数列极限数学归纳法综合能力训练

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【新人教】高考数学总复习专题训练数列、极限和数学归纳法

数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S23tan(1)tan tan(3)tan3(1)tan1tan1n k k k n n +=+-+-=-=-∑安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15（7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+==+= ，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A. 北京理11.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++= ________.【解析】112a =，442a q =-⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=- 。

数列、极限、数学归纳法

数列、极限、数学归纳法考试内容数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式．数列的极限及其四则运算．数学归纳法及其应用．考试要求（1）理解数列的有关概念．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（3）理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（4）了解数列极限的意义．掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限．（5）了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题．复习建议本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分 1．数列的知识要点：（1）理解数列的定义、表示法、数列的分类．理解数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…．数列的图象是由一群孤立的点构成的．（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本章内容一个重点，要认真掌握之．即a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n ．特别要注意的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．2．等差数列的知识要点：（1）掌握等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n ∈N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列．还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断．（2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合．（3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b ．（4）等差数列的前n 项和公式S n ＝21n a a +·n －na 1＋2)1(-n n d ，可以整理成 S n ＝2d n 2＋n da )2(1-．当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式．3．等比数列的知识要点：（可类比等差数列学习）（1）掌握等比数列定义nn a a 1+＝q （常数）（n ∈N ），同样是证明一个数列是等比数列的依据．也可由a n ·a n ＋2＝21+n a 来判断．（2）等比数列的通项公式为a n ＝a 1·q n －1．（3）对于G 是a 、b 的等差中项，则G 2＝ab ，G ＝±ab ．（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q ＝1与q ≠1两类．当q ＝1时，S n ＝na 1．当q ≠1时，S n ＝qq a n --⋅1)1(1，S n ＝q q a a n -⋅-11．（5）对于数列求和．主要掌握以下几种方法：① 直接运用公式求和法；② 折项分组求和法；③ 倒序相加求和法；④ 错项相减求和法；⑤ 折项相消求和法． 4．数列极限知识要点：（1）应掌握数列极限的定义：对于数列｛a n ｝，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正数，都能在数列找到一项a n ，使得n ＞N 时，|a n －A |＜恒成立，则∞→n lim a n ＝A ，会用此定义证明简单数列的极限．（2）应掌握极限的运算法则．如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim (a n ±b n )＝A ±B ；∞→n lim (a n b n )＝A ·B ；∞→n limnnb a ＝B A （B ≠0）．（3）当|q |＜1时，无穷等比数列多项和S ＝∞→n lim S n ＝qa -11． 5．数学归纳法知识要点：应理解数学归纳法是一种递推方法，它称两个步骤进行．第一步是递推的基础，第二步是递推的根据．二步缺一不可．关键是第二步推证必须合理使用归纳假设．应重点掌握猜证法，猜想是用不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法给予证明，形成一个完整的创造过程．数列极限数学归纳法综合练习题一、选择题（1）设2a ＝3，2b ＝6，2c＝12，则数列a ，b ，c （）A ．是等差数列而非等比数列B ．是等比数列而非等差数列C ．既是等差数列又等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列（2）等比数列{a n }，首项a 1＝1，公比q ≠1．若其中a 1，a 2，a 3依次是某等差数列的第1，2，5项，则它的公比q ＝（） A ．2 B ．3 C ．－3 D ．－2 （3）{a n }是等差数列，则下列关系式中正确的是（）A ．a 3·a 6≥a 4·a 5B ．a 3·a 6＞a 4·a 5C ．a 3·a 6≤a 4·a 5D ．a 3·a 6＜a 4·a 5（4）一个等比数列共有3n 项，公比q ≠1，它的前n 项的和记为S ，第二个n 项的和记为P ，第三个n 项的和记为Q ，则S ，P ，Q 间的关系是（）A ．P ＝SQB ．2P ＝S ＋QC ．P 2＝SQ D ．P ＝S ＋Q（5）在3和9之间插入两个数a ，b ，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则|a ＋b |的最小值是（）A ．445B ．6C ．2D ．0（6）∞→n limM a a n n=+-+111，当a ＞1时，M 的值是P ，当0＜a ＜1时，M 的值为Q ，则P ＋Q 的值是（）3A ．1＋a 1B ．1－a1 C ．1＋a D ．1－a（7）∞→n lim )11)(1(2)12(4321+---++-+-nn nn 的值是（）A ．0B ．1C ．－1D ．不存在（8）若f (n )＝1＋21＋31＋41＋…＋n1(n ∈N )，则代数式f (2n ＋1)－f (2n)（在不合并的情况下）共有 A ．1项 B ．n 项 C ．2n项 D ．2n －1项（9）∞→n lim （1－221）（1－231）（1－241）…（1－21n ）的值是（） A ．0B ．21C ．1D ．非以上答案（10）等比数列{a n }，a n ＞0，若a 3·a 9＝2，则a 1·a 2·a 3·…·a 11的值是（） A ．322 B ．32C ．64D ．非以上答案（11）若数列{a n }满足，a 1＝5，a n ＋1＝2221n n n aa a ++（n ∈N ），则其前10项的和S 10的值是（）A ．50B ．100C ．150D ．120（12）极限∞→n lim nn n )2()2(8421)2(11-+-++-+---+ 的值是（）A ．－6B ．6C ．3D ．－3二、填空题（13）等比数列{a n }，公比q ＞1，a 1＝b (b ≠0)，则∞→n limnna a a a a a a a +++++++876321＝____________．（14）等差数列{a n }，公差d ＞0，首项a 1＞0，若S ＝∑=+ni i i aa 111，则∞→n lim S ＝____________．（15）平面内有n （n ∈N ）条直线，它们两两相交但无三条直线交于一点，若其中k 条（1≤k ＜n ）直线将平面分为f (k )个区域，则f (k ＋1)－f (k )＝__________________．（16）若f (n )＝1＋2＋3＋…＋n （n ∈N ），则∞→n lim 22)]([)(n f n f ＝__________________．三、解答题（17）一个等差数列和一个等比数列，它们第一项之和等于－3，第三项之和等于1，第5项之和等于5，求等差数列的公差和等比数列的公比．（18）数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·2n＋b (n ∈N )，其中a 、b 是常数且a ≠0. （Ⅰ）若{a n }是等比数列，求a 、b 应满足的条件；（Ⅱ）当{a n }是等比数列时，求∞→n lim1+n nS S 的值．（19）数列{a n }的前n 项的和记为A n ，数列{b n }是首项b 1＝9，公差d ＝－2的等差数列，其前n 项的和记为B n ，且有b n ＝4+n A n. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）比较A n 与B n 的大小并说明理由．（20）等比数列{a n }，a n ＞0（n ∈N ），它的前n 项的和S n ＝80，a 1，a 2…，a n 中，最大的一项是54，且前2n 项的和S 2n ＝6 560，（Ⅰ）求数列的通项a n ＝f (n )；（Ⅱ）求∞→n limnnS a ．（21）{a n }是等差数列且它的公差d ≠0，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，（Ⅰ）求证点列：P 1（1，S 1），P 2（2，22S ），P 3（3，33S ）…，P n (n ，nS n )都在直线l 1上；（Ⅱ）过点Q 1（1，a 1），Q 2 (2，a 2)作直线l 2，l 2与l 1的夹角为θ，求证ta n θ≤42. （22）已知f (n )＝1＋21＋31＋…＋n1，（Ⅰ）若n ，m ∈N 且n ＞m ，求证f (n )－f (m )≥n mn -; （Ⅱ）用数学归纳法证明，当n ∈N 时，f (2n)＞2n ．5数列极限数学归纳法综合练习题答案一、（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C （9）B （10）A （11）A （12）D 二、（13）1 （14）da 11（15）k ＋1 （16）2 三、（17）设等差数列的首项为a ，公差为d ；等比数列的首项为b 1，公比为q∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+5412341121111q b d a q b d a b a∵12)3(5=-+ ∴ ①＋③－2×②得b 1(q 4－2q 2＋1)=0，即b 1(q 2－1)2=0∵ b 1≠0，则q 2=1 ∴ q ±1将q =±1代入方程②得a 1＋2d ＋b 1=1 ④ ④－①得2d =4，则d =2 （18）（Ⅰ）a 1=S 1=2a ＋b∵ S n =a ·2n ＋b S n －1=a · 2n －1＋b (n ≥2) a n =S n －S n －1=a ·2n －1∵ {a n }是等比数列，首项为a ，公比为2∴ a 1=a 21－1=2a ＋b即 a ＋b =0⇒b =－a ≠0（Ⅱ）∵ S n =a · 2n －a ，S n ＋1=a · 2n ＋1－a∴ 1212lim )12()12(lim lim 111--=--=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n a a S S 21212211lim =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→n nn（19）（Ⅰ）b n =b 1＋(n －1)d =9＋(n －1)(－2) ∴ b n =－2n ＋11 ∵ 4+=n A b nn ，则A n =(n ＋4)b n∴ A n =(n ＋4)(－2n ＋11)=－2n 2＋3n ＋44. ∵ a 1=A 1=－2×1＋3×1＋44=45 当n ≥2时，a n =A n －A n －1=(－2n 2＋3n ＋44)－[－2(n －1)2＋3(n －1)＋44] =－4n ＋5 ∴ ⎩⎨⎧≥+-==)2(54)1(45时时n n n a n①② ③（Ⅱ）B 1=b 1=9，a 1=45，a 1＞b 1 B n =b 1＋b 2＋…＋b n =n n n n 102)1129(2+-=+-A n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=45＋(－4)×2＋5＋(－4)×3＋5＋…＋(－4)n ＋5 =45＋(－4)(2＋3＋4＋…＋n )＋5(n －1)=－2n 2＋3n ＋44A n －B n =－2n 2＋3n ＋44－(－n 2＋10n )=－n 2－7n ＋44 =－(n －4)(n ＋11) ∵ n ∈N ，n +11＞0∴ n ＜4时，A n －B n ＞0，A n ＞B n n =4时，A n －B n =0，A n =B n n ＞4时，A n －B n ＜0，A n ＜B n （20）（Ⅰ）∵ a n ＞0，∴ a 1＞0且q ＞0，当0＜q ＜1时，数列是递减数列，a 1，a 2，a 3，…，a n 中，a 1=54最大.∵ S 2n =a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n +1＋a n +2＋…＋a 2n=S n ＋q n S n =80(1＋q n)=6560∴ 1＋q n =82，q n=81∴ q ＞1与0＜q ＜1矛盾 ∴ q ≥1当q =1时，na 1=82，2na 1=160≠6560 ∴ q ≠1∴ q ＞1，a 1，a 2，…，a n 中最大项a n∴ a n =a 1q n －1=54.∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=65601801211211q q a a S q q a a S nn nn ②÷①得，1＋q n=82，q n=81 ∴ a 1q n=81a 1⇒54q =81a 1 ③∴ 801548011111=--⇒=-⋅--qq a q q q a a n ④③与④联立解得：q =3，a 1=2∴ a n =2 · 3n －1（Ⅱ）S n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=1331)31(2-=--n n ∴ 321332lim lim 1=-⨯=-∞→∞→n n n nn n S a① ②7（21）（Ⅰ）S 1=a 1，S 2=a 1＋a 2=2a 1＋d ∴ P 1(1，a 1)，P 2⎪⎭⎫⎝⎛+222,21d a ,021221121≠=--+=d a d a k p p则l 1的方程为y －a 1=)1(2-x d任取3≤k ≤n ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛kS k P k k ,∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=d k k ka S k 2)1(1，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+d k a k P k 21,1 代入l 1的方程，左d k a d k a 212111-=--+= 右=-=-=d k k d 21)1(2左 ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛k S k P k k ,（3≤k ≤n ）在直线l 1上. ∴ 点列P 1，P 2，…，P n 都在直线l 1上. （Ⅱ）设2,1211222121dk k d a a k k P P Q Q ===--== ∵ l 1与l 2的夹角是∴ d dd d d d d d d dd k k k k +=+=+=+=+-=+-=212222121tan 22222112θ∵22222=⋅≥+d dd d （等号在2=d 时成立） ∴ 42221tan =≤θ （22）（Ⅰ）f (n )－f (m ) ⎪⎭⎫⎝⎛++++-++++++=m n m 1312111131211 nm m 12111+++++=（共n －m 项）≥nm n n n n -=+++111 （等号在n =m ＋1时成立）（Ⅱ）证明：①n =1时，f (21)=1＋2321=＞21∴ n =1时，f (21) ＞21不等式成立. ②设n =k 时不等式成立，即f (2k) ＞2k ∵ 11211212131211)2(++++++++++=k kk k f ，比f (2k ) 多2k 项 ∴ 上述不等式两边加上kk k k 221221121++++++ ≥++++++++++++1121121221221121)2(k k k k kkk f项k k k k k 21112121212+++++++∴ 2121222221121)2(11+=+=+++++++k k k f k k k k k∴ 1211212131211+++++++++k k k ＞21+k 即 )2(1+k f ＞21+k∴ n =k ＋1时不等式也成立.由①②可知对任何自然数n ，f (2n)＞2n 说明：这个命题说明，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的极限是0，但其前n 项的和S n =1+n 13121+++ 都没有极限，因为n →∞时，2n→∞，n S n 2lim ∞→≥nn 2lim∞→→∞。

19[1].数列、数列的极限、数学归纳法

数列及其极限、数学归纳法综合练习【例题精选】例1、写出下列数列的通项公式a n 。

①1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……;②a a a n n 11332==-+,.分析: ①将已知数列变形成 1 + 0, 2 + 1, 3 + 0, 4 + 1, 5 + 0, 6 + 1, 7－0, ……等,则 ()()a n n N n n=++-∈112。

②用递推形式给出的数列, 可以用写出前n 项后进行归纳, 也可直接推出。

方法一: a a a a a 1213233273219==-==-=,,, a a a a 4354325532163=-==-=,,则由a a a a 1232433123123123==+⨯=+⨯=+⨯,,,, a 54123=+⨯,…归纳 ()a n N n n =+⨯∈-1231。

方法二: 由()a a a a n n n n ++=--=-1132131,得 ∴{}a n -1是公比为3的等比数列, 首项为a 112-= ∴a a n n n n -=⨯=+⨯--12312311,即例2、求下列数列的前n 项和S n 。

①()()12345621222222222-----，，，…，，…n n ; ②111211231123，，，…，…，…+++++++n. 分析: (1)∵ ()()a n n n n =--=-+2124122 ∴()S n n n =-+++++4123…()()=-++=-+41221·n n n n n②∵()a n n n n n n =++++=+=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1123212111… ∴S n n n =-+-+-++-+⎛⎝⎫⎭⎪211212131314111…=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+211121n n n 例3、①等差数列的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为。

②设{}a n 是由正数组成的等比数列, 公比q = 2, 且a a a a 12330302···…·=,那么a a a a 36930···…·的值为。

07[1]. 数列、极限、数学归纳法

第二章数列、极限、数学归纳法等差数列【例题精选】：例1 已知有穷数列：3，5，7，9，11，…，27m m N +∈()其中每一项都比它后一项小2 （1）写出这个数列的通项公式；（2）指出49m m N +∈()是否这个数列中的一项，并说明理由。

分析：题目一写出来，有的同学就认为题目错了，他们认为2721m m ++应写成才符合给出数列的变化规律，还有的同学就把 a n n N n =+∈27()作为所求的通项公式，这都是不对的。

这两种错误的一个共同点都在于没有区分有穷数列的通项和末项，数列的通项公式是其第n 项与项数n 之间的函数关系式： a f n n =()，而有穷数列的项数未必恰好是n 项，因此它的末项未必正好是该数列的第n 项。

还要注意对有穷数列通项公式中n 范围的标注不能仅是n N ∈. 解：（1）设已知有穷数列的第n 项为a a n n n ，则=+21. 且由，故21273n m n m +=+=+ ∴=+=+这个有穷数列的通项公式是…a n n m n 211233(,,,,) （2）由得214924n m n m +=+=+ 又24313m m m m m N +=+++>+∈()()()∴+∈49m m N ()不是这个有穷数列中的一项小结：数列的通项公式具有双重身份，它既是数列的第n 项，又是该数列中所有各项的一般表示，后者又蕴含着a n 与n 的函数关系。

这是认识数列问题与函数问题联系的依据。

但是应该注意，正如任何一个函数未必能用解析法表示一样，不是所有的数列都有通项公式，而且即使一个数列有通项公式，通项公式也未必唯一。

例如数列1，－1，1，－1，…的通项公式可以是 a n N n n =-∈+()(),11也可以是a n n N n =-∈cos()()1π还可以表示为 a n n n =-⎧⎨⎩11为正奇数为正偶数。

例2 求数列 123334545756⨯-⨯⨯-⨯，…,,的通项公式。

数列极限和数学归纳法练习(有-答案)

数列极限和数学归纳法练习(有-答案)数列极限和数学归纳法一、知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。

1、理解数列极限的概念：21,(1),nn n-等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞==<=nn n n q q C C n4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-nn a S Sq q数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题（1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64整除，2438(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确；（2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。

二、填空题1、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_____3_____。

2、有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V 21=+++∞→)(lim 21nn V V V 87. 3、20lim______313n n n →∞+=+134、数列的通项公式，前项和为，则=______32_______. 5、设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3 ．6、在等比数列{}na 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim nn a a a →∞+++=_16±______.7、数列{}na 的通项公式是13(2)--+=+-n n na，则)(lim 21nn a a a +++∞→ =___76____ . 8、已知数列{}na 是无穷等比数列，其前n 项和是nS ，若232aa +=，341a a +=，则lim nn S →∞的值为 163.9、设数列{}n a 满足当2na n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题：（1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是（2）（3）{}na *1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩n nS lim nn S →∞（4） .（填写你认为正确的所有命题序号）10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为nS ，则=∞→nn S lim ___12________． 11、在无穷等比数列{}na 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,412、设无穷等比数列{}na 的公比为q ，若245lim()→∞=+++nn a a a a ，则15-+13、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn C 23,12，其中n 为正整数，设nS 表示△ABC 的面积，则=∞→nn S lim ___2.5________．14、下列关于极限的计算，错误．．的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）（－n ）===；（4）已知=（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22nnnnnf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}na 为等比数列；④数列{}nb 为等差数列.其中正确结论的序号有 ① ③ ④ ．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能．．．是… ………（（D ））（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.17、若21lim 12n n r r+→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（（A ））（A ）1r ≤-或13r ≥- ；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或13r >- ；（D ）113r -≤≤- 观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .(A)；(B)(C)；(D)19、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，nS 是数列{}na 的前n 项和（ (A ））0>a 0>b 11lim 5n n nnn a ba b++→∞-=-b a +78910 ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+<(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈(A ）lim nn a →∞和lim nn S →∞都存在； (B) lim nn a →∞和lim nn S →∞都不存在。

数列、极限、数学归纳法等差、等比数列综合问题教案

数列、极限、数学归纳法——等差、等比数列综合问题教案教学目标：1. 理解等差数列和等比数列的定义及其性质。

2. 掌握数列的极限概念，并能应用于等差、等比数列。

3. 学会使用数学归纳法解决数列相关问题。

4. 能够综合运用等差、等比数列的知识解决实际问题。

教学内容：第一章：数列概念与等差数列1.1 数列的定义与表示方法1.2 等差数列的定义与性质1.3 等差数列的通项公式1.4 等差数列的前n项和公式第二章：等差数列的极限2.1 极限概念引入2.2 等差数列极限的定义2.3 等差数列极限的性质2.4 等差数列极限的应用第三章：等比数列的概念与性质3.1 等比数列的定义3.2 等比数列的性质3.3 等比数列的通项公式3.4 等比数列的前n项和公式第四章：等比数列的极限4.1 等比数列极限的定义4.2 等比数列极限的性质4.3 等比数列极限的应用4.4 无穷等比数列的极限第五章：数学归纳法与数列5.1 数学归纳法的基本概念5.2 数学归纳法证明等差数列性质5.3 数学归纳法证明等比数列性质5.4 数学归纳法解决数列综合问题教学方法：1. 采用讲授法讲解数列、极限、数学归纳法的基本概念和理论。

2. 利用案例分析法分析等差、等比数列的实际应用问题。

3. 组织小组讨论法，让学生探讨数列问题的解题策略。

4. 运用练习法巩固所学知识，提高解题能力。

教学评估：1. 课堂问答：检查学生对数列、极限、数学归纳法的基本概念理解程度。

2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生掌握知识点的情况。

3. 小组讨论报告：评估学生在探讨数列问题时的分析能力和团队协作能力。

4. 期末考试：全面测试学生对本门课程知识的掌握程度。

教学资源：1. 教材：《高等数学》、《数学分析》等。

2. 课件：制作数列、极限、数学归纳法等相关课件。

3. 练习题库：搜集各种数列、极限、数学归纳法的练习题。

4. 案例素材：搜集等差、等比数列在实际应用中的案例。

教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：4课时数列、极限、数学归纳法——等差、等比数列综合问题教案（续）第六章：等差、等比数列的图像与性质6.1 等差数列的图像特点6.2 等比数列的图像特点6.3 等差、等比数列的性质对比6.4 等差、等比数列的特殊情况分析第七章：数列的极限与无穷数列7.1 无穷数列的概念7.2 无穷数列的极限概念7.3 无穷等差数列与无穷等比数列的极限7.4 无穷数列极限的应用第八章：数学归纳法解决数列问题实例8.1 数学归纳法证明等差数列的性质8.2 数学归纳法证明等比数列的性质8.3 数学归纳法解决数列问题实例分析8.4 数学归纳法在数列研究中的应用第九章：等差、等比数列的实际应用9.1 等差数列在经济学中的应用9.2 等比数列在金融学中的应用9.3 等差、等比数列在其他领域的应用9.4 实际应用案例分析第十章：数列、极限、数学归纳法的综合练习10.1 等差、等比数列的综合练习题10.2 极限概念的综合练习题10.3 数学归纳法的综合练习题10.4 综合练习题解答与分析教学方法：1. 采用讲授法讲解等差、等比数列的图像与性质。

数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆｝的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中，若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包｝，若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中，a3= 2, a5 = l, 则数列｛｝是等差数列，则a ll=a n +l5、在数列{a J和｛九｝中，b n是a n与a n+I的等差中项，a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列｛九｝的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项，则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中，已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立，则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀＝号－，如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立．则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中，各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立，若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2)，则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立＝12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—，则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中，如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数），则称{a J为等a n+l -a n差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等千公差比．其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中，Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时，n的值为（）A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列，若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值，那么当凡取得最小正值时，n=a l O（）A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是（）A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、｛九｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹，则数列{e n}的前10项和等千（）A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和｛仇｝的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是（b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆｝的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九＝凡_3n,求忱｝的通项公式；(2)若a＊n+I� 化，nEN,求a的取值范围．24、数列曰｝满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列，凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时，用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值，试求a的取值范围；125、数列{aJ中，a l=—，点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上，其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列｛九｝是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小｛九｝的前n项和，是否存在实数入，使得数列｛凡:入T"}为等差数列？若存在，试求出入；若不存在，则说明理由。

数列、极限、数学归纳法选择20题

数列、极限、数学归纳法选择20题一、选择题1、下列命题中正确的是(A)若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列(B)若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列(C)若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列(D)若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列2、数列1，x，x2，…，x n-1，…的前n项之和是(A)(B)(C)(D)以上均不正确3、数列{a n}前n项的和S n=3n+b(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b为(A)3(B) 0(C)-1(D)14、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1=，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a35、无穷数列{a n}的极限为A，指的是：对任意的，总能在{a n}中找到一项a N，使(A)a N以后至少有一项满足(B) a N以后有有限项满足(C) a N以后有无限项满足(D) a N以后的所有项都满足6、若存在，则x 的取值范围是(A)0＜x＜1(B)0≤x≤1(C)0≤x＜1 (D)x≥1或x≤07、等比数列{a n}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n=2n－1，则a12＋a22＋a32＋…+a n2等于(A)(B)(C)(D)8、已知自然数m，n，p，r满足m＋n=p＋r，则等比数列{a n}必定满足(A)(B)(C)a m＋a n=a p＋a r(D) a m－a n=a p－a r9、若数列{a n}的前n项之和S n=a n－1(n∈N)，则数列{a n}一定是（A）等比数列（B）等差数列（C）等差且等比（D）非等差又非等比10、已知x2+xsin2+cos=0的两个实根是、，且等比数列1,,()2， (100)和为0，则=（A）（B）（C）（D）11、一个等差数列首项为32,该数列从第15项开始小于1,则此数列的公差d的取值范围是（A）-≤d＜-（B）-＜d＜-（C）d＜（D）d≥－12、等差数列共3n项，前n项和为10，后n项和为30，前2n项和为（A）20（B）30（C）40（D）其他值13、等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)26014、已知数列{a n}满足a1=2，a n＋1－a n＋1=0，(n∈N)，则此数列的通项a n等于(A)n2＋1 (B)n＋1 (C)1－n (D)3－n 翰林汇15、（5分）15、,,,中,极限为零的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4翰林汇16、（5分）16、如果(1-2x)n存在,则x的取值范围是(A)(0,1) (B)[0,1] (C)[0,1) (D)(0,1]17、数列的通项公式a n=中前n项和为,则项数n为(A)7(B)8 (C) 9(D)1018、lg,lgy成等比数列,且x>1,y>1,则xy的最小值为(A)100(B)10(C)10(D)519、用数字归纳法证明“当n为奇数时,x n+y n能被x+y整除”, 在验证n=1正确后,归纳假设应写成(A)假设n=k(k∈N)时命题成立,即x k+y k能被x+y整除(B)假设n≤k(k∈N)时命题成立,即x k+y k能被x+y整除(C)假设n=2k+1(k∈N)时命题成立,即x2k+1+y2k+1能被x+y整除(D) 假设n=2k-1(k∈N)时命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除20、已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是(A)P(k)对k=2004成立(B)P(k)对每一个自然数k成立(C)P(k)对每一个正偶数k成立(D)P(k)对某些偶数可能不成立数列、极限、数学归纳法测试选择20题〈答卷〉一、选择题1、C2、A3、C4、C5、D6、C7、D8、A9、D 10、B 11、A 12、B 13、C 14、D 15、C 16、C 17、C 18、B 19、D 20、D。

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1mn4(m n)mn2(m n)【综合能力训练】一、选择题1•数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（）A. a n • a n+1 >0B. a n • a n+1 • a n+2>0C. a n • a n+2 >0D. a n • a n+2 • a n+4>02.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的n a 1取值范围是（）A. （0,）B. （0,）C. （0,）D. （0,2 3 6 43.已知数列｛a n ｝中，a n =p^（n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（）n 156A.第12项B.第13项C.第项或13.D.不存在4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上7,所得三数之积为 1000,且成等比数列，则原等差数列的公差一定是（)A.8B.8 或—15C. ± 8D. ± 15112 12 31 2 915.已知数列｛a n ｝：,+ ,++-, + + …+” , ...那么数列｛2 33 44 410 1010a n ?a n 1的所有项的和为（)A.2B.4C.3D.5n 1| nn 1 . n6.已知a 、b €—•a-> lim n，贝V a 的取值范围是（）nanaA. a>1B. — 1<a<1C.|a|>1D.a>1 或一1<a<0..1 7. lim ( + 1 1+ + …+ 1）的值是（)n4 4 6 4 6 84 6 82n111111A.1B.—C.D. —618248.等差数列｛a n ｝中，a 1o <O,a 11>O ,且 |a 10|<|an|, S n 为其前n 项之和, 则（）A. S 1,S 2,…， S 10都小于零，S 11, S 12, …都大于零B. S 1,S 2,…， S 5都小于零，S 6, S 7,…都大于零C. S 1,S 2,…， S 19都小于零，S 20, S 21 , …都大于零D. S 1,S 2,…， S 20都小于零，S 21 , S 22 , …都大于零9.将自然数1, 2, 3,…，n ,…按第k 组含k 个数的规则分组： (1), (2, 3), (4, 5, 6）,…，那么1996所在的组是（）A.第62组B.第63组C.第64组D.第65组10.在等差数列中，前 n 项的和为S n ,若 S m =2n,S n =2m,(m 、 n € N 且m ^ n ）,则公差d 的值为（）4(m n) A.—mnB.—2(mC.—n) mnD.—1A.11 B.-21 1C.—D.—3412.a 、b € R , 且|a|<1,|b|<1，则无穷数列：1,(1+b)a,(1+b+b 2)a 2,…,(1+b+b 2+ •- •+b n — 1)a n — 1的和为( )1A.- (1 a)(1 b)1B.-1 ab2C.D.——(1 a)(1 ab)(1 1a)(1 ab)、填空题N)，记 S n =|Z 2— Z l | + |Z 3— Z 2|+…+|Z n+1 — Z n |,贝U lim S n =n14. ............................................... 在等比数列｛a n ｝中，a i =1,|q|z 1,若a m =a i • a 2 • a 3 ................................................................................................................... a io ，贝U m= ________ 。

15. 数列｛a n ｝是公差为d 丰0的等差数列，若a 1,a 2是方程x 2— a 3x+a 4=0的二根，则通项公工式a *=16.f(x — 1)=X+X 2+X 3+…+x n (x 丰 0,1)，设 f(x)中 X 的系数为S n ,x 3 的系数为 T n , limnT n S ；4 n三、解答题 17.一个含有7项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等比数列，所有奇数位置的项之和减去第 2项与第6项之积所得的差是42，又首项、末项、中间项之和为27,求第4项。

X18.设 f n (X)=f{[f …f(x)]…} (n 个 f ), f (x)——2V 1 x 2(1) 求 f 2(x),f 3(x)；(2) 猜想f n (x)，并证明你的结论。

11.设数列｛a n ｝｛b n ｝都是公差不为0的等差数列，且limn汁，b nD2D213•设 z n =(O)n (n €219. 已知a>0且1,数列｛a n｝是首项、公比都为a的等比数列，令b n=a n lga n(n € N)。

(1) 当a=2时，求数列｛b n｝的前n项之和；(2) 当a=6时，数列｛b n｝中从第几项开始每一项总小于它后面的项。

2x x n n20. 已知函数f(x)= 2 (n € N)的最小值为a n,最大值为b n，且c n= (1+3a n b n)。

x x 1 4(1)求数列｛C n｝的通项公式；(2)求证：3 1 n1 1 2 -n 1<k1C k<2 -n（n》2）。

21. 曲线C: xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A i,作A i B i丄I交x轴于B i,作B1A2// I交曲线C于A2…依此类推。

(1)求点A1, A2, A3和B1, B2, B3 的坐标；(2)猜想A n的坐标，并加以证明；(3)1B n B n 1 1(3) limn B n 1 B n322. 设T n为数列｛a n｝前n项的和，T n= ( a n- 1)(n €N)。

数列｛b n｝的通项公式为b n=4n+32(n € N)。

(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若c€ ｛a1,a2,a3,…,a n,…｝A ｛b1,b2,b3,…,b n…｝,则c称为数列｛a n｝,｛b n｝的公共项，将数(1 *)列｛a n ｝与｛b n ｝的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列的通项公式为C n =32n+1(n € N);(3) 设数列｛C n ｝中的第n 项是数列｛b n ｝中的第 m 项，B m 为数列｛b n ｝前m 项的和；D n参考答案【综合能力训练】 721.C2.D3.C4.C5.B6.D7.C 8.C9.B10.A11.C12.D13.1+ ——25 14.46 15.a n =2 n 16.—2417.解设这7个数为：a 1,a 2,a 3,…,a 7,则a 1, a 3,a 5,a 7，成等差数列,a 2,a 4,a 6成等比数列，依题意有：*1 *3 *5 *7 *2*6 42a 1 a 4 a 7 27解①、②得：*41 ，13或*4”xx18.解 (1 ) f 2(x)= ------------- - ,f 3(x)= ------------ 2V 1 2x 2 Y 1 3x 2(2)f n (x)=x、1 nx 219.解 (1)依题有 a n =a n , • b n =na n lga 。

—a |g a••• Sn=(1+2a+3a 2+ …+na n 1) • alga,可求得 S n = 7 [1 — (1+n — na) • an]｛C n ｝。

证明：数列｛C n ｝为数列｛C n ｝前n 项的和，且A n =B m — D n ；求:limnA n① ②1 .13。

1 当 a=2 时，S n =2[1+(n - 1) • 2n ]lg2。

6、k -1 I 6 |.6^66 k . 6(2)令 b k+i >b k , (k € N ), J 则 b k+i — b k =(k+1)・(一)*|g — k *(— )*|g =() *(—77 7 7 7 71 6 6、k6 6 1—7 k) • lg 7 ,T( 7 )k>O,lg 7 <0，而 b k+1>b k ,「. - — 7 k<0。

二 k>6，故从第七项开始每一项总比它后面的项小。

20.解(1)整理已知得：(y — 1)x 2+(y+1)x+(y — n)=0。

二 x € R,0，即△ =(y+1)2—4(y — 1)(y — n) > 0(y 丰 1)，二 3y 2— (4n+6)y+4n — 1 < 0.1由此知：a n ,b n 就是方程3y 2 — (4n+6)y+4n —仁0的两个根，由根与系数的关系得：a n -b n = 3(4n — 1),二 C n =n 2。

3 1-— (n > 2)2 n 1再用同样方法证：0— <2 —丄⑴> 2)。

k 1C k n (1) A 1 (1, 1), A 2 ( J 2 +1, V 2 — 1), A 3 ( V 3 + J2 , V 3 — V 2 )B 1 (2, 0), B 2 (22 ,0), B3 (2 3 , 0)。

(2) A n ( n + . n 1 , •. n — n 1 ),证明略。

由图：A 1 (1 , 1), B 1 (2 , 0)(3)设A n (丄,a n ),B n (b n ,O)b na nlim n a na nb n 1(A n 在直线 y x b n 1上)|BnB n1 1 = lim 沁=lim |B n1B n | n 2a n n分子分母同乘以n 1当 y=1 时，x= , •/ x2，其中｛x|x只是k 的一个子集，即不是所有(2)先证：n1 3 1kg 右-n IC k>1+k21 k(k 1)=1 +1(k —1 k 1)=1+221.解■/ ai=1,b 1=2 且x € R 都满足y=1 ,•••舍去。

nn n2n 12n 1而 B _(d b m )m _(3 3)(3而 B m = = ------------------------87)27(1 9n )27(32n 1);D n ==—- 8(扁+"市)及 n im #£nJ =122.解(1) 3 ta i = — (a i ——1)，— a i =3。

当 2a nn 》2时，a n =T n ——T n ——1可求得：=3。