2011高考数学一轮复习极限-数列的极限、数学归纳法

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高考数学极限知识点总结及解题思路方法

n b n b
特别地，如果 C 是常数，那么
. lim (C
n
a
n
)
lim
n
C
lim a
n
n
Ca
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当 q 1时，无穷等比数列的各项和为 S a1 ( q 1) .
1 q
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限； ⑴当自变量 x 无限趋近于常数 x0（但不等于 x0 ）时，如果函数 f (x) 无限
整数）
6. 几个常用极限：
① lim q n 0, q 1 n
② lim a n 0(a 0)
n n!
③ lim nk 0(a 1, k 为常数）
n a n
④ lim ln n 0
n n
⑤ lim (ln n)k 0( 0, k 为常数）
n n
高考数学极限知识点总结及解题思路方法
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学
命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小
xx0
xx0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限
个情况.
⑶几个常用极限：
① lim 1 0
n x
② lim a x 0 （0＜ a ＜1）； lim a x 0 （ a ＞1）

高考数学一轮复习必备：第9293课时：第十二章极限数列的极限数学归纳法

高考数学一轮复习必备：第9293课时：第十二章极限数列的极限数学归纳法第92-93课时：第十二章极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一）数列的极限1.定义：关于无穷数列{a n }，假设存在一个常数A ，不管预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，那么称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法那么：假设lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，那么有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种差不多类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分不是关于n 的一元多项式，次数分不是p 、q ，最高次项系数分不为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- 〔|q|<1〕无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= 〔当lim n n S →∞存在时〕〔二〕数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：①验证命题关于第一个自然数0n n = 成立。

②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立.那么由①②,关于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。

数列的极限数学归纳法

数列的极限、数学归纳法一、知识要点（一）数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法则：若lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- （|q|<1）无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= （当lim n n S →∞存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。

②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。

二、例题（数学的极限）例1.（1）∞→n lim 112322+++n n n = ;（2）数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim=3,则122lim nn na a a nb →∞+++=（3）∞→n lim nn a a +-+211(a>1)= ;（4）2221321lim()111n n n n n →∞-++++++= ;（5）)2(lim 2n n n n -+∞→= ;（6）等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则nnn a a a a a a 24221lim++++++∞→ = ;例2．将无限循环小数••21.0；1.32••21化为分数.例3．已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例4．数列{a n },{b n }满足∞→n lim (2a n +b n )=1, ∞→n lim (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否存在，说明理由并求∞→n lim (a n b n )的值.例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有lim()n n n A S n→∞-=a,求r 的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =1(1,2,)n n S n S +=,求n n T ∞→lim .例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2─c n x+n )31(=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…c n , …的各项和.例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

2011年高考数学第二节数列极限.ppt

如果
＝B，C为常数，那么：
(1) (an±bn)＝ A±B；
(2) (an·bn)＝ A·B ；
(3)
(B≠0)；
(4) (C·an)＝ C·A.
[思考探究] 如果 (an＋bn)存在，那么 an与 bn也存在，对吗？提示：不对，例如an＝n＋( )n，bn＝－n，二者的极限均不存在，但 (an＋bn)存在．
(2)求bn和
，其中Sn＝b1＋b2＋…＋bn.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)依题意得rqn－1＋rqn＞rqn＋1，由题设r＞0，q＞0，故从上式可得q2－q－1＜0，解得又q＞0，故0＜q＜
∴{bn}是首项为1＋r，公比为q的等比数列，从而bn＝(1＋r)qn－1. 当q＝1时，Sn＝n(1＋r)，∴ 当0＜q＜1时，Sn＝
计算下列极限：
[思路点拨] (1)通分化简后求极限． (2)分子有理化，然后求极限． (3)先利用等比数列的前n项和公式求和，然后求极限．
[课堂笔记] (1)原式＝
(3)原式＝
求含参变量的极限时，常需对参数进行分类讨论，要注意分类的标准，分类时不重不漏，典型的题型是指数型，分类的标准是底数a的绝对值与1的大小关系，注意不要漏掉端点的讨论．
[课堂笔记] 原式＝
∵n3比n2的幂指数大， ∴a＝0. ∴原式＝ ∵n2比n的幂指数大， ∴3－4b＝0，即b＝
∴原式＝ ∴c＝ . 综上所述，a＝0，b＝，c＝ .
1.一般地，分母中n的最高次数项求极限．
2.所求极限式为n项(n→∞)的和，通常先求和化简，后求极限．
【解】 (1)由题意知1－ax＞0，
所以当0＜a＜1时，f(x)的定义域是(0，＋∞)；

2011年高考数学第二节数列极限

3．求含指数式的极限，通常要利用＝0(|q|＜1)这一结论，求解时，分子、分母同除以指数式中底数绝对值最大的一式．
4．对于无限项的和或积的极限应先把无限项转化为有限项，再求极限．
已知数列{an}满足条件a1＝1，a2＝r(r＞0)，且{anan ＋1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn＝a2n－1＋ a2n(n∈N*)． (1)求出使不等式anan＋1＋an＋1an＋2＞an＋2an＋3(n∈N*)成立的q的取值范围；
当q＞1时，Sn＝综上所述，
以选择题或填空题的形式考查数列极限的求法是高考对本节内容的常规考法，且难度较小.09年四川高考将数列极限问题同指数函数、对数函数、导数等问题相结合，出现在解答题中，是一个新的考查方向.
[考题印证] (2009·四川高考)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga(1－ax)． (1)求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性； (2)若n∈N*，求 (3)当a＝e(e为自然对数的底数)时，设h(x)＝(1－ef(x))(x2－m ＋1)．若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围及函数h(x) 的极值．
[课堂笔记] 原式＝
∵n3比n2的幂指数大， ∴a＝0. ∴原式＝ ∵n2比n的幂指数大， ∴3－4b＝0，即b＝
∴原式＝ ∴c＝ . 综上所述，a＝0，b＝，c＝ .
1.一般地，分子和分母都是关于n的多项式的极限，通常把分子、分母同除以分子、分母中n的最高次数项求极限．
2.所求极限式为n项(n→∞)的和，通常先求和化简，后求极限．
求极限 [思路点拨]
(a≠1，a＞0)．
[课堂笔记] 原式＝ (1)当0＜a＜2且a≠1时，
(2)当a＝2时原式＝ (3)当a＞2时，极限不存在．

如何利用数学归纳法证明数列极限

如何利用数学归纳法证明数列极限数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明数列的极限。

通过归纳法可以逐步推理出数列中每一个项的性质，从而得到整个数列的性质。

本文将介绍如何利用数学归纳法来证明数列的极限。

首先，我们需要明确数列极限的定义。

对于一个数列 {an}，如果存在一个数 L，使得当 n 足够大时，数列中的任意项与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε，即 |an - L| < ε，那么我们称 L 是数列 {an} 的极限，记作 lim(an) = L。

这意味着当 n 足够大时，数列中的项将无限接近于 L。

利用数学归纳法证明数列的极限可以分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。

第一步是基础步骤。

我们需要证明数列中的某个特定项满足极限的定义。

通常我们选择数列的第一个项作为基础步骤。

假设我们要证明lim(an) = L，那么我们需要证明当 n = 1 时，an 与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε。

这通常可以通过直接计算或者代入数值来得到。

第二步是归纳假设。

我们假设当 n = k 时，数列中的第 k 项与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε，即 |ak - L| < ε。

这个假设是我们证明剩下项与 L 的差的绝对值同样小的前提条件。

第三步是归纳推理。

我们需要证明当 n = k+1 时，数列中的第 k+1项与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε。

根据归纳假设，我们知道|ak - L| < ε。

现在，我们需要利用这个已知条件来推导出 |ak+1 - L| < ε。

在归纳推理的过程中，我们可以利用数列的递推关系式，数学运算和极限的性质等来推导不等式。

具体的推导方法要根据数列的特点和题目给出的条件来确定。

综上所述，通过数学归纳法，我们可以逐步推理出数列中的每一个项与极限的关系，并最终证明数列的极限存在。

这种证明方法在数学的各个领域都有广泛应用，尤其是在数学分析和数学推理中。

数列极限数学归纳法知识点总结

数列极限数学归纳法知识点总结数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列有序的数字组成。

数列极限是数列中最重要的概念之一，描述了数列中随着项数增加而逐渐趋近于某个值的性质。

在数列的研究中，数学归纳法也是一种经常被使用的证明方法。

本文将对数列极限和数学归纳法的知识点进行总结。

一、数列极限的定义和性质1. 定义：给定一个数列{an}，当其中的项数n趋近于无穷大时，如果数列的项an也趋近于一个确定的值A，则称数列{an}收敛于A，记作lim(an)=A。

如果数列{an}不存在极限，则称数列{an}发散。

2. 性质：a. 数列极限唯一性：数列的极限值是唯一的，也就是说，如果数列{an}的极限lim(an)存在，则其极限值A是唯一确定的。

b. 夹逼准则：如果数列{an}的每一项都满足a<=an<=b，且lim(a)=lim(b)=L，那么数列{an}的极限lim(an)=L。

c. 有限项数列的极限：一个有限项的数列必定收敛，并且其极限等于最后一项的值。

二、常用的数列极限类型1. 等差数列的极限：对于等差数列{an}，它的公差为d，那么当n趋近于无穷大时，数列{an}的极限为lim(an)=a1，即等差数列的极限等于首项的值。

2. 等比数列的极限：对于等比数列{an}，它的公比为q，那么当|q|<1时，数列{an}的极限为lim(an)=0；当|q|>1时，数列{an}的极限不存在；当q=-1时，数列{an}的极限在-1和1之间取值；当q=1时，数列{an}的极限为1。

3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列是指以0和1开始，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的极限是黄金分割比：lim(an/an-1)=1.618...。

三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明与自然数有关的命题。

它由归纳基和归纳步两部分组成，具体步骤如下：1. 归纳基：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。

高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤

高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤高考数学一轮总复习：数列与数列极限的数学归纳法证明步骤数列与数列极限是高中数学中的重要概念，在高考数学考试中也是常见的考点。

本文将介绍数学归纳法证明数列与数列极限的步骤及其应用。

在解题过程中，我们将以具体的例子进行说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学方法。

一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种基于数学归纳思想的证明方法，常用于证明一般性陈述在自然数集上成立。

使用数学归纳法证明一个命题通常分为三个步骤：1. 证明基本情况：首先证明当 n 取一个特定的值时，命题成立。

这一步又称为“递归起点”。

2. 归纳假设：假设当 n=k 时，命题成立，即假设命题对于某个特定的自然数 k 成立。

3. 归纳步骤：通过归纳假设证明当 n=k+1 时，命题也成立。

这一步又称为“递归关系”。

二、数列定义与数列极限的概念在进行数学归纳法证明数列与数列极限之前，我们先来回顾一下数列的定义及数列极限的概念。

数列是将自然数与实数联系起来的一种函数关系。

通常用 {an} 或者 (an) 表示一个数列，其中 an 表示数列的第 n 个元素。

数列极限是指数列随着 n 趋向无穷大时的极限值。

当数列随着 n 的增大无限逼近某个实数 L 时，就称数列 {an} 的极限为 L，记作 lim an = L。

三、数学归纳法证明数列与数列极限的步骤下面我们将以一个具体的例子来说明如何使用数学归纳法证明数列与数列极限。

【例】证明数列 {an} = 2^n + 1 是递增数列。

解：首先，我们先验证 n=1 时数列成立。

当 n=1 时，a1 = 2^1 + 1 = 3。

根据数列的定义，可以得出 a1 = 3，所以当 n=1 时，数列成立。

这就是我们要证明的基本情况。

接下来，我们假设当 n=k 时数列成立，即 ak < ak+1。

这个假设就是我们的归纳假设。

现在我们来证明当 n=k+1 时数列也成立，即证明 ak+1 < ak+2。

高考一轮复习极限知识点归纳总结

高考一轮复习极限知识点归纳总结对于极限的复习是否还有所不熟，今天查字典数学网的编辑为考生们带来的极限知识点，希望给大家以帮助。

考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限.函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果①当 ( )时，成立;②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立.那么，根据①②对一切自然数时，都成立.2. 函数极限;⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， .注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.⑶几个常用极限：② (0 ( 1)4. 函数的连续性：⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点连续，那么函数在点处都连续.⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件：①函数f(x)在点处有定义;② 存在;③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值，即 .⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定：如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f(x)的不连续点.①f(x)在点处没有定义，即不存在;② 不存在;③ 存在，但 .5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且 .那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点 ( )使 .⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得 ( ).⑶夹逼定理：设当时，有，且，则必有注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.( 为最小整数)以上就是查字典数学网的编辑为各位考生带来的极限知识点，希望给各位考生带来帮助。

2011年高考数学试题分类汇编-数列、极限和数学归纳法

2011年高考数学试题分类汇编-数列、极限和数学归纳法数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15.（18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作nT ，再令,lg nn aT =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,nn n ba a +=求数列{}nb 的前n 项和nS .（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t Tn n n⋅⋅⋅⋅=++ ②q =________；12||||||n a aa +++=________.【解析】112a =，442a q =-⇒=-，{||}na 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a aa -+++=-。

20.若数列nA ：1a ，2a ，…，(2)na n ≥满足1||1k k aa +-=（k =1，2，…，1n -），则称nA 为E 数列。

记12()nnS A a aa =+++.（1）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；（2）若112a=，2000n =，证明：E 数列nA 是递增数列的充要条件是2011na=；（3）对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列nA ，使得()0nS A =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列nA ；如果不存在，说明理由。

高考数学中的数学归纳法和数列极限

高考数学中的数学归纳法和数列极限高考数学是考生们最关注的一门考试科目，其中数学归纳法和数列极限是高考数学中不可忽视的重点内容。

本文将从数学归纳法的基本原理及应用，数列极限的概念、性质和计算方法等多个方面进行分析和探讨，以期对广大高中生的数学学习有所帮助。

一、数学归纳法数学归纳法是高中数学中重要的证明方法。

归纳法的基本思想是证明当$x$满足某种条件时，命题$P(x)$成立，再证明当$x$不满足该条件时，命题$P(x)$依然成立。

下面介绍具体的数学归纳法思想及其应用。

1.1 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种用自然数的递增法证明表达式的方法。

它的基本思想是先证明当$n=1$时，命题成立，再证明当$n=k$时命题成立，则可以证明当$n=k+1$时也成立。

用公式表示为：如果$P(1)$成立且对于任意正整数$k$，只要$P(k)$成立，就有$P(k+1)$成立，那么对于所有正整数，$P(n)$都成立。

1.2 数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于高中数学中的数列、函数、不等式等问题的证明中，也是高考数学中的常见命题证明方法。

常见的应用如下：(1)证明数列性质：证明数列$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_1$满足某些条件，则$a_n$满足某些性质。

(2)证明不等式：证明某个不等式在正整数范围内成立。

(3)证明等式：证明某个等式在正整数范围内成立。

二、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念之一。

它是计算机科学、物理学、工程学等学科中的基础知识。

下面将从基本概念、性质和计算方法三个方面对数列极限进行分析和探讨。

2.1 基本概念数列极限是数学分析中用来描述数列等无限序列的一种重要概念。

常用的数列有等差数列、等比数列、Fibonacci数列等。

一个数列的极限是指随着$n$无限增大，数列的值逐渐接近某个值，称为这个数列的极限。

用数学符号表示为：$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a$，表示当$n$趋近于无穷大时，数列$a_n$的极限为$a$。

高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法

⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。

数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。

列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。

解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。

图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。

⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。

递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。

②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。

例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。

由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。

由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。

由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。

名师手拉手高三一轮复习---数列的极限讲义

高三第一轮复习数学---数列的极限一、教学目标：理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。

二、教学重点：1、按定义直观地感受一个数列是否有极限以及极限常数是什么，这是本节重点之一。

2、掌握三个常用极限是本节重点之二。

3、利用定义证明一个数列的极限，需要写成ε—N 语言的形式，这是本节难点。

三、教学过程：（一）主要知识： 1、数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim∞→n a n =a 。

对前任何有限项情况无关。

*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。

2、应该牢固掌握的常用极限①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01lim=∞→nn ③设q ∈(-1，1)，则lim∞→n q n =0；;1lim ,1==∞→nn q q ,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。

若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qa s s n n -==∞→1lim 13、数列极限的运算法则如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B(3)lim∞→n n n b a =BA(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….4、一个重要的极限：ennn=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用数列极限的运算法则解题。

数列的极限知识点总结

数列的极限知识点总结嘿，朋友们！今天咱来唠唠数列的极限这个神奇的玩意儿。

你说数列的极限像不像一场追逐游戏呀？数列就像是一群调皮的小孩子在往前跑，而极限呢，就是他们一直想要跑到的那个目标。

有时候他们离得很近，有时候又跑偏了，但最终总是会慢慢靠近那个目标。

咱先说说数列吧。

那一个个数字排排站，就好像是一支有秩序的队伍。

它们按照一定的规律前进着，有时候是等差，有时候是等比，各有各的玩法。

就好比等差数列，那相邻两项的差值总是那么固定，就像士兵迈着整齐的步伐。

然后呢，极限就像是远方的一座灯塔。

不管这些数字怎么蹦跶，它们的大方向总是朝着极限去的。

比如说，一个数列慢慢地越来越接近某个数，那个数就是它的极限啦。

这就好像是一群孩子玩耍，不管怎么疯跑，最终还是要回家一样。

咱举个例子哈，就说那个最简单的 1/n 这个数列。

随着 n 越来越大，1/n 是不是越来越小呀？最后就无限接近于 0 啦，那 0 就是它的极限呀！你说神奇不神奇？再想想，如果数列没有极限会咋样呢？那就像是一群没头苍蝇乱撞，没有个目标，多迷茫呀！但有了极限，就有了方向，有了盼头。

数列的极限还有很多好玩的性质呢。

比如说，收敛数列的极限是唯一的。

这就好比每个人最终只能有一个家一样，不能一会儿想去这，一会儿想去那。

而且啊，极限还和很多其他的数学概念有关系呢。

就像朋友之间相互影响一样，它们一起构成了数学这个丰富多彩的世界。

那我们学习数列的极限有啥用呢？哎呀，用处可大啦！在很多实际问题中都能看到它的影子呀。

比如说，计算一些无穷小量的时候，不就得靠极限嘛。

还有在研究一些物理现象、经济模型的时候，也都少不了它呢。

总之，数列的极限就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，闪闪发光，魅力无穷。

咱可得好好琢磨琢磨，把它给弄明白咯，不然不就亏大了嘛！你说是不是呀？所以呀，大家加油，和数列的极限来一场美妙的邂逅吧！。

高考数学极限关键知识点总结

高考数学极限关键知识点总结高考数学极限xx知识点汇总考试内容：教学归纳法、数学归纳法的应用、数列极限。

功能极限。

根极限的四种运算。

函数的连续性。

考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

(2)理解数列极限和函数极限的概念。

(3)掌握极限的四种算法；求一些数列和函数的极限。

(4)理解函数连续性的含义，理解闭区间内X最大X最小的连续函数的性质。

13.极限知识要点1.第一数学归纳法：证明取第一个结论时结论是正确的；假设()时，结论正确，证明时，结论有效。

The第二数学归纳法：让是一个与正整数有关的命题，如果(1)当()，成立；(2)假设当()，成立，当推出，也成立。

那么，根据，所有自然数都是真的。

2.(1)序列极限的表达方法：当，Several共同限制：(常数)对于任何实常数，当，当，如果a=1，那么；如果是，它就不存在。

当不存在时。

数列极限的四个算术规则：顺序限制的应用：求无穷序列项的和，尤其是无穷几何级数项的和。

(循环小数转换为分数的方法同上)注意：不是每个无穷序列都有极限。

3.功能限制；(1)当自变量无限趋近于常数(但不等于)时，如果函数无限趋近于常数，也就是说，当趋近于时，函数的极限为。

写下或何时。

注：什么时候，有没有限制与有没有定义到位无关，因为不是必须的。

(当然，是否有定义到位也与是否有限制到位无关。

当有定义时，它是函数存在的一个不充分和不必要的条件。

)如果在没有定义，但它存在，因为左右极限在等于零。

函数极限的Four算法；4.功能的连续性：如果函数f(x)和g(x)在某一点是连续的，那么函数在每一点都是连续的。

函数f(x)在一点上的The连续性必须满足三个条件：函数f(x)在该点定义；存在；函数f(x)在某一点的极限值等于该点的函数值，即。

函数f(x)在一点上的不连续性(不连续性)的Determination:如果函数f(x)在该点有以下三种情况之一，则称为函数f(x)的间断点。