高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数

2
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+
表示法： 表示法 (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
n
例: 有限集合 A = { a1 , a2 , L, an } = { ai } i=1 自然数集 N = { 0, 1, 2 , L, n,L} = { n }
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4. 初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
x , x ≥ 0 可表为 y = x2 , 故为初等函数. 例如 , y = x, x <0 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
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(3) 奇偶性
x∈D, 且有 x∈D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
说明: 说明 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
x o
x
xx
f (x) 为奇函数 必有 f (0) = 0. 奇函数时, 奇函数
例如,
ex + ex y = f (x) = 偶函数 2
f f
Y (数集) X
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换 X
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的为函数
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2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 定义 若映射 使 称此映射 f 1为 f 的逆映射 . 习惯上 , y = f (x), x ∈D 的逆映射记成
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例1. 海伦公式
(满射 满射) 满射
例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 满射) 满射 例3. 如图所示, 则有
r
(满射 满射) 满射
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说明: 说明 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如, X (≠ ) X (≠ )
合映射 , 记作 或 f o g(x), x ∈D.
g f
g(D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
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三、函数
1. 函数的概念 定义4. 定义 设数集 D R, 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 自变量 为定义在
D
f
f 1
为单射, 则存在一新映射 其中
f (D)
y = f 1(x) , x ∈ f (D)
例如, 映射 其逆映射为
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(2) 复合映射 引例.
D 1
D
手电筒
D2
D 复合映射
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定义. 设有映射链
u = g(x) ∈g(D) x∈D u∈D 1 则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y = u , u >0 u = cot v , v ≠ kπ (k = 0, ±1, ± 2,L ) x v = , x ∈(∞, + ∞) 2
可定义复合函数:
n∈Z
x π x kπ < ≤ kπ + 时, cot ≥ 0 2 2 2
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 对应规律 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 例如, 反正弦主值 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域
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值域
2 x , 0 ≤ x ≤1 例4. 已知函数 y = f (x) = 1+ x , x >1
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2. 函数的几种特性 设函数 y = f (x) , x ∈D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x∈ D, M > 0, 使 f (x) ≤ M, 称 f (x)为有界函数. x∈ I , M > 0, 使 f (x) ≤ M, 称 f (x) 在 I 上有界. 说明: 说明 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 ) (2) 单调性 x1 x1 , x2 ∈I , 当 < x2 时, y 有上界 L, f (x) ≤ M, 称 为有上界 若 f (x1) < f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的 有下界 L, M ≤ f (x), 称 为有下界 单调增函数 ; ) M 若 若对任意正数 称 ,f均存在 Ix∈ D, 使 f (xx1 > x2 , x f (x1) > f (x2 ) , M (x) 为 上的 单调减函数 . 则称 f ( x ) 无界 无界.
y = f (x), x ∈D
因变量 f ( D ) 称为值域 函数图形: 函数图形
y y
C = { (x , y) y = f (x) , x∈D D× f (D)
}
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a x b ( D=[ a, b] )
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x
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x∈D
(定义域) 定义域
f
y ∈ f (D) = { y y = f (x), x ∈D}
第一章 函数与极限
分析基础 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、 集合
1. 定义及表示法 集合. 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 集合 组成集合的事物称为元素 元素. 元素 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 空集 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a∈ M ( 或 aM ) . 注: M 为数集
y = f (u), u ∈D 1
则
且 g(D) D1
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. , . 注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1不可少. 可定义复合 例如, 例如 函数链 : y = arcsinu , 函数 但函数链 y = arcsin u , u = 2 + x2 不能构成复合函数 .
Ac BA
B
B
特例:
R× R
记
R
2
A× B A
为平面上的全体点集
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二、 映射
1. 映射的概念 引例1. 引例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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引例2. 引例
引例3. 引例
(点集) (点集) 向 y 轴投影
求 f ( 1 ) 及 f (1), 并写出定义域及值域 . 2 t 解: f ( 1 ) = 2 2
1 2
= 2
1 1+ 1+ , 0 <t <1 t 1) = f (t 2 t ≥1 , t 定义域 D =[0, + ∞)
值 域 f (D) =[0, + ∞)
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t ≤ 0时
函数无定义
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2) 函数 对称 . 例如 ,
与其反函数 的图形关于直线
y y=x
Q(b, a)
y = f (x)
o
x
指数函数 y = ex , x ∈(∞, + ∞) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线