变力做功问题的求解方法
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同．【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值：F －＝250＋2002N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F －h ＝2 250 J.方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋2002×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J法3.用微元法求变力做功圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W1＋W2＋…＋W n＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δl n)＝2πRF.【答案】2πRF.变式训练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝0＋F 2x1＝402×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.答案：20 J变式训练2如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：(1)摩擦力对物块做的功．(2)摩擦力对传送带做的功．【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N ＝2 N加速度为a ＝F f m ＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝222×1m ＝2 m 摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J ＝4 J.(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a ＝－8 J.【答案】 (1)4 J (2)－8 J变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－fhC ．－2mghD ．－2fh解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh .答案：D。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法变力做功是物理学中一个重要的概念，它描述了当一个力作用于一个物体时，这个力对物体所做的功是如何随时间变化的。
在实际应用中，我们经常需要求解变力做功，例如研究机械的运动特性、计算机械工作所需的能量等。
求解变力做功的方法有多种，下面将介绍三种常用的方法：通过力的分解法、积分法和图像法。
第一种方法是力的分解法。
当一个力是一个常量力的合力时，我们可以将这个力分解成多个方向上的分力，然后对每个方向的分力进行求解，最后将各个方向上的分力的功相加即可得到合力所做的功。
在实际应用中，当一个力是不常量力时，我们可以将这个力进行一定的分段处理，将不同的部分的力分别进行分解，然后分别求解，最后将各个部分的功相加即可得到总的功。
第二种方法是积分法。
当一个力是一个函数关系时，我们可以通过对这个函数进行积分得到力的功函数，然后计算积分上下限之间的功值。
具体而言，假设一个力F随时间t的变化，那么力在时间t1和t2之间做的功可以表示为：W = ∫(F(t))dt其中，W表示力所做的功，∫表示积分符号，F(t)表示力随时间的变化。
在实际计算中，我们可以根据给定的力函数F(t)进行积分运算，然后计算上下限之间的功值。
第三种方法是图像法。
当一个力是已知的、离散的数据时，我们可以通过绘制力与时间之间的图像来求解力所做的功。
具体而言，我们可以将给定的力数据以时间为横坐标、力值为纵坐标绘制成折线图，然后计算每个时间段内力与时间之间的面积，最后将各个时间段内的面积相加即可得到力所做的功。
综上所述，求解变力做功的方法有很多种，其中常用的方法有力的分解法、积分法和图像法。
不同的方法适用于不同的情况，具体选择哪种方法进行求解，需要根据具体的问题来决定。
无论使用哪种方法，都需要对力与时间的关系进行分析，然后进行适当的求解，最终得到力所做的功的结果。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。
在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。
第二种方法是常力法。
在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。
第三种方法是分力法。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。
第四种方法是连续变力法。
在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。
第五种方法是有功做功法。
在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。
第六种方法是负功做功法。
在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。
综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。
求解变力做功的六种方法
• [易错提醒] F做功的位移等于左边绳的变短的部分，而 不等于物体的位移．
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第七章 机械能守恒定律13:02
五、用公式W=Pt求解
对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力 是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具 以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。
动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始
终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37°
角．圆弧所对应的圆心角为60°,
• BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：
• (1)拉力F做的功；
• (2)重力mg做的功；
•
13:02
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
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第七章 机械能守恒定律13:02
例6. 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从
平衡位置P点很缓慢地移到Q点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力
F所做的功为：（ ）
A： mgL cos
B： mgL(1 cos )
C.： FLsin
D： FL cos
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当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或 反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这 样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段 上的功，再求和即可．
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第七章 机械能守恒定律13:02
• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆 周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈 ，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功 时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在 每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且 同向，故
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。
T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。
由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A0焦耳B20π焦耳C 10焦耳D20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。
三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
变力做功的求法
变力做功的求法：
1.微元法。
当物体在变力作用下做曲线运动 时，我们无法直接使用功的计算公式 W=FLcosa来求解，但是可以将曲线 分成无限个微小段，每一小段可认为 恒力做功，总功即为各个小段做功的 代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半 径为R的水平圆轨道运动一周， 如图所示，已知物块的质量为m， 物块与轨道间的动摩擦因数 为 μ 。求此过程中摩擦力所做 的功。
W mgh Wf 从A到B到C ： F
WF 2m gh
00
4.应用公式W=Pt法
机车以恒定功率启动时，牵 引力为变力，但机车的功率为牵 引力的功率，所以牵引力做的功 可用公式W=Pt计算
例4： 一列货车的质量为5.0×105kg, 在平直轨道以额定功率3000kw加速行 驶,当速度由10m/s加速到所能达到的 最大速度30m/s时,共用了2min,则这 段时间内列车前进的距离是多少?
mg ( s1 s2 s3 ... sn ) 2m gR
2. F—x图象法。
F —x图像，图线与坐标轴围成的面积,在数 值上表示力F在相应的位移上对物体做的功。
例2.如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧， 一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴 线施一水平力将弹簧拉长，求：在弹簧由 原长开始到伸长量为 x1过程中拉力所做的 功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由 x1 增大到x2 的过程中，拉力又做了多少功？
解析：在拉弹簧的过程中， F kx 作出 F x 关系图象，如图，由图可知 AOx 的面积在数值上等于把弹簧拉伸了 x1过程中 拉力所做的功。
1
即:
1 1 2 W1 kx 1 x1 kx 1 2 2
x1
梯形 Ax1 x2 B 的面积在数值上等于弹簧伸 长量由 增大到 x2 过程中拉力所做的功。
[求解变力做功的五种方法]变力做功
![[求解变力做功的五种方法]变力做功](https://img.taocdn.com/s3/m/09821684ed3a87c24028915f804d2b160b4e86c0.png)
[求解变力做功的五种方法]变力做功1.微元法适用于大小不变的力所做功的计算，此种情况可以通过分割求和的物理方法来求变力的功。
把曲线运动分成若干小段，每一小段上都可认为是恒力做功，再累计求和。
计算时由于力的大小不变，在累加时可以提出来，剩下的各小段累加得到的结果就等于物体通过的总路程。
我们可以通过力与物体通过的路程及其夹角的乘积来计算这一情况下大小不变的力所做功的问题。
如图所示，某个力F=10N作用于半径为R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力做的总功为（）。
A.0JB.20JC.10JD.20J解析：分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功。
可以把圆弧分成1、2、3。
，总功W=F1+ F2+ F3+。
= F（1+2+3+。
）= F·2R=20J。
故答案为：B。
2.平均法对方向不变、大小随位移发生线性变化（即力与位移成一次函数关系）的力做功问题，可以通过平均力来计算这种变力的功。
这种方法也可以用来求解弹簧的弹力做的功。
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。
已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是多少？解析：钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题。
由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理。
．据题意可得第一次打击有：；第二次打击有：。
由以上两式可得。
用图象法求解变力做功问题在F—图象中，图线与坐标轴围成的面积表示功。
对于方向不变，大小随位移线性变化的力，作出F—图象，求出图线与坐标轴所围成的面积，就求出了变力所做的功。
一立方体木块，边长0．2m，放在水池中，恰在此时有一半浮出水面而处于静止状态，若池深1m，用力将木块慢慢推至池底，在这一过程必须对木块做多少功？（水的密度）解析：木块的重力。
作出整个过程的F-图象，梯形面积即为变力的功，有。
求解变力做功的“五法”
第26点求解变力做功的“五法”1．变力的功＝力×路程当力的大小不变而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力所做的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力等做的功．2．变力的功＝平均力×x cos α当力的方向不变，大小随位移线性变化时，可先求出力的平均值F＝F1＋F22，再由W＝F x cos α计算．3．变力的功＝功率×时间当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功．4．变力的功＝“面积”作出变力F随位移x变化的图像，图像与横轴所夹的“面积”即为变力做的功，如图1中阴影部分所示．图15．变力的功＝动能变化－其他恒力所做的功当物体受到变力(也可只受变力)及其他恒力作用引起物体的动能发生变化时，根据动能定理知，变力的功等于动能变化减去其他恒力所做的功．对点例题如图2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨．假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图2解题指导因力F的大小恒定，且始终与运动方向相同，故F的功等于力乘以路程，即W＝F·2πL＝2πFL答案2πFL一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图3中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g＝10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有()图3A．物体与水平面间的动摩擦因数B．合外力对物体所做的功C．物体匀速运动时的速度D．物体运动的时间答案ABC解析物体做匀速运动时，受力平衡，则f＝F＝7 N；再由滑动摩擦力公式可求得物体与水平面间的动摩擦因数；故A正确；4 m后物体做减速运动，图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功，则由图像中减速过程包括的方格数可知拉力所做的功；再由摩擦力与位移的乘积求出摩擦力的功；则可求得总功；故B正确；已求出物体合外力所做的功；则由动能定理可求得物体开始时做匀速运动时的速度；故C正确；由于不知道具体的运动情况，无法求出减速运动的时间，故D错误．。
求变力做功的十种方法
变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。
一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。
例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求解变力做功的八种方法
求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。
而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。
本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。
一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。
通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。
二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。
这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。
三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。
通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。
四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。
通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。
五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。
这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。
六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。
虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。
七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。
通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。
八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。
通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。
综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。
求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。
下面将介绍十种常见的变力做功的方法。
1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。
通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。
这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。
当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。
推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。
3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。
例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。
弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。
因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。
5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。
抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。
重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。
6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。
磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。
例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。
引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。
例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。
中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。
求解变力做功问题的五种方法
求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。
如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。
但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。
一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。
例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。
分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。
但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。
因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。
由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。
则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。
例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。
物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。
物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。
一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。
由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。
用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。
例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）? ＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功图1-2【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为 1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。