八年级数学下册16.3二次根式的加减同步精讲精练(新版)新人教版

16.3 二次根式的加减
一、基础知识
(一)、同类二次根式的概念
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式 （二）、二次根式的加减法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开放数相同的二次根式进行合并。

（三）、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

二、重难点分析例题精析 1．重点：
（1）同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式 判断几个二次根式是不是同类二次根式，应该先将二次根式化成最简二次根式后再判断 （2）二次根式的加减
根据二次根式的加减法则，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开放数相同的二次根式进行合并。

根据一化，二找，三合并，在合并同类二次根式时，类比合并同类项进行合并。

2．难点：
二次根式的混合运算
二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=
∙b a ab b a
二次根式的除法法则：
)0,0(>≥=
b a b a
b
a
二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开放数相同的二次根式进行合并。

先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

逐级运算，注意最后结果一定要化到最简。

三、典例精析
1、在
5.0,23,15,81,
18中，同类二次根式有 _________ ．
【考点】同类二次根式
【答案】5.0,8
1
,
18
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义．即化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式．
2、若最筒二次根式12+a 和34-a 能够合并，则a 的值是 _________ ． 【考点】同类二次根式
【点评】本题考查了同类二次根式，判断出两个最简二次根式是同类二次根式是解题的关键 3、下列等式成立的是（ ） A 、b a b a +=
+ B 、x x x 63435=- C 、x x x
x
x x 334
36272=- D 、x m x x m 5353-=- 【考点】二次根式的加减法
【解析】A 、a 与b 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误； B 、x x x 33435=-，计算错误，故本选项错误；
C 、原式=x x x x x x 333336=-，计算正确，故本选项正确；
D 、()x m x x m 5353-=-，计算错误，故本选项错误；
故选C 【答案】C
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并 4、计算：
（1）2008275-+
（2）318335.032+-
+
（3）3293
5
148x x x x x x
+-- （4）)153()347)(347(---+ 【考点定位】二次根式的混合运算
（4）
5
340153487153)34(7)
153()347)(347(2--=+--=+--=---+
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是进行二次根式的化简，属于基础题 5、若
a a a =-+-20122011，求a 的值
【考点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式的性质，以及无理方程的解法，正确对已知的式子进行变形是关键 四、专项训练。

（一）基础练习
1、下列各组根式，化简后可以合并的一组是（ ）
A 、54和43
B 、322和125.1
C 、53c ab 和ab c
3 D 、y x 2
1和
5
4
x y 【考点】同类二次根式
【答案】C
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质，对各选项二次根式准确化简是解题的关键． 2、下列各式中，运算正确的是（ ）
A 、25105225-=÷-
B 、
549)52(2
+=+
C 、12131
)23(=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡+- D 、c
a
b a
c b a +
=+÷)( 【考点】二次根式的混合运算．
【答案】B
【点评】此题常考了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3、若a ，b 为有理实数且22
1
184b a +=+-，则a+b= _________ ． 【考点】二次根式的加减法 【解析】解：∵222
522223221184b a +=-=+-=+- ∴a=2，b=2
5
-， ∴a+b=21-
【答案】2
1
-
【点评】本题考查了二次根式的加减法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简 4、已知m 、n 分别表示75-的整数部分和小数部分，则m ﹣n 等于 _________ ． 【考点】估算无理数的大小；二次根式的加减法．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键
5、()
2012
2011
223)
223(+∙-= _________ ．
【考点】二次根式的混合运算
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 6、计算： （1）)3
533(
155+÷； （2）
5
3262++；
（3）549549++-
【考点定位】二次根式的混合运算
【解析】（1）原式除数利用同分母分式的加法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，计算即可得到结果；
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7、设20的整数部分是x ，小数部分为y ，求y
y x xy 2
++的值 【
考
点
定
位
】
二
次
根
式
的
化
简
求
值
∴
【点评】本题考查的是估算无理数的大小及二次根式的化简求值，先根据题意求出x 、y 的值是解答此题的关键
（二）提升练习
8、方程1)1(2+=-x x 的解是 _________ 【考点定位】解一元一次方程；二次根式的加减法
【点评】解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化“成的x=a 形式；此题的易错点是最后把分母有理化这一步，很容易忘记把分母有理化．
8、若一个三角形的周长为312cm ，一边长为33cm ，其他两边之差为3cm ，则这个三角形的形状是 _________ ．
【考点】二次根式的应用
【解析】解：设其中一边长为xcm ，则另一边长为)3(+x cm ， 根据题意得出：333312+++=x x ，
【答案】直角三角形
【点评】此题主要考查了二次根式的应用以及勾股定理的逆定理等知识，根据已知得出各边长是解题关键．
9、已知01064422=+--+y x y x ，求⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x y x x x y x y x x 5193
223
2的值 【考点】二次根式的化简求值；非负数的性质：偶次方；配方法的应用
【点评】此题考查了二次根式的化简，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，其中求出x 与y 的值
是本题的突破点 9、已知61
=+
a
a ．
（1）若0＜a ＜1，求a
a 1-
的值；
（2）若没有条件0＜a ＜1的限制，则a
a 1-的值等于多少？
【考点定位】二次根式的加减法
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10、阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2
)21(223+=+．善
于思考的小明进行了以下探索：
设2)2(2n m b a +=+其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有22222
2
mn n m b a ++=+．
∴mn b n m a 2,22
2=+=．这样小明就找到了一种把类似2b a +的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若2)3(3n m b a +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a= _________ ，b= _________ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数
a 、
b 、m 、n 填空：
2)3______(______3________________+=+
（3）若2)3(34n m a +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？
【考点定位】二次根式的混合运算
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则
11。