沪科版九年级数学下册26.2 第3课时 利用列表法求概率
沪科版九年级数学下册 26.2 第3课时 利用列表法求概率【名校课件】
2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有
两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答
案，则该同学的这两道题全对的概率是（ D ）
1
1
1
1
A.
B. C. D.
4
2
8
16
3.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那 么从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？ （2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
12
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次
第一次
白
红1
红2
白
（白，白） （白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白） （红1，红1）（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）（红2，红2）
P(2次摸出红球)= 4 9
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球 除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色 后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球 的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次
白
第一次
红1
红2
白
（白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白）
（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）
例3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同
1 6
（2）两个骰子的点数之和是9
1 9
（3）至少有一个骰子的点数为2
11 36
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
初三九年级数学下册《26.2 第3课时 利用列表法求概率》教案【沪科版适用】
26.2 等可能情形下的概率计算第3课时利用列表法求概率1．进一步归纳复习概率的计算方法；2．理解并掌握用列表法求概率的方法，能够运用概率计算解决实际问题(重点，难点)．一、情境导入希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子．探究点：用列表法求概率【类型一】摸球问题一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是()A.14 B.13 C.12 D.34解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下：由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(2，1)，(2，2)，∴P＝34，故选D.【类型二】学科内综合题从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为________．解析：用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数，共有6种等可能结果，其中点P 落在抛物线上的有(2，0)，(0，2)，(1，2)三种，故点P落在抛物线上的概率是36＝12，故答案为12.方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果．【类型三】 学科间综合题如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是( )A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.95解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率公式计算．列表表示所有可能的结果如下：根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，∴P (至少有一个灯泡发光)＝34，故选C.方法总结：求事件A 的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A 包含的可能结果，再根据概率公式计算．【类型四】 概率的探究性问题小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．(1)请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．解析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率P(和为偶数)＝616＝38.(2)哥哥去看比赛的概率P(和为奇数)＝1－38＝58，因为38＜58，所以哥哥设计的游戏规则不公平；如果规定点数之和小于等于10时则小敏(哥哥)去，点数之和大于等于11时则哥哥(小敏)去．则两人去看比赛的概率都为12，那么游戏规则就是公平的．或者：如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为12，那么游戏规则也是公平的(只要满足两人手中点数为偶数(或奇数)的牌的张数相等即可)．方法总结：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三、板书设计本课时所学习的内容多与实际相结合，因此教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学方法来解决问题．。
沪科版九年级下册数学第26章《概率初步》26.2.3《用列表法求概率》教学课件
说一说
满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)的有9种情况,
P(A)= 9 1 36 4
满足两张牌的数字之积为偶数(记为事件B)的有27种情况,
P(B)= 27 3 36 4
因为P(A) < P(B),所以如果我是小亮,我不愿意接受这个 游戏的规则.
练习
1. 如图，有三条绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站 在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．若每边每 段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概 率为多少？
(2)找出其中事件A发生的结果(m个)； (3)运用公式求事件A的概率：
P(A) m n
动脑筋
如果可能出现的结果只有有限个，且各种结 果出现的可能性都相等，我们可以通过直接列举 试验结果的方法，分析出随机事件的概率.
若可能出现的结果数目较多时，用直接列举 法就不易做到不重不漏，应该怎样一一列举出结 果呢？
练习
解：将三条绳子记作1，2，3，则列表得:
可得共有9种情况,两人选到同一条绳子的有3种情况,
两人选到同一条绳子的机率为 1 . 3
18个，而两枚骰子的点数之和为奇数的可能结果有18个.
因此，
P（点数之和为偶数）
18
= 36
=
1 2
；
P（点数之和为奇数） = 18 = 1 .
36 2
由此可见，这个游戏对双方而言是公平的.
动脑筋
如果把上面问题中的“各掷一枚骰子”改为“同时 掷两枚骰子”,所得的结果有变化吗?
没有变化
做一做
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分 别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃 中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积 为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分的 获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这个游戏的规则 吗? 为什么？
九年级数学下册第26章概率初步26、2等可能情况下的概率计算26、2、3用列表法求概率习题新版沪科版
(1)请将所有可能出现的结果填入下表：
乙
积
1234
甲 1 2 3
__1__ __2__ __3__ __4__ __2__ __4__ __6__ __8__ __3__ __6__ __9__ _1_2__
1
2
(2)积为9的概率为___1_2____，积为偶数的概率为____3____；
(3)从1～12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是 1
的概率是138＝16，而不是14. 正解：C
12．【2020•武威】2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤 独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月， 甘肃省已有五个国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪 关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦 积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩 丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择 部分景区游玩．
(3)在这次调查中，参加体育运动且主要运动项目是球类 的共有___1_8____人．
(4)在这次调查中，共有4名男生未参加体育运动，分别是 甲、乙、丙、丁4名学生，现在从他们中选出2名学生 参加“我运动我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和 乙去参加讲座的概率．(用列表或画树状图的方法解答)
解：(选取方法不唯一)列表如下：
(1)中所填数的概率为___3_____．
14．【2020•毕节 】 我国 新冠 疫情防 控 取得了 阶 段性胜
利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本校学生
周末参加体育运动的情况进行抽样调查，在校园内随
机抽取男、女生各25人，调查情况如下表：
是否参加体育运动 男生 女生 总数
是
21 19 m
否
4
搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是( )
2020春沪科版九年级数学下册课件-第26章-【说课稿】 用列表法求概率
用列表法求概率现实生活中存在着大量不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。
今天我说课的题目是沪科版九年级下第26章第2节第3课时，《用列表法求概率》。
我将从教材分析、目标分析、过程分析、教法分析、评价分析五个方面来具体阐述对本节教材的理解和教学设计。
一、教材分析1、内容分析：主要内容是学习用列表法求概率。
2、地位与作用：概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。
因此，初中教材增加了这部分内容。
了解和掌握一些概率统计的基本知识，是学生初中毕业后参加实际工作的需要，也是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。
3、教学重点：用列表法来计算随机事件发生的概率。
4、教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
二、目标分析依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三方面为本节课的教学目标。
1、知识与技能目标学习用列表法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
2、过程与方法目标经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
三、过程分析我将本节课的教学过程设定为以下五个环节：3.1 创设情景，发现新知教材是介绍列表法的。
具体过程在这里就不作详述，在教学过程中会具体体现。
3.2 自主分析，再探新知通过的分析，学生对列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，我选用了下列例题。
例：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。
例题是一道“掷骰子”的问题，有了问题2和问题6作基础，学生不难发现：问题2和问题6涉及两枚硬币和两个骰子，这里也涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。
【说课稿】 用列表法求概率(3)
用列表法求概率现实生活中存在着大量不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。
今天我说课的题目是沪科版九年级下第26章第2节第3课时，《用列表法求概率》。
我将从教材分析、目标分析、过程分析、教法分析、评价分析五个方面来具体阐述对本节教材的理解和教学设计。
一、教材分析1、内容分析：主要内容是学习用列表法求概率。
2、地位与作用：概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。
因此，初中教材增加了这部分内容。
了解和掌握一些概率统计的基本知识，是学生初中毕业后参加实际工作的需要，也是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。
3、教学重点：用列表法来计算随机事件发生的概率。
4、教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
二、目标分析依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三方面为本节课的教学目标。
1、知识与技能目标学习用列表法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
2、过程与方法目标经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
三、过程分析我将本节课的教学过程设定为以下五个环节：3.1 创设情景，发现新知教材是介绍列表法的。
具体过程在这里就不作详述，在教学过程中会具体体现。
3.2 自主分析，再探新知通过的分析，学生对列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，我选用了下列例题。
例：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。
例题是一道“掷骰子”的问题，有了问题2和问题6作基础，学生不难发现：问题2和问题6涉及两枚硬币和两个骰子，这里也涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。
2020春沪科版九年级数学下册课件-第26章-【说课稿】 用列表法求概率
用列表法求概率现实生活中存在着大量不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。
今天我说课的题目是沪科版九年级下第26章第2节第3课时，《用列表法求概率》。
我将从教材分析、目标分析、过程分析、教法分析、评价分析五个方面来具体阐述对本节教材的理解和教学设计。
一、教材分析1、内容分析：主要内容是学习用列表法求概率。
2、地位与作用：概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。
因此，初中教材增加了这部分内容。
了解和掌握一些概率统计的基本知识，是学生初中毕业后参加实际工作的需要，也是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。
3、教学重点：用列表法来计算随机事件发生的概率。
4、教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
二、目标分析依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三方面为本节课的教学目标。
1、知识与技能目标学习用列表法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
2、过程与方法目标经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
三、过程分析我将本节课的教学过程设定为以下五个环节：3.1 创设情景，发现新知教材是介绍列表法的。
具体过程在这里就不作详述，在教学过程中会具体体现。
3.2 自主分析，再探新知通过的分析，学生对列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，我选用了下列例题。
例：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。
例题是一道“掷骰子”的问题，有了问题2和问题6作基础，学生不难发现：问题2和问题6涉及两枚硬币和两个骰子，这里也涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。
2021年沪科版九年级下册数学26 利用列表法求概率教案与反思
26.2 等可能情形下的概率计算路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》江南学校李友峰第3课时利用列表法求概率1．进一步归纳复习概率的计算方法；2．理解并掌握用列表法求概率的方法，能够运用概率计算解决实际问题(重点，难点)．一、情境导入希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子．探究点：用列表法求概率【类型一】摸球问题一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是( )A.14B.13C.12D.34解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下：由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(2，1)，(2，2)，∴P ＝34，故选D. 【类型二】 学科内综合题从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P 的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P 的纵坐标，则点P 落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋2上的概率为________．解析：用列表法列举点P 坐标可能出现的所有结果数和点P 落在抛物线上的结果数，然后代入概率计算公式计算．用列表法表示如下：共有6种等可能结果，其中点P落在抛物线上的有(2，0)(0，2)，(1，2)三种，故点P落在抛物线上的概率是36＝12，故答案为12.方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果．【类型三】学科间综合题如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是( )A．0.25B．0.5C0.75D．0.95解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率公式计算．列表表示所有可能的结果如下：根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，∴P(至少有一个灯泡发光)＝34，故选C.方法总结求事件A的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A包含的可能结果，再根据概率公式计算．【类型四】概率的究性问题小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将字为2，3，5，9的张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．(1)请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．解析：游戏是否平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．解：(1)根据题意，我们可以列出下表：从表中可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率P(和为偶数)＝616＝38.(2)哥哥去看比赛的概率P(和为奇数)＝1－38＝58，因为38＜58，所以哥哥设计的游戏规则不公平；如果规定点数之和小于等于10时则小敏(哥哥)去，点数之和大于等于11时则哥哥(小敏)去．则两人去看比赛的概率都为12，那么游戏规则就是公平的．或者：如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为12，那么游戏规则也是公平的(只要满足两人手中点数为偶数(或奇数)的牌的张数相等即可)．方法总结：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三、板书设计本课时所学习的内容多与实际相结合，因此教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学方法来解决问题．【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。
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2 (1,2)
3 (1,3)
4 (1,4)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
5
6
(1,5) (1,6) (2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
36 6
（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结 果有4个，则P（B）= 4 = 1
36 9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的 结果有11个，则P（C）= 11
36
真知灼见源于实践
当一次试验所有可能出现的结果 较多时，用表格比较方便！
想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树 状图”方便？
两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答
案，则该同学的这两道题全对的概率是（ D ）
1
A.
1
B.
1
C.
D. 1
4
2
8
16
3.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那 么从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ （2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？
第一张牌的 牌面数字
12
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
红1
红2
白
（白，白） （白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白） （红1，红1）（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）（红2，红2）
P(2次摸出红球)= 4 . 9
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这 些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记 录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两 次都摸出红球的概率是多少？
思考：求概率大小 有什么方法呢？
问题引入 做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张 电影票.三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规 则如下：
小明
小颖
小凡
连续抛掷两枚均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚
反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡
获胜.
这个游戏公平吗？
1 第第 二一张张 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
讲授新课
一 用列表法求概率
互动探究
还有别的方法求下 列事件的概率吗？
问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率： (1)两枚硬币两面一样； (2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
正
正
反
开始
正
反 反
1 P(两面都一样)= 2
1 P(两面不一样)= 2
第1枚硬币
①正
①反
②正
第
2
枚
硬 币
②反
正① ②正
反① ②正
①正 反②
反① 反②
还可以用列表法 求概率
问题2 怎样列表格？
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一个 因素所 包含的 可能情 况
两个因素所组合的所 有可能情况
说明：如果第一个因素 包含2种情况；第二个 因素包含3种情况；那 么所有情况n=2×3=6.
典例精析
例1 同时抛掷2枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点 数分别是1，2，···，6.试分别计算如下各随机事件 的概率.
解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有 36个，它们出现的可能性相等.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数 字（记为事件A）的结果有14个，则
P（A）=
14
36=
7 18
课堂小结
列举法
前 提 条 件 确保试验中每种结果出现的可能性
大小相等.
基本步骤
① 列举(列表或画树状图）； ② 确定m、n值，代入概率
公式计算.
涉及一个因素时直接利用
直接列举法 公式计算
常用 方法
画树状图法
涉及两个或两个以上的 因素
列表
法
涉及两个因素且可能出现 的结果数目较多
课后作业
见《学练优》本课时练习
(1)抛出的点数之和等于8； (2)抛出的点数之和等于12.
分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能 掷出1，2，···，6中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出1， 2，···，6中的每一种情况.可以用“列表法”表示出所有可能的 结果如下：
结 果
第2枚 骰子
第1枚骰子
1
1 (1,1)
为5； 36
(2)抛出点数之和等于12的结果仅有(6,6)这1种，所以抛出的
点数之和等于12的这个事件发生的概率为 1 . 36
归纳总结
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子） 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列 出所有可能结果，通常采用列表法.
例2 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这 些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球， 记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个 球，两次都摸出红球的概率是多少？
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36 个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有 6个，则P（A）= 6 = 1
11 36
1 第第 二一个个 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
解：容易知道3辆汽车开来的先后顺序有如下6种可能情况： （上中下）， （上下中）， （中上下），
（中下上）， （下上中）， （下中上）. 假定6种顺序出现的可能性相等， 在各种可能顺序之下，
甲、乙两人分别会乘坐的汽车列表如下：
顺序
甲
上中下
上
上下中
上
中上下
中
中下上
中
下上中
下
下中上
下
乙 甲乘到上等、中等、下
下 等3种汽车的概率都是1；
中
3
上 乙乘坐到上等汽车的概
上
率是 3 = 1 ，乘坐到下
上 中
等汽车6 的概2 率只有1 . 6
答：乙的乘车办法有利于乘上舒适度较好的车.
当堂练习
1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的
概率是（ B ）
4
1
A. B.
9
3
1
1
C. 2 D.9
2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出 现的结果有36种.由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可 能性相等.
(1)抛出点数之和等于8的结果有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)和(6,2) 这5种，所以抛出的点数之和等于8的这个事件发生的概率
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次 第一次
白
白
红1
红2
（白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白）
（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）
例3 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
1 6
（2）两个骰子的点数之和是9；
1 9
（3）至少有一个骰子的点数为2.
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较 多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常 用列表法.
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表 法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结 果，通常用树状图.
例4 甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风 景区有3辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、 下等3种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们 会以怎样的顺序开来.于是他们分别采用了不同的乘 车办法：甲乘第1辆开来的车，乙不乘第1辆车，并且 仔细观察第2辆车的情况，如果第2辆车的舒适程度比 第1辆好，他就上第2辆车；如果第2辆不比第1辆好， 他就上第3辆车.试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种 更有利于乘上舒适度较好的车？
第二张牌 的牌面数字
1
1 （1,1）
2
（1,2）
3
（1,3）
2 （2,1） （2,2） （2,3）
3 （3,1） （3,2） （3,3）
解：（1）P（数字之和为4）= 1 . 3
（2）P（数字相等）= 1
3
.
4.在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机Байду номын сангаас抽取一张后 放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够 整除第二次取出的数字的概率是多少？