B第5章常用分布 浙江农林

概率论与数理统计
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5 5 125 5 解 （1） P( X 3) e e 3! 6
5k 5 （2） P( X 10) e k 0 k !
10
3
查表？
P( X 3) P( X 2) 0.265 0.125 0.140
0.986
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§1.4 二项分布的数学期望和方差
定理
若 X ~ B(n, p) ．则
（1） X 的数学期望为 E( X ) np ； （2） X 的方差为 D( X ) np(1 p) ．
证明
易证若 X ~ B(1, p) ，则
E( X ) p
D( X ) p(1 p)
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§1 两点分布与二项分布
§1.1 两点分布
定义
X
P
如果随机变量 X 的概率分布为
x1
1 p
x2
p
则称 X 服从两点分布(Two-point distribution)， 其中 0 p 1 ．
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例
一批种子的发芽率为 95%， 从中任意抽取一粒进
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第5章 常用分布
§1 两点分布与二项分布
§2
§3 §4 §5
泊松（Poisson）分布
均匀分布 指数分布 正态分布
第五章习题课
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第5章 常用分布
本章将介绍几个在日常生活、 社会经济活动和科 学研究中常用的重要随机变量的分布． 要求掌握这些 分布规律和数字特征（数学期望和方差等） ，以及它 们的特性．
n
lim P{ X n k} lim C p (1 pn )
n n k n k n
n k


k
k!
e
(0 k n)
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n ， lim pn lim 证明 记 n npn ，则 lim n n n
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1，第i次试验中A发生 Xi 0， 否则
Xi
P
0
1 p
1
p
易知随机变量 X 与 X i 有如下关系：
X X1 X 2 X n
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即二项分布的随机变量 X ~ B(n, p) ，可以分解 成 n 个 0-1 分布随机变量 X i ~ B(1, p) 之和， 而且这 n 个随机变量的取值互不影响.反之， n 个取值互不 影响的 0-1 分布随机变量 X i ~ B(1, p) 之和服从二项 分布 X ~ B(n, p) .
lim(1
n
n
n
)nk lim[(1
n
n
n
)

n
n
]

nk n n
e
i lim(1 ) 1 , i 1, 2, , k 1 n n
因此
k k lim Cn pn (1 pn ) n k n
k
k!
e
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1
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§2
泊松（Poisson）分布
§2.1 泊松（Poisson）分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
P{ X k}
k
k!
e , k 0,1, 2, ，
其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布 (Poisson distribution)，记作 X ~ P( ) ．
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例 用步枪射击飞机，每次击中的概率为 0.001，今 独立地射击 6000 次，试求击中不少于两弹的概率．
解 设 X 为击中的次数，则 X ~ B(6000,0.001)
np 6000 0.001 6
P{ X 2} 1 P{ X 2}
1 P{ X 1}
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解 以 X 表示一周内发生故障的天数，则 X B(5,0.2) ．
用 Y 表示所获利润，则
10, X 0 5 , X 1 Y 0, X 2 2, X 3
5 0.4096 10 0.32768
Y P
－2 0.05792
0 0.2048
E (Y ) 10 0.32768 5 0.4096 2 0.05792 5.20896
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设 X 1 , X 2 ,, X n 为 n 个独立同分布的随机变量
X i ~ B(1, p) ，则有
X X1 X 2 X n
i 1, 2,, n
而且 E( X i ) p, D( X i ) p(1 p),
E( X ) E( X 1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
60 6 6 6 1 e e 1 7e6 0.9826 0! 1!
即该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故的概 率为 0.9826
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例
某商店某种商品日销量 X ~ P(5) , 试求以下事
件的概率: （1）日销 3 件的概率； （2）日销量不超过 10 件的概率.
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例 统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服 从参数为 6 的泊松分布,求该路口一个月内至少发生 两起交通事故的概率.
解 设该路口每月发生的交通事故次数为 X, 由题设 ,
X ~ P(6) ,因此,所求概率为
P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)
20
i 1,2,,10.
得
E ( X ) E ( X1 X 2 X10 )
E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 10 )
9 20 101 8.784(次). 10
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泊松分布可描述客观世界中大量存在的类似稀 疏流的随机现象， 比如一段时间内， 电话交换台收到 的电话呼唤次数， 售票口买票的人数， 原子放射的粒 子数，织布机上断头的次数，动物物种的数量等，它 们都近似地服从泊松分布． 因此泊松分布在实际应用 中都占有很突出的地位．
则 X ~ B(8,0.6) ,于是
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(1)
(2)
3 3 5 P( X 3) P (3) C 0.6 0.4 0.1239 8 8
P( X 2) P 8 (0) P 8 (1) P 8 (2)
0 1 2 C8 0.60 0.48 C8 0.6 0.47 C8 0.62 0.46
Cov( X , Y ) E[ X E ( X )][Y E (Y )]
E[ X E ( X )][(n X ) E(n X )]
1 E[ X E ( X )] D ( X ) n 4
2
XY
Cov( X , Y )
D( X ) D(Y )
C p (1 pn )
k n k n nk
n
n
0．
n n k n(n 1) (n k 1) n k ( ) (1 ) k! n n
n nk 1 2 k 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) k! n n n n nk
对固定的 k
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例 某工厂有一套重要的机器设备，该设备在一天 内发生故障的概率为 0.2 ，设备发生故障时全天停止 工作．若一周 5 个工作日无故障，可获利 10 万元； 若发生一次故障可获利 5 万元；若发生两次故障则 不获利；若发生三次或三次以上故障则亏损 2 万元， 问一周内的期望利润是多少？概率Βιβλιοθήκη 与数理统计概率论与数理统计
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§1.2 二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
k k P{X k} Cn p (1 p)nk ,
k 0,1, 2,, n
则称随机变量 X 服从为参数为 n, p 的二项分布(the Binomial Distribution)，记为 X ~ B(n, p) ．
即一周内的期望利润是 5.20896 万元．
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例 将一枚均匀的硬币投掷 n 次，以 X 和 Y 分别表 示正面朝上和背面朝上的次数，试求 X 和 Y 的协方 差和相关系数．
解
X ~ B(n,1/ 2),
Y ~ B(n,1/ 2),
X Y n
E( X ) E(Y ) n / 2, D( X ) D(Y ) n / 4
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
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例
一机场班车载有20 位旅客自机场开出 ,旅
客有 10 个车站可以下车 . 如到达一个车站没有旅 客下车就不停车, 以 X 表示停车的次数 , 求 E( X ) ( 设每位旅客在各个车站 下车是等可能的, 并设各 旅客是否下车相互独立 ).
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