【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第22课时 一元二次不等式(1)导学案(无答案)苏教版必修5
数学《一元二次不等式》教学设计(优秀3篇)
数学《一元二次不等式》教学设计（优秀3篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例一、教学目标1.理解一元二次不等式的概念及其与一元二次方程的关系。
2.掌握一元二次不等式的解法及解集表示方法。
3.能够运用一元二次不等式解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法及解集表示方法。
2.教学难点：一元二次不等式解法中的分类讨论。
三、教学过程1.导入新课（1）回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何将一元二次方程转化为一次方程来求解。
（2）引出一元二次不等式的概念，让学生初步了解一元二次不等式的解法。
2.知识讲解（1）讲解一元二次不等式的定义：形如ax^2+bx+c>0（a≠0）的不等式称为一元二次不等式。
（2）讲解一元二次不等式的解法：a.将一元二次不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0。
b.然后，求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间，分别讨论每个区间内的不等式解。
d.将三个区间的解合并，得到一元二次不等式的解集。
（3）讲解一元二次不等式解集的表示方法：a.使用区间表示法，如（-∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
b.使用集合表示法，如{x|x<x1或x>x2}。
3.实例讲解（1）讲解例题1：解一元二次不等式x^24x+3>0。
a.将不等式化为标准形式：x^24x+3>0。
b.求解对应的一元二次方程x^24x+3=0，得到根x1=1，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，1）、（1，3）、（3，+∞）。
d.分别讨论每个区间内的不等式解，得到解集为（-∞，1）∪（3，+∞）。
（2）讲解例题2：解一元二次不等式2x^25x3<0。
a.将不等式化为标准形式：2x^25x3<0。
b.求解对应的一元二次方程2x^25x3=0，得到根x1=-1/2，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，-1/2）、（-1/2，3）、（3，+∞）。
苏教版必修5高中数学3.2《一元二次不等式》word导学案1
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】学习目标：
1、通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2、会解一元二次不等式。
【课前预习】课前预习
1．一元二次不等式和相应的二次函数是否有内在的联系？
2．一元二次不等式的定义：
3． 的解集为
4. 为什么实数时，函数 的值等于0，大于0？小于0？
【课堂研讨】
例1解下列不等式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
利用一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系求解不等式。
例2.解不等式： ．
例3.求下列函数的定义域.
(1). ; (2).
解决与一元二次不等式求解有关的问题。
小结：1.当 时，一元二次不等式 （或 ）的解集
与二次函数 图象及一元二次方程 的解的关系：
（1） ；（2） ．
2.已知集合A=
3．不等式 的解集为_________________________________________________．
4．不等式 的解集为__________________________________________．
5．不等式 的解集为________________________________________．
6．不等式 的解集为__________________________________．
7．已知一元二次方程 的解根是 ， ，且 ，
那么 的解集是__________________________________________．
8．解下列不等式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
江苏省宿迁市高中数学 第22课时 一元二次不等式(1)导
第22课时 一元二次不等式（1）【学习目标】1.经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程；2.通过函数图象了解一元二次不等式与 函数、方程的联系；并能熟练求解一元二次不等式；3. 含参数的一元二次不等式及恒成立问题的求解策略. 【问题情境】“2510 4.80x x -+<”像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是２的不等式叫做一元二次不等式．如何求解不等式2510 4.80x x -+<. 【合作探究】 1.探究一一元二次方程2510 4.80x x -+=和相应的二次函数2510 4.8y x x =-+有着怎样的联系？一元二次不等式2510 4.80x x -+<和相应的二次函数2510 4.8y x x =-+又有着怎样的联系？ 2. 探究二一元二次方程20ax bx c ++=，一元二次函数2y ax bx c =++，一元二次不等式20ax bx c ++>三个二次之间的关系. 3.知识建构分式不等式（思想：__________________________）⇔>0)()(x g x f ⇔<0)()(x g x f ⇔≥0)()(x g x f ⇔≤0)()(x g x f 【展示点拨】 例1.求解不等式（1）01272>+-x x （2）0322≥+--x x （3）0222>+-x x （4）(2)(3)1x x x x +<-+拓展延伸： 变1：031<+-x x 变2：0421≤+-x x 变3：213xx≤-例2. 已知不等式)31,21(012->++的解集为bx ax ，则a =__________,b =___________. 变1：二次不等式20ax bx c ++≥的解集为{x |12x -≤≤}则不等式20ax bx c -+≥的解集为_______________；20cx bx a ++≥的解集为_____________________变2：A={x|01032≥--x x }，B={x|02<++c bx x } ],2,4(--=B A 且R B A = 则b =____________,c =___________.例3. （1）若0a <，求02322<+-a ax x 的解集； (2) 求01)1(2>++-x a ax 的解集.例4.已知一元二次不等式（m-2）2x +2(m-2)x+4>0的解集为R ，求m 的取值范围. 变1. 2143mx y mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围. 变2.如果函数()f x =R ，求实数a 的取值范围.【学以致用】1. 解不等式(1)1211log x x -≥； (2) 2680+32-1x x x x ⎧-+>⎪⎨>⎪⎩解不等式组 2. 已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是1(,)m ，则实数m 的值为_____3. 若（0,3）内的每一个数都是不等式2210x mx +-<的解，则实数m 的取值范围为________．4. 已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，若5M ∉，求实数a 的取值范围．第22课时 一元二次不等式（1）【基础训练】1.不等式24x >的解集是 _____________.2.不等式0542＜x x --的解集是 _____________. 3.不等式()()011＜x x -+的解集为______________. 4．不等式22(23)(6)0x x x x +-++<的解集是为___________．5．不等式25123xx x -<---的解集是为___________．6．不等式()()2120x x -+≥的解集是为___________．7．函数2lg(231)y x x =+-的定义域为_____________．8．不等式(20x -≥的解集是为___________．【思考应用】 9.不等式2232142-<---<-x x 的解集是为___________．10.已知函数()2(2)2(2)4f x m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围【拓展提升】11.设k∈R , 12,x x 是方程22210x kx k -+-=的两个实数根, 求2212x x +的最小值.12.若不等式2210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．。
高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案
高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案一、教学内容解析一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着广泛的应用工具作用，隐藏着重要的数形结合思想，是代数、三角、解析几何交汇综合的部分，在高中数学中具有举足轻重的地位。
教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是实行简洁明白的数形结合的方法，从详细到抽象，从特别到一般，用二次函数的图象来讨论一元二次不等式的解法。
教学中，利用几何画板的动态演示功能，引导同学结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。
通过对一元二次不等式解集的探究过程，渗透函数与方程、数形结合、分类争论等重要的数学思想。
一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，探究中应留意对“特例”的处理，让同学留意对“特别状况”的处理，才能让学习的内容更加完整。
因此，本节课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法，通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想。
二、教学目标解析1. 通过对一元二次不等式解法的探究，让同学了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2. 把握一元二次不等式的求解步骤，尤其是对“特例”的处理。
3. 通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想，培育同学动手力量，观看分析力量、抽象概括力量、归纳总结等系统的规律思维力量，培育同学简约直观的思维方法和良好的思维品质。
三、同学学情分析同学已有的认知基础是，同学已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关学问，为本节课的学习打下了基础。
同学依据详细的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，同学可能存在的困难：（1）二次函数是学校学习的难点，很多同学对二次函数的学问把握欠缺，对本节课的顺当开展有肯定的影响；（2）从特别的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，同学全面考虑不怜悯况下的解集有肯定的困难。
一元二次不等式的解法导学案
一元二次不等式及其解法导学案【使用说明及学法指导】1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时在做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备上课讨论答疑.【学习目标】知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；能力目标：通过观察函数的图象求不等式的解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；德育目标：学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想；情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。
【重点】一元二次不等式的解法【难点】理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系【问题导学】1.一元二次不等式概念的引入（1）创设情境，引入概念秋冬季节即将到来，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室内活动室。
现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏长度x的取值范围吗？（2）观察归纳，形成概念观察式子： x2-20x+84≤0抢答竞赛：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？定义：我们把只含有__________，并且未知数的______________的不等式，称为一元二次不等式。
其一般形式为：____________________，______________________,_____________________，______________________.（3）辨析讨论，深化概念抢答竞赛：判断下列式子是不是一元二次不等式？①xy+3≤0②(x+2)(x-3)<0③x3+5x-6>0 ④ax2-（a+1）x+1>0(a∈R)2. 一元二次不等式解法的探究（1）回忆旧知，寻找方案观察一元二次不等式x2-20x+84≤0左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？（2）探究新知，从形到数环节一：画出二次函数y= x2-20x+84的图象？环节二：观察二次函数y= x2-20x+84的图象，思考回答：环节三：结论：（1）方程x2-20x+84=0的根是（2）不等式x2-20x+84≥0的解集是（3）不等式x2-20x+84≤0的解集是【合作探究1】结合上述过程，二次函数y= x2-20x+84图像、二次方程x2-20x+84=0的根、一元二次不等式x2-20x+84≤0的解集三者之间有何关系？你能得出怎样的一般性结论？小结：①_______________________________________________________________,②_______________________________________________________________,③_______________________________________________________________.由“三种二次”之间的关系可得下表：1,2＝－b±Δ2a x1＝x2＝－b2a不存在【合作探究2】结合以上“三种二次”之间的关系，你能总结出解一元二次不等式的一般步骤吗？小结：一化:________________________________，二判：______________________________, 三求：________________________________，四写：______________________________.3.一元二次不等式解法的应用【例】解下列不等式.（1）x2－5x≤0 （2）4x2－4x＋1 > 0 （3）－x2＋2x－3 > 0【演练反馈】解下列不等式.（1） -2x 2+x-5<0 （2）x 2-4x+4>0 （3）x 2≤ 3x+4 （4）x 2≥x +14.总结：【想一想】这节课学到了哪些知识？思想方法？小结：_______________________________________________ _______________________________________________ ________________________________________________【知识拓展】1. 已知一元二次不等式260ax bx ++>的解集为{|23}x x -<<，求a ，b 的值.2.已知不等式mx 2+mx-1<0（m 为实数）对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.寄语将规范修炼成一个习惯 把认真内化成一种性格 用恒心转化为一种动力。
高中数学 第三章不等式 §3.2.1一元二次不等式(一)导学案 苏教版必修5
3.2一元二次不等式（一） 第 22 课时一、学习目标1.熟练掌握一元二次不等式及其解法。
2.会运用一元二次不等式解有关问题。
二、学法指导1.解一元二次不等式的一般步骤：当0a ＞时，解形如20(0)ax bx c ++≥＞或20(0)ax bx c ++≤＜的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程20ax bx c ++=的解；（2）画出对应函数2y ax bx c =++图象的简图；（3）由图象得出不等式的解集。
2．一元二次不等式恒成立的情况： 20(0)ax bx c a ++≠＞恒成立00a ⎧⇔⎨∆⎩＞＜ 20(0)ax bx c a ++≠＜恒成立00a ⎧⇔⎨∆⎩＜＜判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅四、课堂探究例1 解下列不等式：（1）27120x x -+>； （2）2230x x --+≥；（3）2210x x -+<； （4）2220x x -+<．解：例2 已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．解：例 3 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．解：例 4 已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．解：例 5 若不等式0122>-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围解：五、巩固训练 P 69练习+课课练六、课堂回顾作业布置。
苏教版数学高二-必修5导学案 3.2一元二次不等式(1)
3.2 一元二次不等式(1)【学习目标】1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数方程的联系;2．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式;3．体会三个二次关系及数形结合的数学思想.【重点难点】重点是一元二次不等式的解法难点是三个二次关系的理解【学习过程】一、自主学习与交流反馈画出函数65)(2--=x x x f 的图像回答问题:(1)函数的零点为 ;(2)观察函数图像,不等式0)(>x f 的解集为 . 二、知识建构对一元二次不等式02>++c bx ax （a>0）有:三、例题例1 解下列不等式:（1） 01272>+-x x （2）0322≥+-x x（3）0122<+-x x （4）0222<+-x x例2 解不等式21212≤-+<-x x例3 若02>++c bx ax 的解集为{}βα<<x x )0(βα<<，求不等式02<++a bx cx 的解集.四、巩固练习1．不等式0)3)(1(>--x x 的解集为 .2．不等式0422>-+-x x 的解集为 .3．x 是什么实数时,函数2514y x x =-++的值是:(1)0; (2)正数; (3)负数.4．解关于x 的不等式－6＜x 2－5x ＜24.5．解下列不等式:(1)01242>-+x x ; (2)01692≤+-x x(3)231x x <- (4)1)2)(2(>+-x x6．若不等式ax 2+bx+2>0的解集是}3121|{<<-x x ，则b a -的值是 ．。
一元二次不等式导学案
教学重点： 教学重点：
一元二次不等式的解法
教学难点：
弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系及其各类形如 一元二次不等式的不等式的解法
引
导入新课】 一.【情境引入 导入新课】 【情境引入,导入新课
问题： ①解方程 3 x + 2 = 0 ②作函数 y = 3 x + 2 的图像 ③解不等式 3 x + 2 > 0 【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方 程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次 不等式的解集吗？在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三 者之间有着密切的联系。 利用这种联系 （集中反映在相应一次函数的图像上！ ） 我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现 在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？ ． 二、 探索与研究 我们现在就结合不等式 x − x − 6 > 0 的求解来试一试。 （师生共同活动用
导
精
【应用概念，强化训练】 三、 应用概念，强化训练】 概念 . 解不等式： (1 ) -3x2+3x+2＜0 解不等式：
(2) x 2 - 5 > x(2x+6)
讲
四 强化 M={x︱x2+2x-15＜0}, ︱ ＜ N={x︱(1+x)(3-x) ＜0}。 ︱ 。 求 M∪N，M∩N ∪ ， ∩
1、 3 + 5 x − 2 x 2 ≤ 0
2 x 2 + 4x + 5 > 0
3.
x 2 − 8 x + 16 < 0
3. 若 集 合
MU N
一元二次不等式解法(1)导学案
3.2 一元二次不等式（第1课时）学习要求1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系2．会解简单的一元二次不等式及简单应用．【课堂互动】自学评价1．一元二次不等式的一般形式：．例1.解下列不等式(1)x2－7x+12>0 (2)－x2－2x+3≥0(3)x2－2x+1<0 (4)x2－2x+2<0总结归纳：1.思考：当a<0时，怎么办呢？（转化与化归思想）2.解集就是解的集合，所以不等式的解集要用集合的形式表示（有时区间也可以）3.解不等式的关键就是找到方程的根，在数轴标根，画草图就可以4.解一元二次不等式的步骤：一看x2系数，二求方程的根，三看图写出结论。
例2：解下列不等式(1).1<x2－3x+3≤7 (2)(x2+4x-5)(x2-2x+2)>0(2)(x2+4x-5)(x2-4x+4)>0 (4)x4-x2-6≥0(5) +4-1x x >0 (6) -3+7x x ≤0总结归纳：分式不等式的解法：（1）分式不等式的基本形式：）（或00)()(<>x g x f ；）（或00)()(≤≥x g x f （2）常规解法：把相除变成相乘即：⇔>0)()(x g x f ⇔≥0)()(x g x f 例3：不等式ax 2+bx+2<0的解集为{x| －12<x<13}, 求a －b ．知识拓展：理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，是解决本例题的关键。
“三个二次”的关系：（关键是函数的图像：抛物线）设一元二次方程的根为21,x x （有根的情况下）则一元二次函数的零点为21,x x ；一元二次不等式解集的端点就是21,x x追踪训练1.解下列不等式；；；．2.解不等式．3.已知关于x的不等式．若不等式的解集为或，求k的值；若不等式的解集为，求实数k的取值范围．4.已知关于x的不等式的解集为．求实数a，b的值；解关于x的不等式：．。
江苏省宿迁市高中数学 第22课时 一元二次不等式(1)导
第22课时 一元二次不等式（1）【学习目标】1.经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程；2.通过函数图象了解一元二次不等式与 函数、方程的联系；并能熟练求解一元二次不等式；3. 含参数的一元二次不等式及恒成立问题的求解策略. 【问题情境】“2510 4.80x x -+<”像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是２的不等式叫做一元二次不等式．如何求解不等式2510 4.80x x -+<. 【合作探究】 1.探究一一元二次方程2510 4.80x x -+=和相应的二次函数2510 4.8y x x =-+有着怎样的联系？一元二次不等式2510 4.80x x -+<和相应的二次函数2510 4.8y x x =-+又有着怎样的联系？ 2. 探究二一元二次方程20ax bx c ++=，一元二次函数2y ax bx c =++，一元二次不等式20ax bx c ++>三个二次之间的关系. 3.知识建构分式不等式（思想：__________________________）⇔>0)()(x g x f ⇔<0)()(x g x f ⇔≥0)()(x g x f ⇔≤0)()(x g x f 【展示点拨】 例1.求解不等式（1）01272>+-x x （2）0322≥+--x x （3）0222>+-x x （4）(2)(3)1x x x x +<-+拓展延伸： 变1：031<+-x x 变2：0421≤+-x x 变3：213xx≤-例2. 已知不等式)31,21(012->++的解集为bx ax ，则a =__________,b =___________. 变1：二次不等式20ax bx c ++≥的解集为{x |12x -≤≤}则不等式20ax bx c -+≥的解集为_______________；20cx bx a ++≥的解集为_____________________变2：A={x|01032≥--x x }，B={x|02<++c bx x } ],2,4(--=B A I 且R B A =Y 则b =____________,c =___________.例3. （1）若0a <，求02322<+-a ax x 的解集； (2) 求01)1(2>++-x a ax 的解集.例4.已知一元二次不等式（m-2）2x +2(m-2)x+4>0的解集为R ，求m 的取值范围. 变1. 2143mx y mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围.变2.如果函数()f x =R ，求实数a 的取值范围.【学以致用】1. 解不等式(1)1211log x x -≥； (2) 2680+32-1x x x x ⎧-+>⎪⎨>⎪⎩解不等式组 2. 已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是1(,)m ，则实数m 的值为_____3. 若（0,3）内的每一个数都是不等式2210x mx +-<的解，则实数m 的取值范围为________．4. 已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，若5M ∉，求实数a 的取值范围．第22课时 一元二次不等式（1）【基础训练】1.不等式24x >的解集是 _____________.2.不等式0542＜x x --的解集是 _____________. 3.不等式()()011＜x x -+的解集为______________.4．不等式22(23)(6)0x x x x +-++<的解集是为___________．5．不等式25123xx x -<---的解集是为___________．6．不等式()()2120x x -+≥的解集是为___________．7．函数2lg(231)y x x =+-的定义域为_____________．8．不等式(20x -≥的解集是为___________．【思考应用】 9.不等式2232142-<---<-x x 的解集是为___________．10.已知函数()2(2)2(2)4f x m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围【拓展提升】11.设k∈R , 12,x x 是方程22210x kx k -+-=的两个实数根, 求2212x x +的最小值.12.若不等式2210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．。
一元二次不等式导学案
函数y x25x的图像与x轴的交点是：
当时，函数图像位于x轴上方，此时y,
即：
当时，函数图像位于x轴上方，此时y,
即：则
一兀二次不等式x5x0的解集为.
一元二次不等式x25x0的解集为。
新 知 导 练
题组一解下列不等式
(1)x22x30
规范解答：解不等式 就是求不等式的解 集。结果要写成
3.2一元二次不等式及其解法
学习 环节
过程
归纳纠偏
新 知 导 学
1、一元二次不等式的定义。
我们把只含有，并且未知数的最高次数是
的不等式，称为一兀二次不等式。
2
2、画出二次函数y x 5x的图像，观察一元二次方程
x 5x0的根、二次函数y x 5x的图像与x轴的交点、满 足一元二次不等式x 5x0的x的范围的关系。并填写下面的内 容
2
等式x mx n 0的解集。
2、 已知不等式ax2bx c 0的解集为（-2,3）,判断二次项系数
a的符号
归纳：
一元二次方程
2
x 5x0的根（）
二次函数
2
y x 5x的图像
与x轴的交点（）
一元二次不等式2
x 5x0解集的 端点
归纳：
影响不等式解集的因
素有那些？
知识 应用
例4某中汽车在水泥路上的刹车距离s m和车速x km/h有如下
的形式。
归 纳 提 升
(2)4x24x10
(3)x22x30
填写下表
归纳：函数法解一元 二次不等式的步骤
判别式
b24ac
0
0
0
一元二次方程ax2bx c0
高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案
第1课时一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义□01只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集□02使一元二次不等式成立的x的值叫做一元二次不等式的□03解，□04所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集□05{x|x<x1或x>x2}□06{xx≠⎭⎬⎫－b2a□07Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集□08{x|x1<x<x2}□09∅□10∅1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程f (x )＝0的两解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式f (x )>0的解集不可能为{x |x 1<x <x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 80T 1(1))不等式x (x ＋1)≤0的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0](2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)当a >0时，若ax 2＋bx ＋c >0的解集为R ，则Δ应满足的条件为________． (4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________. 答案 (1)D (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4探究1 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0； (5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .拓展提升解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【跟踪训练1】 求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0； (2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0； (4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 探究2 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式⇒－x ＋1<0⇒x >1； 若a <0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0⇒x <1a 或x >1；若a >0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 ①当a ＝1时，式(*)⇒x ∈∅； ②当a >1时，式(*)⇒1a <x <1； ③当0<a <1时，式(*)⇒1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 拓展提升解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式，分类讨论的结果最后不能合并．【跟踪训练2】 (1)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； (2)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0. 解 (1)原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a .②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2. ③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(2)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}； 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }． 探究3 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0， 故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[变式探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}． 拓展提升三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【跟踪训练3】 (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1 解析 (1)由题意可得－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得 12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，故ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0， 即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.[规律小结]1.对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．2.解含参数的不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论． ②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况进行讨论．[走出误区]易错点⊳解含参数的不等式时分类讨论不全出错 [典例] 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.[错解档案] 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}；当a ≠0时，方程(x －2)(ax －2)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝2a . (1)当2a ＝2，即a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； (2)当2a >2，即0<a <1时，原不等式的解集为{|x x >2a 或x <2； (3)当2a <2，即a <0或a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a <0或a >1时，原不等式的解集为{|x x <2a 或x >2.[误区警示] 当a <0或a >1时，只注意到了2a <2，而忽略了当a <0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [规范解答] 以上同错解． (3)当2a <2，即a <0或a >1时，①当a <0时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2； ②当a >1时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [名师点津] 解ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，D 选项中Δ＝9－4×2×2＝－7<0，解集为∅，故选D.2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.{|x －23≤x ≤12 } B.{|x x ≤－23或x ≥12} C.{|x x ≥12 }D.{|x x ≤－32}答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故选B. 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.{|x x ≠－13} B ．{|x －13≤x ≤13}C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13答案 D解析 原不等式可变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.故选D.4．若不等式x 2＋(m －3)x ＋m ≤0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．答案 m ≥9或m ≤1解析 由题意知Δ＝(m －3)2－4m ≥0，即m 2－10m ＋9≥0，∴m ≥9或m ≤1. 5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x . 解 由x 2－3x ＋1>1，得x 2－3x >0， ∴x <0或x >3.由x 2－3x ＋1<9－x ，得x 2－2x －8<0， ∴－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |x <0或x >3}∩{x |－2<x <4} ＝{x |－2<x <0或3<x <4}．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3}答案 C 解析 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0.∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．4．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x >12C ．{x |－3<x <2}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >13答案 B解析 由题意可知，ax 2－5x ＋b ＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝5a ，－3×2＝ba ，解得a ＝－5，b ＝30，则所求不等式可化为30x 2－5x －5>0，即(2x －1)(3x ＋1)>0，解得x <－13或x >12.故选B.二、填空题5．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}，则M ∩N ＝________. 答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13解析 由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0. 所以(3x －1)2>0，解得x ≠13， 即M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠13.由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0，解得－1<x <4，即N ＝{x |－1<x <4}． 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：答案 {x |x ＜－2或x ＞3}解析 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}．7．已知A ＝(1,2)，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，∴B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2，解得1≤a ≤2.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ，g (x )＝－(m ＋4)x －4＋m ，m ∈R . (1)比较f (x )与g (x )的大小； (2)解不等式f (x )≤0.解 (1)由于f (x )－g (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋(m ＋4)x ＋4－m ＝x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0， ∴f (x )>g (x )．(2)不等式f (x )≤0，即x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0， 即(x －m )(x －1)≤0，当m <1时，其解集为{x |m ≤x ≤1}， 当m ＝1时，其解集为{x |x ＝1}， 当m >1时，其解集为{x |1≤x ≤m }．9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)． (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54， 所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.B 级：能力提升练1．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0，∴0<x <2a 1. 2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a <0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a 的取值范围．解 ∵x 2－ax －6a <0有解，∴方程x 2－ax －6a ＝0的判别式Δ＝a 2＋24a >0， ∴a >0或a <－24.解集的区间长度就是方程x 2－ax －6a ＝0的两个根x 1，x 2的距离， 由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－6a ，得 (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋24a . ∵|x 1－x 2|≤5，∴(x 1－x 2)2≤25， ∴a 2＋24a ≤25，∴－25≤a ≤1. 综上可得－25≤a <－24或0<a ≤1， 即a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．。
高三数学 一元二次不等式复习导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：一元二次不等式导学
案
高考要求：C级
导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题．
基本知识回顾
1．一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式．
基础检测
见导航第92页1---5
典型例题
例1 见导航第92页例1
例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
变式训练1 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0
例3 见导航93页例2
变式训练2已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
例4 见导航93页例3
变式训练4 不等式11||2ax x ->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范围是。
江苏省宿迁市高中数学第22课时一元二次不等式(1)导学案(无答案)苏教版必修5(new)
第22课时 一元二次不等式（1）【学习目标】1。
经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程；2.通过函数图象了解一元二次不等式与 函数、方程的联系；并能熟练求解一元二次不等式；3。
含参数的一元二次不等式及恒成立问题的求解策略。
【问题情境】“2510 4.80x x -+<"像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是２的不等式叫做一元二次不等式．如何求解不等式2510 4.80x x -+<.【合作探究】1。
探究一一元二次方程2510 4.80x x -+=和相应的二次函数2510 4.8y x x =-+有着怎样的联系? 一元二次不等式2510 4.80x x -+<和相应的二次函数2510 4.8y x x =-+又有着怎样的联系？2. 探究二一元二次方程20ax bx c ++=,一元二次函数2y ax bx c =++，一元二次不等式20ax bx c ++>三个二次之间的关系。
3.知识建构分式不等式（思想:__________________________)⇔>0)()(x g x f ⇔<0)()(x g x f ⇔≥0)()(x g x f ⇔≤0)()(x g x f 【展示点拨】例1。
求解不等式（1）01272>+-x x （2）0322≥+--x x (3）0222>+-x x （4）(2)(3)1x x x x +<-+拓展延伸:变1：031<+-x x 变2：0421≤+-x x 变3：213x x ≤-例2。
已知不等式)31,21(012->++的解集为bx ax ，则a =__________，b =___________. 变1：二次不等式20ax bx c ++≥的解集为｛x ｜12x -≤≤}则不等式20ax bx c -+≥的解集为_______________;20cx bx a ++≥的解集为_____________________变2：A=｛x ｜01032≥--x x }，B={x ｜02<++c bx x ｝ ],2,4(--=B A 且R B A = 则b =____________，c =___________。
高中数学 一元二次不等式学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案
一元二次不等式一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)回顾一次函数、一元一次不等式、一元一次方程之间的关系；(2)探究一元二次不等式的解法．2．预习提纲(1) 复习一次函数、一元一次方程，一元一次不等式三者关系完成下表空白处轴的交点的横坐标是对应的一元一次方程的根，直线在x轴上方(或下方)的点的横坐标的取值范围就是一元一次不等式的解．(2) 类比探究“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”三者之间的关系的做法，我们可以从一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法．① 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△＝0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解；相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如下图所示)；因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)与ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解．当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图①可知：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ＜x 1，或x ＞x 2； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为x 1＜x ＜x 2．当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图②可知：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ≠－b2a ；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．当△＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图③可知：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．②我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求③①②解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．③ 若不等式为ax 2＋bx ＋c≥0和ax 2＋bx ＋c≤0(a ＞0)，其解的情况如何？设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则不等式的解集如下表：(完成表格空白处)3例1 (1)当x 为何值时，x 2－x －6的值①等于0；②大于0；③小于0． (2)当x 为何值时，函数y ＝x 2―x ―6①图像上的点在x 轴上； ②图像上的点在x 轴的上方； ③图像上的点在x 轴的下方．分析：从一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法．解：方程x 2―x ―6＝0的根就是函数y ＝x 2－x －6的图像与x 轴交点的横坐标； 不等式x 2―x ―6＞0的解就是函数y ＝x 2―x ―6的图像在x 轴上方的点的横坐标； 不等式x 2―x ―6＜0的解就是函数y ＝x 2―x ―6的图像在x 轴下方的点的横坐标． 例2 解不等式：(1)x 2＋2x －3≤0； (2)x －x 2＋6＜0； (3)4x 2＋4x ＋1≥0； (4)x 2－6x ＋9≤0； (5)－4＋x －x 2＜0； (6)210x x -+<.分析：解一元二次不等式时，通常这样操作：(1)如果二次项系数小于零，那么在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式；如果二次项系数大于零，那么直接做(2)；(2)求△＝b 2－4ac ，判断△＞0，△＝0，△＜0；(3)不等式的解按照△＞0，△＝0，△＜0的情形，利用学习指导的结论直接求．若不等式为ax 2＋bx ＋c≥0和ax 2＋bx ＋c≤0(a ＞0)，结合图像对解的情况作相应调整． 解：(1)∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1．∴不等式的解为－3≤x ≤1；(2)整理，得x 2－x －6＞0．∵Δ＞0，方程x 2－x －6＝0的解为 x 1＝－2，x 2＝3；∴原不等式的解为 x ＜－2，或x ＞3；(3)整理，得(2x ＋1)2≥0．由于上式对任意实数x 都成立，∴原不等式的解为一切实数；(4)整理，得(x －3)2≤0．由于x ＝3时，(x －3)2＝0成立；而对任意的实数x ，(x －3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x ＝3；(5)整理，得x 2－x ＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数； (6)方程210x x -+=，Δ＜0，所以，原不等式无解．例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或，求不等式2bx ax c ++>的解．分析:本例利用方程与不等式之间的相互关系来解决问题．解:由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6bc a a -==，即 5,6bca a=-=．由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可化为 20b cx x a a++< ， 即 －2560,x x ++<整理，得 2560,x x -->所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65 ．例4 已知不等式x 2＋ax ＋1≥0的解为一切实数，求a 的取值范围.分析：利用函数与不等式之间关系来解决问题.对照预习提纲中一元二次不等式解的分类的表格我们可以得出0∆≤．解：由题意可得∴△ = a 2– 4 ≤ 0，∴－2≤a ≤2． 例5 解关于x 的不等式ax a x 2110-++<()，其中a >0． 解:由一元二次方程2(1)10ax a x -++=的根为x x a1211==,知， (1)当11a>，即01<<a 时二次函数y ax a x =-++211()的草图为： 故原不等式的解为 11x a<<；(2)011<<a,即a >1时二次函数y ax a x =-++211()的草图为： 故原不等式的解为11x a<<；(3)11a=，即a ＝1时二次函数y ax a x =-++211()的草图为： 故原不等式无解．综上，当01<<a 时，原不等式的解为11x a<<； 当a >1时，原不等式解为11x a<<； 当a =1时，原不等式无解．点评:本题需要对方程的两根大小进行分类讨论.． 4． 自我检测(1) 已知函数2y x bx c =++的图象与x 轴的两个交点横坐标分别为1,2-，则当x 取何值时，0y >,当x 取何值时，0y <？ (2) 解下列一元二次不等式：①(2)(3)0x x +-≥； ②220x x -->； ③210x x ++>； ④2690x x -->．(3) 若不等式ax 2＋ bx ＋ 2 ＞ 0的解为－ 12 ＜ x ＜ 13，则a ＝ ______，b ＝ ______．三、 课后巩固练习A 组1．解下列不等式：(1)3x 2－x －4＞0； (2)x 2－x －12≤0； (3)x 2＋3x －4＞0； (4)16－8x ＋x 2≤0； (5)3x 2－2x ＋1＜0； (6)3x 2－4＜0； (7)2x －x 2≥－1； (8)9－x 2≤0； (9)2x 2―3x ―2＞0； (10)－3x 2＋5x ≥2； (11)2210x x -+->； (12)2230x x -+-≤．2．若2是不等式270x mx +-<的一个解，则正整数m =__________． 3．若x 满足1023x x +<-,B 组4．解下列关于x 的不等式：()()()()1101x x a a --<<；()2811x ax +>+． 5．若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解为20<<x ，则实数m =_________．6．若关于x 的二次不等式28210mx mx ++<的解()()()()()()()()()()()22222232224500;34200;410;500;16100;7;x ax a a x ax a a x a a x a a x aa b b xx k x k k x ax x a --><+-<<-++++≤+≤+>-⎛⎫-++<> ⎪⎝⎭-≤-为71x -<<-则m =_________．7．若式子2x ax a ++对一切实数都大于-3，则a 的取值范围为_________．8．关于x 的不等式x 2＋x ＋k >0的解为一切实数，实数k 的取值范围是_________________． 9．关于x 的一元二次不等式mx 2＋3mx ＋m －2＜0的解为一切实数,则实数m 的取值为______________．10．已知关于x 不等式2x 2＋bx －c ＞0的解为x ＜－1，或x ＞3．试解关于x 的不等式bx 2＋cx ＋4≥0．11．已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )＜0的解为13x <-，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋(b －2a )＞0的解．12．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为35x <<，求关于x 的不等式c x 2＋bx ＋a ＜0的解．C 组13．关于x 的不等式mx 2-2mx +m -1≥0无解, 则m 的取值范围是_________． 14．求,a b 的值，使得关于x 的不等式2210ax bx a ++-≤的解分别为()()()()112;212;32;41x x x x x -≤≤≤-≥=≥-或．15．函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 16．若关于x 的方程()2214320k x kx k +++-=的两个实根同号，求实数k 的取值范围．17．若关于,x y 的方程组25x y xy k +=⎧⎨-=⎩有实数解，求实数k 的取值范围． 18．设βα,是方程02442=++-m mx x 的两实根，(1)求m 的范围(2)当m 为何值时，22βα+有最小值，求出这个最小值．五、 拓展视野请将例5中“a >0”这一条件去掉，重新求解该题.分式不等式和简单的高次不等式的解法一、 学习内容、要求及建议二、 预习指导 1． 预习目标熟悉分式不等式与高次不等式的解法原理，能熟练运用“序轴标根法”解不等式. 2． 预习提纲 (1) 分式不等式的解法 问题1 解不等式：073<+-x x ． 解法1：化为两个不等式组来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔37<<-x ， ∴原不等式的解是73x -<<．解法2：化为二次不等式来解：∵073<+-x x ⇔0)7)(3(<+-x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解是73x -<<．变式1：解不等式073≤+-x x ．解：073≤+-x x ⇔70)7)(3(-≠≤+-x x x 且⇔37≤<-x ， 原不等式∴的解是－7＜x ≤3．变式2：解不等式173<+-x x ． 解：331011007777x x x x x x ---<⇔-<⇔<∴>-+++， 7x ∴>-原不等式的解是．归纳解分式不等式的步骤：① 化分式不等式为标准型：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式； ② 将分式不等式转化为整式不等式求解：()0()f x g x >⇔ 0)()(>x g x f ()0()f x g x <⇔0)()(<x g x f ()0()f xg x ≥⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ()0()f x g x ≤⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f ； (2) 可因式分解的高次不等式解法问题2：解一元二次不等式(x ＋3)(x －1)＜0． 方法一：利用上一节的方法求解；方法二：① 求根：令(x －1)(x ＋3)＝0，解得x (从小到大排列)分别为－3，1，这两根将x 轴分为三部分：x ＜－3 , －3＜x ＜1 , x ＞1② 分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③ 由上表可知，原不等式(x ＋3)(x －1)＜0的解|－3＜x ＜1．变式：(x －1)(x ＋4)(x －3)＞0．分析：① 检查各因式中x 的符号均为正；② 求得相应方程的根为：－4，1，3； ③ 列表如下：④ 由上表可知，原不等式的解为：－4＜x ＜1或x ＞3． 小结：此法叫列表法，解题步骤是：① 将不等式化为)0(0)())()((321<>----n x x x x x x x x 形式(各项x 的符号化“＋”)，求出方程 0)())()((321=----n x x x x x x x x 的各根，且各根均不相等；② 按各根把实数分成的n ＋1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列)；③ 计算各范围内各因式的符号，最下面一行是乘积的符号； ④ 看下面积的符号写出不等式的解集．另外，列表法的步骤我们还可以画图求解，称之为序轴标根法(零点分段法)． ① 将不等式化为)0(0)())()((321<>----n x x x x x x x x 形式，并将各因式x 的系数化“＋”；② 求方程0)())()((321=----n x x x x x x x x 各根，并在数轴上表示出来(从小根到大根按从左至右方向表示)；③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；④ 若不等式(x 的系数化“＋”后)是“＞0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等－－x 1x 2x 3x n －1x n说明：注意不等式若带“＝”号，点画为实心，解集边界处应有等号．3． 典型例题例1 解下列不等式： (1)0132<+-x x ； (2)013≥-+x x ． 分析：将分式不等式恒等转化为整式不等式． 解：(1)原不等式等价于：0)1)(32(<+-x x ，解得：312x -<<； (2)原不等式等价于：⎩⎨⎧≠-≥-+010)1)(3(x x x ，解得：1>x 或3-≤x ． 例2 解下列不等式： (1)1132<+-x x ；(2)213≥-+x x ． 分析：分式不等式的右端不为0，则需恒等转化为右端为0 的情况．解：(1)该不等式可以转化为：01132<-+-x x ⇔01)1(32<++--x x x 即014<+-x x 解得：14x -<<； (2)该不等式可以恒等转化为：0213≥--+x x ⇔01)1(23≥---+x x x 即015≥-+-x x ⇔⎩⎨⎧≠-≥-+-010)1)(5(x x x ，解得：15x <≤． 例3 解不等式()()()0423>--+x x x ．分析：先在序轴上标出零点(标出根)，根标出来后，标出综合因式()()()423--+x x x 的正负号，再根据题目要求，直接写出不等式的解．解：如图，不等式的解为324x x -<<>或． 例4 解不等式()()032432≤+---x x x x x ． 解：先将原不等式等价化为()()()234230x x x x x ---+≤且2,0,3≠≠-≠x x x ， 即()()()()23140x x x x x -++-≤且3,0,2x x x ≠-≠≠且且，用“数轴标根法”∴原不等式的解是31024x x x <-≤<<≤或－或．点评：对分式不等式在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解．4． 自我检测(1)不等式0121>+-x x 的解是 ． (2)不等式112x <的解是 ． (3)不等式2313>+-x x 的解是_________________． (4)解下列高次不等式：①()()()3120x x x x -+-<；②()()22307210x x x +-+≤；③3235141x x x +-->．三、 课后巩固练习A 组1．解下列关于x 的不等式： (1);011≥-+x x (2)52052x x -≤+；(3) 21221x x +≥-； (4)12->x． 2．解下列关于x 的不等式：(1) (1－2x )(x －1)(x ＋2)＜ 0；(2)(x ＋1)(－2x ＋3)(3x ＋1)＞ 0；(3)(x ＋3)(x ＋2)(x －5)≥0；(4)(x －1)(x －2)(x ＋7)(x ＋5)＜0；(6)22 (45)(2)0x x x x --++<； (7)(2)03x x x +>-；(8)22411372x x x x -+≥-+ ． B 组3．解不等式：(1) x 3－2x 2－5x ＋6＜0；(2) 120)4)(3)(2)(1(≥----x x x x ． 4．解不等式：0＜11<-xx ． 5．不等式111111++<++x x x 的解是_________．C 组6．解关于x 的不等式()112a x x ->-. 7．(1)不等式0)3()2(2≥--x x 的解为 __________________________；(2)不等式0)1()2(2<-+x x 的解为____________________________；(3) 不等式(x 2－4)(x ＋1)2(x －1)3≤0的解为 ___________________________； (4) 不等式0)1()3()1(234≥+--x x x x 的解为______________________________； (5)不等式02)1()3(2≤--+x x x 的解为_____________________________． 四、 学习心得含重因式的高次不等式的解法例1 解不等式()()()013232<+--x x x . 解: ① 检查各因式中x 的符号均正；② 求得相应方程的根为：－1，2，3(注意：2是二重根，3是三重根)；③ 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始)，如下图：④ ∴原不等式的解集为()()3,22,1 -点评：因为3是三重根，2是二重根，穿线的的原则是遇到奇数重根就穿过，遇到偶数重根折返，所以采用数轴标根法解决简单高次不等式的方法是“从右往左，从上到下，遇奇穿过，遇偶折返”．例2 解关于x 的不等式：()()0122<++-a x x x ． 解：此不等式是含参数a 的高次不等式，a x -=是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对a 的所处位置进行讨论．①将二次项系数化“＋”并分解为：()()()034>++-a x x x ；②相应方程的根为：a --,4,3．③讨论：ⅰ)当4>-a ，即4-<a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解为34x x a -<<>-或．ⅱ)当43<-<-a ，即34<<-a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解为34x a x -<<->或．ⅲ)当3-<-a ，即3>a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解为34a x x -<<->或．ⅳ)当4=-a ，即4=a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解为3x >-．ⅴ)当3-=-a ，即3=a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为4x >．综上所得，当4-<a 时，原不等式的解为34x x a -<<>-或；当34<<-a 时，原不等式的解为34x a x -<<->或；当3>a 时，原不等式的解为34a x x -<<->或；当4=a 时，原不等式的解为3x >-；当3=a 时，原不等式的解集为4x >．点评：此题意在于让大家熟练用“序轴标根法”解高次不等式，培养分类讨论的思想，题中对当3=a 与4=a 时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论．。
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第22课时 一元二次不等式（1）
【学习目标】
1.经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程；
2.通过函数图象了解一元二次不等式与 函数、方程的联系；并能熟练求解一元二次不等式；
3. 含参数的一元二次不等式及恒成立问题的求解策略. 【问题情境】
“2
510 4.80x x -+<”像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是２的不等式叫做一元二次不等式．如何求解不等式2
510 4.80x x -+<. 【合作探究】 1.探究一
一元二次方程2
510 4.80x x -+=和相应的二次函数2
510 4.8y x x =-+有着怎样的
联系？
一元二次不等式2
510 4.80x x -+<和相应的二次函数2
510 4.8y x x =-+又有着怎
样的联系？ 2. 探究二
一元二次方程2
0ax bx c ++=，一元二次函数2
y ax bx c =++，一元二次不等式
20ax bx c ++>
三个二次之间的关系. 3.知识建构
分式不等式（思想：__________________________）
⇔>0)()(x g x f ⇔<0)()
(x g x f ⇔≥0)()(x g x f ⇔≤0)
()
(x g x f 【展示点拨】 例1.求解不等式
（1）01272
>+-x x （2）0322
≥+--x x （3）0222
>+-x x （4）
(2)(3)1x x x x +<-+
拓展延伸： 变1：031<+-x x 变2：04
21≤+-x x
变3：213x x ≤-
例2. 已知不等式)3
1
,21(012
-
>++的解集为bx ax ，则a =__________,b =___________. 变1：二次不等式2
0ax bx c ++≥的解集为{x |12x -≤≤}则不等式2
0ax bx c -+≥的解集为_______________；2
0cx bx a ++≥的解集为_____________________
变2：A={x|01032≥--x x }，B={x|02
<++c bx x } ],2,4(--=B A 且R B A = 则b =____________,c =___________.
例3. （1）若0a <，求0232
2<+-a ax x 的解集； (2) 求01)1(2
>++-x a ax 的
解集.
例4.已知一元二次不等式（m-2）2
x +2(m-2)x+4>0的解集为R ，求m 的取值范围. 变1. 2
1
43
mx y mx mx -=
++的定义域为R ，则实数m 的取值范围. 变2.
如果函数()f x =R ，求实数a 的取值范围.
【学以致用】
1. 解不等式(1)1211log x x -≥； (2) 2680
+3
2-1
x x x x ⎧-+>⎪
⎨>⎪
⎩解不等式组 2. 已知关于x 的不等式22
60ax x a -+<的解集是1(,)m ，则实数m 的值为_____
3. 若（0,3）内的每一个数都是不等式2
210x mx +-<的解，则实数m 的取值范围为________．
4. 已知关于x 的不等式2
5
0ax x a
-<-的解集为M ，若5M ∉，求实数a 的取值范围．
第22课时 一元二次不等式（1）
【基础训练】
1.不等式2
4x >的解集是 _____________.
2.不等式05
42
＜x x --的解集是 _____________. 3.不等式()()
011＜x x -+的解集为______________. 4．不等式2
2
(23)(6)0x x x x +-++<的解集是为___________．
5．不等式25123
x
x x -<---的解集是为___________．
6．不等式()()2
120x x -+≥的解集是为___________．
7．函数2
lg(231)y x x =+-的定义域为_____________．
8．不等式(20x -的解集是为___________．
【思考应用】 9.不等式22
3
2142-<---<-x x 的解集是为___________．
10.已知函数()2
(2)2(2)4f x m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围
【拓展提升】
11.设k∈R , 12,x x 是方程22
210x kx k -+-=的两个实数根, 求2212x x +的最小值.
12.若不等式2
210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．。