§2.1随机变量的概念及分布函数

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0.5e x , x < 0, 是分布函数 函数； 例2.2 F1 ( x ) = 0.8,0 ≤ x < 1, 是分布函数； 1, x ≥ 1 0, x < 0, 0.1 x ,0 ≤ x < 5, F2 ( x ) = 不是分布函数 函数， 不是分布函数， 0.3, 5 ≤ x < 6, 1, x ≥ 6 不满足单调不减性
或可列无穷
连续型随机变量：在后面第４节定义， 连续型随机变量：在后面第４节定义，
属于非离散型随机变量中的一种 属于非离散型随机变量中的一种 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大 事件．引入随机变量后， 事件．引入随机变量后，对随机现象统计规律的研 究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变 量及其取值规律的研究， 量及其取值规律的研究，并可以用数学方法对随机 试验的结果进行广泛深入的研究和讨论． 试验的结果进行广泛深入的研究和讨论．
是分布函数， 是分布函数，因为对于某个 x0 ∈ R , 可能有
3F ( x0 ) − 2G ( x0 ) < 0 .
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四、用分布函数表示概率
分布函数完整地描述了随机变量的统计规 律．如果知道了随机变量的分布函数，那么可 如果知道了随机变量的分布函数， 以求出该随机变量落在任何区间内的概率. 以求出该随机变量落在任何区间内的概率. 假设a<b， 假设a<b， a<b a 那么 b x
三、分布函数
设Ｘ是任意一个随机变量，称如下定义的函数 是任意一个随机变量，
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F ( x) = P ( X ≤ x ) , x ∈ R
为 X 的分布函数，记作 X ~ F ( x ) ． 分布函数，
任何随机变量都有分布函数， 任何随机变量都有分布函数，且由随机变 量本身唯一决定． 量本身唯一决定．
第2章 章 随机变量及 概率其分布
本章用定量的方法， 本章用定量的方法，从整体上来研究 随机现象。 随机现象。
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§2.1 随机变量的概念及分布函数
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一、随机变量的概念
我们从下面引例谈及随机变量的概念. 我们从下面引例谈及随机变量的概念. 例2.1 某种游戏需要用摇大转盘的方法确定 获奖分数，大转盘均分为8 获奖分数，大转盘均分为8份，其中得0分的占2 其中得0分的占2 份，1分的占2份，2分的占4份．一次摇大转盘的 分的占2 分的占4 得分在试验之前是不能确定的， 得分在试验之前是不能确定的，因为它的取值依 赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的. 赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的. 下面我们对这个随机试验的结果进行数学描述． 下面我们对这个随机试验的结果进行数学描述．
在例 2.1 中， 得 0 分” { X = 0} ≡ {ω : X ( ω ) “ =
那么可用下列几种常见形式表示事件: 那么可用下列几种常见形式表示事件: ◎
{ X = x} ; { X ≠ x} ; { X < x} ; { X ≤ x} ; { X > x} ; { X ≥ x} ;
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◎ { x1 < X < x2 } ;
小写希腊字母 ξ 、 η 、 ζ 等表示.
下面另外举一些随机变量的例子： 下面另外举一些随机变量的例子： ◎掷一枚骰子，出现的点数； 掷一枚骰子，出现的点数； ◎盒子中装有10个白球和7个 盒子中装有10个白球和7 10个白球和 黑球， 黑球，作不放回抽样直到取 到白球为止， 到白球为止，已经取出的黑 球数； 球数； 这两个例子中 的随机变量的 取值都只有有 限多个
内的概率． 表示 X 落在半直线 ( −∞, x ] 内的概率．
的概率， 固定 x ， F ( x ) 是事件 { X ≤ x} 的概率，也
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分布函数具有下列性质： 定理 2.1 分布函数具有下列性质：
(1)有界性 (1)有界性 对任意的 x ∈ R ，0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ；
(2)单调不减性 (2)单调不减性 当 x1 < x2 时， F ( x1 ) ≤ F ( x2 ) ；
◎某地区下一年的年降雨量； 这三个例子中的随 某地区下一年的年降雨量； 机变量的取值都充 机变量的取值都充 ◎打靶射击中，弹着点与 打靶射击中， 满了某个区间， 满了某个区间，从 靶心的距离； 靶心的距离； 而取值个数不可列 无穷． 无穷． 某品牌电视机的寿命． ◎某品牌电视机的寿命．
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分类： 分类：实际中遇到的随机变量有两大类型 离散型随机变量：取值个数有限 离散型随机变量：
令 ωi = {摇到分格 i }， i = 1, 2,⋯ ,8 பைடு நூலகம்则该试
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１ ２ １ ０ ０ ２ ２ ２
验的样本空间为
Ω = {ω1 , ω2 ,⋯ , ω8 } .
不妨设摇到分格1 不妨设摇到分格1或2得0分，摇到 分格3 分格3或4得1分，摇到分格5， 6， 摇到分格5
7或8得2分．若用Ｘ表示一次摇大转盘的得分，则 若用Ｘ表示一次摇大转盘的得分，
于ω ， 是随着试验结果不同而变化的量， 我们称这个变
量为随机变量(random variable，简记为 r.v.)．常把 随机变量(random variable， .)． 随机变量
X ( ω ) 简单写成 X ．
ω.
X(ω)
R
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Ω
随机变量常用英文大写字母 X 、 Y 、 Z 、 U 、 V 或
0, ω = ω1 , ω2 , X ( ω ) = 1, ω = ω3 , ω4 , 2, ω = ω , ω , ω , ω . 5 6 7 8
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变量 X 是从样本空间 Ω 到实数集 R 的一个映射．也
就是说，对于试验的每一个可能结果 ω ，都对应着一个
实数 X ( ω ) ．试验结果 ω 具有随机性，而 X ( ω ) 依赖
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◎盒子中装有10个白球和7个黑 盒子中装有10个白球和7 10个白球和 作放回抽样直到取到白 球，作放回抽样直到取到白 球为止，已经取出的黑球数； 球为止，已经取出的黑球数； ◎某条交通干线上，未来24小 某条交通干线上，未来24小 24 时内发生交通事故的次数； 时内发生交通事故的次数；
这两个例子中 的随机变量的 取值都是可列 取值都是可列 无穷多个
？？？
因为
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例2.3 F ( x ) 和 G ( x ) 是分布函数
3 1 4 F ( x) + 4 G ( x) , 都是分布函数； 都是分布函数； ⇒ F ( x )G ( x ), F (2 x + 1) F ( x ) 和 G ( x ) 是分布函数 ⇒ 3F ( x ) − 2G ( x )
{ x1 < X ≤ x2 } ; { x1 ≤ X < x2 } ; { x1 ≤ X ≤ x2 } .
现在事件有三种表示的方法 现在事件有三种表示的方法
用随机变量表示事件往往比较简洁． 用随机变量表示事件往往比较简洁．
用集合； 用语言； 用随机变量. ① 用集合； ② 用语言； ③ 用随机变量.
P{a < X ≤ b} = P{ X ≤ b} − P{ X ≤ a}
= F(b) − F(a)
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推而广之，我们有以下常用结果： 推而广之，我们有以下常用结果： ◎ P ( X ≤ b) = F ( b) ; ◎ P ( X < b ) = F ( b − 0) ; ◎ P ( X = a ) = F ( a ) − F ( a − 0) ; ◎ P ( a < X ≤ b) = F ( b) − F ( a ) ; ◎ P ( a ≤ X < b ) = F ( b − 0) − F ( a − 0) ; ◎ P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a − 0) ; ◎ P ( a < X < b ) = F ( b − 0) − F ( a ) .
F ( −∞ ) = P ( X ≤ −∞ ) = P ( Æ) = 0, F (∞ ) = P ( X ≤ ∞ ) = P ( Ω ) = 1.
可以证明， 可以证明，凡是满足上述四条性质的函数
一定是某随机变量的分布函数． 一定是某随机变量的分布函数．
☎ 上述四条性质是判断一个函数是否可以作
为分布函数的充分必要条件 充分必要条件． 为分布函数的充分必要条件．
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二、用随机变量表示随机事件
= 0} = {ω1 , ω 2 } ； 得 1 分”= { X = 1} = {ω 3 , ω 4 } ； “
“得 2 分”= { X = 2} = {ω 5 , ω 6 , ω 7 , ω 8 } .
一般地， 如果 X 是随机变量， x , x1 , x2 是实数， 是随机变量， 是实数， 一般地，
(3)极限性质 (3)极限性质 F ( −∞ ) = 0 ， F ( ∞ ) = 1 ．
(4)处处右连续性 对任何 x ∈ R ， ( x + 0) = F ( x ) ． F (4)处处右连续性
显然；（ ；（4 证 (1) 显然；（4）略．
(2)因为事件 (2)因为事件 { X ≤ x1 } ⊂ { X ≤ x2 } ，由分布
函数的定义式(2.1)及概率的单调性， 函数的定义式(2.1)及概率的单调性， (2.1)及概率的单调性
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F ( x1 ) = P ( X ≤ x1 ) ≤ P ( X ≤ x2 ) = F ( x2 ) .
(3)在 (3)在
F ( x ) = P ( X ≤ x ) 两边取当
时的极限， x → ±∞ 时的极限，我们得到