高中数学 (2.2.2 等差数列通项公式)示范教案 新人教A版必修5

2.2.2 等差数列通项公式从容说课本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.明确等差中项的概念;2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.二、过程与方法1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).师对，我再找同学说一说等差数列{a n}的通项公式的内容是什么？生1 等差数列{a n}的通项公式应是a n=a1+(n-1)d.生2 等差数列{a n}还有两种通项公式：a n=a m+(n-m)d或a n=p n+q(p、q是常数).师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③mn a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生 3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).［合作探究］探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？师 本题在这里要求的是什么? 生 当然是要用a ，b 来表示数A .师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?生 由定义可得A -a =b -A ，即2b a A +=. 反之，若2b a A +=，则A -a =b -A , 由此可以得⇔+=2b a A a ,A ,b 成等差数列.推进新课我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列2A =a +b ，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列. ［合作探究］师 在等差数列{a n }中，d 为公差，若m,n ,p,q∈N *且m+n =p+q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生 我得到了一种关系a m +a n =a p +a q .师 能把你的发现过程说一下吗？生 受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7.从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q .师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a 1，则a m +a n =a 1+(m-1)d +a 1+(n -1)d =2a 1+(m+n -2)d ,a p +a q =a 1+(p-1)d +a 1+(q-1)d =2a 1+(p+q-2)d .因为我们有m+n =p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q .师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n }的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n =p+q,则上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q .同样地，我们还有：若m+n =2p,则a m +a n =2a p .这也是等差中项的内容.师 注意：由a m +a n =a p +a q 推不出m+n =p+q ，同学们可举例说明吗?生我举常数列就可以说明了.师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件.［例题剖析］【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.【例2】(课本P44的例2) 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.师为什么？生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.师这个等差数列的首项和公差分别是多少?生分别是11.2，1.2.师好，大家计算一下本题的结果是多少?生需要支付车费23.2元.(教师按课本例题的解答示范格式)评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.课堂练习1.在等差数列{a n}中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m,求a5+a6.解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6,a8=15,求a14.解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.解：等差数列{a n}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.2.让学生完成课本P45练习5.教师对学生的完成情况作出小结与评价.［方法引导］此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第45页习题2.2 A组第4、5题.预习内容：课本P48～P52.预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.板书设计等差数列通项公式等差中项例题在等差数列{a n}中,若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q。