对函数的进一步认识
高中数学对函数的进一步认识 合作与讨论 试题
卜人入州八九几市潮王学校对函数的进一步认识与讨论1．怎样判断一个解析式是否是函数要判断一个解析式表达的是否为函数，利用定义法便可解决．即对定义域中的任何一个值，在值域中都有唯一的函数值与它对应．2．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗 函数确实定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数．这是由函数的本质决定的．3．如何判断一个对应是否为映射根据定义即可，称为定义法．对于一个A 到B 的对应，A 中的任何一个元素都对应B 中的唯一一个元素，或者A 中的多个元素对应B 中的一个元素，这样的对应都是映射，而A 中的一个元素对应月中的多个元素的对应就不是映射．可以简单地说：“一对一〞“多对一〞的对应是映射，“一对多〞的对应不是映射．4．无究大∞是一个数吗无穷大∞仅是一个记号，不是一个数．用－∞，＋∞作为区间一端或者两端的区间称为无穷区间，如｛x ｜a ＜x ＜＋∞｝可用区间表示为〔a ，＋∞〕．5．如何理解符号y ＝f 〔x 〕中的“f 〞符号y ＝f 〔x 〕中的“f 〞表示对应法那么，在不同的详细函数中，“f 〞的含义不一样，可以形象地把函数的对应法那么“f 〞看作一个“暗箱〞．例如y ＝f 〔x 〕＝x 2，可以将其看作输入x ，输出x 2，于是“暗箱〞相当于一个“平方机〞的作用〔如以下列图〕，那么显然应该有f 〔a 〕＝a 2，f 〔m ＋1〕＝〔m ＋1〕2，f 〔x ＋1〕＝〔x ＋1〕2． 【例题】函数．＜，＝，＞＝)0()0()0(02)(2x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧ 求f 〔2〕，f 〔－3〕，f ［f 〔－3〕］的值．解：f 〔2〕＝22＝4，f 〔－3〕＝0，f ［f 〔－3〕］＝f 〔0〕＝2．点评：函数的定义域的求法．〔1〕由函数的解析式确定函数的定义域．在函数的解析式中，自变量可能因为参与某种运算而使其取值范围受到限制．由这种限制要求就可以确定自变量只能取值的范围，也就求得了函数的定义域．这类限制主要有：①分式的分母不能为零．②开偶次方时，被开方数必须为非负数．③对数的真数必须大于零，底数必须为非1的正数．④一些特殊函数对自变量的规定〔以后学习〕．〔2〕由实际问题确定函数的定义域．有许多函数是反映消费生活的实际问题的，因此定义域除受解析式的制约外，还必须符合实际问题的情况与要求．如有些问题要求自变量只能取正数〔某些图形的边长、面积等〕，有些问题又要求自变量只能取正整数〔以件为单位的物品或者人数等〕．6．函数的表示法有几种函数的表示方法有三种，即解析法、列表法、图象法．里研究的函数主要是用解析式表示的函数，对解析法比较容易理解．列表法、图象法也是表示函数的方法．用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时的对应值．图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况．7．函数的图象都是连续的曲线吗这不一定，一般来说，假设自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数，但假设自变量的取值不是连续的，那么它的图象就是一些孤立点．例如：y＝5x，〔x ｛1，2，3，4｝〕．有时函数的图象是由几段线段组成．8．如何由实际问题写出函数表达式〔1〕阅读理解，要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学本质．〔2〕数学建模．即将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学式子表示出来．分段函数是一个函数还是几个函数分段函数仍是一个函数，只不过是根据自变量的不同范围，函数的表达式不同而已．本节内容中主要包括：函数的概念、函数的表示方法、映射．打破思路1．函数是数学中最重要的根本概念之一，高中对函数内容的学习是初中函数知识的深化和延伸，本节中，在学习集合的根底上，用集合对应的语言对函数重新加以定义，从根本上提醒了函数的本质：由定义域、值域、对应法那么三要素构成的整体，从而使学生认识到初中变量观点F定义的限制和重新认识函数的必要性．概念的教学是非常重要的，尤其是学生刚接触一种新的概念，老师给学生讲清楚，并通过师生的一共同讨论，帮助学生深入理解变得更为重要，要在学生的思想上、知识构造中打上深入的烙印，否那么后面的学习将会产生困难．2．函数是由其定义域、值域、对应法那么三要素构成的整体，并可用抽象符号f〔x〕来表示，由于f所代表的对应法那么不一定能用解析式表示，故本节介绍了函数的表示方法，除理解析法还有列表法和图象法，这三种表示函数的方法之间具有内在的联络．比方本节例3的数据可以用列表法给出，教学中可引导学生先列表，再求解析式，最后画图象．例4在本质上那么是训练由图象求解析式的过程等，认识函数的三种表示方法之间的联络并能互相转化，是对函数概念深化理解的重要步骤．3．映射是一种特殊的对应，学习这一定义时，应注意以下几点：〔1〕映射是由集合A，B以及从A到B的对应关系f所确定的．〔2〕在映射中，集合A中的“任一元素〞在集合B中都有“唯一〞的象，即不会存在集合A中的某一元素a在集合B中没有象，或者者不止一个象的情况．〔3〕在映射中，集合A与B的地位是不对等的．一般地，在映射中我们不要求B中的每一个元素都与A中的唯一元素相对应．因此，从A到B的映射与从B到A的映射是具有不同的要求的．本节由实际问题引出了对分段函数的认识，即对于自变量不同的取值范围，用不同的解析式表示同一个函数关系，故分段函数是一个函数而不是几个函数，教学中可举一些例子帮助学生理解．根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型、研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用才能的进步应不断贯穿于以后的教学过程中．规律总结1．函数的三种表示法的比较〔1〕用解析法表示函数关系的优点是：函数的关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．缺点是：函数值的对应关系必须通过计算才能得到，有时其计算量较大，而且并不是所有的函数关系都能用解析法表示出来．〔2〕用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时的函数的对应数值．缺点是：有时只能表示一局部的自变量与函数值的对应关系，而不能把所有的对应关系一一表示出来，而且有时所有表示的函数的性质较为隐蔽，不利于研究函数的性质．〔3〕用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况．缺点是：不能准确地表示自变量，对应的函数值的对应关系．2．映射是一种特殊的对应，它是研究函数的根底和工具．映射是现代数学的根本语言〔如同集合一样〕，用它来表达问题简洁明了．因此对于映射的学习重在准确理解和把握映射的概念．．．．．．．．．．．．上，即抓住“取元任意性、成象唯一性〞这两点．映射是在函数的根底上引申、扩展的，而函数那么是一个特殊的映射．一方面，我们要擅长利用函数与映射这一关系来理解和解决问题，如以函数作为特例不难理解映射的概念；反过来，运用映射的语言来表达问题就简洁明了得多．另一方面，函数与映射的这一关系正是人类对客观事物认识由低级向高级飞跃的一个缩影．因此我们应掌握这种将低级认识扩展到高级认识的思维方法，掌握了这种方法也就掌握了创造和创造的方法．3．根本方法〔1〕函数及其同一性〔两函数“一样〞〕的断定两个函数当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样时，才是同一个函数．判断函数的同一性，重要的是定义域和对应关系的本质，而不是表示它们的公式的外貌．〔2〕求函数定义域及定义域的应用定义域是函数的关键性特征，对于每个确定的函数，其定义域是确定的．但是，未必每个解析式都能在实数集R 上定义一个函数．例如，21x y －－＝就不能在R 上定义出函数来．又如x y －＝1也不是定义域为R 的函数，然而它可以定义为R 的子集〔－∞，1］上的函数，这就产生了求定义域的问题．在实际寻找函数的定义域时，应当遵循以下规那么： ①分式的分母不应该是零；②偶次根式的根号里面的式子应该为非负数；③对数的真数应该是正的；④有限个函数的四那么运算得到的函数，其定义域是这有限个函数的定义域的交集〔作除法时还要排除使除式为零的x 值〕； ⑤对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的详细条件制约．关于定义域的应用，常见的有如下几个方面：①求值域或者确定函数值的变化范围；②解析式的变形或者化简；③解不等式或者解方程；④求函数的最值．〔3〕求函数的值域及值域的应用最直接的方法是由函数的定义域通过对应关系求值域，有时也可根据详细情况采用以下适当的方法或者技巧：①化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域；②利用二次三项式的判别式求值域；③由图象，运用数形结合的方法求值域；④利用某些函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域；⑤采用换元法求值域；⑥在建立反函数概念后，可利用互为反函数的定义域与值域的互换关系求值域．〔4〕求函数表达式与函数记号的运用通常会遇到以下各种情形：①对于函数f 〔x 〕、ϕ〔x 〕，求形如f ［ϕ〔x 〕］的表达式；②函数表达式的类型，根据函数所具有的某些性质或者约束条件确定表达式中的待定参数；③根据函数对应关系所满足的某些条件，求函数的表达式．在上述各种情形中，正确理解和运用函数记号，常常是疏通思路的关键．④函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法三种．⑤求函数的解析式的方法有：直接法、配凑法、换元法、消去法、定义法、待定系数法及特殊法等．〔5〕求函数值与画函数图象求函数值是学习函数概念必须掌握的最根本的但却是最重要的方法．例如画函数图象首先就要求函数值．一个函数y＝f〔x〕可看成有序实数对〔x，y〕的集合．在直角坐标系中给出以每个有序实数对为其坐标的点，所有这些点的集合就是函数的图象．函数的图象表示法奠定了数形结合的根底．。
对函数的再认识优秀教案
对函数的再认识【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．知识目标：使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，了解对应观点下的函数意义，会求简单函数的函数值。
2．能力目标：使学生会根据实际问题求出函数的关系式，建立函数模型。
培养学生类比和转化的思想方法，锻炼学生缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力。
3．情感目标：培养学生养成勇于探索、大胆质疑、严谨论证的良好思维习惯。
在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与能力。
【教学重难点】1．函数意义的理解，会求简单函数的函数值。
2．会根据实际问题求出函数的关系式。
【教学过程】一、创设情景，引入新课（一）出示问题：1．什么是函数？你能举出几个函数的例子吗？例如；正比例函数、一次函数、反比例函数。
2．A、B两地的路程为900km，一辆汽车从A到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的关系式是___________________。
3．如图，矩形ABCD的面积为18cm2，其中一边BC长为a cm，矩形ABCD的周长l（cm）与a（cm）的关系式是_____________。
4．某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本以上，超过10本的部分打八折，问题：（1）购买该种书6本需付款__________元；（2）购买该种书14本需付款_________元；（3）付款金额y（元）与购买该种书的本数x（本）之间的关系式是___________。
师生活动：抽学生起来回答正比例函数、一次函数和反比例函数的表达式。
教师适时点拨，学生独立完成2、3、4题。
学生带着这三个问题以小组为单位进行讨论，找出它们之间的联系，从而加强对函数定义的理解。
二、设计意图（一）创设研究情景，展现知识的发生过程，激发学生的求知欲。
（二）给学生实践的机会，使学生手、眼和脑并用，加深对新知的印象。
对培养学生的观察能力和归纳概括能力都有益。
（三）探究新知，合作交流。
示范教案{§2对函数的进一步认识2.1函数概念}
§2 对函数的进一步认识2．1 函数概念整体设计教学分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y ＝f (x )的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性． 重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y ＝f (x )”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟六号”飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟六号”飞行期间，我们时刻关注“神舟六号”离我们的距离y 随时间t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究．引出课题．思路2.问题：已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈∁R Q ，0，x ∈∁R Q ，请用初中所学函数的定义来解释y 与x 的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题1给出下列三种对应：幻灯片①一枚炮弹发射后，经过26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m ，且炮弹距地面的高度h 单位：m 随时间t 单位：s 变化的规律是h ＝130t －5t 2.时间t 的变化范围是数集A ＝{t |0≤t ≤26}，h 的变化范围是数集B ＝{h |0≤h ≤845}，则有对应f ：t →h ＝130t －5t 2，t ∈A ，h ∈B .②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S (单位：106 km 2)随时间t (单位：年)从1979—2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．化范围是数集B＝{S|37.9≤S≤53.8}，则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义．(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．讨论结果：(1)共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等．(5)C ⊆B .应用示例思路1例1 某山海拔7 500 m ，海平面温度为25 ℃，气温是高度的函数，而且高度每升高100 m ，气温下降0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温T 随高度x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域．活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域．解：当高出海平面x m 时，温度下降了x 100×0.6(℃)， 则函数解析式为T (x )＝25－0.6x 100＝25－3500x . 函数的定义域为[0,7 500]，值域为[－20,25]．点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力．例2 已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围；x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值． (3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0.解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝38＋333. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义．则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2； f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x 为某一代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积；符号f (x )与f (m )既有区别又有联系，当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1．求函数y ＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域． 答案：{x |x ≤1，且x ≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．2．若f (x )＝1x的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N 等于( )．A ．MB ．NC ．U MD ．U N分析：由题意得M ＝{x |x ＞0}，N ＝R ，则M ∩N ＝{x |x ＞0}＝M .答案：A3．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)的定义域是________．分析：要使函数f (2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x －1≤1，∴0≤x ≤1. 答案：[0,1]思路2例1 已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨f (a )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 的值． 解法一：原式＝121＋12＋221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋421＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1421＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142 ＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.解法二：由题意得f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. 则原式＝12＋1＋1＋1＝72. 点评：本题主要考查对函数符号f (x )的理解．对于符号f (x )，当x 是一个具体的数值时，相应地f (x )也是一个具体的函数值．本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，故先探讨f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的值，从而使问题简单地获解．求含有多个函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解．受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失．其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.变式训练1．已知a ，b ∈N ＋，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 007f 2 006＝________.分析：令a ＝x ，b ＝1(x ∈N ＋)，则有f (x ＋1)＝f (x )f (1)＝2f (x )，即有f x ＋1f x ＝2(x ∈N ＋)． 所以，原式＝＝4 012.答案：4 0122．设函数f (n )＝k (k ∈N ＋)，k 是π的小数点后的第n 位数字，π＝3.141 592 653 5…，则等于________．分析：由题意得f (10)＝5，f (5)＝9，f (9)＝3，f (3)＝1，f (1)＝1，…，则有＝1.答案：1例2 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，函数f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则这样的函数f (x )有( )．A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数．定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对f (a )，f (b )，f (c )的值分类讨论，注意要满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0.解：当f (a )＝－1时，则f (b )＝0，f (c )＝1或f (b )＝1，f (c )＝0，即此时满足条件的函数有2个；当f (a )＝0时，则f (b )＝－1，f (c )＝1或f (b )＝1，f (c )＝－1或f (b )＝0，f (c )＝0， 即此时满足条件的函数有3个；当f (a )＝1时，则f (b )＝0，f (c )＝－1或f (b )＝－1，f (c )＝0，即此时满足条件的函数有2个．综上所得，满足条件的函数共有2＋3＋2＝7(个)．故选C.点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.变式训练若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y ＝x 2，值域是{1,4}的“同族函数”共有( )．A ．9个B ．8个C ．5个D ．4个分析：“同族函数”的个数由定义域的个数来确定，此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数．令x 2＝1，得x ＝±1；令x 2＝4，得x ＝±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{1，－1，－2,2}，则“同族函数”共有9个．答案：A知能训练1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 21＋f 2f 1＋f 22＋f 4f 3＋f 23＋f 6f 5＋f 24＋f 8f 7＋f 25＋f 10f 9＝________. 分析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )．令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)，∴f p ＋1f p ＝f (1)＝3. ∴原式＝2f 2f 1＋2f 4f 3＋2f 6f 5＋2f 8f 7＋2f 10f 9 ＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f (x )＝1x的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )． A ．A ∪B ＝B B ．A BC ．A ⊆BD ．A ∩B ＝∅分析：由题意得A ＝{x |x ≠0}，B ＝{x |x ≠0，且x ≠－1}．则A ∪B ＝A ，则A 错；A ∩B ＝B ，则D 错；由于B A ，则C 错，B 正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值．(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f (x )－f (－x )的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (－x )．证明如下：由题意得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )．∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．作业练习1、2.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．(设计者：高建勇)。
《一次函数》说课稿
《一次函数》说课稿一、说教材《一次函数》是苏教版初中数学八年级上册第六单元第二节的内容。
从知识内容来说,本课是对函数的进一步认识与提升，进一步发展学生的抽象逻辑思维，渗透建模思想。
函数本身是反映现实世界变化规律的重要模型，教材在编排上充分体现了从实际生活情境中抽象数学问题，建立模型并形成概念的过程，并将正比例函数纳入一次函数的研究中，力图通过实例从代数表达式的角度认识一次函数。
从教材体系来说，之前学生已经掌握了变量之间的关系，初步体会了函数概念的基础之上的教学。
通过本节课的学习可以培养学生函数思想和建模意识，为之后探究一次函数图像、二次函数等奠定了扎实的基础。
本课的知识起到了承前启后的作用，也符合学生的认知规律。
二、说学情八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。
因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。
就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。
三、说教学目标教学目标是教学活动实施的方向和预期达到的结果，是一切教学活动的出发点和归宿。
精心设计了如下的教学目标：(一)知识与技能理解一次函数和正比例函数的概念，体会之间的联系，并能根据已知生活情境给出一次函数解析表达式，发展抽象概括能力。
(二)过程与方法经历动手试验、规律探索的活动过程，提高抽象思维能力，并借助于将实际生活情境转化为数学问题，渗透建模思想。
(三)情感态度与价值观在知识的探求过程中提高学习数学的兴趣，提高数学的应用意识。
四、说教学重难点本着新课程标准，吃透教材，了解学生特点的基础上我确定了以下重难点：(一)教学重点一次函数和正比例函数的概念。
浙教版数学八年级上册5.2《认识函数》教学设计(1)
浙教版数学八年级上册5.2《认识函数》教学设计（1）一. 教材分析《浙教版数学八年级上册5.2认识函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数的概念、自变量、因变量等基本知识的基础上进行进一步学习的。
本节内容主要让学生了解函数的表示方法，包括解析法、表格法和图象法，同时让学生通过实例了解函数的实际应用，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的函数知识基础，能够理解函数的基本概念。
但是，对于函数的表示方法，特别是表格法和图象法，学生可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际例子来理解这些方法，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.让学生了解函数的表示方法，包括解析法、表格法和图象法。
2.培养学生通过实例分析，理解函数的实际应用。
3.培养学生的数学观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.重点：函数的表示方法。
2.难点：理解函数的实际应用，以及如何选择合适的表示方法。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、实践法、讨论法等相结合的方法，通过实例分析和实际操作，引导学生主动探索，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括函数的定义、表示方法等内容。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生理解和应用函数的知识。
3.准备一些练习题，用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某商店进行打折活动，原价100元的商品打8折后出售，求打折后的价格。
”让学生思考如何用数学方法来表示这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解函数的表示方法，包括解析法、表格法和图象法。
通过具体的例子，让学生理解这些方法的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际的例子，用所学的表示方法来表示函数。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固所学的内容。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
【高一】北师大版高一数学必修1第二章函数练习题(含答案)
【高一】北师大版高一数学必修1第二章函数练习题(含答案)第二节对函数的进一步认识一、（每题5分，共20分）1.下列两个函数完全相同的是( )a、 Y=X2X和Y=XB Y=x2和Y=XC Y=（x）2和Y=XD Y=3x3和Y=x【解析】a中y＝x2x的定义域为{xx≠0}，而y＝x的定义域为r；在C中，y=（x）2的域是[0，+∞), 而y=x的域是r，所以a和C是错误的；b中y＝x2＝x与y＝x的对应关系不同，所以b错；在D中，y=3x3=x和y=x具有相同的域和对应关系，因此D是正确的【答案】d2.函数y=1x+1的定义字段为（）a.［－1，＋∞)b.［－1,0)c.(－1，＋∞)d.(－1,0)【分析】要使函数公式有意义，必须满足x+1>0，∴x>－1，故定义域为(－1，＋∞).[答：]C3.如图所示，可表示函数图象的是( )A.①B②③④C①③④d。
②【解析】因为在②图中，给定x的一个值，有两个y值与它对应，不满足函数的定义，而①、③、④均满足函数定义.[答：]C4.已知f(x)＝x2＋1，则f［f(－1)］的值等于( )a、 2b。
3c。
4d。
五【解析】f(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝5.[答：]d二、题(每小题5分，共10分)5.以下几组数字用区间表示：(1){xx≥1}＝.（2）{x2<x≤4}＝.(3){xx>－1且x≠2}＝.[答]（1）[1，+∞) (2) (2,4] (3) (- 1,2) ∪ (2, + ∞)6.函数y＝－x2＋2x＋1的值域为.[分析]∵ y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2≤ 2.∴函数的值域是(－∞，2］.[答：]∞, 2)三、解答题(每小题10分，共20分)7.查找以下函数的域(1)f(x)＝x＋1x－1；（2） f（x）＝11＋1x。
【解析】(1)要使函数有意义，须x＋1≥0x－1＞0x≥－1x＞1x＞1∴f(x)的定义域为(1，＋∞)（2）使函数有意义x≠01＋1x≠0?x≠0且x≠－1F（x）的域是{XX∈ R和X≠ 0和X≠ - 1}8.已知函数f(x)＝x2＋x－1.（1）找到f（2）；（2）找到f（1x+1）；（3）如果f（x）=5，求x的值【解析】(1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2).(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5，也就是说，X2+X-6=0，解为X=2或X=-39.(10分)已知函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1］上有意义，求实数a的取值范围.[分析]已知函数y=ax+1（a<0且a为常数），∵ax＋1≥0，a＜0，‡x≤ - 1A，也就是说，函数的定义域是∵函数在区间(－∞，1］上有意义，∴，∴－1a≥1，a＜0，——-1≤ a＜0，即a的取值范围是［－1,0).。
对函数的再认识
对函数的再认识（1）(2)一次函数的关系式是y =（ ）；特别，当 时，一次函数就是正比例函数y = . (正比例函数是一次函数的特例)(3)反比例函数的关系式是y =( ). 二、合作探究1.做一做：完成课本P62做一做的内容并填写完整2. 归纳提炼： 三、典例学习：【例1】正方形ABCD 的边长为2，点P是AD 边上一动点，设AP=x 。
梯形BCDP 的面积为s ，写出y 与x 的函数关系式；并求x 的取值范围[例2]当x=3时，求下列各函数y 的对应值：（1）y=3x+7 （2）y= -2x 2 -1 (3) y=251+x (4)y=3-x 四、解决问题：1、课本P64 随练1 、2，1.小组讨论：（1）这三道题中都有几个变量，它们分别是什么？(2)对自变量在可取值范围内的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与它对应？ （3）你能否用自己的语言概括一下函数的意义？2．小试身手(1)下列表达式或图表，y 是否为x 的函数①y=x ②y=x x 2 ③y=x 3+2 ④y=x+2 (x ≥0) ⑤y=±x (x>0) ⑥y=－x(x>0) ⑦y=xx --22(x<2)⑧y=x ⑨(2)下列图象中是函数图象的是( )y -12 39 0 1 X 12342、先化简，再求值：1)112(-÷+--=x xx x x x y ，选择一个你喜欢的x 的值代入y 求出的值。
五、课堂小结：（1）.本节课你掌握了哪些知识？ （2）.还有哪些困惑？ （3）.掌握了哪些数学思想？ 六、板书设计：作业布置 ： A 类：P64 2（2） 4 B 类：P64 习题1.2（1） 3 课后反思:。
对函数的再认识
对函数的再认识（1）一、教材分析（一）教材的地位和作用：《对函数的再认识》第一节课的第一课时，在学生已有的函数知识的基础上首次正式出现了“函数”概念，它既是对前面所学的正比例函数、一次函数、反比例函数的一个回顾和延伸，又是后面学习函数表示方法的基础，也为学习二次函数打下扎实的认知、探究思路指明了学习方向；通过对函数概念的教学，更进一步的培养了学生的语言表达能力，另外，通过小组合作学习，力争创建“和谐高效”的课堂，使学生的分析能力、思维能力、合作能力等综合能力得到发展和提高。
（二）教育教学目标1、知识和能力目标（1）使学生了解对应观点下的函数意义，会求简单的自变量取值范围和函数值。
（2）了解函数与函数值的区别，会根据实际问题求出函数关系式。
2、过程与方法目标（1）经历对数学问题的探索，分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．（2）使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，进一步体会数学知识是来源于生活又应用于生活的。
3、情感态度与价值观目标（1）注意展示学生思维的闪光点，努力激发学生思维的创造点，培养他们的语言表达能力和合作能力。
（2）让学生体会学习函数的乐趣，进一步体会数学是与实际生活紧密相连的。
（三）教学重点和难点教学重点：函数概念的理解,能够表示简单变量之间的函数关系。
教学难点：理解函数的意义，深入认识函数关系中两个变量之间的对应关系。
二、教学策略（一）教学方法因“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者，教师的作用是要发现强化这种探索精神，所以1、本节课的教学方法是“问题解决法”，通过创设问题情景——设置问题——归纳与分析，引导学生探索本节课的知识。
2、通过小组合作学习，以优生带困难生全面提高课堂效率。
（二）学法指导鼓励学生将所学的知识应用到生活实际中，学会归纳总结，逐步掌握主动获取知识的本领。
(北师大版)1.2.1函数的概念
x2
x
解（1） = ( x ) = x ( x ≥ 0) ，这个函数与y=x（x∈R） y 对应一样，定义域不不同，所以和y=x （x∈R）不相等 （2）y = 3 x 3 = x ( x ∈ R ) 这个函数和y=x （x∈R） 对应关系一样 ，定义域相同x∈R，所以和y=x （x∈R）相等
例2下列函数哪个与函数y=x相等
拓展
例4(1)（孪生问题1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。 (2) (孪生问题2）已知f(2x+1)的定义域是[-1,3]，且f(x)的 定义域由f(2x+1)确定，试求f(x)的定义域。 • 解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。 • 解(2)：由已知-1≤x≤3，得2x+1∈[-1,7]，又f(x)的定 义域由f(2x+1)确定，故f(x)的定义域为[-1,7]。 • 注:(1)f(x)意含对x的一种运算法则； • (2)解题时经常将一个变量作为整体看； • (3) 2x+1∈[-1,7]与-1≤2x+1≤7是同义句。
• 作业：
•
P24
A组
1 ，4
值域为B
y = a x2 + bx + c(a ≠ 0) 4ac − b2} 当a > 0时，B = { y | y ≥ 4a 4ac − b2} 当a < 0时，B = { y | y ≤ 4a
练习：求下列函数的定义域 练习：求下列函数的定义域:
1 （1） f ( x ) = ） 2x − 4
分析：2 x − 4 ≠ 分析： （2）f ）
(3) y =
高中函数的概念
高中函数的概念引言在数学中，函数是一种非常重要的概念。
它是用来描述自变量与因变量之间的关系的一种数学工具。
在高中数学教学中，函数作为一种基础和核心的内容，被广泛地讲授和研究。
本文将深入探讨高中函数的概念，包括函数的定义、性质、图像、相关概念等内容。
一、函数的定义函数是一种将一个自变量映射到一个唯一的因变量的关系。
通常用字母表示函数，例如常见的f(x)表示一个以x为自变量的函数。
函数的定义可以通过集合的方式描述，也可以通过公式的方式表示。
1. 集合定义对于一个函数f，其定义域为D，值域为R，则函数f可以表示为一个集合对：f={(x,y)|x∈D,y=f(x)∈R}集合定义强调了函数的关系和对应规律，可以方便地进行集合运算和性质推导。
2. 公式定义函数的公式定义是通过一个显式表达式来表示函数的关系。
例如，对于函数f(x)= x2，表示自变量x的平方作为因变量值。
公式定义可以更直观地表示函数的计算过程，便于进行具体计算。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，这些性质是函数概念的基础，也为我们进一步研究函数提供了便利。
1. 单调性函数的单调性指的是函数在定义域内的自变量值增大（或减小）时，因变量值的变化关系。
函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），还可以是常数函数（单调不变）。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
奇函数满足f(−x)=−f(x)，函数图像关于原点对称；偶函数满足f(−x)=f(x)，函数图像关于y轴对称。
3. 边界性质函数的边界性质描述了函数的取值范围和极值情况。
函数在最大值和最小值处取得极值，可以用于求解优化问题。
如果函数在定义域内无界（即无上界或无下界），则其在该区间内可能不存在极值。
三、函数的图像函数图像是函数关系的一种可视化表示方式，也是研究函数性质的重要工具。
根据函数的定义和性质，可以通过绘制函数图像来帮助我们更好地理解和分析函数。
1. 坐标系函数图像通常在直角坐标系中绘制。
对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读
对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础， 而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方 法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。
因此，对本章内容力求学习得更 好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：函数， 主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图 象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础。
第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 函数 关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。
甚至函数图象处 处不连续，也可看作分段函数。
如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时， 应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。
例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数， 如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。
培养小学生函数思想的方法
培养小学生函数思想的方法随着教育改革的不断推进，教育家们不断探索创新，尝试各种方法培养小学生的学习能力。
其中，函数思想是重要的数学思维方式之一。
那么，如何培养小学生的函数思想呢？我们需要从以下几个方面入手。
一、授予函数定义函数是数学学科中的核心概念之一。
因此，为了培养小学生的函数思想，首先需要清晰的告诉学生函数是什么，函数的定义是什么。
让他们掌握最基本的函数知识。
同时，老师也要通过生活以及课本例题等方式将函数的概念和实际应用带给小学生，让他们理解函数对日常生活的重要意义。
二、认识函数符号函数的符号一般是“f(x)” 或者“y = f(x)”等形式。
因此，要学会利用符号表示函数。
老师可以提供一些例子，给小学生展示不同类型的函数，让他们根据观察得到“f(x) = ax+b” 或者“y = a√x+b”等不同的符号形式，进一步认识函数符号。
三、提高函数的绘图能力绘图对理解和掌握函数是非常重要的。
在这一过程中，能够通过绘制函数图形，将函数的性质和特征表现出来，帮助小学生进一步理解和掌握函数的知识。
四、加强函数应用实践数学知识的应用是其中最重要的一部分。
在学习函数时，加强函数的应用实践，例如：根据函数，解决生活中的实际问题等，将有助于小学生理解函数知识在实际生活中的应用。
五、强化思维训练在实际学习过程中，老师要引导小学生多思考多讨论。
老师可以通过一些例子去培养小学生对图像信息的敏感性和处理能力，从而让他们通过思考和讨论提高自己的思维能力。
例如，老师可以提供一个函数的图像，请小学生讨论对应的函数公式应该是什么样子的，并且根据不同的函数公式可以绘制出什么样的函数图像，引导他们对图像和函数的关系有更深的理解。
总之，要培养小学生函数思想的方法是多方面的，只有综合使用多种方法，才能达到事半功倍的效果。
通过合理的教学方式，小学生们可以打好数学学科的基础，同时也能掌握函数的相关知识，为未来的学习打下坚实的基础。
函数的概念说课教案8篇
函数的概念说课教案8篇在我们日常的教学生涯中，难免会遇到要写教案的情况，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，下面是作者为您分享的函数的概念说课教案8篇，感谢您的参阅。
函数的概念说课教案篇1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国#年4月份非典疫情统计：日期#新增确诊病例数#3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b 为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本p20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本p22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本p21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展是数学领域的一项重要进展，经历了长时间的发展过程。
本文将从古希腊时期的初步思考开始，逐步介绍函数概念的发展历程直至现代数学的函数定义。
最早对函数的思考可以追溯到古希腊数学家们对几何曲线的研究。
古希腊的数学家们研究了一系列的曲线，如圆、椭圆和抛物线等等。
他们发现几何曲线上的每一个点都可以通过其坐标来确定，这种坐标的确定性使得数学家们开始思考是否可以将曲线上的点表示为一个或多个变量的函数关系。
直到17世纪，数学家马克思·奥雷利（Marquis de l'Hôpital）首次提出了函数这一词汇，但在这之前，欧洲数学界对于函数的定义还没有达成一致。
那时的数学家们对于函数抱有一种“坐标”的观念，即函数可以描述曲线上的点与坐标的关系。
在18世纪初，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对函数的研究做出了重要贡献。
他将函数的概念扩展到了复变函数，并系统地研究了指数函数、三角函数和对数函数等等。
他的研究成果对现代数学的发展起到了重要的推动作用。
到了19世纪，法国数学家阿道夫·科斯提（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了一种更加严格的函数定义。
科斯提提出了连续函数的严格定义，并发展了复变函数的理论基础。
威尔斯特拉斯则通过严格的极限定义来定义函数。
这些严格的函数定义使得数学研究更加系统和准确。
20世纪初，法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出了测度论的概念，并将其应用于函数的理论研究中。
他提出了勒贝格积分的概念，从而为函数的积分提供了新的方法和工具。
随着数学的发展和应用的拓宽，函数的概念也得到了进一步的发展。
在现代数学中，函数被定义为将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
这是一种更加抽象和广泛的定义，使得函数的研究可以应用于各个数学领域，如代数、几何、拓扑等等。
理解数学中的函数探索函数的定义和应用
理解数学中的函数探索函数的定义和应用函数是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题以及推导数学定理时起到了关键作用。
通过理解数学中的函数，我们可以更好地认识数学的本质，并将函数的定义和应用运用到实际中。
一、函数的基本概念在开始深入探索函数之前，我们首先需要了解函数的基本概念。
函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的一个元素。
函数通常用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中，f表示函数名称，x表示自变量，2x + 1表示函数的定义式。
二、函数的定义与性质函数的定义取决于不同的情况和背景，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
我们可以通过对函数的定义式和特点的分析，来研究函数的性质。
比如，线性函数是形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数，它们决定了直线的斜率和截距。
三、函数的图像与图像的性质函数的图像是通过将函数的自变量和函数值绘制在坐标平面上而得到的。
通过观察函数的图像，我们可以研究函数的变化规律和特点。
例如，对于二次函数来说，它的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，我们可以通过抛物线的顶点、对称轴等性质来分析函数的行为。
四、函数的应用函数在实际问题中的应用非常广泛。
以经济学为例，经济学中常用的供求函数、成本函数、效用函数等可以帮助我们研究价格变动、生产效率、个人消费行为等问题。
同时，函数也被广泛应用于工程学、物理学、生物学等学科中，用于研究和解决各种实际问题。
五、函数的拓展和扩展除了常见的函数类型，数学中还存在着许多拓展和扩展的函数。
例如，复函数、多元函数、隐函数等都是函数概念的扩展形式，它们在数学的研究和应用中发挥着重要作用。
了解这些拓展和扩展的函数有助于我们进一步深入理解和探索函数的奥秘。
通过以上对数学中函数的定义和应用的探索，我们可以更好地认识和理解函数的本质及其在实际问题中的应用。
掌握函数的基本概念、性质和图像性质，能够帮助我们解决各种实际问题，并在数学的学习和研究中取得更好的成绩。
§2.2 函数的表示＊
优例点如：：s一=6是0t2简, 明、 全量A=面间r的的2, 概关括 系了 ，变 二 是S=可2 以rl 通过解析
式y=求ax2出+b任x+意c(a一0个) 自函y=变数x量值 2所. 对（应x≥的2)
例1 某种笔记本的单价是5元，买x（x∈ ｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
例2：画出函数y=|x|的图像。
解：由绝对值的概念，我们有
x ,x≥0,
Y=
-x ,x＜0.
y
所以，函数y=|x|的
5
4
图像如右图所示
3
2
1
－3 －2 －1 0 1 2 3 x
例3. 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的 质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100
邮资(M)/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
解 邮资是信函质量的函数, 其图像如下:
M/元
4.0
。
3.2
。
2.4
。
。 1.6
。
0.8
O 20 40 60 80 100 m/g
函数解析式为
0.8, 0<m ≤ 20；
1.60, 20<m≤40 ；
M=
2.40, 40<m ≤60；
3.20, 60<m≤80 ；
4.00, 80<m ≤100.
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函 数称为分段函数.
注意： 1、在定义域的不同部分上,有不同的解析式.
学好高中函数的心得体会
学好高中函数的心得体会我在高中学习函数的过程中，积累了一些心得体会。
函数是高中数学中的一块重要内容，也是我认为相对较难的部分。
通过不断的学习和探索，我逐渐理解了函数的概念和性质，并找到了一些学习方法和技巧。
下面，我将分享我学好高中函数的心得体会。
我发现理解函数的概念是学习函数的关键。
函数是数学中的一种关系，它将一个或多个自变量映射到一个或多个因变量。
理解了这个基本概念，我们就能够正确地解答和分析与函数相关的各种问题。
在学习函数的初期，我通过参考教材中的定义，结合具体的例子来理解函数的概念。
我还通过和同学一起讨论和交流，互相解答问题，进一步深化对函数的理解。
掌握函数的性质对于解题非常重要。
函数的性质是函数学习中的基础知识，掌握了这些性质，我们才能够灵活运用函数的相关知识解决问题。
在学习函数的过程中，我注重对函数的性质进行总结和归纳。
通过不断的梳理和总结，我逐渐形成了一套属于自己的函数性质的总结。
在解题的时候，我可以根据问题的不同，灵活地运用这些性质来推导解答。
在解题过程中，我发现将函数和图像结合起来是一种有效的学习方法。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的性质和特点。
在学习函数的过程中，我经常使用绘图工具来绘制函数的图像，通过观察图像，我可以直观地了解函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。
图像也能够帮助我更好地理解和解释函数的变化规律。
在解题的过程中，我也经常通过观察函数图像的形状和变化来辅助解题。
我还深刻认识到练习的重要性。
通过大量的练习，我可以巩固和提高对函数的理解和运用能力。
在学习函数的过程中，我经常做一些相关的习题和例题，通过不断的练习，我可以更熟练地掌握函数的性质和解题方法。
在解答题目的过程中，我也能够积累一些解题的经验和技巧，从而在以后的学习和考试中更加得心应手。
我发现培养良好的学习习惯对于学好高中函数也至关重要。
高中函数的学习需要较强的自觉性和耐心。
在学习函数的过程中，我坚持制定学习计划，合理安排时间，每天坚持一定的练习和复习。
函数的概念教学反思（2篇）
函数的概念教学反思反思：关于函数的概念教学在教学中，函数作为数学中最基础且重要的概念之一，是学习数学的基础。
然而，我在教学中发现，学生在理解和应用函数概念时存在一些困惑和障碍。
通过对自己的教学经验的反思，我发现了以下几个问题，并提出了相应的改进措施。
第一个问题是概念理解不清晰。
在教学中，我发现有些学生对函数的定义和特性理解不准确。
他们常常将函数和方程混淆，把函数看作是一种运算或者代数式，而不是数学对象。
这导致了他们对函数的性质和应用有所误解。
改进措施：为了帮助学生更好地理解函数的概念，我决定采用多种教学方法。
首先，我将通过示例和比喻来介绍函数的定义，以帮助学生建立直观的认识。
例如，我可以比喻函数为一个机器，它接受一个输入，并且根据规定的规则，产生一个唯一的输出。
其次，我会引入对函数的符号表示法，并与方程进行比较，以帮助学生区分二者之间的区别和联系。
最后，我将使用实际问题来说明函数的应用，使学生能够将概念应用于实际情境中。
第二个问题是概念与应用的脱节。
在教学中，我发现学生普遍存在将函数的概念与其应用相分离的现象。
他们往往只注重函数的定义和性质的学习，而忽略了函数在实际问题中的应用价值。
这导致了他们对函数的兴趣和动力不足。
改进措施：为了提高学生对函数的理解和兴趣，我决定将函数的概念与其应用密切结合起来。
首先，我会选择一些生活中的实际问题，并引导学生找出问题中的变量和函数关系。
然后，我会给学生提供一些解决问题的方法和策略，以及对函数进行建模的思路，以帮助他们将概念与实际问题相结合。
最后，我会鼓励学生自主探究和创造，通过设计和解决自己感兴趣的问题，来体验函数的应用。
第三个问题是技能与思维的不平衡。
在教学中，我发现学生在函数的学习过程中，往往只注重手段和技巧的熟练运用，而缺乏对函数思想和方法的深入理解。
他们倾向于将函数题目看作是一种应试的任务，而不是思维的训练。
改进措施：为了培养学生的思维习惯和学习兴趣，我决定在教学中注重培养学生的数学思维。
函数的概念
集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：f:A→B，使 得集合B中的元素与集合A中的元素x对应，如何表示这个 函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？
定义域
值域
f ( x) ax b
f ( x) ax bx c
2
R
R R
k f ( x) (k 0) {x | x 0} x
城镇居民 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 家庭恩格 尔系数(%) 时间（年） 1997 1998 1999 2000 2001
城镇居民 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 家庭恩格 尔系数(%)
思考1：请仿照（1）、（2）描述恩格尔系数和时间 （年）的关系。
共同点： （1）都有两个非空数 集 （2）两个数集之间都 有一种确定的对应关 系
思考3 分析、归纳以上三个实例，它们有什么 共同特点？ 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系 f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应， 记作f:A→B
思考4 函数能否看做是两个集合之间的一种对应 呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？
情感目标—— 渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的
兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极 的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变 化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的 简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务 于实践”的数学应用意识。
时刻t的变化范围：A={t︱1991≤t≤2001}， 城镇居民恩格尔系数的变化范围：S={S︱37.9≤t≤53.8}
思考2：三个实例有什么不同点和共同点？
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对函数的进一步认识
姓名： A 组
1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x
的定义域为________． 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐
标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3)
)的值等于________． 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．
5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x (x >1)，
x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1
)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32
， 求a .
B 组
1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2
＋lg(2x －1)的定义域是________． 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，
2x －1，(x >2)，则f (f (f (32
)＋5))＝_. 3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．
4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．
5．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．
6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12
，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．
7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．
8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y
之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________．
10．函数f(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．
11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式．
12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H 型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数)
(1)写出g(x)，h(x)的解析式；
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？。