高考数学考点通关练第八章概率与统计单元质量测试理

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高考数学考点练习第八章概率与统计单元质量测试文

单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对答案 C解析由互斥事件和对立事件的概念可判断结果．2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )A．①随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样答案 B解析∵社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入的差别明显，∴①适宜采用分层抽样；而从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都较小，∴②适宜采用随机抽样．3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53答案 A解析由中位数、众数、极差的定义可知选项A正确．4．[2016·山东威海模拟]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12答案 A解析满足条件的向量m 共有4×3＝12(个)．由m ⊥n 得a ＝b .所以满足m ⊥n 的m 只有(3,3)与(5,5)两个，所以所求概率为P ＝212＝16.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.6答案 D解析每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．6．[2016·大连双基测试]从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( )A.15B.25 C.35 D.45答案 C解析基本事件有：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共20个，记“这个两位数大于30”为事件A ，有：31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共12个，则P (A )＝1220＝35.7．[2016·湖北七市联考]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值答案 B解析依题意，注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近，且该直线的斜率小于1，结合各选项，故选B.8．[2016·东北三省四市一模]在中秋节前，小雨的妈妈买来5种水果，4种肉类做月饼．要求每种馅只能用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅，则小雨妈妈做出水果馅月饼的概率是( )A.13B.58C.23D.79答案 B解析设5种水果分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,4种肉类分别为B 1，B 2，B 3，B 4，用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 4，A 5)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共16种，用水果做馅的共10种，所以做出水果馅月饼的概率是58.9．[2016·天津渤海一中质检]有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，根据以上信息，判断下列结论中正确的是( )A ．气温与热饮的销售杯数之间成正相关B ．当天气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮C ．当天气温为10 ℃时，这天恰卖出124杯热饮D ．由于x ＝0时，y ^的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性答案 B解析当x ＝2时，y ^＝－2×2.352＋147.767＝143.063，即这天大约可以卖出143杯热饮，故B 正确．10．下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r |越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越高；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位，故②不正确；线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义，在线性回归分析中，相关系数为r ，|r |越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对分类变量x 与y 的随机变量的观测值K 2来说，K 2越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，故⑤正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.11．[2017·石家庄模拟]在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.12．从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(被测学生的身高全部在155 cm 到195 cm 之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，绘制成的频率分布直方图如图所示．若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x ，y ，则|x －y |≤5的概率为()A.715 B.14 C.58 D.1116答案 A解析由频率分布直方图，可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a ，b ，c ，d ，身高在[190,195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A ，B ，若x ，y ∈[180,185)，则有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种情况，若x ，y ∈[190,195]，则有AB ，共1种情况，若x ∈[180,185)，y ∈[190,195]或x ∈[190,195]，y ∈[180,185)，则有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，共8种情况，所以基本事件的总数为6＋1＋8＝15，而事件“|x －y |≤5”所包含的基本事件数为6＋1＝7，故P (|x －y |≤5)＝715. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是________．答案 13解析 3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.14．为了实现素质教育，某校开展“新课改”动员大会，参会的有100名教师，1500名学生，1000名家长，为了解大家对推行“新课改”的认可程度，现采用恰当的方法抽样调查，抽取了n 个样本，其中教师与家长共抽取了22名，则n ＝________.答案 52解析根据题意可知采用分层抽样的方法最为合适，参会人数为100＋1500＋1000＝2600，设抽取教师x 名、家长y 名，则x ＋y ＝22，又x100＝y 1000＝n 2600，x ＋y 1100＝n2600，故n ＝52.15．某社会实践调查小组，在对高中学生“能否良好使用手机”的调查中，随机发放了120份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：最精确的p 的值应为________．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ，答案解析根据题意K 2≈3.03，又2.706<3.03<3.841，所以能够在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“能否良好使用手机与性别有关”，即最精确的p 的值为0.1.16．[2017·海淀模拟]现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．答案 56解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2), (A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式，得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．[2017·云南统测](本小题满分10分)某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位：万件)的数据如下表：(1)若从这5 (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计今年6月份该种产品的产量．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解 (1)设事件A 为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(m ，n )(其中m ，n 表示月份)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中事件A 包含的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，∴P (A )＝410＝25.(2)x ＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15×(4＋4＋5＋6＋6)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×4＋2×4＋3×5＋4×6＋5×6＝81，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝81－5×3×555－5×9＝0.6，a ^＝y －b ^x ＝5－0.6×3＝3.2，∴y ^＝0.6x ＋3.2. 当x ＝6时，y ＝6.8.故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．18．[2017·安徽联考](本小题满分12分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题．(1)求分数在[70,80)内的频率；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；(3)若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．解 (1)由题意，可得分数在[70,80)内的频率为 1－(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＝0.3. (2)因为分数在[40,70)内的频率为 (0.010＋0.015×2)×10＝0.4，所以中位数在[70,80)内，设中位数为x ，则 0．4＋(x －70)×0.310＝0.5，解得x ＝2203.(3)第1组中有学生60×0.1＝6人(设为1,2,3,4,5,6)，第6组中有学生60×0.05＝3人(设为A ，B ，C )．从两组学生中随机抽取2人，共有36个基本事件，满足条件的基本事件有18个，所以所求的概率为12.19．[2017·长春质检](本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为34，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .K 2＝150×50×120×80≈11.111>10.828，所以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，可以认为商品好评与服务好评有关． (2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次．假设好评的交易分别表示为A ，B ，C ，不满意的交易分别表示为a ，b ，从5次交易中，取出2次的所有取法(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种情况，其中只有一次好评的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，共6种，所以只有一次好评的概率为610＝35.20．[2016·衡中调研](本小题满分12分)某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．(1)求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；(2)若已从年龄在[35,45)，[45,55)的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这2人在不同年龄组的概率．解(1)各组年龄的人数分别为10,30,40,20.估计所有玩家的平均年龄为0.1×20＋0.3×30＋0.4×40＋0.2×50＝37(岁)．(2)根据分层抽样的特点，可知抽取的6人中，年龄在[35,45)范围内的人数为4，记为a，b，c，d；年龄在[45,55)范围内的人数为2，记为m，n.从这6人中选出2人，抽取的结果共有15种，列举如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)．设“这2人在不同年龄组”为事件A，则事件A所包含的基本事件有8种，故P(A)＝815.所以这2人在不同年龄组的概率为8 15 .21．[2016·贵阳质检](本小题满分12分)下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．(1)不要求证明)(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．解(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j，j＝1,2，…，13)．设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)＝613.(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A，即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150，小于300”，由题意可知P(A)＝P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)＝P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＋P(A11)＝8 13 .22．[2016·黄冈质检](本小题满分12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i(i＝1,2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中W i ＝lg I i ，W ＝110∑i ＝110W i(1)根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程D ^＝a ^＋b ^lg I ； (2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染．城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且1I 1＋4I 2＝1010.已知点P 的声音能量等于声音能量I 1与I 2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P 是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u2，α^＝v －β^u .解 (1)根据散点图，D ＝a ＋b lg I 适合作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程．令W i ＝lg I i ，先建立D 关于W 的线性回归方程，由于b ^＝∑i ＝110W i －WD i －D∑i ＝110W i －W2＝5.10.51＝10， ∴a ^＝D －b ^W ＝160.7，∴D 关于W 的线性回归方程是D ^＝10W ＋160.7，∴D 关于I 的线性回归方程是D ^＝10lg I ＋160.7. (2)点P 的声音能量I ＝I 1＋I 2，∵1I 1＋4I 2＝1010，∴I ＝I 1＋I 2＝10－10⎝ ⎛⎭⎪⎫1I 1＋4I 2(I 1＋I 2)＝10－10⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋I 2I 1＋4I 1I 2≥9×10－10，当且仅当I 2＝2I 1，即I 1＝3×10－10时等号成立．根据(1)中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值D ^＝10lg (9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60，∴点P 会受到噪声污染的干扰．。

高考数学考点完全题(文)考点通关练习题第八章概率与统计 51 含答案

1 13 7 B 互斥，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝ .
52 52 26
8．口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45 个，从口袋中摸出一
个球，摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为________．
答案 0.32
45 解析摸出红球的概率为＝0.45，
B．0.52
C．0.8
D．0.92
答案 D
解析由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是 0.2×0.4＝0.08，那么
其中至少有 1 人解决这个问题的概率是 1－0.08＝0.92，故选 D.
18．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军
3
1
的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
21 6 个，和为偶数的基本事件有(1,3)，(2,4)，共 2 个，故所求概率为＝ .
63
15．现有一枚质地均匀且表面分别标有 1、2、3、4、5、6 的正方体骰子，将这枚骰子
先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )
1
1
A.
B.
3
2
2
11
C.
D.
3
36
答案 D
解析将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为 6×6＝36 个，这两次出现的点数之
的概率是( )
A．0.1
B．0.2
C．0.25
D．0.8
答案 B
200 解析某男生被抽到的概率是＝0.2，故选 B.
1000
5．甲：A1、A2 是互斥事件；乙：A1、A2 是对立事件．那么( ) A. 甲是乙的充分不必要条件

高考数学考点通关练第八章概率与统计考点测试54随机抽样高三全册数学

A．30
B．31
C．32
D．33
解析由系统抽样的特点，得到样本中的座号形成一个以 3 为首项，公
差为 17－3＝14 的等差数列，则第三个座号是 17＋14＝31.故选 B．
第八页，共三十七页。
解析答案
5．从 1508 名学生中选取 30 名学生参加全国数学联赛，若采用下面的
方法选取：先用简单随机抽样法从 1508 人中剔除 8 人，剩下的 1500 人再
合唱社
粤曲社
武术社
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从
社团成员中抽取 30 人，结果合唱社被抽出 12 人，则这三个社团的总人数
为________．
答案解析
150 据题意，得这三个社团共有 30÷451＋215＝150(人)．
第十七页，共三十七页。
体组成，一位彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，
选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选
取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为1100000＝10.因
为 46 除以 10 余 6，所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的数，结合选项知应
为 616.故选 C．
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高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试57 排列与组合(含解析)新人教

考点测试57 排列与组合高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1．理解排列、组合的概念2．理解排列数公式、组合数公式3．能利用公式解决一些简单的实际问题一、基础小题1．4·5·6·…·(n－1)·n＝( )A．A4n B．A n－1nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析原式可写成n·(n－1)·…·6·5·4，故选D．2．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )A．3种B．6种C．9种D．12种答案 B解析甲、乙各选两个景点有C23C23＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．所以满足条件要求的选法共有9－3＝6种，故选B．3．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．6种C．9种D．18种答案 C解析解法一：A类选修课选1门，B类选修课选2门，共有C12C23＝6种不同的选法；A 类选修课选2门，B类选修课选1门，共有C22C13＝3种不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有6＋3＝9种．故选C．解法二：从5门课中选3门，共有C35种不同的选法，当在两类课中，有一类不选时，即B类选修课选3门，共有C33种不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有C35－C33＝9种．故选C．4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有( ) A．34种B．48种C．96种D．144种答案 C解析程序A有C12＝2种结果，将程序B和C看作一个整体与除A外的元素排列有A22A44＝48种，所以由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种答案 D解析解法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．解法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求，共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．6．六个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法种数为( )A．480 B．720C．240 D．360答案 A解析6个人任意排列，共有A66种排列方法，甲、乙站在一起的排列方法有A22A55种，则结果有A66－A22A55＝480种．故选A．7．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为，从“ Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A．360种B．480种C．600种D．720种答案 C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C45A55＝600种排列，故选C．8．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是( )A．C28C26C24A44A44B．A28A26A24A44C ．C 28C 26C 24A 44 D ．C 28C 26C 24答案 C解析 (分组分配法)将8名售票员平均分为4组，分配到4辆车上，有C 28C 26C 24种，再分配司机有A 44种，故共有方案C 28C 26C 24A 44种．故选C ．9．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是( )A ．60B ．90C ．120D ．180答案 B解析根据题意，分2步进行分析：①5本不同的书分成3组，一组一本，剩余两个小组每组2本，则有C 15C 24C 22A 22＝15种方法；②将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，则有A 33＝6种情况．所以总共有15×6＝90种不同的方法．故选B ．10．5名同学分配到3个不同宣传站做宣传活动，每站至少1人，其中甲、乙两名同学必须在同一个宣传站，则不同的分配方法的种数是________(用数字作答)．答案 36解析将5名同学分成三组，要求甲、乙在同一组的方法种数为C 23＋C 13＝6，将这三组分配到不同的宣传组的方法种数为A 33＝6，故所有的分配方法种数为6×6＝36.11．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．(用数字作答)答案 240解析假设4个路口分别为A ，B ，C ，D ，如果A 路口有2人，则共有C 25C 13C 12C 11种分配方法，同理若B ，C ，D 路口有2人，则每种情况共有C 25C 13C 12C 11种分配方法，故总的分配方法有4C 25C 13C 12C 11＝240种．12．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．答案 120解析 1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有A 33A 34＝144个，4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2C 13C 12A 22＝24个，所以所求六位数共有144－24＝120个．二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C．24种D．36种答案 D解析由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A22＝36种，故选D．14．(2016·某某高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72答案 D解析奇数的个数为C13A44＝72.故选D．15．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规X01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规X01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个答案 C解析当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0，4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规X01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个．故选C．16．(2018·某某高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)答案1260解析若不取零，则排列数为C25C23A44；若取零，则排列数为C25C13C13A33，因此一共有C25C23A44＋C25C13C13A33＝1260个没有重复数字的四位数．17．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)答案16解析根据题意，没有女生入选有C34＝4种选法，从6位学生中任意选3人有C36＝20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．18．(2017·某某高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案1080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35C14A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080个．19．(2017·某某高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660解析解法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480种选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180种选法．所以依据分类加法计数原理，知共有480＋180＝660种不同的选法．解法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种．故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660种．三、模拟小题20．(2019·某某一模)某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有( )A．96种B．84种C．78种D．16种答案 B解析恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门共有C24＝6种，4名学生选2门课共有24＝16种，排除4名同学全选其中一门课程为16－2＝14种，故有14×6＝84种．故选B．21．(2020·某某市天河区毕业班综合测试)安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A．360种B．300种C．150种D．125种答案 C解析5名学生分成3组，每组至少1人，有3,1,1和2,2,1两种情况：①3,1,1：分组共有C 35C 12A 22＝10种分法；再分配到3个社区：10A 33＝60种．②2,2,1：分组共有C 25C 23A 22＝15种分法；再分配到3个社区：15A 33＝90种．综上所述，共有60＋90＝150种安排方式．故选C ．22．(2019·某某市调研考试)某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A ．720种B ．360种C ．300种D ．600种答案 C解析先安排好除丙之外的5个节目，有A 55A 22＝60种可能，再安排丙，有5种可能，共300种方案，故选C ．23．(2019·某某二检)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ；任务B 、任务C 不能相邻．则不同的执行方案共有( )A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种答案 B解析六项不同的任务分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D ，F ，再在D ，F 之间的3个空位中插入B ，C ，此时排列方法有A 22A 23＝12种；如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A ，E 的两侧，排列方法有C 13A 22A 22＝12种，可能都在A ，E 的右侧，排列方法有A 22A 22＝4种；如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A ，E 的两侧，排列方法有C 12C 12A 22A 22＝16种；所以不同的执行方案共有12＋12＋4＋16＝44种．24．(2019·某某市长安一中二模)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( )A ．72B ．120C ．192D ．240答案 D解析末尾是2或6，不同的偶数个数为C 12A 35＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A 55＝120，故共有120＋120＝240个．故选D ．25．(2019·某某某某一中一模)某高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( )A．24种B．36种C．42种D．60种答案 D解析若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A33＝6种；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有C23C23A22A22＝36种；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有C13A33＝18种．综上，这3个同学的不同进站方式有60种，故选D．26．(2019·某某一调)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A．36种B．24种C．22种D．20种答案 B解析第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得A33A22＝12种，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排C23A22A22＝12种，不同的推荐方法共有12＋12＝24种，故选B．27．(2019·某某、某某等十四校第二次联考)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A，B，C，D四类课外书(每类课外书均有若干本)，已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种数为( ) A．48 B．54C．60 D．72答案 C解析分两类：乙、丙、丁、戊四位同学借A，B，C，D四类课外书各1本，共A44＝24种方法；乙、丙、丁、戊四位同学借B，C，D三类课外书各1本，共有C24A33＝36种方法，故方法总数为60种．故选C．28．(2019·某某联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻即相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成(n－2)个间隔中，故有A3n－2种，恰有2辆相邻即先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成的(n－2)个间隔中，故有A23A2n－2种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A3n－2＝A23A2n－2，解得n＝10.29．(2019·某某质检)20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120种方法．30．(2020·某某市高三上学期期末)把分别写有1,2,3,4,5的五X卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一X，且若分得的卡片超过一X，则必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案36解析先将卡片分为符合条件的3份，由题意，得3人分5X卡片，且每人至少一X，至多三X，若分得的卡片超过一X，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这5个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C24＝6种情况，再对应到3个人，有A33＝6种情况，则共有6×6＝36种情况．本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计 64 word版含答案

考点测试64 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是( )A.809 B.559 C.509 D.103答案 C解析由题意，一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，所以E (X )＝509.故选C. 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案 B解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000,0.1)，∴E (ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (ξ)＝200.4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B解析由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E (5ξ＋1)＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 C解析 ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝A 313A 315＝2235，于是E (ξ)＝0×35＋1×35＋2×35＝5，故E (5ξ＋1)＝5E (ξ)＋1＝5×25＋1＝3.6．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：答案甲解析设投资经营甲、乙两种商品的获利分别为X ，Y ，则E (X )＝2×0.4＋3×0.3－1×0.3＝1.4，E (Y )＝1×0.6＋4×0.2－2×0.2＝1，从而E (X )>E (Y )，即投资经营甲种商品的平均获利较多，故此人应该选择经营甲种商品．7．随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ<30)＝0.2，则P(30<ξ<50)＝________.答案0.6解析根据正态分布曲线的对称性，可得P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6.8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例答案4760元解析由题意知一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．二、高考小题9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.)A．2386 B．2718 C．3413 D．4772答案 C解析由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线，所以P(－1<X<1)＝0.6826，由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X<1)＝0.3413，即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P＝0.34131＝0.3413.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.10．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 答案 C解析由曲线X 的对称轴为x ＝μ1，曲线Y 的对称轴为x ＝μ2，可知μ2>μ1. ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；由图象知σ1<σ2且均为正数， ∴P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，由题中图象知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，故C 正确，D 错．11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)； (b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 答案 A解析取m ＝3，n ＝3，则p 1＝36×1＋36×12＝34＝912，p 2＝C 23C 26×1＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝15＋35×23＋15×13＝23＝812， ∴p 1>p 2.ξ1的分布列为：ξ112∴E (ξ1)＝1×2＋2×2＝2；ξ2的分布列为：∴E (ξ2)＝1×15＋2×5＋3×5＝2，∴E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.12．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．答案 0.1解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，，则D (ξ)＝________.⎭⎪⎫－15＝1，解得p ＝35. 故D (ξ )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.三、模拟小题14．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.15．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ 的数学期望E (ξ)为( )A.179 B.199 C ．2 D.73答案 A解析由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝A 3333＝627，P (ξ＝2)＝C 23·A 22·C 2333＝1827，P (ξ＝3)＝C 1333＝327， ∴E (ξ)＝1×627＋2×1827＋3×327＝179，故答案为A.16．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×＝12×(1－95.44%)＝0.0228，∴用电量在320度以上的户数约为0.0228×1000＝22.8≈23，故选B.17．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800 答案 A解析 P (X <90)＝P (X >110)＝110，P (90≤X ≤110)＝1－110×2＝45，P (100≤X ≤110)＝25，1000×25＝400.故选A.18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝1，a 2＝a 4＝0，则A ＝10101)，其中二进制数A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83B.113C.89D.119 答案 B解析解法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181，P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881，P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113. 解法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.一、高考大题1．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13×⎭⎪⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2× ⎛⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23所以数学期望E (X )＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝6. 2．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ， P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为：E (X )＝200×10＋300×10＋400×10＝350(元)．二、模拟大题3．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X ，.P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝3(元)．4．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544，由正态分布的对称性，得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772.(2)设A 型车、B 型车的数量分别为x ，y ，则相应的营运成本为1600x ＋2400y .依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7及P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 过点P 时在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．5．某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元. 在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和所以随机变量X 的分布列为：所以E (X )＝1902＋4＋6－12＝125(元)．②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件，依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫23413＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243.6．某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．解 (1)设事件B 为“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”，则P (B )＝C 14C 12C 26＝815.(2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件．件时，E (ξ)＝150×4＝600，件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－－2x ，由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为，x ∈N *.。

2020年高考数学考点通关练第八章概率与统计67变量间的相关关系与统计案例课件理

解析根据列联表中的数据，可以求得 K2＝3926×8× 393× 241×671－ 962×9× 1916572≈1.779，而 K2<2.072，所以我们不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
二、高考小题
9．[2015·全国卷Ⅱ]根据下面给出的 2004 年至 2013 年
n
yi－^yi2
i＝1
1－
＝1.
n
yi－ y 2
i＝1
5. 设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n
个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线
性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(
)
A．直线 l 过点( x ， y ) B．x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C．x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D．当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同
解析由于 K2＝3103××61× 7×9－ 147××1862≈0.0024，由于 K2 很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选 D.
7. 如图所示，有 5 组(x，y)数据，去掉____D____组数据后，剩下的 4 组数据具有较强的线性相关关系．
解析由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉 D.
4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2， x1，x2，…，xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i
＝1,2，…，n)都在直线 y＝12x＋1 上，则这组样本数据的样
本相关系数为(
)
A．－1 B．0 C.12 D．1

高考数学考点通关练第八章概率与统计考点测试53几何概型高三全册数学

解析如题图，设 BC＝2，以 B 为圆心的扇形的面积为π×622＝23π，又 △ABC 的面积为12× 23×2×2＝ 3，∴勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形的面积，即为23π×3－2 3＝2π－2 3，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为2π－32 3＝2π－3 3，故选 B．
第三页，共四十二页。
一、基础小题
1．在区间(0,4)上任取一数 x，则14<2x－1<1 的概率是(
)
A．12
B．13
C．14
D．34
解析由题设可得－2<x－1<0，即－1<x<1，所以 d＝1，D＝4，则由
几何概型的概率公式可知所求概率 P＝14.故选 C．
第四页，共四十二页。
解析答案
2．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正
4,5]的长度为 9，定义域 D 的长度为 5，∴P＝59.
第二十七页，共四十二页。
解析答案
三、模拟小题
18．(2019·福建联考)已知边长为 2 3的正方形 ABCD 的中心为点 P，在
正方形 ABCD 内任取一点 Q，则点 Q 满足|PQ|≤2 的概率为( )
π＋3 3 A． 9
π＋3 3 B． 12
他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆
心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧
围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则
此点取自等边三角形内部的概率为( )
2π－3 3 A．2π－ 3
B．2π－3 3
C．2π＋3 3
2π－3 3 D．2π＋ 3
答案

2024高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试52古典概型含解析苏教版

考点测试52 古典概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1．理解古典概型及其概率计算公式2．会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率一、基础小题1．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最终一位数字，假如随意按密码的最终一位数字，则正好按对密码的概率是( )A ．1106B ．1105C ．1102D ．110答案 D解析只考虑最终一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为110. 2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个给甲打电话的概率是( )A ．16B ．13C ．12D ．23答案 B解析给三人打电话的不同依次有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.3．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中随意选取两种，则它们相克的概率为( )A ．13B ．23C ．310D ．710答案 C解析已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中随意选取两种，基本领件总数n ＝C 25＝10，∴它们相克的概率为P ＝310.故选C ． 4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，假如从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A ．15B ．310C ．25D ．12答案 C解析基本领件有C 25＝10个，其中为同色球的有C 23＋C 22＝4个，故所求概率为410＝25.故选C ．5．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案 B解析 3卷文集随机排列，共有A 33＝6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.故选B ．6．甲、乙两人玩猜数字嬉戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现随意找两人玩这个嬉戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.1125B ．1225 C ．1325 D ．1425答案 C解析随意两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本领件有25种，“心有灵犀”的状况包括(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”的概率为1325，故选C.7．某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机支配2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，则甲、乙两人同时被支配到A 展区的概率为( )A.112B ．16C ．13D ．12答案 B解析随机支配2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，列举可知有6种不同的方法，乙两人同时被支配到A 展区的概率为P ＝16.8．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________．答案712解析 ∵a ·b ＝m －n ，夹角θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴a ·b ≥0，即m ≥n .满意θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的点A (m ，n )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A (m ，n )的基本领件总数为36，故所求概率为2136＝712.二、高考小题9．(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B ．35 C ．25 D ．15答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的全部可能状况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的状况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.10．(2024·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3答案 D解析设2名男同学为A 1，A 2,3名女同学为B 1，B 2，B 3，从以上5名同学中任选2人总共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共10种可能，选中的2人都是女同学的状况共有B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P ＝310＝0.3.故选D.11．(2024·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为( )A.45 B ．35 C ．25 D ．15 答案 C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色调笔的取法有10种，其中取出的2支彩笔中含有红色调笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C.12．(2024·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为( )A.110B ．15C ．310D ．25 答案 D解析由列举法可知，从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.故选D.13．(2024·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．答案710解析解法一：设3名男同学分别为A ，B ，C,2名女同学分别为a ，b ，则全部等可能事务分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事务所包含的基本领件分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为710.解法二：同解法一，得全部等可能事务共10个，选出的2名同学中没有女同学的事务所包含的基本领件分别为AB ，AC ，BC ，共3个，故所求概率为1－310＝710.14．(2024·江苏高考)将一颗质地匀称的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．答案 56解析先后抛掷2次骰子，全部可能出现的结果共36个，其中点数之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P ＝3036＝56.三、模拟小题15.(2024·陕西渭南质检)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国闻名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23 B ．12 C ．15 D ．25答案 B解析现从五种不同属性的物质中任取两种，基本领件总数为10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本领件个数为5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P ＝m n ＝510＝12.故选B.16．(2024·南昌一模)2024年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都打算选历史，假如他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )A.136B ．116C ．18D ．16答案 D解析由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6种方法，所以他们选课相同的概率为16，故选D.17．(2024·沈阳质量监测)某英语初学者在拼法单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最终两个位置，假如他依据已有信息填入上述三个字母，那么他拼法正确的概率为( )A.16 B ．14 C ．12 D ．13答案 B解析由题知可能的结果有：eak ，aek ，eka ，ake ，共4种，其中正确的只有一种eak ，所以拼法正确的概率是14，故选B.18．(2024·大连摸底)元旦即将来临之际，3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任一张都是等可能的，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是( )A.12 B ．14 C ．16 D ．13答案 D解析依题意得，这3名同学从他们所写的三张贺卡中各抽取一张，总的方法数为6，其中每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的方法数为2，因此所求的概率为26＝13，故选D.19．(2024·兰州诊断)某区要从参与扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A.15B ．25C ．35D ．710答案 D解析从5名干部中随机选取2人有10种选法，其中选中A 没选中B 有3种选法，选中B 没选中A 有3种选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝710，故选D. 20．(2024·成都一诊)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场竞赛，若有优势的马肯定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A.49 B ．59 C ．23 D ．79答案 C解析将齐王的上等、中等、下等马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b 1，b 2，b 3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行竞赛，其对阵状况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵状况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P ＝69＝23，故选C.一、高考大题1．(2024·天津高考)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○②设M 为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M 发生的概率．解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．②由表格知，符合题意的全部结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事务M 发生的概率P (M )＝1115.2．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M 为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M 发生的概率．解 (1)由已知，得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以事务M 发生的概率P (M )＝521.3．(2024·山东高考)某旅游爱好者支配从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本领件有15个．所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事务的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本领件有9个．包括A 1但不包括B 1的事务所包含的基本领件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事务的概率为P ＝29.二、模拟大题4．(2024·济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中随意选取2人，求至少有一名男生的概率．解 (1)由题得男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中随意选取2人共有10种，抽取的2人中没有一名男生有3种，则至少有一名男生有10－3＝7种．故至少有一名男生的概率为P＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.5．(2024·成都市高三摸底考试)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成果达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下，A类行业：85,82,77,78,83,87；B类行业：76,67,80,85,79,81；C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行沟通发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．解(1)由题意，抽取的三类行业单位个数之比为3∶3∶4.由分层抽样的定义，有A类行业单位的个数为310×200＝60，B类行业单位的个数为310×200＝60，C类行业单位的个数为410×200＝80.∴A，B，C三类行业单位的个数分别为60,60,80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事务M.在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有{85,82,77}，{85,82,78}，{85,82,83}，{85,82,87}，{85,77,78}，{85,77,83}，{85,77,87}，{85,78,83}，{85,78,87}，{85,83,87}，{82,77,78}，{82,77,83}，{82,77,87}，{82,78,83}，{82,78,87}，{82,83,87}，{77,78,83}，{77,78,87}，{77,83,87}，{78,83,87}，共20种．这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有{85,82,83}，{85,82,87}，{85,83,87}，{82,83,87}，共4种．这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种．∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种．∴所求概率P(M)＝1－420＝45.- 11 -。

高考数学考点通关练第八章概率与统计 61 几何概型试题理

考点测试61 几何概型一、基础小题1．设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13.2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 答案 C解析试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113B.19C.14D.12 答案 B解析由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22π×62＝19.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案 B解析以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14 答案 C解析当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.7．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( ) A.22 B ．1－22 C.π8 D.π4答案 D解析以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D .依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACDS △ABC＝18π·AC 212AC 2＝π4. 8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.13B.23C.14D.34 答案 B解析不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 答案 B解析正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43×π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. 10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )A ．1－π12B ．1－π10 C.π6 D.π24答案 A解析记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于24－2π24＝1－π12.11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )A.12B.13C.14D.23 答案 B解析在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x ，y,3－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3－x －y >0，而恰有两条线段的长度大于1，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，0<3－x －y <1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，0<y <1，3－x －y >1或⎩⎪⎨⎪⎧y >1，0<x <1，3－x －y >1.作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P＝12×1×1×312×3×3＝13.12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.二、高考小题13．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B. 解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.14．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n答案 C解析如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.15．[2015·陕西高考]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析 ∵|z |≤1， ∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作出如右图．∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12，故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.16．[2015·湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析依题意知点(x ，y )形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.而满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78；满足|x －y |≤12的区域如图2中的阴影部分，其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34；满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，其面积为S 3＝12×1＋12xd x ＝12＋12ln x ⎪⎪⎪⎪112＝12＋12ln 2， ∴p 3＝S 3S ＝12＋12ln 2.∵p 1－p 3＝38－12ln 2＝3－4ln 28＝18ln e316，而e 3>16，∴p 1－p 3>0，即p 1>p 3. 而p 2－p 3＝14－12ln 2＝14ln e4<0，∴p 2<p 3，∴p 1>p 3>p 2.17．[2016·山东高考]在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案 34解析直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2<3，解之得－34<k<34，故所求概率为P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.18. [2015·福建高考]如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析由题图可知阴影部分的面积S 阴影＝S 矩形ABCD －⎠⎛12x 2d x ＝1×4－x 33⎪⎪⎪21＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53，则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512.三、模拟小题19．[2016·咸宁模拟]若任取x ，y∈[0,1]，则点P(x ，y)满足y≤x 12的概率为( )A .22 B .13 C .12 D .23答案 D解析如图，∵阴影部分的面积S ＝⎠⎛01x 12 d x ＝23x 32 ⎪⎪⎪10＝23，∴所求概率P ＝S 1×1＝23. 20．[2017·安庆质检]在区间[0,1]上随机取两个数m 、n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为( )A .18 B .17 C .16 D .15答案 A解析 ∵方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝n －4m≥0，如图，易知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m≥0，0≤m≤1，0≤n≤1表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18. 21．[2017·银川一中月考]甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00 之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A .16B .14C .13D .12答案 C解析由题意知若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是A ＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13.22．[2016·福建莆田模拟]任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是()A .24 B .14 C .18 D .116答案 C解析依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C .23．[2017·鞍山模拟]设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现将直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．答案 14解析如图所示，记事件A 为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm ，则小等边三角形的边长为43－23＝23(cm )，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝34323432＝14.24．[2016·正定月考]如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．答案 34解析当AM ＝AC 时，△ACM为以∠A 为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM<AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·宝鸡月考]如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.(1)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；(2)乙、丙二人各射击一次，记U ，V 分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U ，V 取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜(即U<V)的概率．解 (1)设乙、丙射击一次的得分分别为Y ，Z ，则Y 的所有可能取值为5,3,2，Z 的所有可能取值为5,3,2，P(Y ＝5)＝π42π＝116， P(Y ＝3)＝32π－π42π＝816，P(Y ＝2)＝42π－32π42π＝716， P(Z ＝5)＝π52π＝125， P(Z ＝3)＝32π－π52π＝825，P(Z ＝2)＝52π－32π52π＝1625. 故所求概率P 1＝116×825＋116×1625＋816×1625＝1950.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，U<V所表示的可行域如图中阴影部分所示，根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P 2＝12＋4×5＝35. 2．[2017·湖北荆州模拟]甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x≥1或x －y≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y)|y －x≥1或x －y≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝10131152. 3．[2016·山东临沂一模]设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax ，g(x)＝b x. (1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)＋g(x)|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a>0，b>0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f(x)＋g (x)|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a ＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P(B)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。

2020高考数学考点通关练第八章概率与统计60古典概型试题理

14．[20xx·洛阳统考]安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A. B. C. D.1
2
答案B
解析由题意分析可得甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种，∴所求概率P＝＝.
15．[20xx·江西联考]某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为( )
A.C112·C16·C120
C322－C310
B.C112·C14＋C112·C26
C310
C.C112·C16·C14＋C26＋C212·C16
C322－C310
D.C322－C310－C316
C322－C310
答案C
解析任取3道，取到选择题共有m1＝(C－C)种，任取3道取到选择题也取到解答题共有m2＝C·(C·C＋C)＋C·C，易知所求概率P ＝，故选C.
16．[20xx·河南模拟]有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A. B. C. D.3
5
答案B。

高考数学考点完全题(理)考点通关练习题第八章概率与统计 62 含答案

则 P(X＝0)等于( )
112 A．0 B. C. D.
233
答案 C
解析设失败率为 p，则成功率为 2p.
∴X 的分布列为：
X
0
1
P
p
2p
则“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，
1 ∴由 p＋2p＝1，得 p＝，
3 1 即 P(X＝0)＝ . 3 3．设 X 是一个1
1 P
2
1－2q
q2
则 q 等于( )
2
2
2
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
2
2
2
答案 C
解析由分布列的性质知Error! 2
∴q＝1－，故选 C. 2
4．在 15 个村庄有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个 C47C68
村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( ) C105
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 5
35
此 P(X＝12)＝ C191 9· 2＝C191 10 2.
88 8
88
8．随机变量 X 的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________.
2 答案
3 解析 ∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c.
a
12．随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝
(n＝1,2,3,4)，其中 a 是常
nn＋1
( ) 1
5
数，则 P < X < 的值为( )
2
2
2345 A. B. C. D.

届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试用样本估计总体含解析新人教B版

考点测试66 用样本估计总体高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差3．能从样本数据中提取根本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征，理解用样本估计总体的思想5．会用随机抽样的根本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题一、根底小题1．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，那么销售量的中位数是( )A．13 B．14C．15 D．16答案 C解析由题意得，中位数是14＋162＝15.选C．2．某学校A，B两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示，通过茎叶图比拟两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A班兴趣小组的平均成绩高于B班兴趣小组的平均成绩；②B班兴趣小组的平均成绩高于A班兴趣小组的平均成绩；③A班兴趣小组成绩的标准差大于B班兴趣小组成绩的标准差；④B班兴趣小组成绩的标准差大于A班兴趣小组成绩的标准差．其中正确结论的编号为( )A．①④B．②③C．②④D．①③答案 A解析A班兴趣小组的平均成绩为115×(53＋62＋64＋…＋92＋95)＝78，其方差为115×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6，那么其标准差为121.6≈11.03；B 班兴趣小组的平均成绩为115×(45＋48＋51＋…＋91)＝66，其方差为115×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2，那么其标准差为175.2≈13.24.应选A ．3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．假设低于60分的人数是15，那么该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.应选B ． 4．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，假设中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，那么中间一组的频数为( ) A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16 答案 D 解析设中间一组的频数为x ，依题意有x 80＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 80，解得x ＝16. 5．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族〞每天在工作之余使用上网的时间，并将其绘制为如下图的频率分布直方图，假设同一组数据用该区间的中点值作代表，那么可估计该地“上班族〞每天在工作之余使用上网的平均时间是( )A ．1.78小时B ．2.24小时C ．3.56小时D ．4.32小时答案 C解析该地“上班族〞每天在工作之余使用上网的平均时间是(1×0.12＋3×0.2＋5×0.1＋7×0.08)×2＝3.56(小时)．6．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，那么以下结论正确的选项是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化。

2019-2020学年度高考数学考点通关练第八章概率与统计66用样本估计总体试题理

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高考数学考点通关练第八章概率与统计66用样本估计总体试题理______年______月______日____________________部门一、基础小题1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：X 1234 5f a 0.20.450.150.1则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为( )A．40 B．20 C．30 D．60答案B解析由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.2．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( ) A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化答案B解析由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x8.38.88.88.7方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案C解析由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.4. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为( ) A．20 B．25 C．22.5 D．22.75答案C解析产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，选C.5. 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．答案甲解析根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为＝85，乙同学成绩的平均数为＝85，故甲同学成绩的方差为×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝>40，故成绩较稳定的是甲．6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案乙解析甲的平均数x1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x1＝x2；甲的方差s＝[(7－4)2×2＋(7－5)2×1＋(7－7)2×3＋(7－8)2×1＋(7－9)2×2＋(7－10)2×1]＝4，乙的方差s＝[(7－5)2×1＋(7－6)2×2＋(7－7)2×4＋(7－8)2×2＋(7－9)2×1]＝1.2，所以s>s，即参加比赛的最佳人选为乙．二、高考小题7．[20xx·山东高考]某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A．56 B．60 C．120 D．140答案D解析由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.8．[20xx·重庆高考]××市20xx年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．23答案B解析由茎叶图，可知这组数据的中位数为＝20.9．[20xx·安徽高考]若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )A．8 B．15 C．16 D．32答案C解析设数据x1，x2，…，x10的平均数为，标准差为s，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均数为2－1，方差为＝＝4s2，因此标准差为2s＝2×8＝16.故选C.10．[20xx·山东高考]为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A．6 B．8 C．12 D．18答案C解析由题图，可知第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.11．[20xx·陕西高考]设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a答案A解析∵x1，x2，…，x10的均值＝1，方差s＝4，且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的均值＝(y1＋y2＋…＋y10)＝(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝＋a＝1＋a，其方差s＝[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y10－)2]＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s＝4.故选A.12．[20xx·湖南高考]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案4解析由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间[139,151]上的共有4组，故成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.三、模拟小题13．[20xx·唐山测试] 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A．13 B．14 C．15 D．16答案C解析由茎叶图可知这些数分别为：5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为＝15，故选C.14．[20xx·广东汕头一模]气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有( )A．①②③ B．①③ C．②③ D．①答案B解析由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.15．[20xx·石家庄月考]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为x，则( )A．me＝m0＝x B．me＝m0<xC．me<m0<x D．m0<me<x答案D解析显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)，则中位数是第15,16个数(5与6)的平均数＝5.5(分)，众数为5，平均数x＝＋8＋9＋＋＋＋10×5＋6×630≈5.97(分)，所以m0<me<x，故选D.16．[20xx·北京××区模拟]某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案50 1015解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.17．[20xx·丽水一模]为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．答案54解析前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.18．[20xx·兰州调研]某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a，则a的值为________．答案67.5解析平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.一、高考大题1．[20xx·广东高考]某工厂36名工人的年龄数据如下表：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?解(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x＝＝40，方差s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝.(3)由(2)知s＝，所以－s＝36，＋s＝43.因为年龄在－s与＋s之间共有23人，所以其所占的百分比是≈63.89%.2．[20xx·四川高考]我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解(1)由频率分布直方图，知月均用水量在 [0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1.解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以 2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．二、模拟大题3．[20xx·山东德州月考]汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从20xx年开始，对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：甲80110120140150乙100120x y 160经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的平均值为乙＝120 g/km.(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x 的取值范围．解(1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲＝＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO2排放量的方差s＝[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2]÷5＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙＝＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s＝[(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(220－x－120)2＋(160－120)2]÷5，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s<s，解得90<x<130.4．[20xx·湖南六校联考]为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司的快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．解(1)甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数为36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，由题意知X的所有可能取值为136,147,154,189,203.X的分布列为：X 136147154189203P11031015310110E(X)＝136×＋147×＋154×＋189×＋203×＝＝165.5(元)．(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4965元．5．[20xx·安徽蚌埠质检]一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克．50个样本小球重量的平均值为＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．(2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为0.2，则X～B.X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C03＝，P(X＝1)＝C2＝，P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝C30＝.∴X的分布列为：X 012 3P6412548125121251125∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×1125＝.6．[20xx·河北正定检测]某超市从20xx年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s，s，试比较s与s的大小；(只需写出结论)(2)以日销售量落入各组的频率作为概率，估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；(3)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．解(1)根据频率分布直方图的性质，得(0.020＋0.010＋a＋0.030＋0.025)×10＝1，解得a＝0.015.根据频率分布直方图，估计s>s.(2)设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的日销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的日销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝0.3.所以P(C)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.42.(3)由题意，可知X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C×0.30×0.73＝0.343，P(X＝1)＝C×0.31×0.72＝0.441，P(X＝2)＝C×0.32×0.71＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33×0.70＝0.027.所以X的分布列为：X 012 3P 0.3430.4410.1890.027所以X的数学期望E(X)＝0×0.343＋1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.。

高考数学考点通关练第八章概率与统计 66 用样本估计总体试题理-人教版高三全册数学试题

考点测试66 用样本估计总体一、基础小题1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：X 1234 5f a 0.20.450.150.1则在所取的200A．40 B．20 C．30 D．60答案 B解析由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.2．对于一组数据x i(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为x i＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化答案 B解析由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x8.38.88.88.7方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案 C解析由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.4. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.75答案 C解析产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5，得x ＝22.5，选C.5. 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．答案甲解析根据众数及中位数的概念易得x ＝5，y ＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋85＋85＋92＋967＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋83＋91＋91＋967＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3987>40，故成绩较稳定的是甲．6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案乙解析甲的平均数x1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x1＝x2；甲的方差s21＝110[(7－4)2×2＋(7－5)2×1＋(7－7)2×3＋(7－8)2×1＋(7－9)2×2＋(7－10)2×1]＝4，乙的方差s22＝110[(7－5)2×1＋(7－6)2×2＋(7－7)2×4＋(7－8)2×2＋(7－9)2×1]＝1.2，所以s21>s22，即参加比赛的最佳人选为乙．二、高考小题7．[2016·某某高考]某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的X围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140 答案 D解析由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.8．[2015·某某高考]某某市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( ) A ．19 B ．20 C ．21.5 D ．23 答案 B解析由茎叶图，可知这组数据的中位数为20＋202＝20.9．[2015·某某高考]若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32 答案 C解析设数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为x ，标准差为s ，则2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的平均数为2x－1，方差为[2x1－1－2x－1]2＋[2x2－1－2x－1]2＋…＋[2x10－1－2x－1]210＝4x1－x2＋4x2－x2＋…＋4x10－x210＝4s2，因此标准差为2s＝2×8＝16.故选C.10．[2014·某某高考]为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒X压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A．6 B．8 C．12 D．18答案 C解析由题图，可知第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有200.40＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.11．[2014·某某高考]设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( ) A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a答案 A解析∵x1，x2，…，x10的均值x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y 1，y 2，…，y 10的均值y ＝110(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ，其方差s 22＝110[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 10－y )2]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝s 21＝4.故选A.12．[2015·某某高考]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案 4解析由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间[139,151]上的共有4组，故成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.三、模拟小题13．[2017·某某测试] 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．16 答案 C解析由茎叶图可知这些数分别为：5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为14＋162＝15，故选C.14．[2016·某某某某一模]气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．① 答案 B解析由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.15．[2017·某某月考]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x 答案 D解析显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)，则中位数是第15,16个数(5与6)的平均数5＋62＝5.5(分)，众数为5，平均数 x ＝2×3＋8＋9＋10＋3×4＋7＋10×5＋6×630≈5.97(分)，所以m 0<m e <x ，故选D.16．[2016·海淀区模拟]某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案50 1015解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.17．[2017·某某一模]为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．答案54解析前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.18．[2017·某某调研]某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a，则a的值为________．答案67.5解析平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.一、高考大题1．[2015·某某高考]某工厂36名工人的年龄数据如下表：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，方差s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝19[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝1009. (3)由(2)知s ＝103，所以x －s ＝3623，x ＋s ＝4313.因为年龄在x －s 与x ＋s 之间共有23人，所以其所占的百分比是2336≈63.89%.2．[2016·某某高考]我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．解 (1)由频率分布直方图，知月均用水量在 [0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1.解得a ＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x <3.由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．二、模拟大题3．[2016·某某某某月考]汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO 2排放量超过130 g/km 的MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI 型品牌的新车各抽取了5辆进行CO 2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：甲 80 110 120140150 乙100120x y160经测算发现，乙类品牌车CO 2排放量的平均值为x 乙＝120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO 2的排放量稳定性好，求x 的取值X 围．解 (1)甲类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 甲＝80＋110＋120＋140＋1505＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2甲＝[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2]÷5＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 乙＝100＋120＋x ＋y ＋1605＝120(g/km)，得x ＋y ＝220，故y ＝220－x ，所以乙类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2乙＝[(100－120)2＋(120－120)2＋(x －120)2＋(220－x －120)2＋(160－120)2]÷5，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s 2乙<s 2甲，解得90<x <130.4．[2017·某某六校联考]为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司的快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．解(1)甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数为36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，由题意知X的所有可能取值为136,147,154,189,203.X的分布列为：X 136147154189203P11031015310110E(X)＝136×110＋147×310＋154×15＋189×310＋203×110＝165510＝165.5(元)．(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4965元．5．[2017·某某某某质检]一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克． 50个样本小球重量的平均值为x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．(2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为0.2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. ∴X 的分布列为：X 0 1 2 3 P6412548125121251125∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35⎝⎛⎭⎪⎫或E X ＝3×15＝35.6．[2017·某某正定检测]某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，试比较s21与s22的大小；(只需写出结论)(2)以日销售量落入各组的频率作为概率，估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；(3)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．解(1)根据频率分布直方图的性质，得(0.020＋0.010＋a＋0.030＋0.025)×10＝1，解得a＝0.015.根据频率分布直方图，估计s21>s22.(2)设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的日销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的日销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P (A )＝0.20＋0.10＝0.3，P (B )＝0.10＋0.20＝0.3. 所以P (C )＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝0.42. (3)由题意，可知X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03×0.30×0.73＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.31×0.72＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×0.71＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33×0.70＝0.027.所以X 的分布列为：所以X 的数学期望0.9.。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计 65 Word版含答案

考点测试65 随机抽样一、基础小题1．某学校为了了解高中一年级、二年级、三年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法答案 C解析要了解高中一、二、三年级之间的学生视力是否存在显著差异，且按人数比例从这三个年级中抽取样本，分层抽样法最具代表性，最合理，选C.2．为了解1200名同学对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为( )A ．40B ．20C ．30D ．15 答案 C解析系统抽样中抽取个体间隔k ＝120040＝30.3．某市有高中生30000人，其中女生4000人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中女生的数量为( )A ．30B ．25C ．20D ．15 答案 C解析设样本中女生的数量为x ，则15030000＝x4000⇒x ＝20.故选C.4．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样法从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502007D ．都相等，且为140答案 C解析从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN.5．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )答案 B解析由已知可得抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×15＝6，故选B.6．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A ．08B ．07C ．02D ．01 答案 D解析从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.7．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )A ．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同答案 A解析由抽样方法的性质知抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，这个比例只与样本容量和总体有关．8．某高中在校学生2000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参加了其中一项比赛，各年级参加比赛人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参加登山的人数占总人数的5.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则在高二年级参加跑步的学生中应抽取( )A ．36人B ．60人C ．24人D ．30人答案 A解析设高三年级的人数为m ，则高一年级与高二年级的人数都为m ＋1，则2(m ＋1)＋m ＝2000，解得m ＝666.因为全校参加登山的人数占总人数的25，则全校参加跑步的人数占总人数的35，即2000×35＝1200(人)．高二年级参加跑步的学生人数为1200×32＋3＋5＝360，从中抽取一个200人的样本，则在高二年级参加跑步的学生中应抽取360×2002000＝36(人)．故选A.9．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n ＝( )A ．18B ．7C ．6D ．12 答案 C解析总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知系统抽样的抽样间距为36n ，分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n 6，篮球运动员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6或n ＝12或n ＝18；当样本容量为n ＋1时，需要剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样间距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.故选C.10．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民1800户，工人100户，现从中抽取一个容量为40的样本来调查家庭收入情况，以下给出了几种常见的抽样方法：①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有________．答案 ①②③解析由于各家庭有明显的差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出36户、2户、2户，又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样方法；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样方法，故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．11．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________．答案 2,10,18,26,34解析由系统抽样知识知第一组1～8号；第二组为9～16号；第三组为17～24号；第四组为25～32号；第五组为33～40号．第一组抽出号码为2，则依次为10,18,26,34.12．某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团)：30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有________．答案150解析据题意，得这三个社团共有30÷1245＋15＝150(人)．二、高考小题13．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．93 B．123 C．137 D．167答案 C解析由题图知初中部女教师有110×70%＝77(人)；高中部女教师有150×(1－60%)＝60(人)．故该校女教师共有77＋60＝137(人)．选C.14．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( ) A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案 D解析由随机抽样可知p1＝p2＝p3，故选D.15．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A．总体 B．个体C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析由题目条件知5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.16．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20 答案 C解析由系统抽样的定义知分段间隔为100040＝25.故答案为C.17．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法答案 C解析因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法．故选C.18．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．答案 25解析男生人数为900－400＝500.设应抽取男生x 人，则由45900＝x500，得x ＝25.即应抽取男生25人．19．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案 60 解析420×300＝60(名)．三、模拟小题20．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有 ( )A ．36人B ．30人C ．24人D ．18人答案 A解析设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6，∴持“喜欢”态度的有6x ＝36人．21．为了检查某超市货架上的某品牌瓶装白酒是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的某品牌瓶装白酒中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶白酒的编号可能是( )A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．7,17,27,37,47 D．1,2,3,4,5答案 C解析本题主要考查系统抽样的概念以及操作方法，考查考生的应用意识．依题意，分段间隔为10，只有C满足条件，故选C.22．“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，一位彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )答案 C解析从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.23．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )A．61 B．62 C．63 D．64答案 C解析由题设知若m＝6，则在第7组数字中抽取的个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选C.24．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽取的号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180, 195,200,265；③11,38,65,92,119, 146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A ．②③都不能为系统抽样 B ．②④都不能为分层抽样 C ．①④都可能为分层抽样 D ．①③都可能为系统抽样答案 D解析根据三种抽样方法的特征，如果是分层抽样，则各号段应占的比例为4∶3∶3，①②③均适合；如果是系统抽样，则抽取的样本号码应该构成公差为27的等差数列，且首项小于或等于27，其中①③的首项分别为7和11，适合，④的首项为30，不适合，应选D.25．某班共有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50，并分组，第1组为1～5号，第2组为6～10号，…，第10组为46～50号，若在第3组中抽出号码为12的学生，则在第8组中应抽出号码为________的学生．答案 37解析因为12＝5×2＋2，即第3组中抽出的是第2名学生，所以每1组都应抽出第2名学生，所以第8组中应抽出的号码为5×7＋2＝37.26．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A ，编号落入区间的人做问卷B ，编号落入区间的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为________．答案 8解析由于60050＝12，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等差数列的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×12＝12n －9，由496≤12n －9≤600，解得42112≤n ≤50912，又由于n 是正整数，因此43≤n ≤50，所以抽到的人中，做问卷C 的人数为8，所以答案应填8.27. 一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为________．答案 8解析设抽取男运动员的人数为x ，由题意得：1456＝x32，∴x ＝8，∴抽取男运动员的人数为8.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

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