必修四第1章-1.4-1.4.2

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高一数学必修四第一章课后练习

(1)420°(2)-75°(3)855°(4)-510°.
4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角:
(1)-54°18′(2)395°8′(3)-1190°30′.
5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来：
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
练习：
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
练习：
2.你认为我们应当如何利用函数的1.4.3正切函数的性质与图像
练习:
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
练习：
3.作一个以5cm为单位长度的圆，然后分别作出225°，330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
4.你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用?
1.2.2同角三角函数的基本关系
练习：
1.3三角函数的诱导公式
练习：
4.填表：
1.4三角函数的图像与性质
5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）.
6.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数.
1.2.1任意角的三角函数
练习：
3.填表：
角
角的弧度数
sin
cos
tan
练习：
1.你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质？
第一章三角函数
1.1.1任意角
练习
1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2．（口答）今天是星期三，那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案新人教A版必修4-新人

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

人教版高中数学必修四第一章正弦函数和余弦函数的性质

授课学科数学授课班级高一授课时间授课内容第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）——单调性及其应用课时 1 课时课型微课核心素养及教学目标【核心素养】1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性，提升学生的数学抽象素养。

2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养。

【教学目标】1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性，并结合图像熟记单调区间。

2会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间。

(重点、易混点)重难点【教学重点】正弦、余弦函数的单调性及应用【教学难点】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间教学方法数形结合法、分析探究法、讲述法、讲练结合法授课环节教师行为学生活动设计意图导入新课1、正弦函数、余弦函数的一般式及图像。

2、复习定义域、值域、奇偶性、周期性。

观察图像，复习之前所学习的性质。

抽查，提问复习旧知引出新课讲授新课【互动探究】一、观察正弦函数y ＝sin x 的图像思考：在哪些区间上函数单调递增？这样的区间有多少个？它们之间有什么联系？由图像可知，在闭区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,π22ππ,22π上，函数单调递增，函数值由-1增大到1.在闭区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,π223ππ,22π上，函数单调递减，函数值由1减小到-1.二、观察余弦函数y ＝cos x 的图像类比正弦函数的单调区间，你能得出余弦函数的单调区间吗？分析、观察图像，引导学生，学生通过类比，从图像上的部分单调区间得出正弦、余弦函数的单调区间。

小组探究、抽查、提问。

解读目标，数形结合，提出困惑解决困惑，形成新知第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）-----单调性及其应用教学设计2021年7月11日。

高中数学必修四电子课本

高中数学必修四电子课本高中数学必修四电子课本一、数学基础1.1 数学中的符号和表示法1.2 数学中的基本概念1.2.1 数学中的基本运算1.2.2 数学中的集合和关系1.2.3 数学中的函数和图像1.3 数学中的解题方法1.3.1 数学中的证明方法1.3.2 数学中的数学归纳法1.3.3 数学中的逆向思维1.4 数学中的应用1.4.1 数学在自然科学中的应用1.4.2 数学在社会科学中的应用二、初等数学2.1 整式和分式2.1.1 整式和分式的基本概念2.1.2 整式和分式的运算2.1.3 整式和分式的因式分解2.2 代数式和方程式2.2.1 代数式的基本概念2.2.2 代数式的运算2.2.3 一元一次方程和二元一次方程2.3 平面几何2.3.1 平面几何的基本概念2.3.2 平面几何的运算2.3.3 圆的性质与应用三、立体几何3.1 立体几何的基本概念3.2 立体几何的运算3.3 立体几何的应用四、三角函数4.1 三角函数的基本概念4.2 三角函数的运算4.3 三角函数的应用4.4 三角恒等式和三角方程五、数列和数学归纳法5.1 数列的基本概念5.2 等差数列和等比数列5.3 数列的求和公式5.4 数学归纳法的应用六、导数和应用6.1 导数的基本概念6.2 导数的应用6.3 计算机在导数计算中的应用七、微积分7.1 微积分的基本概念7.2 微积分的运算7.3 微积分的应用七、概率与统计8.1 概率的基本概念8.2 统计的基本概念8.3 概率和统计的应用8.4 计算机在概率和统计中的应用结语：通过本电子教材的学习，同学们可以更好地掌握数学知识和解题方法，为今后的学习和工作打下良好的基础。

同时，对于计算机在数学教育中的应用也有深入了解，为提高自己的素质和竞争力打开一扇新的大门。

高中数学必修四第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数

7 2
-4
, 即��
7 2
= ��
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴��
7 2
= ��
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一题型二题型三题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(�� + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(��
+
π)-
π 6
=sin
2��-
π 6
+
2π
= sin
2��-
π 6
= ��(��).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一题型二题型三题型四
题型二求三角函数的周期
【例 2】求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
��
+
π 3
(��∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一题型二题型三题型四
(2)函数 y=sin
��
+
π 4
(��
>
0)的周期是
2π 3
,
则��
=
_____.

高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四正弦、余弦函数的奇偶性导引正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期

高中数学必修四第一章三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质

题型一题型二题型三题型四题型五
解:(1)定义域为 R.
f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0,∴sin
x≠-1.∴x≠2kπ−
π 2
,
��
∈Z.
∴函数的定义域为
2��-
π 4
的单调递增区间是
��π-
π 8
,��π
+
3π 8
, ��∈
Z.
(2)由 2kπ≤3x+ π6≤2kπ+π,得
2�� 3
π
−
1π8≤x≤23��
π
+
5π 18
,
��∈Z,
所以函数 y=cos
3��
+
π 6
的单调递减区间是
2�� 3
x
在(0,π)上单调递减,
∴cos
π 8
>
cos
π 7
,
即cos
-
π 8
> cos 137π.
(2)sin
21π 5
=
sin
4π
+
π 5
= sin π5,
sin
42π 5
=
sin
8π
+
2π 5
= sin 25π.
∵0<
π 5
<
2π 5
<
π 2
,
且y=sin
x在

人教版高一数学必修四第一章正、余弦函数的周期性与奇偶性

第一章三角函数
y＝cosx
图象
定义域周期最小
正周期奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__ _奇__函__数___
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_偶__函__数___
栏目导引
第一章三角函数
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z) 也可以说明它们的周期性． (2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
答案：B
栏目导引
第一章三角函数
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝2017，则 f(2)＝ ________．答案：2017
栏目导引
第一章三角函数
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sinx|.
第一章三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章三角函数
考点
学习目标
函数的周期性了解周期函数的概念
正、余数的周期
正、余弦函数的奇偶性
理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性
栏目导引
第一章三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

人教版高中数学必修四1.4三角函数的图象与性质1.4.2二含答案

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质：函数 y ＝sin xy ＝cos x 图象定义域______ ______ 值域______ ______ 奇偶性______ ______ 周期性最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减最值在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教版高中数学必修四第一章1-4-2正弦函数余弦函数的性质(一)《导学案》

第一章 §1.4.2.1 正余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） ③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法：（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= （2）定义法：f (x+T)=f (x)（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.|sinx |=y 或者|cosx |=y .（4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？①)()(x f x f -=+α k x f x f +-=+)()(α（其中k 为非零常数）②)()(x f k x f ±=+α（其中k 为非零常数） ③)(1)(1)(x f x f x f +-=+α， )(1)(1)(x f x f x f -+=+α ④)2()1()(---=x f x f x f⑤)(x f 关于a x =和b x =对称⑥)(x f 关于)0,(a 和)0,(b 对称⑦)(x f 关于a x =和)0,(b 对称【例题讲解】例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26y x π=-，x R ∈．例2 求下列三角函数的周期：①y=sin(-x+3π)；② y=cos （-2x ）；③y=3sin(2x +5π).例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.【达标检测】1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为（）A 、a πB 、||a πC 、a π2 D 、||2a π2、函数1)34cos(2)(-+=πkxx f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（）A 、13B 、12C 、11D 、103、求下列函数的最小正周期：（1）=-=T x y ),23sin(ππ . （2）=+=T x y ),62cos(ππ .4、已知函数)3sin(2πω+=x y 的最小正周期为3π，则=ω . 5、求函数的周期：（1）x y cos 21=周期为： . （2）43sin x y =周期为： . （3）x y 4cos 2=周期为： .（4）x y 2sin 43=周期为： . 6、cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？7、函数)sin()(x x f ω=)0(>w 在[0,4]与x 轴有9个交点，求ω的取值范围.【问题与收获】参考答案：例1： ① π2 ② π ③ π4例2： ① π2 ② π ③ π4例3： ① π ② π达标检测：1、D 2、A 3、π6 ，1 4、 6±5、 π2，38π， 2π， π 6、是周期函数，周期T=2π，k 为正整数，最小正周期为2π. f (x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cos(x)|+|-sin(x)|=|sin(x)|+|cos(x)|=f(x)。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件(人教A版必修4)

栏目导引
第一章三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)．所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目导引
第一章三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间．解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目导引
第一章三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z，得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目导引
归纳总结
第一章三角函数
栏目导引
函数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域值域
最值及相应的 x的集合
单调性
对称轴对称中心

【高中数学必修四】1.4.2正余弦函数的性质(两课时)

7 2
y=cosx
4
x y=sinx
正弦函数y=sinx 定义域值域
余弦函数y=cosx R [-1,1] 当x= 2kπ (k∈Z)时ymax=1 当x=2kπ +π (k∈Z)时ymin=-1 最小正周期2π
R
[-1,1] 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymax=1 3 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymin=-1
3
2

3 2

2
o
-1
2

3 2
2
5 2
3
7 2
y=cosx
4
x y=sinx
正弦函数y=sinx 定义域值域
余弦函数y=cosx R [-1,1] 当x= 2kπ (k∈Z)时ymax=1 当x=2kπ +π (k∈Z)时ymin=-1
R
[-1,1] 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymax=1 3 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymin=-1
分析：先用诱导公式化到同一单调区间内
正弦、余弦函数的单调性
1 例3、求函数y sin x , x 2 ,2 3 2 的单调增区间。
分析：复合函数的换元法
y
1
4
5 2
正弦函数与余弦函数的性质
7 2
3
2

正弦、余弦函数的周期
例3.求下列函数的周期 1 y 3 cos x, x R
2 y sin 2 x, x R
1 3 y 2 sin x , x R 6 2
正弦、余弦函数的周期

必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。

解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。

2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。

三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。

学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。

在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。

五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。

师生活动：学生思考并回答，教师指导。

小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点。

小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。

人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)

2
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？换句话说，只要过的天数具有什么特征，就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时，都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正、余弦函数的周期性练习(含解析)新人教A版必修4-新人教A

第10课时正、余弦函数的周期性对应学生用书P21知识点一周期函数的定义1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( ) 答案 D解析显然D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A ，C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A ，B ，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．2．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x | 答案 D解析画出y ＝sin|x |的图象(图略)，易知选D ．知识点二正、余弦函数的周期求法3．函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的最小正周期分别是T 1，T 2，则tan T 1＋T 216＝________．答案 1解析 T 1＝T 2＝2π，则tanT 1＋T 216＝tan 4π16＝tan π4＝1． 4．若函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，则ω的值为________．答案 ±2解析由已知得3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋π＋π4＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋ωπ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，易知ωπ＝±2π，解得ω＝±2．知识点三周期函数的应用5．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是________．答案 π解析因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π．6．已知f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋3)＝f (x )，则f (2016)＝________．答案 0解析因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为f (x ＋3)＝f (x )，所以T ＝3，所以f (2016)＝f (672×3)＝f (0)＝0． 7．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________．答案2＋1解析 ∵f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，∴f (1)＝22，f (2)＝1，f (3)＝22，f (4)＝0，f (5)＝－22，f (6)＝－1，f (7)＝－22，f (8)＝0，…，不难发现，f (n )＝sin n π4(n ∈Z )的周期T ＝8，且每一个周期内的函数值之和为0．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝22＋1＋22＋0＝2＋1． 8．已知函数y ＝5cos2k ＋1π3x －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解由5cos2k ＋1π3x －π6＝54，得cos 2k ＋1π3x －π6＝14．∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋1π3≤3，且4×2π2k ＋1π3≥3．∴32≤k ≤72．又k ∈N ，故k ＝2，3．一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( ) A ．是周期为1的周期函数 B ．是周期为2的周期函数 C ．是周期为4的周期函数 D ．不一定是周期函数答案 D解析根据周期函数的定义可知f (x ＋T )＝f (x )中的x 必须是定义域中的任意值，否则不一定为周期函数．2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝cos4|x |B ．y ＝－sin2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝sin x －π2答案 A解析对于A ，∵y ＝cos4|x |＝cos4x ，∴T ＝2π4＝π2；对于B ，T ＝2π2＝π；对于C ，T ＝2π4＝8π；对于D ，y ＝sin x －π2＝－cos x ，T ＝2π．故选A ．3．函数y ＝cos k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 答案 D解析 ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13．4．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C．2π D．4π答案 B解析 cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )， ∴T ＝π，故选B ．5．设函数f (x )＝sin3x ＋|sin3x |，则f (x )为( ) A ．周期函数，最小正周期为π3 B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，sin3x ≤0，2sin3x ，sin3x >0，大致图象如图所示，由图可知f (x )为周期函数，最小正周期为2π3．二、填空题6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为________．答案 ±45解析由题意知π2＝2πω，∴ω＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95∴cos α＝35，∴sin α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45．7．函数f (x )＝sin ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________．答案 8解析由题意，2πω＝π4，∴ω＝8．8．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．答案 5解析因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为函数f (x )以2为周期，所以f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－f 1，f －1＝f1，解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数．证明 ∵f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝11f x＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期． 10．设函数f (x )＝a sin kx －π3和函数g (x )＝b cos2kx －π6(a ＞0，b ＞0，k ＞0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f π2＝g π2，f π4＝－3g π4－1，求这两个函数的解析式．解 ∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2． ∵f π2＝g π2，∴a sin2×π2－π3＝b cos4×π2－π6，即a ·sinπ－π3＝b ·cos2π－π6．∴32a ＝32b ，即a ＝b ．① 又f π4＝－3g π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1．② 由①②解得a ＝b ＝1．∴f (x )＝sin2x －π3，g (x )＝cos4x －π6．。

必修四1-4-2正弦函数、余弦函数的性质

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三：观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为 1.
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2．确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 π π (1)把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－2≤ωx＋φ≤2kπ＋2(k∈Z) π 解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ 2 3 ＋ π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间． 2 (2)在求函数 y＝Asin (ωx＋φ)或 y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间时，当 ω<0 时，必须利用诱导公式转化成－ω>0 后再进行求解．
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自学导引 1．函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫周
期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期．
π 解 (1)法一令 z＝2x＋3，∵x∈R，∴z∈R. 函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π，就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π，函数 f(x)＝sin z(Z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量 x 只要且至少 3 3 要增加到 x＋π，函数值才能重复取得，从而函数 (x∈R)的周期是 π.

高中数学各章节内容

第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2—1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1—2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2—2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2—3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3—2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2—2第一章导数及其应用1—1变化率与导数1—2导数的计算1—3导数在研究函数中的应用1—4生活中的优化问题举例1—5定积分的概念1-6微积分基本定理1—7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2—1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2—3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3—1数系的扩充和复数的概念3—2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2—3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2—2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ,σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3—2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。