微专题23 运用设点与解点求解椭圆综合问题
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y1-1 解法 1 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线 TP:y-1= (x-2),直线 x1-2 y2-1 x1-2 x2-2 TQ:y-1= (x-2).故 OM=2- ,ON=2- .由直线 x2-2 y1-1 y2-1
x2+4y2=8, 1 1 OT:y=2x,设直线 PQ:y=2x+t(t≠0)联立 1 消去 y, y= x+t, 2
得 x2+2tx+2t2-4=0.当 Δ>0 时,x1+x2=-2t,x1· x2=2t2-4,
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x1-2 x2-2 = 4 - + 所以 OM+ON=4- y1-1 y2-1
x1-2 x2-2 + 1 1 2x1+t-1 2x2+t-1
x1x2+(t-2)(x1+x2)-4(t-1) =4-1 1 2 x x + ( t - 1 )( x + x )+( t - 1 ) 1 2 4 1 2 2 2t2-4+(t-2)(-2t)-4(t-1) =4-1 = 4. 1 2 2 ( 2 t - 4 )+ ( t - 1 ) · (- 2 t )+( t - 1 ) 4 2
2
2
答案:过定点 F (± 2,0).
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解析:以 MN 为直径的圆过定点 F (± 2,0).
2 x2 y 0 0 2 设 P(x0,y0),则 Q(-x0,-y0),且 4 + 2 =1,即 x2 + 2 y 0 0=4, 2 y y0 0 0 , ∴直线 PA 方程为 y= (x+2),∴M . x + 2 (x0+2) 0 2 y y0 0 0 , 同理,直线 QA 方程为 y= (x+2),∴N . x0-2 x0-2
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x2 y2 变式 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 4 + 2 =1,过坐标 原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k.对任意的 k>0,求证:PA⊥PB.
∴以 MN
2y0 2y0 y - y - 为直径的圆方程为(x-0)(x-0)+ x +2 x -2=0. 0 0
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2 4 x y 4 y 0 0 0 2 2 2 即 x +y - 2 y+ 2 =0,又 x2 - 4 =- 2 y 0 0, x0-4 x0-4
解得 x0=0, 而由题意 x0>0, 故无解. 因此点 P
2 6 的坐标为 , 3
6 . 3
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说明:以上解析是符合大题规范的,如果是客观题,可以从几何角 度入手:由题意 P,Q,F1,F2 四点共圆,所以 Q 在过 P,F1,F2 的圆 上;因为 F1F2 垂直平分线为 y 轴,所以圆心在 y 轴上,所以点 P,Q 关 于 y 轴对称或关于原点对称,即 xQ=-x0.下略.
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那么以 MN 为直径的圆方程为 x +(y-n+k1m)(y-n+k2m)=0. b 2 在这个方程中,令 y=n,则 x +k1k2m =0,即 x -a2m =0,从而
2 2 2 2
2
b x=± m . a 也就是以 MN
b m , n 为直径的圆过定点± . a
2
2
2
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x1x2+(t-2)(x1+x2)-4(t-1) = (x1-2)(x2-2) 2t2-4+(t-2)(-2t)-4(t-1) = =0.所以直线 TP 和直线 TQ (x1-2)(x2-2) 的斜率和为零,故∠TMN=∠TNM,所以 TM=TN,故 T 在线段 MN 的中垂线上,即 MN 的中点横坐标为 2.故 OM+ON=4.
8 3 + 7 = 2, 点 M 到 BF 距离 d= 2 1 2 3 3× - 3 7 7 3 1 BF· d 2 = 2 = 7 .故 S△ MBF=2· 1 +( 3)
1 3 3 =2× 2× 7 = 7 .
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-1-(-2) (2)解法 1: ①设 P(m, -2), 且 m≠0, 则直线 PM 的斜率为 k= 0- m 1 =-m,
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证明:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x1≠x2,A(-x1,-y1), C(x1,0).设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2,因为 C 在直线 AB 上, 0-(-y1) y1 k 所 以 k2 = = 2x = 2 . 于 是 k1k + 1 = 2k1k2 + 1 = x1-(-x1) 1
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(1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时,求△ FBM 的面积; (2)①记直线 BM,BP 的斜率分别为 k1,k1,求证:k1· k2 为定值; →· → 的取值范围. ②求PB PM
3 答案:(1) 7 ;(2)①略;②(9,+∞).
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解析:(1)由题意得 B(0,1),C(0,-1),焦点 F ( 3,0),当直线 PM 3 x y 过椭圆的右焦点 F 时, 则直线 PM 的方程为 + = 1, 即 y= 3 x-1, 3 -1
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x2 y2 例题:如图所示,已知椭圆 C: 8 + 2 =1(a>b>0),且点 T(2,1)在椭 圆上.设与 OT 平行的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 TP,TQ 分别与 x 轴正半轴交于 M,N 两点.请判断 OM+ON 的值是否为定值, 并证明你的结论.
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解法 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 TP 和 TQ 的斜率分别为 k1 和 k2,
x2+4y2=8, 1 1 由直线 OT:y=2x,设直线 PQ:y=2x+t(t≠0),联立 1 y= x+t, 2
消去 y,得 x +2tx+2t -4=0.当 Δ>0 时,x1+x2=-2t,x1· x2=2t 1 1 y1-1 y2-1 2x1+t-1 2x2+t-1 -4,所以 k1+k2= + = + x1-2 x2-2 x1-2 x2-2
解析:假设直线 TP 或 TQ 的斜率不存在,则 P 点或 Q 点的坐标为(2,
x2+4y2=8, 1 1 -1), 直线 l 的方程为 y+1=2(x-2), 即 y=2x-2.联立 1 得 y= x-2, 2
x2-4x+4=0, 此时,直线 l 与椭圆 C 相切,不合题意.故直线 TP 与 TQ 的斜率 存在.
2 2 2 2 2 y2-y1 y2-(-y1) 2y2 - 2 y x + 2 y -( x + 2 y 2 1 2 2 1 1) 2· · + 1 = 2· 2 2 + 1 = = 2 2 x2-x1 x2-(-x1) x2-x1 x2-x1
4- 4 2 2=0.所以 k1k=-1,所以 PA⊥PB. x2-x1
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说明:本题是 2011 年江苏高考第 18 题,第(1)(2)两小题已删,展 示的是第(3)题.对于一般的椭圆,A,P 过关于原点对称,所以 kAB· kPB b2 1 y1 y1 1 1 =-a2=-2.设 P(x1, y 1) , 则 kAP=x , kAB=kAC=2x =2kAP, 所以2kAP· kPB 1 1 1 =-2,即 kAP· kPB=-1.
x2 0-2 2 2 因为点 Q 在椭圆上, 由对称性, 得 y =± y0, 即 x2 - y = 2 或 x 0 0 0+
0
y2 0=2.
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2 x2 - y 0 0=2, 又 P 在椭圆 E 上,故 4 + 2 =1.由 2 2 x + 2 y 0 0=4, 2 x0 2 y0 2 2 x + y 2 6 6 0 0=2, 解得 x0= 3 ,y0= 3 ; 2 2 x + 2 y 0 0=4,
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当然,有兴趣的同学也可以让其在课后研究一下点 Q 的轨迹(方 程),消去 x0,y0 后,点 Q 的轨迹方程是(4-x2)y2=2(x2-2)2,曲线形状 如图所示.
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x2 2 串讲 2 如图,已知椭圆 O: 4 +y =1 的右焦点为 F,点 B,C 分别是椭 圆 O 的上、下顶点,点 P 是直线 l:y=-2 上的一个动点(与 y 轴 交点除外),直线 PC 交椭圆于另一点 M.
2 x +y2=1, x=8 3, x=0, 4 7 联立 解得 或 (舍去),即 3 1 y=-1, y= 3 x-1, y=7, 8 3 1 M , . 7 7
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x y 连接 BF,则直线 BF: +1=1,即 x+ 3y- 3=0,而 BF=a 3
实际上, 在方程 x2+(y-n+k1m)(y-n+k2m)=0 中, k1k2m2 是定值, 只要令 y=n,就能求出直线的定点.
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x2 y2 串讲 1 椭圆 E: 4 + 2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 在椭圆 E 上, 且位于第一象限,过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2,若 l1,l2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.
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b2 解答题中,结论 kAB· kPB=-a2不能直接用,但是可以作为思考的方 向,另外,证明也就一步.另外,通过刚才的分析,我们知道 kAB· kPB 1 =-2是必须的,否则没有 PA⊥PB 的结论.而且,只要椭圆的离心率 2 为 2 ,都有 kAP· kPB=-1,即 PA⊥PB 的结论.
0
x0- 2 斜率为- y , 0
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x0+ 2 从而直线 l1 的方程:y=- y (x+ 2),① 0 x0- 2 直线 l2 的方程:y=- y (x- 2).② 0
2 x2 - 2 x - 2 0 0 由①②,解得 x=-x0,y= y ,所以 Q - x , . 0 y0 0
微专题23
运用设点与解点求解椭圆综 合问题
热点追踪
解析几何中, 点是最基本单位. 点在曲线上, 点的坐标满足方程. 设 点意味着建构方程,解点意味求解方程(组).解决与方程有关的问题, 是解析几何的基本问题, 也是解析几何考查的基本点. 解决与方程有关 问题的关键在于时刻聚焦目标,确定合理路径,善于运用设而不求、设 而善求等数学方法.
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x y 变式 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 4 + 2 =1 的左顶点 为 A,过原点 O 且不与坐标轴重合的直线与椭圆 C 交于 P,Q 两 点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.试问以 MN 为直 径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.
2x0 ∴x +y + y y-2=0,令 y=0,x2-2=0,解得 x=± 2, 0
2 2
∴以 MN 为直径的圆过定点 F (± 2,0).
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说明:本题能不能一般化呢? 如图,已知 P,Q 关于原点对称,定点 A(m,n)在椭圆上,
设直线 AP,AQ 斜率分别为 k1,k2,所以 k1· k2= b2 -a2, 直线 AP:y-n=k1(x-m),令 x=0(求与 y 轴交 点),则 yM=n-k1m,同理 yN=n-k2m.
2 6 答案: , 3
6 . 3
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解析:由题意,F1(- 2,0),F2( 2,0),设 P(x0,y0),因为点 P 为第 一象限的点,故 x0>0,y0>0.当 x0= 2时,l1 与 l2 相交于 F1,与题意 不符. y0 y0 当 x0≠ 2时,直线 PF1 的斜率为 ,直线 PF2 的斜率为 . x0+ 2 x0- 2 x0+ 2 因为 l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线 l1 的斜率为- y ,直线 l2 的