2016-2017学年高中数学人教a高一必修4章末综合测评(第二章)_word版含解析

章末综合测评(二) 平面向量

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )

A ．(－7，－4)

B ．(7，4)

C ．(－1，4)

D ．(1，4)

【解析】 法一：设C (x ，y )， 则AC

→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC

→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB

→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，

BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A ． 【答案】 A

2．(2015·福建高考)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C ．53

D ．32 【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.

【答案】 A

3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )

A ．－32a 2

B ．－34a 2

C ．34a 2

D ．32a 2

【解析】 由已知条件得BD

→·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ． 【答案】 D

4．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2

【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．

【答案】 B

5．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3

D ．5π6

【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，

即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.

∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π. 【答案】 C

6．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝

2a ＋b ，则下列结论正确的是( )

A ．|b |＝1

B ．a ⊥b

C ．a ·b ＝1

D ．(4a ＋b )⊥BC

→

【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·

b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC

→，故选D ． 【答案】 D

7．(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( ) A ．0

B ．2

C ．5

D ．25

【解析】 因为a ＝(2，1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b|＝50， ∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50， 即5＋2×10＋|b|2＝50， 所以|b|＝5. 【答案】 C

8.已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD

→＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )

图1

【导学号：00680065】

A ．43a ＋23b

B ．23a ＋43b

C ．23a －43b

D ．－23a ＋43b

【解析】 BC

→＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD → ＝43BE →＋23AD →

＝23a ＋43b . 【答案】 B

9．(2016·景德镇期末)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 的夹角为( )

A ．150°

B ．120°

C ．60°

D ．30°

【解析】 设向量a 、b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，

则cos θ＝－1

2，

又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ． 【答案】 B

10．(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →

＝1，则AE

→·AC →的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32

D ．33

【解析】 设AE

→与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，

又AD

→∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2

－θ，如图：

∵AE

→·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|AE

→|·cos θ＝33

， ∴AE →·BC →＝|AE →

|cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1，

∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2.

【答案】 B

11．(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →

有最小值，则P 点坐标为( )

A ．(－3，0)

B ．(3，0)

C ．(2，0)

D ．(4，0)

【解析】 设P (x ，0)，则有 AP →·BP →＝(x －2，0－2)·(x －4，0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，