等差数列前n项和(公开课)ppt课件
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1212等差数列及前n项和(公开课)ppt
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汇报人：
01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
单击添加文档标题
等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算
汇报人：
01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
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等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算
4221等差数列的前n项和公式课件共45张PPT
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1．等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1＋an Sn＝___与项数 n
Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
2.两个公式的关系：把 an＝a1＋(n－1)d 代入 Sn＝na12＋an中，就可以得到 Sn ＝____n_a_1_＋__n__n_2－__1_d_______
1．已知 Sn 求 an 利用 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2， 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步：第一步，令 n＝1 得 a1；第二步，令 n≥2 得 an；第三步， 在第二步求得的 an 的表达式中取 n＝1，判断其值是否等于 a1；第四步，写出数列 的通项公式(若第三步中 n＝1 时，an 的表达式的值不等于 a1，则数列的通项公式一 定要分段表示)．
解：(1)因为 Sn＝2n2－30n，所以当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立， 所以 an＝4n－32. (2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
(3)方法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，a1＋2d＝254. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 方法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
第9页/共21页
2、推导公式
倒序相加法
已知等差数列{an }的首项为a1, 项数为n,
第n项为an ,求前n项和Sn.
Sn a1 a2 a3 an ①
Sn an a n1an2 a1 ②
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an )
忆（2分钟）
旧知回顾： 1.等差数列的定义？ 2.等差数列的通项公式？ 3.等差数列的等差中项？ 4.等差数列的性质有哪些？
第1页/共21页
思（5分钟）自主预习
1.什么是等差数列的前n项和？ 2.是如何推导出来的？ 3.等差数列前n项和公式的几 何含义是什么？
第2页/共21页
情景一
我要努力背单词， 学好英语
101就等于5050了。高斯算法将加法问题转
化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
第7页/共21页
合作探究 议（5分钟）
利用高斯算法如何求等差 数列前n项和？
第8页/共21页
展（10分钟）
1、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an
为数列{an}的前n项和，用Sn表示，
即：Sn a1 a2 a3 an
第15页/共21页
二展、（学3分导钟结）合
公
式
2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1
n
S S S
na1
n
(n 1)d 2
aa1n
(n 1)d
第16页/共21页
检（10分钟）
例1 (1)在等差数列{an}中，an 2n 1,求Sn (结果用n表示).
(1)解：a1 1
Sn
n
1
2n
2、推导公式
倒序相加法
已知等差数列{an }的首项为a1, 项数为n,
第n项为an ,求前n项和Sn.
Sn a1 a2 a3 an ①
Sn an a n1an2 a1 ②
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an )
忆（2分钟）
旧知回顾： 1.等差数列的定义？ 2.等差数列的通项公式？ 3.等差数列的等差中项？ 4.等差数列的性质有哪些？
第1页/共21页
思（5分钟）自主预习
1.什么是等差数列的前n项和？ 2.是如何推导出来的？ 3.等差数列前n项和公式的几 何含义是什么？
第2页/共21页
情景一
我要努力背单词， 学好英语
101就等于5050了。高斯算法将加法问题转
化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
第7页/共21页
合作探究 议（5分钟）
利用高斯算法如何求等差 数列前n项和？
第8页/共21页
展（10分钟）
1、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an
为数列{an}的前n项和，用Sn表示，
即：Sn a1 a2 a3 an
第15页/共21页
二展、（学3分导钟结）合
公
式
2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1
n
S S S
na1
n
(n 1)d 2
aa1n
(n 1)d
第16页/共21页
检（10分钟）
例1 (1)在等差数列{an}中，an 2n 1,求Sn (结果用n表示).
(1)解：a1 1
Sn
n
1
2n
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
62等差数列及其前n项和课件共94张PPT
＋b
2 2n
)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝
2d·na2＋2 a2n＝2d2n(n＋1)．
n
所以∑
k＝1
T1k＝21d2k∑＝n 1
1 kk＋1
＝21d2k∑＝n1 1k－k＋1 1 ＝21d2·1－n＋1 1<21d2.
角度Ⅱ.等差中项法
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
2．[2021山东济南一中1月检测]各项均不为0的数列{an}满足
题型研究•重点突破
题型 等差数列的基本运算
角度Ⅰ.求特定项 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2020江苏卷]设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已 知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是___4_____．
4．[必修5·P39·练习T5改编]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8＝__1_8_0____.
易/错/问/题
1．等差数列的公差与概念的判断.
(1)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
an＝a1＋n－1d， 由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d，
知等差数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个
量a1，an，d，n，Sn，所以已知其中三个可求另外两个． 2．公差d的求解技巧 若{an}是公差为d的等差数列，则d＝an＋1－an＝ann－－1a1＝amm－－akk(m，n，k∈N*)．
题型 等差数列的判定与证明
A．100
B．99
等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67， 求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和旳极值:
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
2.4等差数列前n项和公开课(第一课时)课件人教新课标
如何算的呢？
高斯 (1777—1855） 德国著名数学家
我们先看下面的问题.
怎样才能快速计算出一堆钢 管有多少根呢？
(1)先算出各层的根数， (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：
一 4+10=14
二 5+9=14
三
6+8=14
四 7+7=14
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
Sn
n(a1 2
an )
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
即Sn=an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
说明：两个求和公式的使用-----知三求二.
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn
n(a1 2
an )
这种求和的方 法叫倒序相加 法！
等差数列的前n项和公式的其它情势
Sn
n（a1 2
高斯 (1777—1855） 德国著名数学家
我们先看下面的问题.
怎样才能快速计算出一堆钢 管有多少根呢？
(1)先算出各层的根数， (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：
一 4+10=14
二 5+9=14
三
6+8=14
四 7+7=14
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
Sn
n(a1 2
an )
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
即Sn=an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
说明：两个求和公式的使用-----知三求二.
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn
n(a1 2
an )
这种求和的方 法叫倒序相加 法！
等差数列的前n项和公式的其它情势
Sn
n（a1 2
3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
《等差数列前n项和公式》优秀课件(公开课)
2021/1/21
（一）创设问题
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学 四年级时，一次教师布了一道数学习题："把从1到100 的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一 思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯 是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如大家也懂 得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
n(n 1) d 2
2021/1/21
例1 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2021/1/21
课堂小结：
1. 数列{an}前 n项和公式的概念
2. 等差数列前 n项和公式的推导过程
3. 等差数列前 n项和公式及公式应用
2021/1/21
谢谢再见
2021/1/21
即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
（一）创设问题
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学 四年级时，一次教师布了一道数学习题："把从1到100 的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一 思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯 是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如大家也懂 得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
n(n 1) d 2
2021/1/21
例1 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2021/1/21
课堂小结：
1. 数列{an}前 n项和公式的概念
2. 等差数列前 n项和公式的推导过程
3. 等差数列前 n项和公式及公式应用
2021/1/21
谢谢再见
2021/1/21
即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
等差数列的前n项和课件
详细描述
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
公式一：Sn
n(a1 2
an )
公
式
二：Sn
na1
n(n 2
1)
d
议（5分钟）
『知识探究（一）——等差数列与前n项和旳关系』
思索1：若数列{an}旳前n和
Sn
n(a1 2
an )
那么数列{an}是等差数列吗？
{an}是等差数列
Sn
n(a1 2
an )
思索2：将等差数列前n项和公式
Sn
讨论二次函数旳性质
措施2：讨论数列{an} 旳通项，找出正负临界项。 （1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时旳n
满足an≥0且an+1<0; （2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时旳n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数旳等差数列{an}，它旳前3项和与前11项 和相等，则此数列前___7_____项和最大？
na1
n(n 1) 2
d
看作是一种有关n旳函数，这个函数有什么特点？
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时，Sn是常数项为零旳二次函数.
思索3：一般地，若数列{an}旳前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 旳前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n. ∵n＝1时适合上式，∴{an}旳通项公式为an＝13－2n. 由an＝13－2n≥0，得n≤ ，
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
第七章第二节等差数列及其前n项和课件共48张PPT
1．(2020·武汉市学习质量检测)已知数列{an}满足 a1＝1，(an＋an＋1－1)2
＝4anan＋1，且 an＋1＞an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝( )
A．2n
B．n2
C．n＋2
D．3n－2
B [因为 a1＝1，an＋1＞an，所以 an＋1 ＞ an .由(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1 得 an＋1＋an－1＝2 anan＋1 ，所以( an＋1 － an )2＝1，所以 an＋1 － an ＝1， 所以数列{ an }是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 an ＝n，即 an＝n2， 故选 B.]
等差数列的判定与证明
已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为 2.对任意的 n∈N*， bn 是 an 和 an＋1 的等比中项．cn＝b2n＋1 －b2n ，n∈N*.
(1)求证：数列{cn}是等差数列； (2)若 c1＝16，求数列{an}的通项公式．
解析： (1)证明：∵对任意的 n∈N*， bn 是 an 和 an＋1 的等比中项， 且等差数列{an}的公差为 2， ∴b2n ＝anan＋1. ∴cn－cn－1＝(b2n＋1 －b2n )－(b2n －b2n－1 )＝(an＋1an＋2－anan＋1)－(an·an＋1－ an－1an)＝an＋1(an＋2－an)－an(an＋1－an－1)＝an＋1·2d－an·2d＝2d(an＋1－an)＝2d2 ＝8(常数)， ∴数列{cn}是等差数列．
考点·分类突破
⊲学生用书 P104
等差数列基本量的运算
[题组练透]
1．(多选)(2020·河北高三期中)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差
为 d，且 a3＝5，a7＝3，则( )
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3
情景一
我要努力背单词， 学好英语
第一天：背一个 第二天：背两个 第三天：背三个 ……………… ……………… 我努力100天到底能记 住多少单词呀
1+2+3+4+…………+100=？ 4
情景二
It＇s beautiful!!
5
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
6
5050
德国数学家 高斯 被誉为“世界数学王子”
2.3.1等差数列的 前n项公式
2018.4.24 肖德梦
1
忆（2分钟）
旧知回顾： 1.等差数列的定义？ 2.等差数列的通项公式？ 3.等差数列的等差中项？ 4.等差数列的性质有哪些？
2
思（5分钟）自主预习
1.什么是等差数列的前n项和？ 2.是如何推导出来的？ 3.等差数列前n项和公式的几 何含义是什么？
n2 6n 27 0
n 9或n 3
n的值为9.
19
课堂小结
(1)Sn a1 a2 a3 an
(2)等差数列前 n项和公式（两个）：
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
n(n 1) na1 2 d
(3)等差数列前n项和公式的推导方法：
— —倒序相加法；
（4）公式的应用：知三求一， 方程的思想方法
20
21
12
比一比，看谁算得快！
(1)在等差数列{an}中，a1 20, an 54, Sn 740,则n 20 .
(2)在等差数列{an}中，d 4, S5 70, 则a1 6 .
(3)在等差数列{an}中，a1 2, S8 156, 则d -5 .
13
思考：能否给求和公式一个几 何解释呢？
7
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋ ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101就等于5050了。高斯算法将加法问题转
14
评（5分钟）
公式 一
Sn
n(a1 2
an
)
类比梯形面积公式 : n
S
（上底
下底） 高
2
a1 an + a1
15
议（3分钟） 公式二的几何解释？
16
二展、（学3分导钟结）合
公
式
2：Sn
na1
n(n 2
1)
d
a1
n
a1
(n 1)d
an
S S S
na1
n
(n 1)d 2
17
检（10分钟）
化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
8
合作探究 议（5分钟）
利用高斯算法如何求等差 数列前n项和？
9
展（10分钟）
1、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an
为数列{an}的前n项和，用Sn表示，
即：Sn a1 a2 a3 an
10
2、推导公式
倒序相加法
已知等差数列{an }的首项为a1, 项数为n,
例1 (1)在等差数列{an}中，an 2n 1,求Sn (结果用n表示).
(1)解： a1 1
Sn
n
1
2n
2
1
n 2n 2
n2
18
检（10分钟）
例2 .在等差数列{an}中，已知a1 10, d 4, Sn 54,求n的值. 知三求一
解 :
Sn
na1
n(n 1) 2
d
10n n(n 1) 4 54 2
第n项为an ,求前n项和Sn.
Q Sn a1 a2 a3 L an ①
Sn an a n1an2 L a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 L an a1
n(a1 an )
即Snn(a1 2源自an )公式一11
公
式
二：Sn
na1
n(n 1) d 2
情景一
我要努力背单词， 学好英语
第一天：背一个 第二天：背两个 第三天：背三个 ……………… ……………… 我努力100天到底能记 住多少单词呀
1+2+3+4+…………+100=？ 4
情景二
It＇s beautiful!!
5
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
6
5050
德国数学家 高斯 被誉为“世界数学王子”
2.3.1等差数列的 前n项公式
2018.4.24 肖德梦
1
忆（2分钟）
旧知回顾： 1.等差数列的定义？ 2.等差数列的通项公式？ 3.等差数列的等差中项？ 4.等差数列的性质有哪些？
2
思（5分钟）自主预习
1.什么是等差数列的前n项和？ 2.是如何推导出来的？ 3.等差数列前n项和公式的几 何含义是什么？
n2 6n 27 0
n 9或n 3
n的值为9.
19
课堂小结
(1)Sn a1 a2 a3 an
(2)等差数列前 n项和公式（两个）：
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
n(n 1) na1 2 d
(3)等差数列前n项和公式的推导方法：
— —倒序相加法；
（4）公式的应用：知三求一， 方程的思想方法
20
21
12
比一比，看谁算得快！
(1)在等差数列{an}中，a1 20, an 54, Sn 740,则n 20 .
(2)在等差数列{an}中，d 4, S5 70, 则a1 6 .
(3)在等差数列{an}中，a1 2, S8 156, 则d -5 .
13
思考：能否给求和公式一个几 何解释呢？
7
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋ ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101就等于5050了。高斯算法将加法问题转
14
评（5分钟）
公式 一
Sn
n(a1 2
an
)
类比梯形面积公式 : n
S
（上底
下底） 高
2
a1 an + a1
15
议（3分钟） 公式二的几何解释？
16
二展、（学3分导钟结）合
公
式
2：Sn
na1
n(n 2
1)
d
a1
n
a1
(n 1)d
an
S S S
na1
n
(n 1)d 2
17
检（10分钟）
化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
8
合作探究 议（5分钟）
利用高斯算法如何求等差 数列前n项和？
9
展（10分钟）
1、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an
为数列{an}的前n项和，用Sn表示，
即：Sn a1 a2 a3 an
10
2、推导公式
倒序相加法
已知等差数列{an }的首项为a1, 项数为n,
例1 (1)在等差数列{an}中，an 2n 1,求Sn (结果用n表示).
(1)解： a1 1
Sn
n
1
2n
2
1
n 2n 2
n2
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检（10分钟）
例2 .在等差数列{an}中，已知a1 10, d 4, Sn 54,求n的值. 知三求一
解 :
Sn
na1
n(n 1) 2
d
10n n(n 1) 4 54 2
第n项为an ,求前n项和Sn.
Q Sn a1 a2 a3 L an ①
Sn an a n1an2 L a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 L an a1
n(a1 an )
即Snn(a1 2源自an )公式一11
公
式
二：Sn
na1
n(n 1) d 2