等差数列的前n项和PPT课件

中，SS奇 偶＝1113，求公差d.
(2)含2n＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的
和之比为( )
2n＋1 A. n
n＋1 B. n
n－1 C. n
n＋1 D. 2n
S奇＋S偶＝120， 解析：(1)SS奇 偶＝1113，
⇒SS奇 偶＝ ＝5655， ，
∴S偶－S奇＝5d.
∴65－55＝5d.∴10＝5d.
S8 S16
＝
________.
[分析]
可以设出首项a1与公差d，代入条件
S4 S8
，进一
步求
S8 S16
的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考
虑用性质来解．
[解] ∵SS48＝13，故设S4＝x，则S8＝3x. 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x ＝10x. ∴SS186＝130xx＝130.
[解] 由等差数列性质：
an＝a1＋2a2n－1，bn＝b1＋2b2n－1，
a1＋a2n－1 2n－1a1＋a2n－1
∴abnn＝b1＋2b2n－1＝2n－1b21＋b2n－1＝AB22nn－－11
2
2
＝4722nn－－11＋＋217＝184nn＋－263.
[点评] 恰当的应用等差中项可以简化解题过程．
2．若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1 ＝d＋d＋…＋d＝nd， SS奇偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
3．若项数为2n－1，则
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝
n－1 2
(a2＋a2n－2)＝
2
思考感悟
等差数列前n项和Sn在什么情况下取得最值？如何求Sn 的最值？
提示：(1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn必有 最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．
(2)Sn的最值的求法 ①用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通 过配方或求二次函数最值的方法求得． ②在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数 图象求解，还常用邻项变号法来求解．
数列 等差数列的前n项和
等差数列前n项和的性质及应用
新知初探
等差数列前n项和的性质 数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和具有下列 性质： 1．Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是公差为n2d的等差数列，且有 Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)．
答案：A
3．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数
项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )
A.12，12
B.12，1
C.12，2
D．1，12
解析：S偶－S奇＝5d＝15－12.5＝2.5， ∴d＝0.5. 由10a1＋10×2 9×0.5＝15＋12.5＝27.5， 得a1＝0.5.
[错解] ∵在等差数列{an}中，d＝a4－2 a2＝－4， ∴a1＝a2－d＝7. ∴Sn＝na1＋nn－2 1d ＝－2n2＋9n ＝－2(n－94)2＋881. ∴Sn的最大值是881.
[错因分析] ∵Sn＝－2(n－94)2＋881， ∴Sn取最大值881时，n＝94，但n∈N*，不可能取到． ∴Sn取不到881.
[解] 方法1：设等差数列的首项和公差分别为a1和d， 则12a1＋12×2 11d＝354， 6a61a＋1＋d6＋×265×22d52d＝3227，∴d＝5.
S奇＋S偶＝354， 方法2：SS偶 奇＝3227，
⇒SS偶 奇＝ ＝119622， ，
∴S偶－S奇＝6d＝30，∴d＝5.
变式训练3 (1)等差数列{an}中，S10＝120，在这10项
故前13项之和最大，最大值是169.
方法2：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d<0)， Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高 点的纵坐标为9＋217，即S13最大．如图所示，最大值为169.
方法3：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13最大，最大值为169.
变式训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝ 5a3，则SS59＝________.
9a1＋a9 解析：SS95＝5a12＋a5＝95·aa35＝95×5＝9.
2
答案：9
类型三 等差数列的奇数项和与偶数项和问题 [例3] 在等差数列{an}中，S12＝354，在这12项中S 偶∶S奇＝32∶27，求公差d. [分析] 可以通过a1与d来求；也可以考虑奇数项和与 偶数项和的性质．
n－1 2
×2an＝(n－1)an，
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝n2×2an＝nan，
S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an(这里an＝a中)，
SS奇偶＝n－na1nan＝n－n 1.
4．如果等差数列{bn}的前n项和为Tn，则有
2n－1a1＋a2n－1 abnn＝22bann＝ab11＋＋ab22nn－－11＝2n－1b21＋b2n－1＝TS22nn－－11.
一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，
则①当p＋q为偶数时，则n＝
p＋q 2
时，Sn最大；②当p＋q为
奇数时，则n＝p＋q2－1或n＝p＋q2＋1时，Sn最大．
变式训练4 已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝ －5.
(1)求{an}的通项an； (2)求{an}前n项和Sn的最大值．
∴d＝2.
(2)方法1：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝n＋1a21＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋2 a2n， 又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n， ∴SS奇偶＝n＋n 1，选B.
方法2：∵项数为奇数， ∴SS奇 偶＝项 项数 数＋ －11＝22nn＋ ＋11＋ －11＝2n2＋n 2＝n＋n 1，选B.
当n为偶数时，S偶－S奇＝n2d， Sn＝n·an2＋a2n2＋1；SS奇偶＝an2a＋n2 1.
2．等差数列的前n项和的最值 解决等差数列的前n项和的最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数的关系来解决问题，即： (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是：n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的 值，使Sn取最值．
(2)由等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋
nn－1 2
d，可知
若数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C∈R)，若
{an}为等差数列，则C＝0；若C＝0，则{an}为等差数列．
(3)等差数列{an}中，当n为奇数时， S奇－S偶＝a1＋n－2 1d＝an＋2 1(中间项)； Sn＝n·an＋2 1(项数与中间项的积)； SS奇 偶＝nn＋ －11(项数加1比项数减1)；
A．S21＝252 C．S20＝242
B．S22＝264 D．以上都不对
解析：S21＝21a12＋a21＝21a112＋a11＝21a11＝252.
答案：A
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6
＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：设公差为d， 则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2， 所以Sn＝－11n＋nn－2 1×2＝n2－12n＝(n－6)2－36. 所以当n＝6时，Sn取最小值．
(3)通项法：当a1>0，d<0时，n为使an≥0成立的最大的 自然数时，Sn最大．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即递 增；当an<0时，Sn<Sn－1，即递减．
类似地，当a1<0，d>0时，则n为使an≤0成立的最大自 然数时，Sn最小．
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11＝12，则可计 算出( )
(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x. 由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， ∴25,100－25，x－100成等差数列． ∴(x－100)＋25＝2(100－25)． ∴x－100＋25＝150. ∴x＝225，∴S3n＝225.
答案：(1)130 (2)225
类型二 两个等差数列前n项和之比问题 [例2] 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满 足关系式ABnn＝47nn＋＋217(n∈N*)，求bann. [分析] 条件是前n项和的比值，而结论是通项的比 值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．
答案：(1)2 (2)B
类型四 等差数列前n项和的最值问题 [例4] 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前 多少项之和最大，并求此最大值．
[解]
方法1：
a1＝25， S17＝S9.
则17a1＋
17×16 2
d＝9a1＋
9×2 8d，d＝－2.
从而Sn＝25n＋nn－ 2 1(－2)＝－(n－13)2＋169.
[正解] ∵在等差数列{an}中，d＝a4－2 a2＝－4， a1＝a2－d＝7， ∴Sn＝na1＋nn－2 1d ＝－2n2＋9n ＝－2(n－94)2＋881. ∴当n＝2时，Sn的最大值是10.