2019_2020学年高中数学课时分层作业11函数y=Asinωx+φ的性质含解析北师大版必修4
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课时分层作业(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像是( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称
B ．关于直线x ＝π
4对称
C ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π
3
对称
A [由于T ＝2π
ω＝π，得ω＝2，
则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
＋π3＝0，
∴该函数的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称，故选A.] 2．函数y ＝8sin ⎝
⎛⎭⎪⎫6x ＋π3取最大值时，自变量x 的取值集合是( ) A.⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬
⎫x ＝－5π6＋k π
3，k ∈Z
B.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＝π36＋k π
3，k ∈Z
C.⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭
⎬
⎫
x ＝
k π
3
，k ∈Z
D.⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＝π9＋k π
3，k ∈Z
B [∵y 的最大值为8，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π3＝1，
即6x ＋π3＝2k π＋π
2(k ∈Z )，
∴x ＝
k π
3＋π
36
(k ∈Z )，故选B.] 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，
则ω等于( )
A ．3
B ．2
C ．3
2
D ．23
C [由题意知，函数在x ＝
π
3
处取得最大值1， 所以1＝sin πω3，即ω＝3
2
，故选C.]
4．函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间可以是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2 C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π2
，3π4
D.[]0，π
A [由－π2＋2k π≤2x ≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π4＋k π≤x ≤π
4
＋k π，k ∈Z ，
故当k ＝0时的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4.]
5．将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位，所得图像所对应的函数是 ( )
A ．非奇非偶函数
B ．既奇又偶函数
C ．奇函数
D ．偶函数
C [将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位后，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π4＝sin 2x ，为奇函数，故选C.]
二、填空题
6．设函数y ＝1－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中－π2≤x ≤0，当x ＝________时，函数的最大值为
4.
－
5π12 [由－π2≤x ≤0知－2π3≤2x ＋π3≤π
3
， 当2x ＋π3＝－π2，即x ＝－5π
12
时，
y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π3
取最小值－1，
故y ＝1－3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3取最大值4.] 7．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________，最小值是________．
2 －
22 [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5
6
π. ∵当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )min ＝－2
2，
当x ＋π3＝π2，即x ＝π
6
时，f (x )max ＝ 2.]
8．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________．(填序号)
①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；
②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；
③y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0对称；
④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π
6对称．
①③ [因为4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝ 4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以①正确，易得②不正确，而
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6＝0，故⎝
⎛⎭
⎪⎫－π
6
，0是对称中心，③正确，④不正确．] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2一个周期的图像如图所示，
(1)求函数f (x )的最小正周期T 及最大值、最小值； (2)求函数f (x )的表达式、单调递增区间．
[解] (1)由题图知，函数f (x )的最小正周期为T ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋π6＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.