=2，∴B(−1,2)故选：A．如图作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E.利用全等三角形的寻找即可解决问题；本题考查坐标与图形的变化，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7.【答案】B【解析】解：A、截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦，此选项正确；B、2013−2014年，我国光伏发电新增装机容量减少，2014−2017年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加，此选项错误；≈C、2013−2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为1095+1060+1513+3454+530652500万千瓦，此选项正确；D、2017年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的530613078×100%≈41%，此选项正确；故选：B．根据折线统计图中的数据对各选项逐一判断即可得．本题主要考查折线统计图，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需的数据及掌握算术平均数的定义．8.【答案】A【解析】解：作OC⊥AP，如图，则AC=12AP=12x，在Rt△AOC中，OA=1，OC=√OA2−AC2=√1−14x2=12√4−x2，所以y=12OC⋅AP=14x⋅√4−x2(0≤x≤2)，所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=√34；排除B、C、D选项，故选：A．作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=12AP=12x，再根据勾股定理可计算出OC=12√4−x2，然后根据三角形面积公式得到y=14x⋅√4−x2(0≤x≤2)，再根据解析式对四个图形进行判断．本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．9.【答案】2【解析】解：∵分式x−2x的值是0，∴x−2=0且x≠0，∴x=2．故答案为：2．根据分式的值为零的条件得到x−2=0且x≠0，易得x=2．本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10.【答案】6【解析】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，1.83=x10，解得x=6，即这栋建筑物的高度为6m．故答案为：6．根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．11.【答案】4【解析】解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，∴摸到红球的频率=30150=15，∵袋子中共有20个小球，∴这个袋中红球约有20×15=4个，故答案为：4．首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】1【解析】解：m2+4m+4m ÷m+2m2=(m+2)2m×m2m+2=m2+2m，因为m2+2m=1，所以m2+4m+4m ÷m+2m2的值为1，故答案为：1先化简，再整体代入解答即可．此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.【答案】8【解析】解：∵∠A=15°，∴∠COB=30°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD=4，∴CE=2，∠OEC=90°∵∠COE=30°，∴OC=2CE=4，∴AB=2OC=8，故答案为：8根据圆周角定理得出∠COB=30°，再利用含30°的直角三角形的性质得出OC，进而解答即可．本题考查了垂径定理和圆周角定理求解．熟记垂径定理和圆周角定理是解此题的关键．14.【答案】100x −1002.74x=18.75【解析】解：设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，则“神威⋅太湖之光”的浮点运算速度为2.74x亿亿次/秒，根据题意，得：100x −1002.74x=18.75，故答案为：100x −1002.74x=18.75．根据“天河二号的运算时间−神威⋅太湖之光的运算时间=18.75秒”可列方程．本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．15.【答案】505【解析】解：1～100的总和为：(1+100)×1002=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505．根据已知得：百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10．本题考查了数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案；此题非常简单，跟百子碑简介没关系，只考虑行、列就可以，同时，也可以利用列来计算．16.【答案】2.5≤m≤3【解析】【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=−2交于C，D两点，则点A在线段CD 上，据此可得m的取值范围．本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=−2交于C，D两点，则点A(−2,m)在线段CD上，又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，∴m的取值范围是2.5≤m≤3，故答案为：2.5≤m≤3．17.【答案】解：(1)补全图形如下：由旋转的性质可得AC=AD，∠DAC=30°，如图1，过点D作DF⊥AC于点F，∴DF//AB，∴△DFE∽△BAE，∴DFAB =DEBE，设DF=x，则DA=2x，则AC=2x，∴AB=2√33x，∴DFAB=√32∴DEBE =√32．(2)解：∠ACB=45°．证明：∵∠ACB=45°，∴AB=AC．∵AC=AD，∴AB=AD．如图2，过点D作DF⊥AC于点F，∴∠DFE=90°∵∠CAD=30°，∴DF=12AD=12AB．∵∠BAE=90°，∴∠DFE=∠BAE=90°．∵∠FED=∠AEB．∴△FED∽△AEB．∴DEBE =DFAB=12．【解析】(1)由题意画出图形，根据旋转的性质可得AC=AD，∠DAC=30°，过点D作DF⊥AC于点F，证明△DFE∽△BAE，可得DFAB =DEBE，求出DFAB的值即可；(2)∠ACB=45°.过点D作DF⊥AC于点F，证明△FED∽△AEB，可得出结论．本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．18.【答案】解：原式=√3−1+2×√32+4=√3−1+√3+4=3+2√3．【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】解：{3x≥4x−1①5x−12>x−2②∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x>−1，∴不等式组的解集为−1<x≤1，【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20.【答案】(1)如图所示．(2)PQ，BQ；四边相等的四边形是菱形；【解析】解：(1)如图所示．(2)：∵AB=AP=PQ=BQ．∴四边形ABQP是菱形(四边相等的四边形是菱形)．∴PQ//l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．(1)根据要求作出图形即可．(2)根据四边相等的四边形是菱形即可判断．本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．(2)解：如图，作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，BC=4√2，∴BE=1BC=2√2，DF=2DE．2在Rt△EMB中，EM=BE⋅sin∠ABC=2，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=4，∴DF=2DE=8．【解析】(1)欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF//DB，CF=DB即可；(2)如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵△=(−4m)2−4(4m2−9)=36>0，∴此方程有两个不相等的实数根；(2)∵x=4m±√362=2m±3，∴x1=2m−3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2(2m−3)=2m+3+1，∴m=5．【解析】(1)首先得到△=(−4m)2−4(4m2−9)=36>0证得方程有两个不相等的实数根；(2)根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第(2)题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，∵CD=BD，∴CD⏜=BC⏜，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠OCA，∴∠1=∠OCA，∴OC//AF，∵EF为切线，∴OC⊥EF，∴AF⊥EF；(2)解：∵OC//AF，∴∠COE=∠DAB，在Rt△OCE中，设OC=r，∵cos∠COE=cos∠DAB=OCOE =45，即rr+1=45，解得r=4，连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，cos∠DAB=ADAB =45，∴AD=45×8=325．【解析】(1)连接OC，如图，先证明OC//AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；(2)先利用OC//AF得到∠COE=∠DAB，在Rt△OCE中，设OC=r，利用余弦的定义得到rr+1=45，解得r=4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．24.【答案】10 0.640.96 3.5甲甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好【解析】解：(1)n=32÷50=0.64，m=50×(1−0.04−0.64−0.12−0.00)=10，故答案为：10，0.64；(2)若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为：1−0.04=0.96，乙企业生产的某批产品共5万件，估计质量优秀的有：5×3550=3.5(万件)，故答案为：0.96，3.5；(3)我认为甲企业生产的产品质量较好，理由：甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好，故答案为：甲，甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好．(1)根据题意和频数分布表中的数据，可以先求的n的值，然后再求m的值；(2)根据频数分布表可以求得从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率，根据频数分布直方图可以求得乙企业生产的某批产品共5万件，质量优秀的有的件数；(3)根据频数分布直方图和分布表可以解答本题，注意本题答案不唯一，只要合理即可．本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.【答案】(1)1.2；(2)根据已知数据，作图得：(3) 2.4或3.3【解析】解：(1)根据题意，测量得1.2∴故答案为：1.2(2)见答案；(3)当AE=12AD时，y=12x，在(2)中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.4或3.3故答案为：2.4或3.3AD条件，实际上可以转化为正比例函(1)(2)根据题意测量、作图即可；(3)满足AE=12x数y=12本题以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在(3)中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．(x>0)得，26.【答案】解：(1)把点A(4,1)代入反比例函数y=kxk=4×1=4，(2)①当b=−1时，如图，y=x−1过C(0,−1)和(4,0)，4故区域W内的整点个数为3(实心点所示)；②如上图，当b=−2时，区域W内的整点个数增加了3个(空心点所示)，故−2≤b<−1．【解析】(1)把点A(4,1)代入反比例函数表达式即可求解；(2)①当b=−1时，通过作图，即可求解；②如图，当b=−2时，区域W内的整点个数增加了3个(空心点所示)，即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．27.【答案】解：(1)2；(2)∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a−8a+3a=2．∴a=−2，y=−2x2+8x−6，∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值−6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为−6；(3)∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4，∴t的最大值为4．【解析】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)对称轴x=−−4a2a=2，故答案为2；(2)构建方程求出a的值即可解决问题；(3)当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q 左边或重合时，满足条件，可得t+1≤5，由此即可解决问题．28.【答案】(0,1)√3 6【解析】解：(1)①∵B(0,0)，A(0,2)，以AB为直径作⊙C，∴C(0,1)，∵过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，∴连接CQ，则CQ⊥PQ，如图2所示：在Rt△PQC中，CQ=BC=1，∵点P(0,3)，∴PC=3−1=2，∴PQ=√PC2−CQ2=√22−12=√3，故答案为(0,1)；√3②如图3，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A(0,2)，B(2,0)，∴C(1,1)．∴M(0,1)．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA=√12+12=√2．∴CQ=CA=√2．∵P(0,3)，M(0,1)，∴PM=2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC=√22+12=√5．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ=√PC2−CQ2=√(√5)2−(√2)2=√3．(2)①如图1：当k=1时，y=x+4，设Q(t−4,t)，∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B(m,0)，∴C(m2,1)，∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y=−x+m2+1，∴Q点横坐标为m4−32，∴m4−32=t−4，∴m=4t−10，∴C(2t−5,1)，∵CQ=AC，∴(2t−5)2+1=2(t−1)2，∴t=6或t=2，∴t的最大值为6；故答案为：6．②∵−1≤x≤1，∴y=kx+k+3经过定点(−1,3)，∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2=PA⋅PO，如图4所示：当k<0时，Q点的在端点(−1,3)和(1,2k+3)之间运动，当P(0,4)时，PQ=2√2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点(0,4−2√2)，此时k=1−2√2，当P(0,3)时，PQ=√3，Q(1,2k+3)，∴1+4k2=3，∴k=±√22，∴k=−√22，∴1−2√2<k≤−√22；当k>0时，当P(0,4)时，PQ=2√2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点(0,4+2√2)，此时k=1+2√2，当P(0,3)时，PQ=√3，∵Q(1,2k+3)，∴PQ2=1(1−0)2+(2k+3−3)2=3，∴1+4k2=3，∴k=±√22，∴k=√22，∴√22≤k<1+2√2．(1)①由B(0,0)，A(0,2)，以AB为直径作⊙C，得出C(0,1)，由切线的性质得出CQ⊥PQ，求出CQ=BC=1，PC=2，由勾股定理即可得出PQ的长；②过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ.求出M(0,1).由勾股定理得CA=√2.得出CQ= CA=√2.求出PM=2.由勾股定理进而得出答案；(2)①当k=1时，y=x+4，设Q(t−4,t)，P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B(m,0)，求出CQ的解析式为y=−x+m2+1，得出Q点横坐标为m4−32，得出m=4t−10，则C(2t−5,1)，由CQ=AC得出方程，得出t=6或t=2，即可得出答案；②求出y=kx+k+3经过定点(−1,3)，由切割线定理得出PQ2=PA⋅PO，当k<0时，Q点的在端点(−1,3)和(1,2k+3)之间运动，求出当P(0,4)时，当P(0,3)时，k的值，即可得出答案；当k>0时，同理即可得出答案．本题是圆的综合题目；考查了切线的性质、新定义、坐标与图形性质等知识；熟练掌握圆的切线的性质，构造直角三角形，结合直线与圆的位置关系解题是关键．。
2020年12月交大附中高三数学试卷及答案
交大附中高三12月数学诊断性练习满分：150分 时间：120分钟2020.12第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．)1．已知全集U=R ，集合A={x |x （x ﹣1）≥0}，则∁U A= C A ．[0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是 CA ．3()2f x x =-+B ．12()log ||f x x =C ．3()3f x x x =-D ．f (x )= sinx3. 如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是 DA ．①②B ．③C ．②③D ．①②③4．某校高三（7）班31名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有2人，则这两项成绩都合格的人数是 CA ．23 B ． 21 C ．20 D ．195. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.下列四个命题为正确命题的是 DA ．0x ∃∈R ，使200230x x ++=B ．命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ，0lg <x ”C ．如果,a b ∈R ，且a b >，那么22ab >D ．βα=是βαsin sin =的充分不必要条件7. 已知 m ∈(0,1)，令 a =log m 2，b =m 2，c =2m ，那么 a,b,c 之间的大小关系为 CA. b <c <aB. b <a <cC. a <b <cD. c <a <b 8. 已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1，||3BC =，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 ∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 BA. 25√5B. 2C. √5D. 2√59. 已知函数23,()512,f x x x ⎧=⎨+-⎩,.x m x m ≥< 若函数()()g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 BA. 2m <B. 23m <≤C. 23m ≤≤D. 3m >10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面一点，若，则线段长度的取值范围是AA.3(0,]2B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.7912. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=. 若12l l ⊥，则实数a 的值是 .0或3-13.列举两个函数说明“增函数除以减函数为增函数”是假命题 .y=x 与y=-x （不唯一）14. 在等比数列{}n a 中，若124a =-，489a =-，则公比q =________；当n =________时，{}n a 的前n 项积．最大. 13，415. 设定义域为的函数的图像的为C.图像的两个端点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，点M 是C 上任意一点，向量，，，且满足，又设向量。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
2020-2021学年北京交大附中分校高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京交大附中分校高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知平面向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(1,2)，那么a ⃗ ⋅b ⃗ 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 42. sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于( )A. 14B. 12C. √22 D. √323. 计算cos69°cos24°+sin69°sin24°的结果是( )A. 12B. √22C. √32D. 14. 如果正△ABC 的边长为1，那么AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −12B. 12C. 1D. 25. 复数z =i(1−i)，则|z|=( )A. 1B. √2C. 2D. 46. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果a =10，A =45°，B =30°，那么b 等于( )A. 5√22B. 5√2C. 10√2D. 20√27. 已知△ABC 中，∠A =45°，AB =2√2，AC =3，那么BC 等于( )A. 2√3B. 6C. 1D. √58. 函数f(x)=sinxcosx 的最小正周期为( )A. 3πB. πC. 2πD. 4π9. 已知复数z 满足z −−z =2i ，则z 的虚部是( )A. −1B. 1C. −iD. i10. 复数ai−1i在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (1,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 2cos 215°−1等于______．12. 在复数范围内方程x 2−x +2=0的解集是______．13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，已知a =4，B =π3，S △ABC =6√3，那么c 等于______．14. 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(m,0)(m >0)，cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=______． 15. 再复平面内，复数z =3+2i 与其共轭复数对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则三角形AOB 的面积是______． 三、解答题（本大题共4小题，共35.0分） 16. 已知x +y +4i =2y +x 2i ，求实数x ，y 的值．17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sinx)，b ⃗ =(cosx,−sinx)，求函数f(x)=a ⃗ ⋅b⃗ +1． (1)如果f(x)=12，求sin4x 的值． (2)如果x ∈(0,π2)，求f(x)的取值范围．18. 在△ABC 中，cosC =17，c =8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (Ⅰ)b 的值；(Ⅱ)角A 的大小和△ABC 的面积． 条件①：a =7； 条件②：cosB =1114．19. 在△ABC 中，A =π6，B ∈(π2,5π6)，BC =2．(Ⅰ)若B =2π3，求sin C ；(Ⅱ)求证：AB =4sin(5π6−B)； (Ⅲ)求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题可得a⃗⋅b⃗ =(1,1)⋅(1,2)=1+2=3，故选：C．利用平面向量的坐标运算性质代入计算即可．本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的坐标运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础题．由已知结合两角和的正弦公式即可求解．【解答】．解：sin35°cos25°+cos35°sin25°=sin60°=√32故选：D．3.【答案】B【解析】解：cos69°cos24°+sin69°sin24°=cos(69°−24°)=cos45°=√2．2故选：B．利用公式cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，即可得解．本题考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．根据向量的数量积的运算性质计算即可．解：∵正△ABC 的边长为1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =1×1×cos60°=12， 故选：B ．5.【答案】B【解析】解：∵z =i(1−i)=1+i ， ∴|z|=√12+12=√2． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6.【答案】B【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题． 根据正弦定理直接代入求值即可． 【解答】解：由正弦定理asinA =bsinB =csinC ， 得10sin45∘=bsin30∘，解得：b =5√2， 故选B ．7.【答案】D【解析】解：在△ABC 中，∠A =45°，AB =2√2，AC =3，所以由余弦定理可得BC²=AB²+AC²−2AB ⋅AC ⋅sinA =8+9−2×2√2×3×√22=5，所以BC =√5．由余弦定理即可求解．本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，函数f(x)=sinxcosx=12sin2x∴T=2π2=π故选：B．先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．利用待定系数法设z=a+bi，然后利用复数相等，求出b的值即可得到答案．【解答】解：设z=a+bi，因为z−−z=2i，则有a−bi−(a+bi)=2i，即−2bi=2i，所以b=−1，故复数z的虚部为−1．故选：A．10.【答案】C【解析】解：复数ai−1i =−i(ai−1)−i⋅i=a+i在复平面上对应的点(a,1)位于第一象限，则实数a的取值范围是(0,+∞)，故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】√32【解析】解：2cos215°−1=cos30°=√32，故答案为：√32．由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．12.【答案】{x|x=1+√7i2，或x=1−√7i2}【解析】解：对于方程x2−x+2=0，由于△=1−8=−7<0，故它有2个共轭虚根，∴它的2个根为1±√−△i2=1±√7i2，故原方程的解集为{x|x=1+√7i2，或x=1−√7i2}，故答案为：{x|x=1+√7i2，或x=1−√7i2}.由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，求得结果．本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：∵a=4，B=π3，S△ABC=6√3=12acsinB=12×4×c×√32，∴c=6．故答案为：6．由已知利用三角形的面积公式即可求c的值．本题主要考查了三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】√55【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m ， 所以cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅m=√55． 故答案为：√55．分别求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，代入公式cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |求解． 本题考查利用数量积求夹角的余弦值，属于基础题．15.【答案】6【解析】解：复数z =3+2i 在复平面内对应的点为A(3,2)，z 的共轭复数z −=3−2i 在复平面内对应的点为B(3,−2)， 故S △AOB =12|AB|×3=12×4×3=6． 故答案为：6．根据已知条件，结合复数的几何含义，以及三角形的面积公式，即可求解． 本题主要考查复数的几何含义，以及三角形的面积公式，属于基础题．16.【答案】解：由x +y +4i =2y +x 2i ，可得{x +y =2yx 2=4，解得x =y =2或x =y =−2．【解析】根据复数的相等可得关于x 、y 的方程组，再求出x ，y ． 本题考查了根据复数的相等求参数的值，考查了方程思想，属于基础题．17.【答案】解：∵a ⃗ =(2sinx,2sinx)，b ⃗ =(cosx,−sinx)，∴f(x)=a ⃗ ⋅b⃗ +1=2sinxcosx −2sin 2x +1=sin2x +co2x =√2sin(2x +π4)， (1)∵f(x)=12，∴√2sin(2x +π4)=12， ∴sin(2x +π4)=√24， ∴sin4x =−cos(4x +π2)=−cos2(2x +π4)=−[1−2sin 2(2x +π4)]=−1+2×12=0， (2)∵x ∈(0,π2)， ∴2x +π4∈(π4,5π4)，∴−√22<sin(2x +π4)<1，∴−1<√2sin(2x +π4)<√2， ∴f(x)的取值范围(−1,√2).【解析】计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f(x)的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；(1)借助诱导公式和二倍角公式，求出sin4x 的值．(2)先求出2x +π4的范围，再根据正弦函数的单调性，求出函数的值域．本题考查了三角函数的二倍角公式，三角函数的化简，向量的数量积，属于中档题．18.【答案】解：选条件①：(Ⅰ)a =7时，cosC =17，c =8， 利用c 2=a 2+b 2−2abcosC ，整理得b 2−2b −15=0，解得b =5或−3(负值舍去)， 故：b =5．(Ⅱ)由于cosC =17，0<C <π， 所以sinC =√1−cos 2C =4√37， 利用正弦定理asinA =csinC ，所以7sinA =4√37sinA =√32，由于c >a ，所以A =π3， 则S △ABC =12absinC =10√3． 选条件②时，(Ⅰ)cosB =1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314， cosC =17，所以sinC =√1−cos 2C =4√37，由正弦定理b sinB =csinC ，整理得5√314=4√37，解得b =5，(Ⅱ)cosB =1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314， cosC =17，所以sinC =√1−cos 2C =4√37，所以cosA =−cos(B +C)=−1114×17+5√314×4√37=12，由于A ∈(0,π)， 所以A =π3．所以S △ABC =12bcsinA =12×5×8×√32=10√3．【解析】选条件①：(Ⅰ)利用余弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；选条件②时，(Ⅰ)利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)sinC =sin(π−A −B)=sin π6=12；(Ⅱ)证明：在△ABC 中，由正弦定理得ABsinC =BCsinA ， ∵BC =2，sinA =12，B +C =5π6，∴AB =BCsinC sinA=4sin(5π6−B)；(Ⅲ)∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4sin(5π6−B)， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =8sin(5π6−B)cosB =8cosB(12cosB +√32sinB)=4sin(2B +π6)+2=2+2cos2B +2√3sin2B =4sin(2B +π6)+2，∵B ∈(π2,5π6)，∴2B +π6∈(7π6,11π6)，∴sin(2B +π6)∈[−1,−12)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =的取值范围是[−2,0)．【解析】(Ⅰ)由A 与B 的度数求出C 的度数，即可求出sin C 的值； (Ⅱ)由正弦定理列出关系式，根据B 表示出C 代入计算即可得证；(Ⅲ)利用平面向量的数量积运算化简所求的式子，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个叫的正弦函数，由B 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出范围．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．第11页，共11页。
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2020年北京交大附中高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围为A. B. C. D.3.在平行四边形ABCD中，，，则A. B. 2 C. 3 D. 44.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.已知是等差数列的前n项和，则“对恒成立”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值28.如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线射线OA，OC与单位圆的交点分别为，若，则的值是A.B.C.D.9.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P 为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.10.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知，，，则a，b，c中最小的是______．12.已知点在抛物线C：上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．13.已知，，若，，则满足条件的m可以为______写出一个即可14.已知函数当时，的最小值等于______；若对于定义域内的任意x，恒成立，则实数a的取值范围是______．15.已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为若，则______；若则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，，E为PB中点．Ⅰ求证：平面ACE；Ⅱ求二面角的余弦值；17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期；Ⅱ当时，求证：．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分Ⅰ求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；Ⅱ从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求与的值；Ⅲ考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．19.已知．Ⅰ若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；Ⅱ若在处取得极大值，求a的取值范围．20.已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为．Ⅰ求椭圆C的方程和焦点的坐标；Ⅱ点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线分别与线段AP、x轴、y轴相交于不同的三点M，H，Q．求证：点M，Q关于点H对称；若为直角三角形，求点P的横坐标．21.对于集合，，，集合A中的元素个数记为．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．Ⅰ已知集合3，5，，，写出，的值；Ⅱ已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：A具有性质T；Ⅲ已知A，B均有性质T，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去．当时，，令，解得或．当时，，当或时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．函数存在唯一的零点，且，则：；即：，可得．当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．是函数的极小值点，0是函数的极大值点．不满足函数存在唯一的零点，且，综上可得：实数a的取值范围是．故选：B．当时，，令，解得，两个解，舍去．当时，，令，解得或对a分类讨论：当时，由题意可得关于a的不等式组；当时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：解：在平行四边形ABCD中，，，，，则．故选：C．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．【解答】解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，如图，四面体为正方体的一部分，4个面都是直角三角形．故选：A．5.答案：C解析：解：若对恒成立，则整理得，当时，得，即等差数列是单调递减数列，则成立，若成立，得，此时由得，得，此时恒成立，综上“对恒成立”是“”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：函数，函数的图象如图：函数存在零点，则实数a的取值范围是：．故选：D．画出函数的图象，利用数形结合推出a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.答案：D解析：解：依题意，设四边形的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为，，，，则四边形在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为，在上面的投影面积，在左面的投影面积，所以四边形所围成的图形如图所示阴影部分分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和．故选：D．分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8.答案：C解析：解：由三角函数的定义可知，，，，故选：C．由三角函数的定义可知，，，，然后结合两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题9.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查合情推理的应用，属于中档题．计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．【解答】解：每个人得的总分是，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，故选：C．11.答案：c解析：解：，又，所以，即，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c由对数值大小的比较得：，又，所以，即，得解．本题考查了对数值大小的比较，属简单题．12.答案：2解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线C：，焦点坐标，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，故答案为：2．由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出，求得焦点，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题．13.答案：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．解析：【分析】本题考查了对数值的运算，属基础题．由对数的运算得：，，可得答案．【解答】解：由，，即取即满足，，故满足条件的m可以为同理可得m可为7，8，9，10，11，12，13，14，15，故答案为：8，9，10，11，12，13，14，15，任取一个为正确答案．14.答案：；解析：【分析】本题考查分段函数的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得时的解析式，分段结合二次函数的最值求法，可得最小值；讨论x的范围去绝对值，参数分离，结合二次函数的最值求法，可得a的范围．【解答】解：当时，，由时，，可得时，取得最小值；由时，，可得时，取得最小值．综上可得的最小值为；若对于定义域内的任意x，恒成立，当时，有，即，由在的最大值为0，可得，即；由时，，即，由在的最大值为，可得，综上可得a的范围是．故答案为：；．15.答案：3解析：解：当时，，则，则当时，的最大值为．，则，作出函数图象如图：，区间长度为2，若，则对应区间为，此时，若，即，则对应区间为，此时，则的取值范围是，故答案为：3，根据定义先求出，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．先求出，将函数表示成分段函数形式，结合，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．16.答案：证明：设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以．因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以．因为，O为CD中点，所以，所以．又因为平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系，则，1，，1，，0，，设平面ACE的法向量为y，，2，，令，则，，所以1，．平面ACD的法向量为0，，，．如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解析：Ⅰ设BD交AC于点F，连结推导出由此能证明平面ACE．取CD的中点O，连结PO，推导出平面建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：Ⅰ，，所以的最小正周期．证明：因为，即，所以在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．解析：Ⅰ首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．Ⅱ利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．Ⅱ的可能取值为2，；．所以X的分布列为：X23P所以．由题意可知，，所以．Ⅲ．解析：本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．Ⅰ由图知，某场外观众评分不小于9的概率是；Ⅱ计算概率可得分布列和期望；Ⅲ专家评分的平均分高于观众评分的平均分，但专家人数远小于观众人数，故小于．19.答案：共13分解：因为，的定义域为，所以．．由题设知，即，解得．此时．所以a的值为分由得．若，则当时，，，，所以；当时，，，所以．所以在处取得极大值．若，则当时，，，所以．所以0不是f的极大值点．综上可知，a的取值范围是分解析：的定义域为，．利用导数的几何意义能求出a的值．当，求出在处取得极大值．当时，求出不是f的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.答案：解：Ⅰ依题意，有所以，椭圆方程为焦点坐标分别为，证明：Ⅱ证法1：设，则依题意，，，所以所以直线PA的斜率因为，所以所以直线MQ的斜率所以直线MQ的方程为令，得到因为，所以，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，所以，所以，所以，所以，，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，消元得，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以直线MQ的方程为，令，得到，所以，所以H是M，Q的中点，所以点M，Q关于点H对称．方法1：因为为直角三角形，且，所以为等腰直角三角形，所以，因为，，即，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法2：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，所以，所以，即，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法3：因为为直角三角形，且，所以，所以，因为，，，所以，化简得到，因为，化简，得到，解得舍，即点P的横坐标为．方法4：因为为直角三角形，所以所以点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，因为，，所以有所以，因为，即点P的横坐标为．解析：Ⅰ推导出，从而，由此能求出椭圆方程，焦点坐标．Ⅱ证法1：设，则，求出，直线PA的斜率，由，得，由此能求出直线MQ的斜率和直线MQ的方程，从而推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法2：设，直线AP的方程为，联立方程，得，由韦达定理得，推导出，由，得，直线MQ的方程为，推导出，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．证法3：设，直线AP的方程为，联立方程，得，推导出，由，得，由此能证明H是M，Q的中点，点M，Q关于点H对称．方法1：推导出为等腰直角三角形，，从而得到，由此能求出点P的横坐标．方法2：由为直角三角形，且，得，从而，由此能求出点P的横坐标．方法3：由为直角三角形，且，从而，，进而，由此能求出点P的横坐标．方法4：由为直角三角形，得点A，P，Q都在以AP为直径的圆上，从而，由此能求出点P的横坐标．本题考查椭圆的方程、焦点坐标的求法，考查两点关于一点对称的证明，考查点的横坐标的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：4，6，8，10，12，，则；要证A具有性质T，只需证明，若，则．假设上式结论不成立，即若，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．分由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的，有，等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令，所以A具有性质．因为集合A，B均有性质T，且，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为分解析：Ⅰ根据定义分别计算出集合，即可得到结论．Ⅱ根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可Ⅲ集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。