高中数学 1.3.1《函数的单调性与导数》教案新人教A版选修2-2

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2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

第一章导数及其应用§1.1变化率与导数§1.1.1变化率问题§1.1.2导数的概念§1.1.3导数的几何意义§1.2导数的计算§1.2.1几个常用函数的导数§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) §1.3导数在研究函数中的应用§1.3.1函数的单调性与导数§1.3.2函数的极值与导数§1.3.3函数的最大(小)值与导数§1.4生活中的优化问题举例§1.5定积分的概念§1.5.1曲边梯形的面积§1.5.2汽车行驶的路程§1.5.3定积分的概念§1.6微积分基本定理§1.7定积分的简单应用§1.7.1定积分在几何中的应用§1.7.2定积分在物理中的应用章末整合提升章末达标测试第二章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.1.1合情推理§2.1.2演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.2.1综合法和分析法§2.2.2反证法§2.3数学归纳法章末整合提升章末达标测试第三章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念§3.1.2复数的几何意义§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义§3.2.2复数代数形式的乘除运算章末整合提升章末达标测试模块综合检测§1.1 变化率与导数§1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念[课标要求]1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)一、函数平均变化率如果函数关系用y ＝f (x )表示，那么变化率可用式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是平均变化率可以表示为Δy Δx．二、导数的有关概念 1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ΔyΔx． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0)＝ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx．知识点一平均变化率【问题1】气球的膨胀率阅读教材，思考下面的问题．吹一只气球，观察一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答案气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V4π， (1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r （2）－r （1）2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【问题2】高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？答案 (1)在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m/s)；(2)在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．【问题3】结合问题1和问题2说出你对平均变化率的理解．答案 (1)如果上述两个问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题1中的变化率可用式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．问题1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．问题2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．(2)平均变化率的几何意义就是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))所在直线的斜率． (3)平均变化率的取值①平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有发生变化．②自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化规律． (4)平均变化率的物理意义平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )，在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1.知识点二函数在某点处的导数【问题1】 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ (2)什么叫做瞬时速度？ (3)它与平均速度有什么关系？答案 (1)物体的平均速度不能精确地反映物体的运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h （6549）－h （0）6546－0＝0，而运动员依然是运动状态．(2)设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f （t 0＋Δt ）－f （t 0）Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(3)平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度．当时间间隔|Δt |趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于t 0时的瞬时速度．【问题2】平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案 (1)区别：平均变化率不是瞬时变化率．平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢．(2)联系：当Δx 趋近于0时，平均变化率ΔyΔx 趋近于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．【问题3】导数与瞬时变化率有什么关系？答案导数与瞬时变化率的关系导数是函数在x 0及其附近函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 之比在Δx 趋近于0时所趋近的数，它是一个局部性的概念，若ΔyΔx存在，则函数y ＝f (x )在x 0处有导数，否则不存在导数．可以说导数就是函数在某点处的导数，例如，位移s 关于时间t 的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度．题型一求函数的平均变化率求函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．【解析】函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝x 20＋2x 0Δx ＋（Δx ）2－x 2Δx＝2x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x 0＋Δx .●规律方法求函数y ＝f (x )平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.[特别提醒](1)求函数平均变化率时注意Δx ，Δy ，两者都可正、可负，但Δx 的值不能为零，Δy 的值可以为零． (2)求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式．1．若本例中，Δx ＝13，x 0＝1，2，3，比较函数f (x )＝x 2在哪一点附近的平均变化率最大？解析 x 0＝1到x ＝1＋13＝43的平均变化率k 1＝f ⎝⎛⎭⎫43－f （1）13＝⎝⎛⎭⎫432－1213＝73， x 0＝2到x ＝73的平均变化率k 2＝f ⎝⎛⎭⎫73－f （2）13＝⎝⎛⎭⎫732－2213＝133，x 0＝3到x ＝103的平均变化率k 3＝f ⎝⎛⎭⎫103－f （3）13＝⎝⎛⎭⎫1032－3213＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，∴函数f (x )＝x 2在x 0＝3附近的平均变化率最大．题型二物体运动的瞬时速度物体自由落体的运动方程是s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求物体在t ＝3 s 这一时刻的速度．【解析】平均速度Δs Δt ＝12g （3＋Δt ）2－12g ×32Δt＝12g (6＋Δt )．当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝12g (6＋Δt )趋于3g ，所以v ＝3g ＝29.4(m/s)，即物体在t ＝3 s 时的速度为29.4 m/s.●规律方法求运动物体瞬时速度的步骤(1)求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度：当Δt 无限趋近于0，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．提示求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个变量来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．2．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．解析设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt)2，ΔsΔt＝8＋2Δt，ΔsΔt＝(8＋2Δt)＝8.所以，这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.题型三求函数在某点处的导数(6分)求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．【规范解答】因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－(1－11)＝Δx＋Δx1＋Δx，(2分)所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.(4分)当Δx→0时，f′(1)＝ΔyΔx＝(1＋11＋Δx)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.(6分)●规律方法求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝ΔyΔx.3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解析由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝f（2＋Δx）－f（2）Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝－（Δx）2－ΔxΔx＝(－Δx－1)＝－1.易错误区(一) 对导数的概念理解不清致误若函数f (x )在x ＝a 的导数为m ，那么 f （a ＋2Δx ）－f （a －2Δx ）Δx 的值为________．【解析】f （a ＋2Δx ）－f （a －2Δx ）Δx＝f （a ＋2Δx ）－f （a ）＋f （a ）－f （a －2Δx ）Δx＝f （a ＋2Δx ）－f （a ）Δx ＋f （a ）－f （a －2Δx ）Δx ①＝2f （a ＋2Δx ）－f （a ）2Δx＋2f （a －2Δx ）－f （a ）－2Δx＝2m ＋2m ＝4m . 【答案】 4m [易错防范]1．误认为①处两极限值均为m ，即运算结果为2m .2．对平均变化率中自变量的增加量“Δx ”理解不当．在平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 中，分子中的“Δx ”与分母中的“Δx ”应取相同值，且可正可负．3．熟记瞬时变化率(即导数)的几种变形形式f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f （x 0－Δx ）－f （x 0）－Δx＝f （x 0＋n Δx ）－f （x 0）n Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）2Δx＝f ′(x 0)．若f ′(1)＝2 016，则f （1＋Δx ）－f （1）－2Δx＝________．解析f （1＋Δx ）－f （1）－2Δx＝－12f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝－12f ′(1)＝－12×2 016＝－1 008.答案－1 008[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．质点运动规律s ＝2t 2＋5，则在时间(2，2＋Δt )中，相应的平均速度等于 A ．8＋2Δt B ．8＋2Δt ＋4ΔtC ．4＋ΔtD ．8＋Δt解析 Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt )2＋8Δt . ∴Δs Δt ＝2（Δt ）2＋8Δt Δt ＝8＋2Δt . 答案 A2．函数y ＝x 2－2x 在x ＝2附近的平均变化率是 A ．2B ．ΔxC ．Δx ＋2D ．1解析 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )－(4－4) ＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝（Δx ）2＋2Δx Δx＝Δx ＋2.答案 C3．设函数y ＝f (x )可导，则f （1＋3Δx ）－f （1）Δx 等于 A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．以上都不对解析 f （1＋3Δx ）－f （1）Δx＝3f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx ＝3f ′(1)．答案 B4．一个物体的运动方程为s ＝(2t ＋1)2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是A ．10米/秒B ．8米/秒C ．12米/秒D ．6米/秒解析 ∵s ＝4t 2＋4t ＋1，Δs ＝[4(1＋Δt )2＋4(1＋Δt )＋1]－(4×12＋4×1＋1)＝4(Δt )2＋12Δt ，Δs Δt ＝4（Δt ）2＋12Δt Δt＝4Δt ＋12， ∴v ＝Δs Δt ＝(4Δt ＋12)＝12(米/秒)．答案 C5．如果函数y ＝f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，那么x 0的值是 A.34B.12 C ．1D ．3解析函数f (x )＝x 在x ＝x 0处的瞬时变化率，f ′(x 0)＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝Δx Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝12x 0＝33，答案 A 6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋16t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为A ．8秒末B ．6秒末C ．4秒末D ．2秒末解析设当t ＝t 0时该物体瞬时速度为0米/秒，∵Δs Δt ＝（t 0＋Δt ）2＋16t 0＋Δt －⎝⎛⎭⎫t 20＋16t 0Δt ＝2t 0＋Δt －16（t 0＋Δt ）t 0， ∴Δs Δt＝2t 0－16t 20，由2t 0－16t 20＝0得t 0＝2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝－3x 2＋6在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率是________．解析 Δy Δx ＝[－3（1＋Δx ）2＋6]－（－3×12＋6）Δx＝－6Δx －3（Δx ）2Δx＝－6－3Δx . 答案－6－3Δx8．一质点的运动方程为s ＝1t，则t ＝3时的瞬时速度为________．解析由导数定义及导数的物理意义知s ′＝1t ＋Δt －1t Δt＝－Δt （t ＋Δt ）·t ·Δt ＝－1t 2＋t ·Δt ＝－1t 2， ∴s ′ |t ＝3＝－19，即t ＝3时的瞬时速度为－19.9．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎫2，－12、B ⎝⎛⎭⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝12＋Δx －12＝2－（2＋Δx ）2（2＋Δx ）＝－Δx 2（2＋Δx ）. ∴Δy Δx ＝－Δx2（2＋Δx ）Δx ＝－12（2＋Δx ），即k ＝Δy Δx ＝－12（2＋Δx ）. ∴当Δx ＝1时，k ＝－12×（2＋1）＝－16. 答案－16三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2的平均速度．解析 (1)v 0＝s （Δt ）－s （0）Δt＝3Δt －（Δt ）2Δt＝(3－Δt )＝3. (2)v 2＝s （2＋Δt ）－s （2）Δt ＝(－Δt －1)＝－1.(3)v －＝s （2）－s （0）2＝6－4－02＝1. 11．(12分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0值．解析由导数的定义知，f ′(x 0)＝Δf Δx ＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝Δg Δx ＝（x 0＋Δx ）3－x 30Δx＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0，解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.12．(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．解析因为Δh Δt ＝h （t ＋Δt ）－h （t ）Δt＝－9.8t －4.9Δt ＋14.7，所以h ′(t )＝Δh Δt ＝(－9.8t －4.9Δt ＋14.7)＝－9.8t ＋14.7，所以h ′(2)＝－4.9，即在t ＝2 s 时烟花正以4.9 m/s 的速度下降．由h ′(t )＝0得t ＝1.5，所以在t ＝1.5 s 附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s 之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s 之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．§1.1.3 导数的几何意义[课标要求]1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)2．会求导函数．(重点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)一、导数的几何意义1．切线：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1，2，3，4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．显然割线PP n 的斜率是k n ＝f （x n ）－f （x 0）x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、函数y ＝f (x )的导函数从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．这样，当x 变化时， f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx．知识点一导数的几何意义【问题1】曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？答案不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点，和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．【问题2】曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？答案曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．知识点二导数与函数的单调性【问题1】观察下面两个图形，在曲线的切点附近(Δx →0时)曲线与那一小段线段有何关系？答案能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．【问题2】按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答案在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．【问题3】如问题1中右图，当t 在(t 0，t 2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答案会．当t 变化时h ′(t )便是t 的一个函数，我们称它为h (t )的导函数．知识点三函数y ＝f (x )的导函数【问题】函数在某点处的导数与导函数有什么关系？答案区别：(1)f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x 0，Δx 无关；(2)f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关．联系：在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.题型一求曲线的切线方程已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，如图，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．【解析】 (1)∵y ＝13x 3， ∴y ′＝Δy Δx ＝13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝133x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝2＝22＝4.∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.●规律方法求曲线上某点处的切线方程的步骤(1)求出该点的坐标．(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率．(3)利用点斜式写出切线方程．1．例1中的P 点换为坐标原点(0，0)，其他不变，如何解答？解析由例1知y ＝13x 3的导函数为y ′＝x 2. (1)点P 处的切线斜率k ＝0.(2)在点P 处的切线方程是y －0＝0×(x －0)即y ＝0.(注意：原点处的切线即x 轴，结合图象理解切线的定义)题型二求切点坐标过曲线y ＝x 2上哪一点的切线满足下列条件？(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【解析】 f ′(x )＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2，4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． ●规律方法求切点坐标的一般步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)．(2)求导函数f ′(x )．(3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由已知条件求出切线的斜率k .由此得到方程f ′(x 0)＝k ，解此方程求出x 0.(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，故将x 0代入曲线方程可得y 0，即可写出切点坐标．2．(1)曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．(2)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________．解析 (1)根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ， Δy Δx ＝2x ＋Δx －3，所以f ′(x )＝Δy Δx ＝(2x ＋Δx －3)＝2x －3.由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－94. (2)由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案 (1)⎝⎛⎭⎫32，－94 (2)3 题型三导数几何意义的综合应用已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．【解析】 (1)f ′(1)＝Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝[（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－2]－（1＋1－2）Δx＝(Δx ＋3)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2相切于点B (b ，b 2＋b －2)，则可求得切线l 2的斜率为2b ＋1.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)、⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. ●规律方法与导数几何意义相关题目的解题策略(1)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．(2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．3．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解析 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a ＜0，∴a ＝－3.规范解答(一) 求曲线过点P (x 1，y 1)的切线方程(12分)已知函数y ＝f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，求过点P 与曲线y ＝f (x )相切的直线l的方程．[审题指导]【规范解答】 (1)y ′＝（x ＋Δx ）3－3（x ＋Δx ）－x 3＋3xΔx＝3x 2－3.(2分)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，所以直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又因为直线l 过点P (1，－2)，所以－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，所以2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.(6分)故所求直线斜率为k ＝3x 20－3＝0或k ＝3x 20－3＝－94，于是y －(－2)＝0·(x －1)或y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－2或y ＝－94x ＋14.(10分)故过点P (1，－2)的切线方程为 y ＝－2或y ＝－94x ＋14.(12分)[题后悟道]1．求过点P (x 1，y 1)的切线方程的步骤： (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝Δy Δx. (3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率(或利用切点和斜率写出切线方程)．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k (或利用已写出的切线过点P (x ，y )，求出x 0，然后求得斜率k )． (5)根据点斜式写出切线方程． 2．注意事项：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P 处的切线，点P 必为切点，且在曲线上．(2)若曲线y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)不存在，则切线与y 轴平行或不存在；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程．解析 y ′＝Δy Δx＝[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝(4x ＋2Δx )＝4x .由于2×32－7＝11≠9，故点P (3，9)不在曲线上．设切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得 9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )＜f ′(x B )，选B. 答案 B2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎫1，－32处的切线的倾斜角为 A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析 f ′(1)＝12（1＋Δx ）2－2＋32Δx＝12＋Δx ＋12（Δx ）2－2＋32Δx＝(1＋12Δx )＝1，即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为π4.答案 B3．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a 等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝[2（x 0＋Δx ）2－4（x 0＋Δx ）＋a ]－（2x 20－4x 0＋a ）Δx＝(4x 0＋2Δx －4)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1)． ∴2－4＋a ＝1，即a ＝3. 答案 C4．设曲线y ＝x 2＋x －2在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 A ．(0，－2) B ．(1，0) C ．(0，0)D ．(1，1)解析设点M (x 0，y 0)， ∴k ＝（x 0＋Δx ）2＋（x 0＋Δx ）－2－（x 20＋x 0－2）Δx＝2x 0＋1，令2x 0＋1＝3，∴x 0＝1，则y 0＝0.故选B. 答案 B5．曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.14B.12 C ．1D ．2 解析 f ′(1)＝Δy Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝(2＋Δx )＝2.则曲线在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.则三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.答案 A6．已知点P 在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为 A ．(1，1)B ．(－1，0)C ．(－1，0)或(1，0)D ．(1，0)或(1，1)解析设点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ΔyΔx＝[（x 0＋Δx ）3－（x 0＋Δx ）]－（x 30－x 0）Δx＝3x 20－1＝2⇒x 0＝±1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．如果函数f (x )在x ＝x 0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．解析由题意知f ′(x 0)<0，根据导数的几何意义知，f (x )在x ＝x 0附近的变化情况是“逐渐下降”．答案逐渐下降8．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则ab ＝________．解析a （1＋Δx ）2＋b －（a ＋b ）Δx＝(a Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即a b ＝12. 答案 129．已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为________．解析设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）24－x 204Δx ＝12x 0＋14Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →12x 0，而切线的斜率为12，所以12x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝14.故切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，14. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，14 三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解析 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点为P (1，1)． ∵y ′＝ΔyΔx＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx＝3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴点P 处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1，1)或P (－2，－8)．故第(1)小题中的切线与曲线C 还有其他的公共点．11．(12分)已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3（t －3）2，t ≥3.求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解析当t ＝1时，Δs Δt ＝3（1＋Δt ）2＋2－（3×12＋2）Δt ＝6＋3Δt ，所以s ′(1)＝ΔsΔt＝(6＋3Δt )＝6.故当t ＝1时的瞬时速度为6. 当t ＝4时，Δs Δt ＝29＋3（4＋Δt －3）2－[29＋3×（4－3）2]Δt ＝6＋3Δt ，所以s ′(4)＝ΔsΔt＝(6＋3Δt )＝6，故当t ＝4时的瞬时速度为6.12．(13分)已知曲线f (x )＝x 2的一条在点P (x 0，y 0)处的切线，求： (1)切线平行于直线y ＝－x ＋2时切点P 的坐标及切线方程； (2)切线垂直于直线12x －4y ＋5＝0时切点P 的坐标及切线方程；(3)切线的倾斜角为60°时切点P 的坐标及切线方程．解析 f ′(x 0)＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝2x 0.(1)因为切线与直线y ＝－x ＋2平行，所以2x 0＝－1，x 0＝－12，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14，所以切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.(2)因为切线与直线12x －4y ＋5＝0垂直，所以2x 0·18＝－1，x 0＝－4，即P (－4，16)．所以切线方程为y －16＝－8(x ＋4)，即8x ＋y ＋16＝0.(3)因为切线的倾斜角为60°，所以切线的斜率为3，即2x 0＝3，x 0＝32，所以P ⎝⎛⎭⎫32，34，所以切线方程为y －34＝3⎝⎛⎭⎫x －32，即43x －4y －3＝0.§1.2 导数的计算§1.2.1 几个常用函数的导数§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[课标要求]1．能根据导数的定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝1x 的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式并能进行简单的应用．(重点、难点)一、常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x二、基本初等函数的导数公式原函数导函数①f (x )＝c f ′(x )＝0 ②f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 ③f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x ④f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x ⑤f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln_a ⑥f (x )＝e xf ′(x )＝e x ⑦f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a⑧f (x )＝ln xf ′(x )＝1x知识点一几个常用函数的导数【问题1】用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ；②y ＝x ；③y ＝x 2；④y ＝1x ；⑤y ＝x .答案 ①y ′＝0；②y ′＝1；③y ′＝2x ；④y ′＝Δy Δx＝1x ＋Δx －1xΔx＝－1x （x ＋Δx ）＝－1x 2(其他类似)；⑤y ′＝12x.【问题2】导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． (1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？答案 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．【问题3】由正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象及导数可知；|k |越大函数增加(k >0)或减少(k <0)的速度越快．画出函数y ＝x 2的图象，结合图象及导数说明函数y ＝x 2的变化情况．答案图象如图从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y ′＝2x 表明：当x <0时，随着x 的增加，y ＝x 2减少得越来越慢；当x >0时，随着x 的增加，y ＝x 2增加得越来越快．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x .知识点二基本初等函数的导数公式【问题】你能说出基本初等函数的导数公式的特点吗？答案 (1)常数函数的导数为零．(2)有理数幂函数f (x )＝x α的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数． (5)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例．题型一利用公式求导数求下列函数的导数：(1)y ＝x 7；(2)y ＝1x 2；(3)y ＝3x ；(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x 2－log 12x .【解析】 (1)y ′＝7x 7－1＝7x 6. (2)∵y ＝x －2，∴y ′＝－2x －2－1＝－2x －3. (3)∵y ＝x 13，∴y ′＝13x －23.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ，∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12.●规律方法用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 2可以写成y ＝x －2，y ＝ 3x ＝x 13等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．求下列函数的导数：(1)y ＝lg 4；(2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x 2－1. 解析 (1)y ′＝(lg 4)′＝0；(2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2；(3)∵y ＝x 2x＝x 2－12＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12； (4)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二导数公式在解决切线问题中的应用(6分)已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．【规范解答】 y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′0|x x =＝2x 0.(2分)∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.(4分) ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，(5分) 即4x －4y －1＝0.(6分)●规律方法利用导数解决求曲线的切线方程问题的策略求曲线的切线方程主要有两种类型．(1)已知切点型，其步骤为：求导函数―→求切点处导数，即切线斜率―→写出切线方程 (2)未知切点型，其步骤为：设切点―→求导函数―→求切线斜率k ＝f ′（x 0）写出切线的点斜式方程―→列出关于x 0的方程（组）―→求切点―→写出切线方程2．求曲线y ＝x 过点(3，2)的切线方程．解析 ∵点(3，2)不在曲线y ＝x 上，∴设过(3，2)与曲线y ＝x 相切的直线在曲线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0. ∵y ＝x ，∴y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x. ∴根据导数的几何意义，曲线在点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝12x 0. ∵切线过点(3，2)，∴2－y 03－x 0＝12x 0，2－x 03－x 0＝12x 0，整理得(x 0)2－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1，x 0＝9，∴切点坐标为(1，1)或(9，3)．(1)当切点坐标为(1，1)时，切线斜率k ＝12， ∴切线方程为y －2＝12(x －3)，即x －2y ＋1＝0. (2)当切点坐标为(9，3)时，切线斜率k ＝16，∴切线方程为y －2＝16(x －3)，即x －6y ＋9＝0. 综上可知：曲线y ＝x 过点(3，2)的切线方程为：x －2y ＋1＝0或x －6y ＋9＝0.易错误区(二) 正确使用求导公式已知直线y ＝kx 是曲线f (x )＝e x 的切线，则k 的值等于________．【解析】设切点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝e x ，可得y ′＝f ′(x )＝e x ，又k ＝y 0x 0，f ′(x 0)＝0e x ，所以0e x ＝y 0x 0且y 0＝0e x ①. 解得x 0＝1，y 0＝e.k ＝y 0x 0＝e. 【答案】 e[易错防范]1．①处一要注意导数0e x ，即切线斜率y 0x 0，二要注意切点在曲线上，即y 0＝0e x . 2．导数几何意义的应用本例实质是求过点(0，0)且与曲线y ＝e x 相切的直线方程的斜率．要把切线的斜率与导数联系起来，要注意切点的坐标既满足切线方程又满足曲线方程．3．牢记导数公式导数公式是函数导数计算的关键，解题时要注意使用．例如，在本例中，要正确应用公式(e x )′＝e x .已知曲线y ＝1x3在点P (－1，－1)处的切线与直线m 平行且距离等于10，求直线m 的方程．解析因为y ′＝－3x 4，所以曲线在点P (－1，－1)处的切线斜率为k ＝－3，则切线方程为y ＋1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋4＝0.由题意设直线m 的方程为3x ＋y ＋b ＝0(b ≠4)，所以|b －4|32＋12＝10，所以|b －4|＝10，所以b ＝14或b ＝－6，所以直线m 的方程为3x ＋y ＋14＝0或3x ＋y －6＝0.[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列结论不正确的是A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x ，则y ′＝－x 2C ．若y ＝x ，则y ′＝12x D ．若y ＝x ，则y ′＝1解析对于A ，常数的导数为零，故A 正确；对于B ，y ′＝(x -12)′＝－12x -32＝－12x 3，故B 错误；对于C ，y ′＝(x 12)′＝12x -12＝12x，故C 正确；对于D ，y ′＝x ′＝1，故D 正确．答案 B2．已知曲线f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1，切点有两个，即可得切线有两条．。

高中数学 131函数的单调性与导数教案教案新人教A版选修2 2

课时）1.3.1函数的单调性与导数（2教学目标：．了解可导函数的单调性与其导数的关系；1 ．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授，它表示跳水运动1）．问题：图3.3-1（ 1th数函变化的中高度随时间20?.51?4.t9?6th(t)?3.3-1的图像，图t v随时间2）表示高台跳水运动员的速度（'6.5?t()??9.8tv(t)?h图变化的函数的像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：t)th(h是增函（1）随时间运动员从起点到最高点，离水面的高度的增加而增加，即'0)?hv(t)?(t数．相应地，．t)h(t h是减函从最高点到入水，运动员离水面的高度（2）的增加而减少，即随时间'0?h(vt)?(t)数．相应地，．．函数的单调性与导数的关系2观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．- 1 -专心爱心用心．')xf(，导数3.3-3图如0),yx()xf(处的切线的斜率．表示函数在点00'xxx?0x)?f()(xf附近单调递处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在在000增；'xxx?0f()?x)(xf 附近单调递处，在，切线是“左上右下”式的，这时，函数在101减．结论：函数的单调性与导数的关系'0f(x)?)f?(ba(,)xy在这个区间内单调递增；如果在某个区间内，如果，那么函数- 2 -专心爱心用心．'0)?(xf)x(y?f，那么函数在这个区间内单调递减．'0x)?f()f(xy?）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．说明：（1)x?f(y单调区间的步骤：3．求解函数)x?f(y 1）确定函数的定义域；（'')fxy(?；（2）求导数'0?x)f(）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（3'0?xf)(，解集在定义域内的部分为减区间．（4）解不等式三．典例分析')fx(：例1．已知导函数的下列信息'0?(x)f4x?1?时，；当'0?(x)f1x?x?4当时，，或；'0(x)f?1?x?4x，或当时，)?f(xy图像的大致形状．试画出函数'0x)f?()f(xy?41?x?解：当时，，可知在此区间内单调递增；'0)f?(x)(xy?f1x?x?4可知在此区间内单调递减；，或当时，；'0)f?(x1x?4x?时，．当，或，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”)xy?f(综上，函数所示．图像的大致形状如图3.3-4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间．例2．233?2xx3f(x)?x(fx)?x??（1）；（2）23?1x??24xf(x)?2x?3)x?(0,xxf()?sin?x4）；（3（）3x?x3(fx)?，所以，1）因为（解：2'203(?x??1)f)(x?3x?33x?3)f(x?x R 1因此，在上单调递增，如图3.3-5（）所示．- 3 -专心爱心用心．??'21?2x?2?2xf?(x)3??2x(fx)?x，所以，2）因为（'23?(x)?x?2xff(x)?01x?，即时，函数当单调递增；2'3?x?2x)f(x)?0f(x?1x?时，函数，即当单调递减；23?2xxf(x)??函数）所示．（2的图像如图3.3-5'?0xf()?cos x?1?)(0,x(fx)?sin x?x?，所以，3）因为（?x sin?x?f(x))(0,）所示．在3.3-5（因此，函数3单调递减，如图231x?24x??f(x)?2x3．）因为（4，所以2'3fxf()?0(x)?x?2x?；当，即时，函数2'3?)?x2x?xf?f(x)0(时，函数当；，即231xxf()?2?3x?24x?）所示．4的图像如图函数3.3-5（ 4）生练（）（注：3、例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相th的函数关系图像．与时间同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度- 4 -专心爱心用心．分以析：器容）（2为例，于由器容细上下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图 A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．像上，（????????????????C,3,?1??AB?,D24解：结不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．思考：例3表明，通过函数图像，合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．????0ba,0,)xy?f(所示，函数如图3.3-7，在或内的图像“陡峭”????a????,b,在．或内的图像“平缓”??232,1?1?12xx?3x?y?24．求证：函数内是减函数．在区间例??????2'22?1?6x?6x?12?6x?x?2?xx?y6证明：因为????23'2,1??x?2,11?y?2x?3x?12x0?y12??x?内时，即所以函数在区间当，是减函数．????b,fax在说明：证明可导函数内的单调性步骤：??'xf）求导函数；（1????'bxfa,内的符号；（2）判断在????''0f?xx?0f为增函数，（3）做出结论：为减函??321,1?)?Rx()f(x?4x?ax?x a的在区间上是增函数，求实数5例．已知函数3取值数．2范围．????2''1,1xf?0)?f(xax?f(x)4?2?2x对解：上是增函数，所以在区间，因为????21,1?1,1?xx??02x?ax??1?a?1?对恒成立，即恒成立，解之得：??1,1?a的取值范围为．所以实数- 5 -专心爱心用心．已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调说明：''0(x)?ff(x)?0”来求解，注；若函数单调递减，则性关系：即“若函数单调递增，则意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．1xy. =，试讨论出此函数的单调区间+例6．已知函数x1xy=()+解：′′x2)x?11(x?1)(x??2－x==1－1·22xx(x?1)(x?1)＞令0.2xxx1. 1或解得＜－＞1xy). ∞，+(－∞，－∴1)=和+(1的单调增区间是x)1x?x?1)((xx1. ＜0或00令＜，解得－1＜＜＜2x1xy，1)0)和+(0的单调减区间是(－1∴，=x四．课堂练习．求下列函数的单调区间11?23]2[?0,y=xlnxfxfx fxxxx x 1.(()=2 －6)=sin+7 2.4.()=, +2x 3. x练习2．课本五．回顾总结）函数的单调性与导数的关系????baf,x 3（）证明可导函数在内的单调性（1)xf(y? 2）求解函数单调区间（六．布置作业- 6 -专心爱心用心．- 7 -专心爱心用心．。

高中数学教学课例《函数的单调性与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思

变式 3：求函数 f(x)=√x-ln(x+1)的单调增区间. 针对学生易错点：忽视使导数为零的点的讨论而造成解题不完整而设计的．还是首先让学生自己解决，交流解题方法．很多学生会出现错误答案：单调增区间为(0,1)和 (1,+∞) 为了说明问题，把问题特殊化．提出新的问题：我们通过函数图像或利用函数单调性的定义已经证实了函数 y=x3 在 R 上为单调增函数，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．部分同学得到单调增区间是(-∞,0),(0,+∞)，这与以前学习的结论出现矛盾，怎样解决呢？再思考问题：我们已证明了反比例函数 y=1x 的单调性，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．
一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤；其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第 3 题中设置了参数 a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下，有些学生已经意识到有时要对 a 进行讨论，为下面针对参数的分类讨论埋下伏笔．
解：若函数在上是增函数，则大于或等于零在上恒成立恒成立，解得实数的取值范围为[2，4]. 针对变式 4 中学生出现的两种思路，教师再提出问题：请同学们思考下面这个问题：变式 5、（1）若函数的单调递减区间为（）求实数的取值范围．（2）若函数的在区间（）上单调递减，求实数的取值范围．我的思考：“单调递减区间为（）”与“在区间（）上单调递减”是两个截然不同的问题情境．设计这个变式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含义，二是对变式 4 两种思路的进一步明晰．学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案．（1）解：令导数，即，再讨论的符号，当>0 时，解得，所以函数的单调减区间为，函数的减区间为（），则（），所以，即；当 a=0 时，函数的导数恒成立．所以 a=0 时函数不存在单调减区间；当时，函数的导数总成立．

1.3.1 函数的单调性与导数课件(人教A版选修2-2) (1)

A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，则a≥－3x2[x∈(1，＋∞)]．∴a≥－3.
答案：B
练习题：1．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞ 0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0) 与(4，＋∞)，求k的值．
x ( 1 ,1) 3
.
3．已知函数f(x)＝ x ＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝
2
1
x＋1x
>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
1
234Fra bibliotekhh
h
h
o A t o B t o C t o D t
分析以容器2为例,由于容器
上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图象
上,A 符合上述变化情况.同理
可知其他三种容器的情况.
解 1→B, 2→A, 3→D, 4→C.
2 h
o A t
思考例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
一般地,如果一个函
y
数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围

高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.1《函数的单调性与导数》教案(2课时)

"福建省长乐第一中学2014高中数学第一章《1.3.1函数的单调性与导数（2课时）》教案新人教A 版选修2-2 "教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x=--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)f x x x xπ=-∈，所以，'()cos10f x x=-<因此，函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x∈-即21x-<<时，'0y<，所以函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x在(),a b内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x；（2）判断()'f x在(),a b内的符号；（3）做出结论：()'0f x>为增函数，()'0f x<为减函数．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．教后反思：。

高二数学 1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修2-2

1.3.1函数的单调性与导数1.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)解析:令F(x)=,则F(x)为奇函数,F'(x)=,∵当x<0时,F'(x)>0,∴F(x)在(-∞,0)内为增函数.又F(3)==0,∴F(-3)=0.∴当x<-3时,F(x)<0;当-3<x<0时,F(x)>0.又F(x)为奇函数,∴当0<x<3时,F(x)<0;当x>3时,F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式[g(x)恒不为0],∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).答案:D2.已知函数f(x)=x3-5x+4.(1)求这个函数的图象在x=1处的切线方程;(2)求证:对任意x1,x2∈(-2,2)且x1<x2,恒有f(x1)+x1>f(x2)+x2.(1)解:∵f'(x)=x2-5,∴k=f'(1)=-4.又∵f(1)=-,∴在x=1处的切线方程为y+=-4(x-1),即12x+3y-10=0.(2)证明:设g(x)=f(x)+x=x3-4x+4,∵g'(x)=x2-4=(x-2)(x+2),∴当x∈(-2,2)时,g'(x)<0.∴g(x)在(-2,2)内为减函数.则当x1,x2∈(-2,2)且x1<x2时,恒有g(x1)>g(x2).即当任意x1,x2∈(-2,2)且x1<x2时,恒有f(x1)+x1>f(x2)+x2.3.已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.求a的取值范围.解:由f(0)=1,f(1)=0得c=1,a+b=-1,则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x,f'(x)=[ax2+(a-1)x-a]e x.依题意可知对于任意x∈(0,1),有f'(x)<0.当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f'(0)=-a<0,所以需f'(1)=(a-1)e≤0,即0<a≤1;当a=0时,对于任意x∈(0,1),f'(x)=-x e x<0,符合条件;当a<0时,f'(0)=-a>0,不符合条件.故a的取值范围为[0,1].。

高中数学_函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。

根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。

整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。

2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。

3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像。

【教法预设】1．教学方法的选择：为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。

通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数教案新人教A版选修22

函数的单调性与导数【教学目标】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【教法指导】本节学习重点：掌握函数的单调性与导数的关系．本节学习难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．【教学过程】☆复习引入☆以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]．令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2，当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间．跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )【答案】 D☆课堂提高☆1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3. 所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．。

数学：1.3.1《函数的单调性与导数》教案(新人教A版选修2-2)

1.3.1函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程（一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数 f (x ) 的定义域为I ：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说 f (x )在这个区间上是增函数．当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说 f (x ) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性如果函数 y ＝f (x ) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝f (x ) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y ＝f (x ) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例1讨论函数y ＝x 2－4x ＋3的单调性．解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ，取值 f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22－4x 2+3) 作差＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)，定号 ∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减．判断当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)，∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减，y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增。

能否利用导数的符号来判断函数单调性？xy22-24O ＞0＜0f '(x )正负切线斜率增函数减函数y ＝f (x )(2,＋∞)(－∞,2)一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数；如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数．例2．教材P24面的例1。

高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《函数的单调性与导数》教学设计【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法-2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

"【教学过程】【！[ 》练习1求函数xxxf ln)(-=的单调区间.，讨论函数单调性的一般步骤是什么&1求定义域;2求函数()f x的导数,3 讨论单调区间，解不等式()0f x'>，解集为增区间；4解不等式()0f x'<，解集为减区间.、例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪一个{函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导数值小于零时，其函数为单调递减.教师根据一个学生的作图进行讲解.~由学生共同回答.\从函数的单调性和导数的正负关系的讨论环节中，不断的比较了函数和导函数的图像，因此设置该题，从熟悉的函数到该题，题目更容易解决.学生对所学知识进一步巩固和熟练掌握.。

:结论总结|(例题讲解—…练习2导函数图像如下图，则函数图像可能为（）(`分层作业:！学生思考并共同解决.:…—【板书设计】学情分析参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的概念是在高一第一学期学过的，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣；教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。

高中数学 §1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修2-2

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．3.3-3，导数'0()f x 如图表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。

高中数学：1.3.1《函数的单调性与导数(四)》教案(新人教A版选修2-2)

1.3.1 函数的单调性与导数（四）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程：（一）讲授新课1．曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．232．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=3＿．4．已知函数()11ax x f x e x -+=-。

（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

解：（I ） ()f x 的定义域为（-∞，1）（1，+∞）因为()201ax e x ->-（其中1x ≠）恒成立，所以()()2'020f x ax a >⇔+->⑴ 当02a <<时，()'0f x >在（-∞，0）（1，+∞）上恒成立，所以()f x 在（-∞，1）（1，+∞）上为增函数；⑵ 当2a =时，()'0f x >在（-∞，0）（0，1）（1，+∞）上恒成立，所以()f x 在（-∞，1）（1，+∞）上为增函数；⑶ 当2a >时，()220ax a +->的解为：（-∞，t -）（t ，1）（1，+∞）（其中t =所以()f x 在各区间内的增减性如下表：（II ）显然()01f =⑴ 当02a <≤时，()f x 在区间[0，1)上是增函数，所以对任意x ∈（0，1）都有()()0f x f >；⑵ 当2a >时，()f t 是()f x 在区间 [0，1)上的最小值，即()()0f t f <，这与题目要求矛盾；⑶ 若0a <，()f x 在区间[0，1)上是增函数，所以对任意x ∈（0，1）都有()()0f x f >。

高中数学 1.3.1《函数的单调性与导数》教案 新人教A版选修2-2

2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

高中数学 131函数的单调性与导数教案教案 新人教A版选修2 2

高中数学教学课例《函数的单调性与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思

1.3.1 函数的单调性与导数 课件(人教A版选修2-2) (1)

高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.1《函数的单调性与导数》教案(2课时)

高二数学 1.3.1函数的单调性与导数教案 新人教A版选修2-2