选修2-1命题与量词1-1-2
新人教A版(选修2-1)《含有一个量词的命题的否定》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：汪春梅 审稿人： 贾志安含有一个量词的命题的否定课前预习学案一、预习目标（1） 归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形式上的变化规律。
（2）根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否定二、预习内容 1、明确命题的构成我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是————，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是————，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”， 将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题. 注：全称命题“,()x M P x ∀∈”的否定为特称命题“00,()x M P x ⌝∃∈” 特称命题“00,()x M P x ∃∈”的否定为全称命题“,()x M P x ∀∈” 三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义； 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；3．进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力； 4．培养对立统一的辩证思想二、学习过程探究一：1、全称命题的否定1．(2007年山东高考文理科)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0探究二：特称命题的否定3．(2007年海南省调研文理科)已知特称命题p：∃x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是（）A．∃x∈R，2x＋1＞0B．∀x∈R，2x＋1＞0C．∃x∈R，2x＋1≥0D．∀x∈R，2x＋1≥0（三）反思总结1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．(四)当堂检测写出下列全称命题与特称的否定⑴p：所有能被3整除的整数都是奇数；⑵p：每一个四边形的四个顶点共圆；⑶p：对任意，的个位数字不等于3。
2020秋高中数学人教版2-1学案：1.1.1命题含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：1.1.1命题含解析第一章常用逻辑用语德国伟大的诗人歌德,有一次在魏玛公园散步．当他走在一条仅能容一个人通过的小路上时，迎面走来了一位曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺批评家．那位批评家站在歌德的对面，傲慢地说：“对一个傻子,我绝不让路．" “我却正好相反．"歌德边说边微笑着站到了一边．顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容．这里反映的就是常用逻辑用语在现实生活中的应用．日常生活中,我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．学习目标1．了解命题的概念，会判断命题的真假．2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．通过数学实例,了解逻辑联结词“且”“或"“非”的含义．4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定．5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．本章重点命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义;逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词的应用．本章难点必要条件的含义;含有一个量词的全称命题和特称命题的否定．1。
1命题及其关系1。
1。
1命题自主预习·探新知情景引入中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题:白马非马．对于一般人来说,“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？新知导学命题及相关的概念（1)定义：用__语言、符号或式子__表达的,可以__判断真假__的陈述句．（2）分类:①真命题：判断为__真__的语句；②假命题:判断为__假__的语句．(3)形式:命题的结构形式是“__若p,则q__”，其中__p__是命题的条件，__q__是命题的结论．预习自测1．下列语句中,命题的个数是（C）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③单位向量的模为1;④你是高二的学生吗?A．0B．1C．2D．3［解析］由命题的定义知，语句①③能判断真假,所以是命题，故选C．2．下列语句中是命题的是（D）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AMD．两个锐角的和大于直角［解析]两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C都不能判断真假．3．下列命题为假命题的是（C)A．log24＝2B．直线x＝0的倾斜角是错误!C．若｜a|＝｜b|,则a＝bD．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β,则α∥β［解析]由|a｜＝|b|得a与b的模相等,但方向不定,故a与b不一定相等，故选C．4．下列命题为真命题的是(A)A．若错误!＝错误!，则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y，则错误!＝错误!D．若x〈y，则x2〈y2［解析]B中,若x2＝1,则x＝±1;C中,若x＝y<0,则x与错误!无意义；D中，若x＝－2,y＝－1，满足x〈y，但x2〉y2,故选A．5．把命题“函数f(x)＝sin x是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是__若一个函数是f（x）＝sin x，则该函数是奇函数__。
高二数学选修2-1知识点总结
A．q1，q3 B．q2，q3
A．②③ B．②④
C．q1，q4 D．q2，q4
C．③④ D．①②③
[审题视点] 依据复合函数的单调性推断 p1，p2 的'真假．
解析 命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，故③④正确．
解析 可推断 p1 为真，p2 为假；则 q1 为真，q2 为假，q3 为假，
答案 C
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出 m 的取值范围． 解 由 p 得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，则 m＞2. 由 q 得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 则 1＜m＜3. 又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，∴p 与 q 一真一假． ①当 p 真 q 假时，m≤1 或 m≥3，m＞2，解得 m≥3； ②当 p 假 q 真时，1＜m＜3，m≤2，解得 1＜m≤2. ∴m 的取值范围为 m≥3 或 1＜m≤2. 含有规律联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的
(2)特称命题的否认是全称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
魏
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特称命题 p：x0∈M，p(x0)，它的否认 p：x∈M，p(x)．
2．(2021·北京)若 p 是真命题，q 是假命题，则( )．
2．复合命题的否认
A．p∧q 是真命题 B．p∨q 是假命题
“p∧q”、“q”形式命题的真假．
答案 存在 x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3
【训练 1】 已知命题 p：x0∈R，使 sin x0＝25；命题 q：x∈R，
考向一 含有规律联结词命题真假的推断
都有 x2＋x＋1＞0.给出以下结论
高中数学选修2-1常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词
1. 构造一个特称命题, 使 “{x|ax2} 为空集” 是真命题.
解: 特称命题为 ∃a0R, 使 {x|ax2} 为空集.
即存在一个 a00 , 使 {x|ax2} 为空集.
2. 将下列全称命题改为特称命题, 并使命题为假: (1) ∀xR, |sinx|≤1; (2) ∀mR, 直线 mx+y-30 不经过定点 P(0, 3).
1. 构造一个全称命题, 使 |x|>0 是假命题. 解: 当 x0 时, |x|>0 不成立.
只要限制范围内有 x0 的即可. 如: ∀xR, |x|>0.
∀x≥0, |x|>0. ∀x≤0, |x|>0. ∀x(-1, 1), |x|>0. ……
2. 判断下列全称命题的真假:
(1) ∀xR, |sinx|<1;
(2) ∀mR, 直线 mx+y-30 经过定点 P(0, 3).
解:
(1)
当 x k
+
2
,
kZ 时,
|sinx|1,
∴ 全称命题 “∀xR, |sinx|<1” 是假命题.
(2) 将点 P(0, 3) 代入直线的方程 mx+y-30 得
0+3-30, ∴ m 为任意实数时, x0, y3 都是方程的解,
解: (1) ¬p: ∀xR, x2+2x+2>0. (2) ¬p: 所有的三角形都不是等边三角形. (3) ¬p: 所有素数都不含三个正因数.
例5. 写出下列命题的否定, 并判断它们的真假: (1) p: 任意两个等边三角形都是相似的; (2) q: ∃x0R, x02+2x0+20. 解: (1) ¬p: 存在两个等边三角形, 它们不相似. ¬p是假命题.
高中数学选修2-1知识点 (1)包括必修二要看的内容
高二数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。
6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。
人教A版高中数学教材目录(全)
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数word格式-可编辑-感谢下载支持 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
(转)高二数学选修2-1、2-2、2-3知识点小结
中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的
选取，以及区间的分割.微积分基本定理
b a
f (x)dx F (x) |ba F (b) F(a) .
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性
（1）设函数 y f (x) 在某个区间（a，b）可导，如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；
面面垂直： n1 n2
4. 夹角问题
线线角 cos | cos a,b | | a b | （注意异面直线夹角范围 0 ）
| a || b |
2
线面角 sin | cos a, n | | a n | | a || n |
二面角
|
cos
||
cos
n1, n2
|
| n1 n2 | n1 || n2
线线平行： a / /b a / /b 线面平行： a / / a n 或 a / /b ， b 或 a xb yc(b，c 是 内不共线向量）
面面平行： // n1 / /n2
3. 垂直
线线垂直： a b a b a b 0
线面垂直： a a / /n 或 a b, a c (b，c 是 内不共线向量）
① 直线具有斜率 k ，两个交点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2 )
AB
1 k2 x1 x2
(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 k2
y1 y2
② 直线斜率不存在,则 AB y1 y2 .
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。
高中选修数学知识点
高中选修数学知识点由于您没有给出具体的高中选修数学的板块内容（例如选修1 - 1、选修2 - 2等），以下为人教版高中数学选修2 - 1知识点整理：一、常用逻辑用语。
1. 命题及其关系。
- 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
- 四种命题：原命题“若p，则q”；逆命题“若q，则p”；否命题“若¬p，则¬q”；逆否命题“若¬q，则¬p”。
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。
2. 充分条件与必要条件。
- 充分条件：如果p⇒q，则p是q的充分条件。
- 必要条件：如果q⇒p，则p是q的必要条件。
- 充要条件：如果p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q。
3. 简单的逻辑联结词。
- “且”：命题p∧q，当p、q都为真时，p∧q为真，否则为假。
- “或”：命题p∨q，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真，当p、q都为假时，p∨q为假。
- “非”：命题¬p，p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。
4. 全称量词与存在量词。
- 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题，例如∀x∈M,p(x)。
- 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题，例如∃x∈M,p(x)。
- 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
二、圆锥曲线与方程。
1. 椭圆。
- 定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中c^2=a^2-b^2，焦点坐标为(± c,0)。
- 当焦点在y轴上时，frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。
人教版高中数学选修二电子课本
第一章常用逻辑用语
1.1 命题与量词
1.1.1 命题
1.1.2 量词
1.2 基本逻辑联结词
1.2.1 “且”与“或”
1.2.2 “非”（否定）
1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
本章小结
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.2 椭圆的几何性质
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
2.3.2 双曲线的几何性质
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
2.4.2 抛物线的几何性质
2.5 直线与圆锥曲线
本章小结
阅读与欣赏
圆锥面与圆锥曲线
第三章空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
3.1.2 空间向量的基本定理
3.1.3 两个向量的数量积
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
3.2.5 距离（选学）
本章小结
阅读与欣赏
向量的叉积及其性质
附录部分中英文词汇对照表后记。
高中数学选修2-1知识点总结
高中数学选修2-1知识点总结高二数学选修2-1知识点命题是指用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句。
其中真命题是判断为真的语句，而假命题则是判断为假的语句。
若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，而q则称为命题的结论。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就称为互逆命题。
其中一个命题称为原命题，另一个则称为原命题的逆命题。
例如，若原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题就称为互否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个则称为原命题的否命题。
例如，若原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题就称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个则称为原命题的逆否命题。
例如，若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若q，则p”。
四种命题的真假性如下：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。
而两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系。
若p q，则p是q的充分条件，而q是p的必要条件。
若p q，则p是q的充要条件（充分必要条件）。
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q。
当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题。
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q。
当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q是假命题。
对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p。
若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题。
在逻辑中，短语“对所有的”、“对任意一个”通常称为全称量词，用“”表示。
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1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
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1.2.2 “非”（否定）
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1.3 充分条件、必要条件与命
题的四种形式
1.3.1
推出与充分条件、必要条件
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第一章 常用逻辑用语
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10最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
1.1.2 量词
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第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词 1.2.2 “非”（否定） 本章小结 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 2.2.2 椭圆的几何性质 2.3.2 双曲线的几何性质 2.4.2 抛物线的几何性质 本章小结 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 3.2.4 二面角及其度量 本章小结 附录 部分中英文词汇对照表
高考调研精讲精练人教数学选修2-1(B版)第1章
汈A1.11．1.1命题要点1命题：能判断真假的语句叫做命题．要点2真命题：判断为真的命题叫真命题．要点3假命题：判断为假的命题叫假命题．要点4命题的表示：一般用小写英文字母表示，如p，q，r，…1．如何判定一个语句是否是命题？答：①并非所有陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比喻，形容词等词义模糊不清的(即美丽”，“小红长得很．美”，就不不能判断真假)，都不是命题，如：“小红长得象天仙一样．．．．．是命题．②(在陈述句中)有一些科学猜想，如“哥德巴赫猜想”，虽然现在还不能确定其真假，但随着时间的推移，总能确定其真假，所以它们也是命题．③疑问句(如：明天会放假吗？)，祈使句(如：希望明天会放假)，感叹句(如：放假真好呀！)都不是命题.题型一命题的概念例1判断下列语句是不是命题．(1)x2－1＝0，(2)x2＋1＝0，(3)y＝x2(x∈R)是幂函数．(4)《高考调研》是最实用的参考书吗？(5)请给我买本《高考调研》！解析(1)陈述句，但不能判断真假，∴不是命题．(2)陈述句，对所有的实数x，x2＋1一定不为0，能判断真假，∴是命题(假命题)．(3)陈述句，能判断真假，是命题(真命题)．(4)疑问句，不是命题．(5)祈使句，不是命题．探究1判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句“π是有理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“π是无理数吗？”感叹句“向抗洪英雄学习！”就不是命题．思考题1判断下列语句是不是命题．(1)（－3）2＝－3.(2)平面内不相交的两直线平行．(3)x>0.(4)数学好学吗？(5)并非所有的学生都喜欢数学．解析(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)是题型二命题真假的判断例2下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①等边三角形难道不是等腰三角形吗？②垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？③一个实数不是正数就是负数．④大角所对的边大于小角所对的边．⑤若x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．解析①通过反意疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．②疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题．数0既不是正数也不是负数．④是假命题．没有前提条件在同一个三角形中．⑤是假命题．如x＝3，y＝－ 3.答案①③④⑤，①探究2命题真假性的判断：(1)从方法上判定一命题为真命题需要严格推证，判定一命题为假命题只需举出一个反例即可，解决这类题目的难点是相关知识点的掌握．(2)认真审题，找出被判断对象应满足的条件及满足此条件时会有的结论，为叙述的通顺，必要时可添加一些词语，但不可改变原命题．思考题2判断下列语句，哪些是命题？若是命题，指出是真命题，还是假命题？(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)三角函数是周期函数吗？(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0(4)灰太狼真坏呀！(5)3x≤5解析(1)是命题，是真命题．(2)疑问句，没有对三角函数是否是周期函数作出判断，故不是命题．(3)是命题，因为Δ＝16－28＝－12<0，所以是真命题．(4)感叹句，不是命题．(5)不能判断真假，不是命题．题型三命题的结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(条件：p，结论：q)(1)负数的平方是正数．(2)正方形的四条边相等．(3)质数是奇数．(4)矩形是两条对角线相等的四边形．解析(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”，p为：“一个数是负数”；q为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．p为：“一个四边形是正方形”；q为：“这个四边形的四条边相等”．(3)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．p为：“一个自然数是质数”；q为：“这个自然数是奇数”．(4)可表述为：“若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．”p为：“四边形的两条对角线相等”；q为：“这个四边形是矩形”．探究3一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．思考题3(1)将下列命题改写成“若p，则q”的形式．①奇函数的图像关于原点对称．②当p>0时，p2>p.解析 ①若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．②若p>0，则p 2>p.(2)将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．①当a>b 时，1a <1b.②在△ABC 中，当sinA ＝sinB 时，A ＝B.解析 ①若a>b ，则1a <1b，假命题．②在△ABC 中，若sinA ＝sinB ，则A ＝B 真命题．1．一般地，判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．1.下列语句是命题的是________．①矩形不是平行四边形②lg2是有理数③请坐④2010年7月1日是中国共产党90岁生日答案①②④2．下列语句中，不能成为命题的是()A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点答案 B3．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有真命题的序号为________．答案②③④课时作业(一)1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a|B ．0∈ZC ．集合与简易逻辑D ．灰太狼真坏呀！ 答案 B2．下列语句是命题的是( ) A ．偶函数的和是偶函数吗？ B ．sin45°＝ 3.C ．参加2010年南非世界杯的足球队员．D ．x 2－4x －3＝0. 答案 B3．下列语句：①空集是任何集合的真子集；②x>2；③△ABC 的面积；④高一年级的学生．其中不是命题的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 答案 D4．若M 、N 是两个集合，则下列命题中真命题是( ) A ．如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B ．如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D ．如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M 答案 A5．(2010·衡水市联考卷)已知直线m ，n 及平面α，β，则下列命题正确的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥β⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 答案 D解析 若m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，故选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．故选D.6．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ； 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 C解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.7．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a>1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④9．命题：“一个正整数不是合数就是素数”．条件p：________，结论q：________，是________命题．答案一个数是正整数它不是合数就是素数假解析该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是素数，所以是假命题．10．判断下列命题的真假．(1)在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.________(2)直线的倾斜角越大，则其斜率也越大．________答案(1)真命题(2)假命题11．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求集合A满足的条件．解析当a>1时，A⊆(1，＋∞)，当0<a<1时，A⊆(－∞，－3)12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等．(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．条件p：a>1结论q：函数y＝a x是增函数．1．1.2量词要点1全称命题：“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，P(x)．要点2存在性命题：“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．1．全称命题的特征是什么？答：特征是“全”：全部、所有、任意、每一个等．由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法．如命题：正方形都是矩形．也是全称命题，只不过省去了全称量词“所有”．2．存在性命题的特征是什么？答：特征是“存在”，即有，不是全部．常用的存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等．题型一全称命题与存在性命题的辨析例1判断下列命题是否是全称命题或存在性命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)有的向量方向不定．(4)自然数的平方是正数．解析因为(1)(3)含有存在量词，所以命题(1)(3)为存在性命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题．综上所述：(1)(3)为存在性命题，(2)(4)为全称命题．探究1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．思考题1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是存在性命题：(1)对顶角相等．(2)如果方程f(x)＝0有实根，那么函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．(3)负数没有对数．(4)存在a＝1且b＝2使a＋b＝3成立．答案(1)，(2)，(3)是全称命题；(4)是存在性命题题型二全称命题与存在性命题真假的判断例2试判断以下命题的真假：(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1；(5)∃x0∈Z，x03<1；(6)∃x0∈Q，x02＝3.解析(1)假命题，所有的正方形都是矩形．(2)真命题，所有的有理数都是实数．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(4)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(5)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x03<1.所以命题“∃x0∈Z，x03<1”是真命题．(6)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x 0∈Q ，x 02＝3”是假命题．探究2 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p(x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．思考题2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)p ：所有的单位向量都相等；(2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋3≤0；(4)p ：存在等差数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋2n －1.解析 (1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同时，虽然有|e 1|＝|e 2|，但e 1≠e 2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n ＝1，2，3，…)．(3)p 是存在性命题，是假命题．因为对于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0恒成立． (4)p 是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{a n }(首项a 1，公差d)，其前n 项和为：S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d2n 2＋(a 1－d2)n.因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式(含常数项)．1．全称命题与存在性命题的表述方法？同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活选择．1.给出下列几个命题：①末位数是0的整数，能被5整除；②梯形的对角线互相平分；③每个奇函数的图象都过原点；④有些二次函数的图象与x轴相交．其中全称命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．每个偶函数的图象都与y 轴相交 B ．∀x ∈R ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，x 02≤0D ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 答案 C3．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R ，2x >0 答案 C解析 选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋kπ(k ∈Z )；选项C ，x 3>0⇒x>0；选项D ，2x >0⇒x ∈R ，故选C.课时作业(二)1．下列全称命题中假命题的个数( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈Z ，2x 2＋1为奇数； ④任何直线都有斜率．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①②④是假命题．2．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．有大于等于3的实数 答案 D3．(2010·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R ，f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R ，f(x)≥f(x 0) 答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f(x)≥f(x 0)，因此∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)是错误的，选C.4．下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＝0 B ．∃x ∈R ，－x ＋1≥0 C ．∀x ∈N *，log 2x>0D ．∃x ∈R ，cosx<2x －x 2－3 答案 B解析 ∵x ＝－1时，－x ＋1＝0，故选B.5．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2>3B．对有些x∈R，使x2>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x∈R，使x2>3答案 C6．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是()①每一个二次函数的图象都开口向上②存在一条直线与两个相交平面垂直③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立A．0 B．1C．2 D．3答案 A7．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.8．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，使x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy答案 A9．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±2为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零________；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3________．答案(1)∀x∈N，x2>0；(2) ∃x，y∈Z，使2x＋4y＝311．用量词符号“∀”“∃”表示以下命题．(1)有一个向量a，a的方向不能确定．(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．解析(1)∃a∈{向量}，使a的方向不能确定．(2)∃f(x)∈{函数}，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∀a，b，c，∈R，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．12．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．解析∵(x－a)⊙(x＋a)<1∴(x －a)[1－(x ＋a)]<1 ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立．∴Δ<0即1－4(－a 2＋a ＋1)<0解得－12<a<32，∴ 实数a 的取值范围是(－12，32)．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)a>0且a ≠1，则对任意x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tanx 1<tanx 2； (3)∃T ∈R ，使得|sin(x ＋T)|＝|sinx|； (4)∃x 0∈R ，使得x 02＋1<0.答案 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． 解析 (1)∵a x >0(a>0且a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期． ∴命题(3)为真命题． (4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”要点1p且q：用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∧q.要点2p或q：用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∨q.要点3“且”“或”的真值表p∧qp∨q可简记为：一真即真，同假才假．1．“且”、“或”、分别对应集合中的哪些运算？答：交、并2．对于命题“x2－1＝0的解为x＝±1”，很多人理解为它是由命题p：“x2－1＝0的解是x＝1”与命题q：“x2－1＝0的解是x＝－1”用“或”连结成的新命题p∨q，这样理解正确吗？答：不正确，按此方法p和q都是假命题，∴p∨q是假命题，而原命题应是真命题，导致矛盾．故这样理解是错误的，其原因是原命题是一个整体，它只是一个简单命题，不是p∨q.本题中p∨q应为：“x2－1＝0的解是x＝1”或“x2－1＝0的解是x＝－1”．题型一含“且”、“或”命题的写法及真假的判定例1分别写出由下列各组命题的构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题，并判断真假．(1)p：2是无理数，q：2大于1(2)p：6<6，q：6＝6(3)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分(4)p：奥巴马是白人，q：奥巴马是联合国秘书长解析(1)p∧q：2是无理数且大于1，真命题p∨q：2是无理数或大于1，真命题(2)p∧q：6<6且6＝6，假命题p∨q：6≤6，真命题(3)p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分，假命题p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分，真命题(4)p∧p：奥巴马是白人且是联合国秘书长，假命题p∨q：奥巴马是白人或是联合国秘书长，假命题探究1利用“且”、“或”连结两个简单命题p、q，即可组成新命题“p∧q”或“p∨q”，其真假的判定依据真值表．思考题1分别指出下列命题构成的“p或q”“p且q”形式命题的真假．①p：x2≥0；q：3>5；②p：4是27的约数；q：1是x2－3x＋2＝0的根；③p：x2－x＋1≥0；q：|x|－b<0(b>0)的解集是{x|－b<x<b}．解析①因p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假．②因p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假．③因p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真．例2指出下列命题的形式及真假．(1)24是8和6的倍数；(2)2≤3；(3)1既不是质数也不是合数；(4)斜三角形的内角是锐角或是钝角．解析(1)“p∧q”形式．其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．真命题(2)是“p∨q”形式，其中p：2<3，q：2＝3.真命题(3)是“p∧q”形式，其中p：1不是质数，q：1不是合数．真命题(4)是“p∨q”形式，其中p：斜三角形的内角是锐角．q：斜三角形内角是钝角．假命题探究2判断含有“且”“或”的命题的真假的方法步骤为：(1)分析命题的结构，找出组成它的命题p和q；(2)利用数学知识，判断命题p和q的真假；(3)利用真值表判定该命题的真假．思考题2写出下面命题的形式并判断真假．(1)a2－a＋1≥0，(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解析(1)p∨q：p：a2－a＋1>0，q：a2－a＋1＝0，真命题．(2)p∨q：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集．因为命题q是真命题，所以命题p∨q是假命题．(3)p∨q：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等．因为命题p、q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．题型三利用命题的真假求参数范围例3命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．思路分析解答本题可先求p ，q 中的a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出适合条件的a 的范围．解析 设g(x)＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2. 函数f(x)＝－(5－2a)x 是减函数． 则有5－2a>1，即a<2. 所以命题q ：a<2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧－2<a<2a ≥2，此不等式组无解，(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a<2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a|a ≤－2}．探究3 (1)利用命题的真假求参数，实际就是已知命题p ∧q 真，p ∨q 真等不同的条件，求命题中涉及的参数的范围．(2)分清p ∧q ，p ∨q 的不同情况，p ∧q 为真，则p 真，q 也真；若p ∨q 为真，则p 、q 中至少有一个为真，若p ∧q 为假，则p 、q 中至少有一个为假．思考题3 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，命题q ：不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0对任意的实数x 恒成立．若“p ∨q ”为假，求实数m 的取值范围．解析 p ：∵x 2＋mx ＋1＝0有两不等根∴Δ>0即：m 2－4>0，∴m<－2或m>2 设A ＝{m|m<－2或m>2}q ：∵mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0恒成立．∴①若m ＝0，－2x ＋1<0不恒成立．②若m ≠0，则⎩⎨⎧m<0Δ<0⇒x<－1，综上m<－1.记B ＝{m|m<－1}．∵p ∨q 为假，∴p 假q 假∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2m ≥－1，∴－1≤m ≤2.1．真值表是根据简单命题的真假来判断p∧q，p∨q型命题真假的依据．2．利用真值表与电路联系，加强对真值表的理解．3．给出一个复合命题能说出构成它的简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”，能判断其真假，并能利用真值表判断复合命题的真假. 1.命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是________．答案p∧q解析△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b至少有一个不为0 D．a、b不都是0答案 A解析当a＝0时不合题意，b＝0也不合题意，∴a≠0且b≠0.3．设有2011个命题p1，p2，…，p2011，满足：若命题p i为真命题，则命题p i＋4为真命题；已知p1∧p4为假命题，p3∨p4为真命题，则p2011是________命题．答案真解析2011除以4余3，∴p2011与p3真假相同，由已知p1，p4均为假命题，再由p3∨p4为真命题，知p3为真命题．4．若p：∅{∅}，q：∅∈{∅}，写出由其构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．分析写出“p∨q”“p∧q”形式的新命题，就是把命题p、q用联结词“或”“且”联结起来；要判断“p∨q”“p∧q”的真假，关键是看p、q的真假，然后利用真值表判断“p∨q”“p∧q”的真假．解析p∨q：∅{∅}或∅∈{∅}；因为∅∈{∅}为真命题，所以“p∨q”为真．p∧q：∅{∅}且∅∈{∅}；因为p、q都为真命题，所以“p∧q”为真．课时作业(三)1．对命题p ：A ∩Ø＝Ø，命题q ：A ∪Ø＝A ，下列判断正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假C ．p 且q 为真；p 或q 为假D ．p 且q 为真；p 或q 为真 答案 D解析 由题意知，p 真，q 也真．故p 且q 为真，p 或q 为真． 2．下列为假命题的是( ) A ．3是7或9的约数B ．两向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．如果x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0 答案 C解析 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C ，其一为假必为假．A 、B 、D 皆真．3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”；其中假命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 命题①②③都正确．4．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q ”为假 B ．“p ∨q ”为真 C ．“p ∧q ”为真 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，故选B. 5．如果命题p ∨q 为真命题，“p ∧q ”为假命题，那么( ) A ．命题p ，q 都是真命题 B ．命题p ，q 都是假命题C ．命题p ，q 只有一个是真命题D ．命题p ，q 至少有一个是真命题 答案 C解析 “p ∨q ”为真，则至少p 、q 有一真，p ∧q 为假，则至少p 、q 有一假，∴p 、q 一真一假，故选C.6．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1 答案 A解析 ∵x 2－a ≥0在x ∈[1，2]上恒成立， ∴a ≤x min 2，∴p ：a ≤1；由Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，∴q ：a ≥1或a ≤－2.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，∴a ＝1或a ≤－2，故选A.7．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1) 答案 C解析 点p(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x2，可验证各选项中，只有C 成立．8．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．(1)x ∈(A ∪B)，则x ∈A________x ∈B ；(2)x ∈(A ∩B)，则x ∈A________x ∈B ； 答案 ∨；∧9．命题p ：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q ：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是________，假命题是________．答案 p ∨q ，p ∧q 解析 由题意知，p 真q 假．10．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“（x －1）2＋4≥2”是________的形式； (3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式 . 答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q11．若命题p ：a ∈{a ，b}，q ：{a}⊆{a ，b}，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________．答案 ①③解析 因为命题p ：a ∈{a ，b} 是真命题，命题q ：{a}⊆{a ，b}是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．12．已知命题p ：1∈{x|x 2<a}，q ：2∈{x|x 2<a} (1)当a 为何值时，“p 或q ”为真命题； (2)当a 为何值时，“p 且q ”为真命题 .解析 当a>1时，1∈{x|x 2<a}成立，命题p 为真； 当a ≤1时，p 为假；当a>4时，2∈{x|x 2<a}成立，q 为真； 当a ≤4时，q 为假． ∴(1)当a>1时，p 或q 为真；(2)当a>4时，p 且q 为真．13．命题p ：函数g(x)＝lg(x 2＋2ax ＋4)的值域为R . 命题q ：函数f(x)＝－(5－2a)x 是增函数． 若p 或q 为假，求实数a 的取值范围． 解析 ∵p 或q 为假，∴p 假q 假 p 为假，则4a 2－4×4<0，∴a 2<4 即－2<a<2；q 为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2<a<2. ∴实数a 的取值范围(－2，2)．1．2.2“非”(否定)要点1对一个命题p否定，就得到一个新命题綈p，读作“非p”或“p的否定”．要点2真值表：p与綈p真假性相反，一个为真，另一个必为假．要点3存在性命题的否定．存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)，即否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质，即存在性命题的否定是全称命题．要点4全称命题的否定．全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是綈q，∃x∈A，綈q(x)，即否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，即全称命题的否定是存在性命题．1．“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0或x≠1”吗？答：不是，应是“x≠0且x≠1”．2．“x，y全为0”的否定是“x，y全不为0”吗？答：不是，应是“x，y不全为0”．题型一命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)3是9的约数或18的约数；(2)菱形的对角线相等且互相垂直；(3)方程x2＋x－1＝0有两实根符号相同或绝对值相等；(4)a>0或b≤0.解析(1)命题的否定是：3不是9的约数，也不是18的约数；(2)命题的否定是：菱形的对角线不相等或不互相垂直；(3)方程x2＋x －1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等；(4)a≤0且b>0.探究1“p∨q”命题的否定为“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”命题的否定为“(綈p)∨(綈q)”．思考题1写出下列命题的否定．(1)a2＋b2<0或a2＋b2≥0；(2)集合中的元素是确定的且是无序的；(3)8是12的约数或9是质数；(4)∅＝{0}且∅⊆∅.解析(1)a2＋b2≥0且a2＋b2<0；(2)集合中的元素是不确定的或是有序的；(3)8不是12的约数且9不是质数；(4)∅≠{0}或∅⃘∅.题型二全称命题的否定例2(1)写出下列全称命题的否定．p：∀x>1，log2x>0.(2)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0(3)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≤1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1。
高中数学选修2-1 1.3全称量词与存在量词
需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.
练习：
1.指出下列命题使用了那种量词，并用符号表示出来
①对任意正实数 a, a2 a 2 0 ；a 0, a2 a 2 0 ②对某个大于10的正整数 n,( 2)n 1024 ；
C. x R,lg x 1 D. x R, tan x 2
4.已知a
0 ，函数
f
(x)
ax2
bx
c
.若
x 0
满足关于x
的方程2ax b 0，则下列选项中为假命题的是(C )
A. x R,
f
(x)
f
(x ) 0
B. x R, f (x) f (x ) 0
C. x R,
f
(x)
f
需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题“x∈M, p(x) ”是假命题 的方法
只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 不成立即可（举反例）
总 结：
判断特称命题“x0∈M, p(x0) ”是真命题 的方法
只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即 可 (举例说明).
常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为：
x0 M，p(x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
全称命题、特称命题的表述方法：
命题 全称命题 x M , p(x) 特称命题 x0 M , p(x)
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
x M，p(x),
3.1全称量词与全称命题-北师大版选修2-1教案
3.1 全称量词与全称命题 - 北师大版选修2-1教案教学目标1.了解全称量词和全称命题的概念和定义；2.掌握全称量词和全称命题的基本形式；3.学会使用全称量词和全称命题判断真假；4.熟悉全称量词和全称命题在数理逻辑中的使用。
教学内容什么是全称量词？在数理逻辑中，全称量词指的是“所有……都……”的意思。
例如，“所有人都会死亡”中的“所有人”就是一个全称量词。
什么是全称命题？全称命题指的是使用全称量词的命题，其基本形式为“所有……都……”。
例如，“所有人都需要呼吸氧气才能生存”中的“所有人”和“都需要呼吸氧气才能生存”就是一个全称命题。
全称命题的真假判断对于一个全称命题，在判断其真假时，我们需要考虑的是“所有”的范围是不是合理。
如果一个全称命题的“所有”的范围没有被合理限定，那么它就可能是假的。
例如，“所有人都喜欢吃苹果”这个命题显然是不真实的，因为有些人可能对苹果过敏，或者其他原因不喜欢吃苹果。
因此，“所有人”这个全称量词没有被限定，这个命题就被证明是假的。
全称量词的否定在全称量词的使用中，我们经常需要使用到全称量词的否定。
全称量词的否定形式为“并非所有都……”，例如，“并非所有人都喜欢吃苹果”。
这个命题是真实的，因为有些人可能对苹果过敏，或者其他原因不喜欢吃苹果。
全称命题的否定全称命题的否定形式则为“并非所有……都……”，例如，“并非所有人都需要呼吸氧气才能生存”。
这个命题也是真实的，因为有些人可能因为生理结构的原因不需要呼吸氧气。
全称命题的互换在数理逻辑中，两个全称命题如果具有相同的主语和谓语，则它们可以互换。
例如，“所有人都需要呼吸氧气才能生存”和“一切需要生存的人都需要呼吸氧气”就是可以互换的两个全称命题。
教学方法本节课的教学方法主要为讲解和研讨。
在讲解这一部分内容时，老师应该通过举例的方式来引导学生理解全称量词和全称命题的概念和定义，并通过做题的方式来让学生熟悉其基本形式和判断真假的方法。
高中数学人教A版选修2-1 (1.4)全称命题与特称命题
练习：写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形; （3）∃x∈R, x²+x=x+2; （4）∀x∈R, 2x+4≥0. （5）∀x∈R, x²>0; （6）∃x∈R, x²=1; （7）∃x∈R, 是方程x²-3x+2=0的根.
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论： 全称命题 它的否定 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ∃x0∈R, x0²+1<0. (4)所有能被3整除的整数都是奇数; (5)对任意x∈Z, x²的个位数字不等于3.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
例题
例3 写出下列特称命题的否定，并判断其真假： （1）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数. （4）q：至少有一个实数x,使x³+1=0 （5）r：任意两个等边三角形都是相似的; （6）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.
些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻 辑中通常叫做存在量词。 表示： 用符号“∃”表示,
2.特称命题及表示：
定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用
符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
例如: 命题 (1)有的平行四边形是菱形;
关系(3: )在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的 取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
高二数学选修2-1四种命题的关系及全称量词与存在量词
集 合
读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”
含有存在量词的命题，叫做特称命题
2019/1/17
复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
，则x,y全为零。 y 0
2019/1/17
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
a= b 因为 a>0 ,b>0 所以
b
a < b a a b a
a b b b 0
a =b a = b
a b
所以原命题
2019/1/17
成立
练
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
2 ） 若 f ( x ) 是 周 期 函 数 ， 则 f ( x ) 是 正 弦 函 数 。
3 ） 若 f ( x ) 不 是 正 弦 函 数 ， 则 f ( x ) 不 是 周 期 函 数 。
4 ） 若 f ( x ) 不 是 周 期 函 数 ， 则 f ( x ) 不 是 正 弦 函 数 。
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?
人教A版高中数学高二选修2-1素材 对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释
对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释一.知识梳理1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀ x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定二. 命题的否定形式的分类解析与疑点诠释1. 全称命题的否定例1.写出下列全称命题的否定：（1）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。
（5）∃x∈R，x2－x+1＝0；解：（1）的否定：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；（2）的否定：存在实数x 不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y ，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
（5）的否定：∀x ∈R ，x 2－x+1≠0.说明:解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x ＞3，则x 2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.2. “若P 则q” 的形式的否定例2.写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解 ：（1）否定：存在实数0x ，虽然满足20x ＞4，但0x ≤2。
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要 点 导 学
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第一章
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问题探究 2：只要含有“存在”“任意”就是全称命题、存
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在性命题吗？ 提示：并不是所有的“存在”“任意”等词语都是量词，这 些词只有表述事物的数量范围时才是量词．例如：有些四边形存
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量词
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【解】 (1)中省略了全称量词“所有”，所以是全称命题．
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(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题． (3)中含有全称量词符号“∀”，所以是全称命题． (4)中含有表示存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．
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(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题． (6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．
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要点一 全称命题与存在性命题的判断
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判定一个语句是全称命题还是存在性命题时要注意以下三 点： (1)首先判断该语句是否是一个命题．
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(2)对命题属性进行判定时关键是看命题中含有的量词是全 称量词还是存在量词． (3)对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及 的实际意义进行判断．
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设 p(x)：2x＋1 是奇数．试用不同的表述方法写出下列命题： (1)全称命题：“∀x∈R，p(x)”； (2)存在性命题：“∃x∈R，p(x)”．
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【思路启迪】 (1)常用的全称量词有哪些？ (2)常用的存在性量词有哪些？
存在性命题 “∃x∈A，p(x)” ①存在 x∈A，使 p(x)成立 ②至少有一个 x∈A，使 p(x)成 立 ③对有些 x∈A，有 p(x)成立 ④对某个 x∈A，有 p(x)成立 ⑤有一个 x∈A，使 p(x)成立
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表述 方法
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目标解读 1.理解全称量词和存在量词． (重点) 2． 理解全称命题和存在性命题． (重 点) 3． 能判断全称命题及存在性命题的 真假．(难点)
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1.通过具体实例理解全称量 词和存在量词的含义． 2 ．理解全称命题，存在性
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命题的表述形式． 3 ．会判断全称命题和存在 性命题的真假.
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(1)设集合 S＝{四边形}，p(x)：内角和为 360° ，试用不同的 表述方法写出全称命题“对任意的 x∈S，p(x)”； (2)设 q(x)： x ＝x， 试用不同的表述方法写出存在性命题“∃
【解】 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．
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(1)∵ax>0(a>0 且 a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在 x1＝0，x2＝π，x1<x2，
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但 tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sin x|是周期函数，π 就是它的一个周期， ∴命题(3)为真命题．
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表示集合 M 的所有元素满足的性质．
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2．存在量词和存在性命题
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(1)存在量词和存在性命题的定义 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表 示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
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判断一个命题是全称命题，还是存在性命题，关键要看命题 中是含有全称量词还是存在量词． 当语句中没有明显的量词出现 时，要看语句的隐含意思．
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第一章
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第一章
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知识梳理
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1．全称量词和全称命题 (1)全称量词和全称命题的定义
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短语“所有”在陈述中表示所述事物的 全体 ，逻辑中通常 叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示．含有全称量词的命题， 叫做全称命题．
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判断下列命题是全称命题还是存在性命题： (1)等边三角形的三边相等； (2)存在实数 x，使 x －3>0；
3
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(3)有的向量方向不确定．
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实数 x，使 2x＋1 是奇数；对有些实数 x，使 2x＋1 是奇数；对某 个实数 x,2x＋1 是奇数．
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第一章
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全称命题和存在性命题都有多种不同的表达形式， 要对各种 表达形式的意义进行探究，区分其不同点．
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第 一 章
常用逻辑用语
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第一章
常用逻辑用语
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1.1
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命题与量词
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在外接圆，其中“存在”一词就不是量词．再如：过两平行线有 且只有一个平面，“有且只有”不是量词，而量词“任意”被省 略了，即“过任意两平行线有且只有一个平面”.
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命题
全称命题 “∀x∈A，p(x)” ①所有的 x∈A，p(x)成立 ②对一切 x∈A，p(x)成立 ③对每一个 x∈A，p(x)成立 ④任选一个 x∈A，p(x)成立 ⑤凡 x∈A，都有 p(x)成立
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第一章
1.1 1.1.2
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【解】 (1)全称命题：对所有的实数 x,2x＋1 是奇数；对一
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切实数 x,2x＋1 是奇数；对每一个实数 x,2x＋1 是奇数；凡是实数 x，都有 2x＋1 是奇数． (2)存在性命题：存在实数 x，使 2x＋1 是奇数；至少有一个
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(3)∃t∈R，使得|sin(x＋t)|＝|sin x|； (4)∃x0∈R，使得 x2 0＋1<0. 【思路启迪】 (1)判断一个命题是全称命题还是存在性命题 的方法是什么？ (2)判断全称命题与存在性命题真假的方法是什么？
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第一章
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第一章
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判断下列命题是全称命题还是存在性命题． (1)指数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被 5 整除；
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(3)∀x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数； (4)∃x∈{x|x∈Z}，log2x>0； (5)负数的平方是正数； (6)有的实数是无限不循环小数．
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第一章
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【思路启迪】
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(1)全称命题与存在性命题的概念分别是什
么？ (2) 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是什 么？
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第一章
1.1 1.1.2
与名师对话· 系列丛书
解：(1)含有全称量词，是全称命题，(2)(3)含有存在量词，