江苏省常州一中2018-2019学年高二数学上学期期初考试试题
江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷(解析版)
江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷（解析版）一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）1.过点，的直线的斜率为______．【答案】【解析】解：根据直线的斜率公式得，故答案为：．根据直线的斜率公式直接进行计算即可．本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键．2.命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一【答案】假【解析】解：由得，，则命题“，”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．3.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：，，开口向右，准线方程是．故答案为．先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．4.与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．【答案】【解析】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．设球的半径为r，可得出正方体的棱长为2r，再利用球体的体积公式与正方体的体积公式可得出答案．本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．5.若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线方程为，抛物线经过点，，得．抛物线的方程为．故答案为：由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．6.文科做曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．7.理科做在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．【答案】7【解析】解：空间直角坐标系中，三点5，，4，，3，共线，则，；，解得，，．故答案为：7．由题意知、共线，列方程求出a、b的值，再求和．本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题．8.设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一【答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”，得或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件由绝对值不等式的解法得：由“”，得或，由充分必要条件的有关知识可得：“”是“”的充分不必要条件，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题．9.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，即，可得，即a的曲折范围是．故答案为：．由题意可得，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10.一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．【答案】24【解析】解：如图，正四棱锥的底面边长为，．连接AC，BD，交于O，连接PO，则底面ABCD，，又棱长，，．故答案为：24．由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．11.双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：双曲线的，，可得，解得，故答案为：．求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.文科做已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由函数．得．令，解得．，且，．为的极小值点．函数在区间上存在极小值．即．故答案为：．求导函数，判断其极小值点，从而求得a取值范围．本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法．13.理科做在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：在长方体中，，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，2，，2，，2，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是______．若，，则；若，，则；，，，则；若，，，则．【答案】【解析】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，，，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故正确．故答案为：．在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，由线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，射线交椭圆于若的面积为，内角A为，则椭圆的焦距为______．【答案】10【解析】解：由题意可得为等边三角形，即有，，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，化为，解得或，即有的面积为，可得，即有椭圆的焦距为10．故答案为：10．由题意可得为等边三角形，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程，求得A，B的纵坐标，由三角形的面积公式，解方程可得c，即可得到焦距2c．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：其中上存在点P，在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是______．【答案】【解析】解：圆心坐标，半径，则直径为2，要使在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线的最大值距离，即圆心到直线l：的距离d满足，即，则，平方得，得，得或舍，则k的最小值为，故答案为：根据条件，若在圆上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，等价为圆心到直线的距离小于等于3即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．二、解答题（本大题共7小题，共102.0分）17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：其中设p：点在圆内，设q：圆与圆：外离．若p为真命题，求m的取值范围；若q为真命题，求m的取值范围；若“p或q”为真命题，求m的取值范围．【答案】解：若p为真命题，即点在圆：内，则，解得，即m的取值范围为；若q为真命题，即圆与圆外离，则，解得或，即m的取值范围是；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为【解析】点在圆内；两圆外离等价于圆心距大于两圆半径之和；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．【答案】证明：，F分别是BC，CD的中点，，平面PBD，平面PBD，平面PBD．设，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面ABCD，，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，，平面PEF．【解析】由E，F分别是BC，CD的中点，得，由此能证明平面PBD．设，求出，，，利用勾股定理得，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEF．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．求双曲线的方程；求椭圆的方程．【答案】解：双曲线：经过点，可得，其中一条近线的方程为，可得，解得，，即有双曲线的方程为；椭圆：与双曲线有相同的焦点，可得，椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，由点F到直线AB：的距离为，可得，化为，由解得，，则椭圆的方程为．【解析】由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点其中点A在点B左侧，直线l过点．若直线l与圆C相切，求直线l的方程；若直线l上存在点M，满足．求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求面积的最大值及此时直线l的方程．【答案】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为，即．若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离，解得，即直线l的方程为，综上直线l的方程为或设，则由，得，，即整理得：，即点M在圆上，根据题意直线l与圆有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：与圆有公共点，即，解得，即直线l的斜率的范围在圆上，当点M的坐标为或时，M到x轴上的距离d取得最大值4，则面积的最大值为，此时直线l的方程为或．【解析】讨论直线斜率是否存在，结合直线和圆相切的等价条件，转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解即可根据条件，求出M坐标满足的轨迹，结合直线和圆相切的等价条件进行转化即可本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，讨论直线斜率是否存在，以及利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．21.文科做已知函数．若，求的单调减区间；当a在区间上变化时，求的极小值的最大值．【答案】解：若，，则的单调递减区间为；若，则．令，得，即或．则的单调减区间为，；，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值为为．当时，函数的极小值取得最大值为．【解析】若，利用二次函数单调性求的单调递减区间；若，求原函数的导函数，再由导函数小于0求得的单调减区间；求出原函数的导函数，由导函数的零点对函数定义域分段，可得函数的单调性，进一步求得极小值，再由配方法求得极小值的最大值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22.理科做如图，正四棱锥底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC中点．求向量，的夹角的余弦值；求二面角的余弦值．【答案】解：根据条件知正四棱锥的高为，根据条件，2，，2，，，0，，1，，，3，，向量，的夹角的余弦值为．0，，设平面BVC的一个法向量y，，则，取，得3，，同理可得平面DVC的一个法向量0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【解析】根据条件知正四棱锥的高为，求出，3，，由此能求出c向量，的夹角的余弦值．求出平面BVC的一个法向量和平面DVC的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，，其中e为椭圆的离心率，过定点的动直线l与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若总成立，求m的值；是否存在定点其中，使得总成立？如果存在，求出点M的坐标用m表示；如果不存在，请说明理由．【答案】解：椭圆过点，，，解得，，椭圆方程为．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，，，，总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，对恒成立，即对恒成立，即恒成立，代入式并整理得．假设存在这样的点，其中满足条件，则，的斜率同时存在且和为0，即，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合中式有：为定值，这样的点如果存在，其坐标只可能为，，满足条件，坐标为．【解析】由椭圆过点，，列出方程组，能求出椭圆方程．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出m的值．假设存在这样的点，其中满足条件，则，从而为定值，由此能求出坐标．本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数值的求法，考查满足两角相等的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、两角相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2018-2019学年江苏省常州一中高二上学期10月月考数学(理)试题 Word版
常州市第一中学2018-2019学年第一学期阶段测试高二数学试题(理)（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上) 1．“点A 在直线l 上，l 在平面α外”， 用符号语言可以表示为 ．2．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是 ．PPQQRSSPP PQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ）3．下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中m l , 为直线，βα,为平面），则此条件是 ．①αα//____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫；②αα//____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂；③//____l m m l αα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭4．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 ．5，则其外接球的体积是． 6.在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为_ __．7．如图，在高为h ，底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心。
若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则r:h ＝ ．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1．6立方尺，圆周率π约为3，估算出堆放的米约有 斛．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆锥和圆柱的侧面积和为 ．10．从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的4个顶点，这些几何体(或平面图形)是 ．(写出所有正确的结论的编号)． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．如上图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ． 12．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3,4,5(0)a a a a >．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．13．如图所示，已知三棱锥P ABC -的所有侧棱长都为2，底面边长都为1，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在棱AB BC CP PA 、、、上，则11EF FG+的最小值为 ． 14．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,m l A αα⊂=，A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，//,//l m αα，且,n l n m ⊥⊥，则n α⊥； ③若//,//,//l m αβαβ，则//l m ；④若,,,//,//l m l m A l m ααββ⊂⊂=，则//αβ⑤若αβ、是两个相交平面，m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直； ⑥若αβ、是两个相交平面，直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线；其中为真命题的是 ．(写出所有正确的结论的编号)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°， AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点．求证：(1) MN ∥平面ABB 1A 1； (2) AN ⊥A 1B ．16．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离．17．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝2 3，BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值； （2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．18．将1张边长为1m 的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分．剩余部分恰好能完全覆盖一个长方体的表面，设长方体的长为x m ，长方体表面积为S （1）写出S 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）当S=278m 时，求此时长方体体积．19． 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点． 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点． （1）求证：平面PAE ⊥平面PDE ； （2）在PA 上找一点G ，使得FG ∥平面PDE ．20．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，CP，Q分别为线段BD，CA上的动点．(1) 求线段PQ长度的最小值;(2) 当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．常州市第一中学2018--2019学年10月自主检测考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上) 1．“点A 在直线l 上，l 在平面α外”， 用符号语言可以表示为 ．A ,l l α∈⊄ 2．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是 ．DPPQQRSSPP PQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ）3．下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中m l , 为直线，βα,为平面），则此条件是 ．l α⊄①αα//____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫；②αα//____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂；③//____l m m l αα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭4．如右图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 ．3π5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为体积是 ．5π6.在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为___.7．如图，在高为h ，底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心。
江苏省常州市14校联盟2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 含答案
常州市“14校合作联盟” 2018学年度第一学期期中质量调研高二 数学试题注意事项：1.本试卷共4页,包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两 部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位 置。
3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一 律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液及可擦 洗的圆珠笔。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示底面积，h 表示高； 球体的表面积公式：24S R π=，体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.若直线l 的倾斜角为60，则直线l 的斜率为 ▲ . 2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1A D 与AC 所在直线的位置关系为 ▲ ．(填“平行”、“相交”、“异面”)3.如图，若线段AB 的端点,A B 到平面α的距离分 别为2,4，且,A B 在平面α的同侧，则线段AB 的中点M 到平面α的距离为 ▲ .4.若直线422x ay a +=+与直线22x y a +=+ 平行，则实数a 的值为 ▲ .5.如果用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，那么此圆锥筒的高为 ▲ .6.函数y =x 轴旋转360所得几何体的体积为 ▲ . 7.下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成MBA α第3题BAC A 1C 1D 1 B 1D 第2题真命题（其中,l m 为直线，,αβ为平面），则此条件是 ▲ .①____l m l m βαβ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；②____m m l α⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③____l αββ⎫⇒⎬⎭.8.已知三点(1,2)A -，(1,0)B ，(2,1)C ，那么ABC ∆外接 圆的方程为 ▲ .9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6cm AB =,3cm AD =，12cm AA =，则三棱锥11C A BC -的体积为 ▲ 3cm ．10.若圆O :2210x y +=与圆M :22()90x a y -+=(a ∈R )相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ． 11.如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 ▲ . 12.设点(1,0)A ，(3,2)B ，如果直线10ax by +-=与线段AB 有一个公共点，那么221a b +的最大值为 ▲ .13.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 是棱BC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点， 若平面11A B CD ⊥平面AEP ，则线段AP 长度的取值范 围是 ▲ .14.在ABC ∆中，3BC =，A ∠的平分线交BC 于点D ,且2BD =, 则ABC ∆面积 的最大值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)如图，在三棱锥O AEF -中， 侧棱OA OE ⊥，OA OF ⊥，第15题第11题1 A 第13题AC A 1B 1C 1D 1 D B 第9题M ，N 分别为,EF OF 的中点.求证: （1）MN 平面AOE ;（2）平面AOE ⊥平面OEF .16.(本小题满分14分)已知三条直线1:30l x y +-=，2:310l x y --=，3:280l x my +-=经过 同一点M .（1）求实数m 的值；（2）求点M 关于直线l :350x y --=的对称点N 的坐标． 17.(本小题满分14分)如图，已知三棱柱111A B C A B C -中，A B A C =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．（1）求证：D 为BC 的中点; （2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ， 求证：1AC D ∆为直角三角形. 18.(本小题满分16分)已知圆C 的方程为2222480x y ax y a a +--++-=(a ∈R ).（1）若1a =，过点(2,3)的直线l 交圆C 于N M ,两点，且MN =求直线l 的方程；（2）直线20x y ++=与圆C 相交于B A ,两点，问是否存在实数a ，使得以AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分16分)如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与 南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城A 相切.根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、AA 1B 1B C 1D 第17题Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切．（1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．20.(本小题满分16分)已知圆C ：22(1)x y a ++=(0a >)，定点(,0)A m ，(0,)B n ，其中,m n 为正实数.（1）当3a m n ===时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；（2）当4a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立(O 为坐标原点)，求实数,m λ的值；（3）当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围．常州市“14校合作联盟” 2018学年度第一学期期中质量调研 高二数学参考答案及评分标准 2018.11说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）异面 3. 3 4. 243π7.l α⊂8.2230x y x y +--= 9. 6 10.6 11.3 12.13 13.⎤⎦ 14.3二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：(1) ∵M ，N 分别为,EF OF 的中点，∴MN OE .……………………3分 ∵MN ⊄平面AOE ，OE ⊂面AOE ，∴MN 面AOE .………………………………………………………7分(2) ∵侧棱OA OE ⊥，OA OF ⊥，,OE OF ⊂平面OEF ，且OEOF O =，∴AO ⊥面OEF .……………………………………………………10分 ∵AO ⊂面AOE ，∴面AOE ⊥面OEF .…………………………14分16.解：（1）解方程组30,310,x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得交点(1,2)M ． ……………………………3分将点(1,2)M 的坐标代入直线3:280l x my +-=的方程，得=3m ．…………6分（2）法一:设点N 的坐标为(,)m n ，则由题意可211,1312350,22n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯-=⎪⎩………9分解得3,4,m n =⎧⎨=-⎩…………………………………………………………………………12分所以，所求对称点N 的坐标(3,4)-.………………………………………………14分 法二:由(1)知(1,2)M ,所以,过M 且与350x y --=垂直的直线方程为:23(1)y x -=--,即350x y +-=.…………………………………………………………………8分 解方程组350,350,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得交点为(2,1)H -………………………………………10分因为,M N 的中点为H ,所以,2213N x =⨯-=, 2(1)24N y =⨯--=-.……13分 所以，所求对称点N 的坐标(3,4)-.………………………………………………14分 17. 证明:(1) 联结1AC 交1AC 于O ，联结OD .…………………………………………2分 ∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形. ∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1AC 的中点. …………………………………………………………4分 ∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC平面1AC D OD =，1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD .………………………6分∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点. ……7分AA 1B 1B C 1D第17题O（2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥.………………………………………………8分 ∵平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面ABC平面11BCC B BC =，∴AD ⊥平面11BCC B .……………………………………………………………………11分 ∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥1C D ，………………………………………………13分 ∴1AC D ∆为直角三角形. ………………………………………………………………14分 18.解：(1)∵1a =，∴圆C 为22(1)(2)11x y -+-=，设圆心C 到直线l 的距离为d，∵MN ==，得1=d …2分︒1若l 的斜率不存在，则2:=x l 符合题意；………………………………………………3分 ︒2若l 的斜率存在，设为k ，则)2(3:-=-x k y l ，即032=+--k y kx∴1d ==，解得0k =，可得:3l y = ……………………………………4分综上，直线l 的方程为2=x 或3y =. …………………………………………………5分 （2）法一:将2222480x y ax y a a +--++-=配方得， 22()(2)12x a y a -+-=-.∵直线20x y ++=与圆C相交，∴120,a ->⎧<…………………………………7分∴55a -<-………………………………………………………………8分设()11,A x y ，()22,B x y ，则其坐标是方程组2222480,,20x y ax y a a x y ⎧⎨+++--=++-=⎩的解，消去y 得到关于x 的一元二次方程为222(82)40x a x a a +-+++=，…………10分由韦达定理得，124x x a +=-， 21211222x x a a =++……………………………12分 ∵以AB 为直径的圆过原点，∴0OA OB ⋅=，………………………………………13分 ∴12120x x y y +=，()()1212220x x x x +++=，()()1212220x x x x +++=，121220x x x x +++=，∴211242022a a a +++-+=，解得，0a =或3a =-.……………………………………………………………………14分满足55a -<<-+15分 ∴0a =或3a =-.…………………………………………………………………………16分 法二: 将2222480x y ax y a a +--++-=配方得， 22()(2)12x a y a -+-=-. 所以圆C 的圆心为(,2)C a ,…………………………………………………6分 因为AB 为圆C 的弦,所以,其中垂线为2y x a -=-,即2y x a =-+.……………………8分解方程组2,20,y x a x y =-+⎧⎨++=⎩得AB 中点坐标为4,22a a M -⎛⎫- ⎪⎝⎭.……………………………9分所以, MO ==.……………………………………10分 因为圆心C 到直线AB的距离为d =所以,12AB ==.…………………………………………12分因为, 以AB 为直径的圆过原点,所以,12AB MO =, 所以,=,………………………………………………14分 解得, 0a =或3a =-.……………………………………………………………………16分 法三:设过B A ,两点的圆的方程为()22242280x y x y ax y a a λ+--++++-+=(0λ≠)∴ ()()22224820x y a x y a a λλλ++-+-++-+=……………………………8分∴圆心为,222a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………………………………………………………10分 ∵该圆过原点，且圆心在直线上20x y ++=，∴2820,220,22a a a λλλ+⎧-+--+=+=⎪⎨⎪⎩28204,0,a a a λλ+-+=+-=⎧⎨⎩………………………………………14分解得，得4,0,a λ==⎧⎨⎩ 或,1,3a λ==-⎧⎨⎩∴0a =或3a =-.………………………………16分19.解：(1)以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． ………………1分 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)(1)1x y -+-=，…………………………………………2分由题意可设直线PQ 的方程为14x yb+=，即440b x y b +-=，(2)b > ，……………………………………………………………3分∵PQ 与圆A1=，解得3b = ，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米．……………………5分 (2)设(,0),(0,)P a Q b (2,2a b >>)，………………………………6分 则直线PQ 方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=. 因为PQ 与圆A1=.……………………8分化简得2()20ab a b -++=，即2()2ab a b =+-.……………………10分 法一:因此PQ ====.因为2,2a b >>，所以4a b +>，于是()2PQ a b =+-．……………………12分又22()22a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，解得04a b <+≤-4a b +≥+因为4a b +>，所以4a b +≥+14分()2PQ a b =+-2≥+2a b ==时取等号，所以PQ最小值为2+2a b ==.……………………15分答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O都为2 (千米)时，新建公路PQ 最短．……………16分法二:化简得2()20ab a b -++=，即2(1)2a b a -=-222a =+-.……………………10分因此PQ ======2(2)22a a =-++-.………………12分 因为2a >，所以2(222PQ a =-+-2)2≥-⨯+=．………………14分当且仅当222a a -=-,即2a b ==时取到等号，………………15分 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为2 (千米)时，新建公路PQ 最短．……………16分法三：解：2（）设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ,设OPA θ∠=，则,,APB APO BQA OQA ∠=∠∠=∠且2OPQ OQP π∠+∠=，,4AQB πθ∴∠=-…………………8分又11,,tan tan()4AB PQ PB BQ πθθ⊥∴==-04πθ∈（，）……………………………………………10分11tan tan()4PQ πθθ∴=+-1111tan =1tan tan tan 1tan 1tan θθθθθθ++=+--+…………………………………12分1212=1()(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ+-=++----1-tan 2tan1+2122tan 1tan θθθθ=++-≥+=+-…………………………14分（当且仅当tan θ取等号）……………………………………………………………………15分答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为2(千米)时，新建公路PQ 最短．………………16分 法四：设PQ 与A 相切于点B ，设B P x =，BQ y =(0,0)x y >>，……………………………6分 则1OP x =+，1OQ y =+，PQ x y =+………………………………………………………………8分在RT OPQ ∆中，由222OP OQ PQ +=得：222()(1)(1)x y x y +=+++，………………………10分化简得：1xy x y =++， ∴212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，解得：2x y +≥+或2x y +≤-（舍）………………………………………………………13分（当且仅当1x y ==时等号成立）∴当2OP OQ ==时，PQ有最小值2+……………………………………………………15分答：当P 、Q 两点距离公路交点O 都为2+（千米）时，新建公路PQ 最短. ……………16分20.解: (1) 当3a =时,圆心为(1,0)-, 当3m n ==时,直线AB 方程为30x y +-=,所以,圆心到直线距离为d ==……………………………2分所以,直线与圆相离. ……………………………………………3分（2）设点(,)P x y，则PO =PA =∵PA PO λ=，∴()22222()x m y x y λ-+=+， ()()222221120x y mx m λλ-+-+-=，………………………………………………5分由22(1)4x y ++=得，22230x y x ++-=， ∴2232x y x +=-，代入得， ()()2213220x mx m λ--+-=， 化简得()()22221310m x m λλ-+-+-=，………………………………………7分 因为P 为圆C 上任意一点，所以，()22210,310,m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩……………………………9分 又,0m λ>，解得3m =，2λ=．…………………………………………………………10分(3)法一:直线AB 的方程为124x y +=，设(,42)P t t -(02t ≤≤)，(,)N x y ， 因为点M 是线段PN 的中点，所以,222x t y M t +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又,M N 都在圆C ：22(1)x y a ++=上，所以2222(1),12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 即()()2222(1),2424,x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩……………………………………………12分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(1,0)-为圆心，为半径的圆与以()2,24t t ---为圆心， 所以，()()221249a t t a ≤++-≤，………………………………13分又P 为线段AB 上的任意一点，所以()()221249a t t a ≤++-≤对所有02t ≤≤成立．而()()22()124f t t t =++-2736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[0,2]上的值域为36,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以36,5917,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩所以173695a ≤≤．……………………………………15分 又线段AB 与圆C，∴365a <. 故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭． …………………………………………16分 法二:过圆心C 作直线MN 的垂线，垂足为H ，设CH d =，=MN l ，则222221()23()2d l a d l PC ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则消去l 得， [)2290,88PC d a a =-∈，∴(]2,9PC a a ∈…………11分 直线AB 方程为240x y +-=∴点C 到直线AB=且3,CA CB ==P 为线段AB 上的任意一点，∴236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……13分 (]36,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦，361795a a ∴<<≤，…………15分 故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭．……………………………………………16分。
江苏省常州市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷+Word版含答案
常州市“教学研究合作联盟” 2019学年度第一学期期中质量调研高二数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定为（ ）A ．2R,0x x ∀∉≥ B ．2R,0x x ∀∈< C ．2R,0x x ∃∈≥ D ．2R,0x x ∃∈< 2．已知函数()()40f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有最小值4 B ．()f x 有最大值4 C ．()f x 有最小值-4 D ．()f x 有最大值-43．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11133n n a a +=+，则此数列的第三项是（ ）A ．1B ．13 C ． 23 D ．594．已知,a b 为实数，M a b <，:N a b <，则M 是N 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．关于x 的不等式1026xx -≥+的解集是（ ）A ．{}|1x x ≤B ．{}|3x x >-C ．{}|31x x -<≤D ．{}|31x x x <-≥或 6．已知,a b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（ ）A ．22a b ≥B ．22ab ba ≥ C ．2211ab ba ≥ D ．b aa b≥ 7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a ＝（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8 8．“[]21,2,10x ax ∃∈+≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ． 14a ≤-C ．2a ≤-D ．0a ≤ 9．已知实数12,,,x x m n 满足12,x x m n <<，且()()()()11220,0m x n x m x n x --<--<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m x x n <<<B ．12m x n x <<<C ．12x m x n <<<D ．12x m n x <<<10．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别记为n A 、n B ，满足4123n n A n B n +=+，则57a b 的值为（ ） A ．2117 B ．3729 C ．5329 D ．413111．设正实数,x y 满足21x y +=，则2xx y+的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．812．已知数列{}n a 的通项2020220212nn na -=-，且存在正整数,T S 使得T n S a a a ≤≤对任意的*N n ∈恒成立，则T S +的值为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则21115a a 的值为 ．14．函数()()22111f x x x x =+>-的最小值为 ． 15．已知数列{}n a 满足112a =，()()111n n n n n n a a a a +++-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = ．16．已知关于x 的不等式()22434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，前n 项和为n S ，2a 、4a 、5a 成等比数列，且515S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和．18．(本小题满分10分)已知2:2350p x x --≤，()()2:32110q x mx m m -+-+≤．(其中实数2m >)(1)分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+． (1)2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；(2)若不等式()0f x ≤对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，14a =，()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅．(1)设1nn a b n =+，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,AD y CD x ==（单位：cm ），且要求312y x >，部件的面积是392cm ． (1)求y 关于x 的函数表达式，并求定义域；(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．22．(本小题满分14分)已知数列{}n a ，11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知关于n 的不等式3434222 (21)n n a a a a a a a n ---⋅<+对一切*3,N n n ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知211n n c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，数列{}nc 的前n 项和为n T ，试比较n T 与23的大小并证明．常州市“教学研究合作联盟” 2019学年度第一学期期中质量调研高二数学 参考答案一、选择题：1.D2.D3.D4.A5.C6.C7.B8.B9.A 10.B 11.B 12.D 二、填空题： 13.2 14.3 15.1n n + 16.9169,464⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：17.(1)由2a 、4a 、5a 成等比数列得：()()()211134a d a d a d +=++，即215d a d =-，又0d ≠，∴15a =-；…………………………………………………2分而51545152S a d ⨯=+=-，∴1d =；…………………………………4分 ()116n a a n d n ∴=+-=-，{}n a ∴的通项公式为6n a n =-.…………………………………………5分(2)()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=,112n S n n -∴=,………………7分 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数， {}n c ∴是首项为5-，公差为12的等差数列，…………………………8分∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-.…………………10分18.(1)()()2235750x x x x --=-+≤，[]5,7M ∴=-；…………2分()()()()232112110x mx m m x m x m -+-+=---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又2m >，211m m ∴->+， []1,21N m m ∴=+-.……………………………………………………5分(2)p 是q 的必要不充分条件，NM ∴，即[][]1,215,7m m +--，51721m m -≤+⎧∴⎨≥-⎩，且等号不同时取，…………………………………8分 解得64m -≤≤，又2m >，24m ∴<≤.………………………10分19.(1)2a =时，22390x x -+-+≥，3x ≥时，()()310x x -+≤，13x ∴-≤≤，3x ∴=； 3x <时，()()350x x -+≤，53x ∴-≤≤，53x ∴-≤<；综上所述，不等式的解集为[]5,3-. …………………………………6分 （如果解集中不包含3，扣1分）(2)()0f x ≤恒成立时，2930x a x ---≥恒成立，①3x =时，不等式恒成立，R a ∴∈；……………………………7分 ②3x >时，()()330x x a -+-≥恒成立，30x a ∴+-≥恒成立，6a ∴≤； …………………………………9分③3x <时，()()330x x a -++≥恒成立，30x a ∴++≤恒成立，6a ∴≤-；…………………………………11分综上所述，a 的取值范围是(],6-∞-. ………………………………12分 20.(1)()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅，等式两边同时除以()()12n n ++得：1221n n n a an n +-=++，即12n n n b b +-=；………………………………2分 2n ∴≥时，有1212b b -=，2322b b -=...112n n n b b ---=.累加得111222212n n n b b ---==--，又1122ab ==， 2n ∴≥时，2n n b =.…………………………………………………5分又1n =时，12b =也满足上式，*N n ∴∈时，2n n b =.…………6分(2)由(1)可得()12nn a n =+⋅，()123223242...12n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，()23412223242...12n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，……………8分()12312222...212n n n S n +∴-=⋅++++-+⋅，…………………10分()11122212212nn n n n ++-=+-+⋅=-⋅-，12n n S n +∴=⋅.…………………………………………………………12分21.(1)234S xy x =⋅+=，2y ∴=，…………3分由y x >得0x <<∴函数的定义域为{|0x x <<.……………………………5分(2)设圆形铁片半径为R ，则面积2S R π=，过圆心O 作CD 的垂线，垂足为E ，交AB 于点F ，连结OD ，则,2x DE OF ==， 22222224x x R OD y ⎛⎫⎛⎛⎫∴==+=+ ⎪ ⎝⎭⎝，221313483x x =++…………………………………………………8分 20x >，由基本不等式得:22221313483R OD x x ∴==++≥=，当且仅当221313483x x=，即(2x =∈时，取“=”.∴(2cm ).………………………11分答：当2x =(2cm ). …………………………………………………………………………12分 22.(1)2(1)n n S n a =+ ，2n ∴≥时，()1121n n S n a --=-，12(1)n n n a n a na -∴=+-，即 1(1)(2)n n n a na n --=≥，………2分又110a =≠，0n a ∴≠，1(2)(1)n n a nn a n -∴=≥-， 3212123,,...,121n n a a a na a a n -∴===-， 累乘得2n ≥时，123 (121)n a nn a n =⋅=-，…………………………4分 1n =时，11a =也满足上式，n a n ∴=. …………………………5分（或构造常数列1(2)(1)n n a an n n -=≥-） (2)设()3434222...n na a a f n a a a ---=⋅ 则()()31434122221...n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⎢⎣ ()()343411222...1n n n n a a a a a a n ⎡-+---=⋅⎢+⎢⎥⎣⎦3434222...0n n a a a a a a ---=⋅<⎢⎥⎣⎦，()f n ∴在*3,N n n ≥∈上单调递减， …………………………8分()3a f ∴>=a ∴>.…………………………………10分 (3)()22211111111121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪++++⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 123...n n T c c c c ∴=++++2311111111111......4422435572n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111112111242231232123n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 23n T ∴<.…………………………………………………………14分。
江苏省常州市14校联盟2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
常州市“14校合作联盟” 2018学年度第一学期期中质量调研高二 数学试题注意事项：1.本试卷共4页,包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两 部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位 置。
3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一 律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液及可擦 洗的圆珠笔。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示底面积，h 表示高； 球体的表面积公式：24S R π=，体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.若直线l 的倾斜角为60，则直线l 的斜率为 ▲ . 2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1A D 与AC 所在直线的位置关系为 ▲ ．(填“平行”、“相交”、“异面”)3.如图，若线段AB 的端点,A B 到平面α的距离分 别为2,4，且,A B 在平面α的同侧，则线段AB 的中点M 到平面α的距离为 ▲ .4.若直线422x ay a +=+与直线22x y a +=+ 平行，则实数a 的值为 ▲ .5.如果用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，那么此圆锥筒的高为 ▲ .MBA α第3题BAA 1C 1D 1 B 1D 第2题6.函数y x 轴旋转360所得几何体的体积为 ▲ . 7.下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成 真命题（其中,l m 为直线，,αβ为平面），则此条件是 ▲ .①____l m l m βαβ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；②____m m l α⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③____l αββ⎫⇒⎬⎭.8.已知三点(1,2)A -，(1,0)B ，(2,1)C ，那么外接 圆的方程为 ▲ .9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6cm AB =,3cm AD =，12cm AA =，则三棱锥11C A BC -的体积为 ▲ 3cm ．10.若圆O :2210x y +=与圆M :22()90x a y -+=(a ∈R )相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ． 11.如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 ▲ . 12.设点(1,0)A ，(3,2)B ，如果直线10ax by +-=与线段AB 有一个公共点，那么221a b +的最大值为 ▲ .13.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 是棱BC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点， 若平面11A B CD ⊥平面AEP ，则线段AP 长度的取值范 围是 ▲ .14.在ABC ∆中，3BC =，A ∠的平分线交BC 于点D ,且2BD =, 则ABC ∆面积 的最大值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)ABC ∆第15题第11题1 A 第13题AC A 1B 1C 1D 1 D B 第9题如图，在三棱锥O AEF -中， 侧棱OA OE ⊥，OA OF ⊥，M ，N 分别为,EF OF 的中点. 求证: （1）MN 平面AOE ;（2）平面AOE ⊥平面OEF .16.(本小题满分14分)已知三条直线1:30l x y +-=，2:310l x y --=，3:280l x my +-=经过 同一点M .（1）求实数m 的值；（2）求点M 关于直线l :350x y --=的对称点N 的坐标． 17.(本小题满分14分)如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ． （1）求证：D 为BC 的中点; （2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ， 求证：1AC D ∆为直角三角形. 18.(本小题满分16分)已知圆C 的方程为2222480x y ax y a a +--++-=(a ∈R ).（1）若1a =，过点(2,3)的直线l 交圆C 于N M ,两点，且MN =求直线l 的方程；（2）直线20x y ++=与圆C 相交于B A ,两点，问是否存在实数a ，使得以AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分16分)如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与 南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城A 相切.根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q分别在公AA 1B 1B C 1D C第17题路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切． （1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．20.(本小题满分16分)已知圆C ：22(1)x y a ++=(0a >)，定点(,0)A m ，(0,)B n ，其中,m n 为正实数.（1）当3a m n ===时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；（2）当4a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立(O 为坐标原点)，求实数,m λ的值；（3）当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围．常州市“14校合作联盟” 2018学年度第一学期期中质量调研 高二数学参考答案及评分标准 2018.11说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.32.异面3. 34. 25.36.43π7.l α⊂ 8.2230x y x y +--= 9. 6 10.6 11.3 12.13 13.⎤⎦ 14.3二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：(1) ∵M ，N 分别为,EF OF 的中点，∴MN OE .……………………3分 ∵MN ⊄平面AOE ，OE ⊂面AOE ，∴MN 面AOE .………………………………………………………7分(2) ∵侧棱OA OE ⊥，OA OF ⊥，,OE OF ⊂平面OEF ，且OEOF O =，∴AO ⊥面OEF .……………………………………………………10分 ∵AO ⊂面AOE ，∴面AOE ⊥面OEF .…………………………14分16.解：（1）解方程组30,310,x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得交点(1,2)M ． ……………………………3分将点(1,2)M 的坐标代入直线3:280l x my +-=的方程，得=3m ．…………6分（2）法一:设点N 的坐标为(,)m n ，则由题意可211,1312350,22n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯-=⎪⎩………9分解得3,4,m n =⎧⎨=-⎩…………………………………………………………………………12分所以，所求对称点N 的坐标(3,4)-.………………………………………………14分 法二:由(1)知(1,2)M ,所以,过M 且与350x y --=垂直的直线方程为:23(1)y x -=--,即350x y +-=.…………………………………………………………………8分 解方程组350,350,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得交点为(2,1)H -………………………………………10分因为,M N 的中点为H ,所以,2213N x =⨯-=, 2(1)24N y =⨯--=-.……13分 所以，所求对称点N 的坐标(3,4)-.………………………………………………14分 17. 证明:(1) 联结1AC 交1AC 于O ，联结OD .…………………………………………2分 ∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形. ∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1AC 的中点. …………………………………………………………4分 ∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC平面1AC D OD =，1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD .………………………6分∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点. ……7分 （2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥.………………………………………………8分 ∵平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面ABC平面11BCC B BC =，∴AD ⊥平面11BCC B .……………………………………………………………………11分 ∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥1C D ，………………………………………………13分 ∴1AC D ∆为直角三角形. ………………………………………………………………14分 18.解：(1)∵1a =，∴圆C 为22(1)(2)11x y -+-=，设圆心C 到直线l 的距离为d，∵MN ==，得1=d …2分︒1若l 的斜率不存在，则2:=x l 符合题意；………………………………………………3分 ︒2若l 的斜率存在，设为k ，则)2(3:-=-x k y l ，即032=+--k y kxAA 1B 1B C 1DC第17题O∴1d ==，解得0k =，可得:3l y = ……………………………………4分综上，直线l 的方程为2=x 或3y =. …………………………………………………5分 （2）法一:将2222480x y ax y a a +--++-=配方得， 22()(2)12x a y a -+-=-.∵直线20x y ++=与圆C相交，∴120,a ->⎧<…………………………………7分∴55a -<<-+………………………………………………………………8分设()11,A x y ，()22,B x y ，则其坐标是方程组2222480,,20x y ax y a a x y ⎧⎨+++--=++-=⎩的解，消去y 得到关于x 的一元二次方程为222(82)40x a x a a +-+++=，…………10分由韦达定理得，124x x a +=-， 21211222x x a a =++……………………………12分 ∵以AB 为直径的圆过原点，∴0OA OB ⋅=，………………………………………13分 ∴12120x x y y +=，()()1212220x x x x +++=，()()1212220x x x x +++=，121220x x x x +++=，∴211242022a a a +++-+=，解得，0a =或3a =-.……………………………………………………………………14分满足55a -<<-15分 ∴0a =或3a =-.…………………………………………………………………………16分 法二: 将2222480x y ax y a a +--++-=配方得， 22()(2)12x a y a -+-=-. 所以圆C 的圆心为(,2)C a ,…………………………………………………6分 因为AB 为圆C 的弦,所以,其中垂线为2y x a -=-,即2y x a =-+.……………………8分解方程组2,20,y x a x y =-+⎧⎨++=⎩得AB 中点坐标为4,22a a M -⎛⎫- ⎪⎝⎭.……………………………9分所以, MO ==……………………………………10分因为圆心C 到直线AB的距离为d =,所以,12AB ==.…………………………………………12分因为, 以AB 为直径的圆过原点,所以,12AB MO =, 所以,=,………………………………………………14分 解得, 0a =或3a =-.……………………………………………………………………16分 法三:设过B A ,两点的圆的方程为()22242280x y x y ax y a a λ+--++++-+=(0λ≠)∴ ()()22224820x y a x y a a λλλ++-+-++-+=……………………………8分∴圆心为,222a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………………………………………………………10分∵该圆过原点，且圆心在直线上20x y ++=，∴2820,220,22a a a λλλ+⎧-+--+=+=⎪⎨⎪⎩28204,0,a a a λλ+-+=+-=⎧⎨⎩………………………………………14分 解得，得4,0,a λ==⎧⎨⎩ 或,1,3a λ==-⎧⎨⎩∴0a =或3a =-.………………………………16分19.解：(1)以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． ………………1分 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)(1)1x y -+-=，…………………………………………2分 由题意可设直线PQ 的方程为14x yb+=，即440b x y b +-=，(2)b > ，……………………………………………………………3分∵PQ 与圆A 1=，解得3b = ，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米．……………………5分(2)设(,0),(0,)P a Q b (2,2a b >>)，………………………………6分 则直线PQ 方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=. 因为PQ 与圆A相切，所以221b a ab b a+-=+.……………………8分化简得2()20ab a b -++=，即2()2ab a b =+-.……………………10分 法一:因此PQ ====因为2,2a b >>，所以4a b +>，于是()2PQ a b =+-．……………………12分又22()22a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，解得04a b <+≤-，或4a b +≥+因为4a b +>，所以4a b +≥+14分()2PQ a b =+-222≥+，当且仅当22a b ==+时取等号，所以PQ 最小值为2+2a b ==.……………………15分答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为2(千米)时，新建公路PQ 最短．……………16分法二:化简得2()20ab a b -++=，即2(1)2a b a -=-222a =+-.……………………10分 因此PQ ==== ==2(2)22a a =-++-.………………12分 因为2a >，所以2(2)22PQ a a =-++-22≥+=+．………………14分当且仅当222a a -=-,即2a b ==时取到等号，………………15分 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O都为2(千米)时，新建公路PQ 最短．……………16分法三：解：2（）设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ,设OPA θ∠=，则,,APB APO BQA OQA ∠=∠∠=∠且2OPQ OQP π∠+∠=，,4AQB πθ∴∠=-…………………8分又11,,tan tan()4AB PQ PB BQ πθθ⊥∴==-04πθ∈（，）……………………………………………10分11tan tan()4PQ πθθ∴=+-1111tan =1tan tan tan 1tan 1tan θθθθθθ++=+--+…………………………………12分1212=1()(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ+-=++----1-tan 2tan 1+2122tan 1tan θθθθ=++-≥++-14分（当且仅当tan θ取等号）……………………………………………………………………15分 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O都为2千米)时，新建公路PQ 最短．………………16分法四：设PQ 与A 相切于点B ，设BP x =，BQ y =(0,0)x y >>， (6)分则1OP x =+，1OQ y =+，PQ x y =+………………………………………………………………8分在RT OPQ ∆中，由222OP OQ PQ +=得：222()(1)(1)x y x y +=+++，………………………10分化简得：1xy x y =++， ∴212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，解得：2x y +≥+2x y +≤-………………………………………………………13分（当且仅当1x y ==时等号成立）∴当2OP OQ ==时，PQ有最小值2+……………………………………………………15分答：当P 、Q 两点距离公路交点O 都为22+（千米）时，新建公路PQ 最短. ……………16分20.解: (1) 当3a =时,圆心为(1,0)-,当3m n ==时,直线AB 方程为30x y +-=,所以,圆心到直线距离为d ==……………………………2分<所以,直线与圆相离. ……………………………………………3分（2）设点(,)P x y ，则PO =PA =∵PA PO λ=，∴()22222()x m y x y λ-+=+， ()()222221120x y mx m λλ-+-+-=，………………………………………………5分由22(1)4x y ++=得，22230x y x ++-=， ∴2232x y x +=-，代入得， ()()2213220x mx m λ--+-=， 化简得()()22221310m x m λλ-+-+-=，………………………………………7分 因为P 为圆C 上任意一点，所以，()22210,310,m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩……………………………9分 又,0m λ>，解得3m =，2λ=．…………………………………………………………10分(3)法一:直线AB 的方程为124x y +=，设(,42)P t t -(02t ≤≤)，(,)N x y ， 因为点是线段的中点，所以,222x t y M t +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， M PN又都在圆C ：22(1)x y a ++=上，所以2222(1),12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 即()()2222(1),2424,x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩……………………………………………12分 因为该关于的方程组有解，即以(1,0)-()2,24t t ---为圆心，所以，()()221249a t t a ≤++-≤，………………………………13分又P 为线段AB 上的任意一点，所以()()221249a t t a ≤++-≤对所有02t ≤≤成立． 而()()22()124f t t t =++-2736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[0,2]上的值域为36,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以36,5917,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩所以173695a ≤≤．……………………………………15分 又线段AB 与圆C<，∴365a <. 故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭． …………………………………………16分 法二:过圆心C 作直线MN 的垂线，垂足为H ，设C H d =，=MN l ，则222221()23()2d l a d l PC ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则消去l 得， [)2290,88PC d a a =-∈，∴(]2,9PC a a ∈…………11分 直线AB 方程为240x y +-=∴点C 到直线AB= 且3,CA CB ==P 为线段AB 上的任意一点，∴236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……13分 (]36,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦，361795a a ∴<<≤，…………15分 ,M N ,x y故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭．……………………………………………16分。
江苏省常州一中高二上学期10月月考数学(理)试卷Word版含答案
常州市第一中学2018-2019学年第一学期阶段测试高二数学试题(理)（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上) 1．“点A 在直线l 上，l 在平面α外”， 用符号语言可以表示为 ．2．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是 ．PPPPQ QQQ RRR RSSSSPPP PQQQQRRR RSSS SPPP PQQQQRRRRSSS SPPPQQQRRRRSSS（A ） （B ） （C ） （D ）3．下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中m l , 为直线，βα,为平面），则此条件是 ．①αα//____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫；②αα//____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂；③//____l m m l αα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭4．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 ．5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是 ． 6.在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为_ __．7．如图，在高为h，底面半径为r的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心。
若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则r:h ＝．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1．6立方尺，圆周率 约为3，估算出堆放的米约有斛．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆锥和圆柱的侧面积和为．10．从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的4个顶点，这些几何体(或平面图形)是．(写出所有正确的结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．如上图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ． 12．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3,4,5(0)a a a a >．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．13．如图所示，已知三棱锥P ABC -的所有侧棱长都为2，底面边长都为1，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在棱AB BC CP PA 、、、上，则11EF FG+的最小值为 ． 14．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,m l A αα⊂=，A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，//,//l m αα，且,n l n m ⊥⊥，则n α⊥； ③若//,//,//l m αβαβ，则//l m ；④若,,,//,//l m l m A l m ααββ⊂⊂=，则//αβ⑤若αβ、是两个相交平面，m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直； ⑥若αβ、是两个相交平面，直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线； 其中为真命题的是 ．(写出所有正确的结论的编号)． 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°， AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点． 求证：(1) MN ∥平面ABB 1A 1； (2) AN ⊥A 1B ．16．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离．17．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝2 3，BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值； （2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．18．将1张边长为1m 的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分．剩余部分恰好能完全覆盖一个长方体的表面，设长方体的长为x m ，长方体表面积为S （1）写出S 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当S=278m 时，求此时长方体体积．19． 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点． 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点．（1）求证：平面PAE⊥平面PDE；（2）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE．20．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C 之间的距离为6，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．(1) 求线段PQ长度的最小值;(2) 当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．常州市第一中学2018--2019学年10月自主检测考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上) 1．“点A 在直线l 上，l 在平面α外”， 用符号语言可以表示为 ．A ,l l α∈⊄ 2．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是 ．DPPPP QQQQRRRRSSSSPP PPQ QQQRR RRSSSSPP P PQQQQR RR RS SSS PPP PQQQQRRRRSSSS（A ） （B ） （C ） （D ） 3．下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中m l , 为直线，βα,为平面），则此条件是 ．l α⊄①αα//____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫；②αα//____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂；③//____l m m l αα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭4．如右图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 ．3π5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是 ．5π 6.在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为___. 7．如图，在高为h ，底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心。
2018_2019学年高二数学上学期期初考试试题
常州市第一中学2018--2019学年期初考试高二数学试题（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上) 1．函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 .2．不等式1021x x +≤-的解集为 . 3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 . 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ . 5．函数1ln(2)y x =-的定义域为 .6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ . 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ． 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11x y+的最小值为 .9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为 .10．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有OM OA OB =+，则实数k ＝ .11．已知函数lg (010)()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ⋅⋅的取值范围是 .12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x =y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是 .14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．(1)当3A π=时，求||n 的值；(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ．17．已知圆O ：224x y +=．(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：21122S l r r θ=⋅=⋅)19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由； (2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足15(1)2n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．常州市第一中学2018--2019学年期初考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．) 1．函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 .π2．不等式1021x x +≤-的解集为 .1[1,)2-3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 .4± 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ .4- 5．函数1ln(2)y x =-的定义域为 .(2,3)∪(3,＋∞)6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ .2 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ．23 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11x y+的最小值为 .99．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为 .－110．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有OM OA OB =+，则实数k ＝.11．已知函数lg (010)()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ⋅⋅的取值范围是 .(10,12)12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ．(2,)+∞ 13．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x =y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是.(3]-14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 .9二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．(1)当3A π=时，求||n 的值；(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ． 【证】（1）取PA 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 故CE ∥平面PAD ． …………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是PA 的中点，所以DF PA ⊥． 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以DF AB ⊥．… 10分 因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面PAB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面PAB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ． …… 14分17．已知圆O ：224x y +=．(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论； 解：(1)14 (2)(35,0)±18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：21122S l r r θ=⋅=⋅)解：(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，…………………………5分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．………7分 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ………………………………………10分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………………12分 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==．答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………………16分19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由； (2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足15(1)2n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，． 【解】(1)由条件，得2132372a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，②①得 1312a a +=．……………………… 3分(2)①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=，所以221212242252n n n n n a an a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④， ④③得 212112n n a a -++=， ……………………………………………… 6分于是13353111()()422a a a a a =+=+++=，所以314a =，从而114a =． ……………………………………………… 8分所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L ， 所以2114n a -=，将其代入③式，得294n a n =+， 所以2(1)21n n a a +-=（常数），所以数列{}2n a 为等差数列．……………… 10分 ②注意到121n a a +=，所以2122n n S a a a =+++L 2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L2125322nk k n n =+==+∑，由224pm S S =知()2234322p m p m +=+． 所以22(26)(3)27m p +=++，即(29)(23)27m p m p ++-+=，又*p m ∈N ，， 所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数， 所以2927231m p m p ++=⎧⎨-+=⎩，解得104p m ==，，所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分。
江苏省常州一中2019届高三数学上学期期初(8月)考试试题
常州市第一中学2019届高三数学期初试卷 一、填空题1. 已知集合«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» ．«Skip Record If...»2. 已知幂函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»是增函数，则实数m 的值是 ．3. 22a b>“” 是lg lg a b >“”的______________条件4. 已知曲线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的切线的斜率为2，则实数a 的值是 ．5. 函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________6.设函数22,0(),0x f x x bx c x ->⎧=⎨++≤⎩，若(4)(1),(2)0f f f -=--=，则关于x 的不等式()2f x ≤的解集为 ．7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，366,39S S ==，则9S = ．8.已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=＞＞：的离心率3e =，过(,0)A a 和(0,)B b 的直线与原点的2C 的方程为 ． 9.设,x y 均为正实数，且111123x y +=++，则x y +的最小值为 ． 10. 设«Skip Record If...»的内角«Skip Record If...»的对边分别是«Skip Record If...»，D 为«Skip Record If...»的中点，若«Skip Record If...»且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»面积的最大值是 ．11.已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2++=0OA AB OC ，则BAC ∠= ．12. 设实数,x y 满足不等式组2212x y y x x y -≤⎧⎪-≤⎨+≥⎪⎩，若||ax y - 的最小值为0，则实数a 的最小值与最大值的和等于 .13. 若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ，则OP 长度的最大值为 ．14. 已知函数22()(2)(2),[1,1]x x f x a a x -=-++∈-关于x 的方程2()2f x a =有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题15. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos 3cosB 0C A += ，（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，求b 的取值范围。
常州市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
常州市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（ ）A ．[，2）B ．[，2]C ．[，1）D ．[，1]2． 函数f （x ）=e ln|x|+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）A ．B ．2C ．D ．4． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°5． 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤1log a1x ＋1，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（ ） A ．－14B ．－12C ．－34D ．－546． 若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A ．＞B ．＞C ．|a|＞|b|D ．a 2＞b 27． 下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题8．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．3610．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a11．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（）A．B．C．D．12．不等式x（x﹣1）＜2的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞1或x＜﹣2} D．{x|x＞2或x＜﹣1}二、填空题13．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为小时．14．已知线性回归方程=9，则b= ．15．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 16．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．17．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．18．设,x y 满足条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．三、解答题19．已知f （α）=，（1）化简f （α）；（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．20．已知函数y=3﹣4cos （2x+），x ∈[﹣，]，求该函数的最大值，最小值及相应的x 值．21．（本小题满分12分）已知函数1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R ． （1）当2m >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设[],1,3t s ∈，不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．22．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x （个） 2 3 4 5 加工的时间y （小时）2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b．23．设不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，∈，试比较与的大小。
常州市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
常州市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．22． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，3． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|4． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．35． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y=B ．y=﹣x+C ．y=﹣x|x|D ．y=6． “24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.7． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）8． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y=|x|（x ∈R ）B ．y=（x ≠0）C ．y=x （x ∈R ）D ．y=﹣x 3（x ∈R ）9． 以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（ ）A ．2B ．4C ．1D ．﹣110．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）A ．35B ．C ．D ．5311．已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ） A ．5 B ．18 C ．24 D ．3612．用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（ ） A ．1B ．7C ．﹣7D ．﹣5二、填空题13．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为．14．设,x y 满足条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．16．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）17．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线xC y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________． 18．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.20．（14分）已知函数1()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值； 3分（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值； 5分（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分21．已知函数f （x ）=lnx ﹣kx+1（k ∈R ）．（Ⅰ）若x 轴是曲线f （x ）=lnx ﹣kx+1一条切线，求k 的值； （Ⅱ）若f （x ）≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围．22．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．23．甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．24．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．常州市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=的距离为22=，得a b =，则为等轴双曲故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.2． 【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()()212102102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞，，．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 3． 【答案】D【解析】解：y=x+1不是奇函数； y=﹣x 2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数； y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．4． 【答案】B【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数， ∴函数y=3x 的反函数为y=f （x ）=log 3x ， 所以f （9）=log 33=1． 故选：B ．【点评】本题给出f （x ）是函数y=3x （x ∈R ）的反函数，求f （3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．5． 【答案】C 【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；B.时，y=，x=1时，y=0；∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；C ．y=﹣x|x|的定义域为R ，且﹣（﹣x ）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；；∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；∴该函数在定义域R 上为减函数，∴该选项正确；D.；∵﹣0+1＞﹣0﹣1；∴该函数在定义域R 上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C ．【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．6． 【答案】A【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的充分不必要条件，故选A. 7． 【答案】D【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2=8y ， ∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．8． 【答案】D【解析】解：y=|x|（x ∈R ）是偶函数，不满足条件，y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，故选：D9．【答案】A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A ．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．10．【答案】D【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D ．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x 4﹣2r ，令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a 5，∴a 3a 7=a 52=36，故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．【答案】C【解析】解：∵f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2 =（（（（（x ﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2， ∴v 0=a 6=1，v 1=v 0x+a 5=1×（﹣2）﹣5=﹣7， 故选C ．二、填空题13．【答案】若1x <，则2421x x -+<- 【解析】试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定．考点：否命题. 14．【答案】[1,)+∞【解析】解析：不等式,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点A 处z 取得最大值，综上所述，1a ≥．15．【答案】 1 ．【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．【答案】 真命题【解析】解：若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0成立，即原命题为真命题， 则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．17．【答案】－4－ln2【解析】点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。
常州市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试卷
常州市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． “x ≠0”是“x ＞0”是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）A ．点A 处B ．线段AD 的中点处C ．线段AB 的中点处D ．点D 处3． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）AB D 4． 若多项式 x 2+x 10=a 0+a 1（x+1）+…+a 8（x+1）8+a 9（x+1）9+a 10（x+1）10，则 a 8=（ ） A ．45 B ．9C ．﹣45D ．﹣95． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．2406． 将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（ ）A ．B ．πC ．D ．7． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定8． 设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），fD ．f （2）＜e 2f （0），f9． 已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，全集U AB =，则()UC A B =（ ）（A ） (),0-∞ （ B ） 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ （C ） ()1,0,12⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦ （D ） 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦10．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D ．1-或1011．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA B A.直线 B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.12．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）A ．1-B ．C ．3-D ．3二、填空题13．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 ．14．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是16．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．17．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为 （用数字作答）18．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题19．在极坐标系下，已知圆O ：ρ=cos θ+sin θ和直线l ：．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．20．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC 在矩阵N 应对的变换作用下得到矩形区域OA ′B ′C ′，如图所示． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵N 及矩阵（MN ）﹣1．21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆22:14x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求线段MN 的长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.22．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．23．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．常州市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．当x＞0时，一定有x≠0成立，∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．故选：B．2．【答案】A【解析】解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．3．【答案】C【解析】考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得()2122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，解得3πϕ=，从而()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116x x π+=-，从而()121133f x x ππ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭．4． 【答案】A【解析】解：a 8 是 x 10=[﹣1+（x+1）]10的展开式中第九项（x+1）8的系数，∴a 8==45，故选：A ．【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．5． 【答案】B 【解析】 试题分析：8058631=⨯⨯⨯=V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 6． 【答案】C【解析】函数f （x ）=sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P （0，），所以sinθ=，又因为﹣＜θ＜，所以θ=，所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档7．【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．【答案】B【解析】解：∵F（x）=，∴函数的导数F′（x）==，∵f′（x）＜f（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）是减函数，则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，故选：B9．【答案】C【解析】[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,(],1U =-∞,故选C ．10．【答案】D【解析】试题分析：程序是分段函数⎩⎨⎧=x y x lg 2 00>≤x x ，当0≤x 时，212=x，解得1-=x ，当0>x 时，21lg =x ，解得10=x ，所以输入的是1-或10，故选D.考点：1.分段函数；2.程序框图.11111] 11．【答案】D.第Ⅱ卷（共110分）12．【答案】D 【解析】考点：简单线性规划．二、填空题13．【答案】 7 ．【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，i=3不满足条件S ≥100，S=8，i=5 不满足条件S ≥100，S=256，i=7满足条件S ≥100，退出循环，输出i 的值为7． 故答案为：7．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S ，i 的值是解题的关键，属于基础题．14．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.【解析】将圆的一般方程化为标准方程，22(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞. 15．【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.16．【答案】 ．【解析】解：∵sin α+cos α=，＜α＜，∴sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=，∴2sin αcos α=﹣1=，且sin α＞cos α，∴sin α﹣cos α===．故答案为：．17．【答案】 15【解析】解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种故答案为：15．【点评】本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．18．【答案】180【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r可知r=2，所以系数为C102×4=180，故答案为：180．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．20．【答案】【解析】解：（1）根据题意，可得，故，解得所以矩阵M=；（2）矩阵N所对应的变换为，故N=，MN=．∵det （MN ）=，∴=．【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．21．【答案】【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=，BP 的斜率0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅===-.（4分）22．【答案】【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分）又函数f（x）的图象经过点（1，3），∴f（1）=3，∴，∵b=0，∴a=2（6分）（2）由（1）知（7分）当x＞0时，，当且仅当，即时取等号（10分）当x＜0时，，∴当且仅当，即时取等号（13分）综上可知函数f（x）的值域为（12分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数．【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．24．【答案】【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．。
常州市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
常州市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y ﹣1=0； ②x 2+y 2=3； ③+y 2=1； ④﹣y 2=1．在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④2． PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（）A ．甲B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定3． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ）A ．y=sinxB ．y=1g2xC ．y=lnxD ．y=﹣x 3【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．4． 设集合，，则（ ）{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.B.C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}2,1,1,2--{}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．5． 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()xF x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥A ．B ．C ．D ．(,-∞(,-∞(0,)+∞6． 在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ）A ．12B ．8C ．6D ．47． 下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．y=x+1B ．y=C ．y=x 4D ．y=x 58． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条9． 在ABC ∆中，若60A ∠= ，45B ∠=，BC =，则AC =（ ）A ．B ．C.D 10．已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 21z z A ．B ．C ．D ．1-54i -i 54【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.11．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°12．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312二、填空题13．已知为常数，若,则_________.,a b ()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，5a b -=14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．16．已知平面向量，的夹角为，，向量，的夹角为，与a b 3π6=-b ac a - c b - 23πc a -= a的夹角为__________，的最大值为．ca c ⋅ 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.17．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ．18．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =，则循环小数0. 的分数形式是 ．三、解答题19．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p （0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X ，求X 的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P ′（列代数式表示）（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率． 20．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设,函数.1a >()()21xf x x ea =+-（1）证明在上仅有一个零点；(（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,（O 是坐标原点）,证明:1m ≤21．设集合{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．（1）若15a =，判断集合A 与B 的关系；（2）若，求实数组成的集合C ．A B B = 22．24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲．已知函数f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|（a ∈R ）．（1）若函数f （x ）的最小值为3，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象围成一个三角形，求m 的范围，并求围成的三角形面积的最大值．23．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．24．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数.()133x x af x b+-+=+（1）当时，求满足的的取值；1a b ==()3xf x =x （2）若函数是定义在上的奇函数()f x R ①存在，不等式有解，求的取值范围；t R ∈()()2222f t t f t k -<-k ②若函数满足，若对任意，不等式恒成立，()g x ()()()12333xx f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦x R ∈()()211g x m g x ≥⋅-求实数的最大值.m常州市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，故选D2．【答案】A【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中，∴甲地的方差较小．故选：A．【点评】本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础． 3．【答案】B【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．故选B．【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义． 4． 【答案】D【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B = 5． 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,()xF x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R 使得不等式()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 恒成立, 即恒成立, ()()20g x ah x -≥22022xxx xe ee e a --+--≥A()2222xx x xx xx xe e e e a e e e e -----++∴≤=--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x xe e e e--=-++x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,2220t e e -∴<≤-式当且仅当,即时, 取等号,,故选B.2t t +≥2t t=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.6． 【答案】B【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 3n ﹣4r ，则∵二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，∴，∴n=8，r=6．故选：B ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 7． 【答案】C【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，故选：C．【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题． 8．【答案】C【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则．即2a﹣2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l的方程为：，即x﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．9．【答案】B【解析】考点：正弦定理的应用.10．【答案】B【解析】由复数的除法运算法则得，，所以的虚部为.i i i i i ii i zz 54531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=21z z 5411．【答案】D 【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知 ∴sinA==∴A=30°故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12．【答案】A【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X ∽B （3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A ． 二、填空题13．【答案】【解析】试题分析：由，得，()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，22()4()31024ax b ax b x x ++++=++即，比较系数得，解得或222224431024a x abx b ax b x x +++++=++22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩1,7a b =-=-，则.1,3a b ==5a b -=考点：函数的性质及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简的解析式是解答的关键.()f ax b +14．【答案】63【解析】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，所以a 1=1，a 3=4．设等比数列{a n }的公比为q ，则，所以q=2．则．故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 15．【答案】 50π ．【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力． 16．【答案】，.6π18+【解析】17．【答案】 2 ．【解析】解：f（x）=ae x+bsinx的导数为f′（x）=ae x+bcosx，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b，由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae0+bsin0=a=﹣1，解得a=﹣1，b=1，则b﹣a=2．故答案为：2．18．【答案】 ．【解析】解：0.=++…+==，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．通讯器械正常工作的概率P ′=；（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为： p 2；②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；此时通讯器械正常工作，故它的概率为：P ″=p 2++，可得P ″﹣P ′=p 2+﹣，==．故当p=时，P ″=P ′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；当0＜p 时，P ″＜P ′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；当p时，P ″＞P ′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目． 20．【答案】（1）在上有且只有一个零点（2）证明见解析f x （）∞+∞（﹣，）【解析】试题分析：试题解析：（1），，()()()22211xx f x ex x e x +='=++()0f x ∴'≥在上为增函数．()()21xf x x ea ∴=+-(),-∞+∞，，1a > ()010f a ∴=-<又，()1fa a =-=-，即，0,1>∴>0f>由零点存在性定理可知，在上为增函数，且，()f x (),-∞+∞()00f f⋅<在上仅有一个零点。
江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷(解析版)
江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷（解析版）一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）1.过点，的直线的斜率为______．【答案】【解析】解：根据直线的斜率公式得，故答案为：．根据直线的斜率公式直接进行计算即可．本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键．2.命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一【答案】假【解析】解：由得，，则命题“，”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．3.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：，，开口向右，准线方程是．故答案为．先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．4.与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．【答案】【解析】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．设球的半径为r，可得出正方体的棱长为2r，再利用球体的体积公式与正方体的体积公式可得出答案．本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．5.若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线方程为，抛物线经过点，，得．抛物线的方程为．故答案为：由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．6.文科做曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．7.理科做在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．【答案】7【解析】解：空间直角坐标系中，三点5，，4，，3，共线，则，；，解得，，．故答案为：7．由题意知、共线，列方程求出a、b的值，再求和．本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题．8.设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一【答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”，得或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件由绝对值不等式的解法得：由“”，得或，由充分必要条件的有关知识可得：“”是“”的充分不必要条件，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题．9.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，即，可得，即a的曲折范围是．故答案为：．由题意可得，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10.一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．【答案】24【解析】解：如图，正四棱锥的底面边长为，．连接AC，BD，交于O，连接PO，则底面ABCD，，又棱长，，．故答案为：24．由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．11.双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：双曲线的，，可得，解得，故答案为：．求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.文科做已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由函数．得．令，解得．，且，．为的极小值点．函数在区间上存在极小值．即．故答案为：．求导函数，判断其极小值点，从而求得a取值范围．本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法．13.理科做在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．。
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常州市第一中学2018--2019学年期初考试高二数学试题（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上)1．函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 .2．不等式1021x x +≤-的解集为 . 3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 . 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ . 5．函数1ln(2)y x =-的定义域为 .6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ . 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ． 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11xy+的最小值为 . 9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为 .10．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有OM OA OB =+，则实数k ＝ .11．已知函数lg (010)()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c⋅⋅的取值范围是 .12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是 .14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．(1)当3A π=时，求||n 的值；(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ．17．已知圆O ：224x y +=．(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：21122S l r r θ=⋅=⋅)19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.(1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足15(1)2n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．常州市第一中学2018--2019学年期初考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．) 1．函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 .π2．不等式1021x x +≤-的解集为 .1[1,)2-3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 .4± 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ .4- 5．函数1ln(2)y x =-的定义域为 .(2,3)∪(3,＋∞)6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ .2 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ．23 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11xy+的最小值为 .9 9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为 .－110．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有OM OA OB =+，则实数k ＝.11．已知函数lg (010)()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c⋅⋅的取值范围是 .(10,12)12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ．(2,)+∞ 13．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是.(3]-14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m的最大值为 .9二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．(1)当3A π=时，求||n 的值；(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ． 【证】（1）取PA 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，故CE ∥平面PAD ． …………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是PA 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以DF AB ⊥．… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PAAB ⊂，平面PAB ，PA AB A =，所以CE ⊥平面PAB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ． …… 14分17．已知圆O ：224x y +=．(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；解：(318．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：21122S l r r θ=⋅=⋅) 解：(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，…………………………5分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．………7分 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ………………………………………10分所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………………12分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………………16分19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.(1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足15(1)2n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．- 11 - 【解】(1)由条件，得2132372a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，②①得 1312a a +=．……………………… 3分 (2)①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=，所以221212242252n n n n n a a n a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④， ④③得 212112n n a a -++=， ……………………………………………… 6分 于是13353111()()422a a a a a =+=+++=， 所以314a =，从而114a =． ……………………………………………… 8分 所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L ， 所以2114n a -=，将其代入③式，得294n a n =+， 所以2(1)21n n a a +-=（常数），所以数列{}2n a 为等差数列．……………… 10分 ②注意到121n a a +=，所以2122n n S a a a =+++L 2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L2125322nk k n n =+==+∑， 由224p m S S =知()2234322p m p m +=+． 所以22(26)(3)27m p +=++，即(29)(23)27m p m p ++-+=，又*p m ∈N ，，所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数， 所以2927231m p m p ++=⎧⎨-+=⎩，解得104p m ==，，所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分。